Как найти координаты центра тяжести системы

Определение координат центра тяжести фигур

Определение координат центра тяжести xC и yC плоских фигур нестандартной формы выполняется при решении задач для последующих расчетов остальных геометрических характеристик, например, таких как радиусы и осевые моменты инерции поперечных сечений.

Рассмотрим способы и пример определения координат положения центра тяжести фигуры нестандартной формы.

Способы определения координат центра тяжести

Способы определения координат центров тяжести твердых объёмных тел и плоских фигур можно получить исходя из полученных ранее общих формул для расчета положения центра тяжести.

Существует 5 способов расчета координат положения центра тяжести:

  1. Аналитический (путем интегрирования).
  2. Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
  3. Экспериментальный. (метод подвешивания тела).
    Этот способ подходит в основном для плоских и линейных тел.
  4. Разбиение. Тело или фигура разбивается на конечное число частей (простых тел или фигур), для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь A известны.

    Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями A1 и A2 (A = A1+ A2).
    Определение координат центра тяжести разбиением

    Рисунок 1.8

    Центры тяжести этих фигур находятся в точках C1(x1, y1) и C2(x2, y2). Тогда координаты центра тяжести тела равны:
    Формулы для расчета координат центра тяжести

  5. Дополнение (Метод отрицательных площадей или объемов).
    Это частный случай предыдущего способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.

    Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):
    Метод отрицательных площадей или объемов

    Рисунок 1.9

    Тогда координаты центра тяжести фигуры с отверстием можно определить по формулам:
    Формула определения центра тяжести

При решении задач по определению координат центра тяжести плоских фигур и объемных тел применяются последние два способа (разбиение и дополнение).

Пример определения координат центра тяжести сложной фигуры в нашем коротком видео:

Другие видео

Пример определения координат центра тяжести плоской фигуры

Задача
Определить координаты центра тяжести плоской фигуры с круглым отверстием
Сложное сечение
Решение
Разделим заданное сечение на простые фигуры – прямоугольник, круг и прямоугольный треугольник.
Через нижнюю левую точку фигуры проведем координатные оси x и y.
Разбивка сечения
Рассчитаем необходимые для решения задачи площади A и координаты x,y центров тяжести Ci отдельных фигур:

Прямоугольник (фигура 1)
Площадь
A1=400×500=200000 мм2
Положение центра тяжести
x1=200мм
y1=250мм
Центры тяжести частей фигуры
Круг (2) (вычитаемая фигура)
Площадь
A2=π×2002/4=31416 мм2
Центр тяжести
x2=200мм
y2=300мм

Прямоугольный треугольник (3)
Площадь
A3=400*100/2=20000 мм2
Положение центра тяжести треугольника находится на пересечении его медиан (на расстоянии 1/3 высоты от основания или 2/3 высоты от его вершин)
x3=400×2/3=266,7мм
y3=500+100×1/3=533,3мм

Координаты x и y центра тяжести C всей плоской фигуры определим по формулам:
Расчет координат центра тяжести
Ответ: Таким образом, центр тяжести заданной фигуры находится в точке C с координатами xC=207,1мм, yC=271,7мм.
Координаты центра тяжести

Другие примеры решения задач >
Центры тяжести простейших фигур >

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

Содержание:

Центр тяжести:

При рассмотрении движения тел, особенно таких, как самолеты, ракеты, космические корабли, важное значение имеет понятие центра тяжести.

Определения и формулы для вычисления центров тяжести

Для введения понятия центра тяжести разобьем мысленно рассматриваемое тело на достаточно большое число малых по сравнению с телом или элементарных его частей произвольной формы. Силу тяжести элементарной частицы тела с индексом Центр тяжести в теоретической механике

Радиус-вектор центра тяжести тела Центр тяжести в теоретической механике вычисляем как радиус-вектор центра параллельных сил (рис. 88) по формуле

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике — радиус-вектор точки приложения силы тяжести элементарной части тела, принятой за точку; Центр тяжести в теоретической механике— сила тяжести элементарной частицы; Центр тяжести в теоретической механике — сила тяжести всего тела; Центр тяжести в теоретической механике — число частей, на которое мысленно разбито все тело. Центр тяжести является точкой приложения равнодействующей силы тяжести, если силы тяжести отдельных его частей считать системой параллельных сил.

Центр тяжести в теоретической механике

Рис. 88

Если в (1) перейти к пределу, увеличивая число элементарных частей Центр тяжести в теоретической механике до бесконечности, то после замены Центр тяжести в теоретической механике дифференциалом Центр тяжести в теоретической механике, а суммы — интегралом получим

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике — радиус-вектор элементарной части тела, принятой за точку. В проекциях на оси координат из (1) и (1′) получаем:

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике— координаты центра тяжести; Центр тяжести в теоретической механике — координаты точки приложения силы тяжести Центр тяжести в теоретической механике.

Используя понятие центра тяжести тела, введем понятие его центра масс. Силы тяжести элементарных частей тела и всего тела можно выразить через их массы Центр тяжести в теоретической механике и Центр тяжести в теоретической механике и ускорение силы тяжести Центр тяжести в теоретической механике с помощью формул

Центр тяжести в теоретической механике

Подставляя эти значения сил тяжести в (1) и (1′) после сокращения на Центр тяжести в теоретической механике, которое принимаем одинаковым для всех частей тела, имеем

Центр тяжести в теоретической механике

и соответственно

Центр тяжести в теоретической механике

По формулам (2) и (2′) определяют радиус-вектор центра масс тела. Центр масс обычно определяют независимо от центра тяжести как геометрическую точку, радиус-вектор, которой вычисляется по формулам (2) или (2′). В проекциях на оси координат из (2) и (2′) получаем:

Центр тяжести в теоретической механике

и

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике — координаты центра масс тела.

Для однородного тела силу тяжести элементарной частицы тела и ее массу можно вычислить по формулам

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике — объем элементарной частицы тела; Центр тяжести в теоретической механике и Центр тяжести в теоретической механике — соответственно удельный вес и плотность тела. Сила тяжести и масса всего тела

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике — объем тела. Подставляя эти значения в (2) и (2′), после сокращения на Центр тяжести в теоретической механике и Центр тяжести в теоретической механике соответственно получим формулы

Центр тяжести в теоретической механике

по которым определяют центр тяжести объема тела.

Если тело имеет форму поверхности, т. е. один из размеров мал по сравнению с двумя другими, как, например, у тонкого листа железа, то имеем

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике — удельный вес; Центр тяжести в теоретической механике — площадь элементарной частицы поверхности; Центр тяжести в теоретической механике — площадь всей поверхности. После сокращения на Центр тяжести в теоретической механике для однородной поверхности получим следующие формулы для определения центра тяжести ее площади:

Центр тяжести в теоретической механике

Для однородных тел типа проволоки, у которых два размера малы по сравнению с третьим, можно определить радиус-вектор центра тяжести длины линии по формулам

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике — длина элемента линии; Центр тяжести в теоретической механике—общая длина линии, центр тяжести которой определяется.

Методы определения центров тяжести (Центров масс)

Метод симметрии

При определении центров тяжести широко используется симметрия тел. Докажем, что для однородного тела, имеющего плоскость симметрии, центр тяжести находится в плоскости симметрии. Для доказательства выберем начало координат в плоскости симметрии тела и одну из осей координат, ось Центр тяжести в теоретической механике направим перпендикулярно плоскости симметрии, а две других оси расположатся в плоскости симметрии (рис. 89). Каждая частица массой Центр тяжести в теоретической механике, находясь по одну сторону плоскости симметрии, имеет симметричную частицу такой же массы по другую сторону этой плоскости. Координаты Центр тяжести в теоретической механике у симметричных частиц одинаковы при сделанном выборе осей координат, а координаты по оси Центр тяжести в теоретической механике отличаются только знаком. Для координаты центра масс Центр тяжести в теоретической механике имеем следующее выражение:

Центр тяжести в теоретической механике

Разбивая сумму в числителе на две по симметричным частям тела, получаем, что

Центр тяжести в теоретической механике

так как симметричные части тела 1 и 2 одинаковы.

Таким образом, центр масс расположен в плоскости симметрии и для его определения достаточно вычислить только две его координаты Центр тяжести в теоретической механике и Центр тяжести в теоретической механике в этой плоскости.

Аналогично доказывается, что для однородного тела, имеющего ось или центр симметрии, центр масс находится соответственно на оси симметрии или в центре симметрии.

Центр тяжести в теоретической механике

Рис. 89

Метод разбиения на части (метод группировки)

Некоторые тела сложной формы можно разбить на части, центры тяжести которых известны или предварительно могут быть определены. В таких случаях центры тяжести сложных тел вычисляются по общим формулам, определяющим центр тяжести, только вместо элементарных частиц тела берутся его конечные части, на которые оно разбито. Покажем это на частном примере плоской фигуры, изображенной на рис. 90. Плоскую фигуру можно разбить на три части, центры тяжести которых Центр тяжести в теоретической механике, Центр тяжести в теоретической механике и Центр тяжести в теоретической механике известны. Они находятся на пересечении диагоналей прямоугольников. Их радиусы-векторы обозначим Центр тяжести в теоретической механике и площади Центр тяжести в теоретической механике. Общая площадь сложной фигуры будет Центр тяжести в теоретической механике.

Используя определение центра тяжести и производя группировку слагаемых под знаком суммы по частям фигуры, на которые она разбита, получим

Центр тяжести в теоретической механике

Радиусы-векторы центров тяжести частей тела выразятся в такой форме:

Центр тяжести в теоретической механике

или

Центр тяжести в теоретической механике

Используя эти формулы для радиуса-вектора всей фигуры, имеем

Центр тяжести в теоретической механике

Полученная формула имеет ту же структуру, что и формула, определяющая радиус-вектор центра тяжести тела при разбиении его на элементарные частицы, только в нее входят величины для конечных частей тела.

Центр тяжести в теоретической механике

Рис. 90

Метод отрицательных масс

Видоизменением метода разбиения на части является метод отрицательных масс. Проиллюстрируем его тоже на примере плоской фигуры (рис. 91). Для определения центра тяжести этой фигуры ее можно разбить на три части. Можно поступить по-другому. Для этого дополним нашу фигуру до прямоугольника и примем, что этот прямоугольник с площадью Центр тяжести в теоретической механике и центром масс Центр тяжести в теоретической механике полностью заполнен массой (имеет положительную площадь). На той части фигуры, которую добавили, следует распределить отрицательную массу (отрицательную площадь) той же плотности. Площадь этой фигуры с отрицательной массой обозначим Центр тяжести в теоретической механике, а ее центр масс — Центр тяжести в теоретической механике. Применяя метод разбиения на части, радиус-вектор заданной фигуры определим по формуле

Центр тяжести в теоретической механике

В отличие от обычного метода разбиения на части в формуле (4) массы и, следовательно, площади входят со знаком минус.

Метод отрицательных масс особенно удобен при вычислении положения центров тяжести тел, имеющих отверстия.
 

Центр тяжести в теоретической механике

 Рис. 91

Центры тяжести простейших тел

Для определения центров тяжести тел сложной формы методом разбиения на части или методом отрицательных масс необходимо уметь вычислять центры тяжести простейших тел, на которые разбивается тело сложной формы. Рассмотрим некоторые из тел, для определения центров тяжести которых известны простые способы их нахождения или вычисления по формулам.

Прямолинейный отрезок

Центр тяжести прямолинейного однородного отрезка располагается на его середине, а неоднородного— на самом отрезке и не может находиться вне отрезка.

Площадь треугольника

Для определения центра тяжести площади треугольника разобьем его прямыми линиями, параллельными одной из его сторон Центр тяжести в теоретической механике, на полоски, которые в пределе можно принять за прямолинейные отрезки (рис. 92). Центры тяжести отрезков и, следовательно, полосок находятся посередине полоски. Все они расположатся на медиане Центр тяжести в теоретической механике. В пределе центры тяжести полосок непрерывно покроют медиану, но не равномерно, так как площади полосок разные. В каждом центре масс полоски следует считать сосредоточенной массу или площадь этой полоски, пропорциональную длине полоски, если ширину полосок выбирать одинаковой.

Затем разобьем треугольник на полоски прямыми линиями, параллельными другой стороне Центр тяжести в теоретической механике треугольника. Центры их тяжести в пределе покроют неравномерно медиану Центр тяжести в теоретической механике. Центры тяжести неоднородных прямолинейных отрезков Центр тяжести в теоретической механике и Центр тяжести в теоретической механике должны располагаться на этих отрезках, а следовательно, в точке их пересечения Центр тяжести в теоретической механике, являющейся точкой пересечения медиан треугольника. Эта точка делит медианы в отношении 1 к 2, т. е. если длина медианы Центр тяжести в теоретической механике равна Центр тяжести в теоретической механике, то Центр тяжести в теоретической механике, Центр тяжести в теоретической механике.

Центр тяжести в теоретической механике

Рис. 92

Дуга окружности

Дуга окружности Центр тяжести в теоретической механике определяется радиусом Центр тяжести в теоретической механике и стягиваемым ею центральным углом Центр тяжести в теоретической механике(рис. 93). Она имеет ось симметрии, делящую угол пополам. Центр тяжести находится на оси симметрии дуги, которую примем за ось координат Центр тяжести в теоретической механике. Координату центра тяжести дуги Центр тяжести в теоретической механике вычисляем по формуле

Центр тяжести в теоретической механике

Центр тяжести в теоретической механике

Рис. 93

В рассматриваемом случае

Центр тяжести в теоретической механике

Подставляя эти значения в формулу для Центр тяжести в теоретической механике, получим

Центр тяжести в теоретической механике

Таким образом,

Центр тяжести в теоретической механике

Для полуокружности Центр тяжести в теоретической механике. Приняв Центр тяжести в теоретической механике,  получим:

Центр тяжести в теоретической механике

Площадь кругового сектора

Центр тяжести площади кругового сектора с радиусом Центр тяжести в теоретической механике и центральным углом Центр тяжести в теоретической механике находится на оси симметрии, принимаемой за ось Центр тяжести в теоретической механике(рис. 94). Разобьем сектор на элементарные треугольники одинаковой величины. Центры тяжести треугольников в пределе при увеличении их числа до бесконечности равномерно покроют дугу окружности радиусом Центр тяжести в теоретической механике.

Центр тяжести в теоретической механике

Рис. 94

Используя формулу для центра тяжести дуги окружности, получим

Центр тяжести в теоретической механике

или

Центр тяжести в теоретической механике

Для площади полукруга Центр тяжести в теоретической механике, Центр тяжести в теоретической механике. При Центр тяжести в теоретической механике получим

Центр тяжести в теоретической механике

Объем пирамиды и конуса

Определим положение центра тяжести объема конуса (рис. 95). Для простоты рассмотрим прямой конус, у которого высота является осью симметрии. Высотой конуса является отрезок, соединяющий его вершину Центр тяжести в теоретической механике с центром тяжести площади основания Центр тяжести в теоретической механике. Выберем начало координат в вершине конуса, а ось Центр тяжести в теоретической механике направим по оси симметрии конуса. Тогда центр тяжести объема конуса расположится на оси Центр тяжести в теоретической механике.

Разобьем конус плоскостями, перпендикулярными оси Центр тяжести в теоретической механике, на элементарные тонкие диски толщиной Центр тяжести в теоретической механике и площадью Центр тяжести в теоретической механике. Все полученные сечения (диски) конуса подобны его основанию. Координату Центр тяжести в теоретической механике центра тяжести объема конуса вычислим по формуле

Центр тяжести в теоретической механике

Отношения линейных размеров сечений к соответствующим размерам основания конуса пропорциональны их расстояниям до вершины конуса. Отношения площадей пропорциональны квадратам расстояний. Приняв Центр тяжести в теоретической механике, получим

Центр тяжести в теоретической механике

Учитывая, что

Центр тяжести в теоретической механике

имеем

Центр тяжести в теоретической механике

или

Центр тяжести в теоретической механике

Таким образом, центр тяжести прямого конуса находится на расстоянии Центр тяжести в теоретической механике от вершины или Центр тяжести в теоретической механике от основания.

