Как найти конечное давление в сосуде

Давление является одним из трех основных термодинамических макроскопических параметров любой газовой системы. В данной статье рассмотрим формулы давления газа в приближении идеального газа и в рамках молекулярно-кинетической теории.

Идеальные газы

Каждый школьник знает, что газ является одним из четырех (включая плазму) агрегатных состояний материи, в котором частицы не имеют определенных положений и движутся хаотичным образом во всех направлениях с одинаковой вероятностью. Исходя из такого строения, газы не сохраняют ни объем, ни форму при малейшем внешнем силовом воздействии на них.

В любом газе средняя кинетическая энергия его частиц (атомов, молекул) больше, чем энергия межмолекулярного взаимодействия между ними. Кроме того, расстояния между частицами намного превышают их собственные размеры. Если молекулярными взаимодействиями и размерами частиц можно пренебречь, тогда такой газ называется идеальным.

В идеальном газе существует лишь единственный вид взаимодействия – упругие столкновения. Поскольку размер частиц пренебрежимо мал в сравнении с расстояниями между ними, то вероятность столкновений частица-частица будет низкой. Поэтому в идеальной газовой системе существуют только столкновения частиц со стенками сосуда.

Все реальные газы с хорошей точностью можно считать идеальными, если температура в них выше комнатной, и давление не сильно превышает атмосферное.

Причина возникновения давления в газах

Прежде чем записать формулы расчета давления газа, необходимо разобраться, почему оно возникает в изучаемой системе.

Согласно физическому определению, давление – это величина, равная отношению силы, которая перпендикулярно воздействует на некоторую площадку, к площади этой площадки, то есть:

P = F/S

Выше мы отмечали, что существует только один единственный тип взаимодействия в идеальной газовой системе – это абсолютно упругие столкновения. В результате них частицы передают количество движения Δp стенкам сосуда в течение времени соударения Δt. Для этого случая применим второй закон Ньютона:

F*Δt = Δp

Именно сила F приводит к появлению давления на стенки сосуда. Сама величина F от столкновения одной частицы является незначительной, однако количество частиц огромно (≈ 10²³), поэтому они в совокупности создают существенный эффект, который проявляется в виде наличия давления в сосуде.

Формула давления газа идеального из молекулярно-кинетической теории

При объяснении концепции идеального газа выше были озвучены основные положения молекулярно-кинетической теории (МКТ). Эта теория основывается на статистической механике. Развита она была во второй половине XIX века такими учеными, как Джеймс Максвелл и Людвиг Больцман, хотя ее основы заложил еще Бернулли в первой половине XVIII века.

Согласно статистике Максвелла-Больцмана, все частицы системы движутся с различными скоростями. При этом существует малая доля частиц, скорость которых практически равна нулю, и такая же доля частиц, имеющих огромные скорости. Если вычислить среднюю квадратичную скорость, то она примет некоторую величину, которая в течение времени остается постоянной. Средняя квадратичная скорость частиц однозначно определяет температуру газа.

Применяя приближения МКТ (невзаимодействующие безразмерные и хаотично перемещающиеся частицы), можно получить следующую формулу давления газа в сосуде:

P = N*m*v²/(3*V)

Здесь N – количество частиц в системе, V – объем, v – средняя квадратичная скорость, m – масса одной частицы. Если все указанные величины определены, то, подставив их в единицах СИ в данное равенство, можно рассчитать давление газа в сосуде.

Формула давления из уравнения состояния

В середине 30-х годов XIX века французский инженер Эмиль Клапейрон, обобщая накопленный до него экспериментальный опыт по изучению поведения газов во время разных изопроцессов, получил уравнение, которое в настоящее время называется универсальным уравнением состояния идеального газа. Соответствующая формула имеет вид:

P*V = n*R*T

Здесь n – количество вещества в молях, T – температура по абсолютной шкале (в кельвинах). Величина R называется универсальной газовой постоянной, которая была введена в это уравнение русским химиком Д. И. Менделеевым, поэтому записанное выражение также называют законом Клапейрона-Менделеева.

Из уравнения выше легко получить формулу давления газа:

P = n*R*T/V

Равенство говорит о том, что давление линейно возрастает с температурой при постоянном объеме и увеличивается по гиперболе с уменьшением объема при постоянной температуре. Эти зависимости отражены в законах Гей-Люссака и Бойля-Мариотта.

Если сравнить это выражение с записанной выше формулой, которая следует из положений МКТ, то можно установить связь между кинетической энергией одной частицы или всей системы и абсолютной температурой.

Давление в газовой смеси

Отвечая на вопрос о том, как найти давление газа и формулы, мы ничего не говорили о том, является ли газ чистым, или речь идет о газовой смеси. В случае формулы для P, которая следует из уравнения Клапейрона, нет никакой связи с химическим составом газа, в случае же выражения для P из МКТ эта связь присутствует (параметр m). Поэтому при использовании последней формулы для смеси газов становится непонятным, какую массу частиц выбирать.

Когда необходимо рассчитать давление смеси идеальных газов, следует поступать одним из двух способов:

• Рассчитывать среднюю массу частиц m или, что предпочтительнее, среднее значение молярной массы M, исходя из атомных процентов каждого газа в смеси;
• Воспользоваться законом Дальтона. Он гласит, что давление в системе равно сумме парциальных давлений всех ее компонентов.

