Обратная геодезическая задача.
Обратная
геодезическая задача (ОГЗ) на плоскости
заключается в нахождении дирекционного
угла α
направления
с одной точки на другую и расстояния Дмежду ними по
прямоугольным координатам данных точек.
И
з
рисунка 24 и формулировки обратной
геодезической задачи известны:
XА,YА;
XВ,YВ
– прямоугольные координаты точек А
и В.
Требуется определить:
α –
дирекционный угол направления с точки
А на точку В;
Д –
расстояние (дальность) между точками
А и В.
В
прямоугольном треугольнике АСВ
катеты АС
и СВ
соответствуют приращениям координат:
АС
= ΔХ ; СВ =
ΔY;
Таким
образом, в прямоугольном треугольнике
АСВизвестны два катета, по которым
можно определить все его остальные
элементы: острый уголСАВ, равный
дирекционному углуα, и гипотенузуД(дальность).
Обратная
геодезическая задача решается теми же
способами и средствами, что и прямая
геодезическая задача.
Огз решают в следующей последовательности:
Пусть
в точке А
находится огневая позиция (ОП), а в точке
В –
цель (Ц).
1.
По известным координатам ОП и цели
вычисляют приращения координат ΔХ и
ΔY:
(58)
2.
Определить острый угол α´(рис.
22) по формуле:
(59)
-
От
угла α´перейти к дирекционному
углуα в соответствии со знаками
приращений ΔX и ΔY, согласно
схеме (рис. 23), или по таблице:
|
I |
ΔХ ΔY |
= |
|
II |
ΔХ ΔY |
= |
|
III |
ΔХ ΔY |
= |
|
IV |
ΔХ ΔY |
= |
-
Вычислить
расстояние между ОП и Ц (из теор. Пифагора)
по формуле:
(60)
Пример
1.
По
прямоугольным координатам огневой
позиции XОП
=
79 790, YОП
=
16 350 и цели XЦ
=
82 145, YЦ
=
17 610 вычислить дирекционный угол α
с ОП на Ц и расстояние между ними Д.
Р е ш е н и е:
-
Вычислить
приращения координат: Х
= 82 145 – 79 790 = + 2355;
=
17 610 –16 350 = +1260;
-
Вычислить
дирекционный угол α:
4-69;
-
Если
знаки приращений координат Х+,
+
: значит I
четверть,
= ,
дирекционный
угол будет
= 4-69;
-
Вычислить
расстояние
О
т в е т:
= 4-69;
Д
= 2671 м.
|
Решение
Проверим
а = 17 610 –16 350 =
2670,884…
28,148
Калькулятор Для
или
О |
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
25.03.2016578.05 Кб37Uch_met_po_proizv_praktike.doc
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Актуальные цены на услуги геодезистов в Москве и Московской области в 2022 году.
Решение обратной геодезической задачи онлайн
Обратная геодезическая задача заключается в том, что при известных координатах точек А( XA, YA ) и В( XB, YB ) необходимо найти длину SAB и направление линии АВ: румб rAB и дирекционный угол αAB
Ниже представлена форма в которую можно ввести исходные значения и получить искомые данные. Это простое решение, которым может воспользоваться любой кому лень разбираться с формулами.
Если же говорить о сути решения задачи, то обратная геодезическая задача решается следующим образом.
Сначала находим приращения координат:
ΔX = XB – XA ;
ΔY = YB – YA .
Величину угла rAB определяем из отношения
По знакам приращений координат вычисляют четверть, в которой располагается румб, и его название. Используя зависимость между дирекционными углами и румбами, находим αAB.
Для контроля расстояние SAB дважды вычисляют по формулам:
Чтобы понять, что такое дирекционный угол, представим на карте линию (отрезок) с начальной точкой А и конечной точкой В.
Теперь проведем из начала отрезка (точки А) луч, параллельный осевому меридиану зоны и направленный на север. И будем поворачивать этот
луч вокруг точки А по часовой стрелке до тех пор, пока он не пересечется с точкой В. Угол, на который мы повернули луч,
и будет называться дирекционным углом линии АВ.
