Как найти координату точки в физике

Движение материальной точки в пространстве – это изменение ее положения относительно других тел с течением времени.

Имеет смысл говорить только о движении в некоторой системе отсчета.

Система отсчета. Системы координат

Точки, располагаемые в пустом пространстве, не различаются. Поэтому о точке рассуждают при условии нахождения в ней материальной точки. Определить ее положение можно при помощи измерений в системе координат, где и проводится нахождение пространственных координат. Если рассматривать в виде примера поверхность Земли, то следует учитывать широту и долготу располагаемой точки.

В теории используется декартова прямоугольная система координат, где определение точки возможно при наличии радиус-вектора r и трех проекций x, y, z – ее координат. Могут быть применены другие:

• сферическая система с положением точек и ее радиус-вектором, определенных координатами r, υ, φ;
• цилиндрическая система с координатами p, z, α;
• на полярной плоскости с параметрами r, φ.

В теории зачастую не принимают во внимание реальную систему отсчета, а сохраняют только ту, которая представляет собой ее математическую модель, применяемую во время практических измерений.

Кинематическое уравнение движения материальной точки

Любая система отсчета или координат предполагает определение координат материальной точки в любой момент времени.

Аналитически положение точки определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Иначе говоря, свободная точка имеет три степени свободы движения.

Ее перемещение по уравнению (1) определено, если имеется указанное положение в любой момент времени t. Для этого следует задавать декартовы координаты точки в качестве однозначных и непрерывных функций времени:

x(t)=x, y(t)=y, z(t)=z (2).

Прямоугольные декартовы координаты x, y, z – это проекции радиус-вектора r¯, проведенного из начала координат. Очевидно, что длину и направление r¯ можно найти из соотношений, где a, β, γ являются образованными радиус-вектором углами с координатными осями.

Равенства (2) считают кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.

Они могут быть записаны в другой системе координат, которая связана с декартовой взаимно однозначным преобразованием. Если движение точки происходит в плоскости Оху, тогда применимы полярные координаты r, φ, относящиеся к декартовым преобразованиям. Данный случай подразумевает использование уравнения движения точки следующего вида:

r=r(t), φ=φ(t) (3).

Кинематическое уравнение движения точки в криволинейных координатах q1, q2, q3, связанных с декартовыми преобразованиями вида x=x(q1, q2, q3), y=y(q1, q2, q3), z=z(q1, q2, q3) (4), записывается как

q1=q1(t), q2=q2(t), q3=q3(t) (5).

Кривая радиус-вектора, описываемая концом вектора r при движении точки, совпадает с ее траекторией. Параметрическое уравнение траектории с t представлено кинематическими уравнениями (2), (5). Чтобы получить координатное уравнение траектории следует исключить время из кинематических уравнений.

Понятия координатного и естественного способа задания движения точки физически эквивалентны. С математической стороны это рассматривают как возможность применения разных методов, исходя из случая математической задачи.

Задание такого закона возможно аналитическим, графическим путем или с использованием таблицы, последние два из которых зачастую рассматривают в виде графиков и расписаний движений поездов.

На
прошлом уроке мы с вами говорили о пути и перемещении тела. Давайте вспомним,
что путь — это скалярная величина, равная длине траектории, которую
описывает тело за некоторый промежуток времени.

А
перемещением называется направленный отрезок прямой, соединяющий
начальное и конечное положения тела.

Так
как перемещение — это векторная величина, то есть имеет модуль и направление,
то складывать и вычитать перемещения необходимо по правилам сложения и
вычитания векторов. Однако при решении большинства задач, используется понятие
не вектора, а проекции вектора на ось координат.

—
А что такое проекция вектора и каковы её свойства?

На
это вопрос мы с вами и попытаемся сегодня ответить. Начнём с простого — с
понятия проекция точки на ось. Проекция точки — это основание
перпендикуляра, опущенного из данной точки на ось.

На
представленном рисунке точка А₁ — это проекция точки А
на ось Ox,
а точка B₁ —
проекция точки B
на
ось Oy.

Теперь
разберёмся с проекцией вектора на ось. Согласно определению, проекция
вектора на ось — это длина отрезка между проекциями начала и конца вектора на
эту ось, взятая со знаком «плюс» или «минус».

Знак
«плюс» берут, если угол между вектором и осью острый, а «минус» — если угол
тупой.

