Математика
6 класс
Урок № 79
Декартова система координат на плоскости
Перечень рассматриваемых вопросов:
- прямоугольная система координат;
- координатная плоскость;
- координатная ось, координата точки;
- изображение точек с действительными координатами на плоскости.
Тезаурус
Координатная плоскость. Зададим на плоскости две оси координат, расположив их под прямым углом. Координатные оси пересекаются в точке, являющейся началом отсчёта для каждой из них.
Ось х называют осью абсцисс – расположена горизонтально, направлена вправо. Ось у называют осью ординат – расположена вертикально, направлена вверх.
Оси координат разделяют плоскость на 4 угла, которые называются координатными четвертями.
Координаты точки М (х; у), где х – абсцисса, у – ордината точки.
Обязательная литература:
- Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.
Дополнительная литература:
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
- Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Зададим на плоскости две оси координат, расположив их под прямым углом. Единичные отрезки осей возьмём равными друг другу.
Ось х называют осью абсцисс – расположена горизонтально, направлена вправо. Ось у называют осью ординат – расположена вертикально, направлена вверх.
Положительное направление на осях указывается стрелкой.
Точку пересечения осей называют началом координат.
Оси взаимно перпендикулярны, поэтому заданную таким образом систему координат называют прямоугольной.
Оси координат разделяют плоскость на 4 угла – координатные четверти. Обозначают римскими цифрами как показано на рисунке.
Одним из первых, кто начал широко использовать прямоугольную систему координат в своих исследованиях, был французский философ и математик Рене Декарт, поэтому её часто называют декартовой системой координат.
Пусть A – произвольная точка координатной плоскости. Проведём через точку A прямые, параллельные осям координат. Прямая, параллельная оси y, пересечёт ось x в точке A1, а прямая, параллельная оси x, пересечёт ось y в точке A2. Координату точки A1 на оси x называют абсциссой точки A. Координату точки A2 на оси y называют ординатой точки A. Абсциссу x и ординату y точки A называют координатами точки A.
Координаты точки, записывают в круглых скобках рядом с буквой, обозначающей эту точку: М (х; у).
Важно!
х – первая координата
у – вторая координата
Поменять местами х и у нельзя – получится другая точка.
Поэтому пару координат (x; y) точки A называют упорядоченной парой чисел.
Если на плоскости задана прямоугольная система координат хOу, то:
– каждой точке плоскости поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел (координаты точки);
– разным точкам плоскости соответствуют разные упорядоченные пары чисел;
– каждая упорядоченная пара чисел соответствует одной точке плоскости.
То есть установлено взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами чисел.
Алгоритм построения точки на координатной плоскости
Построим точку А(3; 6).
Введём прямоугольную систему координат.
На каждой оси откладываем заданные координаты х и у (x > 0 и y > 0, значит, точка A расположена в I координатной четверти).
Проводим перпендикуляры к оси х и оси у.
Точка их пересечения – искомая точка.
В(– 4; 5) – имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату, значит, расположена во II четверти.
С(– 8; – 4) – имеет обе отрицательные координаты, значит, расположена в III четверти.
D(9; – 2) – имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату, значит, расположена в IV четверти.
F(6; 0), E(– 5; 0) – точки лежат на оси абсцисс.
H(0; – 5) – точка лежит на оси ординат.
O(0; 0) – начальная точка системы координат.
В географии положение объектов на земной поверхности определяется двумя координатами: широтой и долготой.
В концертном зале своё кресло можно найти по номеру ряда и места.
В шахматах каждой клетке соответствует буква столбца и цифра ряда.
Разбор заданий тренировочного модуля
Тип 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте
Построить прямую АВ, если А(3; 2), В(– 3; – 4).
Найти:
1) координаты точек пересечения прямой AB с осями;
2) координаты середины отрезка AB.
Шаг 1. Строим точки А и В по их координатам.
Шаг 2. Проводим прямую АВ.
Шаг 3. Находим точки пересечения с осями координат, обозначаем их буквами M и N. Определяем их координаты:
М (1; 0), N (0; – 1).
Шаг 4. Находим по графику середину отрезка АВ, это точка N (0; – 1).
Ответ: координаты точек пересечения прямой AB с осями: М (1; 0), N (0; – 1), координаты середины отрезка AB: N (0; – 1).
