Как найти координату вершины правильной треугольной пирамиды

Координаты вершин правильного тетраэдра

20 июня 2013

Пирамиды традиционно считаются сложными фигурами в задаче C2. А уж если в основании пирамиды лежит треугольник (т.е. пирамида становится тетраэдром), то все становится совсем грустно. В общем, если в ЕГЭ по математике вам попадется правильный тетраэдр, примите мои поздравления: это самая мерзкая и сложная фигура, которая встречается на настоящем экзамене.

Тем не менее, после небольшой тренировки все становится вполне решаемо. И в этом уроке мы пошагово разберем каждую вершину тетраэдра и найдем каждую координату. Вы убедитесь: все, что нам действительно надо знать — это две теоремы:

1. Теорема Пифагора — без нее не решается вообще ни одна задача C2, потому что на этой теореме построена сама идея декартовой системы координат;
2. Теорема о медианах. А именно: медианы треугольника пересекаются в одно точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Вот и весь список! Вы знаете эти теоремы? Тогда поехали!

Задача. В правильном тетраэдре SABC, все ребра которого равны 1, введите систему координат и найдите координаты вершин.

Смотрите также:

1. Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
2. Уравнение плоскости в задаче C2. Часть 1: матрицы и определители
3. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
4. Не пишите единицы измерения в задаче B12
5. Быстрое возведение чисел в квадрат без калькулятора
6. Задача B4: тарифы на сотовую связь

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора:

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Сумма векторов:

Разность векторов:

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1.  В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2.  В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и :

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму.

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

То есть A + C + D = 0.

Для точки N:

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

.

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

;

.

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

.

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Упростим систему:

.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать “параллелепипед”.

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA₁ = √3

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор  или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

  

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

I. Основные формулы:

1. Расстояние между точками А (, ), В , ) равно =.

2. Угол между плоскостями. Если β – угол между плоскостями, заданными уравнениями  х+z+ =0 и  х+z+ =0, то

.

3. Расстояние от точки до плоскости. Если ρ – расстояние от точки (, ), до плоскости  х+z+D =0, то

ρ=.

4. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки (, ),(, ),(, ), в координатной форме:

=0;

5. Если отрезок, концами которого служат точки А (, ), В , ) разделен точкой С (х, у,) в отношении λ, то координаты точки С определяются по формулам

Х =  ; у= ; z=. 

II. Координаты вершин многогранников.

Определите координаты вершин многогранников:

1. Единичный куб A…D₁

Решение: координаты вершин А (0, 0, 0), А₁ (0, 0, 1), В (1, 0, 0), В₁ (1, 0, 1), D (0, 1, 0), D₁ (0, 1, 1), С (1, 1, 0), С₁ (1, 1, 1).

2. Правильная треугольная призма A…C₁ , все ребра, которой равны 1.

Решение: координаты вершин: А (0, 0, 0), А₁ (0, 0, 1), В (1, 0, 0), В₁ (1, 0, 1), С (0,5; , 0), С₁ (0,5; , 1).

3. Правильная шестиугольная призма A…F₁, все ребра которой равны 1.

Решение: координаты вершин: А (0, 0, 0), А₁ (0, 0, 1), В (1, 0, 0), В₁ (1, 0, 1), С (1,5; , 0), С₁ (1,5; , 1), D (1, (1,  Е (0, , (0, ,

F(-0,5 ,  0), (-0,5, 1).

4. Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) ABCD все ребра которой равны 1.

Решение: координаты вершин: А (0, 0, 0), В (1, 0, 0), С (0,5; , 0), D (0,5,

5. Правильная четырехугольная пирамида SABCD, все ребра которой равны 1.

Решение: координаты вершин: А (0, 0, 0), В (1, 0, 0), С (1, 1, 0), D (0, 1, 0 S (0,5; 0,5; ).

6. Правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2.

 

III. Решение задач.

Решение: координаты вершин: А (0, 0, 0), В (1, 0, 0), С (1,5; , 0), D (1, Е (0, , F (-05,  0), S (0,5; ). 

Решение:

1. А (0, 0, 0), А₁ (0, 0, 1), В (1, 0, 0), В₁ (1, 0, 1), D (0, 1, 0), D₁ (0, 1, 1), С (1, 1, 0), С₁ (1, 1, 1).
2. Найдем координаты векторов (1, 0, 1) и = (0, 1, 1)
3. Найдем косинус угла между векторами = =; α=60.

Ответ: 60.

Решение:

1. координаты вершин А (0, 0, 0), D₁ (, , 1), С (0,5; , 0), Е₁ (; , 1).
2. Найдем координаты векторов: и  (, , 1)
3. Найдем косинус угла между векторами  = =0,7;

Ответ: 0,7.

Полностью текст работы приведен в Приложении.

