Как найти константу в интеграле

Содержание:

• Формула
• Примеры вычисления интеграла константы

Формула

Интеграл константы равен произведению этой константы на переменную интегрирования плюс постоянная интегрирования.

Этот факт получается на основании
свойств неопределенного интеграла, а именно, что константу
можно выносить за знак интеграла и знак интеграла уничтожает знак дифференциала.

Примеры вычисления интеграла константы

Читать дальше: интеграл степенной функции.

Постоянная интегрирования является дополнительным значением для вычисления первообразных или интегралов, он служит для представления решений , которые составляют примитив функции. Он выражает внутреннюю неоднозначность, когда любая функция имеет бесконечное количество примитивов.

Например, если мы возьмем функцию: f (x) = 2x + 1 и получим ее первообразную:

∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C ; Где C – постоянная интегрирования и графически представляет вертикальный переход между бесконечными возможностями примитива. Правильно сказать, что (x ² + x) – одна из примитивов f (x).

Источник: автор

Точно так же мы можем определить (x ² + x + C ) как примитив f (x).

Обратное свойство

Можно отметить, что при выводе выражения (x ² + x) получается функция f (x) = 2x + 1. Это связано с обратным свойством, существующим между выводом и интегрированием функций. Это свойство позволяет получать формулы интегрирования, начиная с дифференцирования. Это позволяет проверять интегралы через те же производные.

Источник: автор

Однако (x ² + x) – не единственная функция, производная которой равна (2x + 1).

1. d (x ² + x) / dx = 2x + 1
2. d (x ² + x + 1) / dx = 2x + 1
3. d (x ² + x + 2) / dx = 2x + 1
4. d (x ² + x + 3) / dx = 2x + 1
5. d (x ² + x + C ) / dx = 2x + 1

Где 1, 2, 3 и 4 представляют конкретные примитивы f (x) = 2x + 1. В то время как 5 представляет неопределенный или примитивный интеграл f (x) = 2x + 1.

Источник: автор

Примитивы функции достигаются с помощью антидеривации или интегрального процесса. Где F будет примитивом f, если верно следующее

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = постоянная интегрирования
• F ‘(х) = f (х)

Можно видеть, что функция имеет единственную производную, в отличие от ее бесконечных примитивов, полученных в результате интегрирования.

Неопределенный интеграл

∫ f (x) dx = F (x) + C

Он соответствует семейству кривых с одинаковым рисунком, которые испытывают несоответствие в значениях изображений каждой точки (x, y). Каждая функция, которая выполняет этот шаблон, будет отдельным примитивом, а набор всех функций известен как неопределенный интеграл.

Значение константы интегрирования будет тем, которое отличает каждую функцию на практике.

Постоянная интегрирования предполагает вертикальное смещение во всех графиках , представляющих примитивы функции. Где наблюдается параллельность между ними, и то, что C – величина смещения.

Согласно общепринятой практике, постоянная интегрирования обозначается буквой «C» после добавления, хотя на практике это не имеет значения, добавляется или вычитается константа. Его реальную стоимость можно найти разными способами при разных начальных условиях .

Другие значения постоянной интеграции

Уже обсуждалось, как постоянная интегрирования применяется в области интегрального исчисления ; Представление семейства кривых, определяющих неопределенный интеграл. Но многие другие науки и отрасли приписали очень интересные и практические значения константе интеграции, которые способствовали развитию множества исследований.

В физике постоянная интегрирования может принимать несколько значений в зависимости от характера данных. Очень распространенный пример – знание функции V (t), которая представляет скорость частицы в зависимости от времени t. Известно, что при вычислении примитива V (t) получается функция R (t), которая представляет положение частицы во времени.

Постоянная интегрирования будет представлять значение начальной позиции, то есть в момент времени Т = 0.

Таким же образом, если известна функция A (t), которая представляет ускорение частицы во времени. Примитив A (t) приведет к функции V (t), где постоянная интегрирования будет значением начальной скорости V ₀ .

В экономике : путем интегрирования примитива функции стоимости. Постоянная интегрирования будет представлять постоянные затраты. И так много других приложений, заслуживающих дифференциального и интегрального исчисления.

Как рассчитывается постоянная интегрирования?

Для расчета постоянной интегрирования всегда необходимо знать начальные условия . Которые отвечают за определение того, какой из возможных примитивов является соответствующим.