Тип 2. Нарисуйте фигуру, последовательно соединяя точки
(0; 4), (– 2; – 2), (3; 2), (– 3; 2), (2; – 4), (0; 4).
Во многих ситуациях реальной жизни мы используем два числа (или другие символы), чтобы точно описать нужный нам объект.
Место в зрительном зале задаётся номером ряда и номером кресла в ряду.
Рис. (1). Зрительный зал, схема
На шахматной доске позиция шахматной фигуры задаётся названием столбца и номером ряда.
Рис. (2). Шахматная доска
Любая карта (или глобус) разделена на квадраты, и, подобно шахматной доске, каждый квадрат задаётся двумя номерами.
Рис. (3). Географическая карта
На экране компьютера каждая точка задаётся двумя номерами.
Рис. (4). Пиксельная сетка экрана
Рис. (5). Рене Декарт
Французский философ и математик Рене Декарт ((1596)–(1650)) уже в XVII веке предложил метод двух координат для нахождения точки на плоскости. Поэтому система координат названа его именем.
Декартову систему координат образуют:
1. две перпендикулярные прямые, на которых указано направление возрастания чисел. Горизонтальная прямая называется осью Ox, или осью абсцисс. Вертикальная прямая называется осью Oy, или осью ординат.
2. Точка пересечения прямых — начало координатной системы, она часто обозначается через букву O.
3. Отрезки на каждой оси длиной в одну единицу измерения.
Рис. (6). Система координат
Для любой точки находят две координаты (x) и (y) (абсциссу и ординату) и записывают как AxA;yA.
На рисунке показаны координаты A2;4, то есть абсцисса точки (A) равна (2), а ордината точки (A) равна (4).
Если на плоскости выбрана система координат, то такую плоскость называют координатной плоскостью.
Так как оси координат делят плоскость на (4) части, каждая из них имеет номер и называется квадрантом.
В I квадранте находится положительная часть оси абсцисс и оси ординат.
Во II квадранте находится положительная часть оси ординат и отрицательная часть оси абсцисс.
В III квадранте находится отрицательная часть оси абсцисс и оси ординат.
В IV квадранте находится положительная часть оси абсцисс и отрицательная часть оси ординат.
Рис. (7). Система координат, квадранты
Источники:
Рис. 1. Зрительный зал, схема. © Якласс
Рис. 2. Шахматная доска. Указание авторства не требуется, 2021.06.03, бесплатно для коммерческого использования, https://pixabay.com/images/id-3791454/
Рис. 3. Географическая карта. Указание авторства не требуется, 2021.06.03, бесплатно для коммерческого использования, https://pixabay.com/images/id-1149538/
Рис. 4. Пиксельная сетка экрана. © Якласс
Рис. 5. Рене Декарт. Общественное достояние. 2021.06.03, https://clck.ru/Nhumi
Рис. 6. Система координат. © Якласс
Рис. 7. Система координат, квадранты. © Якласс
Содержание:
- § 1 Система координат: определение и способ построения
- § 2 Координатная ось и координатная плоскость
- § 3 Построение точки на плоскости
§ 1 Система координат: определение и способ построения
В этом уроке познакомимся с понятиями «система координат», «координатная плоскость», «оси координат», научимся строить точки на плоскости по координатам.
Возьмем координатную прямую х с началом координат точкой О, положительным направлением и единичным отрезком.
Через начало координат точку О координатной прямой х проведем еще одну координатную прямую y, перпендикулярную х, положительное направление зададим вверх, единичный отрезок такой же. Таким образом, мы построили систему координат.
Дадим определение:
Две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом координат каждой из них, образуют систему координат.
§ 2 Координатная ось и координатная плоскость
Прямые, которые образуют систему координат, называют координатными осями, каждая из которых имеет свое название: координатная прямая х – ось абсцисс, координатная прямая y – ось ординат.
Плоскость, на которой выбрана система координат, называется координатной плоскостью.
Описанная система координат называется прямоугольной. Часто ее называют декартовой системой координат в честь французского философа и математика Рене Декарта.
Каждая точка координатной плоскости имеет две координаты, которые можно определить, опустив из точки перпендикуляры на оси координат. Координаты точки на плоскости – это пара чисел, из которых первое число – абсцисса, второе число – ордината. Абсциссу показывает перпендикуляр к оси х, ординату – перпендикуляр к оси y.
