Как найти координату тела при равномерном движении

Прямолинейное равномерное движение является наиболее простым и понятным типом механического движения. Подробнее узнать про этот вид движения можно здесь.

Для нахождения координаты тела при равномерном прямолинейном движении используется довольно простая формула:

Формула координаты тела при равномерном прямолинейном движении

Таким образом, для того, чтобы найти координату тела при равномерном прямолинейном движении необходимо знать только начальную координату тела, его скорость и время в пути. Вы можете подставить эти значения в наш онлайн калькулятор и получить результат.

Определение

Равномерное прямолинейное движение — это такое движение, при котором тело совершает за любые равные промежутки времени равные перемещения.

Скорость при прямолинейном равномерном движении

Если тело движется равномерно и прямолинейно, его скорость остается постоянной как по модулю, так и по направлению. Ускорение при этом равно нулю.

Векторный способ записи скорости при равномерном прямолинейном движении:

s — вектор перемещения, ΔR— изменение радиус-вектора, t — время, а ∆t — его изменение.

Проекция скорости на ось ОХ:

s_x — проекция перемещения на ось ОХ, ∆x — изменение координаты точки (ее абсциссы).

Знак модуля скорости зависит от направления вектора скорости и оси координат:

Основная единица измерения скорости — 1 метр в секунду. Сокращенно — 1 м/с.

Дополнительные единицы измерения

• 1 км/ч (километр в час) = 1000 м/3600 с.
• 1 км/мин (километр в минуту) = 1000 м/60 с.
• 1 км/с (километр в секунду) = 1000 м/с.
• 1 м/мин (метр в минуту) = 1 м/60 с.
• 1 см/с (сантиметр в секунду) = 0,01 м/с.

Спидометр — прибор для измерения модули скорости тела.

График зависимости скорости от времени представляет собой прямую линию, перпендикулярную оси скорости и параллельную оси времени. Выглядит он так:

Определение направления движения по графику скорости

• Если график скорости лежит выше оси времени, тело движется в направлении оси ОХ.
• Если график скорости лежит ниже оси времени, тело движется против оси ОХ.
• Если график скорости совпадает с осью времени, тело покоится.

Чтобы сравнить модули скоростей на графике, нужно оценить их удаленность от оси времени. Чем дальше график от оси, тем больше модуль.

Пример №1. Найти модуль скорости и направление движения тела относительно оси ОХ. Выразить скорость в км/ч.

График скорости пересекает ось в точке со значением 10. Единица измерения — м/с. Поэтому модуль скорости равен 10 м/с. График лежит выше оси времени. Это значит, что тело движется по направлению оси ОХ. Чтобы выразить скорость в км/ч, нужно перевести 10 м в километры и 1 с в часы:

Теперь нужно разделить километры на часы:

Перемещение и координаты тела при равномерном прямолинейном движении

Геометрический смысл перемещения заключается в том, что его модуль равен площади фигуры, ограниченной графиком скорости, осями скорости и времени, а также линией, проведенной перпендикулярно оси времени.

При прямолинейном равномерном движении эта фигура представляет собой прямоугольник. Поэтому модуль перемещения вычисляется по следующей формуле:

Вектор перемещения равен произведению вектора скорости на время движения:

Внимание!

При равномерном прямолинейном движении путь и перемещение совпадают. Поэтому путь, пройденный телом, можно найти по этим же формулам.

Формула проекции перемещения:

График проекции перемещения

График проекции перемещения показывает зависимость этой проекции от времени. При прямолинейном равномерном движении он представляет собой луч, исходящий из начала координат. Выглядит он так:

Определение направления движения по графику проекции перемещения

• Если луч лежит выше оси времени, тело движется в направлении оси ОХ.
• Если луч лежит ниже оси времени, тело движется против оси ОХ.
• Если луч совпадает с этой осью, тело покоится.

Чтобы по графику проекции перемещения сравнить модули скоростей, нужно сравнить углы их наклона к оси s_x.Чем меньше угол, тем больше модуль. Согласно рисунку выше, модули скорости тел, которым соответствуют графики 1 и 3, равны. Они превосходят модуль скорости тела 2, так как их угол наклона к оси s_x меньше.

График координаты

График координаты представляет собой график зависимости координаты от времени. Выглядит он так:

Так как график координаты представляет собой график линейной функции, уравнение координаты принимает вид:

Определение направления движения тела по графику координаты

• Если с течением времени координата увеличивается (график идет снизу вверх), тело движется в направлении оси ОХ. На картинке выше этому соответствуют графики тел 1 и 2.
• Если с течением времени координата уменьшается (график идет сверху вниз), тело движется противоположно направлению оси ОХ. На картинке выше этому соответствует график тела 3.
• Если координата не изменяется, тело покоится.

Чтобы сравнить модули скоростей тел по графику координат, нужно сравнить углы наклона графика к оси координат. Чем меньше угол, тем больше модуль скорости. На картинке выше наибольший модуль скорости соответствует графику 1. У графиков 2 и 3 модули равны.

Чтобы по графику координат найти время встречи двух тел, нужно из точки пересечения их графиков провести перпендикуляр к оси времени.

Пример №2. График зависимости координаты тела от времени имеет вид:

Изучите график и на его основании выберите два верных утверждения:

1. На участке 1 скорость тела постоянна, а на участке 2 равна нулю.
2. Проекция ускорения тела на участке 1 положительна, а на участке 2 — отрицательна.
3. На участке 1 тело движется равномерно, а на участке 2 оно покоится.
4. На участке 1 тело движется равноускорено, а на участке 2 оно движется равномерно.
5. Проекция ускорения тела на участке 1 отрицательна, а на участке 2 — положительна.