Калькулятор угла по координатам
С помощью этого калькулятора Вы сможете производить расчет дирекционных углов линий на основе заданных координат точки стояния (А) и точки
ориентирования (В), а также рассчитывать расстояние между этими точками.
Калькулятор координат по углу и расстоянию
Этот калькулятор поможет Вам рассчитать координаты конечной точки пути на основе координат начальной точки, дирекционного угла и расстояния между точками.
Угол можно указывать как в десятичных градусах (226,27303°), так и в градусах – минутах – секундах (226° 16′ 22″).
Геодезическая задача – математического вида задача, связаная с определением взаимного положения точек земной поверхности и подразделяется на прямую и обратную задачу.
Прямой геодезической задачей (ПГЗ) называют вычисление геодезических координат – широты и долготы некоторой точки, лежащей на земном эллипсоиде, по координатам другой точки и по известным длине и дирекционному углу данного направления, соединяющей эти точки.
Обратная геодезическая задача (ОГЗ) заключается в определении по геодезическим координатам двух точек на земном эллипсоиде длины и дирекционного угла направления между этими точками.
В зависимости от длины геодезической линии, соединяющей рассматриваемые точки, применяются различные методы и формулы, разработанные в геодезии. По размерам принятого земного эллипсоида (см. Эллипсоид Красовского) составляются таблицы, облегчающие решение геодезических задач и рассчитанные на использование определённой системы формул.
Для определения координат точки в прямой геодезической задаче обычно применяют формулы:
1) нахождения приращений:
2) нахождения координат:
В обратной геодезической задаче находят дирекционный угол и расстояние:
1) вычисляют румб по формуле:
2) находят дирекционный угол в зависимости от четверти угла:
четверти:
Первая четверть
Вторая четверть
Третья четверть
Четвертая четверть
знак приращения
+X, +Y
-X, +Y
-X, -Y
+X, -Y
диреционный угол
a = r
a = 180 – r
a = 180 + r
a = 360 – r
3) определяют расстояние между точками:
Геодезическая задача в том и другом виде возникает при обработке полигонометрии и триангуляции, а также во всех тех случаях, когда необходимо определить взаимное положение двух точек по длине и направлению соединяющей их линии или же расстояние и направление между этими точками по их геодезическим координатам. В ряде случаев геодезические задачи решают в пространственных прямоугольных координатах по формулам аналитической геометрии в пространстве. В этих случаях вместо длины и дирекционного угла, соединяющей две точки, используют длину и пространственные компоненты направления прямой линии между этими точками.
Координаты – это величины, которые отображают местоположение конкретной точки в пространстве. Они определяются путем проведения геодезических измерений, к которым относится триангуляция, а также построение тахеометрического и теодолитного хода.
На плоскости координаты можно вводить неисчислимым количеством способов и через различные математические задачи создавать координатные системы. Благодаря вычислению координаты точек теодолитного хода на карту или план наносятся как эти самые пункты, так и жесткие объекты в зоне их видимости.
Содержание
- 1 Общие понятия о системах координат в геодезии
- 2 Исходные данные для расчетов
- 3 Уравнивание измерений
- 4 Вычисление дирекционных углов вершин
- 5 Решение прямой и обратной геодезической задачи
- 5.1 Создавайте будущее вместе с нами
- 6 Приращение координат и их увязка
- 7 Как вычислить координаты точек хода
- 8 Нанесение точек на план и его оформление
Общие понятия о системах координат в геодезии
Столь глубокие познания о строении и форме Земли, которые человек осваивал на протяжении веков, сегодня позволяют создавать невероятно точные координатные системы и картографические проекции.
Координатные системы заданы двумя направлениями на плоскости, а в пространстве – тремя. Осевые направления всегда перпендикулярны друг другу, а ориентированы горизонтально и вертикально. Их пересечение и определяет местоположение точки в заданной системе.
В геодезии координатные системы разделены на следующие две группы:
- Прямолинейные прямоугольные. К ним причисляют проекцию Гаусса-Крюгера, индивидуальные референцные и местные системы.
- Полярные. Это геодезические, географические, астрономические, а также геоцентрические и топоцентрические координаты.