Отметим на координатной плоскости точку А, проведем из неё перпендикуляры к осям системы координат.
По перпендикуляру к оси абсцисс (ось х) определяем абсциссу точки А, она равна 4, ординату точки А – по перпендикуляру к оси ординат (ось у) – это 3. Координаты нашей точки 4 и 3. А (4;3). Таким образом, координаты можно найти для любой точки координатной плоскости.
§ 3 Построение точки на плоскости
А как построить точку на плоскости с заданными координатами, т.е. по координатам точки плоскости определить её положение? В данном случае действия выполняем в обратном порядке. На координатных осях находим точки соответствующие заданным координатам, через которые проводим прямые, перпендикулярные осям х и y. Точка пересечения перпендикуляров и будет искомой, т.е. точкой с заданными координатами.
Выполним задание: построить на координатной плоскости точку М (2;-3).
Для этого на оси абсцисс находим точку с координатой 2, проводим через данную точку прямую перпендикулярную оси х. На оси ординат найдем точку с координатой -3, через нее проведем прямую перпендикулярную оси y. Точка пересечения перпендикулярных прямых и будет заданной точкой М.
А теперь рассмотрим несколько частных случаев.
Отметим на координатной плоскости точки А (0; 2), В (0; -3), С (0; 4).
Абсциссы данных точек равны 0. На рисунке видно, что все точки находятся на оси ординат.
Следовательно, точки, абсциссы которых равны нулю, лежат на оси ординат.
Поменяем координаты данных точек местами.
Получится А (2;0), В (-3;0) С (4; 0). В этом случае все ординаты равны 0 и точки находятся на оси абсцисс.
Значит, точки, ординаты которых равны нулю, лежат на оси абсцисс.
Разберем еще два случая.
На координатной плоскости отметим точки М (3; 2), N (3; -1), Р (3; -4).
Легко заметить, что все абсциссы точек одинаковые. Если эти точки соединить, получится прямая, параллельная оси ординат и перпендикулярная оси абсцисс.
Напрашивается вывод: точки, имеющие одну и ту же абсциссу, лежат на одной прямой, которая параллельна оси ординат и перпендикулярна оси абсцисс.
Если поменять координаты точек М, N, Р местами, то получится М (2; 3), N (-1; 3), Р (-4; 3). Одинаковыми станут ординаты точек. В данном случае, если эти точки соединить, получится прямая параллельная оси абсцисс и перпендикулярная оси ординат.
Таким образом, точки, имеющие одну и ту же ординату, лежат на одной прямой параллельной оси абсцисс и перпендикулярной оси ординат.
В этом уроке Вы познакомились с понятиями «система координат», «координатная плоскость», «оси координат – ось абсцисс и ось ординат». Узнали, как найти координаты точки на координатной плоскости и научились строить точки на плоскости по ее координатам.
Список использованной литературы:
- Математика. 6 класс: поурочные планы к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича//автор-составитель Л.А. Топилина. – Мнемозина, 2009.
- Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович.- М.: Мнемозина, 2013.
- Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др./по редакцией Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина; Рос.акад.наук, Рос.акад.образования. – М.: «Просвещение», 2010
- Справочник по математике – http://lyudmilanik.com.ua
- Справочник для учащихся в средней школе http://shkolo.ru
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике 5-9 класс
- Координаты на плоскости
- Координатная плоскость
Указать положение точки на плоскости можно с помощью координат. Для этого проведем на плоскости две перпендикулярные координатные прямые так, чтобы их начала отсчета совпадали.
Эти прямые называют осями координат, точку их пересечения О – начало отсчета.
Горизонтальная ось – ось абсцисс, обозначают буквой 
, поэтому еще называют ось , пишут: 
.
Вертикальная ось – ось ординат, обозначают буквой 
, поэтому еще называют ось , пишут: 
.
Оси и вместе образуют прямоугольную систему координат на плоскости. Плоскость, на которой выбрана система координат, называют координатной плоскостью.
Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, которые называют координатными четвертями и нумеруют так, как показано на рисунке ниже.
Отметим на координатной плоскости точку А. Проведем через нее прямую АВ, перпендикулярную оси абсцисс (АВ 
), и прямую АС, перпендикулярную оси ординат (АС ).
