Как найти координатную плоскость xoy

В статье рассмотрим такой тип уравнений плоскости как общее уравнение, получим его вид и разберем на практических примерах. Рассмотрим частные случаи и понятие общего неполного уравнения плоскости.

Общее уравнение плоскости: основные сведения

Перед началом разбора темы вспомним, что такое уравнение плоскости в прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве. Пусть нам дана прямоугольная система координат Oxyz в трехмерном пространстве, уравнением плоскости в заданной системе координат будет такое уравнение с тремя неизвестными x, y, и z, которому отвечали бы координаты всех точек этой плоскости и не отвечали бы координаты никаких прочих точек. Иначе говоря, подставив в уравнение плоскости координаты некоторой точки этой плоскости, получаем тождество. Если же в уравнение подставить координаты какой-то другой точки, не принадлежащей заданной плоскости, равенство станет неверным.

Также вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости: прямая является перпендикулярной к заданной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

Любую плоскость, заданную в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства, можно определить уравнением Ax + By + Cz + D = 0. В свою очередь, любое уравнение Ax + By + Cz + D = 0 определяет некоторую плоскость в данной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. A, B, C, D – некоторые действительные числа, и числа A, B, C не равны одновременно нулю.

Уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 называют общим уравнением плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства.

Допустим, задано некоторое общее уравнение плоскости λ·Ax+λ·By+λ·Cz+λ·D=0, где λ – некое действительное число, не равное нулю. Это уравнение также задает в прямоугольной системе координат некоторую плоскость, совпадающую с плоскостью, определяемую уравнением Ax+By+Cz+D=0, поскольку описывает то же самое множество точек трехмерного пространства. Например, уравнения x-2·y+3·z-7=0 и -2·x+4·y-23·z+14=0 задают одну и ту же плоскость, поскольку им обоим отвечают координаты одних и тех же точек трехмерного пространства. 

Раскроем чуть шире смысл теорем.

В пределах заданной системы координат плоскость и общее уравнение, ее определяющее, неразрывно связаны: каждой плоскости отвечает общее уравнение плоскости вида Ax+By+Cz+D=0( при конкретных значениях чисел A, B, C, D). В свою очередь, этому уравнению отвечает заданная плоскость в заданной прямоугольной системе координат.

Укажем пример как иллюстрацию этих утверждений.

Ниже приведен чертеж, на котором изображена плоскость в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Заданной плоскости отвечает общее уравнение вида 4x + 5y – 5z + 20 = 0, и ему соответствуют координаты любой точки этой плоскости. В свою очередь, уравнение 4x + 5y – 5z + 20 = 0 описывает в заданной системе координат множество точек, которые составляют изображенную плоскость.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку

Повторимся: точка M0(x0, y0, z0) лежит на плоскости, заданной в прямоугольной системе координат трехмерного пространства уравнением Ax+By+Cz+D=0 в том случае, когда подставив координаты точки M0(x0, y0, z0) в уравнение Ax+By+Cz+D=0, мы получим тождество.

Приведенное выше доказательство теоремы об общем уравнении дает нам возможность использовать важный факт: вектор n→=(A, B, C) – нормальный вектор для плоскости, определяемой уравнением  Ax+By+Cz+D=0. Так, если нам известен вид общего уравнения, то возможно записать координаты нормального вектора заданной плоскости.

Разберем обратную задачу, когда требуется составить уравнение плоскости по заданным координатам нормального вектора.

Очевидным фактом является то, что нормальный вектор n→=(A, B, C)является нормальным вектором бесконечного множества параллельных плоскостей. Поэтому для обозначения конкретной плоскости введем дополнительное условие: зададим некоторую точку M0(x0, y0, z0), принадлежащую плоскости. Так, задавая в условии нормальный вектор и некоторую точку плоскости, мы ее зафиксировали.

Общее уравнение плоскости с нормальным вектором  n→=(A, B, C) будет выглядеть так:  Ax+By+Cz+D=0. По условию задачи точка M0(x0, y0, z0) принадлежит заданной плоскости, т.е. ее координаты отвечают уравнению плоскости, а значит верно равенство:Ax0+By0+Cz0+D=0

Вычитая соответственно правые и левые части исходного уравнения и уравнения Ax0+By0+Cz0+D=0, получим уравнение вида A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. Оно и будет уравнением плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющей нормальный вектор n→=(A, B, C).