На участке 1 координата растет, и ее график представляет собой прямую. Это значит, что на этом участке тело движется равномерно (с постоянной скоростью). На участке 2 координата с течением времени не меняется, что говорит о том, что тело покоится. Исходя из этого, верными утверждениями являются номера 1 и 3.

Пример №3. На рисунке изображен график движения автомобиля из пункта А (х=0 км) в пункт В (х=30 км). Чему равна минимальная скорость автомобиля на всем пути движения туда и обратно?

Согласно графику, с начала движения до прибытия автомобиля в пункт 2 прошло 0,5 часа. А с начала движения до возвращения в пункт А прошло 1,5 часа. Поэтому время, в течение которого тело возвращалось из пункта В в пункт А, равно:

1,5 – 0,5 = 1 (час).

Туда и обратно автомобиль проходил равные пути, каждый из которых равен 30 км. Поэтому скорость во время движения от А к В равна:

Скорость во время движения от В к А равна:

Минимальная скорость автомобиля на всем пути движения составляет 30 км/ч.

Алиса Никитина | Просмотров: 13.4k

Содержание:

Равномерное прямолинейное движение:

Вы изучали равномерное прямолинейное движение, познакомились с понятием «скорость». Скалярной или векторной величиной является скорость? Каковы закономерности равномерного прямолинейного движения?

Вы знаете, что движение, при котором за любые равные промежутки времени тело проходит одинаковые пути, называется равномерным. В каком случае одинаковыми будут не только пути, но и перемещения?

Проделаем опыт. Проследим за падением металлического шарика в вертикальной трубке, заполненной вязкой жидкостью (например, густым сахарным сиропом) (рис. 43). Будем отмечать положение шарика через равные промежутки времени. Опыт показывает, что за равные промежутки времени, например за

Сделаем вывод. При равномерном прямолинейном движении тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения и проходит одинаковые пути.

В 7-м классе вы находили скорость равномерного движения тела как отношение пути к промежутку времени, за который путь пройден: Это отношение показывает, как быстро движется тело, но ничего не говорит о направлении движения. Чтобы скорость характеризовала и быстроту движения, и его направление, ее определяют через перемещение.

Скорость равномерного прямолинейного движения — это величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, за который оно совершено:

Из равенства (1) следует, что скорость — векторная физическая величина. Ее модуль численно равен модулю перемещения за единицу времени, а направление совпадает с направлением перемещения (т. к. ).

Отношение для всех участков движения на рисунке 43 одинаково:   Значит, скорость  равномерного прямолинейного движения постоянна: с течением времени не изменяется ни ее модуль, ни ее направление.

Из формулы (1) легко найти перемещение:

и путь (равный модулю перемещения ):

А как определить положение равномерно и прямолинейно движущегося тела в любой момент времени Рассмотрим пример. Автомобиль движется с постоянной скоростью по прямолинейному участку шоссе (рис. 44).

Автомобиль рассматриваем как материальную точку. Из формулы (2) находим проекцию перемещения автомобиля на ось Ох:

Согласно рисунку 44 за время автомобиль совершил перемещение Подставляя в равенство (4), получим:

Приняв запишем формулу для координаты автомобиля:

Координата равномерно и прямолинейно движущегося тела линейно зависит от времени.

Зависимость координаты движущегося тела от времени называется кинематическим законом движения. Формула (5) выражает кинематический закон равномерного прямолинейного движения.

Для измерения скорости используются специальные приборы. В автомобилях имеется спидометр (рис. 45), на самолетах — указатель скорости. Эхолокаторы измеряют скорость тел, движущихся под водой, а радиолокаторы (радары) — в воздухе и по земле. Сотрудники службы дорожного движения с помощью портативного радара с видеокамерой (рис. 46) регистрируют скорость транспортных средств.

Для любознательных:

Скорости движения могут сильно отличаться. За одну секунду черепаха может преодолеть несколько сантиметров, человек — до 10 м, гепард — до 30 м, гоночный автомобиль — около 100 м.

Около 8 км за секунду пролетает по орбите спутник Земли (рис. 47). Но даже скорости космических кораблей «черепашьи» по сравнению со скоростью микрочастиц в ускорителях. В современном ускорителе (рис. 48) электрон за одну секунду пролетает почти 300 000 км!

Главные выводы:

1. При равномерном прямолинейном движении за любые равные промежутки времени тело совершает одинаковые перемещения.
2. Скорость равномерного прямолинейного движения постоянна: с течением времени не изменяется ни ее модуль, ни ее направление.
3. При равномерном прямолинейном движении тела модуль перемещения равен пути, пройденному за тот же промежуток времени.
4. Координата равномерно и прямолинейно движущегося тела линейно зависит от времени.

Пример решения задачи:

Кинематический закон прямолинейного движения лодки но озеру вдоль оси Ох задан уравнением где

Определите: 1) проекцию скорости лодки 2) координату лодки в момент времени 3) проекцию перемещения лодки на ось Ох и путь, пройденный лодкой за время от момента  до момента

Решение

Сделаем рисунок к задаче.

