Как найти координа ты векторов

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

• Нахождение координат вектора

• Примеры задач

Нахождение координат вектора

Для того, чтобы найти координаты вектора AB, нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).

Формулы для определения координат вектора

Для плоских задач	AB = {Bx – Ax; By – Ay}
Для трехмерных задач	AB = {Bx – Ax; By – Ay; Bz – Az}
Для n-мерных векторов	AB = {B1 – A1; B2 – A2; … Bn – An}

Примеры задач

Задание 1
Найдем координаты вектора AB, если у его точек следующие координаты: A = (2; 8), B = (5; 12).

Решение:
AB = {5 – 2; 12 – 8} = {3; 4}.

Задание 2
Определим координаты точки B вектора AB = {6; 14}, если координаты точки A = (2; 5).

Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
B_x = AB_x + A_x = 6 + 2 = 8.
B_y = AB_y + A_y = 14 + 5 = 19.

Таким образом, B = (8; 19).

Содержание:

• Формула
• Примеры нахождения координат вектора

Формула

Чтобы найти координаты вектора $overline {A B}$, если заданы координаты его начала и конца,
необходимо от координат конца отнять соответствующие координаты начала. В случае если точки заданы на плоскости и имеют соответственно
координаты $Aleft(x_{A} ; y_{A}right)$ и $Bleft(x_{B} ; y_{B}right)$, то координаты вектора $overline {A B}$ вычисляются по формуле:

Если точки заданы в пространстве и имеют координаты
$Aleft(x_{A} ; y_{A} ; z_{A}right)$ и $Bleft(x_{B} ; y_{B} ; z_{B}right)$ соответственно, то координаты вектора
$overline {A B}$ вычисляются по следующей формуле:

Примеры нахождения координат вектора

Читать дальше: как найти направляющие косинусы вектора.

Задачи с векторами только на первый взгляд кажутся сложными, особенно если задача связана с трехмерным пространством. Но не стоит пугаться ведь если разобраться по-лучше в данной тематике задачи решаются в два счета. Так например в данной статье мы разберем тематику определения координат вектора, исходными данными для которого известны координаты начальной и конечной точки.

Основное правило, которое будет сопровождать в данной теме, гласит так:

Для того чтобы определить координаты некоторого вектора MN⃗vec{MN}, зная координаты начала и конца, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.

Задача 1

Рассмотрим первый вариант задачи. Вектор задан в двухмерном пространстве {x,y}. Тогда у каждой точки вектора существует две координаты, соответственно относящиеся к оси ОХ и ОУ. Формула для определения координаты вектора в таком случае принимает вид:

MN⃗=Mx−Nx;My−Ny.vec{MN}={M_x{-N}_x;M_y{-N}_y}.

Рассмотрим на примере: На некоторой плоскости заданы точки M и N, координаты которых равны соответственно (1,2) и (3,5). Необходимо найти координаты вектора MN⃗vec{MN}

Решение

Возьмем некоторую плоскость ОХУОХУ и отметим точки ММ и NN. Затем соединим исходные точки и рассчитаем координаты полученного вектора. MN⃗={3−1;5−2}=2;3.vec{MN}=left{3-1;5-2right}={2;3}.

Вот так вот мы получили простое решение искомой задачи. Вариация таких задач может сочетать в себе нахождение не только координат вектора, но и отдельных координат исходных точек вектора.

Но у меня задача может быть не только одно- или двухмерное, но также трехмерное или как мы будем называть их n-мерное. Формула тогда в таком случае немного изменит вид, но смысл не меняется.

Задача 2

Сформулируем формулу для определения координат вектора расположенного в n-мерном пространстве.
Такое пространство подразумевает координаты точек в виде M(M1;M2;M3;..;Mn)M(M_1;M_2{;M}_3;..{;M}_n) и формула примет вид:

MN⃗=Mx−Nx;My−Ny;..;Mn−Nn.vec{MN}={M_x{-N}_x;M_y{-N}_y{;..;M}_n{-N}_n}.