Возможно получить это уравнение другим способом.

Очевидным фактом является то, что все точки М (x, y, z) трехмерного пространства задают данную плоскость тогда и только тогда, когда векторы n→=(A, B, C) и M0M→=(x-x0, y-y0, z-z0) перпендикулярны или, иначе говоря, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю:

n→, M0M→=A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

Неполное общее уравнение плоскости

Выше мы говорили о том, что, когда все числа А, B, C, D отличны от нуля, общее уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0 называют полным. В ином случае общее уравнение плоскости является неполным.

Разберем все возможные варианты общих неполных уравнений в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

1. В случае, когда D = 0, мы получаем общее неполное уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0⇔Ax+By+Cz=0

Такая плоскость в прямоугольной системе координат проходит через начало координат. В самом деле, если подставим в полученное неполное уравнение плоскости координаты точки О (0, 0, 0), то придем к тождеству:

A·0+B·0+C·0=0⇔0≡0

1. Если А = 0, В ≠ 0, С ≠ 0, или А ≠ 0, В = 0, С ≠0, или А ≠ 0, В ≠ 0, С = 0, то общие уравнения плоскостей имеют вид соответственно: By+Cz+D=0, или Ax+Cz+D=0, или Ax+By+D=0. Такие плоскости параллельны координатным осям Оx, Oy, Oz соответственно. Когда D=0, плоскости проходят через эти координатные оси соответственно. Также заметим, что неполные общие уравнения плоскостей By+Cz+D=0, Ax+Cz+D=0 и Ax+By+D=0 задают плоскости, которые перпендикулярны плоскостям Oyz, Oxz, Ozy соответственно.

1. При А=0, В=0, С≠0, или А=0, В≠0, С=0, или А≠0, В=0, С=0 получим общие неполные уравнения плоскостей: Cz+D=0 ⇔z+DC=0⇔z=-DC⇔z=λ, λ∈R или By+D=0⇔y+DB=0⇔y=-DB⇔y=λ, λ∈R или Ax+D=0⇔x+DA=0⇔x=-DA⇔x=λ, λ∈R соответственно.

Эти уравнения определяют плоскости, которые параллельны координатным плоскостям Oxy, Oxz, Oyz соответственно и проходят через точки 0, 0, -DC, 0, -DB, 0 и -DA, 0, 0 соответственно. При D=0 уравнения самих координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz выглядят так: z=0, y=0, x=0

соответственно.

Раскрывая скобки и обозначая свободный член – Ax0 – By0 – Cz0 = D, получим общее уравнение плоскости В пространстве R3:

Ax+By+Cz+D=0, A2+B2+C2>0. (4)

Итак, линейное относительно текущих координат x, y,z уравнение (4) определяет плоскость в пространстве (причем, =(A, B,C) ее нормаль). Можно показать, что верно и обратное утверждение: всякое линейное уравнение (4) в пространстве R3 определяет некоторую плоскость.

Пример. Написать уравнения координатных плоскостей.

Для того, чтобы написать уравнение любой плоскости надо знать координаты какой-нибудь точки на плоскости и какой-нибудь вектор, перпендикулярный плоскости.

В нашем примере все координатные плоскости проходят через точку M0(0,0,0) – начало координат.

А в качестве нормалей к координатным плоскостям можно взять соответственно базисные векторы .

Плоскость XOY: М0(0,0,0), (0,0,1)=(A, B,C).

0(x – 0) + 0(y – 0) + 1(z – 0)=0

Уравнение плоскости XOY: z=0.

Плоскость YOZ: M0(0,0,0), :

Уравнение плоскости YOZ: x=0.

Плоскость XOZ: M0(0,0,0), :

Уравнение плоскости XOZ: y=0.

Заметим, что в нашем примере в уравнениях координатных плоскостей отсутствуют два члена с текущими координатами (какие-либо два из коэффициентов A, B,C равны нулю).