По условию задачи координата лодки линейно зависит от времени. Значит, лодка движется равномерно. Сравнив   получим

Найдем

Из рисунка 49: проекция перемещения 

Ответ:

Графическое представление равномерного прямолинейного движения

Зависимости между различными величинами можно наглядно изобразить с помощью графиков. Использование графиков облегчает решение научных, практических задач и даже бытовых проблем.

Например, по графику зависимости температуры пациента от времени (рис. 50) видно, что на 5-е сутки температура достигла своего максимума, затем резко упала, а еще через сутки стала приближаться к норме. График дал наглядное представление о течении болезни.

В физике роль графиков чрезвычайно велика. Умение строить и читать графики помогает быстрее и глубже понять физические явления.

Рассмотрим простой пример из кинематики. Леша и Таня идут навстречу друг другу (рис. 51). Они движутся равномерно и прямолинейно. Модуль скорости Леши Тани  Как представить графически характеристики их движения?

Выберем координатную ось Ох и зададим начальные положения участников движения (см. рис. 51). Пусть при координата Леши Тани

Построим графики зависимости проекции скорости проекции перемещения пути S и координаты X от времени t.

График проекции скорости

Согласно условию и рисунку 52 для проекций скорости движения Тани и Леши на ось Ох получим: Так как проекции постоянны, то графики их зависимости от времени t — прямые, параллельные оси времени (прямые I и II на рисунке 52).

Графики показывают: проекция скорости при равномерном прямолинейном движении с течением времени не изменяется.

График проекции перемещения

Проекция перемещения совершенного за время t, определяется формулой (см. § 6).

Зависимость проекции перемещения от времени для Леши или График — наклонная прямая I (рис. 53).

Для Тани или График — наклонная прямая II, изображенная на рисунке 53.

Из графиков и формул следует, что при равномерном прямолинейном движении проекция перемещения прямо пропорциональна времени.

График пути

Путь — величина положительная при любом движении тела. При равномерном прямолинейном движении путь равен модулю перемещения: Поэтому при график пути совпадает с графиком проекции перемещения (прямая I), а при график пути (прямая III) является «зеркальным отражением» графика II (проекции перемещения) от оси времени.

Графики пути показывают: при равномерном прямолинейном движении пройденный путь прямо пропорционален времени.

График координаты

Его называют также графиком движения.

По формуле , используя данные из условия задачи и рисунок 51, находим зависимости координаты Леши и Тани от времени Графики этих зависимостей — прямые I и II на рисунке 54. Они параллельны соответствующим графикам проекций перемещения на рисунке 53.

Графики движения показывают: при равномерном прямолинейном движении координата тела линейно зависит от времени.

По точке пересечения графиков I и II (точке А) (рис. 54) легко найти момент и координату места встречи Леши и Тани. Определите их самостоятельно.

Что еще можно определить по графикам?

По графику проекции скорости можно найти проекцию перемещения и пройденный путь

Рассмотрим прямоугольник ABCD на рисунке 52. Его высота численно равна а основание — времени t. Значит, площадь прямоугольника равна Таким образом, проекция перемещения численно равна площади прямоугольника между графиком проекции скорости и осью времени. При проекция перемещения отрицательна, и площадь надо брать со знаком «минус».

Докажите самостоятельно, что площадь между графиком проекции скорости и осью времени численно равна пройденному пути.

По углу наклона графика проекции перемещения можно оценить скорость движения

Рассмотрим треугольник АВС на рисунке 53. Чем больше угол наклона а графика проекции перемещения, тем больше скорость тела. Объясните это самостоятельно.

Главные выводы:

Для равномерного прямолинейного движения:

1. График проекции скорости — прямая, параллельная оси времени.
2. Графики проекции перемещения и координаты — прямые, наклон которых к оси времени определяется скоростью движения.
3. Площадь фигуры между графиком проекции скорости и осью времени определяет проекцию перемещения.

Пример №1

Мотоциклист едет из города по прямолинейному участку шоссе с постоянной скоростью  Через время после проезда перекрестка он встречает едущего в город велосипедиста, движущегося равномерно со скоростью Определите расстояние между участниками движения через время после их встречи, если Запишите кинематические законы движения мотоциклиста и велосипедиста, постройте графики проекции и модуля скорости, проекции перемещения, координаты и пути для обоих участников движения.

Решение

Изобразим координатную ось Ох, вдоль которой идет движение (рис. 55). Начало системы координат О свяжем с перекрестком.

В начальный момент времени мотоциклист находился на перекрестке, а велосипедист в точке В. Значит, кинематический закон движения мотоциклиста имеет вид:

Найдем координату велосипедиста в начальный момент времени. Пусть точка С на оси Ох — место встречи участников движения (рис. 56).

Тогда

Кинематический закон движения велосипедиста имеет вид:

Расстояние между мотоциклистом и велосипедистом через время после их встречи равно сумме путей, которые они проделают за это время. Значит,

Пример №2

Построим графики проекций и модулей скорости. Для мотоциклиста графики проекции скорости 1 и модуля скорости совпадают (рис. 56). Для велосипедиста график проекции скорости — прямая 2, а модуля скорости — прямая Объясните причину несовпадения.

Графиками пути s, проекции и модуля перемещения (рис. 57) будут прямые, выражающие прямую пропорциональную зависимость от времени t.

Для мотоциклиста:

Графики пути, модуля и проекции перемещения мотоциклиста совпадают (прямая 1).

Для велосипедиста:

Прямая 2 является графиком пути и модуля перемещения велосипедиста.  Прямая — графиком проекции его перемещения.

