Как найти координату вектора по двум точкам - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Координаты вектора по двум точкам

Чтобы найти координаты вектора по двум точкам нужно найти разность между координатами конца и начала вектора. Пусть даны две точки $ A(x_1;y_1) $ и $ B(x_2;y_2) $Вектор $ overline{AB} $ для плоской задачи можно найти по формуле: $$ overline{AB} = (x_2-x_1; y_2-y_1) $$

В случае, если точки расположены в пространстве $ A(x_1;y_1;z_1) $ и $ B(x_2;y_2;z_2) $, то координаты вектора $ overline{AB} $ расчитываются по формуле: $$ overline{AB} = (x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1) $$

Следует обратить внимание, что координаты вычисляются именно с помощью вычитания начальной точки из конечной, но не наоборот. То есть векторы $ overline{AB} $ и $ overline{BA} $ имеют разные координаты: $$ overline{AB} neq overline{BA} $$

Пример 1

Даны точки $ A(2;1;-3) $ и $ B(1;0;2) $. Найти координаты векторов $ overline{AB} $ и $ overline{BA} $

Решение

Как найти координаты вектора по двум точкам? Согласну правилу нужно из конечной точки вычесть начальную. Так как вектор $ overline{AB} $ имеет начало в точке $ A $, а конец в $ B $, то получаем:

$$ overline{AB} = (1-2;0-1;2-(-3)) = (-1; -1; 5) $$

Теперь посмотрим на вектор $ overline{BA} $, в котором начало в точке $ B $, а конец в $ A $. Поэтому имеем:

$$ overline{BA} = (2-1;1-0;-3-2)=(1;1;-5) $$

Как видим, векторые разные, и координаты их тоже отличаются.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ overline{AB} = (-1;-1;5) $$ $$ overline{BA} = (1;1;-5) $$

Источник

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

Нахождение координат вектора
Примеры задач

Нахождение координат вектора

Для того, чтобы найти координаты вектора AB, нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).

Формулы для определения координат вектора


Для плоских задач	AB = {B_x – A_x; B_y – A_y}
Для трехмерных задач	AB = {B_x – A_x; B_y – A_y; B_z – A_z}
Для n-мерных векторов	AB = {B₁ – A₁; B₂ – A₂; … B_n – A_n}

Примеры задач

Задание 1
Найдем координаты вектора AB, если у его точек следующие координаты: A = (2; 8), B = (5; 12).

Решение:
AB = {5 – 2; 12 – 8} = {3; 4}.

Задание 2
Определим координаты точки B вектора AB = {6; 14}, если координаты точки A = (2; 5).

Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
B_x = AB_x + A_x = 6 + 2 = 8.
B_y = AB_y + A_y = 14 + 5 = 19.

Таким образом, B = (8; 19).

Источник

Марина Николаевна Ковальчук

Эксперт по предмету «Геометрия»

Задать вопрос автору статьи

Прямоугольная система координат

Чтобы определить понятие координат точек, нам необходимо ввести систему координат, в которой мы и будем определять ее координаты. Одна и та же точка в разных системах координат может иметь различные координаты. Здесь мы будем рассматривать прямоугольную систему координат в пространстве.

Возьмем в пространстве точку $O$ и введем для нее координаты $(0,0,0)$. Назовем ее началом системы координат. Проведем через нее три взаимно перпендикулярные оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$, как на рисунке 1. Эти оси будут называться осями абсцисс, ординат и аппликат, соответственно. Осталось только ввести масштаб на осях (единичный отрезок) – прямоугольная система координат в пространстве готова (рис. 1)

Рисунок 1. Прямоугольная система координат в пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Координаты точки

Теперь разберем, как определяют в такой системе координаты любой точки. Возьмем произвольную точку $M$ (рис. 2).

Рисунок 2. Произвольная точка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Построим на координатных осях прямоугольный параллелепипед, так, что точки $O$ и $M$ противоположные его вершины (рис. 3).

Рисунок 3. Построение прямоугольного параллелепипеда. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

«Координаты точки и координаты вектора. Как найти координаты вектора» 👇

Тогда точка $M$ будет иметь координаты $(X,Y,Z)$, где $X$ – значение на числовой оси $Ox$, $Y$ – значение на числовой оси $Oy$, а $Z$ – значение на числовой оси $Oz$.