Уравнение плоскости (4), в котором хотя бы один из коэффициентов A, B,C или D равен нулю, называют Неполным уравнением плоскости. В этих случаях плоскость либо параллельна одной из координатных осей (один из коэффициентов A, B,C равен нулю, или, что то же, вектор нормали ортогонален одной из координатных осей); либо плоскость (4) параллельна одной из координатных плоскостей (два из коэффициентов A, B,C равны нулю, параллелен какой-нибудь координатной оси); если же коэффициент D уравнения (4) равен нулю, т. е. точка (0,0,0) удовлетворяет уравнению плоскости, плоскость проходит через начало координат.

< Предыдущая		Следующая >

Общее уравнение плоскости

В данной статье мы рассмотрим общее уравнение плоскости в пространстве. Определим понятия полного и неполного уравнения плоскости. Для построения общего уравнения плоскости пользуйтесь калькулятором уравнение плоскости онлайн.

Пусть задана произвольная декартова прямоугольная система координат Oxyz. Общим уравнением плоскости называется линейное уравнение вида:

где A, B, C, D − некоторые постоянные, причем хотя бы один из элементов A , B и C отлично от нуля.

Мы покажем, что линейное уравнение (1) в пространстве определяет плоскость и любой плоскость в пространстве можно представить линейным уравнением (1). Докажем следующую теорему.

Теорема 1. В произвольной декартовой прямоугольной системе координат в пространстве каждая плоскость α может быть задана линейным уравнением (1). Обратно, каждое линейное уравнение (1) в произвольной декартовой прямоугольной системе координат в пространстве определяет плоскость.

Доказательство. Достаточно доказать, что плоскость α определяется линейным уравнением при какой нибудь одной декартовой прямоугольной системе координат, поскольку тогда она будет определяться линейным уравнением и при любом выборе декартовой прямоугольной системы координат.

Пусть в пространстве задана плоскость α. Выберем оси Ox и Oy так, чтобы они располагались на плоскости α, а ось Oz направим перпендикулярно к этой плоскости. Тогда линейное уравнение z=0 будет уравнением плоскости, т.к. координаты любой точки, принадлежащей этой плоскости удовлетворяют уравнению z=0, а координаты любой точки, не лежащей на этой плоскости − нет. Первая часть теоремы доказана.

Пусть фиксирована произвольная декартова прямоугольная система координат Oxyz. Рассмотрим линейное уравнение (1), где хотя бы один из элементов A , B и C отлично от нуля. Тогда уравнение (1) имеет хотя бы одно решение x₀, y₀, z₀. Действительно. Пусть из коэффициентов A≠0. Возьмем произвольные числа y₀, z₀. Тогда

Таким образом, существует точка M₀(x₀, y₀, z₀), координаты которой удовлетворяют уравнению (1):

Вычитая из уравнения (1) тождество (2), получим

которая эквивалентна уравнению (1).

Покажем, что (3) определяет некоторую плоскость, проходящую через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и перпендикулярную вектору n={A,B,C} (n≠0, так как хотя бы один из чисел A,B,C отлично от нуля).

Если точка M₀(x₀, y₀, z₀) принадлежит плоскости α, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3), т.к. векторы n={A,B,C} и перпендикулярны (Рис.1) и их скалярное произведение равно нулю:

Если же точка M(x, y, z) не лежит на плоскости α, то векторы n={A,B,C} и не ортогональны. Тогда их скалярное произведение не равно нулю, т.е. координаты точки M(x, y, z) не удовлетворяют условию (3). Теорема доказана.

Одновременно с доказательством теоремы 1 мы получили следующее утверждение.

Утверждение 1. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (A,B,C) перпендикулярен плоскости Ax+By+Cz+D=0.

Вектор n=(A,B,C) называется нормальным вектором плоскости, определяемой линейным уравнением (1).

Утверждение 2. Если два общих уравнения плоскости

и

определяют одну и ту же плоскость, то найдется такое число λ, что выпонены равенства

Доказательство. Так как уравнения (4) и (5) определяют одну и ту же плоскость, то нормальные векторы n₁={A₁,B₁,С₁} и n₂={A₂,B₂, С₂} коллинеарны. Так как векторы n₁≠0, n₂≠0, то существует такое число λ, что n₂=n₁λ. Отсюда имеем: A₂=A₁λ, B₂=B₁λ, С₂=С₁λ. Докажем, что D₂=D₁λ. Очевидно, что совпадающие плоскости имеют общую точку M₀(x₀, y₀, z₀), так что

и

Умножая уравнение (7) на λ и вычитая из него уравнение (8) получим:

Так как выполнены первые три равенства из выражений (6), то D₁λ−D₂=0. Т.е. D₂=D₁λ. Утверждение доказано.