Обозначать
проекцию вектора будем той же буквой, что и вектор, но с индексом внизу
(например, a_x
— это проекция вектора a
на ось Ox).

—
А если вектор перпендикулярен оси?

Тогда
проекция этого вектора равна нулю.

Проекцию
вектора можно выразить через его модуль и угол между вектором и осью. Итак,
пусть у нас есть вектор a
направленный под некоторым острым углом к координатной оси Ox. Укажем проекцию этого вектора на
ось.

У
нас с вами получился прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна длине
вектора a,
а катет AB₁
— это проекция вектора a
на
ось Ox.

Тогда,
на основании определения косинуса острого угла, мы можем записать, что проекция
вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между вектором
и осью:

Это
правило справедливо при любых значениях угла φ. Например,
для углов, больше 90^о, косинус угла φ отрицательный. Тогда по
формуле получается, что проекция вектора на ось также отрицательна, как и
должно быть по определению проекции.

—
А можно ли найти модуль и направление вектора по его проекциям на координатные
оси?

Чтобы
ответить на этот вопрос рассмотрим вектор, лежащий в плоскости xOy.
Вектор, лежащий в заданной плоскости, определяется двумя проекциями на оси
координат.

Обратим
внимание на важное свойство проекций: проекция суммы векторов на ось равна
сумме их проекций на эту ось.

Но
вернёмся к нашему прошлому уроку. На нём мы с вами говорили о том, что
положение тела, которое совершило некоторое перемещение, можно найти
графически. Для этого достаточно отложить вектор перемещения от начального
положения этого тела. Однако в большинстве случаев необходимо уметь вычислять
положение тела, то есть уметь определять его координаты. Давайте на примере
решения задачи посмотрим, как можно определить координату движущегося тела,
зная координату его начального положения и вектор перемещения.

Итак,
два поезда идут по параллельным путям в противоположных направлениях и
встречаются в шестидесяти километрах к востоку от железнодорожного вокзала.
Продолжив движение через некоторое время t первый поезд удалился от места
встречи на 50 километров в восточном направлении, а второй — на 80 километров в
западном. Определите координаты каждого поезда относительно вокзала и
расстояние между ними через промежуток времени t.

План урока:

Механическое движение. Система отсчёта. Закон относительности движения

Уравнения движения. Радиус-вектор. Проекция вектора

Траектория. Путь. Перемещение

Равномерное прямолинейное движение: скорость и уравнение движения

Механическое движение. Система отсчёта. Закон относительности движения

Механическим движением в физике называется изменение с течением времени положения тела (или его частей) в пространстве относительно других тел.

То есть, чтобы сказать, что тело или система совершает механическое движение, нам необходимо: 1) наблюдать его во времени; 2) сравнивать его положение с положением какого-то другого тела (относительно этого тела).

Например, пассажир в едущем автомобиле неподвижен относительно кресла, на котором он сидит, но он движется относительно людей, стоящих на автобусной остановке и самой остановки. А сама автобусная остановка неподвижна относительно стоящих людей, ждущих автобус (см. рисунок 1). Однако она движется относительно проезжающих мимо машин. В первом случае наблюдаемым объектом был человек в машине, а точкой отсчета кресло и люди на остановке. Во втором случае наблюдаемой была автобусная остановка, а точками отсчета – люди на остановке и проезжающие мимо машины.

Рисунок 1 – Иллюстрация к примеру

Из примеров можно сделать вывод, что важно, какой именно объект находится под наблюдением и относительно какого объекта – тела отсчета – рассматривается его движение. Отсюда можно сформулировать закон относительности движения: характер движения тела зависит от того, относительно какого объекта мы рассматриваем данное движение.

Тело (или точка) отсчета, связанная с ним система координат и часы, вместе образуют систему отсчета. То есть все сказанное выше можно переформулировать в одно предложение: для наблюдения механического движения важно в какой системе отсчета будет происходить наблюдение.

Рисунок 2 – Пример системы отсчета (наблюдаемы объект – летящий мяч, тело отсчета – камень, лежащий в начале координат, система координат и секундомер для отсчета времени)

Однако объекты могут быть очень сложными для наблюдения. Например, автомобиль едет по прямой несколько километров и необходимо описать его движение относительно камня на обочине. Казалось бы, все просто. Но как именно описать движение автомобиля, если корпус его движется по прямой, а колеса совершают вращательные движения.

