Как найти константу в математике

Математическая константа или математическая постоянная — величина, значение которой не меняется; в этом она противоположна переменной. В отличие от физических постоянных, математические постоянные определены независимо от каких бы то ни было физических измерений.

Некоторые избранные постоянные[править | править код]

Использованные сокращения: И — иррациональное число, А — алгебраическое число, Т — трансцендентное число, ? — неизвестно; мат — обычная математика, ТЧ — теория чисел, ТХ — теория хаоса, комб — комбинаторика, АИТ — алгоритмическая теория информации.

Символ	Приближенное значение	Название	Область	Значение	Впервые описана	Число известных знаков
	≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88	пи, архимедова константа	мат	Т, И	до 2600 до н. э. (Месопотамия, Египет)	100 000 000 000 000[1][2]
	≈ 6,283 185 307 179 586	тау (2π)	мат	Т
e	≈ 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 50	константа Непера, число Эйлера, основание натурального логарифма	мат	Т	1618	8 000 000 000 000
	≈ 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 08	константа Пифагора, квадратный корень из 2	мат	А, И	до 1800 до н. э.	10 000 000 000 000
	≈ 1,732 050 807 568 877 293 527 446 341 505 872 37	константа Феодора, квадратный корень из 3	мат	А, И	до 800 до н. э.	2 000 000 000 000
γ	≈ 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 43	постоянная Эйлера — Маскерони	мат, ТЧ	?	1735	108 000 000
φ	≈ 1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 12	золотое сечение	мат	А, И	ок. 300 до н. э.	3 141 000 000
β*	≈ 0,702 58	константа Эмбри — Трефетена	ТЧ
δ	≈ 4,669 201 609 102 990 671 853 203 820 466 201 61	постоянная Фейгенбаума	ТХ		1975
α	≈ 2,502 907 875 095 892 822 283 902 873 218 215 78	константа Фейгенбаума	ТХ		1975
C2	≈ 0,643 410 546 29	Константа Каэна	ТЧ	Т
C2	≈ 0,660 161 815 846 869 573 927 812 110 014 555 77	константа простых близнецов	ТЧ			5 020
M1	≈ 0,261 497 212 847 642 783 755 426 838 608 695 85	константа Майсселя — Мертенса	ТЧ		1866; 1874	8010
B2	≈ 1,902 160 583 104[3]	константа Бруна для простых близнецов	ТЧ		1919	10
B4	≈ 0,870 588 380 0	константа Бруна для простых четвёрок	ТЧ
	≈ 0,662 743 419 349 181 580 974 742 097 109 252 90	предел Лапласа	мат
G	≈ 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 11	постоянная Каталана	комб			31 026 000 000
Λ	0.22 ≥ Λ ≥ 0[4]	константа де Брёйна — Ньюмана	ТЧ		1950, 1976	0
K	≈ 0,764 223 653 589 220 66	константа Ландау — Рамануджана	ТЧ	И (?)		30 010
K	≈ 1,131 988 24	константа Висваната	ТЧ			16
K0	≈ 2,685 452 001 065	постоянная Хинчина	ТЧ		1934
J	≈ 3,058 198 247 456 354 132 564 564 787 888 767…	константа Поля — Гаусса	ТЧ			10343
B´L	1 (первоначальная гипотеза 1,08366[5])	константа Лежандра	ТЧ	Ц	1808	точное значение
λ	≈ 0,624 329 988 543 550 870 992 936	Постоянная Голомба — Дикмана	ТЧ
μ	≈ 1,451 369 234 883 381 050 283 968 485 892 027	константа Рамануджана — Солднера	ТЧ			75 500
E’B	≈ 1,606 695 152 415 291 763	константа Эрдёша — Борвейна	ТЧ	И
Ω	≈ 0,007 874 996 997 812 384 4	константа Хайтина	АИТ	Т
ζ(3)	≈ 1,202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 99	постоянная Апери	ТЧ	И	1735	100 000 001 000
ɯ	≈ 0,739 085 133 215 160 641 655 312 087 673 873 40	число Дотти	ТХ
A	≈ 1,282 427 129 100 622 636 875 342 568 869 791 73	постоянная Глейшера — Кинкелина	ТЧ		1860
θ, A	≈ 1,306 377 883 863 080 690 468 614 492 6	Константа Миллса	ТЧ		1947	6850
ρ	≈ 1,324 717 957 244 746 025 960 908 854 478	Пластическое число	ТЧ	А, И	1928

См. также[править | править код]

• Постоянная
• Число

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Steven R. Finch, Mathematical Constants. Cambridge, 2003 (ISBN 0-521-81805-2)

Ссылки[править | править код]

• Mathematical Constants — страница Стивена Финча

В математике существуют как переменные величины, так и постоянные. Математические постоянные или константы – это величины, значение которых остается неизменным. 

Сегодня мы взяли как базовые школьные константы, знакомые каждому школьнику, так и те, с которыми студенты знакомятся уже в университете. 

1) Число Пи или Архимедово число – математическая константа, выражающая отношение длины окружности к ее диаметру. Число является иррациональным  и не может быть выражено с помощью рациональной дроби.
Обозначение: π

Значение: ≈ 3,1416 

2) Число Эйлера – математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное трансцендентное число. Число Эйлера играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также во многих других разделах математики.
Обозначение: е

Значение:≈ 2,7183 

3)Число Фидия или золотое сечение и золотая пропорция – это  правило пропорции.

Эта пропорция определяется так: “меньшая часть относится к большей, как большая ко всему целому “.
В математике золотое сечение называют «асимметричной симметрией». Число золотого сечения получило “имя” древнегреческого архитектора Фидия.
Обозначение: φ

Значение: 1,618 

4) Константа Пифагора или корень квадратный из двух – это вещественное положительное число, которое при умножении само на себя дает число 2. Это первое известное иррациональное число в истории математики: его нельзя точно представить в виде дроби.
Обозначение: С

Значение: ≈ 1,4142

5) Постоянная Апери – это вещественное число, которое равно сумме обратных к кубам целых положительных чисел. Названа константа в честь Апери, который доказал в 1978 году, что число является иррациональным.
Обозначение: ζ ( 3 )

Значение: ≈1,202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 990 764 986 292 …

A mathematical constant is a key number whose value is fixed by an unambiguous definition, often referred to by a special symbol (e.g., an alphabet letter), or by mathematicians’ names to facilitate using it across multiple mathematical problems.^[1] Constants arise in many areas of mathematics, with constants such as e and π occurring in such diverse contexts as geometry, number theory, statistics, and calculus.

Some constants arise naturally by a fundamental principle or intrinsic property, such as the ratio between the circumference and diameter of a circle (π). Other constants are notable more for historical reasons than for their mathematical properties. The more popular constants have been studied throughout the ages and computed to many decimal places.

All named mathematical constants are definable numbers, and usually are also computable numbers (Chaitin’s constant being a significant exception).

Basic mathematical constants[edit]

These are constants which one is likely to encounter during pre-college education in many countries.