Неполные уравнения плоскости

Определение 1. Общее уравнение плоскости (1) называется полным, если все коэффициенты A, B, C, D отличны от нуля. Если же хотя бы один из коэффициентов A, B, C, D равен нулю, то общее уравнение плоскости называется неполным.

Рассмотрим все возможные варианты неполных уравнений плоскости:

При D=0, имеем уравнение плоскости Ax+By+Cz=0, проходящей через начало координат (Рис.2). Действительно, точка O(0,0,0) удовлетворяет этой системы линейных уравнений.

При A=0, имеем уравнение плоскости By+Cz+D=0, которая параллельна оси Ox (Рис.3). В этом случае нормальный вектор плоскости n={0,B,C} лежит на координатной плоскости Oyz.

При B=0, имеем уравнение плоскости Ax+Cz+D=0, которая параллельна оси Oy (Рис.4).

При C=0, имеем уравнение плоскости Ax+By+D=0, которая параллельна оси Oz (Рис.5).

При A=0,B=0 имеем уравнение плоскости Cz+D=0, которая параллельна координатной плоскости Oxy (Рис.6).

При B=0,C=0 имеем уравнение плоскости Ax+D=0, которая параллельна координатной плоскости Oyz (Рис.7).

При A=0,C=0 имеем уравнение плоскости By+D=0, которая параллельна координатной плоскости Oxz (Рис.8).

При A=0,B=0,D=0 имеем уравнение плоскости Cz=0, которая совпадает с координатной плоскостью Oxy (Рис.9).

При B=0,C=0,D=0 имеем уравнение плоскости Ax=0, которая совпадает с координатной плоскостью Oyz (Рис.10).

При A=0,C=0,D=0 имеем уравнение плоскости By=0, которая совпадает с координатной плоскостью Oxz (Рис.11).

Рассмотрим примеры построения общего уравнения плоскости.

Пример 1. Построить общее уравнение плоскости, проходящей через точку M(4,−1,2) параллельной координатной плоскости Oxy.

Решение. Общее уравнение плоскости, проходящей через некоторую точку M(x₀,y₀,z₀) имеет вид (3). Подставляя координаты точки M в (3), получим:

Так как плоскость параллельна координатной плоскости Oxy, то направляющий вектор имеет следующий вид n={A,B,C}={0,0,1}, т.е. A=0, B=0, C=1.

Подставляя коэффициенты A,B,C в (9), получим:

или

Ответ:

Пример 2. Построить общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат и имеющий нормальный вектор n=={2,3,1}.

Решение. Начало координат имеет коэффициенты (0,0,0). Общее уравнение плоскости, проходящей через некоторую точку M(x₀,y₀,z₀) имеет вид (3). Подставляя коэффициенты начальной точки в (3), получим:

Так как плоскость имеет нормальный вектор n={A,B,C}={2,3,1}, т.е. A=2, B=3, C=1, подставляя коэффициенты A,B,C в (10), получим:

или

Ответ:

Онлайн калькулятор для построения общего уравнения плоскости находится здесь. Там же вы найдете примеры построения общего уравнения плоскости, если известны три точки этой плоскости или если известна одна точка и нормальный вектор этой плоскости.

2.4.1.
Общее уравнение плоскости.

2.4.1.1.
Определение. Вектор,
перпендикулярный к плоскости, называется
ее нормальным
вектором.

2.4.1.2. Теорема.
(Общее уравнение плоскости).

Вдекартовой прямоугольной системе
координат плоскость задается уравнением
первой степени.

Доказательство:

Пусть в пространстве
задан ненулевой вектор ,перпендикулярный
плоскостии точка
,
принадлежащая плоскости. Очевидно,
произвольная точка пространствапринадлежит плоскости при условии, что
вектор
ортогонален вектору
.
Таким образом, получаем уравнение

.

(скалярное произведение
ортогональных векторов равно нулю).

В координатном виде это
уравнение имеет вид

Преобразуем это уравнение:
Обозначая,
получим

2.4.1.3.
Определение. Уравнение
вида

(2.6)

называется уравнением
плоскости, проходящей через точку

и имеющей нормальный вектор
.