Пример задачи

Известно, что средняя скорость молекул кислорода составляет 500 м/с. Необходимо определить давление в сосуде объемом 10 литров, в котором находится 2 моль молекул.

Ответ на задачу можно получить, если воспользоваться формулой для P из МКТ:

P = N*m*v²/(3*V)

Здесь содержатся два неудобных для выполнения расчетов параметра – это m и N. Преобразуем формулу следующим образом:

m = M/N_A;

n = N/N_A;

m*N = M*n;

P = M*n*v²/(3*V)

Объем сосуда в кубических метрах равен 0,01 м³. Молярная масса молекулы кислорода M равна 0,032 кг/моль. Подставляя в формулу эти значения, а также величины скорости v и количества вещества n из условия задачи, приходим к ответу: P = 533333 Па, что соответствует давлению в 5,3 атмосферы.

Как вы уже знаете, согласно закону Паскаля, давление в жидкостях распространяется одинаково во всех направлениях. Что же необходимо знать, чтобы рассчитать это давление? От чего зависит давление жидкости?

Взгляните на рисунок 1.

Как вы думаете, в каком сосуде больше жидкости? А будет ли одинаково давление, оказываемое на дно сосудов? С этими вопросами нам и предстоит разобраться. 

Вывод формулы

Выведем формулу для расчета давления жидкости на дно сосуда, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда (рисунок 2).

Давление жидкости $p$ рассчитывается по формуле: $p = frac{F}{S}$, где $F$ — это сила, действующая на дно сосуда, а $S$ — это площадь дна сосуда.

1. Сила $F$ в данном случае равна весу $P$ жидкости, которая находится в сосуде;
2. Как узнать вес жидкости? Необходимо знать массу $m$ жидкости;
3. Массу $m$ мы можем вычислить по известной нам формуле: 
   $m = rho V$;

1. Так как нам известна жидкость, находящаяся в сосуде, мы знаем ее плотность . Остается вычислить объем $V$ жидкости. Обозначим высоту столба жидкости буквой $h$, площадь дна сосуда — $S$. Тогда объем можно вычислить по формуле:
   $V = Sh$;

1. Итак, подставляем наши данные в формулу для вычисления массы и получаем:
   $m = rho Sh$;

1. Таким образом, возвращаемся к весу жидкости и получаем, что: 
   $P = mg$, где $g$ — ускорение свободного падения, или $P = g rho Sh$.

С другой стороны, мы знаем, что вес столба жидкости равен силе, с которой жидкость давит на дно сосуда. Поэтому если мы разделим вес $P$ на площадь $S$, то получим искомое давление жидкости:
$p = frac{P}{S}$,
или $p =frac{g rho Sh}{S}$,

То есть:

$p = rho gh$.

Рассмотрим измерительные величины, которые мы будем использовать в данной формуле: плотность мы будем выражать в килограммах на кубический метр ($frac{кг}{м^3}$), $g = 9.8 frac{H}{кг}$, высоту столба жидкости  — в метрах ($м$). Тогда давление $p$ будет выражено в паскалях ($Па$).

Выводы

Так мы с вами вывели формулу для расчета давления жидкости на дно сосуда. Какие выводы мы можем сделать? 

От каких величин зависит давление жидкости на дно сосуда?

Давление жидкости не зависит от формы сосуда, оно зависит только от плотности жидкости и высоты ее столба.

Обратите внимание, что во многих случаях, когда говорят о высоте столба жидкости, говорят о глубине.

По какой формуле рассчитывают давление жидкости на стенки сосуда, давление внутри жидкости?

По формуле $p = rho gh$ можно вычислить давление на стенки сосуда или внутри жидкости, так как на одной глубине давление в жидкости будет одинаково во всех направлениях.

Вопросы и пример задачи

Посмотреть ответ

Скрыть

Посмотреть ответ

Скрыть ответ

Дано:
$rho = 800 frac{кг}{м^3}$
$h = 8 space м$

$p — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Упражнения

Дано:
$h = 0.6 space м$
$rho_1 = 1000 frac{кг}{м^3}$
$rho_2 = 800 frac{кг}{м^3}$
$rho_3 = 13600 frac{кг}{м^3}$
$g = 9.8 frac{Н}{кг}$

$p_1 — ?$
$p_2 — ?$
$p_3 — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Дано:
$h = 10 space 900 space м$
$rho = 1030 frac{кг}{м^3}$
$g = 9.8 frac{Н}{кг}$

$p — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Дано:
$m = 5 space кг$
$h = 1 space м$
$rho = 1000 frac{кг}{м^3}$
$g = 9.8 frac{Н}{кг}$

$S — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Задания

Показать ответ

Скрыть

Дано:
$h = 0.086 space м$
$rho = 1000 frac{кг}{м^3}$
$g = 9.8 frac{Н}{кг}$

$p — ?$

Показать решение и овет

Скрыть

Формула давления жидкости отличается от формулы, с помощью которой можно рассчитать давление твердого тела. Потому, что давление жидкости не зависит от площади поверхности, на которую жидкость давит.

Закон Паскаля

Французский физик, Блез Паскаль, в 1653 году сформулировал закон: «Давление, которое мы оказываем на жидкость (или газ), она без изменения передаст в любую точку и во всех направлениях».

Мы немного упростим формулировку:

Жидкость (или газ) передает давление, оказанное на нее, одинаково и без изменений во все стороны.

Это значит, что на одной и той же глубине жидкость будет одинаково давить и на дно, и на стенки сосуда.

На рисунке 1 изображен сосуд, наполненный жидкостью. Высоту столбика жидкости – то есть, глубину, отсчитываем от поверхности жидкости.

Видно, что на разных глубинах давление отличается.

[ large begin{cases} h_{1}  < h_{2} < h_{3} \ P_{1}  < P_{2} < P_{3} end{cases} ]

Чем глубже, тем больше давление жидкости. Но в любой точке оно одинаково передается во все стороны.

Формула давления жидкости

Формула, по которой можно посчитать давление жидкости:

[ large boxed{ P = rho_{text{ж}} cdot g cdot h }]

​( P left(text{Па}right) )​ – давление жидкости;

​( displaystyle rho_{text{ж}} left(frac{text{кг}}{text{м}^3} right) )​ – плотность жидкости;

​( displaystyle g left(frac{text{м}}{c^{2}} right) )​ – ускорение свободного падения;

Для большинства школьных задач можно принимать ​( displaystyle g approx 10 left(frac{text{м}}{c^{2}} right) )​;

​( h left(text{м}right) )​ – высота столбика жидкости.

В формулу для давления жидкости не входит площадь S поверхности, на которую эта жидкость давит.

Поэтому, давление жидкости не зависит от площади. А давление твердого тела рассчитывают по другой формуле.

В некоторых задачах указывают объем используемой жидкости. И иногда просят рассчитать силу давления. Чтобы получить правильный ответ для таких задач, нужно уметь переводить площади и объемы в единицы системы СИ.

Сообщающиеся сосуды

Сообщающиеся сосуды – это емкости, расположенные на плоской горизонтальной поверхности, у дна они соединяются трубками.

Если в один из сосудов начать наливать жидкость, то она будет распределяться по всем сосудам, так, что ее уровень будет одинаковым во всех сосудах (рис. 2).

Неважно, какую форму имеет сосуд. Давление жидкости во всех сосудах будет одинаковым. Поэтому одинаковой будет высота h столбика жидкости во всех сосудах.

U-образное колено – это два сообщающихся сосуда, диаметры сосудов одинаковые.

Жидкости, которые заливают в колено, не должны смешиваться (рис. 3). Например, можно залить в оду трубку воду, а в другую — масло.

Запишем формулы для расчета давления в левом (P_{1}) и правом (P_{2}) частях колена.

[ large boxed{begin{cases} P_{1} = rho_{1} cdot g cdot h_{1} \ P_{2} = rho_{2} cdot g cdot h_{2} end{cases}} ]

Чем больше разница плотностей двух жидкостей, тем больше отличаются высоты их столбиков.

При решении задач общую нижнюю часть колена не учитываем. На рисунке 3 она отделена от верхней части горизонтальной линией.

Давление столбиков, оставшихся в верхней части, будет одинаковым.

( P_{1} ) – давление жидкости в левой части колена;

( P_{2} ) – давление жидкости в правой части колена.

[ large begin{cases} P_{1} = P_{2} \  rho_{1} cdot g cdot h_{1} = rho_{2} cdot g cdot h_{2} end{cases} ]

Обе части последнего уравнения разделим на ускорение свободно падения. Тогда получим соотношение для высот столбиков жидкости и их плотностей:

[ large boxed{ rho_{1} cdot h_{1} = rho_{2} cdot h_{2} }]

Высоты столбиков можно измерить линейкой. Зная плотность одной из жидкостей, можно найти плотность второй жидкости.

Примечание: Давление жидкостей часто измеряют в миллиметрах ртутного столба или метрах водяного столба. Переходите по ссылке, чтобы узнать, как связаны эти единицы измерения и как давление переводить в систему СИ.

Гидравлический пресс

Молекулы жидкости плотно упакованы, они прилегают друг к другу. Поэтому жидкости не сжимаемы! Это свойство жидкостей используют в гидравлическом прессе.

Гидравлический пресс – это два сообщающихся сосуда. Их называют цилиндрами. Диаметры цилиндров отличаются. Внутри каждого цилиндра вверх и вниз может свободно перемещаться поршень (рис. 4). Поршень плотно прилегает к стенкам цилиндра, чтобы жидкость из цилиндра не просачивалась наружу.

Перемещаясь, поршень из цилиндра вытесняет жидкость в соседний цилиндр. Объем жидкости, вытесненной из одного цилиндра, совпадает с объемом, перешедшим в другой цилиндр, так как жидкость не проливается наружу.

[ large Delta V_{1} = Delta V_{2} ]

( Delta V_{1} left(text{м}^{3}right) )  – объем жидкости, вытесненной из первого цилиндра;

( Delta V_{2} left(text{м}^{3}right) )  – объем жидкости, перешедшей во второй цилиндр.

Из геометрии известно, объем цилиндрической фигуры можно найти по формуле:

[ large boxed{ Delta V = Delta h cdot S }]

( Delta h left(text{м}right) )  – высота столбика вытесненной жидкости;

( S left(text{м}^{2}right) )  – площадь поршня (или основания цилиндра);

Так как объемы вытесненной и перешедшей в другой цилиндр жидкостей равны, можем записать

[ large Delta h_{1} cdot S_{1} = Delta h_{2} cdot S_{2} ]

То есть, высоты столбиков отличаются во столько же раз, во сколько отличаются площади поршней.

Площадь поверхности поршня и его диаметр связаны соотношением:

[ large boxed{ S_{text{круга}} = pi cdot frac{d^{2}}{4} }]

( S left(text{м}^{2}right) )  – площадь поршня;

( d left(text{м}right) )  – диаметр поршня;

Давления в цилиндрах будут равны.

[ large P_{text{общ.лев}} = P_{text{общ.прав}} ]

Поршни в цилиндрах не двигаются – т. е. находятся в равновесии. Запишем условия равновесия для поршней:

[ large boxed{ frac{F_{1}}{S_{1}} + rho_{1} cdot g cdot h_{1} = frac{F_{2}}{S_{2}} + rho_{2} cdot g cdot h_{2} } ]

Здесь дробью вида (displaystylelarge frac{F}{S}) обозначено давление твердого тела (ссылка) — поршня.

Назовем цилиндр большого диаметра большим цилиндром, а цилиндр малого диаметра – малым. Сформулируем принцип действия гидравлического пресса:

С помощью малой силы в малом цилиндре мы можем создавать большую силу в большом цилиндре.

В жидкостях частицы подвижны, поэтому они не имеют собственной формы, но обладают собственным объемом, сопротивляются сжатию и растяжению; не сопротивляются деформации сдвига (свойство текучести). В покоящейся жидкости существует два вида статического давления: гидростатическое и внешнее. Вследствие притяжения к Земле жидкость оказывает давление на дно и стенки сосуда, а также на тела, находящиеся внутри нее. Давление, обусловленное весом столба жидкости, называется гидростатическим. Давление жидкости на разных высотах различно и не зависит от ориентации площадки, на которую оно производится. Пусть жидкость находится в цилиндрическом сосуде с площадью сечения S; высота столба жидкости h. Тогда

Гидростатическое давление жидкости зависит от плотности р жидкости, от ускорения g свободного падения и от глубины h, на которой находится рассматриваемая точка. Оно не зависит от формы столба жидкости. Глубина h отсчитывается по вертикали от рассматриваемой точки до уровня свободной поверхности жидкости. В условиях невесомости гидростатическое давление в жидкости отсутствует, так как в этих условиях жидкость становится невесомой. Внешнее давление характеризует сжатие жидкости под действием внешней силы. Оно равно:

Пример внешнего давления: атмосферное давление и давление, создаваемое в гидравлических системах. Французский ученый Блез Паскаль (1623-1662) установил: жидкости и газы передают производимое на них давление одинаково по всем направлениям (закон Паскаля). Для измерения давлений используют манометры. Их конструкции весьма разнообразны. В качестве примера рассмотрим устройство жидкостного манометра. Он представляет собой U-образную трубку, один конец которой соединяется с резервуаром, в котором измеряют давление. По разности столбов в коленах манометра можно определять давление.

Возможно вам будет интересно:

Вокруг нас много жидкостей. Одни из них движутся, например, вода в реках или нефть в трубах, другие – покоятся. При этом все жидкости имеют вес и поэтому давят на дно и стенки сосуда, в котором находятся. Подсчёт давления движущейся жидкости – непростая задача, поэтому изучим лишь как рассчитывать давление, создаваемое покоящейся жидкостью, называемое гидростатическим давлением (греч. «статос» – неподвижный). Оно вычисляется по следующей формуле.

p – давление слоя жидкости, Па. r – плотность жидкости, кг/м3. g – коэффициент силы тяжести, Н/кг. h – высота слоя жидкости, м. Рассмотрим, как выведена (то есть получена) эта формула.

Сила F, с которой жидкость давит на дно сосуда, является весом жидкости. Его мы можем подсчитать по формуле W = Fтяж = mg, так как жидкость и её опора (дно сосуда) покоятся. Вспомним также простую формулу m = rV для выражения массы тела через плотность его вещества и формулу V = Sh для подсчёта объёма тела, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда. В результате имеем равенство:

Это равенство иллюстрирует не только способ вывода формулы для вычисления гидростатического давления. Оно также показывает, что формула p = rgh является частным случаем формулы p = F/S. Поэтому здесь уместны те же замечания, что и при изучении нами силы Архимеда (см. § 3-е «под чертой»).

Заметим, что при выводе формулы совершенно необязательно предполагать, что слой высотой h и плотностью r образован именно жидкостью. В наших рассуждениях ничего не изменится, если вместо давления жидкости мы рассмотрим давление твёрдого тела прямоугольной формы или даже газа, заключённого в соответствующий сосуд. Создаваемое ими весовое давление будет именно таким, как предсказывает формула p = rghФормула p = rgh показывает, что давление, создаваемое слоем жидкости, не зависит от её массы, а зависит от плотности жидкости, высоты её слоя и места наблюдения. При увеличении толщины слоя жидкости или её плотности гидростатическое давление будет возрастать.

Полученный нами вывод можно проверить опытами. Проделаем их. Справа изображена стеклянная трубка, дно которой затянуто резиновой плёнкой.

Увеличивая высоту слоя налитой жидкости, мы будем наблюдать увеличение растяжения плёнки. Этот опыт подтверждает, что при увеличении высоты слоя жидкости создаваемое ею давление увеличивается.

На следующем рисунке изображены трубки с водой и «крепким» раствором соли. Видно, что уровни жидкостей находятся на одной и той же высоте, но давление на плёнку в правой трубке больше. Это объясняется тем, что плотность раствора соли больше, чем плотность обычной воды.

Иногда вместо слов давление слоя жидкости употребляют выражение давление столба жидкости. Это выражения-синонимы.

Page 2

Давление может создаваться не только твёрдыми или жидкими телами, но и газами. Например, парусный корабль плывёт по морю именно потому, что на его паруса давит ветер – движущийся газ. Однако покоящиеся газы тоже могут создавать давление. Рассмотрим опыт, подтверждающий это.

Слева на рисунке – так называемая тарелка воздушного насоса. На ней лежит завязанный воздушный шарик с небольшим количеством воздуха (рис. «а»). Накроем его стеклянным колоколом и откачаем из-под него воздух. Мы увидим, что шарик «раздулся», будто в него накачали дополнительную порцию воздуха (рис. «б»). Однако это не так: воздуха в шарике не прибавилось, ведь он завязан. В чем же разгадка противоречия?

Воздух в шарике постоянно давит на его оболочку изнутри. Но и воздух вокруг шарика давит на его оболочку – снаружи (см. рисунок). Откачивая воздух из-под колокола, мы уменьшаем наружное давление. В результате внутреннее давление начинает превосходить наружное и тем самым раздувает оболочку сильнее.

Рассмотренный опыт с тарелкой и колоколом воздушного насоса продемонстрировал нам, что покоящиеся газы постоянно оказывают давление на окружающие их тела. В зависимости от внешних условий это давление может проявляться или же быть незаметным.

Накачивая или откачивая газ в каком-либо сосуде (например, баллоне), мы увеличиваем или, наоборот, уменьшаем массу газа. Из-за этого изменяется плотность газа – увеличивается или уменьшается. Одновременно изменяется и давление газа – говорят, что оно «повышается» или «понижается» (иногда говорят, что давление «растёт» или «падает»).

Однако давление газа можно изменить не только изменением его плотности, но и другим путём – изменяя температуру газа. При нагревании газа его давление будет возрастать, а при охлаждении – уменьшаться. Рассмотрим пример.

На рисунке изображён котёл для воды с прочным корпусом и плотно прилегающей крышкой. На котле имеется манометр – прибор, отмечающий повышение или понижение давления пара. При нагревании котла давление пара возрастает, так как мы видим изменившееся положение стрелки манометра и многочисленные струи пара, вырывающиеся из щелей между корпусом и крышкой.

Опыты показывают, что не только водяной пар, но и вообще все газы при нагревании увеличивают свое давление на окружающие тела, а при охлаждении – уменьшают.

Паровая турбина. Она применяется на тепловых электростанциях. Сгорающий природный газ или мазут нагревают воду, которая превращается в пар. Его подвергают дальнейшему сильному нагреванию. В результате давление пара значительно возрастает, и его направляют на лопасти ротора турбины (см. фото).

Чем выше давление пара, тем с большей скоростью будет вращаться ротор, тем больше электроэнергии может быть выработано. В современных турбинах давление пара составляет более 10 000 кПа при температуре 300–500 °С.

---

Page 3

О том, что все газы имеют массу, мы часто склонны забывать. Помните ли вы, например, что 1 кубический метр воздуха имеет массу более 1 кг ? Если забыли – загляните в таблицу плотностей в § 2-г… Из этого следует, что масса воздуха, находящегося в классе, составляет примерно 200–300 кг!

Проведём опыт, подтверждающий, что воздух действительно имеет массу. Взгляните на рисунок «а». Вы видите, что к левой чаше весов подвешен стеклянный шар, а на самой чаше лежит пробка с трубкой и зажимом. На правой чаше стоит гиря, уравновешивающая вес предметов на чаше слева: пробки, трубки, зажима и шара, в котором есть окружающий нас воздух.

Взгляните на рисунок «б». Шар отцепили от чаши и присоединили к насосу. Некоторое время воздух из шара откачивали.

Затем трубку пережали зажимом, а шар опять подвесили к чаше (рис. «в»). Мы видим, что теперь гиря «перевешивает», следовательно, масса шара стала меньше массы гири. То есть опыт подтвердил, что атмосферный воздух обладает массой. Её можно измерить при помощи весов и гирь. Зная объём шара, можно даже подсчитать плотность воздуха.

Существование массы воздуха – причина того, что воздух, притягиваясь к Земле, имеет вес. Известно, например, что атмосферный воздух, расположенный над площадью поверхности Земли в 1 м, имеет огромный вес – около 100 тысяч ньютонов!

Как известно, воздух окружает всю Землю в виде шарообразного слоя, поэтому воздушную оболочку Земли называют атмосферой (греч. атмос – пар, воздух; сфера – шар). Как и любое тело, она притягивается к Земле. Действуя на тела своим весом, атмосфера создаёт давление, называемое атмосферным давлением. Согласно закону Паскаля оно распространяется в дома, пещеры, шахты и действует на все тела, соприкасающиеся с атмосферным воздухом.

Космические полёты показали, что атмосфера возвышается над поверхностью Земли на несколько сотен километров, становясь всё более разреженной (менее плотной). Постепенно она переходит в безвоздушное пространство – вакуум (лат. «пустота»), в котором отсутствует воздух, а, следовательно, и атмосферное давление.

Существованием атмосферного давления объясняется множество явлений. Рассмотрим одно из них – поднятие жидкости за поршнем, например, водяного насоса. Обратимся к рисунку.

Если резко поднять рукоятку поршня, то между ним и жидкостью образуется безвоздушное пространство, давление в котором практически равно нулю. Поэтому атмосферное давление, воздействуя на поверхность жидкости в сосуде (голубые стрелки), вгонит жидкость вверх по трубке в пространство с меньшим давлением. Но если же поршень поднимать плавно, то внешне всё будет выглядеть так, как будто бы жидкость «сама собой» поднимается за поршнем.

---

Page 4

До сих пор мы изучали случаи, когда сила, действующая на тело, была приложена к нему в одной точке. Мы так и говорили про неё: «точка приложения силы» . Настало время ситуаций, когда сила приложена к телу во множестве точек, то есть действует на некоторую площадь поверхности. В каждом из таких случаев говорят не только о самой силе, но и о создаваемом ею давлении.

Как приятна зимняя прогулка на лыжах! Однако стоит выйти на снег без них, как ноги будут глубоко проваливаться при каждом шаге, идти будет трудно, и удовольствие будет испорчено.

На этом рисунке вес лыжника примерно равен весу «пешехода». Поэтому силы, с которыми мальчики давят на снег, будем считать равными. Но заметьте: они действуют не на одну точку, а «распределяются» по некоторым поверхностям. У лыжника – по площади касания снега и лыж, а у пешехода – снега и подошв.

Понятно, что Sлыж > Sподошв. Поэтому и результат действия лыжника на снег проявляется в меньшей степени – лыжник проваливается на меньшую глубину.

Распределение силы по площади её приложения характеризуют особой физической величиной – давлением. Отношение силы F к площади поверхности S, при условии, что сила действует перпендикулярно поверхности, называют давлением. Это определение давления, и его можно записать в виде формулы:

p – давление, Па. F^ – перпендикулярно приложенная сила, Н. S – площадь поверхности, м2.

Единица давления – 1 паскаль (обозначается: 1 Па). Из формулы-определения видно, что 1 Па = 1 Н/мЧисловое значение давления показывает силу, приходящуюся на единицу площади её приложения. Например, при давлении 5 паскалей на каждый 1 м2 будет действовать сила 5 ньютонов.

Вернёмся к примеру с мальчиками. На рисунке не указаны числовые значения F и S. Значит, мы не можем количественно сравнить давления, которое оказывают мальчики (с лыжами и без лыж) на снег.

Однако мы можем сравнить их качественно, используя слова «больше» и «меньше». Сделаем это.

Сначала запишем исходные данные: силы, с которыми мальчики давят на снег, равны, и площадь лыж больше площади подошв (см. столбик слева):

После знака «Ю», который значит «следовательно», мы составили две дроби. Обратите внимание: знак «больше», присутствовавший в исходных данных, изменился на знак «меньше». Почему?

Поскольку знаменатель левой дроби больше знаменателя правой, значит, согласно свойству дроби, сама левая дробь меньше правой. Вспомнив, что каждая дробь в этом неравенстве является давлением, получим: давление лыжника меньше давления пешехода. Этим и объясняется то, что лыжник меньше проваливается в снег, чем пешеход.

Формула-определение давления подсказывает нам, как его можно изменять: чтобы увеличить давление, нужно увеличить силу или уменьшать площадь её приложения. И наоборот: чтобы уменьшить давление, нужно уменьшить силу или увеличить площадь, на которую эта сила действует.

---

Page 5

Познакомимся с необычным законом: он справедлив лишь для покоящихся жидкостей и газов. Для этого проведём опыт – нальём в пакет воды и завяжем. Если на него надавить рукой, то он прорвётся, и вода вытечет. Однако заметим: пакет рвётся не обязательно в том месте, где на него давят. Следовательно, давление, оказываемое нами на одну часть пакета, распространяется в другие его части.

Этим простым опытом мы проиллюстрировали закон Паскаля: давление, производимое на жидкость или газ, передаётся без изменения во все части жидкости или газа.

Согласно этому закону, давление внутри жидкостей и газов распространяется по всевозможным направлениям. Следовательно, жидкости и газы оказывают давление во всех направлениях: влево, вправо и даже вверх! Это подтверждается опытами. Рассмотрим некоторые из них.

Возьмём стеклянную трубку и лёгкий диск на нити (рис. «а»). Натянув нить, мы получим сосуд с отпадающим дном (рис. «б»). Погрузим этот сосуд в широкий стакан с водой. Удивительно, но теперь дно (то есть диск) не отпадет, даже если нить не натягивать (рис. «в»).

Так происходит потому, что верхние слои воды в стакане создают давление на нижележащие слои, в том числе и на слой воды под диском. Согласно закону Паскаля это давление передаётся через слой воды под диском и действует на диск снизу вверх. Сила этого давления и поддерживает диск, прижимает его к краям стеклянной трубки.

Продолжим опыт. Нальём в трубку столько подкрашенной воды, чтобы её уровень оказался ниже, чем у воды в стакане (рис. «г»).

Мы увидим, что диск не отпадает. Так происходит потому, что давление на диск снизу по-прежнему больше, чем сверху. Теперь увеличим высоту слоя подкрашенной воды.

Диск отпадёт (рис. «д»). Значит, давление на диск сверху, созданное подкрашенной водой, превысило давление снизу, созданное водой в стакане при «помощи» закона Паскаля.

Примечание. При описании опыта мы пренебрегаем весом диска.

Согласно закону Паскаля вне зависимости от формы и размеров сосуда давление внутри жидкости на одной и той же глубине одинаково. Докажем это утверждение. Пусть рассматриваемым «сосудом» будет морская бухта с подводной пещерой. Взгляните на рисунок справа. Казалось бы, что давление воды в пещере меньше, чем давление в открытом море.

Однако, если бы это было так, то под действием большего из давлений вода из моря устремилась бы в пещеру, и уровень воды в море стал бы понижаться. Невероятно, да? Итак, поскольку вода у входа в пещеру (и в море тоже) остаётся в покое, значит давление воды в пещере равно давлению воды в море.

---

Page 6

Про массу или длину говорят, что они большие или маленькие, увеличиваются или уменьшаются. Про атмосферное давление говорят: оно высокое или низкое, повышается или понижается. Такая традиция установилась ещё с тех пор, когда атмосферное давление измеряли барометрами Торричелли, наблюдая за поднятием или опусканием ртутного столба. Сегодня чаще применяют безжидкостные барометры, так называемые анероиды (греч. «а» – отрицание, «нерос» – влажный).

Главная часть барометра-анероида – лёгкая, упругая, полая внутри металлическая коробочка 2 с гофрированной (волнистой) поверхностью. Воздух из коробочки откачан. Её стенки растягивает пружинящая металлическая пластина 5. К ней при помощи специального механизма прикреплена стрелка 6, которая насажена на ось 7 (см. рисунок ниже). Конец стрелки передвигается по шкале 4, размеченной в мм рт. ст. Все детали барометра помещены внутрь корпуса 1, закрытого спереди стеклом 3.

Согласно формуле F=pS, изменение атмосферного давления (то есть величины «p») будет приводить к изменению силы, сдавливающей стенки коробочки. Следовательно, будет изменяться и величина их прогиба. Возникающее движение стенок коробочки при помощи механизма передастся стрелке и вызовет её сдвиг к другому делению шкалы.

На рисунке – упрощённая схема соединения коробочки со стрелкой. В действительности этот механизм гораздо сложнее. В нём есть даже нить, наматывающаяся на колесо с жёлобом, прикреплённое к стрелке.

Барометр-анероид – очень чувствительный прибор. Например, с его помощью можно заметить изменение атмосферного давления даже при подъёме на лифте жилого дома. Наблюдая за барометром, вы легко обнаружите, что его показания меняются при перемене погоды. Замечено, что перед ненастьем атмосферное давление падает, а перед ясной погодой – возрастает. Кроме того, показания барометра зависят от высоты места наблюдения над уровнем моря. Чем выше мы будем подниматься, тем меньшим будет атмосферное давление. При небольших высотах подъёма каждые 12 м атмосферное давление уменьшается на 1 мм рт. ст.

Как барометр-анероид, так и трубку Торричелли можно использовать не только как барометр, но и как вакуумметр. Так называется прибор, измеряющий давления газа, меньшие атмосферного.

На рисунке изогнутая трубка Торричелли помещена на тарелку воздушного насоса. Поскольку высота трубки гораздо меньше 76 см, то при атмосферном давлении ртуть заполняет трубку целиком (рис. «а»).

Накрыв трубку колоколом и откачивая воздух насосом, мы будем понижать давление. Через некоторое время уровень ртути начнёт понижаться, показывая, что под колоколом постепенно создаётся вакуум (рис. «б»).

---

Page 7

По телевидению или радио мы часто слышим, что атмосферное давление сегодня равно, например, 760 мм рт. ст. (читается: семьсот шестьдесят миллиметров ртутного столба).

Это число бывает и другим – немного больше или меньше. Что оно означает? Для ответа на вопрос рассмотрим опыт итальянского учёного Э.

Стеклянную трубку длиной около метра, запаянную с одного конца, наполняют доверху ртутью. Затем, плотно закрыв отверстие пальцем, трубку переворачивают и опускают в чашу со ртутью, после чего палец убирают. Ртуть из трубки начинает выливаться, но не вся: остаётся «столб» 76 см высотой, считая от уровня в чаше. Примечательно, что эта высота не зависит ни от длины трубки, ни от глубины её погружения.

Объясним этот опыт. Взгляните на нижний рисунок. На нём мы пометили жёлтым цветом небольшой слой ртути внутри трубки вблизи её отверстия. Вес вышележащих слоёв действует вниз, толкая жёлтый слой в чашу. Причина этого – действие сила тяжести.

Ртуть в чаше давит на жёлтый слой с силой, направленной вверх. Причина этого – атмосферное давление, действующее на поверхность ртути в чаше. И действительно, согласно закону Паскаля оно распространяется через ртуть в чаше внутрь трубки (на рисунке – изогнутые стрелки). Так как ртуть покоится, то выделенные курсивом силы (вес и сила давления) уравновешивают друг друга. Обозначим это как F = F.