Archimedes’ constant π[edit]

Main article: Pi

The constant π (pi) has a natural definition in Euclidean geometry as the ratio between the circumference and diameter of a circle. It may be found in many other places in mathematics: for example, the Gaussian integral, the complex roots of unity, and Cauchy distributions in probability. However, its ubiquity is not limited to pure mathematics. It appears in many formulas in physics, and several physical constants are most naturally defined with π or its reciprocal factored out. For example, the ground state wave function of the hydrogen atom is

where is the Bohr radius.

π is an irrational number and a transcendental number.

The numeric value of π is approximately 3.1415926536 (sequence A000796 in the OEIS). Memorizing increasingly precise digits of π is a world record pursuit.

The imaginary unit i[edit]

The imaginary unit or unit imaginary number, denoted as i, is a mathematical concept which extends the real number system to the complex number system The imaginary unit’s core property is that i² = −1. The term “imaginary” was coined because there is no (real) number having a negative square.

There are in fact two complex square roots of −1, namely i and −i, just as there are two complex square roots of every other real number (except zero, which has one double square root).

In contexts where the symbol i is ambiguous or problematic, j or the Greek iota (ι) is sometimes used. This is in particular the case in electrical engineering and control systems engineering, where the imaginary unit is often denoted by j, because i is commonly used to denote electric current.

Euler’s number e[edit]

Euler’s number e, also known as the exponential growth constant, appears in many areas of mathematics, and one possible definition of it is the value of the following expression:

The constant e is intrinsically related to the exponential function .

The Swiss mathematician Jacob Bernoulli discovered that e arises in compound interest: If an account starts at $1, and yields interest at annual rate R, then as the number of compounding periods per year tends to infinity (a situation known as continuous compounding), the amount of money at the end of the year will approach e^R dollars.

The constant e also has applications to probability theory, where it arises in a way not obviously related to exponential growth. As an example, suppose that a slot machine with a one in n probability of winning is played n times, then for large n (e.g., one million), the probability that nothing will be won will tend to 1/e as n tends to infinity.

Another application of e, discovered in part by Jacob Bernoulli along with French mathematician Pierre Raymond de Montmort, is in the problem of derangements, also known as the hat check problem.^[2] Here, n guests are invited to a party, and at the door each guest checks his hat with the butler, who then places them into labelled boxes. The butler does not know the name of the guests, and hence must put them into boxes selected at random. The problem of de Montmort is: what is the probability that none of the hats gets put into the right box. The answer is

which, as n tends to infinity, approaches 1/e.

e is an irrational number.

The numeric value of e is approximately 2.7182818284 (sequence A001113 in the OEIS).

Pythagoras’ constant √2[edit]

The square root of 2, often known as root 2, radical 2, or Pythagoras’ constant, and written as √2, is the positive algebraic number that, when multiplied by itself, gives the number 2. It is more precisely called the principal square root of 2, to distinguish it from the negative number with the same property.

Geometrically the square root of 2 is the length of a diagonal across a square with sides of one unit of length; this follows from the Pythagorean theorem. It was probably the first number known to be irrational. Its numerical value truncated to 65 decimal places is:

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799… (sequence A002193 in the OEIS).

Alternatively, the quick approximation 99/70 (≈ 1.41429) for the square root of two was frequently used before the common use of electronic calculators and computers. Despite having a denominator of only 70, it differs from the correct value by less than 1/10,000 (approx. 7.2 × 10 ⁻⁵).

Theodorus’ constant √3[edit]

The numeric value of √3 is approximately 1.7320508075 (sequence A002194 in the OEIS).

Constants in advanced mathematics[edit]

These are constants which are encountered frequently in higher mathematics.

The Feigenbaum constants α and δ[edit]

Iterations of continuous maps serve as the simplest examples of models for dynamical systems.^[3] Named after mathematical physicist Mitchell Feigenbaum, the two Feigenbaum constants appear in such iterative processes: they are mathematical invariants of logistic maps with quadratic maximum points^[4] and their bifurcation diagrams. Specifically, the constant α is the ratio between the width of a tine and the width of one of its two subtines, and the constant δ is the limiting ratio of each bifurcation interval to the next between every period-doubling bifurcation.

The logistic map is a polynomial mapping, often cited as an archetypal example of how chaotic behaviour can arise from very simple non-linear dynamical equations. The map was popularized in a seminal 1976 paper by the Australian biologist Robert May,^[5] in part as a discrete-time demographic model analogous to the logistic equation first created by Pierre François Verhulst. The difference equation is intended to capture the two effects of reproduction and starvation.

The numeric value of α is approximately 2.5029. The numeric value of δ is approximately 4.6692.

Apéry’s constant ζ(3)[edit]

Apery’s constant is the sum of the series

Apéry’s constant is an irrational number and its numeric value is approximately 1.2020569.

Despite being a special value of the Riemann zeta function, Apéry’s constant arises naturally in a number of physical problems, including in the second- and third-order terms of the electron’s gyromagnetic ratio, computed using quantum electrodynamics.^[6]

The golden ratio φ[edit]

The number φ, also called the golden ratio, turns up frequently in geometry, particularly in figures with pentagonal symmetry. Indeed, the length of a regular pentagon’s diagonal is φ times its side. The vertices of a regular icosahedron are those of three mutually orthogonal golden rectangles. Also, it appears in the Fibonacci sequence, related to growth by recursion.^[7] Kepler proved that it is the limit of the ratio of consecutive Fibonacci numbers.^[8] The golden ratio has the slowest convergence of any irrational number.^[9] It is, for that reason, one of the worst cases of Lagrange’s approximation theorem and it is an extremal case of the Hurwitz inequality for Diophantine approximations. This may be why angles close to the golden ratio often show up in phyllotaxis (the growth of plants).^[10] It is approximately equal to 1.6180339887498948482, or, more precisely 2⋅sin(54°) =

The Euler–Mascheroni constant γ[edit]

The Euler–Mascheroni constant is defined as the following limit:

The Euler–Mascheroni constant appears in Mertens’ third theorem and has relations to the gamma function, the zeta function and many different integrals and series.

It is yet unknown whether is rational or not.

The numeric value of is approximately 0.57721.

Conway’s constant λ[edit]

Conway’s constant is the invariant growth rate of all derived strings similar to the look-and-say sequence (except for one trivial one).^[11]

It is given by the unique positive real root of a polynomial of degree 71 with integer coefficients.^[11]

The value of λ is approximately 1.30357.

Khinchin’s constant K[edit]

If a real number r is written as a simple continued fraction:

where a_k are natural numbers for all k, then, as the Russian mathematician Aleksandr Khinchin proved in 1934, the limit as n tends to infinity of the geometric mean: (a₁a₂…a_n)^1/n exists and is a constant, Khinchin’s constant, except for a set of measure 0.^[12]

The numeric value of K is approximately 2.6854520010.

The Glaisher–Kinkelin constant A[edit]

The Glaisher–Kinkelin constant is defined as the limit:

It appears in some expressions of the derivative of the Riemann zeta function. It has a numerical value of approximately 1.2824271291.

