Как найти координату третьей вершины треугольника

Автор	Сообщение
	Заголовок сообщения: Координаты третьей вершины треугольника Добавлено: 26 мар 2013, 05:26
Начинающий Зарегистрирован: 26 мар 2013, 05:23 Сообщений: 2 Cпасибо сказано: 3 Спасибо получено: 0 раз в 0 сообщении Очков репутации: 1	Здравствуйте, уважаемые форумчане. Помогите пожалуйста с формулой Как найти координаты третьей вершины треугольника по длинам трёх сторон и двум координатам вершин? Известны координаты точек А(x1,y1), С(x2,y2). длины сторон а, в, с необходимо вычислить координаты точки В(x3,y3) Использовать для вычислений Косинус и Синус угла АСВ и смещение прямой АС относительно системы координат нельзя из-за получающейся огромной погрешности при вычислениях. Я про формулу такого вида: x3 = x2 + a*cosС, y3 = y2 + a*sinС Последний раз редактировалось Andy 11 дек 2019, 10:12, всего редактировалось 1 раз. Название темы изменено модератором.
Вернуться к началу

Avgust	Заголовок сообщения: Re: Найти координаты третьей вершины треугольника по длинам трёх Добавлено: 26 мар 2013, 08:29
	Точка А – центр окружности радиусом с Точка С – центр окружности радиусом a Пересечение двух окружностей дадут точку B, то есть ее координаты. Всего-то нужно решить систему относительно [math]x,[/math] и [math]y[/math] [math](y-y_1)^2+(x-x_1)^2=c^2[/math] [math](y-y_2)^2+(x-x_2)^2=a^2[/math] Получим два решения при допустимых соотношениях параметров (при которых треугольник может существовать) Последний раз редактировалось Avgust 26 мар 2013, 09:10, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
	За это сообщение пользователю Avgust “Спасибо” сказали: panda

panda	Заголовок сообщения: Re: Найти координаты третьей вершины треугольника по длинам трёх Добавлено: 26 мар 2013, 08:47
	Спасибо за ответ. А не могли бы вы оформить его в виде формулы?
Вернуться к началу

Avgust	Заголовок сообщения: Re: Найти координаты третьей вершины треугольника по длинам трёх Добавлено: 26 мар 2013, 09:34
	Формулы я получил. Но они такие громоздкие, что писать полчаса надо. Вот численно элементарно делается. Например, зададим параметры пифагорова треугольника: [math]x_1=0,;, y_1=0, ; , x_2=4,;, y_2=3 ,;, a=3, ;, c=4[/math] Тогда по команде Maple solve({(y-y1)^2+(x-x1)^2 = c^2, (y-y2)^2+(x-x2)^2 = a^2}, [x, y]); получим два решения: 1) [math]x=4 , ; , y=0[/math] 2) [math]x=frac{28}{25}, ; , y=frac{96}{25}[/math] Графическое представление этой задачи:
Вернуться к началу
	За это сообщение пользователю Avgust “Спасибо” сказали: panda

Avgust	Заголовок сообщения: Re: Найти координаты третьей вершины треугольника по длинам трёх Добавлено: 26 мар 2013, 10:00
	Я добавил рисунок… Вот формулы только для одного из решений: x:=(1/2)*((y1-y2)*sqrt(-(-x1^2+2*x2*x1-x2^2+(-c+a-y1+y2)*(-c+a+y1-y2))*(-x1^2+2*x2*x1-x2^2+(c+a-y1+y2)*(c+a+y1-y2))*(x1-x2)^2)+(x1^3-x1^2*x2+(y2^2-2*y1*y2-c^2+y1^2+a^2-x2^2)*x1-x2*(a^2-c^2-x2^2-y2^2+2*y1*y2-y1^2))*(x1-x2))/((x1-x2)*(x1^2-2*x2*x1+x2^2+(y1-y2)^2)); y := (-sqrt(-(-x1^2+2*x2*x1-x2^2+(-c+a-y1+y2)*(-c+a+y1-y2))*(-x1^2+2*x2*x1-x2^2+(c+a-y1+y2)*(c+a+y1-y2))*(x1-x2)^2)+y1^3-y1^2*y2+(a^2+x1^2-c^2+x2^2-2*x2*x1-y2^2)*y1+y2^3+(x2^2-2*x2*x1+c^2-a^2+x1^2)*y2)/(2*y1^2-4*y1*y2+2*y2^2+2*(x1-x2)^2); Второе решение: x := (1/2)*((-y1+y2)*sqrt(-(-x1^2+2*x2*x1-x2^2+(-c+a-y1+y2)*(-c+a+y1-y2))*(x1-x2)^2*(-x1^2+2*x2*x1-x2^2+(c+a-y1+y2)*(c+a+y1-y2)))+(x1-x2)*(x1^3-x1^2*x2+(y1^2-2*y1*y2+y2^2+a^2-c^2-x2^2)*x1-x2*(-c^2-x2^2+a^2-y1^2+2*y1*y2-y2^2)))/((x1^2-2*x2*x1+x2^2+(y1-y2)^2)*(x1-x2)); y := (sqrt(-(x1-x2)^2*(-x1^2+2*x2*x1-x2^2+(c+a+y1-y2)*(c+a-y1+y2))*(-x1^2+2*x2*x1-x2^2+(-c+a+y1-y2)*(-c+a-y1+y2)))+y1^3-y1^2*y2+(a^2+x1^2-c^2+x2^2-2*x2*x1-y2^2)*y1+y2^3+(x2^2-2*x2*x1+c^2-a^2+x1^2)*y2)/(2*y1^2-4*y1*y2+2*y2^2+2*(x1-x2)^2); Формулы проверил – работают отлично. Вот если бы их суметь упростить!
Вернуться к началу
	За это сообщение пользователю Avgust “Спасибо” сказали: amjava, panda, Realdreamer

Realdreamer	Заголовок сообщения: Re: Найти координаты третьей вершины треугольника по длинам трёх Добавлено: 10 дек 2019, 17:11
	Уважаемые математики Чтобы не плодить темы, разрешить поднять текущую. Пишу программу, но к сожалению не очень силен в математических науках. Нужно как раз вершины треугольника Но исходные данные немного другие. Есть длина стороны равностороннего треугольника и угол между ними. Строится всё из начала координат в сторону x (вверх) Вообще в итоге мне нужно написать симуляцию работы вентилятора. Крутится то я его заставлю. Нарисовать не могу (( вот такой должен получится. Стороны 70 Угол лопасти 30 град Угол между лопастями 120 Три лопасти. У меня получается есть только координаты центра. Чтобы нарисовать треугольники мне нужны остальные координаты вершин Пытался сам найти, но видимо не так запрос формирую.
Вернуться к началу

Realdreamer	Заголовок сообщения: Re: Найти координаты третьей вершины треугольника по длинам трёх Добавлено: 11 дек 2019, 16:20
	vvvv Большое спасибо за потраченное время. К сожалению ваше решение только добавило мне вопросов (( Координат всего должно быть 9 для каждой оси, но в таблице их 10 Так же вижу на графике что есть координата с х = -70 но в таблице для Х такого значения нет. В итоге я пошёл по другому пути Нарисовал первую лопасть вверх от начала координат и посчитал основание равнобедренного треугольника зная его стороны и угол между ними a = 70 b = a * sin(30) / 2 и разделил её пополам. Получил координату по Y в обе стороны Лопасть это два прямоугольных треугольника в которых по теореме пифагора нашёл вторую сторону которая и является второй коорлинатой y1 = sqrt(a ** 2 – b ** 2) А потом по формуле окружности просто сдвинул на 120 градусов влево и вправо xn1 = sin(120 – 15) * a yn1 = cos(120 – 15) * a xn2 = sin(120 + 15) * a yn2 = cos(120 + 15) * a xn1 = sin(-120 – 15) * a yn1 = cos(-120 – 15) * a xn2 = sin(-120 + 15) * a yn2 = cos(-120 + 15) * a От меня вам всё равно спасибо что откликнулись!
Вернуться к началу

Задача 61929 Точки А(4;0)и В(6;8) являются вершинами.

Условие

Точки А(4;0)и В(6;8) являются вершинами треугольника, а точка Д(5;1)- точкой пересечения его высот. Найти третью вершину треугольника.

Решение

Все решения

1) Составляем уравнение стороны АВ.

B(6;8) ⇒ 8= 6k+b ⇒ Вычитаем из второго уравнения первое:

2) Составляем уравнение высоты к стороне АВ, значит высота проводится из точки С

Высота из точки С перпендикулярна стороне АВ

Так как произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно (-1):

Подставляем координаты точки D и находим b:

y=(-1/4)x+(9/4) – уравнение высоты из точки С на прямую АВ

3)
Составляем уравнение высоты из точки В. Высота проходит через две точки В и D

Вычитаем из первого уравнения второе, получаем

4)
Составляем уравнение стороны АС:

Подставляем координаты точки А:

5) Находим координаты точки С
С- точка пересечения прямой АС и высоты СD

Решаем систему уравнений

О т в е т. С (47/3; -5/3)

Как найти координаты третьей вершины?

Прошу помочь в нахождении формул.

• Вопрос задан более трёх лет назад
• 21902 просмотра

Оценить 5 комментариев

Хорошо учился бы в школе, вопросов бы не задавал.

Рад, что предоставил вам возможность почувствовать себя образованнее.

«Если задать вопрос на американском форуме, вам 40 человек дадут подробный ответ на вопрос.
Если спросить на израильском форуме, вам в ответ зададут 40 вопросов.
А если спросить на русском форуме, вам 40 человек расскажут почему ты мудак и вопрос твой мудацкий» ©

Человек же просто спросил.

В таком случае уж начните с определений:

— какая перед Вами стоит задача;
— какой инструментарий Вам доступен;
— способны ли Вы найти сумму квадратов катетов.

В противном случае не совсем понятно на каком уровне Вам отвечать: дать ссылку на готовую библиотеку или научить пользоваться калькулятором.