Точка В на оси имеет координату 5, а точка С на оси – координату 
3 . Число 5 называют абсциссой точки А, число 3 – ординатой точки А. Числа 5 и 3 однозначно определяют положение точки А на координатной плоскости, поэтому их называют координатами точки А и записывают: А(5; 3).
Обратите внимание, записывая координаты точки, абсциссу всегда ставят на первое место, а ординату – на второе. Если числа 5 и 3 поменять местами, то получим координаты другой точки – точки К(3; 5) (смотри рисунок выше).
У начала координат абсцисса и ордината равны нулю, записывают так: О(0; 0). Если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю, а если на оси ординат, то нулю равна ее абсцисса. На рисунке ниже: Р(2; 0); Е(0; 4).
Чтобы попасть в точку D с координатами (4; 5), нужно сначала пройти по оси от начала отсчета влево на 4 единицы, а потом – на 5 единиц вниз.
Две точки с противоположными абсциссами и ординатами симметричны относительно начала координат.
На рисунке ниже точки N(2; 4) и М(2; 4) симметричны относительно начала координат.
Две точки, имеющие равные ординаты и противоположные абсциссы, симметричны относительно оси ординат.
На рисунке ниже точки Р(3; 2) и К(3; 2) симметричны относительно оси ординат.
Две точки, имеющие равные абсциссы и противоположные ординаты, симметричны относительно оси абсцисс.
На рисунке ниже точки Р(3; 2) и Е(3; 2) симметричны относительно оси абсцисс.
Советуем посмотреть:
Перпендикулярные прямые
Осевая и центральная симметрии
Параллельные прямые
Координаты на плоскости
Правило встречается в следующих упражнениях:
6 класс
Номер 1309,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1315,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1318,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 1390,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1396,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1419,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1444,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1445,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1446,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 5,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2
7 класс
Номер 747,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 750,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 777,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 819,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 821,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 827,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 880,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 890,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 891,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 997,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
8 класс
Номер 310,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 6,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 330,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 331,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 333,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 338,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 354,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 359,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 360,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 364,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
В повседневной жизни вы могли слышать такую
фразу: «Оставьте мне ваши координаты!».
Как вы понимаете эту фразу?
Это выражение означает, что собеседник должен
оставить свой адрес или номер телефона, т.е. данные, по
которым его можно найти.
Определение
Числа, с помощью которых указывают, где
находится некоторый объект, называют его координатами.
С координатами вы уже не раз встречались и в
математике. Вы умеете выполнять две операции: отмечать на координатной прямой
точку с заданной координатой и, наоборот, определять координату заданной точки.
Для этого на прямой выбирают начало отсчёта, положительное направление и
единичный отрезок. После этого любая точка прямой получает свою собственную
координату.
Координата точки указывает,
таким образом, её место на координатной прямой.
Возникает вопрос: а можно ли определить
местоположение точки на плоскости?
Наверняка, хоть раз в жизни вы играли в такую
игру как «Морской бой».
Поле этой игры состоит из квадрата размерами 10 на 10
клеточек. В этом поле изображаются корабли: 1
четырёхклеточный, 2 трёхклеточных, 3 двухклеточных и 4
одноклеточных. При этом между любыми двумя соседними кораблями должен
оставаться промежуток не меньше одной клетки.
На экране изображён один из вариантов
расположения кораблей. Каждая клеточка квадрата обозначается парой: (буква
–число), указанных вдоль нижней и левой сторон квадрата. Например, корабль
расположен в клетке (Ж; 4). Суть этой игры
найти все корабли соперника первым. При обозначении положения клетки первой
указывают её горизонтальную координату, а второй – вертикальную.
Именно в этом и состоит суть координат или,
как обычно говорят, системы координат: это правило, по которому
определяется положение того или иного объекта.
Системы координат встречаются в
нашей жизни постоянно.
Вы знакомы с системой координат в зрительном
зале кинотеатра (номер ряда и номер места), в поезде (номер вагона и номер
места), с системой географических координат (долгота и широта).
Что нужно знать для того, чтобы найти своё
место в кинотеатре? Места в зрительном зале кинотеатра задают двумя
числами: первым числом обозначают номер ряда, а вторым – номер кресла в этом
ряду. Значит, чтобы правильно занять своё место в зрительном зале необходимо
знать две координаты: ряд и место.
Например, в билете указаны: 3 ряд 2 место.
Посмотрите где это место расположено.