Mathematical curiosities and unspecified constants[edit]

Simple representatives of sets of numbers[edit]

Some constants, such as the square root of 2, Liouville’s constant and Champernowne constant:

are not important mathematical invariants but retain interest being simple representatives of special sets of numbers, the irrational numbers,^[14] the transcendental numbers^[15] and the normal numbers (in base 10)^[16] respectively. The discovery of the irrational numbers is usually attributed to the Pythagorean Hippasus of Metapontum who proved, most likely geometrically, the irrationality of the square root of 2. As for Liouville’s constant, named after French mathematician Joseph Liouville, it was the first number to be proven transcendental.^[17]

Chaitin’s constant Ω[edit]

In the computer science subfield of algorithmic information theory, Chaitin’s constant is the real number representing the probability that a randomly chosen Turing machine will halt, formed from a construction due to Argentine-American mathematician and computer scientist Gregory Chaitin. Chaitin’s constant, though not being computable, has been proven to be transcendental and normal. Chaitin’s constant is not universal, depending heavily on the numerical encoding used for Turing machines; however, its interesting properties are independent of the encoding.

Unspecified constants[edit]

When unspecified, constants indicate classes of similar objects, commonly functions, all equal up to a constant—technically speaking, this may be viewed as ‘similarity up to a constant’. Such constants appear frequently when dealing with integrals and differential equations. Though unspecified, they have a specific value, which often is not important.

In integrals[edit]

Indefinite integrals are called indefinite because their solutions are only unique up to a constant. For example, when working over the field of real numbers

where C, the constant of integration, is an arbitrary fixed real number.^[18] In other words, whatever the value of C, differentiating sin x + C with respect to x always yields cos x.

In differential equations[edit]

In a similar fashion, constants appear in the solutions to differential equations where not enough initial values or boundary conditions are given. For example, the ordinary differential equation y^‘ = y(x) has solution Ce^x where C is an arbitrary constant.

When dealing with partial differential equations, the constants may be functions, constant with respect to some variables (but not necessarily all of them). For example, the PDE

has solutions f(x,y) = C(y), where C(y) is an arbitrary function in the variable y.

Notation[edit]

Representing constants[edit]

It is common to express the numerical value of a constant by giving its decimal representation (or just the first few digits of it). For two reasons this representation may cause problems. First, even though rational numbers all have a finite or ever-repeating decimal expansion, irrational numbers don’t have such an expression making them impossible to completely describe in this manner. Also, the decimal expansion of a number is not necessarily unique. For example, the two representations 0.999… and 1 are equivalent^[19][20] in the sense that they represent the same number.

Calculating digits of the decimal expansion of constants has been a common enterprise for many centuries. For example, German mathematician Ludolph van Ceulen of the 16th century spent a major part of his life calculating the first 35 digits of pi.^[21] Using computers and supercomputers, some of the mathematical constants, including π, e, and the square root of 2, have been computed to more than one hundred billion digits. Fast algorithms have been developed, some of which — as for Apéry’s constant — are unexpectedly fast.

Some constants differ so much from the usual kind that a new notation has been invented to represent them reasonably. Graham’s number illustrates this as Knuth’s up-arrow notation is used.^[22][23]

It may be of interest to represent them using continued fractions to perform various studies, including statistical analysis. Many mathematical constants have an analytic form, that is they can be constructed using well-known operations that lend themselves readily to calculation. Not all constants have known analytic forms, though; Grossman’s constant^[24] and Foias’ constant^[25] are examples.

Symbolizing and naming of constants[edit]

Symbolizing constants with letters is a frequent means of making the notation more concise. A common convention, instigated by René Descartes in the 17th century and Leonhard Euler in the 18th century, is to use lower case letters from the beginning of the Latin alphabet or the Greek alphabet when dealing with constants in general.

However, for more important constants, the symbols may be more complex and have an extra letter, an asterisk, a number, a lemniscate or use different alphabets such as Hebrew, Cyrillic or Gothic.^[23]

Sometimes, the symbol representing a constant is a whole word. For example, American mathematician Edward Kasner’s 9-year-old nephew coined the names googol and googolplex.^[23][26]

Other names are either related to the meaning of the constant (universal parabolic constant, twin prime constant, …) or to a specific person (Sierpiński’s constant, Josephson constant, and so on).

Selected mathematical constants[edit]

Abbreviations used:

R – Rational number, I – Irrational number (may be algebraic or transcendental), A – Algebraic number (irrational), T – Transcendental number

Gen – General, NuT – Number theory, ChT – Chaos theory, Com – Combinatorics, Inf – Information theory, Ana – Mathematical analysis

Symbol	Value	Name	Field	N	First described	Number of known decimal digits
0	= 0	Zero	Gen	R	by c. 500 BC	all
1	= 1	One, Unity	Gen	R		all
i	= √–1	Imaginary unit, unit imaginary number	Gen, Ana	A	by c. 1500	all
π	≈ 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288	Pi, Archimedes’ constant or Ludolph’s number	Gen, Ana	T	by c. 2600 BC	62,831,853,071,796[27]
e	≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249	e, Napier’s constant, or Euler’s number	Gen, Ana	T	1618	31,415,926,535,897[27]
√2	≈ 1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807	Pythagoras’ constant, square root of 2	Gen	A	by c. 800 BC	10,000,000,000,000[27]
√3	≈ 1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236	Theodorus’ constant, square root of 3	Gen	A	by c. 800 BC	2,199,023,255,552[28]
√5	≈ 2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623	Square root of 5	Gen	A	by c. 800 BC	2,199,023,255,552[28]
	≈ 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243	Euler–Mascheroni constant	Gen, NuT		1735	600,000,000,100[28]
	≈ 1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811	Golden ratio	Gen	A	by c. 200 BC	10,000,000,000,000[28]
	[29][30][31][32]	de Bruijn–Newman constant	NuT, Ana		1950	none
M1	≈ 0.26149 72128 47642 78375 54268 38608 69585	Meissel–Mertens constant	NuT		1866 1874	8,010
	≈ 0.28016 94990 23869 13303	Bernstein’s constant[33]	Ana
	≈ 0.30366 30028 98732 65859 74481 21901 55623	Gauss–Kuzmin–Wirsing constant	Com		1974	385
	≈ 0.35323 63718 54995 98454 35165 50432 68201	Hafner–Sarnak–McCurley constant	NuT		1993
L	≈ 0.5	Landau’s constant	Ana			1
Ω	≈ 0.56714 32904 09783 87299 99686 62210 35554	Omega constant	Ana	T
,	≈ 0.62432 99885 43550 87099 29363 83100 83724	Golomb–Dickman constant	Com, NuT		1930 1964
	≈ 0.64341 05462	Cahen’s constant		T	1891	4000
C2	≈ 0.66016 18158 46869 57392 78121 10014 55577	Twin prime constant	NuT			5,020
	≈ 0.66274 34193 49181 58097 47420 97109 25290	Laplace limit
*	≈ 0.70258	Embree–Trefethen constant	NuT
K	≈ 0.76422 36535 89220 66299 06987 31250 09232	Landau–Ramanujan constant	NuT			30,010
B4	≈ 0.87058 838	Brun’s constant for prime quadruplets	NuT			8
G	≈ 0.91596 55941 77219 01505 46035 14932 38411	Catalan’s constant	Com			1,000,000,001,337[28]
B´L	= 1	Legendre’s constant	NuT	R		all
K	≈ 1.13198 824	Viswanath’s constant	NuT			8
	≈ 1.20205 69031 59594 28539 97381 61511 44999	Apéry’s constant		I	1979	1,200,000,000,100[28]
	≈ 1.30357 72690 34296 39125 70991 12152 55189	Conway’s constant	NuT	A
	≈ 1.30637 78838 63080 69046 86144 92602 60571	Mills’ constant	NuT		1947	6850
	≈ 1.32471 79572 44746 02596 09088 54478 09734	Plastic constant	NuT	A	1928
	≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744	Ramanujan–Soldner constant	NuT	I		75,500
	≈ 1.45607 49485 82689 67139 95953 51116 54356	Backhouse’s constant[34]
	≈ 1.46707 80794	Porter’s constant[35]	NuT		1975
	≈ 1.53960 07178	Lieb’s square ice constant[36]	Com	A	1967
EB	≈ 1.60669 51524 15291 76378 33015 23190 92458	Erdős–Borwein constant	NuT	I
	≈ 1.70521 11401 05367 76428 85514 53434 50816	Niven’s constant	NuT		1969
B2	≈ 1.90216 05831 04	Brun’s constant for twin primes	NuT		1919	12
P2	≈ 2.29558 71493 92638 07403 42980 49189 49039	Universal parabolic constant	Gen	T
	≈ 2.50290 78750 95892 82228 39028 73218 21578	Feigenbaum constant	ChT
K	≈ 2.58498 17595 79253 21706 58935 87383 17116	Sierpiński’s constant
	≈ 2.68545 20010 65306 44530 97148 35481 79569	Khinchin’s constant	NuT		1934	7350
F	≈ 2.80777 02420 28519 36522 15011 86557 77293	Fransén–Robinson constant	Ana
	≈ 3.27582 29187 21811 15978 76818 82453 84386	Lévy’s constant	NuT
	≈ 3.35988 56662 43177 55317 20113 02918 92717	Reciprocal Fibonacci constant[37]		I
	≈ 4.66920 16091 02990 67185 32038 20466 20161	Feigenbaum constant	ChT		1975

See also[edit]

• Invariant (mathematics)
• List of mathematical symbols
• List of numbers
• Physical constant

Notes[edit]

External links[edit]

• Constants – from Wolfram MathWorld
• Inverse symbolic calculator (CECM, ISC) (tells you how a given number can be constructed from mathematical constants)
• On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS)
• Simon Plouffe’s inverter
• Steven Finch’s page of mathematical constants (BROKEN LINK)
• Steven R. Finch, “Mathematical Constants,” Encyclopedia of mathematics and its applications, Cambridge University Press (2003).
• Xavier Gourdon and Pascal Sebah’s page of numbers, mathematical constants and algorithms

У этого термина существуют и другие значения, см. Константа.

Математическая константа — величина, значение которой не меняется; в этом она противоположна переменной. В отличие от физических констант, математические константы определены независимо от каких бы то ни было физических измерений.

Некоторые избранные константы

Использованные сокращения: И — иррациональное число, А — алгебраическое число, Т — трансцендентное число, ? — неизвестно; мат — обычная математика, ТЧ — теория чисел, ТХ — теория хаоса, комб — комбинаторика, АИТ — Алгоритмическая теория информации.

Символ	Приближенное значение	Название	Область	Значение	Впервые описана	Число известных знаков
	≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88	пи, архимедова константа	мат	Т	?	10 000 000 000 000[1]
e	≈ 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 50	константа Непера, основание натурального логарифма	мат	Т		12 884 901 000
	≈ 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 08	константа Пифагора, квадратный корень из 2	мат	А, но И		137 438 953 444
	≈ 1,732 050 807 568 877 293 527 446 341 505 872 37	константа Теодоруса, квадратный корень из 3	мат	А, но И
γ	≈ 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 43	постоянная Эйлера — Маскерони	мат, ТЧ	?		108 000 000
φ	≈ 1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 12	золотое сечение	мат	А, но И		3 141 000 000
β*	≈ 0,702 58	константа Эмбри — Трефтена	ТЧ
δ	≈ 4,669 201 609 102 990 671 853 203 820 466 201 61	постоянная Фейгенбаума	ТХ
α	≈ 2,502 907 875 095 892 822 283 902 873 218 215 78	константа Фейгенбаума	ТХ
C2	≈ 0,660 161 815 846 869 573 927 812 110 014 555 77	константа простых близнецов	ТЧ			5 020
M1	≈ 0,261 497 212 847 642 783 755 426 838 608 695 85	константа Мейсселя — Мертенса	ТЧ		1866; 1874	8010
B2	≈ 1,902 160 583 104[2]	константа Бруна для простых близнецов	ТЧ		1919	10
B4	≈ 0,870 588 380 0	константа Бруна для простых четвёрок	ТЧ
Λ	≈ -2,7 · 10−9	константа де Брюйна — Ньюмана	ТЧ		1950?
K	≈ 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 11	постоянная Каталана	комб			31 026 000 000
K	≈ 0,764 223 653 589 220 66	константа Ландау — Рамануджана	ТЧ	И (?)		30 010
K	≈ 1,131 988 24	константа Висваната 1	ТЧ			8
J	≈ 3,058 198 247 456 354 132 564 564 787 888 767…	константа Поля-Гаусса	ТЧ			10343
B´L	1 или 1,08366[3]	константа Лежандра (англ.)	ТЧ
μ	≈ 1,451 369 234 883 381 050 283 968 485 892 027	константа Рамануджана — Солднера	ТЧ			75 500
E’B	≈ 1,606 695 152 415 291 763	константа Эрдёша — Борвейна	ТЧ	И
Ω	≈ 0,007 874 996 997 812 384 4	константа Хайтина	АИТ	Т
ζ(3)	≈ 1,202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 99	постоянная Апери	ТЧ	И	1735	100 000 001 000
ɯ	≈ 0,739 085 133 215 160 641 655 312 087 673 873 40	число Дотти[4], притягивающая неподвижная точка функции cos(x)	ТХ
A	≈ 1,282 427 129 100 622 636 875 342 568 869 791 73	постоянная Глейшера — Кинкелина	ТЧ		1860

Литература

• Steven R. Finch, Mathematical Constants. Cambridge, 2003 (ISBN 0-521-81805-2)

См. также

• Постоянная

Примечания

Ссылки

• Mathematical Constants — страница Стивена Финча

Фиксированное число, получившее имя

A математическая константа – это ключ число, значение которого фиксируется недвусмысленным определением, часто обозначаемым символом (например, буквой алфавита ) или именами математиков, чтобы облегчить его использование в нескольких математических задачах. Константы возникают во многих областях математики, при этом такие константы, как e и π, встречаются в таких разнообразных контекстах, как geometry, теория чисел и исчисление.

