Как найти концентрацию фотонов в волне

Соседние файлы в папке Лекции Квант.мех. СГФ

• #
• #
• #
• #
• #
• #

Спрятать решение

Спрятать критерии

В этой статье будем определять концентрацию фотонов в световом луче, и количество фотонов, падающих за определенное время на поверхность известной площади.

Задача 1.

Рубиновый лазер дает импульс монохроматического излучения с длиной волны А. Определить концентрацию фотонов в пучке, если мощность излучения лазера МВт, а площадь сечения луча м.

Концентрация – это количество фотонов в объеме. Объем найдем как . Количество фотонов определим как

Определим теперь концентрацию:

Ответ: 1/м.

Задача 2.  Сколько квантов излучения падает за время с на поверхность площадью см, если ее облучают потоком гамма-лучей с длиной волны см, мощность которого на площадь см составляет Вт?

Число фотонов можно найти как:

Число фотонов, падающих на единицу поверхности:

Мощность на площадь можно выразить как , тогда

Ответ:

Задача 3.

Сколько гамма-квантов падает ежесекундно на поверхность, которую облучают гамма-лучами мощностью Вт и длиной волны  м?

Число фотонов, падающих на единицу поверхности:

Число фотонов можно найти как:

А за время :

Ответ: 1/см с

Задача 4.

Точечный источник света мощностью испускает свет с длиной волны . Сколько фотонов падает за время на маленькую площадку площадью , расположенную перпендикулярно к падающим лучам, на расстоянии от источника?

Число фотонов, падающих на единицу поверхности:

Но источник излучает во все стороны, то есть лучи образуют сферу, а площадь площадки относится к площади сферы как , тогда количество квантов, попавших «в  нужное место» равно

Ответ:

Задача 5.

Мощность точечного источника монохроматического излучения с длиной волны мкм Вт. Определить число фотонов, падающих за 1 с на см площади, расположенной перпендикулярно лучам на расстоянии м.

По аналогии с предыдущей задачей

Ответ: .

Чтобы вычислить эту энергию, приходитсяввести еще одну характеристику — концентрацию фотонов nф(число фотонов, приходящихся на единицу объема V = 1м3 электромагнитного поля). Тогда энергия фотонов в объеме ( cdtΣ)Eф = nф ⋅ =ω⋅ ( cdtΣ) ,(1.10)а плотность энергииϖ = nф =ω ,(1.11)и интенсивность волны (средняя плотность потока энергии)Eф= nф=ω⋅ c .I=(1.12)ΣdtСравнивая (1.8) и (1.11), видим, что плотность энергии с однойстороны (волновой), пропорциональна квадрату амплитуды, а сдругой стороны (корпускулярной) – концентрации фотонов:1ϖ = εε0E02 = nф=ω .(1.13)2При неизменной частоте источника и увеличении его мощности, например, в два раза, амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей возрастают в 2 раз (волновое описание), и в два раза возрастает средняя концентрация фотонов (корпускулярное описание).Аналогично (1.10)–(1.12) находим импульс фотонов, заключенных в объеме ( cdtΣ) :Гл.

1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн. Фотоны17=ω⋅ (cdt Σ) ,(1.14)cгде =ω / c = =k = pф — импульс одного фотона (см. (1.2) и (1.4));и среднюю плотность потока импульса:pΣфI= nф =ω = ϖ = .(1.15)dt ΣcВ табл. 1.1 приведены соотношения характеристик, используемые для описания света в корпускулярной и волновой моделях.pΣф = nф ⋅Таблица 1.1Основные характеристики света, их соотношения в рамках волновой и корпускулярной моделейСветКорпускулярная теорияВолновая теорияE = E0 cos ( ωt − kx )Eф = =ωB = B0 cos ( ωt − kx )E = cB , [ E / E , B / B ] = k / kpф = =kЗакон дисперсииEф = cpω = ckСредняя плотность энергииεεϖ = 0 E022ϖ = nф=ωИнтенсивность (средняя плотность потока энергии) I = c ϖI =cεε0 2E02I = cnф=ωСредняя плотность потока импульсаI /ccnф=kЗадача 1.1.