Рассмотрим задачу на примере 5-мерного пространства. Необходимо найти координаты точки N вектора

MN⃗={3,8,4,1,7}vec{MN}={3,8,4,1,7}, если известны координаты точки M(1,9,6,7,4).M(1,9,6,7,4).

Решение

Не стоит пугаться при виде слов 5-мерное пространство, т.к. рисовать данную систему координат не обязательно. Стоит лишь правильно понимать и применять формулу которую мы рассмотрели выше. Перепишем ее еще раз для нашего случая.

MN⃗={M1−N1;M2−N2;M3−N3;M4−N4;M5−N5}.vec{MN}= {M_1{-N}_1;M_2{-N}_2{;M_3{-N}_3{;M}_4{-N}_4;M}_5{-N}_5}.

Тогда рассмотрим систему:

{1−N1=39−N2=86−N3=47−N4=14−N5=7begin{cases}1-N_1=3 \
9-N_2=8 \
6-N_3=4\
7-N_4=1\
4-N_5=7end{cases}

и решив данную систему, получим

{N1=−2N2=1N3=2N4=6N5=−3begin{cases}N_1=-2\
N_2=1\
N_3=2\
N_4=6\
N_5=-3\ end{cases}

Тогда получим ответ на задачу N(−2,1,2,6,−3).N(-2,1,2,6,-3).

Вспомним для начала основные понятия и формулы.

Пусть даны две точки: А(x1; x2) и B(y1; y2). Рассмотрим отрезок AB.

Длина отрезка АВ – это расстояние между точками A и B, его величина вычисляется по следующей формуле:

Рассмотрим теперь вектор AB. Напомню, что вектор – это направленный отрезок, то есть для него указано, какая из двух точек A и B является началом, а какая – концом. На рисунке ниже слева изображен отрезок AB, а справа – вектор AB с началом в точке A и концом в точке B.

Координаты вектора AB вычисляются следующим образом: из соответствующих координат конца вектора вычитаются соответствующие координаты начала вектора. Например, для нашего вектора AB это будет выглядеть так: AB(x2 – x1; y2 – y1).

Замечу, что модулем вектора AB называется длина отрезка AB.

Вспомним как найти координаты середины отрезка AB. Для этого есть простая формула:

x = (x1 + x2)/2, y = (y1 + y2)/2.

До этого момента мы рассматривали координаты на плоскости, а что, если речь пойдет о пространстве? Тут, оказывается, тоже все просто.

Пусть даны две точки A(x1; x2; x3) и B(y1; y2; y3).

Формула для вычисления длины отрезка AB, расположенного в пространстве будет выглядеть так:

А координаты середины отрезка AB найдем по формуле

x = (x1 + x2)/2, y = (y1 + y2)/2, z = (z1 + z2)/2.

И еще одна полезная формула: если вектор задан своими координатами, например,  MN(x1; x2; x3), то его модуль вычисляется по формуле:

Чтобы сложить два или более векторов, нужно сложить их соответствующие координаты, например,

(x1; x2; x3) + (y1; y2; y3) = (x1 + y1; x2 + y2; x3 + y3).

Чтобы умножить вектор на число, нужно умножить каждую его координату на это число, например,

5 · (x1; x2; x3) = (5 · x1; 5 · x2; 5 · x3).

Скалярным произведением двух векторов а и b называется число

a · b = |a”b| · сos (a, b),

Чтобы вычислить скалярное произведение векторов, заданных координатами, например, MN(x1; x2; x3) и PK(y1; y2; y3), можно воспользоваться следующей формулой:

MN · PK = x1 · y1 + x2 · y2 + x3 · y3.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

На практике коллинеарность векторов (x1; x2) и (y1; y2) проще всего проверить, используя следующее свойство: коллинеарные векторы имеют пропорциональные координаты, то есть существует число p, такое, что (x1; x2) = p · (y1; y2).

Существуют также такие понятия, как сонаправленные векторы и противоположно направленные векторы. Сонаправленные векторы – это коллинеарные векторы, которые направлены в одну сторону, соответственно, противоположно направленные векторы – это коллинеарные векторы, которые направлены в разные стороны.

Теперь давайте рассмотрим несколько задач на эту тему.

Задача 1.

Доказать, что треугольник с вершинами A(6; -4; 2), B(3; 2; 3) и C(3; -5; -1) прямоугольный.

Решение.

Вполне очевидно, что для доказательства этой задачи достаточно показать, что один из углов треугольника ABC равен 90 градусов. Вспомним формулу для вычисления скалярного произведения через модули соответствующих векторов и косинус угла между ними, преобразуем ее и воспользуемся для нахождения угла.

сos (a, b) = a · b/|a”b|.

Для начала нам понадобятся координаты всех векторов, задающих стороны треугольника, их модули и всевозможные скалярные произведения. Вычисляем их.

Координаты векторов:

AB(3 – 6; 2 – (-4); 3 – 2) = AB(-3; 6; 1);

BC(3 – 3; -5 – 2; -1 – 3) = BC(0; -7; -4);

CA(6 – 3; -4 – (-5); 2 – (-1)) = CA(3; 1; 3).

Модули:

|AB| =

|BC| =

|CA| =

Скалярные произведения:

AB · BC = (-3) · 0 + 6 · (-7) + 1 · (-4) = 0 – 42 – 4 = -46;

BC · CA = 0 · 3 + (-7) · 1 + (-4) · 3 = 0 – 7 – 12 = -19;

AB · CA = (-3) · 3 + 6 · 1 + 1 · 3 = -9 + 6 + 3 = 0.

Теперь легко заметить, что угол между векторами AB и CA равен 90 градусов, так как

сos (AB, CA) = AB · CA / |AB”CA| = 0.

А, значит, угол А треугольника ABC равен 90 градусов, то есть треугольник ABC – прямоугольный, что и требовалось доказать.

Задача 2.

Даны точки А(0; 1; 2), B(1; 2; 4), C(-1; -1; 3) и D(1; 0; 0). Точки M и N – середины отрезков AC и BD. Найдите вектор MN и его модуль.

Решение.

Для начала найдем координаты точек M и N.

M((0 – 1)/2; (1 – 1)/2; (2 + 3)/2) = M(-1/2; 0; 5/2);

N((1 + 1)/2; (2 + 0)/2; (4 + 0)/2) = N(1; 1; 2).

Теперь найдем координаты вектора MN:

MN(1 – (-1/2); 1 – 0; 2 – 5/2) = MN(3/2; 1; -1/2).

Осталось найти модуль вектора MN.

|MN| =

Задача 3.

При каких значениях x векторы (x³ – 1)a и 2xa сонаправлены, где a – вектор, не равный нулевому вектору?

Решение.

Для того чтобы данные векторы были сонаправлены, необходимо, чтобы коэффициенты (x³ – 1) и 2x имели одинаковый знак, а значит, чтобы выполнялось следующее неравенство: (x³ – 1) · 2x > 0. Решим его методом интервалов и найдем соответствующие x.

Получим x € (-∞; 0) U (1; +∞).

Если бы в задаче требовалось узнать, при каких x данные векторы будут противоположно направлены, мы бы потребовали, чтобы у коэффициентов (x³ – 1) и 2x были различные знаки.

Задача 4.

Даны координаты вершин четырехугольника: A(2; -2), B(-3; 1), C(7; 7) и D(7; 1). Доказать, что ABCD – трапеция.

Решение.

Так как трапеция – это четырехугольник, у которого одна пара противолежащих сторон параллельна, то для доказательства нам достаточно показать, что векторы BC и AD – коллинеарны, то есть лежат на параллельных прямых. Найдем для начала их координаты.

BC(7 – (-3); 7 – 1) = BC(10; 6);

AD(7 – 2; 1 – (-2)) = AD(5; 3).

Заметим, что координаты векторов пропорциональны: (10; 6) = 2 · (5; 3). Это и указывает на то, что данные векторы коллинеарны, а, значит, ABCD – трапеция.

Остались вопросы? Не знаете, как выполнять действия над векторами?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.