Что означает возникновение константы «естественным образом» и что делает константу «интересной», в конечном счете, дело вкуса, так же как некоторые математические константы примечательны. по историческим причинам – чем из-за присущего им математического интереса. Наиболее популярные константы изучались на протяжении веков и вычислялись с точностью до многих десятичных знаков.

Все именованные математические константы являются определяемыми числами и обычно также являются вычисляемыми числами (константа Чейтина является существенным исключением).

Содержание

• 1 Основные математические константы
  • 1.1 Константа Архимеда π
  • 1.2 Мнимая единица i
  • 1.3 Число Эйлера e
  • 1.4 Константа Пифагора √2
• 2 Расширенные константы математика
  • 2.1 Константы Фейгенбаума α и δ
  • 2.2 Константа Апери ζ (3)
  • 2.3 Золотое сечение φ
  • 2.4 Постоянная Эйлера – Маскерони γ
  • 2.5 Константа Конвея λ
  • 2.6 Константа Хинчина K
  • 2.7 Константа Глейшера – Кинкелина A
• 3 Математические курьезы и неопределенные константы
  • 3.1 Простые представители множеств чисел
  • 3.2 Константа Чейтина Ω
  • 3.3 Неопределенные константы
    • 3.3. 1 В интегралах
    • 3.3.2 В дифференциальных уравнениях
• 4 Обозначение
  • 4.1 Представление констант
  • 4.2 Обозначение и обозначение констант
• 5 Таблица выбранных математических констант
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 Внешние ссылки

Основные математические константы

Это константы, с которыми можно встретиться во время доуниверситетского образования во многих странах.

Константа Архимеда π

Длина окружности с диаметром 1 равна π.

Константа π (пи) имеет естественное определение в Евклидова геометрия (соотношение между длиной окружности и диаметром круга), но ее можно найти во многих местах математики: например, в Интеграл Гаусса в комплексном анализе, корни из единицы в теории чисел и распределения Коши в вероятности. Однако его повсеместное распространение не ограничивается чистой математикой. Он присутствует во многих формулах в физике, и некоторые физические константы наиболее естественно определяются с помощью π или его обратного факторизации. Однако остается спорным, являются ли такие видимости фундаментальными в каком-либо смысле. Например, учебная нерелятивистская волновая функция основного состояния атома водорода имеет вид

ψ (r) = 1 (π a 0 3) 1/2 e – r / a 0, { displaystyle psi ( mathbf {r }) = { frac {1} {( pi a_ {0} ^ {3}) ^ {1/2}}} e ^ {- r / a_ {0}},}

где a 0 { displaystyle a_ {0}}– радиус Бора. Эта формула содержит π, но неясно, является ли это фундаментальным в физическом смысле, или просто отражает π в выражении 4 π r 2 { displaystyle {4 pi r ^ {2}}}(для площади поверхности сферы с радиусом r { displaystyle r}).

Кроме того, эта формула дает только приблизительное описание физической реальности, поскольку не включает спин, относительность и квантовую природу самого электромагнитного поля. Точно так же появление π в формуле для закона Кулона в единицах СИ зависит от выбора единиц и исторической случайности, связанной с тем, как так называемая диэлектрическая проницаемость свободного пространства было введено в практику электромагнетизма Джованни Джорджи в 1901 году. Это правда, что если в одном отношении выбираются различные константы, появление π в других отношениях неизбежно, но это появление всегда для математическая причина, как в приведенном выше примере волновой функции атома водорода, а не физическая.

Числовое значение π составляет приблизительно 3,1415926536 (последовательность A000796 в OEIS ). Запоминание все более точных цифр числа π – это стремление к мировому рекорду.

Мнимая единица i

iв комплексной или декартовой плоскости. Действительные числа лежат на горизонтальной оси, а мнимые числа – на вертикальной оси

. Мнимая единица или единица мнимого числа, обозначенная как i, это математическая концепция, которая расширяет систему вещественных чисел ℝ до системы комплексных чисел ℂ, которая, в свою очередь, обеспечивает по крайней мере один корень для каждый полином P (x) (см. алгебраическое замыкание и фундаментальную теорему алгебры ). Основное свойство мнимой единицы состоит в том, что i = −1. Здесь термин «мнимый » используется, потому что не существует действительного числа, имеющего отрицательный квадрат.

Фактически существует два комплексных квадратных корня из -1, а именно i и −i, точно так же, как есть два комплексных квадратных корня из любого другого действительного числа (кроме нуля, которое имеет один двойной квадратный корень).

В контекстах, где i неоднозначно или проблематично, иногда используется j или греческое ι (см. альтернативные обозначения). В дисциплинах электротехника и инженерия систем управления мнимая единица часто обозначается j вместо i, поскольку i обычно используется для обозначения электрического тока в этих дисциплинах.

Число Эйлера e

Экспоненциальный рост (зеленый цвет) описывает многие физические явления.

Число Эйлера e, также известное как константа экспоненциального роста, встречается во многих областях математики, и одно из возможных определений этого выражения – значение следующего выражения:

e = lim n → ∞ (1 + 1 n) n { displaystyle e = lim _ {n to infty} left (1 + { frac {1} {n}} right) ^ {n}}

Например, швейцарский математик Якоб Бернулли обнаружил, что e возникает в сложные проценты : счет, который начинается с 1 доллара и приносит проценты по годовой ставке R с непрерывным начислением сложных процентов, будет накапливаться до e долларов в конце одного года.

Константа e также имеет приложения к теории вероятностей, где она возникает не так явно, как экспоненциальный рост. В качестве примера предположим, что в игровой автомат с вероятностью выигрыша один из n играют n раз, тогда для больших n (например, одного миллиона) вероятность того, что ничего не будет выиграно, будет стремиться к 1 / e, когда n стремится к бесконечности.

Другое применение e, частично обнаруженное Якобом Бернулли вместе с французским математиком Пьером Раймоном де Монмором, связано с проблемой расстройств, также известная как проблема проверки шляпы. Здесь n гостей приглашены на вечеринку, и у дверей каждый гость проверяет свою шляпу у дворецкого, который затем складывает их в помеченные коробки. Дворецкий не знает имен гостей, поэтому должен складывать их в коробки, выбранные наугад. Проблема де Монморта заключается в следующем: какова вероятность того, что ни одна из шляп не попадет в нужную коробку. Ответ:

p n = 1 – 1 1! +1 2! – 1 3! + ⋯ + (- 1) N 1 N! { displaystyle p_ {n} = 1 – { frac {1} {1!}} + { frac {1} {2!}} – { frac {1} {3!}} + cdots + ( -1) ^ {n} { frac {1} {n!}}}

который, когда n стремится к бесконечности, приближается к 1 / e.

Числовое значение e составляет приблизительно 2,7182818284 (последовательность A001113 в OEIS ).