Теодолитный ход можно считать самым распространённым плановым обоснованием. Он не требует дорогостоящего и высокоточного оборудования, но помогает создать надежную плановую основу на территориях со сложной местностью. Его развивают от пунктов государственных геодезических сетей (ГГС) и сетей сгущения с уже установленными координатами.
Вычисляются координаты точек замкнутого и разомкнутого теодолитного хода посредством нахождения дирекционных углов его сторон и решения прямой геодезической задачи. Но перед этим следует проверить, соответствуют ли измерения нормативным требованиям.
Исходные данные для расчетов
Теодолитный ход может быть проложен в виде замкнутой фигуры или ломаной линии. Это зависит от характера снимаемой местности. Он является отличной геодезической основой для многих инженерных изысканий.
По итогу проведенных измерений составляется план или карта местности, а все вычисления заносятся в специальные ведомости. В нее заносятся следующие данные:
– горизонтальные углы пунктов;
– измеренное расстояние между ними;
– координаты пункта ГГС или опорной сети;
– значение исходного дирекционного угла.
Для привязки хода к пункту ГГС или опорной сети необходимо определить местоположение одной его точки относительно этого пункта. Это можно сделать, измерив расстояние и горизонтальный примычной угол между ними. Такая процедура называется передачей координат и дирекционных углов.
Уравнивание измерений
Не существует еще методов, позволяющих без погрешностей выполнить измерения, но уравнивание позволит свести их к минимуму. Для замкнутого хода первым делом рассчитывается невязка:
(f_{beta}=sum beta _{изм}-sum beta_{теор})
где:
(sum beta _{изм}=beta _{1}+beta _{2}+…beta _{n}) – сумма углов пунктов;
(sum beta _{теор}) – теоретическая сумма, определяемая выражением:
(sum beta _{теор}=180^{circ}cdot (n-2))
(n) – количество углов.
Вычисленная невязка допустима, если соответствует требованию:
(beta _{испр}=pm 1,5sqrt{n})
Когда полученное значение не превышает допуск, то невязку разбрасываются между углами с противоположным знаком равномерно. Можно также распределить ее только между самыми короткими сторонами. Учитывая поправки и их знак, вычисляют исправленные углы:
(beta _{испр}=beta _{изм}+delta _{beta })
(delta _{beta }) – поправка.
Правильность уравнивания подтверждается следующим условием:
(sum beta _{теор}=beta _{испр})
Поскольку разомкнутый ход является ломаной линией, математические расчеты для него проводятся как для хода, в котором две исходные стороны и дирекционных угла. Для него применяют следующие выражения:
для левых углов:
(sum beta _{теор}=alpha _{кон}-alpha _{нач}+ncdot 180^{circ})
правых:
(sum beta _{теор}=alpha _{нач}-alpha _{кон}+ncdot 180^{circ})
Для упрощения дальнейших вычислений поправки могут быть распределены с целью округления десятых долей минут в углах до целых минут.
Вычисление дирекционных углов вершин
В геодезии за дирекционный угол ((alpha )) принимают угол, который начинают отсчитывать от северного направления осевого меридиана и до заданной стороны. Он измеряется от 0 до 360°. Вычислить его значение для правой стороны хода можно по формуле ниже:
(alpha _{n}=alpha _{n-1}+eta )
(eta=180^{circ} -beta _{пр.испр})
(a _{n}=alpha _{n-1}+180^{circ}-beta _{пр.испр})
Для левой стороны это выражение будет иметь такой вид:
(alpha _{n}=alpha _{n-1}+eta )
(eta=beta _{лев.исп.}-180^{circ} )
(a _{n}=alpha _{n-1}-180^{circ}+beta _{лев.исп.})
где:
(alpha _{n-1}) – дирекционный угол предыдущей стороны, а (n) – последующей;
(beta _{пр.исп.}) – значение правого исправленного угла между сторонами отрезка, а (beta _{лев.исп.})– левой стороны.
Вычисления выполнены верно при равенстве заданного α и начальной стороны теодолитного хода. Если дирекционный угол больше 360° или имеет отрицательное значение, то это говорит об ошибке в расчетах.