Правильная
треугольная пирамида
MABC
,
сторона основания которой
равна
a
,
а высота h
.Обычно
используют один из двух вариантов
расположения системы координат.

4.1
Пусть начало координат находится в
точке A
,
ось x
направлена
вдоль ребра AC
,
ось y
проходит
через точку A
перпендикулярно
AC
,
ось z
проходит
через точку A
перпендикулярно
плоскости ABC
(см.
рис. 6). Тогда вершины пирамиды имеют
координаты: А(0; 0; 0); В(
;
;
0);С(а;0;0), М(
;

;h).

4.2
Пусть начало координат находится в
центре треугольника ABC
в
точке O
,ось
x
проходит
через точку O
параллельно
ребру AC
,
ось y
проходит
через точку O
перпендикулярно
AC
,
ось z
проходит через точку O
перпендикулярно
плоскости ABC
(см.
рис. 7). Тогда вершины пирамиды имеют
координаты: A(-
;
–

;0),
В(0;
;
0),

С(

;
–

;0),
М(0;0;h).

4.3
Еще один вариант расположения правильной
треугольной пирамиды относительно
прямоугольной декартовой системы
координат представлен на рисунке №8.

5. Правильная четырехугольная пирамида

Правильная
четырехугольная пирамида
MABC
,
сторона основания которой равна a
,
а высота h
.Обычно
используют один из двух вариантов
расположения системы координат.

5.1
Пусть начало координат находится в
точке A
,
ось x
направлена
вдоль ребра AD
,
ось y
–
вдоль ребра AB
,
ось z

проходит
через точку A
перпендикулярно
плоскости ABC
(см.
рис. 9). Тогда вершины пирамиды имеют
координаты:
A(0;
0; 0) , B(0;
a;
0) , C(a;
a;
0) ,Д(а;0;0), М(
;

;
h).

5.2.
Пусть начало координат находится в
центре основания в точке O
,
ось x
проходит через точку O
параллельно
ребру AD
,
ось y
проходит
через точку O
параллельно
ребру AB,
ось z
проходит
через точку O
перпендикулярно
плоскости основания (см. рис. 10). Тогда
вершины пирамиды имеют координаты:

А(-

;
–

;0),
В (-

;

;0),
С(

;

;0),Д(

;
–

;0),М(0;0;h)

6. Правильная шестиугольная пирамида

6.1MABCDEF
,
сторона основания
которой
равна a
,
а высота h
.
Пусть начало координат находится в
точке A
,
ось x
направлена
вдоль ребра AC
,
ось y
проходит
через точку A
перпендикулярно
AC
,
ось z
проходит
через точку A,
пер-

пендикулярно
плоскости ABC
(см.
рис.11). Тогда вершины пирамиды имеют
координаты: А(0; 0; 0); В(-

;
;
0); С(0;
;0),
Д (а;
;0),
Е(
;
;
0), F(а;0;0),М(

;
;
h).

6.2
Еще один вариант расположения правильной
шестиугольной пирамиды относительно
прямоугольной декартовой системы
координат показан на рисунке 12.

Рисунок №1	Рисунок №2
Р исунок №3	Рисунок №4
Рисунок №5	Рисунок №6
Рисунок №7	Рисунок №8
Рисунок №9	Рисунок №10
Рисунок №11	рисунок №12

18

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Скачать материал

Скачать материал

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Векторно-координатный метод решения стереометрических задач
  Введение системы координат
  в правильных пирамидах

  Учитель математики
  МАОУ «Обдорская гимназия»
  г. Салехард ЯНАО
  Е.И. Гусак

• 

  2 слайд

  Введение системы координат
  Координаты четырехугольной пирамиды
  Изобразим пирамиду и введем систему координат
  𝐴
  𝐵
  𝐶
  𝐷
  𝐻
  𝑆
  𝒙
  𝒚
  𝒛
  Начало в точке A, единичный отрезок AB = 1, ось x направим вдоль AB, ось y — вдоль AD, а ось z — вверх, перпендикулярно плоскости OXY. SH ∥ оси z.
  Можно начало поместить в центр квадрата – точку Н.
  Пусть все ребра пирамиды равны 1.

• 

  3 слайд

  Введение системы координат

  AC = 𝟐 HC = 𝟐 𝟐
  Чтобы найти координаты точки S, сначала найдем координаты ее проекции на Оху – точки Н. А затем из △SHC определим координату z, равную длине SH.
  SH = 𝟏− 𝟐 𝟒 = 𝟐 𝟐
  A(0;0;0) B(1;0;0) C(1;1;0) D(0;1;0) H 𝟏 𝟐 ; 𝟏 𝟐 ;𝟎 S 𝟏 𝟐 ; 𝟏 𝟐 ; 𝟐 𝟐
  𝐴
  𝐵
  𝐶
  𝐷
  𝐻
  𝒙
  𝒚
  0
  1
  1 2
  1 2
  1