Константа Пифагора √2

Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами длины 1.

квадратный корень из 2, часто известный как корень 2, радикал 2 или константа Пифагора, и записывается как √2, это положительное алгебраическое число , которое при умножении на себя дает число 2. Его более точно называют главным квадратным корнем из 2, чтобы отличить его от отрицательного числа с тем же свойством.

Геометрически квадратный корень из 2 – это длина диагонали в квадрате со сторонами, равными одной единице длины ; это следует из теоремы Пифагора. Вероятно, это было первое число, которое, как известно, было иррациональным. Его числовое значение, усеченное до 65 десятичных знаков, составляет:

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799… (последовательность A002193 в OEIS ).

2.622>квадратный корень из В качестве альтернативы часто используется быстрое приближение 99/70 (≈ 1,41429) для квадратного корня из 2. Несмотря на то, что знаменатель равен всего 70, оно отличается от правильного значения менее чем на 1/10 000 (прибл.. 7.2 × 10).

Константы в высшей математике

Это константы, которые часто встречаются в высшей математике.

Константы Фейгенбаума α и δ

Бифуркационная диаграмма логистическая карта.

Итерации непрерывных отображений служат простейшими примерами моделей для динамических систем. Названные в честь математика-физика Митчелла Фейгенбаума, две константы Фейгенбаума появляются в таких итерационных процессах: они являются математическими инвариантами логистических карт с квадратичными точками максимума и d их бифуркационные диаграммы.

Логистическая карта – это полиномиальное отображение, часто цитируемое как архетипический пример того, как хаотическое поведение может возникать из очень простого не- линейные динамические уравнения. Карта была популяризирована в плодотворной статье 1976 года австралийского биолога Роберта Мэя, отчасти как демографическая модель с дискретным временем, аналогичная логистическому уравнению, впервые созданному Пьером Франсуа Верхюльстом. Уравнение разности предназначено для улавливания двух эффектов воспроизводства и голода.

Числовое значение α составляет приблизительно 2,5029. Числовое значение δ составляет приблизительно 4,6692.

постоянная Апери ζ (3)

ζ (3) = 1 + 1 2 3 + 1 3 3 + 1 4 3 + ⋯ { displaystyle zeta (3) = 1 + { frac { 1} {2 ^ {3}}} + { frac {1} {3 ^ {3}}} + { frac {1} {4 ^ {3}}} + cdots}

Несмотря на то, что специальное значение дзета-функции Римана, константа Апери естественно возникает в ряде физических проблем, в том числе в членах второго и третьего порядка электрона гиромагнитное отношение, вычисленное с использованием квантовой электродинамики. Числовое значение ζ (3) составляет приблизительно 1,2020569.

Золотое сечение φ

Золотые прямоугольники в правильном икосаэдре

F n = φ n – (1 – φ) n 5 { displaystyle F_ {n} = { frac { varphi ^ {n} – (1- varphi) ^ {n}} { sqrt {5}}}}

Явная формула для n-го числа Фибоначчи с использованием золотого отношение φ.

Число φ, также называемое золотым сечением, часто встречается в геометрии, особенно в фигурах с пятиугольной симметрией. Действительно, длина диагонали правильного пятиугольника равна φ, умноженному на его сторону. Вершины правильного икосаэдра – это вершины трех взаимно ортогональных золотых прямоугольников. Кроме того, он появляется в последовательности Фибоначчи, связанной с ростом посредством рекурсии. Кеплер доказал, что это предел отношения последовательных чисел Фибоначчи. Золотое сечение имеет самую медленную сходимость из всех иррациональных чисел. По этой причине это один из наихудших случаев из аппроксимационной теоремы Лагранжа и экстремальный случай неравенства Гурвица для диофантовых приближений.. Возможно, поэтому углы, близкие к золотому сечению, часто проявляются в филлотаксисе (рост растений). Это примерно равно 1.6180339887498948482, или, точнее, 2⋅sin (54 °) = 1 + 5 2. { displaystyle scriptstyle { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}}.}

Константа Эйлера – Маскерони γ

Площадь между двумя кривыми (красная) стремится к пределу.

Константа Эйлера – Маскерони – это повторяющаяся константа в теории чисел. бельгийский математик Шарль Жан де ла Валле-Пуссен доказал в 1898 году, что если взять любое положительное целое число n и разделить его на каждое положительное целое число m меньше n, среднее значение дробь, на которую частное n / m меньше следующего целого числа, стремится к γ { displaystyle gamma}(а не к 0,5), когда n стремится к бесконечности. Константа Эйлера – Маскерони также фигурирует в третьей теореме Мертена и имеет отношение к гамма-функции, дзета-функции и множеству различных интегралов и серия. Определение постоянной Эйлера – Маскерони демонстрирует тесную связь между дискретным и непрерывным (см. Кривые слева).

Числовое значение γ { displaystyle gamma}составляет приблизительно 0,57721.

Константа Конвея λ

1 11 21 1211 111221 312211 ⋮ { displaystyle { begin {matrix} 1 \ 11 \ 21 \ 1211 \ 111221 \ 312211 \ vdots end {matrix}}}

Последовательность «посмотри и скажи» Конвея

Константа Конвея – это инвариантная скорость роста всех, аналогичных последовательности «посмотри и скажи» (за исключением одного тривиального).

Дается уникальным положительным вещественным корнем полинома степени 71 с целыми коэффициентами.

Значение λ составляет приблизительно 1,30357.

Константа Хинчина K

Если действительное число r записано как простая цепная дробь :

r = a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 + ⋯, { Displaystyle г = а_ {0} + { dfrac {1} {а_ {1} + { dfrac {1} {а_ {2} + { dfrac {1} {а_ {3} + cdots }}}}}},}

где a k – натуральные числа для всех k, тогда как российский математик Александр Хинчин доказано в 1934 году, предел as n стремится к бесконечности от среднего геометрического : (a 1a2… a n) существует и является константой константа Хинчина, за исключением набора меры 0.

. Числовое значение K составляет приблизительно 2,6854520010.

Константа Глейшера – Кинкелина A

Константа Глейшера – Кинкелина определяется как предел :

A = lim n → ∞ ∏ k = 1 nkknn 2/2 + n / 2 + 1/12 е – n 2/4 { displaystyle A = lim _ {n rightarrow infty} { frac { prod _ {k = 1} ^ {n} k ^ {k}} {n ^ {n ^ {2} / 2 + n / 2 + 1/12} e ^ {- n ^ {2} / 4}}}}

Это важная константа, которая появляется во многих выражениях для производной дзета-функции Римана. Его числовое значение составляет примерно 1,2824271291.

Математические курьезы и неопределенные константы

Простые представители наборов чисел

Эта вавилонская глиняная табличка дает приближение квадратного корня из 2 из четырех шестидесятеричные цифры: 1; 24, 51, 10, что соответствует примерно шести десятичным цифрам.

c = ∑ j = 1 ∞ 10 – j! = 0. 110001 ⏞ 3! цифры 000000000000000001 ⏟ 4! цифры 000… { displaystyle c = sum _ {j = 1} ^ { infty} 10 ^ {- j!} = 0. underbrace { overbrace {110001} ^ {3! { text {digits}} } 000000000000000001} _ {4! { Text {digits}}} 000 dots}

Константа Лиувилля является простым примером трансцендентного числа.

Некоторые константы, такие как квадратный корень из 2, постоянная Лиувилля и постоянная Шамперновна :

C 10 = 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16… { displaystyle C_ {10} = 0. { Color {blue} {1}} 2 { color {blue} {3}} 4 { color {blue} {5}} 6 { color {blue} {7}} 8 { color {blue} {9}} 10 { color {blue} {11}} 12 { color {blue} {13}} 14 { color {blue} {15}} 16 dots}

не являются важными математическими инвариантами, но сохраняют интерес, будучи простыми представителями специальных наборов чисел, иррациональных чисел, трансцендентных чисел и нормальных чисел (в базовых 10) соответственно. Открытие иррациональных чисел обычно приписывается пифагорейцу Гиппасу из Метапонта, который доказал, скорее всего геометрически, иррациональность квадратного корня из 2. для постоянной Лиувилля, названной в честь французского математика Жозефа Лиувилля, это было первое число, которое было доказано как трансцендентное.

постоянная Чейтина Ω

В информатика подполе теории алгоритмической информации, константа Чейтина – это действительное число, представляющее вероятность того, что случайно выбранная машина Тьюринга остановится, сформированный из конструкции, созданной аргентинцем – американским математиком и компьютерным ученым Грегори Чейтином. Константа Чейтина, хотя и не является вычислимой, оказалась трансцендентной и нормальной. Константа Чейтина не универсальна, она сильно зависит от числового кодирования, используемого для машин Тьюринга; однако его интересные свойства не зависят от кодировки.

Неопределенные константы

Если не указано иное, константы указывают классы похожих объектов, обычно функций, все равные от до константы – технически говоря, это можно рассматривать как «сходство» с точностью до константы. Такие константы часто появляются при работе с интегралами и дифференциальными уравнениями. Хотя они не указаны, они имеют определенное значение, которое часто не имеет значения.

Решения с разными постоянными интегрирования

y ′ (x) = – 2 y + e – x { displaystyle y ‘(x) = – 2y + e ^ {- x}}

.

В интегралах

Неопределенные интегралы называются неопределенными, потому что их решения уникальны только с точностью до константы. Например, при работе с полем вещественных чисел

∫ cos ⁡ xdx = sin ⁡ x + C { displaystyle int cos x dx = sin x + C}

где C, постоянная интегрирования, является произвольным фиксированным действительным числом. Другими словами, каким бы ни было значение C, дифференцирование sin x + C по x всегда дает cos x.

В дифференциальных уравнениях

Подобным образом константы появляются в решениях дифференциальных уравнений, где недостаточно начальных значений или границы приведены условия. Например, обыкновенное дифференциальное уравнение y = y (x) имеет решение Ce, где C – произвольная постоянная.

При работе с уравнениями в частных производных, константы могут быть функциями, константами по отношению к некоторым переменным (но не обязательно всем из них). Например, PDE

∂ f (x, y) ∂ x = 0 { displaystyle { frac { partial f (x, y)} { partial x}} = 0}

имеет решения f (x, y) = C (y), где C (y) – произвольная функция в переменной y.

Обозначение

Представление констант

Обычно числовое значение константы выражается с помощью ее десятичного представления (или только первых нескольких цифр из него). По двум причинам такое представление может вызвать проблемы. Во-первых, даже несмотря на то, что все рациональные числа имеют конечное или постоянно повторяющееся десятичное представление, иррациональные числа не имеют такого выражения, что делает их невозможно полностью описать таким образом. Кроме того, десятичное представление числа не обязательно уникально. Например, два представления 0,999… и 1 эквивалентны в том смысле, что они представляют одно и то же число.

Вычисление цифр десятичного разложения констант было обычным делом на протяжении многих веков. Например, немецкий математик Людольф ван Сеулен из 16 века большую часть своей жизни провел, вычисляя первые 35 цифр числа Пи. Используя компьютеры и суперкомпьютеры, некоторые математические константы, включая π, e и квадратный корень из 2, были вычислены с точностью до ста миллиардов цифр. Были разработаны быстрые алгоритмы , некоторые из которых – как для константы Апери – неожиданно быстрые.

G = 3 ↑… ↑ ⏟ 3 ⋮ ⏟ 3 ↑↑↑↑ 3} 64 слоя { displaystyle G = left. { Begin {matrix} 3 underbrace { uparrow ldots uparrow} 3 \ underbrace { vdots} \ 3 uparrow uparrow uparrow uparrow 3 end {matrix}} right } { text {64 layer}}}

Число Грэма определено с помощью Обозначение Кнута со стрелкой вверх.

Некоторые константы настолько отличаются от обычных, что для их разумного представления была изобретена новая система обозначений. Число Грэма иллюстрирует это тем, что используется нотация Кнута со стрелкой вверх.

Может быть интересно представить их с помощью непрерывных дробей для выполнения различные исследования, в том числе статистический анализ. Многие математические константы имеют аналитическую форму , то есть они могут быть построены с использованием хорошо известных операций, которые легко поддаются вычислению. Однако не всем константам известны аналитические формы; Константа Гроссмана и константа Фояса являются примерами.

Обозначение и присвоение имен констант

Обозначение констант буквами – частый способ сделать нотацию более краткой. Стандартное соглашение, инициированное Леонардом Эйлером в 18 веке, заключается в использовании строчных букв из начала латинского алфавита a, b, c,… { displaystyle a, b, c, dots}или греческий алфавит α, β, γ,… { displaystyle alpha, beta, , gamma, dots}при работе с константами в целом.

Однако для более важных констант символы могут быть более сложными и иметь дополнительную букву, звездочку , число, лемнискату или использовать другие алфавиты, например как иврит, кириллица или готика.

константа Эрдеша – Борвейна

EB { displaystyle E_ {B}}

. константа Эмбри – Трефетена

β ∗ { displaystyle beta ^ {*}}

. Константа Бруна для двойного простого числа

B 2 { displaystyle B_ {2}}

. Константы Чамперновна

C b { displaystyle C_ {b}}

. кардинальное число

aleph naught ℵ 0 { displaystyle aleph _ {0}}

Примеры различных видов записи для констант.

Иногда символ, представляющий константу, представляет собой целое слово. Например, 9-летний племянник американского математика Эдварда Каснера придумал названия гугол и гуголплекс.

гугол = 10 100, googolplex = 10 googol = 10 10 100 { displaystyle mathrm {googol} = 10 ^ {100} , , mathrm {googolplex} = 10 ^ { mathrm {googol}} = 10 ^ {10 ^ {100 }}}

Имена связаны либо со значением константы (универсальная параболическая константа, константа двойного простого числа,…), либо с конкретным человеком (Постоянная Серпинского, постоянная Джозефсона и т. Д.).