После дирекционных углов необходимо найти румбы – острые углы, отсчитываемые от 0 до 90°. Они берут свое начало от ближайшего окончания осевого меридиана до ориентирной линии.
| Четверть румба | Название четверти | Пределы изменения α | Формула румба | Знаки приращения | |
| ΔХ | ΔУ | ||||
| I | С.В. (северо-восток) | 0° – 90° | r = α | + | + |
| II | Ю.В. (юго-восток) | 90°-180° | r = 180° – α | – | + |
| III | Ю.З. (юго-запад) | 180°-270° | r = α – 180° | – | – |
| IV | С.З. (северо-запад) | 270°-360° | r = 360° – °α | + | – |
Таблица 1. Связь дирекционного угла и румба
Вычисление румбов и их знаков приращений зависит от четверти геодезических прямоугольных координат, в которой находится линия ориентирования.
Решение прямой и обратной геодезической задачи
Суть прямой геодезической задачи состоит в том, чтобы определить координатные значения вершины при заданных координатах соседней. Это возможно при известной горизонтальном проложении между ними и дирекционным углом линии. Для ее решения используются следующие формулы:
(Delta X=dcdot cos alpha )
(Delta Y=dcdot sin alpha )
где:
Создавайте будущее вместе с нами
Присоединяйтесь к нашей команде: мы создаем финтех-сервисы для 28 млн клиентов и опережаем рынок на 5 лет. Работаем на результат и делаем больше, чем от нас ждут.
(d)–расстояния между соседними пунктами.
(alpha ) – значение дирекционного угла.
Знаки приращений зависят от четверти, определяемой дирекционным углом направления. Координатные значения конечной точки линии равняется сумме координаты начальной и приращения между ними. Из этого следует следующие выражение:
(X_{2}=X_{1}+Delta X)
(Y_{2}=Y_{1}+Delta Y)
(X_{2}=X_{1}+d_{1-2}cdot cosalpha _{1-2})
(Y_{2}=Y_{1}+d_{1-2}cdot sinalpha _{1-2})
Стоит также упомянуть и обратную геодезическую задачу, которая позволяет определить дирекционный угол, румб и горизонтальное проложение при установленных координатах пунктов теодолитного хода. Вычисления имеют такую последовательность:
(Delta X=X_{2}-X_{1})
(Delta Y=Y_{2}-Y_{1})
определяется румб линии (r_{1-2}):
(tgr=frac{Delta Y}{Delta X})
из этого выходит, что:
(r=arctgfrac|{Delta Y}{Delta X}|)
По знакам приращения определяют четверть, в котором находится направление и по уже известному румбу вычисляют дирекционный угол. Определение горизонтального проложения будет завершающим этапом в решении обратной задачи:
(d=frac{Delta X}{cosalpha })
(d=frac{Delta Y}{sinalpha })
(d=sqrt{Delta X^2+Delta Y^2})
Приращение координат и их увязка
Приращением называют величины, на которые будут увеличены координаты предыдущей точки для вычисления последующей. В основу этих расчетов берется уже знакомая формула прямой задачи:
(Delta X=dcdot cos alpha )
(Delta Y=dcdot sin alpha )
Полученные значения также необходимо уровнять, чтобы равномерно распределить погрешности и получить наиболее точный результат. Начинают расчеты с определения невязок. Поскольку сумма проекций в сторонах многоугольной замкнутой фигуры равняется нулю, для вычисления невязок пунктов замкнутого хода используют следующую формулу:
(f_{X}=sum Delta X_{выч}-sum Delta X_{теор};sum Delta X_{теор}=0)
(f_{Y}=sum Delta Y_{выч}-sum Delta Y_{теор};sum Delta Y_{теор}=0)
(sum Delta X_{выч},sum Delta Y_{выч}) – суммы приращений, рассчитанные с учетом знаков для замкнутого и разомкнутого хода;
(sum Delta X_{теор},sum Delta Y_{теор}) – теоретические суммы приращений.
Если невязки не находятся в допуске, необходимы повторные расчеты, чтобы определить ошибку и устранить ее. В противном случае проводятся повторные измерения на участке.
Вследствие влияния погрешностей на ход, он будет разомкнут на величину , которая представляет собой абсолютную невязку в его периметре. По этому причине проверяется соответствие условию допустимости его невязок.
