Содержание:
Центр тяжести:
При рассмотрении движения тел, особенно таких, как самолеты, ракеты, космические корабли, важное значение имеет понятие центра тяжести.
Определения и формулы для вычисления центров тяжести
Для введения понятия центра тяжести разобьем мысленно рассматриваемое тело на достаточно большое число малых по сравнению с телом или элементарных его частей произвольной формы. Силу тяжести элементарной частицы тела с индексом 
Радиус-вектор центра тяжести тела 
вычисляем как радиус-вектор центра параллельных сил (рис. 88) по формуле
где 
— радиус-вектор точки приложения силы тяжести элементарной части тела, принятой за точку; 
— сила тяжести элементарной частицы; 
— сила тяжести всего тела; 
— число частей, на которое мысленно разбито все тело. Центр тяжести является точкой приложения равнодействующей силы тяжести, если силы тяжести отдельных его частей считать системой параллельных сил.
Рис. 88
Если в (1) перейти к пределу, увеличивая число элементарных частей до бесконечности, то после замены дифференциалом 
, а суммы — интегралом получим
где 
— радиус-вектор элементарной части тела, принятой за точку. В проекциях на оси координат из (1) и (1′) получаем:
где 
— координаты центра тяжести; 
— координаты точки приложения силы тяжести 
.
Используя понятие центра тяжести тела, введем понятие его центра масс. Силы тяжести элементарных частей тела и всего тела можно выразить через их массы 
и 
и ускорение силы тяжести 
с помощью формул
Подставляя эти значения сил тяжести в (1) и (1′) после сокращения на , которое принимаем одинаковым для всех частей тела, имеем
и соответственно
По формулам (2) и (2′) определяют радиус-вектор центра масс тела. Центр масс обычно определяют независимо от центра тяжести как геометрическую точку, радиус-вектор, которой вычисляется по формулам (2) или (2′). В проекциях на оси координат из (2) и (2′) получаем:
и
где 
— координаты центра масс тела.
Для однородного тела силу тяжести элементарной частицы тела и ее массу можно вычислить по формулам
где 
— объем элементарной частицы тела; 
и 
— соответственно удельный вес и плотность тела. Сила тяжести и масса всего тела
где 
— объем тела. Подставляя эти значения в (2) и (2′), после сокращения на и соответственно получим формулы
по которым определяют центр тяжести объема тела.
Если тело имеет форму поверхности, т. е. один из размеров мал по сравнению с двумя другими, как, например, у тонкого листа железа, то имеем
где 
— удельный вес; 
— площадь элементарной частицы поверхности; 
— площадь всей поверхности. После сокращения на 
для однородной поверхности получим следующие формулы для определения центра тяжести ее площади:
Для однородных тел типа проволоки, у которых два размера малы по сравнению с третьим, можно определить радиус-вектор центра тяжести длины линии по формулам
где 
— длина элемента линии; 
—общая длина линии, центр тяжести которой определяется.
Методы определения центров тяжести (Центров масс)
Метод симметрии
При определении центров тяжести широко используется симметрия тел. Докажем, что для однородного тела, имеющего плоскость симметрии, центр тяжести находится в плоскости симметрии. Для доказательства выберем начало координат в плоскости симметрии тела и одну из осей координат, ось 
направим перпендикулярно плоскости симметрии, а две других оси расположатся в плоскости симметрии (рис. 89). Каждая частица массой 
, находясь по одну сторону плоскости симметрии, имеет симметричную частицу такой же массы по другую сторону этой плоскости. Координаты 
у симметричных частиц одинаковы при сделанном выборе осей координат, а координаты по оси 
отличаются только знаком. Для координаты центра масс 
имеем следующее выражение:
Разбивая сумму в числителе на две по симметричным частям тела, получаем, что
так как симметричные части тела 1 и 2 одинаковы.
Таким образом, центр масс расположен в плоскости симметрии и для его определения достаточно вычислить только две его координаты 
и 
в этой плоскости.
Аналогично доказывается, что для однородного тела, имеющего ось или центр симметрии, центр масс находится соответственно на оси симметрии или в центре симметрии.
Рис. 89
Метод разбиения на части (метод группировки)
Некоторые тела сложной формы можно разбить на части, центры тяжести которых известны или предварительно могут быть определены. В таких случаях центры тяжести сложных тел вычисляются по общим формулам, определяющим центр тяжести, только вместо элементарных частиц тела берутся его конечные части, на которые оно разбито. Покажем это на частном примере плоской фигуры, изображенной на рис. 90. Плоскую фигуру можно разбить на три части, центры тяжести которых 
, 
и 
известны. Они находятся на пересечении диагоналей прямоугольников. Их радиусы-векторы обозначим 
и площади 
. Общая площадь сложной фигуры будет 
.
Используя определение центра тяжести и производя группировку слагаемых под знаком суммы по частям фигуры, на которые она разбита, получим
Радиусы-векторы центров тяжести частей тела выразятся в такой форме:
или
Используя эти формулы для радиуса-вектора всей фигуры, имеем
Полученная формула имеет ту же структуру, что и формула, определяющая радиус-вектор центра тяжести тела при разбиении его на элементарные частицы, только в нее входят величины для конечных частей тела.
Рис. 90
Метод отрицательных масс
Видоизменением метода разбиения на части является метод отрицательных масс. Проиллюстрируем его тоже на примере плоской фигуры (рис. 91). Для определения центра тяжести этой фигуры ее можно разбить на три части. Можно поступить по-другому. Для этого дополним нашу фигуру до прямоугольника и примем, что этот прямоугольник с площадью 
и центром масс 
полностью заполнен массой (имеет положительную площадь). На той части фигуры, которую добавили, следует распределить отрицательную массу (отрицательную площадь) той же плотности. Площадь этой фигуры с отрицательной массой обозначим 
, а ее центр масс — 
. Применяя метод разбиения на части, радиус-вектор заданной фигуры определим по формуле
В отличие от обычного метода разбиения на части в формуле (4) массы и, следовательно, площади входят со знаком минус.
Метод отрицательных масс особенно удобен при вычислении положения центров тяжести тел, имеющих отверстия.
Рис. 91
Центры тяжести простейших тел
Для определения центров тяжести тел сложной формы методом разбиения на части или методом отрицательных масс необходимо уметь вычислять центры тяжести простейших тел, на которые разбивается тело сложной формы. Рассмотрим некоторые из тел, для определения центров тяжести которых известны простые способы их нахождения или вычисления по формулам.
Прямолинейный отрезок
Центр тяжести прямолинейного однородного отрезка располагается на его середине, а неоднородного— на самом отрезке и не может находиться вне отрезка.
Площадь треугольника
Для определения центра тяжести площади треугольника разобьем его прямыми линиями, параллельными одной из его сторон 
, на полоски, которые в пределе можно принять за прямолинейные отрезки (рис. 92). Центры тяжести отрезков и, следовательно, полосок находятся посередине полоски. Все они расположатся на медиане 
. В пределе центры тяжести полосок непрерывно покроют медиану, но не равномерно, так как площади полосок разные. В каждом центре масс полоски следует считать сосредоточенной массу или площадь этой полоски, пропорциональную длине полоски, если ширину полосок выбирать одинаковой.
Затем разобьем треугольник на полоски прямыми линиями, параллельными другой стороне 
треугольника. Центры их тяжести в пределе покроют неравномерно медиану 
. Центры тяжести неоднородных прямолинейных отрезков и 
должны располагаться на этих отрезках, а следовательно, в точке их пересечения 
, являющейся точкой пересечения медиан треугольника. Эта точка делит медианы в отношении 1 к 2, т. е. если длина медианы равна 
, то 
, 
.
Рис. 92
Дуга окружности
Дуга окружности определяется радиусом 
и стягиваемым ею центральным углом 
(рис. 93). Она имеет ось симметрии, делящую угол пополам. Центр тяжести находится на оси симметрии дуги, которую примем за ось координат 
. Координату центра тяжести дуги вычисляем по формуле
Рис. 93
В рассматриваемом случае
Подставляя эти значения в формулу для 
, получим
Таким образом,
Для полуокружности 
. Приняв 
, получим:
Площадь кругового сектора
Центр тяжести площади кругового сектора с радиусом 
и центральным углом 
находится на оси симметрии, принимаемой за ось 
(рис. 94). Разобьем сектор на элементарные треугольники одинаковой величины. Центры тяжести треугольников в пределе при увеличении их числа до бесконечности равномерно покроют дугу окружности радиусом 
.
Рис. 94
Используя формулу для центра тяжести дуги окружности, получим
или
Для площади полукруга 
, 
. При 
получим
Объем пирамиды и конуса
Определим положение центра тяжести объема конуса (рис. 95). Для простоты рассмотрим прямой конус, у которого высота является осью симметрии. Высотой конуса является отрезок, соединяющий его вершину 
с центром тяжести площади основания 
. Выберем начало координат в вершине конуса, а ось 
направим по оси симметрии конуса. Тогда центр тяжести объема конуса расположится на оси 
.
Разобьем конус плоскостями, перпендикулярными оси 
, на элементарные тонкие диски толщиной 
и площадью 
. Все полученные сечения (диски) конуса подобны его основанию. Координату 
центра тяжести объема конуса вычислим по формуле
Отношения линейных размеров сечений к соответствующим размерам основания конуса пропорциональны их расстояниям до вершины конуса. Отношения площадей пропорциональны квадратам расстояний. Приняв 
, получим
Учитывая, что
имеем
или
Таким образом, центр тяжести прямого конуса находится на расстоянии 
от вершины или 
от основания.
Рис. 95
Это справедливо для объема любого конуса и любой пирамиды, как прямых, так и наклонных, т. е. центр тяжести объема пирамиды или конуса находится на расстоянии 
расстояния от центра тяжести площади основания до вершины.
Объем полушара
Полушар имеет ось симметрии, которую примем за координатную ось 
(рис. 96). Разобьем объем полушара на элементарные диски толщиной dx и радиусом у, который является координатой точки окружности, которая получилась от пересечения полушара с координатной плоскостью 
. Уравнение этой окружности
где 
— радиус полушара. Для координаты центра тяжести объема полушара имеем
где 
— координата центра тяжести элементарного диска. Объем полушара
Объем элементарного диска
так как радиус диска 
. Выполняя интегрирование в пределах от 
до 
, получим
Таким образом, центр тяжести объема полушара находится от его центра на расстоянии
Это расстояние меньше половины радиуса полушара.
Рис. 96
Задача №1
Определить координаты центра тяжести площади плоской фигуры, имеющей размеры, указанные на рис. 97.
Рис.97
Рис. 98
Решение. Присоединим к заданной фигуре дополнительно полукруг 3 и разобьем полученную фигуру на прямоугольник 1 и треугольник 2. Получили три фигуры, две из которых имеют положительные площади (прямоугольник 1 и треугольник 2) и одна — отрицательную (полукруг 3). В выбранной системе координат для координат центра тяжести заданной фигуры имеем
где 
— координаты центров тяжести отдельных фигур; 
— площади этих фигур.
Вычислим площади и координаты центров тяжести отдельных фигур, учитывая рис. 98 Имеем:
так как 
.
Подставляя полученные значения в (а), получим:
Центр тяжести плоской фигуры
постановка задачи. Найти площадь и координаты центра тяжести плоской фигуры.
План решения:
1. Разбиваем фигуру на простые отдельные части, положение центров тяжести которых известны.
2. Выбираем систему координат. Вычисляем площади и координаты 
центров тяжести отдельных частей. Площади вырезанных частей берем со знаком минус.
3. Находим общую площадь фигуры по формуле 
4. Определяем координаты центра тяжести фигуры:
Задача №2
Найти площадь и координаты центра тяжести плоской фигуры. Криволинейный участок контура является половиной окружности с центром на оси Ох (рис. 74). Размеры на рисунке даны 
Решение
1. Разбиваем фигуру на простые отдельные части, положение центров тяжести которых известны.