2.4.1.4.
Определение. Уравнение
вида

(2.7)

называется общим
уравнением плоскости.

2.4.1.5. Связка
плоскостей.

Связкой плоскостей
называют совокупность плоскостей,
проходящих через одну точку. Очевидно,
уравнение
при произвольных (не равных нулю
одновременно) коэффициентахА,В,С есть уравнение
связки плоскостей,
проходящих через точку
.

2.4.1.6.
Определение.
Поверхность в пространстве, которая в
декартовой прямоугольной системе
координат задается уравнением первой
степени, называется поверхностью
первого порядка.

2.4.1.7. Теорема.
(О поверхностях первого порядка в
пространстве).

Поверхностями первого
порядка в пространстве являются
плоскости, и только они.

Доказательство:

Поскольку мы уже доказали
в теореме 2.4.1.2, что плоскость можно
задать уравнением первого порядка,
осталось доказать, что уравнение
при условии
задает плоскость.

Пусть
– некоторое решение
уравнения (2.7). Тогда при подстановке
его в уравнение мы получим тождество:

.

Вычтем полученное
равенство из уравнения (2.7), получим

,

то есть уравнение
плоскости, проходящей через точку
с нормальным вектором
.

Таким образом, доказано,
что всякое уравнение вида (2.7) при условии
задает плоскость и что
всякая плоскость в пространстве может
быть задана уравнением вида (2.7).

2.4.1.8. Частные
случаи общего уравнения плоскости.

1.

плоскость, параллельная оси абсцисс;

2.

плоскость, параллельная оси ординат;

3.

плоскость, параллельная оси аппликат;

4.

плоскость, проходящая через начало
координат;

5.

плоскость, параллельная координатной
плоскости XOY;

6.

плоскость, параллельная координатной
плоскости XOZ;

7.

плоскость, параллельная координатной
плоскости YOZ;

8.

координатная плоскость XOY;

9.

координатная плоскость XOZ;

10.

координатная плоскость YOZ;

2.4.2.
Угол между плоскостями.

Пусть даны две плоскости

с нормальным вектором

и
с нормальным вектором.
Очевидно, косинус угла между плоскостями
равен косинусу угла между нормальными
векторами, поэтому

. (2.8)

Замечание
1.

Если требуется определить
острый угол между плоскостями, то

.

Замечание
2.

Из формулы угла между
плоскостями следуют условия
параллельности и перпендикулярности
плоскостей.

1. Если плоскости
параллельны
и,
то их нормальные векторы коллинеарны,
то есть их координаты пропорциональны:

.

Если же выполняются
равенства
,
то уравненияиопределяют одну и ту же плоскость.

2. Если плоскости
перпендикулярны,
то их нормальные векторы ортогональны,
то есть их скалярное произведение равно
нулю

.

2.4.3
Расстояние от точки до плоскости.

Пусть плоскость π
задана уравнением
,– произвольная точка пространства. Для
любой точки,
лежащей на плоскости, расстояниеd
от точки

до плоскости π
равно абсолютной величине проекции
вектора
на нормальный вектор.

Вектор
,
следовательно

Так как из принадлежности
точки

плоскости π
следует, что
,
т.е.,
то

. (2.9)

2.4.4. Уравнение
плоскости, проходящей через три заданные
точки.

Пусть
даны три точки,и,
не лежащие на одной прямой (т.е. векторыине коллинеарны). Введем в задачу точку– текущую точку плоскости. Векторы,илежат в одной плоскости, т.е. компланарны,
следовательно, их смешанное произведение
равно нулю:,
или, в координатной форме,

. (2.10)

Уравнении вида (2.10)
называется уравнением
плоскости, проходящей через три данные
точки.

2.4.5. Уравнение
плоскости в отрезках.

Рассмотрим плоскость,
не проходящую через начало координат
и заданную своим общим уравнением
.
Представим данное уравнение в виде

.

Обозначая ,
получим уравнение

,
(2.11)

которое называется
уравнением плоскости
в отрезках. К виду
в отрезках может быть приведено уравнение
всякой плоскости, не проходящей через
начало координат.

Замечание.

Отметим, что точки с
координатами (a;0;0),
(0;b;0)
и (0;0;c)
являются точками

пересечения плоскости
с осями координат.

Лекция
6.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #