Как найти координату точки в квадрате

Задача 31255 Известна точка пересечения диагоналей.

Условие

Известна точка пересечения диагоналей квадрата K(2,5; 4,5)
и уравнение одной из его сторон
x -4y + 24 = 0
. Найти
координаты вершин квадрата и составить уравнения его
диагоналей.

Все решения

Уравнение стороны запишем в виде
y=(1/4)x+6
k=1/4
tg α =1/4
Тогда
уравнение диагонали:
y=k_(1)x+b
tg β =k_(1)

tg( β – α )=(tg β -tg α )/(1+tg β *tg α )

y=(5/3)x+b – уравнение диагонали

Подставим координаты точки К

Диагонали взаимно перпендикулярны.
Значит уравнение второй диагонали
y=(-3/5)x+b
Подставим координаты точки К
4,5=(-3/5)*2,5+b
b=6

Координаты одной вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у+24=0 и диагонали у=(5/3)х+(1/3)
<х-4у+24=0
<у=(5/3)х+(1/3)
x=4
y=7

Координаты второй вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у+24=0 и диагонали у=(-3/5)х+6
<х-4у+24=0
<у=(-3/5)х+6
x=0
y=6

Координаты двух других точек можно найти из симметрии.

Уравнение квадрата в декартовой системе координат.

Проанализируем расположение квадрата на координатной плоскости.

В общем случае уравнение квадрата в декартовой (прямоугольной) системе координат принимает вид:

где точка О`(a;b) – точка пересечения диагоналей квадрата;

d – длина диагонали квадрата.

В частном случае, когда точка О(0;0) – начала координат, является одновременно и точкой пересечения диагоналей квадрата, уравнение квадрата принимает вид:

где d– длина диагонали квадрата.

Раздел 1

Задача. Пусть точка А(1; 3) – вершина квадрата ABCD, а его диагональ BD лежит на прямой х + 2у – 12 = 0. Найти:

а) координаты вершин В, С и D;

b) уравнения сторон АВ, ВС, CD и AD.

Указание. Из школьного курса геометрии известны следующие свойства диагоналей квадрата, которые будут использованы при решении этой задачи.

Диагонали квадрата: 1) взаимно перпендикулярны; 2) делятся точкой своего пересечения – центром квадрата – пополам; 3) равны.

Решение: 1. Найдем уравнение прямой, на которой лежит АС – вторая диагональ квадрата. Вспомним, что уравнение любой невертикальной прямой может быть приведено к виду у = kx + b, где параметр k – угловой коэффициент этой прямой.

В силу свойства диагоналей квадрата угловые коэффициенты =-0,5 и k_BD прямых АС и BD связаны соотношением

Найдем угловой коэффициент k_BD. Для этого выразим у через х из данного уравнения прямой BD: 2у = – х + 12, откуда у =-0,5 х + 6. Итак, k_BD =-0,5. Поэтому из соотношения (1) получим, что k_AC=2.

Теперь уже легко найти уравнение прямой АС. Нам известны координаты ее точки А и угловой коэффициент k_AC. Используем уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

Подставим в это уравнение числовые данные нашей задачи: x_A = 1, у_А = 3, k_AC=2. Получим у – 3 = 2(х – 1) или (после упрощений)

AC: у = 2х + 1.

2. С помощью свойства 2) диагоналей квадрата найдем координаты центра Е квадрата – точки пересечения его диагоналей.

Поскольку точка Е лежит на диагонали АС, ее координаты удовлетворяют уравнению прямой АС; аналогично рассуждая, получим, что координаты точки Е должны одновременно удовлетворять и уравнению прямой BD. Таким образом, координаты точки Е должны удовлетворять системе из уравнений прямых АС и BD

(первое – уравнение прямой АС, второе – прямой BD).

Далее, вычитая второе уравнение из первого, получим: 0=2,5x-5. Значит х = 2. Подставим найденное значение х в любое из уравнений системы, например, в первое. Найдем, что у = 5.

Итак, мы нашли координаты точки Е, центра квадрата: х_Е = 2, у_Е = 5, т.е. Е(2; 5).

3. Найдем длину отрезка АЕ – половину диагонали квадрата, а затем воспользуемся тем, что и остальные вершины квадрата находятся от его центра E на таком же расстоянии (свойства 2) и 3) диагоналей), т.е. что все вершины квадрата лежат на окружности радиуса АЕ с центром в точке Е

Подставив в правую часть этой формулы числовые значения координат точек А и Е, получим, что

Уравнение окружности радиуса АЕ с центром в точке Е записывается в виде

Подставив в него числовые значения радиуса АЕ и координат центра Е, получим уравнение окружности, проходящей через все вершины квадрата:

Теперь с помощью простого рассуждения находим по очереди координаты всех вершин квадрата.