Графики координат представлены на рисунке 58. Они выражают зависимости (прямая 1) и (прямая 2). Точка А определяет время встречи и координату места встречи.

Ответ:

Прямолинейное равномерное движение и скорость

Из курса Физики VII класса вам известно, что равномерное прямолинейное движение является самым простым видом механического движения.

Прямолинейное равномерное движение — это движение по прямой линии, при котором материальная точка за равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.

При прямолинейном равномерном движении модуль и направление скорости с течением времени не изменяются:

Скорость при прямолинейном равномерном движении является постоянной физической величиной, равной отношению перемещения материальной точки ко времени, за которое это перемещение было совершено: 

Так как отношение в формуле является положительной скалярной величиной, то направление вектора скорости совпадает с направлением вектора перемещения  Единица измерения скорости в СИ – метр в секунду:

Если скорость   известна, то можно определить перемещение s материальной точки за промежуток времени  при прямолинейном равномерном движении:

При прямолинейном равномерном движении пройденный телом путь равен модулю перемещения: 

Так как уравнение в векторном виде можно заменить алгебраическими уравнениями в проекциях векторов, то для вычисления перемещения используют не формулу, выраженную через векторы, а формулу, содержащую в себе проекции векторов на координатные оси. При прямолинейном движении положение материальной точки определяется одной координатой X, определяются проекции векторов скорости и перемещения материальной точки на эту ось и уравнение решается в этих проекциях. Поэтому выражение (1.2) можно записать в проекциях перемещения и скорости на ось ОХ:

Можно получить формулу для вычисления координаты точки  в произвольный момент времени (см.: тема 1.2):

Выражение (1.5) является уравнением прямолинейного равномерного движения тела. Если материальная точка движется по направлению выбранной координатной оси ОХ, то проекция скорости считается положительной (b), если же движется против направления координатной оси, то проекция скорости считается отрицательной (с).

Из формулы (1.5) определяется выражение для проекции скорости: 

Из формулы (1.6) становится ясным физический смысл скорости: проекция скорости на ось равна изменению проекции соответствующей координаты за единицу времени.

Пройденный путь и координата материальной точки при прямолинейном равномерном движении являются линейной функцией от времени (d). Скорость же является постоянной величиной, поэтому график скорость – время будет представлять собой линию, параллельную оси времени — скорость такого движения не зависит от времени (е):

График координата-время при равномерном движении образует определенный угол с осью времени. Тангенс этого угла равен проекции (модулю) скорости по оси ох (f): 

Пример №3

Два велосипедиста одновременно начали движение навстречу друг другу вдоль прямой линии из пунктов А и В, расстояние между которыми 90 км. Скорость первого велосипедиста скорость второго велосипедиста  (g)?

Определите: а) координату и время  встречи велосипедистов; b) пройденные велосипедистами пути и совершенные ими перемещения к моменту встречи; с) время прошедшее с начала движения до момента, когда расстояние между ними стало 10 км.

Дано:

Решение:

a) При решении задачи соблюдается следующая последовательность действий: 

I действие. Выбирается система координат ОХ с началом координат в точке А и рисуется схема (h).

II действие. Уравнение движения записывается в общем виде:

III действие. На основании условия задачи уравнения движения велосипедистов записываются в общем виде:

IV действие. Координаты велосипедистов при встрече равны:  Это равенство решается для

V действие. Для определения координат  и  встречи велосипедистов необходимо решить уравнения их движения для времени 

Так как  то

b) Так как по условию задачи велосипедисты движутся прямолинейно и без изменения направления движения, то пройденный путь равен проекции (модулю) перемещения:

c) Время прошедшее с начала движения до момента, когда между ними осталось 10 км, вычисляется по нижеприведенному равенству:

или 

Скорость при равнопеременном прямолинейном движении

Из формулы (1.14) видно, что если известны ускорение  и начальная скорость тела то можно определить его скорость в любой момент времени:

или ее проекцию на ось

Если начальная скорость равна нулю то:

Из этих выражений видно, что скорость при равнопеременном движении является линейной функцией от времени. График зависимости скорости от времени – прямая линия, проходящая через начало координат (или через  Эта линия, в соответствии с увеличением или уменьшением скорости, направлена вверх или вниз (с).

Перемещение при равнопеременном прямолинейном движении

Формулу для определения перемещения при равнопеременном движении можно вывести на основе графика скорость-время. Проекция перемещения равна площади фигуры между графиком и осью времени.

На приведенных графиках — это заштрихованная фигура трапеции (см: с):

или в векторной форме:

Если в последнюю формулу вместо  подставить выражение (1.18), то получим

обобщенную формулу перемещения для равнопеременного движения:

Таким образом, формула проекции перемещения (например, на ось  при равнопеременном прямолинейном движении будет:

а формула координаты:

(1.23) является формулой перемещения при равнопеременном движении в векторной форме, а (1.24) и (1.25) обобщенными формулами координаты и проекции перемещения, соответственно. Если материальная точка начинает движение из состояния покоя то:

Как видно из формулы, проекция перемещения при прямолинейном равнопеременном движении пропорциональна квадрату времени  и его график представляет собой параболу, проходящую через начало координат (d).

В некоторых случаях возникает необходимость определить перемещение материальной точки, не зная время  прошедшее от начала движения. Такую задачу можно решить тогда, когда известны ускорение, начальное и конечное значения скорости. Для получения этой формулы из выражения (1.19) получаем

Это выражение подставляется в формулу (1.21):

После простых преобразований получаем:

Для проекции конечной скорости получаем:  Если движение начинается из состояния покоя то проекции перемещения и скорости будут равны:

Равноускоренное и равнозамедленное движения

Равнопеременное движение по характеру может быть или равноускоренным, или же равнозамедленным.

При равноускоренном движении векторы и имеют одинаковые направления. В этом случае знаки у обеих проекций и или положительные, или же отрицательные. Если материальная точка начнет движение из состояния покоя то независимо от направления движения, оно во всех случаях будет равноускоренным.

При равнозамедленном движении векторы и имеют противоположные направления. В этом случае проекции и имеют противоположные знаки, если один из них отрицательный, то другой – положительный.

В таблице 1.3 даны формулы и соответствующие графики равноускоренного и равнозамедленного прямолинейного движения.

Таблица 1.3.

Прямолинейное равноускоренное движение
Примечание: так как то отношение проекций перемещения равно отношению квадратов соответствующих промежутков времени: Это соотношение иногда называется “правило путей”.
Прямолинейное равнозамедленное движение

Кинематика прямолинейного движения

Физические величины бывают скалярные и векторные. Скалярные физические величины характеризуются только численным значением, тогда как векторные определяются и числом (модулем), и направлением. Скалярными физическими величинами являются время, температура, масса, векторными — скорость, ускорение, сила.
Мир вокруг нас непрерывно изменяется, или движется, т. е. можно сказать, что движение (изменение) есть способ существования материи.

Простейшая форма движения материи — механическое движение — заключается в изменении взаимного расположения тел или их частей в пространстве с течением времени. Наука, изучающая механическое движение, называется механикой (от греческого слова — подъемная машина).

Даже самое простое движение тела оказывается достаточно сложным для изучения и исследования. Соответственно, для того чтобы в сложном явлении «увидеть» главное, в физике строится его адекватная упрощенная модель.

В механике широко используется простейшая модель реального тела, называемая материальной точкой (МТ). Под материальной точкой понимают тело, размерами и формой которого можно пренебречь при описании данного движения. Хотя МТ представляет собой абстрактное понятие, упрощающее изучение многих физических явлений, она, подобно реальному телу, «имеет» массу, энергию и т. д.

Кроме материальной точки, в механике используется модель абсолютно твердого тела. Под абсолютно твердым телом понимают модель реального тела, в которой расстояние между его любыми двумя точками остается постоянным. Это означает, что размеры и форма абсолютно твердого тела не изменяются в процессе его движения. В противном случае говорят о модели деформируемого тела.

В классической (ньютоновской) механике рассматривается движение тел со скоростями, намного меньшими скорости света в вакууме
Классическая механика состоит из трех основных разделов: кинематики, динамики и статики. В кинематике (от греческого слова — движение) изучается механическое движение тел без учета их масс и действующих на них сил. В динамике (от греческого слова — сила) рассматривается влияние взаимодействия между телами на их движение. В статике (от греческого слова  — искусство взвешивать) исследуются законы сложения сил и условия равновесия твердых, жидких и газообразных тел.

Всякое движение тела можно представить в виде двух основных видов движения — поступательного и вращательного.

Поступательным называется движение тела, при котором прямая, соединяющая в этом теле любые две точки, при перемещении остается параллельной самой себе (рис. 1).

Вращательным называется движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной прямой, называемой осью вращения, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на этой оси (рис. 2).

Основными задачами кинематики являются:

описание совершаемого телом движения с помощью математических формул, графиков или таблиц;

определение кинематических характеристик движения (перемещения, скорости, ускорения).

Движение тела можно описать только относительно какого-либо другого тела. Тело, относительно которого рассматривается исследуемое движение, называют телом отсчета (ТО). Для описания движения используются формулы, графики и таблицы, выражающие зависимость координат, скоростей и ускорений от времени.

Основным свойством механического движения является его относительность: характер движения тела зависит от выбора системы отсчета (СО).

Систему отсчета, выбираемую для описания того или иного движения, образуют: тело отсчета, связанные с ним система координат (СК) и прибор для измерения времени (часы) (рис. 3).

Система координат и часы необходимы для того, чтобы знать, как с течением времени изменяется положение тела относительно выбранного тела отсчета.

Для описания движения материальной точки в пространстве вводятся такие понятия, как траектория, перемещение, путь.

Линию, которую описывает материальная точка в процессе движения по отношению к выбранной СО, называют траекторией (от латинского слова trajectorus — относящийся к перемещению). Если траектория является прямой линией, то движение называется прямолинейным, в противном случае — криволинейным.

Длина участка траектории, пройденного МТ в процессе движения, называется путем (s).

Термин «скаляр», происходящий от латинского слова scalarus — ступенчатый, введен У. Гамильтоном в 1843 г.

Термин «вектор» произошел от латинского слова vector — несущий и введен У. Гамильтоном в 1845 г.
Перемещением называют вектор направленный из точки, заданной радиус-вектором где МТ находилась в начальный момент времени, в точку, заданную радиус-вектором где МТ находится в рассматриваемый момент времени (рис. 4):

Для количественного описания механического движения тел (МТ) вводятся физические величины, характеризующие пространство и время: длина l, время t.

Длина l определяется как расстояние между двумя точками в пространстве. Основной единицей длины в Международной системе единиц (СИ) является метр (1м).

Время t между двумя событиями в данной точке пространства определяется как разность показаний прибора для измерения времени, например часов. В основе работы прибора для измерения времени лежит строго периодический физический процесс. В СИ за основную единицу времени принята секунда (1с).
В зависимости от вида движения могут выбираться следующие системы координат: одномерная (на прямой линии) (рис. 5), двухмерная (на плоскости) (рис. 6), трехмерная (в пространстве) (рис. 7).

Произвольное движение материальной точки может быть задано одним из трех способов: векторным, координатным, траекторным (естественным).

При векторном способе описания положение движущейся МТ по отношению к выбранной системе отсчета определяется ее радиус-вектором

Радиус-вектор всегда проводится из начала координат О в текущее положение материальной точки (рис. 8). При движении положение МТ изменяется. Закон движения в этом случае задается векторным уравнением

При координатном способе описания положение точки относительно СО определяется координатами х, у, z, а закон движения — уравнениями х = х(t), у = y(t), z = z(t) (см. рис. 8). Исключив из этих уравнений время /, можно найти уравнение траектории движения точки.

Траекторный (естественный) способ описания движения применяется, когда известна траектория движения материальной точки по отношению к выбранной СО (рис. 9).

Текущее положение материальной точки в данном случае определяется расстоянием s, измеренным вдоль траектории от выбранного на ней начала отсчета (точка О на рисунке 9). Кинематический закон движения МТ при этом задается уравнением s = s(t).

Если положить в основу классификации движений характер изменения скорости, то получим равномерные и неравномерные движения, а если вид траектории, то — прямолинейные и криволинейные.

Для того чтобы описать быстроту изменения положения тела (МТ) и направление движения относительно данной СО, используют векторную физическую величину, называемую скоростью

Чтобы охарактеризовать неравномерное движение тела (МТ), вводят понятие средней скорости движения как отношение перемещения тела к промежутку времени за который это перемещение произошло (рис. 10):

 

Средней путевой скоростью называется отношение длины отрезка пути As (см. рис. 9) к промежутку времени его прохождения:

Средняя путевая скорость в отличие от средней скорости является скалярной величиной.

Однако средняя скорость характеризует движение тела (МТ) на определенном участке траектории, но не дает информации о его движении в определенной точке траектории или в определенный момент времени. Кроме того, средняя скорость дает лишь приближенное понятие о характере движения, так как движение в течение каждого малого промежутка времени заменяется равномерным движением. В рамках этой модели скорость тела (МТ) меняется скачком при переходе от одного промежутка времени к другому.

Для того чтобы отразить характер движения в данной точке траектории или в данный момент времени, вводится понятие мгновенной скорости — это скорость тела (МТ), равная производной перемещения по времени:

Вектор мгновенной скорости в любой точке траектории направлен по касательной к ней (см. рис. 10).

В СИ основной единицей скорости является метр в секунду

Простейший вид движения — равномерное. Равномерным называется движение МТ, при котором она за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.

При прямолинейном движении в одном направлении модуль перемещения равен пройденному пути s. Скорость равномерного движения равна отношению перемещения тела ко времени за которое это перемещение произошло:  

При равномерном движении скорость постоянна и равна средней скорости определяемой выражением (2).

Зависимость перемещения от времени имеет вид Вследствие того, что  — радиус-вектор, задающий положение МТ в начальный

момент времени получаем кинематическое уравнение движения в векторном виде

При проецировании радиус-вектора, например, на ось Ох получаем кинематическое уравнение для координаты при равномерном движении:

Здесь — координата тела (МТ) в начальный момент времени Если начальный момент времени уравнение принимает вид

Для наглядности описания механического движения удобно представлять зависимости между различными кинематическими величинами графически.

Скорость МТ при равномерном движении постоянна, поэтому график зависимости проекции скорости от времени представляет собой отрезок прямой линии, параллельной оси времени Ot (рис. 11). Отрезок прямой l на рисунке 11 соответствует движению материальной точки в положительном направлении оси а 2 — в отрицательном Площади закрашенных прямоугольников численно равны модулям перемещений МТ с проекциями скоростей за промежуток времени

График зависимости координаты материальной точки, движущейся равномерно прямолинейно, от времени x(t) — линейная функция (рис. 12).
На рисунке отрезок / прямой соответствует равномерному движению в положительном направлении оси Ох; отрезок 2 прямой — покою материальной точки; отрезок 3 прямой — равномерному движению в отрицательном направлении оси Ох.

Проекция скорости движения численно равна угловому коэффициенту этой прямой линии:  

т. е. тангенсу угла наклона (tga) этой прямой к оси времени.

График зависимости пути (модуля перемещения| от времени s(t) при равномерном движении представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат (рис. 13).

Угловой коэффициент (tga) этой прямой численно равен модулю скорости движения v. Поэтому на рисунке большей скорости у, соответствует больший угловой коэффициент (tg).

Для тел (МТ), участвующих в нескольких движениях одновременно, справедлив принцип независимости движений:

если тело (МТ) участвует в нескольких движениях одновременно, то его результирующее перемещение равно векторной сумме перемещений за то же время в отдельных движениях:

Как следует из принципа независимости движений, конечное перемещение тела не зависит от порядка (последовательности) суммирования перемещений при отдельных движениях.