Универсальная параболическая постоянная – это отношение для любой параболы длины дуги параболического сегмента (красный), образованного latus rectum (синий) к фокусному параметру (зеленый).

Таблица выбранных математических констант

Используемые сокращения:

R – Рациональное число, I – Иррациональное число (может быть алгебраическим или трансцендентным), A – Алгебраическое число (иррационально), T – Трансцендентное число (иррациональное)

Gen – General, NuT – Теория чисел, ChT – Теория хаоса, Com – Комбинаторика, Inf – Теория информации, Ана – Математический анализ

Символ	Значение	Имя	Поле	N	Впервые описано	Количество известных цифр
0	= 0	Ноль	Gen	R	на c. 500 г. до н.э.	все
1	= 1	Один, Unity	Gen	R		все
i	= √ – 1	Мнимая единица, мнимая единица измерения	Gen, Ана	A	ок. 1500	все
π	≈ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288	Pi, Константа Архимеда или номер Людольфа	Gen, Ана	T	пользователя c. 2600 г. до н.э.	50,000,000,000,000
e	≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249	e, постоянная Напье или число Эйлера	Gen, Ана	T	1618	8,000,000,000,000
√2	≈ 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807	Пифагор ‘константа, квадратный корень из 2	Gen	A	на c. 800 г. до н.э.	10,000,000,000,000
√3	≈ 1,73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236	Теодор ‘константа, квадратный корень из 3	Gen	A	на c. 800 г. до н.э.	2,000,000,000,000
√5	≈ 2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623	квадратный корень из 5	Gen	A	на c. 800 г. до н.э.	2,000,000,000,000
γ { displaystyle gamma}	≈ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243	Константа Эйлера – Маскерони	Gen, NuT		1735	14 922 244 771
φ { displaystyle varphi}	≈ 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811	Золотое сечение	Gen	A	c. 200 г. до н.э.	100000000000
Λ { displaystyle Lambda}	0 ≤ Λ ≤ 0,22 { displaystyle 0 leq Lambda leq 0.22}	константа де Брейна – Ньюмана	NuT, Ана		1950	нет
M1	≈ 0,26149 72128 47642 78375 54268 38608 69585	Константа Мейселя – Мертенса	NuT		1866. 1874	8,010
β { displaystyle beta}	≈ 0,28016 94990 23869 13303	Константа Бернштейна	Ана
λ { displaystyle lambda}	≈ 0,30366 30028 98732 65859 74481 21901 55623	Константа Гаусса – Кузмина – Вирсинга	Com		1974	385
σ { displaystyle sigma}	≈ 0,35323 63718 54995 98454 35165 50432 68201	Хафнер –Постоянная Сарнак – МакКерли	NuT		1993
L	≈ 0,5	Константа Ландау	Ана			1
Ω	≈ 0,56714 32904 09783 87299 99686 62210 35554	Константа Омега	Ана	T
λ { displaystyle lambda}, μ { displaystyle mu}	≈ 0,62432 99885 43550 87099 29363 83100 83724	постоянная Голомба-Дикмана	Com, NuT		1930. 1964
	≈ 0. 64341 05462	Константа Кагена		T	1891	4000
C2	≈ 0,66016 18158 46869 57392 78121 10014 55577	Двойная простая константа	NuT			5,020
	≈ 0,66274 34193 49181 58097 47420 97109 25290	Предел Лапласа
β { displaystyle beta}	≈ 0,70258	Константа Эмбри – Трефетена	NuT
K	≈ 0,76422 36535 89220 66299 06987 31250 09232	Ландау –Постоянная Рамануджана	NuT			30,010
B4	≈ 0,87058 838	Константа Бруна для простых четверок	NuT			8
K	≈ 0,91596 55941 77219 01505 46035 14932 38411	Константа Каталана	Com			15,510,000,000
B´L	= 1	постоянная Лежандра	NuT	R		all
K	≈ 1,13198 824	постоянная Висваната	NuT			8
ζ (3) { displaystyle zeta (3)}	≈ 1,20205 69031 59594 28539 97381 61511 44999	постоянная Апери		I	1979	15,510,000,000
λ { displaystyle lambda}	≈ 1,30357 72690 34296 39125 70991 12152 55189	Константа Конвея	NuT	A
θ { displaystyle theta}	≈ 1,30637 78838 63080 69 046 86144 92602 60571	постоянная Миллса	NuT		1947	6850
ρ { displaystyle rho}	≈ 1,32471 79572 44746 02596 09088 54478 09734	Пластик константа	NuT	A	1928
μ { displaystyle mu}	≈ 1,45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744	Константа Рамануджана – Солднера	NuT	I		75,500
	≈ 1,45607 49485 82689 67139 95953 51116 54356	Постоянная Бэкхауза
	≈ 1.46707 80794	Константа Портера	NuT		1975
	≈ 1.53960 07178	Квадратная ледяная постоянная Либа	Com	A	1967
EB	≈ 1,60669 51524 15291 76378 33015 23190 92458	Константа Эрдеша – Борвейна	NuT	I
	≈ 1,70521 11401 05367 76428 85514 53434 50816	постоянная Нивена	NuT		1969 <496 ≈ 1.90216 05831 04	Константа Бруна для двойных простых чисел	NuT		1919	12
P2	≈ 2.29558 71493 92638 07403 42980 49189 49039	Универсальная параболическая постоянная	Gen	T
α { displaystyle alpha}	≈ 2,50290 78750 95892 82228 39028 73218 21578	Константа Фейгенбаума	ChT
K	≈ 2,58498 17595 79253 21706 58935 87383 17116	Константа Серпинского
	≈ 2,68545 20010 65306 44530 97148 35481 79569	Константа Хинчина	NuT		1934 <6350>
F	≈ 2,80777 02420 28519 36522 15011 86557 77293	Константа Франсена – Робинсона	Ана
	≈ 3,27582 29187 21811 15978 76818 82453 84386	Константа Леви	NuT
ψ { displaystyle psi}	≈ 3,35988 56662 43177 55317 20113 02918 92717	Взаимная постоянная Фибоначчи		I
δ { displaystyle delta}	≈ 4,66920 16091 02990 67185 32038 20466 20161	Константа Фейгенбаума	ChT		1975

См. Также

• Инвариант (математика)
• Список математических символов
• Список чисел
• Физическая константа

Примечания

Внешние ссылки

Wikimedia Commons содержит носители, связанные с Математическими константами .

• Константами – из Wolfram MathWorld
• Обратный символьный калькулятор (CECM, ISC) (сообщает, как данное число может быть построено из математических констант)
• Он-Ли ne Энциклопедия целочисленных последовательностей (OEIS)
• Инвертор Саймона Плаффа
• Страница математических констант Стивена Финча (ПОВРЕЖДЕННАЯ ССЫЛКА)
• Стивен Р. Финч, «Математические константы, “Энциклопедия математики и ее приложений, Cambridge University Press (2003).
• Страница чисел, математических констант и алгоритмов Ксавьера Гурдона и Паскаля Себаха