Точки А и С лежат на пересечении найденной окружности и прямой АС, это общие точки указанных окружности и прямой. Значит, координаты этих точек – решения системы уравнений окружности и прямой:

Координаты вершины А мы знаем, поэтому будем искать вершину С.

Подставим во второе уравнение системы вместо у его выражение 2х + 1 из первого уравнения. Получим:

(х – 2) 2 + (2х + 1 – 5) 2 = 5,

откуда (х – 2) 2 + (2х – 4) 2 = 5, поэтому (х – 2) 2 + 4(х – 2) 2 = 5, т.е. 5(х – 2) 2 = 5, значит (х – 2) 2 = 1. Если квадрат числа равен 1, это число равно либо 1, либо (-1). Поэтому х – 2 = 1 и тогда х = 3, либо х – 2 = -1 и тогда х = 1.

Во втором случае мы получили известную нам абсциссу вершины А (а из первого уравнения системы получим ординату этой вершины), а первый случай дает нам абсциссу вершины С: х_С = 3. Тогда из первого уравнения системы найдем ординату вершины С: у_С = 2×3 + 1 = 7. Итак, найдена вершина С(3; 7).

Аналогично, для нахождения координат вершин В и D надо решить систему, состоящую из уравнений прямой BD и той же окружности:

Выразим из первого уравнения х через у: х = 12 – 2у.и подставим полученное выражение во второе уравнение системы. Получим (аналогично решению предыдущей системы) 4(у – 5) 2 + (у – 5) 2 = 5, откуда либо у – 5 = 1 и тогда у = 6, либо у – 5 = -1 и тогда у = 4.

При у = 6 первое уравнение системы дает х = 12 – 2у = 12 – 12 = 0, а при у= 4 аналогично получаем, что х = 4.

Итак, получены два решения системы, пары (0; 6) и (4; 4). Одно из этих решений – координаты точки В, а второе – точки D. Поскольку обе эти вершины совершенно равноправны, мы можем любую из них обозначить буквой В, тогда вторая будет вершиной D. Вся разница в том, идут ли вершины А, В, С и D в порядке обхода контура квадрата по или против часовой стрелки, что для решения нашей задачи безразлично; просто надо выбрать одно из этих направлений произвольно.

Мы будем считать, что вершины квадрата таковы: B(0; 6); D(4; 4).

4. Нам осталось найти уравнения сторон квадрата. Для этого вспомним уравнение прямой, проходящей через точки М(х_М; у_М) и N(x_N; y_N):

(2)

и подставим в него координаты соответствующих вершин квадрата.

Уравнение прямой АВ получим, если в формуле (2) вместо точек М и N возьмем точки А и В:

.

Подставляя в это уравнение координаты вершин А(1; 3) и В(0; 6), находим:

или y-3=-3(x-1), откуда y=-3x+6.

Аналогично получаем уравнения других сторон. Теперь можно сделать чертеж.

Ответ: а) В(0; 6); С(3; 7); D(4; 4);

BC:

DA:

Замечание. Если иначе выбрать точки B и D (cм. п.3 решения), в ответе надо поменять местами: в п. а) – координаты точек В и D; в п. b) – уравнения прямых АВ и CD, а также уравнения прямых ВС и CD.

Дата добавления: 2014-12-02 ; просмотров: 1393 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

[spoiler title=”источники:”]

http://www.calc.ru/Uravneniye-Kvadrata-V-Dekartovoy-Sisteme-Koordinat.html

http://helpiks.org/1-18451.html

[/spoiler]

Если прямоугольник параллелен осям координат, то ответы выше верны. Иначе задача усложняется. Самые примитивные способы:

1. Подсчитать сумму площадей 4 треугольников, образованных точкой и смежными вершинами прямоугольника. Если она больше площади прямоугольника, точка вне прямоугольника.

2. Подсчитать сумму углов с вершиной в точке и лучами, проходящими через смежные вершины. Если она меньше 360 градусов, точка вне прямоугольника.

А можно и так:

Запишем уравнение прямой, проходящей через точки (x1, y1) и (x2, y2) в виде;
(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) =>
(x-x1)*(y2-y1) – (y-y1)*(x2-x1) = 0

Тогда знак функции q(x, y) = (x-x1)*(y2-y1) – (y-y1)*(x2-x1) будет зависеть от того, с какой стороны прямой лежит точка x. Но если точка внутри квадрата, то она лежит по разные стороны от параллельных сторон прямоугольника.