Центр тяжести в теоретической механике

Рис. 95

Это справедливо для объема любого конуса и любой пирамиды, как прямых, так и наклонных, т. е. центр тяжести объема пирамиды или конуса находится на расстоянии Центр тяжести в теоретической механике расстояния от центра тяжести площади основания до вершины.

Объем полушара

Полушар имеет ось симметрии, которую примем за координатную ось Центр тяжести в теоретической механике (рис. 96). Разобьем объем полушара на элементарные диски толщиной dx и радиусом у, который является координатой точки окружности, которая получилась от пересечения полушара с координатной плоскостью Центр тяжести в теоретической механике. Уравнение этой окружности

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике— радиус полушара. Для координаты центра тяжести объема полушара имеем

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике — координата центра тяжести элементарного диска. Объем полушара

Центр тяжести в теоретической механике

Объем элементарного диска

Центр тяжести в теоретической механике

так как радиус диска Центр тяжести в теоретической механике. Выполняя интегрирование в пределах от Центр тяжести в теоретической механике до Центр тяжести в теоретической механике, получим

Центр тяжести в теоретической механике

Таким образом, центр тяжести объема полушара находится от его центра на расстоянии

Центр тяжести в теоретической механике

Это расстояние меньше половины радиуса полушара.

Центр тяжести в теоретической механике

Рис. 96

Задача №1

Определить координаты центра тяжести площади плоской фигуры, имеющей размеры, указанные на рис. 97.

Центр тяжести в теоретической механике

Рис.97

Центр тяжести в теоретической механике

Рис. 98

Решение. Присоединим к заданной фигуре дополнительно полукруг 3 и разобьем полученную фигуру на прямоугольник 1 и треугольник 2. Получили три фигуры, две из которых имеют положительные площади (прямоугольник 1 и треугольник 2) и одна — отрицательную (полукруг 3). В выбранной системе координат для координат центра тяжести заданной фигуры имеем

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике — координаты центров тяжести отдельных фигур; Центр тяжести в теоретической механике — площади этих фигур.

Вычислим площади и координаты центров тяжести отдельных фигур, учитывая рис. 98 Имеем:

Центр тяжести в теоретической механике

так как Центр тяжести в теоретической механике.

Подставляя полученные значения в (а), получим:

Центр тяжести в теоретической механике

Центр тяжести плоской фигуры

постановка задачи. Найти площадь и координаты центра тяжести плоской фигуры.

План решения:

1.    Разбиваем фигуру на простые отдельные части, положение центров тяжести которых известны.

2.    Выбираем систему координат. Вычисляем площади и координаты Центр тяжести в теоретической механикецентров тяжести отдельных частей. Площади вырезанных частей берем со знаком минус.

3.    Находим общую площадь фигуры по формуле Центр тяжести в теоретической механике

4.    Определяем координаты центра тяжести фигуры:

Центр тяжести в теоретической механике

Задача №2

Найти площадь и координаты центра тяжести плоской фигуры. Криволинейный участок контура является половиной окружности с центром на оси Ох (рис. 74). Размеры на рисунке даны Центр тяжести в теоретической механике

Решение

1. Разбиваем фигуру на простые отдельные части, положение центров тяжести которых известны.

Центр тяжести прямоугольника находится в его геометрическом центре, положение центра тяжести других фигур, встречающихся в задачах, изображено на рис. 75Центр тяжести в теоретической механике

Представляем фигуру в виде двух треугольников 1,2, прямоугольника 3 и выреза 4 в виде полукруга (рис. 76).

2. Вычисляем площадь (в Центр тяжести в теоретической механике) и координаты центра тяжести (в м) каждого элемента:Центр тяжести в теоретической механике

Площадь выреза берем со знаком минус.

3.Площадь фигуры Центр тяжести в теоретической механике

4. Находим координаты центра тяжести всей фигуры:

Центр тяжести в теоретической механике

Вычисления удобно свести в таблицу:Центр тяжести в теоретической механике

Сначала заполняем столбцы Центр тяжести в теоретической механике затем вычисляем статические моменты Центр тяжести в теоретической механике Внизу записываем суммы столбцов, необходимые для вычисления координат центра тяжести. Таким образом

Центр тяжести в теоретической механике

Замечание 1. Большинство задач на определение центра тяжести допускает несколько способов разбиения фигуры. Это можно использовать для проверки решения. Второй вариант разбиения фигуры в данном примере состоит из прямоугольника 3 с размерами Центр тяжести в теоретической механике и вырезанных из него полукруга 4 и двух треугольников 1 и 2 (рис. 77).

Замечание 2. Решение задачи в системе Maple V методом контурного интегрирования.

  • Заказать решение задач по теоретической механике

Пространственная стержневая система

Постановка Задачи. Найти координаты центра тяжести пространственной фигуры, состоящей из N однородных стержней.

План решения:

1. Разбиваем фигуру на отдельные стержни.

2. Выбираем систему координат. Вычисляем длины и координаты Центр тяжести в теоретической механике центров тяжести отдельных стержней. Координаты центра прямолинейного однородного стержня вычисляем как полусумму координат его концов.

3. Находим суммарную длину стержней системы Центр тяжести в теоретической механике

4. Определяем координаты центра тяжести тела по формулам

Центр тяжести в теоретической механике

Задача №3

Найти координаты центра тяжести пространственной фигуры, состоящей из шести однородных стержней (рис. 78). Даны размеры:Центр тяжести в теоретической механике

Решение

1. Разбиваем фигуру на шесть стержней.

2. Выбираем систему координат (рис. 78). Вычисляем длины и координаты Центр тяжести в теоретической механикецентров тяжести отдельных стержней.
Центр тяжести в теоретической механике
3. Находим суммарную длину стержней системы:

Центр тяжести в теоретической механике

Промежуточные результаты удобно занести в таблицу:
Центр тяжести в теоретической механике
4. Определяем координаты центра тяжести тела по формулам

Центр тяжести в теоретической механике

Постановка задачи. Найти координаты центра тяжести однородного объемного тела.

План решения:

1. Разбиваем тело на простые части, положение центров тяжести которых известно.

2. Выбираем систему координат. Вычисляем объемы Центр тяжести в теоретической механике и координаты Центр тяжести в теоретической механикецентров тяжести отдельных частей. Объемы вырезанных частей берем со знаком минус.

3. Находим общий объем тела по формуле Центр тяжести в теоретической механике

4. Определяем координаты центра тяжести тела:

Центр тяжести в теоретической механике

Задача №4

Найти координаты центра тяжести однородного объемного тела (рис.79);Центр тяжести в теоретической механике

Центр тяжести в теоретической механике

Решение

1. Разбиваем тело на пирамиду 1, параллелепипед 2 и половину цилиндра 3 (рис. 80).

2. Выбираем систему координат. Вычисляем объемы Центр тяжести в теоретической механике и координаты Центр тяжести в теоретической механике центров тяжестей отдельных частей. Центр тяжести пирамиды 1 лежит в точке Центр тяжести в теоретической механике

Центр тяжести в теоретической механике

Центр тяжести параллелепипеда 2 совпадает с его геометрическим центром:

Центр тяжести в теоретической механике

Объем половины цилиндра 3 берем со знаком минус:

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике — расстояние по оси у от оси цилиндра до его центра тяжести Центр тяжести в теоретической механике.
Центр тяжести в теоретической механике
3. Находим общий объем тела: 

Центр тяжести в теоретической механике

Центр тяжести в теоретической механикеВ общем случае объем тела, лежащего в области Центр тяжести в теоретической механике можно найти, вычисляя тройной интеграл по области Центр тяжести в теоретической механике а координаты центра тяжести, например, Центр тяжести в теоретической механике однородного тела можно определить по формуле Центр тяжести в теоретической механикесм.

4. Определяем координаты центра тяжести тела:
Центр тяжести в теоретической механике

Центр тяжести

Центр тяжести — точка, через которую проходит линия действия равнодействующей элементарных сил тяжести. Он обладает свойством центра параллельных сил. Поэтому формулы для определения положения центра тяжести различных тел имеют вид:
Центр тяжести в теоретической механике
Если тело, центр тяжести которого нужно определить, можно отождествить с фигурой, составленной из линий (например, замкнутый или незамкнутый контур, изготовленный из проволоки, как на рис. 173), то вес Центр тяжести в теоретической механике каждого отрезка Центр тяжести в теоретической механикеможно представить в виде произведения

где d — постоянный для всей фигуры вес единицы длины материала.
После подстановки в формулы (1) вместо Центр тяжести в теоретической механике их значений Центр тяжести в теоретической механике постоянный множитель d в каждом слагаемом числителя и знаменателя можно вынести за скобки (за знак суммы) и сократить. Таким образом, формулы для определения координат центра тяжести фигуры, составленной из отрезков линий, примут вид:

Центр тяжести в теоретической механике

Если тело имеет вид фигуры, составленной из расположенных различным образом плоскостей или кривых поверхностей (рис. 174),
Центр тяжести в теоретической механике

то вес каждой плоскости (поверхности) можно представить так:

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике — площади каждой поверхности, ар — вес единицы площади фигуры.

После подстановки этого значенияЦентр тяжести в теоретической механике в формулы (1) получаем формулы координат центра тяжести фигуры, составленной из площадей:

Центр тяжести в теоретической механике
Если же однородное тело можно разделить на простые части определенной геометрической формы (рис. 175), то вес каждой части

Центр тяжести в теоретической механике

где Центр тяжести в теоретической механике— объем каждой части, а у — вес единицы объема тела.

После подстановки значений Центр тяжести в теоретической механикев формулы (I) получаем формулы для определения координат центра тяжести тела, составленного из однородных объемов;
Центр тяжести в теоретической механике
При решении некоторых задач на определение положения центра тяжести тел иногда необходимо знать, где расположен центр тяжести дуги окружности, кругового сектора или треугольника.

Если известен радиус дуги г и центральный угол 2а, стягиваемый дугой и выраженный в радианах, то положение центра тяжести С (рис. 176, а) относительно центра дуги О определится формулой

Центр тяжести в теоретической механикеЦентр тяжести в теоретической механике

Центр тяжести в теоретической механике

Центр тяжести в теоретической механике

Если же задана хорда Центр тяжести в теоретической механике дуги, то в формуле (5) можно произвести замену

Центр тяжести в теоретической механике

и тогда

Центр тяжести в теоретической механике

В частном случае для полуокружности обе формулы примут вид (рис. 176, б)Центр тяжести в теоретической механике

Положение центра тяжести кругового сектора, если задан его радиус r (рис. 176, в), определяется при помощи формулы
Центр тяжести в теоретической механике
Если же задана хорда сектора, то
Центр тяжести в теоретической механике
В частном случае для полукруга обе последние формулы примут вид (рис. 176, г)
Центр тяжести в теоретической механике
Центр тяжести площади любого треугольника расположен от любой стороны на расстоянии, равном одной трети соответствующей высоты.

У прямоугольного треугольника центр тяжести находится на пересечении перпендикуляров, восставленных к катетам из точек, расположенных на расстоянии одной трети длины катетов, считая от вершины прямого угла (рис. 177).

Центр тяжести в теоретической механике

При решении задач на определение положения центра тяжести любого однородного тела, й составленного либо из тонких стержней (линий), либо из пластинок (площадей), либо из объемов, целесообразно придерживаться следующего порядка:

  1. выполнить рисунок тела, положение центра тяжести которого нужно определить. Так как все размеры тела обычно известны, при этом следует соблюдать масштаб;
  2. разбить тело на составные части (отрезки линий или площади, или объемы), положение центров тяжести которых определяется исходя из размеров тела;
  3. определить или длины, или площади, или объемы составных частей;
  4. выбрать расположение осей координат;
  5. определить координаты центров тяжести составных частей;
  6. найденные значения длин или площадей, или объемов отдельных частей, а также координат их центров тяжести подставить в соответствующие формулы и вычислить координаты центра тяжести всего тела;
  7. по найденным координатам указать на рисунке положение центра тяжести тела.
  • Кинематика точки
  • Плоское движение твердого тела
  • Мгновенный центр скоростей
  • Мгновенный центр ускорений
  • Условия равновесия системы сил
  • Плоская система сил
  • Трение
  • Пространственная система сил

Содержание:

  1. Центр масс
  2. Центр параллельных сил
  3. Центр тяжести
  4. Центры тяжести некоторых плоских однородных фигур
  5. Центр тяжести дуги окружности
  6. Центр тяжести кругового сектора
  7. Центр тяжести кругового сегмента
  8. Центр тяжести треугольника
  9. Центр тяжести трапеции
  10. Примеры решения задач на тему: Центр масс
  11. Способы определения координат центра тяжести тела
  12. Метод симметрии
  13. Метод разбиения
  14. Метод дополнения
  15. Экспериментальные способы
  16. Центры тяжести некоторых однородных тел
  17. Центр тяжести дуги окружности
  18. Центр тяжести треугольника
  19. Центр тяжести сектора

Центр масс – это геометрическая точка, положение которой определяется распределением массы в теле, а перемещение характеризует движение тела или механической системы как целого.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Центр масс

Центр масс – это некоторое положение, определяемое относительно объекта или системы объектов и это среднее положение всех частей системы, взвешенное в соответствии с их массами.

Центр параллельных сил

Если на тело действует система параллельных сил Центр массЦентр масс,…, Центр масс, то точка Центр масс, через которую проходит равнодействующая Центр масс этой системы сил, называется центром параллельных сил (рис.9.1).

Центр масс

Координаты центра параллельных сил определяются по зависимостям:

Центр масс

Центр масс

где Центр масс – координаты точек приложения сил Центр масс.

Центр параллельных сил имеет ту особенность, что через него обязательно будет проходить линия действия равнодействующей при вращении линий действия всех сил системы вокруг точек их приложения на один и тот же угол в одну и ту же сторону. Модули сил при вращении не должны меняться.

Центр тяжести

Если твердое тело находится возле поверхности Земли, то на каждую материальную часть этого тела действует сила тяжести­ Центр масс, которая направлена к центру Земли. Поскольку размеры тела небольшие по сравнению с размерами Земли, то образованную систему сил можно рассматривать как параллельную. Равнодействующая этой параллельной системе сил Центр масс, которая равна их сумме, называется тяжестью тела, а центр этой системы – точка Центр масс называется центром тяжести тела (рис.9.2).

Координаты центра тяжести твердого тела можно определить как координаты центра параллельных сил:

Центр масс

Центр масс

где Центр масс – сила тяжести элементарной частицы тела;

Центр масс – тяжесть тела;

Центр масс – координаты центра тяжести;

Центр масс – координаты элементарной частицы тела.

Если тело однородное, то есть удельный вес не меняется по объему Центр масс, то:

Центр масс

где Центр масс – объем тела;

Центр масс – объем элементарной частицы.

Тогда формулы для определения координат центра тяжести твердого тела приобретут вид:

Центр масс

Положение центра тяжести однородного тела зависит только от формы объема, что занимает тело, и называется центром тяжести этого объема.

Если однородное тело имеет форму тонкой пластины, то его можно рассматривать как материальную плоскую фигуру. В этом случае положение центра тяжести плоской фигуры определяется двумя координатами Центр масс и Центр масс и зависит от формы площади фигуры:

Центр масс

где Центр масс – площадь элементарной части плоской фигуры;

Центр масс – площадь плоской фигуры.

Центр тяжести однородной пластины называется центром тяжести плоской фигуры.

Если выбранный элементарный объем Центр масс (площадь элементарной площадки в плоском случае) направить к нулю, то формулы для вычисления координат центра тяжести приобретут интегральный вид:

а) для однородного твердого тела:

Центр масс

где Центр масс – объем тела, интегрирование выполняется по всему объему тела;

б) для однородной поверхности:

Центр масс

где Центр масс – площадь поверхности, интегрирование выполняется по всей поверхности тела;

в) для однородной плоской фигуры, лежащей в плоскости xy:

Центр масс

г) для однородной линии:

Центр масс

где Центр масс – длина линии, интегрирование выполняется по всей длине линии.