Пусть, например, при переправе через реку, скорость течения которой мы движемся на лодке со скоростью относительно воды. В этом случае результирующее перемещение (рис. 14) лодки относительно берега будет складываться из собственного перемещения относительно воды и перемещения вместе с водой вследствие течения реки:

• Заказать решение задач по физике

На основе принципа независимости движений формулируется классический закон сложения скоростей:

результирующая скорость тела (МТ), участвующего в нескольких движениях одновременно, равна векторной сумме скоростей отдельных движений (рис. 15):

Этот закон справедлив только при условии, что скорость каждого отдельного движения мала по сравнению со скоростью света

Так, для рассмотренного примера (см. рис. 14) результирующая скорость лодки

Равномерное движение по прямой линии в повседневной жизни встречается сравнительно редко. Например, различные транспортные средства (автомобиль, автобус, троллейбус и т. д.) равномерно и прямолинейно движутся лишь на небольших участках своего пути, в то время как на остальных участках их скорость изменяется как по величине, так и по направлению.

Для измерения мгновенной скорости движения на транспортных средствах устанавливается прибор — спидометр.

Школьный курс физики содержит раздел «кинематика». Большинство задач этого раздела можно решить, рассматривая движение вдоль одной оси — одномерное движение. Его еще называют прямолинейным движением.

Для некоторых задач нужно рассматривать движение на плоскости – двумерный случай.

Вообще, движение тела может происходить:

• вдоль оси – одномерный случай, ось часто именуют, как «Ox»;
• на плоскости;
• в трехмерном пространстве;

Здесь рассмотрим одномерный случай движения — движение тел вдоль оси.

Параметры, описывающие движение

Чтобы описать движение, используют:

• перемещение тела;
• время, в течение которого движение происходило;
• скорость тела;
• начальные и конечные координаты тела;
• траекторию тела;

Траектория – линия, вдоль которой двигалось тело.

Траектория – скаляр, в СИ длину траектории измеряют в метрах.
Для криволинейного движения траектория будет отрезком кривой.
Если движение прямолинейное, траектория – отрезок прямой линии.

Перемещение тела – это вектор. Он соединяет точки, в которых тело находилось в начале и конце движения, направлен из начальной точки в конечную.
Модуль этого вектора – его длину, в СИ измеряют в метрах.

Может ли перемещение тела равняться нулю, при том, что траектория имеет какую-либо протяженность?
Да, такое может быть. Когда тело движется так, что в конце движения оно вернется в начальную точку, в которой находилось перед началом движения.
Если в завершении движения тело окажется на каком-то расстоянии от начальной точки, длина вектора перемещения будет положительной.

Примечания:

• Модуль (длина) вектора не бывает отрицательным, он либо положительный, либо нулевой.
• Когда тело движется по прямой и не меняет направление, длина траектории совпадает с длиной (модулем) перемещения.

Уравнение движения — описывает характер движения.

Оно содержит:

• время движения,
• начальную и конечную координаты тела и
• его скорость.

Вместо координат тела уравнение движения может содержать перемещение.

Примечания:

1. Координаты тела, время движения и траектория – это скалярные величины.
2. А скорость тела, его ускорение и перемещение – это векторы.
3. Когда движение равномерное, скорость тела не меняется.
4. Скорость отвечает на вопрос: как быстро изменяется координата (или путь, перемещение).

Описанные параметры применяют и для равномерного и для неравномерного движения.

Прямолинейное движение вдоль оси

Рассмотрим движение по прямой, когда скорость тела не меняется. Это — равномерное прямолинейное движение.

На рисунке 1 представлено движение тела вдоль оси, назовем ее для определенности Ox:

Ось «Ox»  на рисунке 1 обозначена большим символом «X».
Точка, в которой тело находилось в начале движения (x_{0}  left( text{м} right)) — начальная координата тела;
В эту точку тело переместилось к концу движения (x  left( text{м} right)) — конечная координата тела;
Расстояние между двумя точками (S left( text{м} right)) – это перемещение тела. Перемещение – это вектор.

Формула перемещения для одномерного случая

Для движения по оси (одномерный случай), длину перемещения находят так:
[ large boxed { S = left| x — x_{0} right| }]
Знак модуля нужен для того, чтобы длина перемещения оставалась положительной, даже, если движение происходит влево по оси, т. е. против направления оси Ox.
Сравним два случая движения тел. Первый – в положительном направлении оси Ox (рис 2а), второй – в направлении, противоположном оси (рис 2б).

Чтобы найти длину вектора перемещения при движении в положительном направлении оси (рис. 2а), модуль раскрываем так:
[ S = left| x — x_{0} right| = x — x_{0} ]
Для движения в отрицательном направлении оси (рис. 2б), длина вектора перемещения выражается так:
[ S = left| x — x_{0} right| = — left( x — x_{0} right) = x_{0} — x ]
И в первом, и во втором случае, длина (модуль) вектора перемещения окажется положительной.

Скорость равномерного движения

В учебниках физики равномерному движению дают такое определение:
Движение равномерное, когда тело за одинаковые интервалы времени проходит равные расстояния.

Упростим формулировку:
Если каждую секунду тело проходит одинаковые расстояния – оно движется равномерно.

Слово «равномерное» состоит из двух частей.
Если разбить его на части, получим
«равно» — одинаковый, равный,
«мерное» — отмерять.
Или, другими словами: каждую секунду отмеряем одинаковые расстояния (рис. 2).