Если точки перечислены в порядке:
1 2
3 4
(диагонали 1-4 и 2-3, остальное не важно)
То получаем проверку:
(((x – x1) * (y2-y1) – (y – y1) * (x2 – x1)) * ((x – x3) * (y4-y3) – (y – y3) * (x4 – x3)) <= 0) and
(((x – x1) * (y3-y1) – (y – y1) * (x3 – x1)) * ((x – x2) * (y4-y2) – (y – y2) * (x4 – x2)) <= 0)

Аналитическое решение:
Составим уравнение прямой АВ:
y=kx+b
Подставим координаты точки А
4=k+b
Подставим координаты точки В
1=2k+b
Вычитаем из второго уравнения первое:
k=-3
тогда
b=1-2k=1+6=7
[b]y=-3x+7[/b]

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)

у=(1/3)х + m – Уравнения прямых перпендикулярных АВ.

Подставим координаты точки А
4=(1/3)+m
m=11/3
y=(1/3)x+(11/3)
[b]x-3y+11=0[/b] – уравнение прямой MD, проходящей через точку A

Подставим координаты точки В
1=(1/3)*2+m
m=1/3
y=(1/3)x+(1/3)
[b]x-3y+1=0[/b] – уравнение прямойNC, проходящей через точку В

Находим длину АВ
AB=sqrt((2-1)^2+(1-4)^2)=sqrt(10)

Осталось решить задачу:

Найти координаты точек, лежащих на прямой [b]x-3y+11=0[/b]
и находящихся на расстоянии sqrt(10) от точки А

Геометрическим местом точек, находящихся на расстоянии sqrt(10) от точки А является окружность с центром в точке А радиусом sqrt(10)

Решаем систему уравнений:
{x-3y+11=0
{(x-1)^2+(y-4)^2=10

{x=3y-11
{(3y-11-1)^2+(y-4)^2=10 ⇒ 10y^2-80y+150=0;

y^2-8y+15=0
D=(-8)^2-4*15=64-60=4

y_(1)=3; y_(2)=5
x_(1)=-2; x_(2)=4

Это координаты точек M (4;5) и D(-2;3)

Аналогично находим координаты двух точек на прямой [b]x-3y+1=0[/b]и находящихся на расстоянии sqrt(10) от точки B

{x-3y+1=0
{(x-2)^2+(y-1)^2=10

{x=3y-1
{(3y-1-2)^2+(y-1)^2=10 ⇒ 10y^2-20y=0;

y^2-2y=0

y_(3)=0; y_(4)=2
x_(3)=-1; x_(4)=5

Это координаты точек N (5;2) и C(-1;0)

О т в е т. M (4;5) ; D(-2;3) ;N (5;2) ; C(-1;0)

Вопрос:

XO
XX

OX
XX

XX
OX

XX
XO

Лучший ответ:

Ответ №1

P4=P2+P3-P1

Ответ №2

n3 = n0 + (n2 - n1)

Пусть имеем точку А (-18; 19) и уравнение стороны СД у = (-2/9) * х + (50/9).

Уравнение стороны АД как перпендикуляра к СД имеет вид:

АД: у = (-1 / (-2/9)) * х + в.

Подставим известные координаты точки А:

19 = (9/2) * (-18) + в, отсюда получаем в = 19 + (9*18/2) = 19+81 = 100.

Уравнение стороны АД: у = (9/2) х + 100.

Для получения координат точки Д приравниваем правые части уравнений:

(-2/9) х + (50/9) = (9/2) х+100.

(4+81) х/18 = (50/9) – (900/9) = – 850/9 = – 1700/18.

Отсюда 85 х = – 1700, х = – 1700/85 = – 20.

у = (-2/9) * (-20) + (50/9) = (40+50) / 9 = 90/9 = 10.

Координаты точки Д (-20; 10).

Находим разность координат точек А и Д:

Δх = – 20 – (-18) = – 2,

Δу = 10-19 = – 9.

У квадрата все стороны равны, разность координат параллельной стороны ВС сохраняется, а у перпендикулярных сторон – меняется местами.

Точка В: Хв = Ха – Δу = – 18 – (-9) = – 18+9 = – 9,

Ув = Уа – Δх = 19-2 = 17.

В (-9; 17).

Точка С: Хс = Хв – Δх = – 9-2 = – 11,

Ус = Ув + Δу = 17 + (-9) = 8.

С (-11; 8).