Содержание:
- Формула
- Примеры вычисления производной константы
Формула
Производная константы равна нулю.
Напомним, что константой называется постоянная, неизменяющаяся величина. Примером констант есть, например, число 2, число
$Pi$ и т.д., и т.п.
Примеры вычисления производной константы
Пример
Задание. Найти производную функции $y(x)=e^2$
Решение. Так как выражение функции не зависит от переменой
$x$, то оно является константой, то есть заданная функция
принимает одно и тоже значение при различных значениях переменной, а тогда производная от нее равна нулю:
$$y^{prime}(x)=left(e^{2}right)^{prime}=0$$
Ответ. $y^{prime}(x)=0$
Пример
Задание. Вычислить производную функции $y(x)=x^{2}-ln 2$
Решение. Производная от разности функций равна разности производных:
$$y^{prime}(x)=left(x^{2}-ln 2right)^{prime}=left(x^{2}right)^{prime}-(ln 2)^{prime}$$
Производную от первого слагаемого берем как
производную от степенной функции, а второе слагаемое является константой (не зависит от
переменной $x$ ), а поэтому производная от него равна нулю:
$$y^{prime}(x)=2 cdot x^{2-1}-0=2 x^{1}=2 x$$
Ответ. $y^{prime}(x)=2 x$
Читать дальше: производная икс (x)’.
Производная константы всегда равна нулю . Постоянное правило гласит, что если f (x) = c, то f ‘(c) = 0, учитывая, что c является константой. В обозначениях Лейбница мы запишем это правило дифференцирования следующим образом:
d / dx (c) = 0
Постоянная функция – это функция, тогда как ее y не изменяется для переменной x. С точки зрения непрофессионала, постоянные функции – это функции, которые не двигаются. В основном это числа. Считайте константы переменной, возведенной в степень нуля. Например, постоянное число 5 может быть 5×0, а его производная по-прежнему равна нулю.
Производная постоянной функции – одно из самых простых и простых правил дифференциации, которое должны знать студенты. Это правило дифференциации, производное от правила мощности, которое служит кратчайшим путем к нахождению производной любой постоянной функции и обходу пределов решения. Правило дифференцирования постоянных функций и уравнений называется постоянным правилом.
Постоянное правило – это правило дифференцирования, которое имеет дело с постоянными функциями или уравнениями, даже если это π, число Эйлера, функции квадратного корня и многое другое. При построении графика постоянной функции результатом является горизонтальная линия. Горизонтальная линия предполагает постоянный наклон, что означает отсутствие скорости изменения и наклона. Это предполагает, что для любой заданной точки постоянной функции наклон всегда равен нулю.
Производная от константы
Джон Рэй Куэвас
Почему производная от постоянного нуля?
Вы когда-нибудь задумывались, почему производная константы равна 0?
Мы знаем, что dy / dx является производной функцией, и это также означает, что значения y меняются для значений x. Следовательно, y зависит от значений x. Производная означает предел отношения изменения в функции к соответствующему изменению в ее независимой переменной, когда последнее изменение приближается к нулю.
Константа остается постоянной независимо от любого изменения любой переменной в функции. Константа всегда является константой, и она не зависит от любых других значений, существующих в конкретном уравнении.
Производная константы происходит из определения производной.
f ′ (x) = lim h → 0 / h
f ′ (x) = lim h → 0 (c − c) / h
f ′ (x) = lim h → 0 0
f ′ (x) = 0
Чтобы дополнительно проиллюстрировать, что производная константы равна нулю, давайте нанесем константу на ось Y нашего графика. Это будет прямая горизонтальная линия, поскольку постоянное значение не меняется с изменением значения x на оси x. График постоянной функции f (x) = c – это горизонтальная линия y = c, наклон которой равен 0. Итак, первая производная f ‘(x) равна 0.
График производной константы
Джон Рэй Куэвас
Пример 1: Производная постоянного уравнения
Какая производная y = 4?
Ответ
Первая производная y = 4 равна y ‘= 0.
Пример 1: Производная постоянного уравнения
Джон Рэй Куэвас
Пример 2: Производная постоянного уравнения F (X)
Найти производную постоянной функции f (x) = 10.