Для удобства решения подобных задач принято упрощение: если размер и форма тела в данной задаче не играют важной роли для наблюдателя, можно считать это тело за материальную точку.

Материальная точка – это такое тело, размером и формой которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Приведем пример: когда автобус едет из города А в город Б, его можно рассматривать как  материальную точку. Когда пассажир идет из одного конца этого автобуса в другой, считать автобус материальной точкой нельзя. В общем случае можно сказать, что тело можно считать материальной точкой, если его размеры значительно меньше расстояния, на которое оно перемещается.

Уравнения движения. Радиус-вектор. Проекция вектора

Для описания движения тела необходимо уметь рассчитывать его положение в каждый момент времени. Как это сделать?

Самый очевидный способ – координатный. Если вернуться к примеру на рисунке 2, можно увидеть, что летящий мяч в каждый момент времени имеет три координаты по осям OX, OY и OZ. Эти координаты являются функциями времени (т.е. они зависят от времени), а значит, их можно записать в виде системы:

Вид этих уравнений будет зависеть от многих вещей: от того, с какой силой бросили мяч в начале, от массы мяча, под каким углом его бросили и так далее. В любом случае, если эти уравнения заданы, можно найти координаты (то есть положение) тела в любой момент времени. Поиск этих уравнений – основная задача кинематики.

Эта система является кинематическими уравнениями движения тела или материальной точки, записанными в координатной форме. Повторим: если вид уравнений движения задан, можно узнать координату движущейся точки в любой момент времени.

В общем случае, координат три, но иногда можно обойтись двумя или даже одной координатой. Например, для описания движения бильярдного шара достаточно двух координат (так как шар не может двигаться вверх и вниз), а для описания движения шарика, катящегося по прямому горизонтальному желобку достаточно одной координаты (шарик не может двигаться вверх-вниз и вправо-влево).

Еще один способ описания движения – векторный.

*Перед дальнейшим прочтением данной статьи желательно вспомнить основную теорию по теме «Векторы» и «Метод координат»

Вектор, проведенный из начала координат к материальной точке, называется радиус-вектором (см. рисунок 3).

Рисунок 3 – Радиус-вектор (серой линией изображены траектория движения материальной точки, r₁ и r₂* радиус-векторы, проведенные к этой материальной точке в разные моменты времени)

Радиус-вектор проведенный к материальной точке в разные моменты времени будет разным. Значит, его тоже можно представить, как функцию времени:

r = r(t)

Такая функция и будет уравнением движения в векторной форме. Если ее вид задан, можно описать движение тела с той же полнотой, как и при координатной записи.

Еще раз обозначим отличия: при записи уравнения движения в координатной форме в каждый момент времени наблюдающий будет знать три координаты тела; при записи в векторной форме в каждый момент времени известен радиус-вектор (его модуль и направление). Обе записи равносильны.

*На письме векторы обычно обозначаются стрелкой сверху, над величиной. Однако в печатном тексте не всегда удобно нагромождать формулы дополнительными знаками, поэтому в печати векторные величины пишут просто жирным шрифтом. В данной статье далее жирным шрифтом будут написаны только векторные величины.

Покажем, что векторная и координатная записи равносильны. Для этого необходимо вспомнить, как построить проекцию вектора на ось (см. рисунок 4).

Рисунок 4 – Построение проекции вектора на ось

Чтобы построить проекцию вектора на ось, необходимо опустить перпендикуляра из начала и конца вектора на эту ось. Длина получившегося отрезка между проекциями начала и конца вектора, взятая со знаком «+», если вектор а сонаправлен с осью Х, или со знаком «-», если вектор а противонаправлен оси Х, – это и есть искомая проекция.

Если вектор выходит из начала координат, задача облегчается – необходимо опустить перпендикуляр только из конца вектора.

Напоминания из геометрии:

• два вектора равны, если они параллельны или лежат на одной прямой, сонаправлены, а их модули равны;

• проекции равных векторов равны.

Рассмотрим пример (см. рисунок 5)

Рисунок 5 – Задача на нахождение проекции векторов

Предлагаем читателю самому подумать, а затем сравнить свои рассуждения с приведенными ниже.

Итак, вектор а: его начала соответствует координате х_н=1, а конец х_к = 4. Значит a_x = х_к – х_н = 4-1 = 3. Вектор b: его начало лежит в точке х_н=2, а конец х_к =0. Значит b_x = х_к – х_н = 0-2 = -2.