Раз так, то пляшем от картинки:

Один из вариантов решения Вашей задачи: предположим, что центр системы координат совпадает с точкой A, таким образом Cx=b*cos(g+t), Cy=b*sin(g+t)

Угол g вычисляем по теореме косинусов или синусов, смотря что Вам идеологически ближе (теорему см. по фиолетовой ссылке).
Синус угла t будет равен By/c.

Следует обратить внимание на периодичность функций, не забывать про различия промеж градусами и радианами, поглядывать сюда и сюда а так же иметь в виду особенные случаи про которые в условии ничего не сказано.

Не так давно уважаемый тов. timyrik20 написал хабрапост на интересующую Вас тему.

Человек же просто спросил.

Человеку прям сразу и ответили. Вполне исчерпывающе, как на уровень хабра.

Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.

Решения задач о треугольнике онлайн

Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.

Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.

Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.

Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.

Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.

Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, – 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.

Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.

[spoiler title=”источники:”]

http://qna.habr.com/q/28577

http://www.matburo.ru/ex_ag.php?p1=agtr

[/spoiler]

Как найти вершину треугольника?

Для того чтобы найти координаты вершины равностороннего треугольника, если известны координаты двух других его вершин, нужно воспользоваться одним из предложенных способов.

1 способ (графический)

1. В системе координат отмечаем две заданные вершины.
2. Ставим ножку циркуля в одну из построенных точек.
3. Проводим окружность с радиусом, равным расстоянию между отмеченными вершинами.
4. Таким же образом чертим вторую окружность с тем же радиусом, но из второй отмеченной точки.
5. Точки пересечения проведённых окружностей определяют вершины треугольников (их получится два).
6. Определяем координаты полученных точек, исходя из полученного чертежа.

Данный способ позволяет точно построить третью вершину. Однако определение координат является приблизительным. Метод хорошо использовать для иллюстрации.

2 способ (аналитический)

Решение задачи основано на применении формулы нахождения расстояния между двумя точками: d(A(x1;y1);B(x2;y2))=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)

1. Пусть имеются вершины A(x1;y1) и B(x2;y2) треугольника АВС. Обозначим координаты третьей вершины x и y (то есть, С(x;y))
2. Составляем соотношения
   AC=√((x-x1)^2+(y-y1)^2)
   BC=√((x-x2)^2+(y-y2)^2)
   AB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
3. Учитывая, что треугольник равносторонний, составляем систему уравнений:
   AC=BC
   AC=AB
   Или система уравнений:
   √((x-x1)^2+(y-y1)^2)= √((x-x2)^2+(y-y2)^2)
   √((x-x1)^2+(y-y1)^2)= √((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
4. Методом подстановки решаем полученную систему.

Теперь вы знаете, как найти вершину треугольника.

Внимание! Оба случая применимы только для равностороннего треугольника.
Для равнобедренного или любого другого произвольного треугольника для нахождения координат третьей вершины требуются дополнительные данные (например, значение некоторых отрезков или углов).

Уравнение описанной окружности

Как составить уравнение описанной около треугольника окружности по координатам его вершин? Как найти координаты центра описанной окружности? Как найти радиус описанной окружности, зная координаты вершин треугольника?

Решение всех этих задач сводится к одной — написать уравнение окружности, проходящей через три данные точки. Для этого достаточно подставить координаты точек (вершин треугольника) в уравнение окружности. Получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: координатами центра и радиусом окружности.

Составить уравнение описанной окружности для треугольника с вершинами в точках A(2;1), B(6;3), C(9;2).

Подставив координаты вершин треугольника в уравнение окружности

получим систему уравнений

Вычтем из первого уравнения системы второе:

Теперь из второго уравнения системы вычтем третье:

Приравняем правые части равенств b=-2a+10 и b=3a-20:

Подставим в первое уравнение системы a=6 и b=-2:

a и b — координаты центра окружности, R — её радиус. Таким образом, точка (6;-2) — центр описанной около треугольника ABC окружности, радиус R=5, а уравнение описанной окружности

Для решения аналогичной задачи для четырёхугольника либо многоугольника достаточно знать координаты трёх его вершин.

Прямая на плоскости

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Экстремум функции двух переменных

Пример . В задачах даны координаты точек A , B , C . Требуется: 1) записать векторы AB и AC в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами AB и AC .
Решение.
1) Координаты векторов в системе орт. Координаты векторов находим по формуле:
X=x_j-x_i; Y=y_j-y_i
здесь X , Y координаты вектора; x_i , y_i — координаты точки А_i ; x_j , y_j — координаты точки А_j
Например, для вектора AB: X=x₂-x₁=12-7=5 ; Y=y₂-y₁=-1-(-4)=3
AB(5;3), AC(3;5), BC(-2;2)
2) Длина сторон треугольника. Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:




3) Угол между прямыми. Угол между векторами a₁(X₁;Y₁) , a₂(X₂;Y₂) можно найти по формуле:

где a₁a₂=X₁X₂+Y₁Y₂
Найдем угол между сторонами AB и AC

γ = arccos(0.88) = 28.07 0
8) Уравнение прямой. Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂) , представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB . Каноническое уравнение прямой:
или
y= 3 /₅x- 41 /₅ или 5y-3x+41=0