Длины волн видимой части спектра расположены впределах от λ = 0, 4 до λ = 0,75 мкм. В каких пределах заключеныэнергии квантов видимого света? Какой скоростью ve должен обладать электрон, чтобы его кинетическая энергия была равна энергии фотона видимого света?ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ18Решение. Энергию фотона выразим через длину волны:Eф = =c ( 2 π λ ) (см.

(1.6)). При заданном в задаче интервале изме-нения длин волн энергия фотонов лежит в пределах2π ⋅ 10−34 ⋅ 3 ⋅ 1080,75 ⋅ 10−6=2,5 ⋅ 10−19 Дж < Eф <2π ⋅ 10−34 ⋅ 3 ⋅ 1080,4 ⋅ 10−6= 4,7 ⋅ 10−19 Дж.(1.16)Для столь малых значений энергии принято использовать единицу энергии электрон-вольт:1эВ = 1,6 ⋅ 10−19 Дж .Тогда для энергии фотонов1,6 эВ < Eф < 2,9 эВ (рис. 1.1).видимого(1.17)светаимеемПри равенстве кинетической энергии электрона энергии фотона, его скорость равна ve = 2 Eф / m , где m = 9,11 ⋅ 10−31 кг – массасвободного электрона.

Интервалу энергий (1.16) соответствует интервал скоростей для электрона (см. рис. 1.1)0,73 ⋅ 106 м/с < ve < 1,0 ⋅ 106 м/с .Верхняя предельная скорость электрона в 300 раз меньше скорости фотонов.Ответ. 1,6 эВ < Eф < 3,2 эВ , 0,73 ⋅ 106 м/с < ve < 1,0 ⋅ 106 м/с .Рис. 1.1. Диапазон длин волн λ и энергии Еф фотонов соответствующий видимойобласти спектра.

Скорости v электронов, обладающих энергией, равной энергиифотонов.Задача 1.2. Интенсивность светового потока от Солнца наЗемле в полдень составляет около I = 1,3 кВт/м2. Считая свет моно-Гл. 1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн. Фотоны19хроматическим с длиной волны λ = 0,6 мкм, определить концентрацию фотонов у поверхности Земли.Решение. Из формулы для интенсивности (1.12) с учетом (1.5)находимnф =IIλ1,3 ⋅ 103 ⋅ 0,6 ⋅ 10−6==≈ 1,3 ⋅ 1013 м −3 = 1,3 ⋅ 107 см −3 =c =ω 2π=c 2 2 π ⋅ 10−34 ⋅ (3 ⋅ 108 )2= 13 млн фотонов в см3.Ответ: nф =Iλhc2= 1,3 ⋅ 1013 м −3 .Задача 1.3.

Какой скоростью ve должен обладать электрон,чтобы иметь такой же импульс, как и фотон с λ = 0,1 нм?Решение. Импульс фотона равен pф = h / λ , релятивистскийимпульс электрона – pe =mve1 − ve2 / c 2. Из записанных соотноше-ний, с учетом условия задачи pф = pe получаемve ==pфm 2 + ( pф / c )2=c1 + ( λmc / h )2=3 ⋅ 108(1 + 0,1 ⋅ 10−9 ⋅ 0,9 ⋅ 10−30 ⋅ 3 ⋅ 108 (6,6 ⋅ 10−34 )Ответ.

ve =c1 + ( λmc / h )2)2≈ 7 ⋅ 106 м/с ≈c.40≈ 7 ⋅ 106 м / с .§1.2. Работа выхода. Внешний фотоэффект и его законыРассмотрим кристаллический металл. В узлах кристаллическойрешетки находятся атомы металла. Каждый атом отдает свои валентные электроны «в общее пользование», превращаясь в положительно заряженный ион. Валентные электроны могут перемещаются по всему объему металла. Таким образом, каждый валентный электрон электрически взаимодействует сразу со всеми иона-20ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХми кристаллической решетки металла (их концентрация очень велика: порядка 1023см–3). Однако, чем дальше электрон от какоголибо иона, тем слабее к нему притяжение.Благодаря силам притяжения электрона ко всем ионам решетки, электрон остается в объеме металла, как в потенциальном ящике.

Следует отметить, что силы отталкивания отдельного электронаот всех других свободных электронов металла ослабляют результирующую силу притяжения, уменьшают глубину потенциальнойямы. Глубина потенциальной ямы U0 различна для разных металлов и определяет ту минимальную энергию, которую необходимосообщить электрону, чтобы он покинул металл и стал «понастоящему» свободным. Эта энергия называется работой выходаΔAвых .Как можно сообщить электрону энергию, равную работе выхода?Это можно сделать, например, нагревая металл. При определенных температурах наблюдается эмиссия электронов. Это явление называется термоэлектронной эмиссией, а вышедшие электроны — термоэлектронами.Другой способ высвобождения электронов из металла — внешний фотоэффект.Фотоэффект — испускание электронов твердыми телами (илижидкостями) при поглощении фотонов.

При этом энергия фотоновпередается электронам вещества (фотокатода), так что электроныприобретают возможность покинуть фотокатод (внешний фотоэффект).Пусть на поверхность металла падает свет. Рассмотрим следующую модель внешнего фотоэффекта. Каждый падающий наметалл фотон поглощается одним электроном, находящийся вблизиповерхности. Если энергия фотона удовлетворяет соотношению=ω ≥ ΔAвых , то электрон вырывается из металла. Излишек энергиифотона переходит в кинетическую энергию электрона, максимальное значение которой Eмакс линейно возрастает с частотой падающего света:=ω − ΔAвых = Eмакс .(1.18)Полученное соотношение называется уравнением Эйнштейна.Выбитые фотонами электроны (фотоэлектроны) образуютвблизи поверхности металла электронное облако. Электроны в об-Гл.

1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн. Фотоны21лаке в общем случае имеют скорости, направленные в разные стороны. Для регистрации фотоэлектронов необходимо создать поблизости на другом металлическом электроде (аноде) положительныйпотенциал относительно фотокатода. Тогда выбитые электроныприобретают дополнительную скорость движения в направлении каноду (рис. 1.2), т.е. течет электрический ток — фототок, которыйможно зафиксировать амперметром (гальванометром Г).Рис. 1.2. В сосуде воздух откачандо состояния вакуума. Два электрода А (анод) и K (катод) подключены к источнику питания ИП. Дляизмерения силы тока используетсягальванометр Г, а напряжения –вольтметр В.

Через окно O пучоксвета падает на поверхность катодаK под углом θ к нормали.Из уравнения Эйнштейна следует, что работа выхода определяет минимально возможную частоту света =ωmin = ΔAвых , прикоторой фотоэффект наблюдается (I закон фотоэффекта).Поскольку работа выхода – характеристика вещества катода,то из (1.18) следует также, что максимальная кинетическая энергияфотоэлектронов у поверхности катода линейно зависит от частотыпадающего света и не зависит от интенсивности падающего света(III закон фотоэффекта).Даже при отсутствии разности потенциалов между катодом ианодом, некоторое количество электронов, чьи скорости направлены к аноду, попадают на анод, создавая ток J(0). С ростом по модулю отрицательного напряжения V < 0 (при отталкивающем потенциале) сила тока уменьшается, достигая нуля при напряженииV = V0 < 0 , называемом запирающим напряжением. При V > 0сила фототока растет: J > J (0), и стремится к насыщениюJ → J нас .

Насыщение достигается тогда, когда все выбиваемыефотоэлектроны попадают на анод (рис. 1.3).Вычислим силу тока насыщения и определим, от каких параметров зависит его величина. Число dN e выбитых электронов завремя dt равно числу dN ф падающих фотонов за то же время. Ес-22ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХли поток фотонов направлен под углом θ к нормали поверхностиметалла, то dN ф = nф ⋅ ( Σcdt cos θ ) иdN e = nфc(Σ cos θ)dt ,(1.19)где Σ — площадь освещаемой поверхности, (Σcdt cos θ) — объемсветового пучка, фотоны которого достигают катода за время dt.В режиме насыщения все dN e достигают анода.

Причем, учитываянепрерывность электрического тока, dN e электронов поступают наанод каждые dt секунд. Таким образом, сила фототока насыщенияравнаdq e ⋅ dN eJ ф нас === enфcΣ cos θ(1.20)dtdtили, учитывая (1.12),eJ ф нас =(1.21)( I ⋅ Σ cos θ ) .=ωВыражение в скобках ( I ⋅ Σ cos θ ) — поток световой энергии,падающий на поверхность с площадью Σ под углом θ к нормалиповерхности.Рис.