Для равномерного движения тела его

• перемещение,
• время движения и
• скорость,

связаны соотношением:

[ left|vec{S} right| = left|vec{v} right|cdot t ]

Эта формула называется уравнением движения. Или, развернуто: «уравнение равномерного прямолинейного движения».

Где ( left|vec{S} right| ) — длина (модуль) вектора перемещения и, (left|vec{v} right|) — длина (модуль) вектора скорости.

Уравнение движения можно записать проще:

[ large boxed { S = v cdot t }]

(S left( text{м} right)) – расстояние, пройденное телом (перемещение).

(t left( c right)) – промежуток времени, в течение которого тело двигалось.

(v left( frac{text{м}}{c} right)) – скорость, с которой двигалось тело.

Разделив обе части уравнения ( S = v cdot t ) на интервал времени ( t ), получим выражение для скорости тела:

[ large boxed { frac{S}{t} = v }]

График уравнения равномерного движения

Вспомним, что перемещение является разностью конечных и начальных координат тела

(  S = left| x — x_{0} right| )

Воспользуемся тем, что при движении вдоль положительного направления оси модуль можно раскрыть так:

(  left| x — x_{0} right| = x — x_{0} )

Тогда уравнение движения перепишем так:

[ large boxed { x — x_{0}  = v cdot t }]

Прибавим к обеим частям уравнения величину ( x_{0} ). Получим такую запись

[ large x  = v cdot t + x_{0}]

Это уравнение задает на плоскости tOx линию. Ее график на осях «x» и «t» — это прямая линия.

Вспомним, что для прямой линии в математике применяют такой вид записи:

( y  = k cdot x + b)

Сравним два уравнения:

[ begin{cases} x = vcdot t + x_{0}\ y = kcdot x + b end{cases} ]

Видно, что число ( x_{0}) – начальная координата тела, выполняет роль коэффициента (b).

А скорость тела ( v) – играет роль углового коэффициента (k).

Сравним графики линий (рис. 4), описанных соотношениями ( y  =  k cdot x + b) и ( x  =  v cdot t + x_{0})

Видно, что линия на рисунке 4а, располагается и слева и справа от вертикальной оси.

Линия же, описывающая движение тела, представленная на рисунке 4б, располагается только лишь в правой полуплоскости. Это не с проста. На горизонтальной оси рисунка 4б отложено время, а в левой полуплоскости время будет отрицательным. При решении задач физики мы считаем, что в начальный момент задачи время равно нулю. Поэтому, область отрицательного времени в физике нас не интересует.

Рассмотрим теперь на графике равномерное движение двух тел, обладающих разными скоростями (рис. 5). Движение тела 1 на рисунке описывает синяя линия, а тела 2 – красная.

Два тела стартуют из точки ( x_{0}) и двигаются равномерно воль оси Ox. За промежуток времени ( Delta t) тело 1, проходит больший путь, чем тело 2.

Примечание: Чем сильнее на графике x(t) прямая линия прижимается к вертикали, тем больше скорость, с которой движется тело!

Как отмечалось выше, тело может двигаться не только в положительном направлении вдоль оси, но и в отрицательном направлении.

На следующем рисунке представлены случаи движения тела в положительном (рис. 6а) и, в отрицательном (рис. 6б) направлениях оси Ox.

Когда скорость направлена по оси (рис. 6а) — координата «x» увеличивается,

а когда против оси (рис. 6б) —  координата «x» уменьшается.

На рисунке рядом с прямыми x(t) приведены уравнения движения. Когда скорость направлена против оси (рис. 6б), перед ней записывают знак «минус».

Угол (alpha) на рисунке связан со знаком скорости. Если скорость направлена по оси (рис. 6а), то угол будет острым. А если скорость направлена против оси (рис. 6б) – угол тупой.

Примечание: Скорость – это вектор. Когда вектор направлен против оси, его проекция на эту ось будет отрицательной. Читайте тут о проекциях векторов. Длина любого вектора – это положительная величина.

Как по графику перемещения определить скорость

Пользуясь графиком функций S(t), или x(t) равномерного движения можно определить скорость, с которой движется тело.

Примечания:

• График S(t) называют так: «зависимость перемещения S от времени t», или кратко — график перемещения от времени.
• А график x(t) — так: «зависимость координаты x от времени t», или кратко — график координат от времени.

Скорость находим за четыре шага (рис. 7):

1. Выбираем две точки на линии, описывающей движение и определяем их координаты;
2. Находим разность вертикальных координат;
3. После находим разность координат по горизонтали;
4. Делим «вертикаль» на «горизонталь»

Полученное число и будет скоростью тела.

Примечания:

• Когда просят найти скорость, обычно имеют ввиду, что нужно найти модуль вектора скорости.
• Скорость в системе СИ измеряют в метрах, деленных на секунду.

Обращаем внимание на то, в каких единицах на осях измерены расстояние S и время t. Если нужно, переводим расстояние в метры, а время — в секунды, чтобы получить скорость в правильных единицах измерения.

Рассмотрим рисунок 7.

На рисунке первая точка имеет координаты ( left( t_{1} ; x_{1} right) ),

координаты второй точки: ( left( t_{2} ; x_{2} right) ).

Разницы между координатами находим, руководствуясь принципом («конечная» — «начальная») по формулам

( Delta t = t_{2} — t_{1} )

( Delta x = x_{2} — x_{1} )

Скорость вычислим из соотношения

[ v = frac{Delta x}{Delta t}]

Читайте далее о том, как переводить скорость из километров в час в метры в секунду и о равнопеременном движении