Центры тяжести некоторых плоских однородных фигур

Для упрощения определения центра тяжести используются следующие вспомогательные правилами:

1. Если тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести лежит на этой плоскости.
2. Если тело симметрично относительно оси, то центр тяжести лежит на этой оси.
3. Если тело симметрично относительно точки, то центр тяжести лежит в центре симметрии.
4. Если тело состоит из нескольких частей, центры тяжести которых можно определить, то центр тяжести такого тела находят как центр тяжести нескольких материальных точек, а именно тех, в которых расположены весы каждой отдельной части тела.

Центр тяжести дуги окружности

Центр тяжести дуги окружности Центр масс (рис.9.3) лежит на ее оси симметрии и на расстоянии Центр масс от центра окружности:

Центр масс

где Центр масс – радиус окружности;

Центр масс – половина центрального угла, опирающегося на дугу Центр масс.

Центр масс

Центр тяжести кругового сектора

Центр тяжести кругового сектора лежит на оси симметрии и имеет координаты:

Центр масс

где Центр масс – радиус окружности;

Центр масс – половина центрального угла сектора.

Центр масс

Центр тяжести кругового сегмента

Центр тяжести кругового сегмента лежит на оси симметрии сегмента и имеет координаты:

Центр масс

где Центр масс – радиус окружности;

Центр масс – половина центрального угла сегмента.

Центр масс

Центр тяжести треугольника

Центр тяжести треугольника (рис. 9.6) лежит в точке пересечения его медиан – на расстоянии 1/3 каждой медианы от соответствующего основания треугольника.

Центр масс

Центр тяжести трапеции

Центр тяжести трапеции (рис.9.7) с основаниями Центр масс и Центр масс и высотой Центр масс лежит на прямой Центр масс, которая соединяет середины основ.

Центр масс

Расстояния Центр масс и Центр масс центра тяжести Центр масс площади трапеции от ее основ определяются по формулам:

Центр масс

Наиболее распространенный способ определения положения центра тяжести однородного тела сложной формы заключается в том, что его разбивают на такие части, положение центров тяжести которых известно, или может быть легко определено.

Например, однородную плоскую фигуру (рис.9.8) разбивают на три части 1,2 и 3, положения центров тяжести которых, Центр масс можно определить.

Центр масс

Координаты центра тяжести фигуры Центр масс определяются по формулам:

Центр масс

где Центр масс – координаты центра тяжести Центр масс первой части плоской фигуры;

Центр масс – площадь первой части и т.п.

Этим способом удобно пользоваться и при определении положения центра тяжести плоской фигуры, из которой вырезана некоторая часть (рис.9.9).

Центр масс

В этом случае площадь плоской фигуры можно записать в виде разницы площадей сплошной фигуры 1 (площадь положительная) и вырезанной части 2 (площадь отрицательная), то есть Центр масс .

Координаты центра тяжести фигуры равны:

Центр масс

где Центр масс – координаты центра тяжести сплошной фигуры 1, площадь которой равна Центр масс;

Центр масс – координаты центра тяжести вырезанной части 2, площадь которой равна – Центр масс.

Первый из этих методов имеет название “метод разбиения”, второй – “метод дополнения”, или “метод отрицательных масс”. В общем случае формулы для определения центра тяжести плоской фигуры имеют вид:

Центр масс

где Центр масс – площадь всей фигуры.

Примеры решения задач на тему: Центр масс

Задача № 1

Найти центр тяжести двутаврового профиля, размеры которого в сантиметрах указаны на рис.9.10.

Решение. Поскольку форма сечения имеет ось симметрии, ось Центр масс направим вдоль оси симметрии, а ось Центр масс перпендикулярно ей.

В силу симметричности профиля относительно оси Центр масс центр тяжести будет лежать на этой оси, то есть Центр масс

Линиями Центр масс и Центр масс поделим профиль на три прямоугольника 1, 2 и 3.

Запишем уравнение для определения абсциссы центра тяжести площади:

Центр масс

где Центр масс – абсциссы центров тяжести прямоугольников 1, 2, 3;

Центр масс – площади этих прямоугольников.

Центр масс

Поскольку центры тяжести прямоугольников Центр масс и Центр масс лежат на пересечении их диагоналей, то (рис.9.10):

Центр масс

Площади этих прямоугольников соответственно равны:

Центр масс

Тогда: 

Центр масс

Таким образом, центр тяжести фигуры лежит в точке Центр масс с координатами: Центр масс

Ответ: Центр масс

Задача № 2

Найти координаты центра тяжести поперечного пересечения разностороннего угольника (рис.9.11), полки которого имеют ширину Центр масс и толщину Центр масс

Центр масс

Решение. Разделим пересечение линией Центр масс на два прямоугольника Центр масс и Центр масс, центры тяжести которых лежат на пересечении соответствующих диагоналей.

Запишем формулы для координат Центр масс и Центр масс центра тяжести пересечения:

Центр масс

где Центр масс и Центр масс – координаты центров тяжести прямоугольников 1 и 2;

Центр массЦентр масс – площади прямоугольников 1 и 2.

С рис.9.11 видим, что

Центр масс

Тогда: 

Центр масс

Ответ: Центр масс

Задача № 3

Определить положение центра тяжести плоской фигуры (рис.9.12), ограниченной полуокружностью Центр масс радиуса Центр масс и двумя прямыми равной длины Центр масс и Центр масс, причем Центр масс

Центр масс

Решение. Данная площадь имеет ось симметрии, вдоль которой направим ось Центр масс. Поскольку центр тяжести площади Центр масс лежит на оси симметрии, то Центр масс

Разделим площадь Центр масс линией Центр масс на две части: полуокружность Центр масс и равнобедренный треугольник Центр масс.

Абсцисса центра тяжести площади Центр масс будет равняться:

Центр масс

где Центр масс – координата центра тяжести половины круга Центр масс;

Центр масс – координата центра тяжести треугольника Центр масс;

Центр массЦентр масс – площади половины круга и треугольника.

Для определения Центр масс воспользуемся приведенными в разделе 9.3.2 координатами центра тяжести кругового сектора

Центр масс

В случае половины круга Центр масс

Центр масс

Площадь половины круга равна:

Центр масс

Центр тяжести треугольника лежит на пересечении его медиан (раздел 9.3.4). Поскольку треугольник Центр масс равнобедрен, то линия Центр масс будет его медианой и расстояние Центр масс будет равняться третьей части от Центр масс:

Центр масс

Площадь треугольника Центр масс равна:

Центр масс

Подставив найденные значения Центр массЦентр массЦентр масс и Центр масс в уравнение для Центр масс, получим:

Центр масс

Ответ: Центр масс

Задача № 4

Найти координаты центра тяжести квадратной пластины с вырезом в виде сегмента радиуса Центр масс (рис.9.13), если

Центр масс

Центр масс

Решение. Осью симметрии рассматриваемой фигуры будет диагональ Центр масс прямоугольника Центр масс

Поэтому направим ось Центр масс вдоль этой линии, а ось Центр масс – перпендикулярно (рис.9.13).

Центр тяжести пластины будет лежать на оси Центр масс, то есть Центр масс

Площадь фигуры Центр масс можно представить как разницу площадей квадрата Центр масс (положительная площадь) и сектора Центр масс (отрицательная площадь).

Абсцисса центра тяжести фигуры будет равняться:

Центр масс

где Центр масс – абсцисса центра тяжести квадрата Центр масс;

Центр масс – абсцисса центра тяжести сектора Центр масс;

Центр масс и Центр масс – площади квадрата и сектора.

Для квадрата Центр масс получим:

Центр масс

Как следует из рис. 9.13, Центр масс равняется

Центр масс

где Центр масс – расстояние от точки Центр масс к центру тяжести кругового сектора Центр масс.

Для кругового сектора (раздел 9.3.2) получим:

Центр масс

Поскольку Центр масс и Центр масс, то 

Центр масс

Таким образом, абсцисса Центр масс равняется:

Центр масс

Площадь кругового сектора Центр масс:

Центр масс

Подставив значение Центр массЦентр массЦентр масс и Центр масс в формулу для Центр масс, получим:

Центр масс

Ответ:  Центр масс

Задача № 5

Найти координаты центра тяжести площади, ограниченной (рис.9.14) правой веткой параболы Центр масс, осью Центр масс и прямой Центр масс

Центр масс

Решение. На расстоянии Центр масс от оси Центр масс выделяем элементарную площадку Центр масс шириной Центр масс (заштрихованная область).

Площадь выделенной элементарной площадки будет равняться:

Центр масс

Площадь фигуры, что ограничена заданными линиями:

Центр масс

Поскольку точка Центр масс представляет собой пересечение параболы Центр масс и прямой Центр масс, то Центр масс

Отсюда: 

Центр масс

Тогда:

Центр масс

Абсцисса центра тяжести

Центр масс

Для определения координаты Центр масс выделим элементарную площадку Центр масс шириной Центр масс на расстоянии Центр масс от оси Центр масс.

Площадь выделенной площадки:

Центр масс

Ордината центра тяжести:

Центр масс

Тогда: 

Центр масс

Ответ: Центр масс

Способы определения координат центра тяжести тела

Существует несколько способов определения координат центра тяжести тел. среди них различают: метод симметрии, метод разбиения и дополнения, экспериментальные способы.

Рассмотрим последовательно эти способы.

Метод симметрии

Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии.

Таким образом, центр тяжести однородных симметричных тел, таких как кольца,
прямоугольные пластины, прямоугольные параллелепипеды, шары и другие тела, которые
имеют центр симметрии, расположенный в геометрических центрах (центры симметрии) этих тел.

Метод разбиения

Если тело можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести нетрудно определяется, то координаты центра тяжести всего тела можно определить непосредственно по формулам выше. Причем количество слагаемых в числителе каждого из указанных выражений будет равно количеству частей, на которое разбивается тело.

Приведем пример определения центра тяжести тела методом разбиения его на отдельные тела, центры тяжести которых известны.

Пример:

Определить координаты центра тяжести однородной пластины. Размеры в
мм заданные на рис. 1.64

Центр масс

Решение.

Выберем оси координат x и y. Разбиваем пластину на отдельные прямоугольные части. Для каждого прямоугольника проводим диагонали, точки пересечения которых c1, c2 и c3 соответствуют центрам веса каждого прямоугольника. В принятой системе координат нетрудно получить значение координат этих точек. А именно: c(–1,1), c(1,5), c(5,9). Площади каждого тела соответственно равны: I — s1 = 4 см2; II — s2 = 20 см2; III — s3 = 12 см2. Площадь всей пластины равна: S = s1 + s2 + s3 = 36 см2.

Для определения координат центра тяжести заданной пластины используем выражение выше. Подставив значения всех известных величин в уравнения, получим

Центр масс

По вычисленным значениям координат центра тяжести пластины можно обозначить точку C на рисунке. Как видим, центр тяжести (геометрическая точка) пластины расположен за ее пределами.

Метод дополнения

Способ, о котором говорится далее, является некоторым случаем способа разбиения. Он может применяться к телам, которые имеют вырезы, полости, причем без учета выреза, или вырезанной части тела положение центра тяжести тела известно. Рассмотрим пример применения такого метода.

Пример. Определить положение центра тяжести круглой пластины радиусом R, имеет круговое отверстие радиуса r (рис. 1.65). Расстояние C1C2 = a.

Центр масс

Решение.

Как видно из рисунка, центр тяжести пластины находится на оси симметрии пластины x, то есть на прямой, проходящей через точки C1 и C2. Таким образом, для определения положения центра тяжести этой пластины необходимо вычислить только одну координату xC, поскольку вторая координата yравна нулю. Покажем оси координат x, y. Примем, что пластина состоит из двух тел — с полного круга (без учета выреза) и тела,
образовано вырезом. В принятой системе координаты x для указанных тел будут равны: x= 0; x2 = C1C2 = a. Площади тел равны: Центр массОбщая площадь всего тела будет равна физической разницы между площадями первого и второго тел, а именно
Центр масс Для определения неизвестной координаты центра тяжести
заданной пластины используем первое уравнение выражения.

Подставив значения всех известных величин в это уравнение, получим

Центр масс

Таким образом, значение координаты xC отрицательное, а потому, поскольку вторая координата 0 yC = 0, то центр тяжести пластины C размещен на оси слева от точки C1.

Экспериментальные способы

Эти способы нашли широкое применение при отыскании положения центра тяжести тел сложных форм и конфигураций, для которых другие способы почти непригодны вследствие громоздкости и сложности. К таким телам, в первую очередь, следует отнести комбайны, тракторы, сложные сельскохозяйственные машины и орудия. При применении экспериментальных способов отыскания положения
центра тяжести наиболее широко используют метод подвешивания и метод взвешивания тел.

При применении метода подвешивания тело на тросе подвешивают за различные его точки. Направление троса, будет давать каждый раз направление силы веса тела. Тогда точка пересечения этих направлений и дает положение центра тяжести тела.

Использование второго метода — взвешивание требует измерения веса всего тела, а также отдельных его частей. Рассмотрим пример применения этого метода.

Пример.

Определим продольную координату центра тяжести трактора, у которого продольная база составляет l (рис. 1.66).

Центр масс

Решение.

Сначала поставим на платформу весов задние колеса трактора, как это показано на рисунке. Итак, определяем силу давления задних колес на платформу, или реакцию Центр масс. Аналогично определяем вес переднего моста, или реакцию Центр масс. Вполне понятно, что сумма этих реакций равна общему весу трактора, а именно:

Q = RA + RB.

Теперь составим алгебраическую сумму моментов всех сил относительно точки A. Она равна

Центр масс

Откуда определяем продольную координату центра тяжести:

xCЦентр масс.

Для определения поперечной координаты центра тяжести трактора необходимо знать реакции левых колес (переднего и заднего) и правых, а также поперечную базу трактора. Дальше аналогичным выражением определяется эти координаты центра тяжести.

Центры тяжести некоторых однородных тел

Определим далее координаты центров тяжести некоторых простых однородных тел.

Центр тяжести дуги окружности

Рассмотрим дугу AB окружности радиусом R, в которой центральный угол OAB равен 2α (радиан) (рис. 1.67). Покажем оси координат x, y начало которых разместим в точке O. Вследствие того, что дуга имеет ось симметрии Ox, то центр ее тяжести будет расположен именно на этой оси (yC = 0). Остается только вычислить координату xC.

Центр масс

Используем для вычисления этой координаты первое уравнение выражения, а именно

Центр масс

Определим составляющие, которые необходимо подставить в это уравнение. Для этого выделим на дуге AB элемент M M1 длиной dl, равной:

dl = R · dφ.

Если φ — угол, определяющий положение элемента M M1 на дуге AB, то координата x элемента M M1 будет равна:

x = Rcosφ.

Общая длина дуги AB равна:

L = 2α · R.

Подставим эти значения в первое уравнение выражения. При этом считается, что интеграл в числителе данного выражения должен быть определенным по всей длине дуги. Будем иметь:

Центр масс

Центр масс

Таким образом, координата xC будет равняться

xC = Центр масс.

Центр тяжести треугольника

Есть произвольный треугольник, вершины которого в принятой системе координат Oxy соответствуют точкам с координатами A1 (x1y1), A2 (x2, y2), A3 (x3, y3) (рис. 1.68). Если провести прямые, которые будут параллельны основе A1A3 и провести их достаточное количество, то вся площадь треугольника будет состоять из полос бесконечно малой ширины, центры тяжести которых будут размещены посередине каждой полосы, а потому и центр тяжести треугольника будет расположенный на его медиане. А если провести линии, параллельные другой стороне треугольника, то и в этом случае центр тяжести будет размещен на соответствующей медиане. Таким образом, совершенно очевидно, что центр тяжести треугольника C будет расположен в точке пересечения его медиан.

Определим координаты этой точки. По курсу аналитической геометрии известно, что точка пересечения медиан треугольника в принятой системе координат определяется такими зависимостями

Центр масс

где x1, x2, …, y3  — координаты вершин треугольника.

Полезно также знать, что

Центр масс

Центр масс

Центр тяжести сектора

Рассмотрим круговой сектор OAB радиуса R, центральный угол которого равен 2α (радиан) (рис. 1.69). Центр тяжести сектора, вполне очевидно, лежит на оси его симметрии, то есть на биссектрисе угла AOB. Эту биссектрису примем за ось x и найдем на этой оси положение центра C. Разобьем площадь сектора на бесконечно большое число элементарных секторов с центральными углами ∆φ.

Будем рассматривать каждый сектор как треугольник с основанием R · ∆φ и высотой R. Центр тяжести каждого треугольника расположен на расстоянии Центр масс от центра сектора. Таким образом, центры тяжести всех треугольников расположены на дуге A´B´. Итак, если 0 ∆φ → 0, то центры тяжести образуют дугу AB, тогда необходимо найти центр тяжести дуги A´B´. Используем формулу, по которой определяется центр тяжести дуги окружности радиусом r:

Центр масс

Центр масс

Тогда учитывая, что

Центр масс

Будем иметь

Центр масс

Услуги по теоретической механике:

  1. Заказать теоретическую механику
  2. Помощь по теоретической механике
  3. Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

  1. Статика
  2. Система сходящихся сил
  3. Момент силы
  4. Пара сил
  5. Произвольная система сил
  6. Плоская произвольная система сил
  7. Трение
  8. Расчет ферм
  9. Расчет усилий в стержнях фермы
  10. Пространственная система сил
  11. Произвольная пространственная система сил
  12. Плоская система сходящихся сил
  13. Пространственная система сходящихся сил
  14. Равновесие тела под действием пространственной системы сил
  15. Естественный способ задания движения точки
  16. Центр параллельных сил
  17. Параллельные силы
  18. Система произвольно расположенных сил
  19. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
  20. Кинематика
  21. Кинематика твердого тела
  22. Движения твердого тела
  23. Динамика материальной точки
  24. Динамика механической системы
  25. Динамика плоского движения твердого тела
  26. Динамика относительного движения материальной точки
  27. Динамика твердого тела
  28. Кинематика простейших движений твердого тела
  29. Общее уравнение динамики
  30. Работа и мощность силы
  31. Обратная задача динамики
  32. Поступательное и вращательное движение твердого тела
  33. Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
  34. Сферическое движение твёрдого тела
  35. Движение свободного твердого тела
  36. Сложное движение твердого тела
  37. Сложное движение точки
  38. Плоское движение тела
  39. Статика твердого тела
  40. Равновесие составной конструкции
  41. Равновесие с учетом сил трения
  42. Колебания материальной точки
  43. Относительное движение материальной точки
  44. Статические инварианты
  45. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
  46. Динамика системы материальных точек
  47. Общие теоремы динамики
  48. Теорема об изменении кинетической энергии
  49. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
  50. Потенциальное силовое поле
  51. Метод кинетостатики
  52. Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки

Система
сил, линии действия которых параллельны,
называется системой параллельных сил.

Точка
С, через которую проходит линия действия
равнодействующей системы параллельных
сил при любых поворотах этих сил около
их точек приложения в одну и ту же сторону
и на один и тот же угол, называется
центром параллельных сил.

Силы
притяжения отдельных частиц тела к
Земле направлены приблизительно к
центру Земли. Если размеры рассматриваемых
тел малы по сравнению с радиусом Земли,
то эти силы можно считать параллельными.
Равнодействующая этих параллельных
сил, равная их сумме, есть сила тяжести
тела, по модулю равная его весу.

Центром
тяжести твердого тела называется
неизменно связанная с этим телом точка,
через которую проходит линия действия
равнодействующей сил тяжести, действующих
на частицы данного тела, при любом
положении тела в пространстве.

Так
как силу можно переносить вдоль линии
ее действия в любую точку твердого тела,
то принято считать, что сила тяжести
тела приложена в его центре тяжести.
При решении многих технических задач
важно уметь определять положение центра
тяжести, часто это можно сделать весьма
простыми методами.

Иногда
представляется возможность разбить
тело на такие части, веса и положения
центров тяжести которых известны. Задав
положение Центров тяжести всех частей
тела в декартовой системе координат,
положение центра тяжести тела можно
определить по формулам:


(1.57)

где
xС,
yС,
zС
координаты центра тяжести тела; хi,
уi,
zi
координаты
центра тяжести iй
части; Рi
– вес iй
части тела; Р
– вес тела.

Если
тело изготовлено из однородного
материала, то выражения (1.57) можно
преобразовать к более удобному виду:

(1.58)

где
Vi
– объем i
части тела; V
– объем тела.

Если
тело однородное и плоское, то выражения
(1.57) преобразуются

к
виду:

(1.59)

где
Si
– площадь i-
й части тела; S
– площадь всего тела.

Если
тело состоит из однородных стержней,
вес единицы длины которых одинаков для
всего тела, то выражения (1.57) преобразуются
к виду:

(1.60)

где
хi
, yi
, zi
– координаты середины iго
стержня: l
i
– длина i
-го стержня;

l
– суммарная длина всех стержней.

Используя
формулы (1.57) — (1.60), легко показать, что
если тело имеет ось симметрии, то центр
тяжести лежит на этой оси, если тело
имеет две оси симметрии, то центр тяжести
лежит на их пересечении.

Иногда,
если тело состоит из частей, содержащих
пустоты, удобно применить прием
«отрицательного веса». Суть его
заключается в том, что координаты центров
тяжести, веса (объемы, площади) частей
тел с пустотами задаются такими, как
будто бы пустот нет. А пустоты считаются
частями тела, но с отрицательными знаками
веса (объема, площади), причем такими,
как если бы пустота была заполнена
материалом той же плотности, что и данная
часть тела.

В
таблице приведены положения центров
тяжести и площади наиболее часто
встречающихся геометрических фигур.

Таким
образом, задачи на определение положения
центра тяжести тела решаются в следующей
последовательности:

а)
вводится система координат (если она
не задана в условии задачи);

б)
определяются веса (площади, объемы,
длины) всех частей тела,
включая
пустоты, и координаты их центров тяжести;

в)
по формулам (1.57) — (1.60) определяются
координаты центра
тяжести тела, причем
веса (объемы, площади) пустот подставляются
в эти формулы со знаком «минус».

Пример
1.11.

Определить положение центра тяжести
тела, изображенного
на рис. 1.45, состоящего из двух
параллелепипедов и цилиндра
радиусом R=
0,5м,
причем а
=
4м, b
= 2м, с
= 2м, h
= 2м

Рис.
1.45

Положение
центров тяжести каждой из частей тела
легко определяется, так как они имеют
по две оси симметрии, и, следовательно,
центры тяжести будут лежать на пересечении
этих осей.

Введем
систему координат Oxyz,
как показано на рис. 1.45. Начало ее
разместим в точке пересечения ребер
большого параллелепипеда, оси направим
по ребрам этого параллелепипеда.
Определим координаты центров тяжести
и объемы всех трех частей тела:

;
;;

;
;;

;

;;

Используя
формулы (1.58), для изучаемого тела найдем:

Пример
1.12.

Для плоского тела, представляющего
собой равносторонний треугольник с
отверстиями радиусов R=0,16
см и
г=0,05 см, изображенный на рис. 1.46,
определить положение центра тяжести.
Положения и формы отверстий показаны
на рис 1.46, а
=
0,3 м. Для подсчета положения центра
тяжести используем прием «отрицательного
веса». Для этого при использовании
формул (1.59) площади отверстий будем
считать отрицательными.

Рис.
1.46

Введем
систему координат Оху, как показано на
рис. 1.46. Определим, используя справочную
таблицу, координаты центра тяжести
треугольника, как если бы он был сплошной,
и координаты центров тяжестей отверстий,
а также площади треугольников и отверстий:

Используя
формулы (1.59), подсчитаем координаты
центра тяжести тела.

Пример
1
.13.
Определить положение центра тяжести
стержневой конструкции, изображенной
на рис. 1.47, если а=1 м.

Введем
систему координат, как показано на рис.
1.47.

Рис.
1.47

Используя
элементарные тригонометрические
формулы, определим координаты центров
стержней и их длины. Стержни 2 и 7 , 4 и 5,
так как они лежат на одной прямой, будем
считать едиными стержнями. Получим:

Используя
формулы (1.60), получим:

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика

  • #
  • #
  • #

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 26 июля 2022 года; проверки требуют 3 правки.

Центр масс (тж. центр ине́рции) — геометрическая точка, положение которой определяется распределением массы в теле, а перемещение характеризует движение тела или механической системы как целого[1]. Радиус-вектор данной точки задаётся формулой

{displaystyle {vec {r}}_{c}=left(int rho ({vec {r}})dVright)^{-1}int rho ({vec {r}}){vec {r}}dV,}

где {displaystyle rho ({vec {r}})} — зависящая от координат плотность, а интегрирование осуществляется по объёму тела. Центр масс может оказаться как внутри, так и вне тела.

Использование понятия центра масс, а также системы координат, связанной с центром масс, удобно во многих приложениях механики и упрощает расчёты. Если на механическую систему не действуют внешние силы, то её центр масс движется с постоянной по величине и направлению скоростью.

Джованни Чева применял рассмотрение центров масс к решению геометрических задач, в результате были сформулированы теоремы Менелая и теоремы Чевы[2].

В случае систем материальных точек и тел в однородном гравитационном поле центр масс совпадает с центром тяжести, хотя в общем случае это разные понятия.

Центр масс в классической механике[править | править код]

Определение[править | править код]

Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом[3]:

{vec  r}_{c}={frac  {sum limits _{i}m_{i}{vec  r}_{i}}{sum limits _{i}m_{i}}},

где {vec  r}_{c} — радиус-вектор центра масс, {vec  r}_{i} — радиус-вектор i-й точки системы, {displaystyle m_{i}} — масса i-й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

{vec  r}_{c}={1 over M}int limits _{V}rho ({vec  r}){vec  r}dV,
M=int limits _{V}rho ({vec  r})dV,

где M — суммарная масса системы, V — объём, rho  — плотность.
Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

Если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами M_{i}, то радиус-вектор центра масс такой системы R_{c} связан с радиус-векторами центров масс тел R_{{ci}} соотношением[4]:

{vec  R}_{c}={frac  {sum limits _{i}M_{i}{vec  R}_{{ci}}}{sum limits _{i}M_{i}}}.

Действительно, пусть даны несколько систем материальных точек с массами {displaystyle M_{1},M_{2},...M_{N}.} Радиус-вектор {displaystyle {vec {R}}_{c_{n}}} n-ной системы:

{displaystyle {vec {R}}_{c_{n}}={frac {sum limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{vec {r}}_{i_{n}}}{sum limits _{i_{n}}m_{i_{n}}}}={frac {sum limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}}, n=1,2,...N.}
{displaystyle {vec {R}}_{c}={frac {sum limits _{n}left({frac {sum limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}}cdot M_{n}right)}{sum limits _{n}M_{n}}}={frac {sum limits _{i}M_{i}{vec {R}}_{ci}}{sum limits _{i}M_{i}}}.}

При переходе к протяженным телам с непрерывным распределением плотности в формулах будут интегралы вместо сумм, что даст тот же результат.

Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.

Примеры[править | править код]

Центры масс плоских однородных фигур
  • У отрезка — середина.
  • У многоугольников :
    • У параллелограмма — точка пересечения диагоналей.
    • У треугольника — точка пересечения медиан (центроид).
  • У правильного многоугольника — центр поворотной симметрии.
  • У полукруга — точка, делящая перпендикулярный радиус в отношении {displaystyle {frac {4}{3pi }}} от центра круга.

Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из теорем Паппа — Гульдина):

x_{s}={frac  {V_{y}}{2pi S}} и y_{s}={frac  {V_{x}}{2pi S}}, где V_{x},V_{y} — объём тела, полученного вращением фигуры вокруг соответствующей оси, S — площадь фигуры.
Центры масс периметров однородных фигур
  • Центр масс сторон треугольника находится в центре вписанной окружности дополнительного треугольника (треугольника с вершинами, расположенными в серединах сторон данного треугольника). Эту точку называют центром Шпикера. Это означает то, что если стороны треугольника сделать из тонкой проволоки одинакового сечения, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центром вписанной окружности дополнительного треугольника или с центром Шпикера.

Использование[править | править код]

Понятие центра масс широко используется в физике, в частности, в механике.

Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами (материальная точка). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона. Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.

Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта, связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции. В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.

Центр масс в релятивистской механике[править | править код]

В случае высоких скоростей (порядка скорости света) (например, в физике элементарных частиц) для описания динамики системы применяется аппарат СТО. В релятивистской механике (СТО) понятия центра масс и системы центра масс также являются важнейшими понятиями, однако, определение понятия меняется:

{vec  r}_{c}={frac  {sum limits _{i}{vec  r}_{i}E_{i}}{sum limits _{i}E_{i}}},

где {vec  r}_{c} — радиус-вектор центра масс, {vec  r}_{i} — радиус-вектор i-й частицы системы, {displaystyle E_{i}} — полная энергия i-й частицы.

Данное определение относится только к системам невзаимодействующих частиц. В случае взаимодействующих частиц в определении должны в явном виде учитываться импульс и энергия поля, создаваемого частицами[5].

Во избежание ошибок следует понимать, что в СТО центр масс характеризуется не распределением массы, а распределением энергии. В курсе теоретической физики Ландау и Лифшица предпочтение отдается термину «центр инерции». В западной литературе по элементарным частицам применяется термин «центр масс» (англ. center-of-mass): оба термина эквивалентны.

Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:

{vec  v}_{c}={frac  {c^{2}}{sum limits _{i}E_{i}}}cdot sum limits _{i}{vec  p}_{i}.

Смежные понятия[править | править код]

Центр масс vs. барицентр[править | править код]

Движение космических тел вокруг барицентра.

Термин «центр масс» синонимичен одному из значений понятия барицентр (от др.-греч. βαρύς — тяжёлый + κέντρον — центр), однако последнее применяется преимущественно в задачах астрофизики и небесной механики. Под барицентром подразумевается общий для нескольких небесных тел центр масс, вокруг которого эти тела движутся. Примером может выступить совместное движение планеты и звезды (см. рис.) или компонент двойных звёзд. Центр масс (барицентр) в таком случае находится на отрезке длины l, соединяющем тела массами m_1 и m_2, на удалении {displaystyle s=m_{2}l/(m_{1}+m_{2})} от тела m_1.

Другое значение слова барицентр относится, скорее, к геометрии, нежели к физике; в этом значении выражение для координаты барицентра отличается от формулы для центра масс отсутствием плотности (как если бы всегда было {displaystyle rho =} const).

Центр масс vs. центр тяжести[править | править код]

Центр тяжести (в данном случае = центр масс), демонстрация

Центр масс тела не следует путать с центром тяжести.

Центром тяжести механической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести (действующих на систему) равен нулю. Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем, и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.

В однородном гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. В некосмических задачах гравитационное поле обычно может считаться постоянным в пределах объёма тела, поэтому на практике эти два центра почти совпадают.

По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (поскольку реального гравитационного поля нет, то и учёт его неоднородности не имеет смысла). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.

См. также[править | править код]

  • Классическая механика
  • Теоретическая механика
  • Теорема о движении центра масс системы
  • Неваляшка
  • Барицентр
  • Центроид треугольника

Примечания[править | править код]

  1. Тарг С. М.  Центр инерции (центр масс) // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1999. — Т. 5: Стробоскопические приборы — Яркость. — С. 624—625. — 692 с. — 20 000 экз. — ISBN 5-85270-101-7.
  2. G. Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milan, 1678
  3. Журавлёв, 2001, с. 66.
  4. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М.  Выпуск 2. Пространство. Время. Движение // Фейнмановские лекции по физике. — М.: Мир, 1965. — 164 с. — С. 68.
  5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.

Литература[править | править код]

  • Бобылёв Д. К. Центр, в физике // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  • Журавлёв В. Ф.  Основы теоретической механики. 2-е изд. — М.: Физматлит, 2001. — 320 с. — ISBN 5-94052-041-3..

Добавить комментарий