1.3. Зависимость силы фототока J отразности потенциалов V между анодом икатодом фотоэлемента при интенсивностях падающего света I1 и I 2 ( I 2 > I1 ).Таким образом, сила фототока насыщения J ф нас пропорциональна интенсивности I падающего света и не зависит от материала катода (II закон фотоэффекта).С увеличением интенсивности света фототок насыщения увеличивается и достигаться он будет при бо′льших значениях напряжения.Итак, сформулируем все три закона фотоэффекта:Гл.

1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн. Фотоны231. Существует красная граница фотоэффекта – граничнаячастота ωmin , ниже которой для данного материала фотоэффектотсутствует: =ωmin = ΔAвых .2. С увеличением напряжения на фотоэлементе сила фототокаJ достигает насыщения. Значение силы тока насыщения J ф нас прификсированной частоте падающего света прямо пропорциональноего интенсивности I : J ф нас = ( e =ω)( I ⋅ Σ cos θ ) .3. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов у поверхности катода линейно зависит от частоты падающего света ине зависит от интенсивности падающего света: Emax = =ω − ΔAвых .Важной особенностью фотоэффекта является его практическаябезынерционность – время запаздывания фототока не превышает10 – 9 с.Задача 1.4. В вакуумном фотоэлементе сила фототока при насыщении достигает значения J нас = 2 ⋅ 10−10 А .

Фотоны

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: фотоны, энергия фотона, импульс фотона.

В результате исследования явлений, связанных с взаимодействием света и вещества (тепловое излучение и фотоэффект), физики пришли к выводу, что свет состоит из отдельных порций энергии — фотонов. Излучение света, его распространение и поглощение происходит строго этими порциями.

Фотоны обладают энергией и импульсом и могут обмениваться ими с частицами вещества (скажем, с электронами или атомами). При этом мы говорим о столкновении фотона и частицы. При упругом столкновении фотон меняет направление движения — свет рассеивается. При неупругом столкновении фотон поглощается отдельной частицей или совокупностью частиц вещества — так происходит поглощение света.

Словом, фотон ведёт себя как частица и поэтому — наряду с электроном, протоном, нейтроном и некоторыми другими частицами — причислен к разряду элементарных частиц.

к оглавлению ▴

Энергия фотона

Выражение для энергии фотона с частотой мы уже знаем:

(1)

Часто бывает удобно работать не с обычной частотой , а с циклической частотой .

Тогда вводят другую постоянную Планка «аш с чертой»:

Дж · с.

Выражение (1) для энергии фотона примет вид:

Фотон движется в вакууме со скоростью света и потому является релятивистской частицей: описывая фотон, мы должны привлекать формулы теории относительности. А там имеется такая формула для энергии тела массы , движущегося со скоростью :

(2)

Если предположить, что , то формула (2) приводит к бессмысленному заключению: энергия фотона должна быть бесконечной. Чтобы избежать этого противоречия, остаётся признать, что масса фотона равна нулю. Формула (2) позволяет сделать и более общий вывод: только безмассовая частица может двигаться со скоростью света.

к оглавлению ▴

Импульс фотона

Обладая энергией, фотон должен обладать и импульсом. Действительно, важнейшая формула теории относительности даёт связь энергии и импульса частицы:

(3)

Для фотона, имеющего нулевую массу, эта формула сводится к простому соотношению:

Отсюда для импульса фотона получаем:

(4)

Направление импульса фотона совпадает с направлением светового луча.

Учитывая, что отношение есть длина волны , формулу (4) можно переписать так:

(5)

В видимом диапазоне наименьшими значениями энергии и импульса обладают фотоны красного света — у них самая маленькая частота (и самая большая длина волны). При движении в сторону фиолетового участка спектра энергия и импульс фотона линейно возрастают с частотой.

к оглавлению ▴

Давление света

Свет оказывает давление на освещаемую поверхность. Такой вывод был сделан Максвеллом из теоретических соображений и получил экспериментальное подтверждение в знаменитых опытах П.Н. Лебедева. Если понимать
свет как поток фотонов, обладающих импульсом , то можно легко объяснить давление света и вывести формулу Максвелла.

Предположим, что на некоторое тело падает свет частоты . Лучи направлены перпендикулярно поверхности тела; площадь освещаемой поверхности равна (рис. 1).

Рич. 1. Давление света

Пусть — концентрация фотонов падающего света, то есть число фотонов в единице объёма.

За время на нашу поверхность попадают фотоны, находящиеся внутри цилиндра высотой .

Их число равно:

При падении света на поверхность тела часть световой энергии отражается, а часть — поглощается. Пусть — коэффициент отражения света; величина показывает, какая часть световой энергии отражается от поверхности. Соответственно, величина — это доля падающей энергии, поглощаемая телом.

Как мы теперь знаем, энергия света пропорциональна числу фотонов. Поэтому можно написать, какое количество фотонов (из общего числа ) отразится от поверхности, а какое — поглотится ею:

Импульс каждого падающего фотона равен . Поглощённый фотон испытывает неупругое столкновение с телом и передаёт ему импульс . Отражённый фотон после упругого столкновения меняет направление своего импульса на противоположное, и поэтому импульс, переданный телу отражённым фотоном, равен .

Таким образом, от каждого фотона, входящего в световой поток, тело получает некоторый импульс. Вот простая и очевидная причина того, что свет оказывает давление на освещаемую поверхность.

Суммарный импульс, полученный телом от падающих фотонов, равен:

На нашу поверхность действует сила , равная импульсу, полученному телом в единицу времени:

Давление света есть отношение этой силы к площади освещаемой поверхности:

(6)

Выражение имеет простой физический смысл: будучи произведением энергии фотона на число фотонов в единице объёма, оно равно энергии света в единице объёма, то есть объёмной плотности энергии . Тогда соотношение (6) приобретает вид:

Это и есть формула для давления света, теоретически выведенная Максвеллом (в рамках классической электродинамики) и экспериментально проверенная в опытах Лебедева.

к оглавлению ▴

Двойственная природа света

В результате рассмотрения всей совокупности оптических явлений возникает естественный вопрос: что же такое свет? Непрерывно распределённая в пространстве электромагнитная волна или поток отдельных частиц — фотонов? Теория и эксперименты приводят к заключению, что оба ответа должны быть утвердительными.

1. Явления интерференции и дифракции света, характерные для любых волновых процессов, не оставляют сомнений в том, что свет есть форма волнового движения материи.

Таким образом, мы должны признать: да, свет имеет волновую природу, свет — это электромагнитная волна.

2. Однако явления взаимодействия света и вещества (например, фотоэффект) указывают на то, что свет ведёт себя как поток отдельных частиц. Эти частицы — фотоны — ведут, так сказать, самостоятельный образ жизни, обладают энергией и импульсом, участвуют во взаимодействиях с атомами и электронами. Излучение света — это рождение фотонов.

Распространение света — это движение фотонов в пространстве. Отражение и поглощение света — это соответственно упругие и неупругие столковения фотонов с частицами вещества.

Все попытки истолковать указанные явления излучения и поглощения света в рамках волновых представлений классической физики окончились неудачей. Оставалось лишь согласиться с тем, что свет имеет корпускулярную природу (от латинского слова corpusculum — маленькое тельце, частица), свет — это совокупность фотонов, мчащихся в пространстве.

Таким образом, свет имеет двойственную, корпускулярно-волновую природу — он может проявлять себя то так, то эдак. В одних явлениях (интерференция, дифракция) на передний план выходит волновая природа, и свет ведёт себя в точности как волна. Но в других явлениях (фотоэффект) доминирует корпускулярная природа, и свет ведёт себя подобно потоку частиц.

Странно всё это, не правда ли? Но что поделать — так устроена природа. Мы, люди, живём среди макроскопических тел, и наше воображение оказалось не способным полноценно представить себе явления микромира.
Природа, однако, неизмеримо шире и богаче того, что может вместить в себя человеческое воображение. Признав это и руководствуясь не столько собственным воображением, сколько наблюдениями, результатами экспериментов и весьма изощрённой математикой, люди начали успешно создавать квантовую теорию микроскопических явлений и процессов.

О некоторых парадоксальных на первый взгляд — но тем не менее подтверждённых экспериментально! — выводах квантовой теории мы поговорим в следующем листке.