Во многих приложениях она рассматривается как независимая переменная в момент времени (t), где константа C принимает значения, которые определяют начальные условия конкретного случая.

Если взять исходный пример: ∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C

Допустимое начальное условие может заключаться в том, что график проходит через определенную координату. Например, мы знаем, что примитив (x ² + x + C) проходит через точку (1, 2)

F (х) = х ² + х + С; это общее решение

F (1) = 2

Подставим в это равенство общее решение

F (1) = (1) ² + (1) + C = 2

Отсюда легко следует, что C = 0

Таким образом, соответствующий примитив для этого случая равен F (x) = x ² + x

Есть несколько типов числовых упражнений, которые работают с константами интегрирования . Фактически, дифференциальное и интегральное исчисление не перестают применяться в современных исследованиях. Их можно найти на разных академических уровнях; от первоначального расчета, через физику, химию, биологию, экономику и другие.

Это также ценится при изучении дифференциальных уравнений , где постоянная интегрирования может принимать разные значения и решения, это связано с множественными выводами и интегрированиями, которые выполняются в этом вопросе.

Примеры

Пример 1

1. Пушка высотой 30 метров стреляет вертикально вверх. Известно, что начальная скорость снаряда составляет 25 м / с. Решать:

• Функция, определяющая положение снаряда по времени.
• Время полета или момент времени, когда частица падает на землю.

Известно, что при прямолинейном движении, равномерно изменяющемся, ускорение является постоянной величиной. Это случай запуска снаряда, где ускорение будет равным гравитации.

g = – 10 м / с ²

Также известно, что ускорение – это вторая производная от положения, что указывает на двойное интегрирование в разрешающей способности упражнения, таким образом получая две константы интегрирования.

А (т) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

Исходные условия упражнения указывают, что начальная скорость V ₀ = 25 м / с. Это скорость в момент времени t = 0. Таким образом выполняется следующее:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ и C ₁ = 25

С определенной функцией скорости

V (t) = -10t + 25; Сходство можно наблюдать с формулой MRUV (V _f = V ₀ + axt)

Аналогичным образом функция скорости интегрируется, чтобы получить выражение, определяющее положение:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t ² + 25t + C ₂

R (t) = -5t ² + 25t + C ₂ (примитив позиции)

Начальное положение R (0) = 30 м известно. Затем вычисляется конкретный примитив снаряда.

R (0) = 30m = -5 (0) ² + 25 (0) + C ₂ . Где C ₂ = 30

Пример 2

1. Найдите примитив f (x), удовлетворяющий начальным условиям:

• f ” (x) = 4; f ‘(2) = 2; f (0) = 7

При информации о второй производной f ” (x) = 4 начинается процесс антидеривации

f ‘(x) = ∫f’ ‘(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

Затем, зная условие f ‘(2) = 2, переходим:

4 (2) + С ₁ = 2

C ₁ = -6 и f ‘(x) = 4x – 8

Таким же образом поступаем и со второй постоянной интегрирования

f (x) = ∫f ‘(x) dx
∫ (4x – 8) dx = 2x ² – 8x + C ₂

Начальное условие f (0) = 7 известно и приступаем:

2 (0) ² – 8 (0) + С ₂ = 7

C ₂ = 7 и f (x) = 2x ² – 8x + 7

• f ” (х) = х ² ; f ‘(0) = 6; f (0) = 3

Аналогично предыдущей задаче мы определяем первые производные и исходную функцию из начальных условий.

f ‘(x) = ∫f’ ‘(x) dx

∫ (х ² ) ах = (х ³ /3) + С ₁

При условии f ‘(0) = 6 поступаем:

(0 ^3/3 ) + C ₁ = 6; Где C ₁ = 6 и Р «(х) = (х ³ /3) + 6

Тогда вторая постоянная интегрирования

f (x) = ∫f ‘(x) dx

∫ дх = (х ⁴ /12) + 6x + С ₂

Начальное условие f (0) = 3 известно и приступаем:

+ 6 (0) + C ₂ = 3; Где C ₂ = 3

Таким образом, мы получаем примитивное частное

F (X) = (х ⁴ /12) + 6x + 3

Пример 3

1. Определите примитивные функции с учетом производных и точки на графике:

• dy / dx = 2x – 2, который проходит через точку (3, 2)

Важно помнить, что производные относятся к наклону касательной к кривой в данной точке. Где некорректно предполагать, что график производной касается указанной точки, поскольку она принадлежит графику примитивной функции.