Из определения давления, формулы p = F/S следует, что F = pS. Так как F = F, получаем равенство pS = pS. Здесь S и S – площади верхней и нижней поверхностей «жёлтого» слоя ртути, равные друг другу. Значит, равны и давления: p = p. То есть давление, создаваемое столбом ртути в трубке, равно атмосферному давлению.

Трубка Торричелли с линейкой является простейшим барометром – прибором для измерения атмосферного давления (см. рисунок).

Измерения показывают, что атмосферное давление в местностях, лежащих на уровне мирового океана, в среднем 760 мм рт.ст. Такое давление при температуре ртути 0 °С называется нормальным атмосферным давлением. Выразим его в более привычных единицах давления – паскалях:

p = r g h = 13600 кг/м · 10 Н/кг · 0,76 м 100 кПаИтак, как же понимать, что атмосферное давление равно, например, 760 мм рт. ст. или 100 кПа? Это значит, что в данный момент атмосферное давление таково, что уравновешивает давление столба ртути высотой 76 см в трубке Торричелли.

В соответствии с законом Паскаля гидростатическое давление на уровне горизонтального дна сосуда при высоте жидкости в сосуде, равной Н, (1.7) Отсюда следует, что абсолютное давление рна горизонтальное дно не зависит от формы сосуда и объема жидкости в нем. При данной плотности жидкости оно определяется лишь высотой столба жидкостиНи внешним давлениемр0.

Сила давления жидкости Р_жна дно сосуда зависит от его площадиF:

(1.8) Общая сила давления на дно сосуда (1.9) Внешнее давление р0передается жидкостью каждому элементу поверхности стенки одинаково, поэтому равнодействующая внешнего давления приложена в точке центра тяжести поверхности стенки. Давление веса жидкости на стенку не одинаково по высоте: чем глубже расположен элемент стенки, тем большее давление веса жидкости он испытывает. Поэтому центр давления жидкости на вертикальную стенку расположен всегда ниже центра тяжести смоченной поверхности стенки.

Сила полного гидростатического давления на плоскую стенку равна произведению гидростатического давления в центре тяжести этой стенки и ее площади: (1.10) где – расстояние от верхнего уровня жидкости до центра тяжести смоченной поверхности стенки; оно зависит от геометрической формы стенки.

Сила избыточного давления (собственно жидкости) Р_избна стенку Точка приложения сил РиРизбносит название центра давленияhди может быть определена в соответствии с законами теоретической механики через момент инерции смоченной поверхности стенки (1.11) где Jx– момент инерции стенки относительно осиox.

Для прямоугольной стенки при уровне жидкости в сосуде, равном Н, и ширине стенкиВ Следовательно, Применив закон Паскаля к сообщающимся сосудам, можно прийти к следующим выводам.

Если сосуды (рис. 1.4 а) заполнены однородной жидкостью (одинаковой плотности), то при равновесии давление в точке 0 может быть выражено:

либо, т.е. в сообщающихся сосудах заполняющая их однородная жидкость располагается на одинаковом уровне.

При заполнении сосудов жидкостями с различной плотностью (рис 1.4 б) в условиях равновесия давление в точке О будет либо.

Рисунок 1.4 – Сообщающиеся сосуды, заполненные жидкостью: а– одной плотности;б– разной плотности Следовательно , т.е.

. (1.12) Соотношение (1.12) указывает на то, что высоты уровней жидкости, отсчитываемые от поверхности раздела, обратно пропорциональны плотностям жидкостей.

Этот принцип используется для измерения уровня жидкости в закрытых аппаратах с помощью водомерных стёкол, в жидкостных манометрах.

Если сообщающиеся сосуды заполнены одной и той же жидкостью, но давление над уровнем жидкости в них разное – рир, то при равновесии , , откуда . (1.13) Последнее выражение используется при измерении давления или разности давлений между различными точками с помощью дифференциальных U-образных манометров.

Рисунок 1.5. – К определению высоты гидравлического затвораЭтот же принцип используется для определения высоты гидравлического затвора в аппаратах, заполненных жидкостью (рис. 1.5).

На рисунке представлен сосуд, заполненный двумя жидкостями с плотностями 1и2; уровень их раздела на глубинеz1необходимо поддерживать в процессе работы постоянным с помощью гидрозатвора, представляющего собойU-образную трубку, подсоединённую снизу (на выходе жидкости из аппарата).

В соответствии с уравнением (1.12) высота гидравлического затвора в случае одинакового давления над жидкостью внутри аппарата и на выходе из затвора . (1.14) На использовании данного уравнения гидростатики основана работа таких простейших гидравлических машин, как гидравлический пресс, мультипликатор (для повышения давления), домкрат, подъемник и др.

Рисунок 1.6 – Схема гидравлического прессаНа рис. 1.6 показана схема гидравлического пресса. Если к поршню П

, имеюшему площадь.

F

, приложена сила.

Р

, то эта сила будет передаваться на жидкость; жидкость же будет давить на поршень П.

, имеющий площадь.

F

, с силой.

Р

None (1.16) Из уравнения (1.16) следует, что при помощи пресса сила Р1увеличивается во столько раз, во сколько площадьF2больше площадиF1.

Источники:

• sfiz.ru
• questions-physics.ru
• studfiles.net