- Абсолютное значение:
(f_{p}=sqrt{f_{x}^2+f_{y}^2})
- Относительное
(f_{отн}=frac{f_{абс}}{P})
P – периметр хода, полученный суммированием всех его сторон.
Допустимая невязка должна удовлетворять условие 1/2000, а при соответствии выражению (|f_{отн}|leq |f_{доп}|) выполняют ее распределение с противоположным знаком. Однако перед этим рассчитывают поправки приращений, которые определяют для каждой стороны:
(delta _{x_{i}}=-frac{f_{x}d_{i}}{P});(delta _Delta {y_{i}}=-frac{f_{y}d_{i}}{P})
(delta _{x_{i}},delta _{y_{i}})– значения поправок в приращениях.
Чтобы упростить дальнейшие расчеты поправки, необходимо округлить их до 0,01 м.
Для разомкнутого хода за теоретическую сумму приращений берется разность между двумя соседними точками.
(f_{X}=sum Delta X_{выч}-sum Delta X_{теор}; sum Delta X_{теор}=x_{B}-x_{A})
(f_{Y}=sum Delta Y_{выч}-sum Delta Y_{теор}; sum Delta Y_{теор}=y_{B}-y_{A})
Для обоих ходов поправки имеют противоположный приращению знак. Уравнивание выполнено верно, если сумма исправленных приращений равна или максимально приближена к нулю.
Как вычислить координаты точек хода
Вычисляют значения координат вершин замкнутого и разомкнутого теодолитного хода сначала для опорного пункта, а потом уже для остальных его вершин.
Значение следующего пункта хода вычисляют суммированием предыдущего пункта и исправленного приращения. Это наглядно отображено в формуле:
(X_{n}=X_{n-1}+Delta X _{n-1(испр)})
(Y_{n}=Y_{n-1}+Delta Y _{n-1(испр)})
(X_{n-1},Y_{n-1}) – координатные значения предыдущего пункта
(Delta X_{теор}=x_{B}-x_{A},Delta Y_{теор}=y_{B}-y_{A}) – исправленные приращения.
В данных формулах применяется алгебраическая сумма, поэтому знаки также необходимо учитывать при расчетах. Если в конце вычислений получены координатные значения начальной точки, то они выполнены правильно.
Нанесение точек на план и его оформление
После завершения обработки измерений, которые были проведены на местности, составляется ее контурный или ситуационный план. Построение плана теодолитного хода происходит поэтапно и состоит из следующих этапов:
- Создание координатной сетки. Ход необходимо равномерно отобразить на плане, поэтому сначала определяют середину листа. Через весь лист проводят два диагональных отрезка, от которых и будет строиться сетка, состоящая из отрезков по 10 см. Допускается погрешность не более 0,2 мм. Определить их количество можно по формуле:
(N_{X}=(x_{max}-x_{min})/200)
(N_{Y}=(y_{max}-y_{min})/200)
(x_{max},y_{max}) – наибольшие значения координат, увеличенные до большего значения, которое кратное 200.
(x_{min},y_{min}) – наименьшее значение, но уменьшенное и кратное 200.
200 – длина стороны квадрата в метрах , которая в плане равна 10 см.
- Обозначение точек на плане. Лучше всего подходят для нанесения координат пунктов на план циркуль и масштабная линейка. Соседние вершины должны иметь такое же расстояние и дирекционный угол, как записано в ведомости.
- Нанесение ситуации на план. Участки снимаемой местности в процессе полевых работ отображают на специальном схематическом бланке – абрисе. В дальнейшем их используют для переноса контуров, линий и вершин точек. Ситуация изображается на планах и картах специальными обозначениями – условными знаками.
- Оформление плана в соответствии с требованиями. Все топографические материалы должны строго соответствовать нормативным документам. В частности, нужно выдерживать заданные очертания и их размеры. Должны присутствовать пояснительные надписи, легенда, а также указан масштаб.
Сегодня координаты замкнутого теодолитного хода вычисляются значительно проще, а создание всех графических материалов выполняется при помощи специализированных программ автоматически. Это значительно ускорило процесс выполнения геодезических работ и других инженерных изысканий.