Ответ
Первая производная постоянной функции f (x) = 10 равна f ‘(x) = 0.
Пример 2: Производная постоянного уравнения F (X)
Джон Рэй Куэвас
Пример 3: Производная постоянной функции T (X)
Какая производная постоянной функции t (x) = 1?
Ответ
Первая производная постоянной функции t (x) = 1 равна t ‘(x) = 1.
Пример 3: Производная постоянной функции T (X)
Джон Рэй Куэвас
Пример 4: Производная постоянной функции G (X)
Найти производную постоянной функции g (x) = 999.
Ответ
Первая производная постоянной функции g (x) = 999 по-прежнему равна g ‘(x) = 0.
Пример 4: Производная постоянной функции G (X)
Джон Рэй Куэвас
Пример 5: Производная от нуля
Найдите производную 0.
Ответ
Производная 0 всегда равна 0. Этот пример по-прежнему относится к производной константы.
Пример 5: Производная от нуля
Джон Рэй Куэвас
Пример 6: Производная от Пи
Какая производная от π?
Ответ
Значение π равно 3,14159. По-прежнему константа, поэтому производная π равна нулю.
Пример 6: Производная от Пи
Джон Рэй Куэвас
Пример 7: Производная дроби с постоянным числом Пи
Найти производную функции (3π + 5) / 10.
Ответ
Данная функция является сложной постоянной функцией. Следовательно, его первая производная по-прежнему равна 0.
Пример 7: Производная дроби с постоянным числом Пи
Джон Рэй Куэвас
Пример 8: Производная числа Эйлера “e”
Какая производная функции √ (10) / (e − 1)?
Ответ
Экспонента e – числовая константа, равная 2,71828. Технически данная функция все еще постоянна. Следовательно, первая производная постоянной функции равна нулю.
Пример 8: Производная числа Эйлера “e”
Джон Рэй Куэвас
Пример 9: Производная дроби
Какая производная от дроби 4/8?
Ответ
Производная 4/8 равна 0.
Пример 9: Производная дроби
Джон Рэй Куэвас
Пример 10: Производная отрицательной константы
Какая производная функции f (x) = -1099?
Ответ
Производная функции f (x) = -1099 равна 0.
Пример 10: Производная отрицательной константы
Джон Рэй Куэвас
Пример 11: производная от константы до степени
Найдите производную от e x.
Ответ
Обратите внимание, что e является константой и имеет числовое значение. Данная функция является постоянной функцией, возведенной в степень x. Согласно правилам для производных, производная e x совпадает с его функцией. Наклон функции e x постоянен, при этом для каждого значения x наклон равен каждому значению y. Следовательно, производная e x равна 0.
Пример 11: производная от константы до степени
Джон Рэй Куэвас
Пример 12: Производная константы в степени X
Какая производная 2 x ?
Ответ
Перепишите 2 в формат, содержащий число Эйлера e.
2 x = ( e ln (2)) x ln (2)
2 х = 2 х ln (2)
Следовательно, производная 2 x равна 2 x ln (2).
Пример 12: Производная константы в степени X
Джон Рэй Куэвас
Пример 13: Производная функции квадратного корня
Найдите производную y = √81.
Ответ
Данное уравнение является функцией квадратного корня √81. Помните, что квадратный корень – это число, умноженное на него, чтобы получить результат. В данном случае √81 равно 9. Полученное число 9 называется квадратом квадратного корня.
Согласно правилу констант, производная целого числа равна нулю. Следовательно, f ‘(√81) равно 0.
Пример 13: Производная функции квадратного корня
Джон Рэй Куэвас
Пример 14: Производная тригонометрической функции
Извлеките производную тригонометрического уравнения y = sin (75 °).
Ответ
Тригонометрическое уравнение sin (75 °) представляет собой форму sin (x), где x – это любая величина угла в градусах или радианах. Если получить числовое значение sin (75 °), получится 0,969. Учитывая, что sin (75 °) равен 0,969. Следовательно, его производная равна нулю.
Пример 14: Производная тригонометрической функции
Джон Рэй Куэвас
Пример 15: Производная суммирования
Учитывая суммирование ∑ x = 1 10 (x 2)
Ответ
Данное суммирование имеет числовое значение, равное 385. Таким образом, данное уравнение суммирования является константой. Поскольку это константа, y ‘= 0.
Пример 15: Производная суммирования
Джон Рэй Куэвас
Изучите другие статьи по исчислению
- Решение проблем связанных ставок в исчислении
Научитесь решать различные виды задач связанных ставок в исчислении. Эта статья представляет собой полное руководство, которое показывает пошаговую процедуру решения проблем, связанных со связанными / связанными ставками.
- Предельные законы и оценка пределов
Эта статья поможет вам научиться оценивать пределы, решая различные задачи в исчислении, которые требуют применения предельных законов.
© 2020 Луч
Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Геометрический и физический смысл производной
Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Иначе это можно записать так:
Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:
Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.
Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:
Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:
Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.
Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:
Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:
Правила нахождения производных
Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.
Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Правило первое: выносим константу
Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.
Пример. Вычислим производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.
Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.
Найти производную функции:
Решение:
Правило третье: производная произведения функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:
Пример: найти производную функции:
Решение:
Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:
В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Формула для определения производной от частного двух функций:
Пример:
Решение:
Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.
С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.
Если вы ничего не смыслите в том, что такое производная и какими методами можно её вычислить, то совершенно невозможно решать примеры по математике или задачи по физике. Ведь такое понятие, как производная, является одним из самых важных в математическом анализе.
В этой статье мы расскажем вам, что является производной, какой она имеет геометрический и физический смысл. В общем, мы с вами попытаемся понять производную.
Геометрический и физический смысл производной
Задаём функцию f(x) в интервале (a, b). А точки x и x0 этому интервалу принадлежат. Если изменится x, то и функция тоже изменится. Изменением аргумента является разность его значений x-x0. Записывается эта разность, как дельта икс и имеет название: приращение аргумента. Разность значений функций в двух точках называется приращением или изменением функции. Так каково определение производной?
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Можно записать ещё следующим образом:
Встаёт вопрос, для чего нужно находить такой предел? Вот и ответ:
Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.
Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Ещё в школе нас учили тому, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени (t). Вычисляем среднюю скорость за какой-то временной промежуток:
Для того чтобы нам узнать какова скорость движения в момент t0, необходимо вычислить предел:
Сейчас мы разберем один пример, который продемонстрирует вам применение производной на практике. Допустим, тело движется по закону:
Нам необходимо рассчитать скорость в момент времени t=2c. Вычисляем производную:
Правила нахождения производных
Дифференцирование – это процесс нахождения производной. А дифференцируемая функция – это функция, которая имеет производную в данной точке.
Каким образом нам найти саму производную? Нам необходимо составить отношения приращения функции и аргумента, а после вычислить предел при условии стремящегося к нулю приращения аргумента. Но практика показывает, что такой путь вычисления является очень долгим. Всё, что нам необходимо, уже посчитано. И специально для вас, мы подготовили таблицу с производными элементарных функций.
После таблицы мы рассмотрим правила по вычисления производных. Коснёмся мы и вычисления производных сложных функций. Подробно разберём всё на примерах.
Правило первое: выносим константу
Вынести константы можно за знак производной. Причём делать это необходимо! Когда вы решаете примеры по математике, то всегда помните правило – если есть возможность упростить выражение, то делайте это.
Для примера вычислил с вами производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равняется сумме производных этих функций. Это касается и производной разности функций.
Сейчас мы с вами на практике рассмотрим пример доказательства этой теоремы.
Найти производную функции:
Решение:
Правило третье: производная произведения функций
По следующей формуле мы сможем вычислить производную произведения двух дифференцируемых функций:
К примеру: необходимо найти производную функции:
Решение:
Необходимо сказать о том, каким образом вычисляются производные сложных функций.
Производная сложной функции равняется произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В примере, который указан выше, мы можем встретить выражение:
В этом примере промежуточным аргументом является 8x в пятой степени. Чтобы нам вычислить производную данного выражения, то для начала необходимо высчитать производную внешней функции по промежуточному аргументу, а после необходимо умножить на производную непосредственно сам промежуточный аргумент по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Ниже приведена формула для того, чтобы определить производную от частного двух функций:
Пример:
Решение:
В данной статье мы попытались рассказать о производных для тех, кто совершенно не знаком с этой темой. Когда вы будете решать примеры, то будьте очень внимательны, ведь в них часто можно встретить ловушки. Эта тема не так уж и проста, какой кажется на первый взгляд.
Вы можете обратиться в наш студенческий сервис по любым вопросам. Мы с удовольствием поможем решить для вас задачи любой сложности. А занимались вы раньше вычислением производных или нет, не имеет никакого значения. Мы помогаем всем!
Приведем сводную таблицу для удобства и наглядности при изучении темы.
|
Константа y=C (C)’=0 Степенная функция y=xp (xp)’=p·xp-1 |
Показательная функция y=ax (ax)’=ax·ln a В частности, при a=e имеем y=ex (ex)’=ex |
|
Логарифмическая функция (logax)’=1x·ln a В частности, при a=e имеем y=ln x (ln x)’=1x |
Тригонометрические функции (sin x)’=cos x(cos x)’=-sin x(tgx)’=1cos2x(ctgx)’=-1sin2x |
|
Обратные тригонометрические функции (arcsin x)’=11-x2(arccos x)’=-11-x2(arctg x)’=11+x2(arcctg x)’=-11+x2 |
Гиперболические функции (shx)’=chx(chx)’=shx(thx)’=1ch2x(cthx)’=-1sh2x |
Разберем, каким образом были получены формулы указанной таблицы или, иначе говоря, докажем вывод формул производных для каждого вида функций.
Производная постоянной
Для того, чтобы вывести данную формулу, возьмем за основу определение производной функции в точке. Используем x0=x, где x принимает значение любого действительного числа, или, иначе говоря, x является любым числом из области определения функции f(x)=C. Составим запись предела отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆x→0:
lim∆x→0∆f(x)∆x=lim∆x→0C-C∆x=lim∆x→00∆x=0
Обратите внимание, что под знак предела попадает выражение 0∆x. Оно не есть неопределенность «ноль делить на ноль», поскольку в числителе записана не бесконечно малая величина, а именно нуль. Иначе говоря, приращение постоянной функции всегда есть нуль.
Итак, производная постоянной функции f(x)=C равна нулю на всей области определения.
Даны постоянные функции:
f1(x)=3,f2(x)=a, a∈R,f3(x)=4.13722,f4(x)=0,f5(x)=-87
Необходимо найти их производные.
Решение
Опишем заданные условия. В первой функции мы видим производную натурального числа 3. В следующем примере необходимо брать производную от а, где а – любое действительное число. Третий пример задает нам производную иррационального числа 4.13722, четвертый – производную нуля (нуль – целое число). Наконец, в пятом случае имеем производную рациональной дроби -87.
Ответ: производные заданных функций есть нуль при любом действительном x (на всей области определения)
f1′(x)=(3)’=0,f2′(x)=(a)’=0, a∈R,f3′(x)=4.13722’=0,f4′(x)=0’=0,f5′(x)=-87’=0
Производная степенной функции
Переходим к степенной функции и формуле ее производной, имеющей вид: (xp)’=p·xp-1, где показатель степени p является любым действительным числом.
Приведем доказательство формулы, когда показатель степени – натуральное число: p=1, 2, 3, …
Вновь опираемся на определение производной. Составим запись предела отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:
(xp)’=lim∆x→0=∆(xp)∆x=lim∆x→0(x+∆x)p-xp∆x
Чтобы упростить выражение в числителе, используем формулу бинома Ньютона:
(x+∆x)p-xp=Cp0+xp+Cp1·xp-1·∆x+Cp2·xp-2·(∆x)2+…++Cpp-1·x·(∆x)p-1+Cpp·(∆x)p-xp==Cp1·xp-1·∆x+Cp2·xp-2·(∆x)2+…+Cpp-1·x·(∆x)p-1+Cpp·(∆x)p
Таким образом:
(xp)’=lim∆x→0∆(xp)∆x=lim∆x→0(x+∆x)p-xp∆x==lim∆x→0(Cp1·xp-1·∆x+Cp2·xp-2·(∆x)2+…+Cpp-1·x·(∆x)p-1+Cpp·(∆x)p)∆x==lim∆x→0(Cp1·xp-1+Cp2·xp-2·∆x+…+Cpp-1·x·(∆x)p-2+Cpp·(∆x)p-1)==Cp1·xp-1+0+0+…+0=p!1!·(p-1)!·xp-1=p·xp-1
Так, мы доказали формулу производной степенной функции, когда показатель степени – натуральное число.
Чтобы привести доказательство для случая, когда p – любое действительное число, отличное от нуля, используем логарифмическую производную (здесь следует понимать отличие от производной логарифмической функции). Чтобы иметь более полное понимание желательно изучить производную логарифмической функции и дополнительно разобраться с производной неявно заданной функции и производной сложной функции.
Рассмотрим два случая: когда x положительны и когда x отрицательны.
Итак, x>0. Тогда: xp>0. Логарифмируем равенство y=xp по основанию e и применим свойство логарифма:
y=xpln y=ln xpln y=p·ln x
На данном этапе получили неявно заданную функцию. Определим ее производную:
(ln y)’=(p·ln x)1y·y’=p·1x⇒y’=p·yx=p·xpx=p·xp-1
Теперь рассматриваем случай, когда x – отрицательное число.
Если показатель p есть четное число, то степенная функция определяется и при x<0, причем является четной: y(x)=-y((-x)p)’=-p·(-x)p-1·(-x)’==p·(-x)p-1=p·xp-1
Тогда xp<0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.
Если p есть нечетное число, тогда степенная функция определена и при x<0, причем является нечетной: y(x)=-y(-x)=-(-x)p. Тогда xp<0, а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:
y'(x)=(-(-x)p)’=-((-x)p)’=-p·(-x)p-1·(-x)’==p·(-x)p-1=p·xp-1
Последний переход возможен в силу того, что если p – нечетное число, то p-1 либо четное число, либо нуль (при p=1), поэтому, при отрицательных x верно равенство (-x)p-1=xp-1.
Итак, мы доказали формулу производной степенной функции при любом действительном p.
Даны функции:
f1(x)=1×23,f2(x)=x2-14,f3(x)=1xlog712
Определите их производные.
Решение
Часть заданных функций преобразуем в табличный вид y=xp, опираясь на свойства степени, а затем используем формулу:
f1(x)=1×23=x-23⇒f1′(x)=-23·x-23-1=-23·x-53f2′(x)=x2-14=2-14·x2-14-1=2-14·x2-54f3(x)=1xlog712=x-log712⇒f3′(x)=-log712·x-log712-1=-log712·x-log712-log77=-log712·x-log784
Производная показательной функции
Выведем формулу производной, взяв за основу определение:
(ax)’=lim∆x→0ax+∆x-ax∆x=lim∆x→0ax(a∆x-1)∆x=ax·lim∆x→0a∆x-1∆x=00
Мы получили неопределенность. Чтобы раскрыть ее, запишем новую переменную z=a∆x-1 (z→0 при ∆x→0). В таком случае a∆x=z+1⇒∆x=loga(z+1)=ln(z+1)ln a. Для последнего перехода использована формула перехода к новому основанию логарифма.
Осуществим подстановку в исходный предел:
(ax)’=ax·lim∆x→0a∆x-1∆x=ax·ln a·lim∆x→011z·ln(z+1)==ax·ln a·lim∆x→01ln(z+1)1z=ax·ln a·1lnlim∆x→0(z+1)1z
Вспомним второй замечательный предел и тогда получим формулу производной показательной функции:
(ax)’=ax·ln a·1lnlimz→0(z+1)1z=ax·ln a·1ln e=ax·ln a
Даны показательные функции:
f1(x)=23x,f2(x)=53x,f3(x)=1(e)x
Необходимо найти их производные.
Решение
Используем формулу производной показательной функции и свойства логарифма:
f1′(x)=23x’=23x·ln23=23x·(ln 2-ln 3)f2′(x)=53x’=53x·ln 513=13·53x·ln 5f3′(x)=1(e)x’=1ex’=1ex·ln1e=1ex·ln e-1=-1ex
Производная логарифмической функции
Приведем доказательство формулы производной логарифмической функции для любых x в области определения и любых допустимых значениях основания а логарифма. Опираясь на определение производной, получим:
(logax)’=lim∆x→0loga(x+∆x)-logax∆x=lim∆x→0logax+∆xx∆x==lim∆x→01∆x·loga1+∆xx=lim∆x→0loga1+∆xx1∆x==lim∆x→0loga1+∆xx1∆x·xx=lim∆x→01x·loga1+∆xxx∆x==1x·logalim∆x→01+∆xxx∆x=1x·logae=1x·ln eln a=1x·ln a
Из указанной цепочки равенств видно, что преобразования строились на основе свойства логарифма. Равенство lim∆x→01+∆xxx∆x=e является верным в соответствии со вторым замечательным пределом.
Заданы логарифмические функции:
f1(x)=logln3 x,f2(x)=ln x
Необходимо вычислить их производные.
Решение
Применим выведенную формулу:
f1′(x)=(logln3 x)’=1x·ln(ln 3);f2′(x)=(ln x)’=1x·ln e=1x
Итак, производная натурального логарифма есть единица, деленная на x.
Производные тригонометрических функций
Используем некоторые тригонометрические формулы и первый замечательный предел, чтобы вывести формулу производной тригонометрической функции.
Согласно определению производной функции синуса, получим:
(sin x)’=lim∆x→0sin (x+∆x)-sin x∆x
Формула разности синусов позволит нам произвести следующие действия:
(sin x)’=lim∆x→0sin (x+∆x)-sin x∆x==lim∆x→02·sin x+∆x-x2·cosx+∆x+x2∆x==lim∆x→0sin ∆x2·cosx+∆x2∆x2==cosx+02·lim∆x→0sin ∆x2∆x2
Наконец, используем первый замечательный предел:
sin’ x=cos x+02·lim∆x→0sin∆x2∆x2=cos x
Итак, производной функции sin x будет cos x.
Совершенно также докажем формулу производной косинуса:
cos’ x=lim∆x→0cos (x+∆x)-cos x∆x==lim∆x→0-2·sin x+∆x-x2·sinx+∆x+x2∆x==-lim∆x→0sin∆x2·sinx+∆x2∆x2==-sinx+02·lim∆x→0sin∆x2∆x2=-sin x
Т.е. производной функции cos x будет –sin x.
Формулы производных тангенса и котангенса выведем на основе правил дифференцирования:
tg’x=sin xcos x’=sin’ x·cos x-sin x·cos’ xcos2 x==cos x·cos x-sin x·(-sin x)cos2 x=sin2 x+cos2 xcos2 x=1cos2 xctg’x=cos xsin x’=cos’x·sin x-cos x·sin’xsin2 x==-sin x·sin x-cos x·cos xsin2 x=-sin2 x+cos2 xsin2 x=-1sin2 x
Производные обратных тригонометрических функций
Раздел о производной обратных функций дает исчерпывающую информацию о доказательстве формул производных арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, поэтому дублировать материал здесь не будем.
Производные гиперболических функций
Вывод формул производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса осуществим при помощи правила дифференцирования и формулы производной показательной функции:
sh’x=ex-e-x2’=12ex’-e-x’==12ex–e-x=ex+e-x2=chxch’x=ex+e-x2’=12ex’+e-x’==12ex+-e-x=ex-e-x2=shxth’x=shxchx’=sh’x·chx-shx·ch’xch2x=ch2x-sh2xch2x=1ch2xcth’x=chxshx’=ch’x·shx-chx·sh’xsh2x=sh2x-ch2xsh2x=-1sh2x
Рекомендуется выучить формулы из таблицы производных: они не столь сложны для запоминания, но экономят много времени, когда необходимо решать задачи дифференцирования.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