Пример 1

Необходимо найти решение следующей задачи: написать координаты вершин параллелепипеда, изображенного на рисунке 4.

Рисунок 4. Параллелепипед. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение.

Точка $O$ начало координат, следовательно, $O=(0,0,0)$.

Точки $Q$, $N$ и $R$ лежат на осях $Ox$, $Oz$ и $Oy$, соответственно, значит

$Q=(2,0,0)$, $N=(0,0,1.5)$, $R=(0,2.5,0)$

Точки $S$, $L$ и $M$ лежат в плоскостях $Oxz$, $Oxy$ и $Oyz$, соответственно, значит

$S=(2,0,1.5)$, $L=(2,2.5,0)$, $R=(0,2.5,1.5)$

Точка $P$ имеет координаты $P=(2,2.5,1.5)$

Координаты вектора по двум точкам и формула нахождения

Чтобы узнать, как найти вектор по координатам двух точек, необходимо рассмотреть введенную нами ранее систему координат. В ней от точки $O$ по направлению оси $Ox$ отложим единичный вектор $overline{i}$, по направлению оси $Oy$ – единичный вектор $overline{j}$, а единичный вектор $overline{k}$ нужно направлять по оси $Oz$.

Для того чтобы ввести понятие координат вектора, введем следующую теорему (здесь ее доказательство мы рассматривать не будем).

Теорема 1

Произвольный вектор в пространстве может быть разложен по трем любым векторам, которые не лежат в одной плоскости, причем коэффициенты в таком разложении будут единственным образом определены.

Математически это выглядит следующим образом:

$overline{δ}=moverline{α}+noverline{β}+loverline{γ}$

Так как векторы $overline{i}$, $overline{j}$ и $overline{k}$ построены на координатных осях прямоугольной системы координат, то они, очевидно, не будут принадлежать одной плоскости. Значит любой вектор $overline{δ}$ в этой системе координат, по теореме 1, может принимать следующий вид

$overline{δ}=moverline{i}+noverline{j}+loverline{k}$ (1)

где $n,m,l∈R$.

Определение 1

Три вектора $overline{i}$, $overline{j}$ и $overline{k}$ будут называться координатными векторами.

Определение 2

Коэффициенты перед векторами $overline{i}$, $overline{j}$ и $overline{k}$ в разложении (1) будут называться координатами этого вектора в заданной нами системе координат, то есть

$overline{δ}=(m,n,l)$

Линейные операции над векторами

Теорема 2

Теорема о сумме: Координаты суммы любого числа векторов определяются суммой их соответствующих координат.

Доказательство.

Будем доказывать эту теорему для 2-х векторов. Для 3-х и более векторов доказательство строится аналогичным образом. Пусть $overline{α}=(α_1,α_2,α_3)$, $overline{β}=(β_1,β_2 ,β_3)$.

Эти вектора можно записать следующим образом

$overline{α}=α_1overline{i}+ α_2overline{j}+α_3overline{k}$, $overline{β}=β_1overline{i}+ β_2overline{j}+β_3overline{k}$

$overline{α}+overline{β}=α_1overline{i}+α_2overline{j}+α_3overline{k}+β_1overline{i}+ β_2overline{j}+β_3overline{k}=(α_1+β_1 )overline{i}+(α_2+β_2 )overline{j}+(α_3+β_3)overline{k}$

Следовательно

$overline{α}+overline{β}=(α_1+β_1,α_2+β_2,α_3+β_3)$

Теорема доказана.

Замечание 1

Замечание: Аналогично, находится решение разности нескольких векторов.

Теорема 3

Теорема о произведении на число: Координаты произведения произвольного вектора на действительное число определяется произведением координат на это число.

Доказательство.

Возьмем $overline{α}=(α_1,α_2,α_3)$, тогда $overline{α}=α_1overline{i}+α_2overline{j}+α_3overline{k}$, а

$loverline{α}=l(α_1overline{i}+ α_2overline{j}+α_3overline{k})=lα_1overline{i}+ lα_2overline{j}+lα_3overline{k}$

Значит

$koverline{α}=(lα_1,lα_2,lα_3)$

Теорема доказана.

Пример 2

Пусть $overline{α}=(3,0,4)$, $overline{β}=(2,-1,1)$. Найти $overline{α}+overline{β}$, $overline{α}-overline{β}$ и $3overline{α}$.