Таким образом, мы выражаем дифференциальное уравнение следующим образом:

∫dy = ∫ (2x – 2) dx

Применение начального условия:

2 = (3) ² – 2 (3) + С

С = -1

Получается: f (x) = x ² – 2x – 1

• dy / dx = 3x ² – 1, который проходит через точку (0, 2)

Выразим дифференциальное уравнение следующим образом:

Применение начального условия:

2 = (0) ² – 2 (0) + C

С = 2

Получаем: f (x) = x ³ – x + 2

Предлагаемые упражнения

Упражнение 1

1. Найдите примитив f (x), удовлетворяющий начальным условиям:

• f ” (х) = х; f ‘(3) = 1; f (2) = 5
• е ” (х) = х + 1; f ‘(2) = 2; f (0) = 1
• f ” (x) = 1; f ‘(2) = 3; f (1) = 10
• е ” (х) = -х; f ‘(5) = 1; f (1) = -8

Упражнение 2.

1. Воздушный шар, поднимающийся со скоростью 16 футов / с, сбрасывает мешок с песком с высоты 64 футов над уровнем земли.

• Определите время полета
• Каким будет вектор V _f, когда он упадет на землю?

Упражнение 3.

1. На рисунке показан график ускорения-времени автомобиля, движущегося в положительном направлении оси x. Автомобиль двигался с постоянной скоростью 54 км / ч, когда водитель нажал на тормоза и остановился за 10 секунд. Определение:

• Начальный разгон автомобиля
• Скорость автомобиля при t = 5с
• Смещение автомобиля при торможении

Источник: автор

Упражнение 4.

1. Определите примитивные функции с учетом производных и точки на графике:

• dy / dx = x, который проходит через точку (-1, 4)
• dy / dx = -x ² + 1, который проходит через точку (0, 0)
• dy / dx = -x + 1, который проходит через точку (-2, 2)

Ссылки

1. Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл и методы интегрирования. Уилсон, Веласкес Бастидас. Университет Магдалены 2014
2. Стюарт, Дж. (2001). Расчет переменной. Ранние трансцендентальные. Мексика: Thomson Learning.
3. Хименес, Р. (2011). Математика VI. Интегральное исчисление. Мексика: Pearson Education.
4. Физика И. Мак Гроу Хилл

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 30 сентября 2022 года; проверки требует 1 правка.

В математическом анализе неопределенный интеграл от заданной функции (то есть множества всех первообразных функции) в связанной области определяется только с точностью до аддитивной постоянной константы интегрирования. Эта константа выражает неоднозначность, присущую при взятии первообразных. определена на интервале, и является первообразной , тогда множество всех первообразных от задается функциями , где C — произвольная постоянная (это означает, что любое значение для C делает действительной первообразную). Для простоты константа интегрирования в списках интегралов иногда опускается.

Происхождение[править | править код]

Производная любой постоянной функции равна нулю. Если для функции найдена одна первообразная , то добавление или вычитание любой константы C даст нам ещё одну первообразную, поскольку . Константа — это способ выражения того, что каждая функция с хотя бы одной первообразной имеет бесконечное число из них.

Пусть , и это две повсеместно дифференцируемые функции. Предположим, что для каждого действительного числа x. Тогда существует действительное число C такое, что для каждого действительного числа x. Чтобы доказать это, обратите внимание, что . Таким образом, F можно заменить на F-G и G на постоянную функцию 0, чтобы доказать, что везде дифференцируемая функция, производная которой всегда равна нулю, должна быть постоянной: . Для любого x из основной теоремы Математического анализа, вместе с предположением, что производная от F обращается в нуль, означает, что

следовательно, F постоянная функция.

Два факта имеют решающее значение в этом доказательстве. Во-первых, настоящая линия связана. Если бы действительная линия не была связана, мы не всегда могли бы интегрировать от нашего фиксированного a до любого данного x. Например, если бы мы взяли функции, определённые для объединения интервалов [0,1] и [2,3], и если бы a было 0, то было бы невозможно интегрировать от 0 до 3, потому что функция не определено между 1 и 2. Здесь будут две константы, по одной для каждого подключенного компонента домена. В общем случае, заменяя константы локально постоянными функциями, мы можем распространить эту теорему на несвязные области. Например, есть две константы интеграции для и бесконечно много для так, например, общая форма для интеграла 1/х:

Во-вторых, предполагалось, что F и G всюду дифференцируемы. Если F и G не дифференцируемы хотя бы в одной точке, теорема не выполняется. В качестве примера, давайте будет функцией Хевисайда, которая равна нулю для отрицательных значений x и единице для неотрицательных значений x, и пусть Тогда производная от F равна нулю там, где она определена, а производная от G всегда равна нулю. Тем не менее ясно, что F и G не отличаются постоянной величиной. Даже если предположить, что F и G всюду непрерывны и почти всюду дифференцируемы, теорема все ещё не выполняется. В качестве примера возьмем F в качестве функции Кантора и снова пусть G = 0.

Например, предположим, что кто-то хочет найти первообразные . Одна такая первообразная это . Другая — Третья — . Каждая из них имеет производную , поэтому они все являются первообразными от
Оказывается, что сложение и вычитание констант — это единственная гибкость, которую мы имеем при поиске различных первообразных одной и той же функции. То есть все первообразные одинаковые с точностью до константы. Чтобы выразить этот факт для cos(x), мы пишем:

Замена С на число произведет первообразную. Однако, написав C вместо числа, получается компактное описание всех возможных первообразных cos(x). C называется константой интегрирования. Легко определить, что все эти функции действительно являются производными от

Необходимость[править | править код]

На первый взгляд может показаться, что константа не нужна, поскольку её можно обнулить. Кроме того, при оценке определённых интегралов с использованием фундаментальной теоремы математического анализа постоянная всегда будет аннулироваться сама собой. Однако попытка установить константу равной нулю не всегда имеет смысл. Например, может быть интегрирован как минимум тремя различными способами:

Таким образом, обнуление C все ещё может оставить константу. Это означает, что для данной функции не существует «Простейшей Первообразной».

Другая проблема с установкой C равным нулю состоит в том, что иногда мы хотим найти первообразные, которые имеют заданное значение в данной точке (как в задаче с начальным значением). Например, чтобы получить первообразную которая имеет значение 100 при x = π, тогда будет работать только одно значение C (в этом случае C = 100).

Это ограничение можно перефразировать на языке дифференциальных уравнений. Нахождение неопределенного интеграла функции это то же самое, что решение дифференциального уравнения Любое дифференциальное уравнение будет иметь много решений, и каждая константа представляет собой единственное решение правильно поставленной задачи начального значения. Наложение условия, что наша первообразная значение принимает значение 100 при x = π, является начальным условием. Каждое начальное условие соответствует одному и только одному значению C, поэтому без C было бы невозможно решить проблему.

Есть ещё одно обоснование, исходя из абстрактной алгебры. Пространство всех (подходящих) вещественных функций на действительных числах является векторным пространством, а дифференциальный оператор это линейный оператор. Оператор отображает функцию, равную нулю, если и только если эта функция постоянна. Следовательно, ядро пространство всех постоянных функций. Процесс неопределенной интеграции сводится к нахождению прообраза данной функции. Для данной функции нет канонического прообраза, но множество всех таких прообразов образует смежный класс. Выбор константы аналогичен выбору элемента смежного класса. В этом контексте решение проблемы начальных значений интерпретируется как лежащий в гиперплоскости, заданной начальными условиями.

Физический смысл[править | править код]

Рассмотрим некоторые примеры.

• Тело падает с пятого этажа дома на землю, пролетая некоторое расстояние. Затем то же самое тело падает с девятого этажа на балкон пятого и пролетает то же самое расстояние, несмотря на разницу начального положения. Изменением силы тяжести на высоте дома пренебрегаем. В данном примере постоянная интегрирования задаёт начальное положение тела (номер этажа).

• Автомобиль едет по прямой трассе с некоторой переменной скоростью. Если в начале движения переставить автомобиль в другое место трассы, он проедет тот же путь.

• Лошадь везёт сани по ровному полю. Независимо от того, в каком месте поля находится лошадь, она проделает одинаковую работу по перетаскиванию саней (расстояние, пройденное лошадью, должно быть одинаково).

• Вода выливается из цилиндрического сосуда через отверстие в дне. Уровень в сосуде понижается на 10 см. Независимо от того, до какого уровня сосуд был наполнен изначально, одинаковый объём истекшей воды понижает уровень на 10 см.