Обратите внимание, что при определении
местоположения нам необходимо знать две характеристики или два
значения.
Подобным образом можно обозначить и положение
точки на плоскости.
Рене Декарт – французский математик ввёл
в 1637 году систему координат,
которая используется во всем мире и известна каждому школьнику. Её называют
также «Декартова система координат».
Чтобы задать декартову прямоугольную систему
координат на плоскости проводят две взаимно перпендикулярные координатные
прямые х и у, называемые координатными осями.
Точка пересечения осей – «O» называется началом координат.
На каждой оси ОX
и ОY задаётся положительное
направление и выбирается единичный отрезок.
Каждая из координатных осей имеет своё
название: горизонтальную ось называют осью абсцисс (или осью
х), вертикальную ось называют осью ординат (или осью
у). Эти прямые составляют систему координат на плоскости.
Определение
Плоскость, на которой задана система
координат, называется координатной плоскостью.
Оси разбивают координатную плоскость на четыре
части, которые называют координатными четвертями. Их нумеруют
римскими цифрами и против часовой стрелки.
Говорят: первая четверть, вторая четверть,
третья четверть и четвертая четверть.
Каждая точка такой плоскости имеет две
координаты.
Рассмотрим, как определяется положение точки
на координатной плоскости.
Например, у нас есть точка М. И нужно определить её координаты. Для этого
проведём перпендикуляр из этой точки на горизонтальную ось или ось абсцисс.
Точка пересечения с осью х называется абсциссой точки М.
В нашем случае, абсцисса точки М 3.
Далее, из этой же точки проведём перпендикуляр
до пересечения с вертикальной осью, или осью ординат.
Точка пересечения с осью у называется ординатой точки М.
В нашем случае, ордината точки М 5.
Абсцисса и ордината точки М называются координатами этой точки.
Их принято записывать рядом с буквой, обозначающей точку, в круглых скобках. Причем,
на первом месте всегда пишется абсцисса, а на втором – ордината.
Читают эту запись так: «точка М с абсциссой
3 и ординатой 5», или «точка М с координатами 3 и 5». Обратите
внимание, если переставить координаты местами, то получится совсем другая
точка. Например, точка N (5; 3).
Определение
Координаты точки (х;у) на плоскости
– это пара чисел, в которой на первом месте стоит абсцисса (х), а на втором –
ордината (у) этой точки.
Сделаем вывод: координаты можно указать
для любой точки координатной плоскости: для этого надо из точки провести
перпендикуляры на координатные оси и определить, какому числу координатной оси
соответствует основание перпендикуляра.
Точки любой прямой, перпендикулярной оси
абсцисс, имеют одну и ту же абсциссу.
Например, все точки прямой а имеют абсциссу 4.
Все точки оси ординат имеют абсциссу 0, т.е.
координаты любой точки оси ординат имеют вид (0; у).
Точки любой прямой, перпендикулярной оси
ординат, имеют одну и ту же ординату.
Например, все точки прямой b имеют ординату -3. Все точки оси абсцисс имеют ординату 0, т.е. координаты любой точки оси абсцисс имеют
вид (х; 0).
Начало координат – точка О – лежит и на оси абсцисс, и на оси ординат.
Значит, её координаты (0; 0).
Построить точку по её координатам можно
несколькими способами.
Например, построим точку А (-5; 7).
Первый способ: на оси х находим абсциссу точки А. Она у нас равна -5.
Проводим перпендикуляр из этой точки относительно оси ОХ. Далее, на оси у, найдём ординату точки.
Она равна 7. Проводим перпендикуляр из этой
точки относительно оси ОУ. Точка, где
пересеклись оба перпендикуляра, и есть искомая точка А.
Второй способ построения точки по
заданным координатам. Можно сместиться по оси ОХ
влево на 5 единиц, т.к. абсцисса точки –
отрицательное число. А затем, параллельно оси ОX вверх на 7
единиц, т.к. ордината точки положительное число. Точка, где пересеклись оба
перпендикуляра, и есть искомая точка А.
Сделаем ещё один очень важный вывод:
Каждой точке на координатной плоскости
соответствует пара чисел: её абсцисса и ордината. Наоборот, каждой паре чисел
соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.
Задание
Построите на координатной плоскости точки, а
затем последовательно соедините их отрезками.
Какая фигура у нас получилась в итоге?
Правильно! Это котик!!!