Решение.

$overline{α}+overline{β}=(3+2,0+(-1),4+1)=(5,-1,5)$

$overline{α}-overline{β}=(3-2,0-(-1),4-1)=(1,1,3)$

$3overline{α}=(3cdot 3,3cdot 0,3cdot 4)=(9,0,12)$

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Простейшие задачи Как найти вектор по двум точкам?

Если
даны две точки плоскости
и
,
то вектор
имеет
следующие координаты:

Если
даны две точки пространства
и
,
то вектор
имеет
следующие координаты:

То
есть, из
координат конца вектора нужно
вычесть соответствующие координаты начала
вектора.

Пример

Даны
две точки плоскости
и
.
Найти координаты вектора

Решение: по
соответствующей формуле:

Как
вариант, можно было использовать
следующую запись:

Можно
и так:

Обязательно
нужно понимать различие
между координатами точек и координатами
векторов:

Координаты
точек –
это обычные координаты в прямоугольной
системе координат. Каждая точка обладает
строгим местом на плоскости, и перемещать
их куда-либо нельзя.

Координаты
же вектора –
это его разложение по базису
,
в данном случае
.
Любой вектор является свободным, поэтому
при необходимости мы легко можем отложить
его от какой-нибудь другой точки
плоскости. Интересно, что для векторов
можно вообще не строить оси, прямоугольную
систему координат, нужен лишь базис, в
данном случае ортонормированный базис
плоскости
.

Записи
координат точек и координат векторов
вроде бы схожи:
,
а смысл
координат абсолютно разный,
и следует хорошо понимать эту разницу.

Пример

Даны
точки
.
Найти векторы
.

Как найти длину отрезка?

Если
даны две точки плоскости
и
,
то длину отрезка
можно
вычислить по формуле

Если
даны две точки пространства
и
,
то длину отрезка
можно
вычислить по формуле

Примечание: Формулы
останутся корректными, если переставить
местами соответствующие координаты:
и
,
но более стандартен первый вариант

Пример

Даны
точки
и
.
Найти длину отрезка
.

Ответ:

Если
дан вектор плоскости
,
то его длина вычисляется по формуле
.

Если
дан вектор пространства
,
то его длина вычисляется по формуле
.

Пример

Даны
точки
и
.
Найти длину вектора
.

Решение: Сначала
найдём вектор
:

По
формуле
вычислим
длину вектора:

Ответ:

Пример

а)
Даны точки
и
.
Найти длину вектора
.

б)
Даны векторы
,
,
и
.
Найти их длины.

а) Решение: найдём
вектор
:

Вычислим
длину вектора:

Ответ:

б) Решение:

Вычислим
длины векторов:

Действия с векторами в координатах

1) Правило
сложения векторов.
Рассмотрим два вектора плоскости
и
.
Для того, чтобы сложить векторы,
необходимо сложить
их соответствующие координаты:
.

Частный
случай – формула разности векторов:
.

Аналогичное
правило справедливо для суммы любого
количества векторов, например, найдём
сумму трёх векторов:

Если
речь идёт о векторах в пространстве, то
всё точно так же, только добавится
дополнительная координата. Если даны
векторы
,
то их суммой является вектор
.

2) Правило
умножения вектора на число.
Для того чтобы вектор
умножить
на число
,
необходимо каждую координату данного
вектора умножить на число
:

Для
пространственного вектора
правило
такое же:

Пример

Даны
векторы
и
.
Найти
и

Решение: Для
действий с векторами справедлив обычный
алгебраический приоритет: сначала
умножаем, потом складываем:

Ответ:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

1.5.1. Как найти вектор по двум точкам?

Задача 1

Даны две точки плоскости и . Найти координаты вектора

Решение: по соответствующей формуле:

Как вариант, можно использовать следующую запись:

Эстеты решат и так:

Лично я привык к первой версии записи.

Ответ:

По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения

важного момента, не поленюсь:

И момент здесь таков:
в чём различие между координатами точек и координатами векторов?

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат (единичные векторы тут

вообще ни при чём). Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает

строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора – это его разложение по базису , в данном случае . Любой вектор является свободным, поэтому при желании мы легко можем переобозначить