В двумерном случае, проецировать нужно на две оси, но принцип остается тем же.

Иногда еще нужно находить составляющие компоненты вектора а_х и а_у. Рассмотрим пример, для простоты возьмем вектор, выходящий из начал координат (см. рисунок 6).

Сумма векторов а_х и а_у равна а. Модули векторов а_х и а_у численно равны координатам точек, куда попали перпендикуляры, опущенные из конца вектора а на оси ОХ и ОУ.

Еще следует отметить, что, если известен угол β между вектором а и осью ОХ, воспользовавшись основами тригонометрии, можно найти величины проекций:

а_х = а*cos(β);

а_y = а*sin(β).

Если бы вектор а совпадал с радиус-вектором какой-нибудь точки, то величины а_х и а_у совпадали бы с координатами тела по осям ОХ и ОY.

Способ с использованием тригонометрических функций удобен, когда координата конца вектора попадает в нецелое число и опустив перпендикуляр на ось его трудно найти точно. В физических задачах такое часто случается.

Рисунок 6 – Нахождение компонент вектора а

Рассмотрим пример (см. рисунок 7). Модуль вектора r равен 2. Сам вектор направлен под углом в 45 градусов к оси ОХ. Необходимо найти величины проекций (они же координаты) этого вектора на оси ОХ и ОУ.

Рисунок 7 – Задача на нахождение проекций вектора в двумерном пространстве

В общем случае радиус-вектор находится в трехмерном пространстве (см. рисунок 8). Построение проекции осуществляется по тому же принципу, что и в рассмотренных выше примерах. Когда строятся проекции на оси ОХ и ОУ, перпендикуляр сначала опускается на плоскость, в которой лежат оси ОХ и ОУ, а затем точка, в которую упал перпендикуляр к плоскости, проецируется на оси ОХ и ОУ.

Точки, в которые попал перпендикуляры к осям – r_x, r_y, r_z – это и есть координаты x, y, z тела в текущий момент времени.

Следует оговориться, что большинство задач 10-го класса будут ограничиваться двумерным пространством.

Рисунок 8 – Построение проекций радиус-вектора

Траектория. Путь. Перемещение

Траектория – это линия, вдоль которой движется тело.

Траектория движения может быть прямолинейной, если тело движется по прямой линии, и криволинейной, если тело движется по кривой.

Путь (S), пройденный телом, равен длине траектории.

Перемещение (r)* – это вектор, проведенный из начала пути в конец.

В случае прямолинейного движения путь и модуль перемещения тела совпадают (см. рисунок 9а). В случае криволинейного – путь и перемещение различаются (см. рисунок 9б), так как длина линии движения тела больше длины вектора, соединяющего начало и конец траектории.

Рисунок 9 – Путь (S) и перемещение (r) при прямолинейном (а) и криволинейном (б) движении

*Иногда перемещение так же, как и путь, называют буквой S – (на письме с вектором над ней, при печати  – жирным шрифтом, так как это векторная величина). В данной статье, чтобы не путаться, перемещение называется только буквой r. В целом, обозначения равноправны, поэтому при решении задач можно использовать то, которое удобнее. Однако не стоит забывать отмечать, что именно обозначено под той или иной буквой.

Равномерное прямолинейное движение: скорость и уравнение движения

Путь и перемещение при равномерном прямолинейном движении

Прямолинейное равномерное движение уже рассматривалось в курсе физики ранее, однако приведем основные определения.

Прямолинейное движение – это движение по прямой линии. Равномерное движение – такое, в процессе которого тело за равные временные промежутки проходит один и тот же путь. Если объединить эти два определения получится третье:

• равномерное прямолинейное движение – это такое движение, в ходе которого 1) тело совершает движение по прямой линии; 2) за одинаковые временные промежутки проходит одинаковый путь.

Зная определения пути и перемещения, это определение можно упростить: прямолинейное равномерное движение тела – это такое движение, в процессе которого тело за одинаковые временные промежутки совершает равные перемещения.

Важной характеристикой является скорость механического движения. Предположим, что при равномерном прямолинейном движении тело за промежуток времени △t перемещается из точки А в точку Б (см. рисунок 8). Радиус-вектор, проведенный в точку A обозначим r₀, а радиус-вектор в точку Б обозначим r₁. Изменение радиус-вектора назовем △r – нетрудно заметить, что это есть перемещение тела за время △t.

Рисунок 8 – Поиск перемещения тела через радиус-векторы при равномерном прямолинейном движении

Тогда скорость движения (v) будет вычисляться по формуле:

Так как △r – вектор, △t – скаляр, скорость v тоже будет вектором, сонаправленным перемещению.

Если тело начинает двигаться в момент начала отсчета, то △t = t*. Из правила сложения векторов следует, что △r = r₁ – r₀. Тогда выражение для скорости можно переписать в виде:

Из этого выражения следует:

r₁ = r₀ + v*t.

Это выражение можно применить к любому произвольно взятому моменту времени, поэтому можно опустить индекс в левой части и переписать:

r = r₀ + v*t.

Данное уравнение является уравнением движения при прямолинейном равномерном движении.

*Напоминание: символом △ (дельта) обозначают изменение какой-нибудь величины. Например △t = t – t₁, где t – конечный момент времени, t₁ – начальный. Если же начальный момент времени совпадает с началом отсчета t₁ = 0, то △t = t – 0 = t_.

Фактически уравнение равномерного прямолинейного движения означает, что радиус-вектор в произвольный момент времени t можно посчитать, сложив начальный радиус-вектор и приращение v*t.

Найдя проекции радиус-вектора и вектора скорости, можно разложить уравнение движения тела на три составляющие вдоль осей ОX, ОY и ОZ.

r_x = r_0x + v_x*t;

r_y = r_0y + v_y*t;

r_z = r_0z + v_z*t.

В этих выражениях r_0x, r_0y, r_0z  и v_x, v_y, v_z – это компоненты изначальных векторов r₀ и v вдоль осей ОХ, ОY и ОZ соответственно. И теперь можно перейти к скалярному виду:

r_x = r_0x + v_x*t;

r_y = r_0y + v_y*t;

r_z = r_0z + v_z*t.

Стоит отметить, что при проецировании какие-то компоненты вектора могут стать отрицательными, тогда знаки в выражениях поменяются на противоположные.

В рассмотренном выше примере движение происходит только вдоль оси ОХ (остальные координаты не изменяются). На рисунке 9 приведены проекции начальной (х₀) и конечной (х₁) точки на ось ОХ.

Рисунок 9 – Перемещение тела в координатном представлении

Уравнение координаты (х) движения будет выглядеть:

x(t) = x₀ + v*t.

А это уже похоже на знакомую из прошедшего курса физики формулу для нахождения пути:

S(t) = S₀ + v*t.

Если точка начала двигаться из начала отсчета S₀ = 0, можно переписать эту формулу в виде:

S(t) = v*t.

Отсюда следуют известные уже формулы для нахождения скорости и времени при равномерном прямолинейном движении:

Приведем последний в этой статье пример: известно, что тело движется вдоль оси ОХ, начиная из точки x₀ = 3 см. Скорость тела равна v = 5 м/с и направлена вдоль оси ОХ. Необходимо записать уравнение движения по координате х для этого тела.

Итак, для начала приведем все единицы измерения к СИ:

x₀ = 3 см = 0,03 м.

Теперь можно записывать уравнение для координаты х:

x(t) = x₀ + v*t = 0,03 + 5*t.

Из этого уравнения можно найти координату тела в любой момент времени. Например, через 2 секунды после начала отсчета тело находилось в точке:

x(2) = 0,03 + 5*2 = 10, 03.

А какой путь прошло тело к этому моменту? В начале оно находилось в точке x(2)  = 0,03 м, а через 2 секунды оно стало находиться в точке x(2) = 10, 03. Значит за 2 секунды тело прошло:

S = x(2) – x₀ = 10, 03 – 0,03 = 10 м.

А если скорость тела была направлена противоположно оси ОХ, как тогда выглядело бы уравнение движения?

Тогда проекция вектора скорости на ось ОХ была бы отрицательной и в уравнении знак перед скоростью поменялся бы на противоположный:

x(t) = x₀ – v*t = 0,03 – 5*t.

Прямолинейное равномерное движение является наиболее простым и понятным типом механического движения. Подробнее узнать про этот вид движения можно здесь.

Для нахождения координаты тела при равномерном прямолинейном движении используется довольно простая формула:

Формула координаты тела при равномерном прямолинейном движении

Таким образом, для того, чтобы найти координату тела при равномерном прямолинейном движении необходимо знать только начальную координату тела, его скорость и время в пути. Вы можете подставить эти значения в наш онлайн калькулятор и получить результат.