• 

  4 слайд

  Введение системы координат
  Координаты треугольной пирамиды
  Изобразим пирамиду и введем систему координат

  𝐴
  𝐵
  𝐶
  𝑆
  𝑂
  Начало координат — в точке A. Сторону AB принимаем за единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи. Ось x направляем по ребру AB, а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC, а ось z  ⊥  (OXY). SO ∥ оси z.
  𝒙
  𝒚
  𝒛

• 

  5 слайд

  Введение системы координат

  CH = 𝟏− 𝟏 𝟒 = 𝟑 𝟐 OC = 𝟐 𝟑 CH = 𝟐 𝟑 ⋅ 𝟑 𝟐 = 𝟑 𝟑
  Из △SOC: SO = 𝟏− 𝟑 𝟗 = 𝟔 𝟑
  A(0;0;0) B(1;0;0) C 𝟏 𝟐 ; 𝟑 𝟐 ;𝟎 S 𝟏 𝟐 ; 𝟑 𝟔 ; 𝟔 𝟑 O 𝟏 𝟐 ; 𝟑 𝟔 ;𝟎

  𝐴
  𝐵
  𝐶
  0
  1
  1 2
  3 2
  𝒙
  𝒚
  𝐴
  𝐵
  𝐶
  𝑂
  𝑆
  𝒙
  𝒚
  𝒛
  𝐻
  𝑂
  3 6

• 

  6 слайд

  Введение системы координат
  Координаты шестиугольной пирамиды
  Пусть стороны основания пирамиды равны 1, а боковые ребра – 2. Изобразим пирамиду и введем систему координат.

  Начало в точке A, единичный отрезок AB = 1, ось x направим вдоль AB, ось y — вдоль AЕ, а ось z — вверх, перпендикулярно плоскости OXY. SО ∥ оси z.
  Можно начало поместить в центр шестиугольника – точку О.

  𝐴
  𝐵
  𝐶
  𝐷
  𝐸
  𝐹
  𝑂
  𝑆
  𝒙
  𝒚
  𝒛

• 

  7 слайд

  Введение системы координат

  Шестиугольник разбивается большими
  диагоналями на 6 правильных треугольников. ВЕ = 2.
  Из △АВЕ: АЕ = 4−1 = 3 . FL = CN = 3 2 .
  Из △SOC: SO = 4−1 = 3 .
  Таким образом,
  A(0;0;0) B(1;0;0) C 𝟑 𝟐 ; 𝟑 𝟐 ;𝟎 D( 1; 𝟑 ;𝟎)
  Е(0; 𝟑 ; 0) F − 𝟏 𝟐 ; 𝟑 𝟐 ;𝟎 S 𝟏 𝟐 ; 𝟑 𝟐 ; 3

  𝑂
  𝒙
  𝒚
  𝒛
  𝐴
  𝐵
  𝐶
  𝐷
  𝐸
  𝐹
  0
  1
  𝑂
  𝒙
  𝒚
  𝟑
  3 2
  𝐿
  𝑁
  3 2
  − 1 2
  1 2

Краткое описание документа:

Достаточно простой в применении, метод координат является необходимой составляющей решения задач различного уровня. Использование данного метода, позволяет учащимся значительно упростить и сократить процесс решения задач, что помогает им при дальнейшем изучении, как школьного курса математики, так и при изучении математики в высших учебных заведениях. Координатно-векторный метод имеет преимущества перед другими, что не требует сложных построений в проекциях. По той простой причине, что этот метод заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними).

В презентации рассматривается введение системы координат в правильной четырехугольной пирамиде, правильной треугольной пирамиде и правильной шестиугольной пирамиде. Показывается нахождение координат точек фигуры.

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 256 705 материалов в базе

• Выберите категорию:

• Выберите учебник и тему

• Выберите класс:

• Тип материала:

  • Все материалы

  • Статьи

  • Научные работы

  • Видеоуроки

  • Презентации

  • Конспекты

  • Тесты

  • Рабочие программы

  • Другие методич. материалы

Найти материалы

Вам будут интересны эти курсы:

• Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»

• Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Методика написания учебной и научно-исследовательской работы в школе (доклад, реферат, эссе, статья) в процессе реализации метапредметных задач ФГОС ОО»

• Курс повышения квалификации «Основы построения коммуникаций в организации»

• Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности по подбору и оценке персонала (рекрутинг)»

• Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»

• Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс профессиональной переподготовки «Организация маркетинга в туризме»

• Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»

• Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности помощника-референта руководителя со знанием иностранных языков»

• Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс профессиональной переподготовки «Организация технической поддержки клиентов при установке и эксплуатации информационно-коммуникационных систем»

• Курс повышения квалификации «Учебная деятельность по предметной области «Черчение»: основы предмета и реализация обучения в условиях ФГОС»

• Курс профессиональной переподготовки «Осуществление и координация продаж»