• Напряжение на конденсаторе меняется от 1 вольта до 0 вольт. Затем напряжение на том же конденсаторе меняется от 1000 вольт до 999 вольт. В обоих случаях прошедший через конденсатор заряд одинаков.

• Тело остывает с 1°С до 0°С. То же тело остывает с 1000°С до 999°С. Если пренебречь зависимостью теплоемкости от температуры, то тело в обоих случаях теряет одинаковое количество тепла.

• Известна шуточная школьная загадка, хорошо иллюстрирующая обсуждаемый предмет: Буратино дал Папе Карло два яблока, а Мальвине три. Сколько яблок было у Буратино? Ответ “пять” неверен. У Буратино изначально мог быть десяток яблок (или несколько десятков). Тогда ответ – пятнадцать, или какой угодно другой, зависящий от начальных условий.

Литература[править | править код]

• Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5.
• Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (9th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4.
• «Reader Survey: log|x| + C», Tom Leinster, The n-category Café, March 19, 2012\\\\\\\
• Banner, Adrian (2007). The calculus lifesaver : all the tools you need to excel at calculus. Princeton [u.a.]: Princeton University Press. p. 380. ISBN 978-0-691-1308

Содержание

• Обратное свойство
• Неопределенный интеграл
• Другие значения постоянной интеграции
• Как рассчитывается постоянная интегрирования?
• Примеры
• Пример 1
• Пример 2
• Пример 3
• Предлагаемые упражнения
• Упражнение 1
• Упражнение 2.
• Упражнение 3.
• Упражнение 4.
• Ссылки

В постоянная интеграции Это дополнительная ценность для вычисления первообразных или интегралов, она служит для представления решений, составляющих примитив функции. Он выражает внутреннюю неоднозначность, когда любая функция имеет бесконечное количество примитивов.

Например, если мы возьмем функцию: f (x) = 2x + 1 и получим ее первообразную:

∫ (2x + 1) dx = х² + х + C ; куда C это постоянная интеграции и графически представляет вертикальный переход между бесконечными возможностями примитива. Правильно сказать, что (x² + x) есть а примитивов f (x).

Таким же образом вы можете определить (x² + х + C ) как примитив f (x).

Обратное свойство

Можно отметить, что при выводе выражения (x² + x), мы получаем функцию f (x) = 2x + 1. Это связано с обратным свойством, существующим между выводом и интегрированием функций. Это свойство позволяет получать формулы интегрирования, начиная с дифференцирования. Это позволяет проверять интегралы через те же производные.

Однако (x² + x) – не единственная функция, производная которой равна (2x + 1).

1. d (Икс² + х) / dx = 2x + 1
2. d (Икс² + х + 1) / dx = 2x + 1
3. d (Икс² + х + 2) / dx = 2x + 1
4. d (Икс² + х + 3) / dx = 2x + 1
5. d (Икс² + х + C) / dx = 2x + 1

Где 1, 2, 3 и 4 представляют конкретные примитивы f (x) = 2x + 1. В то время как 5 представляет неопределенный или примитивный интеграл f (x) = 2x + 1.

Примитивы функции получаются посредством первичного или интегрального процесса. Где F будет примитивом f, если верно следующее

• у = ∫ f (x) dx= F (х) + С; C = постоянная интеграции
• F ’(x) = f (x)

Можно видеть, что функция имеет единственную производную, в отличие от ее бесконечных примитивов, полученных в результате интегрирования.

Неопределенный интеграл

  ∫ f (x) dx = F (x) + C

Он соответствует семейству кривых с одинаковым рисунком, которые испытывают несоответствие в значениях изображений каждой точки (x, y). Каждая функция, отвечающая этому шаблону, будет отдельным примитивом, а набор всех функций известен как неопределенный интеграл.

Ценность постоянная интеграции именно он отличает каждую функцию на практике.

В постоянная интеграции предлагает вертикальный сдвиг на всех графиках, которые представляют примитивы функции. Где наблюдается параллелизм между ними, и то, что C это значение смещения.

Согласно общепринятой практике постоянная интеграции он обозначается буквой «C» после добавления, хотя на практике не имеет значения, добавляется или вычитается константа. Его реальную ценность можно найти разными способами в зависимости от первоначальные условия.

Другие значения постоянной интеграции

Уже говорилось о том, как постоянная интеграции применяется в отрасли интегральное исчисление; Представление семейства кривых, определяющих неопределенный интеграл. Но многие другие науки и отрасли приписывают очень интересные и практические ценности постоянная интегрирования, которые способствовали развитию множества исследований.

в физический константа интегрирования может принимать несколько значений в зависимости от характера данных. Очень распространенный пример – знание функции V (т) который представляет собой скорость частицы в зависимости от времени t. Известно, что при вычислении примитива V (t) функция получается R (t) который представляет собой позиция частицы против времени.

В постоянная интеграции он будет представлять значение начальной позиции, то есть в момент t = 0.

Аналогично, если функция известна В) который представляет собой ускорение частицы против времени. Примитив A (t) приведет к функции V (t), где постоянная интеграции будет значением начальной скорости V₀.

в экономия, получая посредством интегрирования примитив функции стоимости. В постоянная интеграции будут представлять собой постоянные затраты. И так много других приложений, заслуживающих дифференциального и интегрального исчисления.

Как рассчитывается постоянная интегрирования?

Для расчета постоянная интегрирования, всегда будет необходимо знать первоначальные условия. Которые отвечают за определение того, какой из возможных примитивов является соответствующим.

Во многих приложениях он рассматривается как независимая переменная в момент времени (t), где постоянная C принимает значения, которые определяют первоначальные условия конкретного случая.

Если взять исходный пример: ∫ (2x + 1) dx = x² + х + C

Допустимое начальное условие может заключаться в том, что график проходит через определенную координату. Например, известно, что примитив (x² + х + C) проходит через точку (1, 2)

F (х) = х² + х + C; это общее решение

F (1) = 2

Подставим в это равенство общее решение

F (1) = (1)² + (1) + С = 2

Отсюда легко следует, что C = 0

Таким образом, соответствующий примитив для этого случая есть F (х) = х² + х

Есть несколько типов числовых упражнений, которые работают с константы интегрирования. Фактически, дифференциальное и интегральное исчисление не перестают применяться в современных исследованиях. Их можно найти на разных академических уровнях; от первоначального расчета, через физику, химию, биологию, экономику и другие.

Это также видно при изучении дифференциальные уравнения, где постоянная интеграции Он может принимать разные значения и решения, это связано с многочисленными производными и интеграциями, которые выполняются в этом вопросе.

Примеры

Пример 1

1. Пушка высотой 30 метров стреляет вертикально вверх. Известно, что начальная скорость снаряда составляет 25 м / с. Принимать решение:

• Функция, определяющая положение снаряда по времени.
• Время полета или момент, когда частица падает на землю.

Известно, что при прямолинейном движении, равномерно изменяющемся, ускорение является постоянной величиной. Это случай запуска снаряда, где ускорение будет равным гравитации.

g = – 10 м / с²

Также известно, что ускорение – это вторая производная от положения, что указывает на двойное интегрирование в разрешении упражнения, таким образом, получая два константы интегрирования.

А (т) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C₁

Начальные условия упражнения указывают на то, что начальная скорость равна V₀ = 25 м / с. Это скорость в момент времени t = 0. Таким образом выполняется следующее:

V (0) = 25 = -10 (0) + C₁   Y C₁= 25

С определенной функцией скорости

V (t) = -10t + 25; Сходство с формулой MRUV (V_F = V₀ + а х т)

Аналогичным образом мы продолжаем интегрировать функцию скорости, чтобы получить выражение, определяющее положение:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t² + 25т + C₂

R (t) = -5t² + 25т + C₂ (примитив позиции)

Начальное положение R (0) = 30 м известно. Затем вычисляется конкретный примитив снаряда.

R (0) = 30 м = -5 (0)² + 25(0) + C₂ . куда C₂ = 30

Первый раздел разрешен, так как R (t) = -5t² + 25т + 30 ; Это выражение гомологично формуле смещения в MRUV R (t) = R₀ + V₀т – гт²/2

Для второго раздела необходимо решить квадратное уравнение: -5t² + 25т + 30 = 0

Поскольку это заставляет частицу достигнуть земли (позиция = 0)

Фактически, уравнение 2-й степени дает нам 2 решения T: {6, -1}. Значение t = -1 игнорируется, потому что это единицы времени, домен которых не включает отрицательные числа.

Таким образом решается второй участок, где время полета равно 6 секундам.

Пример 2

1. Найдите примитив f (x), удовлетворяющий начальным условиям:

• f ” (x) = 4; f ‘(2) = 2; f (0) = 7

Когда информация о второй производной f ’’ (x) = 4, начинается процесс антидеривации.

f ’(x) = ∫f’ ’(x) dx

∫4 dx = 4x + C₁

Затем, зная условие f ‘(2) = 2, переходим:

4 (2) + С₁ = 2

C₁ = -6 и f ’(x) = 4x – 8

Проделайте то же самое для второго постоянная интеграции

f (x) = ∫f ’(x) dx
∫ (4x – 8) dx = 2x² – 8x + С₂

Начальное условие f (0) = 7 известно и приступаем:

2(0)² – 8 (0) + С₂ = 7

C₂ = 7 и f (x) = 2x² – 8x + 7

• f ’’ (x) = x² ; f ‘(0) = 6; f (0) = 3

Аналогично предыдущей задаче мы определяем первые производные и исходную функцию из начальных условий.

f ’(x) = ∫f’ ’(x) dx

∫ (х²) dx = (x³/ 3) + С₁

При условии f ‘(0) = 6 переходим:

( 0³/ 3) + С₁ = 6; куда₁ = 6 и f ’(x) = (x³/3 ) + 6

Затем второй постоянная интеграции

f (x) = ∫f ’(x) dx

∫ [(x³/ 3) + 6] dx = (x⁴/ 12) + 6x + С₂

Начальное условие f (0) = 3 известно и приступаем:

[(0)⁴/ 12] + 6 (0) + C₂ = 3; куда₂ = 3

Таким образом, мы получаем примитивное частное

f (x) = (Икс⁴/ 12) + 6x + 3

Пример 3

1. Определите примитивные функции с учетом производных и точки на графике:

• dy / dx = 2x – 2, который проходит через точку (3, 2)

Важно помнить, что производные относятся к наклону линии, касательной к кривой в данной точке. Где некорректно предполагать, что график производной касается указанной точки, поскольку она принадлежит графику примитивной функции.

Таким образом, мы выражаем дифференциальное уравнение следующим образом:

dy = (2х – 2) дх ; тогда при применении критериев предотвращения вывода мы имеем:

∫dy = ∫ (2x – 2) dx

у = х² – 2x + C

Применение начального условия:

2 = (3)² – 2 (3) + С

С = -1

Получается: f (х) = х² – 2х – 1

• dy / dx = 3x² – 1, который проходит через точку (0, 2)

Выразим дифференциальное уравнение следующим образом:

dy = (3x² – 1) дх ; тогда при применении критериев предотвращения вывода мы имеем:

∫dy = ∫ (3x² – 1) дх 

у = х³ – х + С

Применение начального условия:

2 = (0)² – 2 (0) + С

С = 2

Получается: f (х) = х³ – х + 2

Предлагаемые упражнения

Упражнение 1

1. Найдите примитив f (x), удовлетворяющий начальным условиям:

• f ” (х) = х; f ‘(3) = 1; f (2) = 5
• е ” (х) = х + 1; f ‘(2) = 2; f (0) = 1
• f ” (x) = 1; f ‘(2) = 3; f (1) = 10
• е ” (х) = -х; f ‘(5) = 1; f (1) = -8

Упражнение 2.

1. Воздушный шар, поднимающийся со скоростью 16 футов / с, сбрасывает мешок с песком с высоты 64 футов над уровнем земли.

• Определите время полета
• Что будет вектор V_F когда я упаду на пол?

Упражнение 3.

1. На рисунке показан график ускорения-времени автомобиля, движущегося в положительном направлении оси x. Автомобиль двигался с постоянной скоростью 54 км / ч, когда водитель нажал на тормоза и остановился за 10 секунд. Определите:

• Начальный разгон автомобиля
• Скорость автомобиля при t = 5с
• Смещение автомобиля при торможении

Упражнение 4.

1. Определите примитивные функции с учетом производных и точки на графике:

• dy / dx = x, проходящий через точку (-1, 4)
• dy / dx = -x² +1, который проходит через точку (0, 0)
• dy / dx = -x + 1, который проходит через точку (-2, 2)

Ссылки

1. Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл и методы интегрирования. Уилсон, Веласкес Бастидас. Университет Магдалены 2014
2. Стюарт, Дж. (2001). Расчет переменной. Ранние трансцендентальные. Мексика: Thomson Learning.
3. Хименес, Р. (2011). Математика VI. Интегральное исчисление. Мексика: Pearson Education.
4. Физика И. Мак Гроу Хилл

From Wikipedia, the free encyclopedia

In calculus, the constant of integration, often denoted by (or ), is a constant term added to an antiderivative of a function to indicate that the indefinite integral of (i.e., the set of all antiderivatives of ), on a connected domain, is only defined up to an additive constant.^[1][2][3] This constant expresses an ambiguity inherent in the construction of antiderivatives.

More specifically, if a function is defined on an interval, and is an antiderivative of , then the set of all antiderivatives of is given by the functions , where is an arbitrary constant (meaning that any value of would make a valid antiderivative). For that reason, the indefinite integral is often written as ,^[4] although the constant of integration might be sometimes omitted in lists of integrals for simplicity.

Origin[edit]

The derivative of any constant function is zero. Once one has found one antiderivative for a function , adding or subtracting any constant will give us another antiderivative, because . The constant is a way of expressing that every function with at least one antiderivative will have an infinite number of them.

Let and be two everywhere differentiable functions. Suppose that for every real number x. Then there exists a real number such that for every real number x.

To prove this, notice that . So can be replaced by , and by the constant function , making the goal to prove that an everywhere differentiable function whose derivative is always zero must be constant:

Choose a real number , and let . For any x, the fundamental theorem of calculus, together with the assumption that the derivative of vanishes, implying that

thereby showing that is a constant function.

Two facts are crucial in this proof. First, the real line is connected. If the real line were not connected, we would not always be able to integrate from our fixed a to any given x. For example, if we were to ask for functions defined on the union of intervals [0,1] and [2,3], and if a were 0, then it would not be possible to integrate from 0 to 3, because the function is not defined between 1 and 2. Here, there will be two constants, one for each connected component of the domain. In general, by replacing constants with locally constant functions, we can extend this theorem to disconnected domains. For example, there are two constants of integration for , and infinitely many for , so for example, the general form for the integral of 1/x is:^[5][6]

Second, and were assumed to be everywhere differentiable. If and are not differentiable at even one point, then the theorem might fail. As an example, let be the Heaviside step function, which is zero for negative values of x and one for non-negative values of x, and let . Then the derivative of is zero where it is defined, and the derivative of is always zero. Yet it’s clear that and do not differ by a constant, even if it is assumed that and are everywhere continuous and almost everywhere differentiable the theorem still fails. As an example, take to be the Cantor function and again let .

For example, suppose one wants to find antiderivatives of . One such antiderivative is . Another one is . A third is . Each of these has derivative , so they are all antiderivatives of .

It turns out that adding and subtracting constants is the only flexibility we have in finding different antiderivatives of the same function. That is, all antiderivatives are the same up to a constant. To express this fact for , we write:

Replacing by a number will produce an antiderivative. By writing instead of a number, however, a compact description of all the possible antiderivatives of is obtained. is called the constant of integration. It is easily determined that all of these functions are indeed antiderivatives of :

Necessity[edit]

At first glance, it may seem that the constant is unnecessary, since it can be set to zero. Furthermore, when evaluating definite integrals using the fundamental theorem of calculus, the constant will always cancel with itself.

However, trying to set the constant to zero does not always make sense. For example, can be integrated in at least three different ways:

So setting to zero can still leave a constant. This means that, for a given function, there is not necessarily any “simplest antiderivative”.

Another problem with setting equal to zero is that sometimes we want to find an antiderivative that has a given value at a given point (as in an initial value problem). For example, to obtain the antiderivative of that has the value 100 at x = π, then only one value of will work (in this case ).

This restriction can be rephrased in the language of differential equations. Finding an indefinite integral of a function is the same as solving the differential equation . Any differential equation will have many solutions, and each constant represents the unique solution of a well-posed initial value problem. Imposing the condition that our antiderivative takes the value 100 at x = π is an initial condition. Each initial condition corresponds to one and only one value of , so without it would be impossible to solve the problem.

There is another justification, coming from abstract algebra. The space of all (suitable) real-valued functions on the real numbers is a vector space, and the differential operator is a linear operator. The operator maps a function to zero if and only if that function is constant. Consequently, the kernel of is the space of all constant functions. The process of indefinite integration amounts to finding a pre-image of a given function. There is no canonical pre-image for a given function, but the set of all such pre-images forms a coset. Choosing a constant is the same as choosing an element of the coset. In this context, solving an initial value problem is interpreted as lying in the hyperplane given by the initial conditions.

References[edit]