Центр тяжести прямоугольника находится в его геометрическом центре, положение центра тяжести других фигур, встречающихся в задачах, изображено на рис. 75
Представляем фигуру в виде двух треугольников 1,2, прямоугольника 3 и выреза 4 в виде полукруга (рис. 76).
2. Вычисляем площадь (в 
) и координаты центра тяжести (в м) каждого элемента:
Площадь выреза берем со знаком минус.
3.Площадь фигуры 
4. Находим координаты центра тяжести всей фигуры:
Вычисления удобно свести в таблицу:
Сначала заполняем столбцы 
затем вычисляем статические моменты 
Внизу записываем суммы столбцов, необходимые для вычисления координат центра тяжести. Таким образом
Замечание 1. Большинство задач на определение центра тяжести допускает несколько способов разбиения фигуры. Это можно использовать для проверки решения. Второй вариант разбиения фигуры в данном примере состоит из прямоугольника 3 с размерами 
и вырезанных из него полукруга 4 и двух треугольников 1 и 2 (рис. 77).
Замечание 2. Решение задачи в системе Maple V методом контурного интегрирования.
- Заказать решение задач по теоретической механике
Пространственная стержневая система
Постановка Задачи. Найти координаты центра тяжести пространственной фигуры, состоящей из N однородных стержней.
План решения:
1. Разбиваем фигуру на отдельные стержни.
2. Выбираем систему координат. Вычисляем длины и координаты 
центров тяжести отдельных стержней. Координаты центра прямолинейного однородного стержня вычисляем как полусумму координат его концов.
3. Находим суммарную длину стержней системы 
4. Определяем координаты центра тяжести тела по формулам
Задача №3
Найти координаты центра тяжести пространственной фигуры, состоящей из шести однородных стержней (рис. 78). Даны размеры:
Решение
1. Разбиваем фигуру на шесть стержней.
2. Выбираем систему координат (рис. 78). Вычисляем длины и координаты 
центров тяжести отдельных стержней.
3. Находим суммарную длину стержней системы:
Промежуточные результаты удобно занести в таблицу:
4. Определяем координаты центра тяжести тела по формулам
Постановка задачи. Найти координаты центра тяжести однородного объемного тела.
План решения:
1. Разбиваем тело на простые части, положение центров тяжести которых известно.
2. Выбираем систему координат. Вычисляем объемы 
и координаты 
центров тяжести отдельных частей. Объемы вырезанных частей берем со знаком минус.
3. Находим общий объем тела по формуле 
4. Определяем координаты центра тяжести тела:
Задача №4
Найти координаты центра тяжести однородного объемного тела (рис.79);
Решение
1. Разбиваем тело на пирамиду 1, параллелепипед 2 и половину цилиндра 3 (рис. 80).
2. Выбираем систему координат. Вычисляем объемы 
и координаты 
центров тяжестей отдельных частей. Центр тяжести пирамиды 1 лежит в точке 
Центр тяжести параллелепипеда 2 совпадает с его геометрическим центром:
Объем половины цилиндра 3 берем со знаком минус:
где 
— расстояние по оси у от оси цилиндра до его центра тяжести 
.
3. Находим общий объем тела:
В общем случае объем тела, лежащего в области 
можно найти, вычисляя тройной интеграл по области 
а координаты центра тяжести, например, 
однородного тела можно определить по формуле 
см.
4. Определяем координаты центра тяжести тела:
Центр тяжести
Центр тяжести — точка, через которую проходит линия действия равнодействующей элементарных сил тяжести. Он обладает свойством центра параллельных сил. Поэтому формулы для определения положения центра тяжести различных тел имеют вид:
Если тело, центр тяжести которого нужно определить, можно отождествить с фигурой, составленной из линий (например, замкнутый или незамкнутый контур, изготовленный из проволоки, как на рис. 173), то вес 
каждого отрезка 
можно представить в виде произведения
где d — постоянный для всей фигуры вес единицы длины материала.
После подстановки в формулы (1) вместо 
их значений 
постоянный множитель d в каждом слагаемом числителя и знаменателя можно вынести за скобки (за знак суммы) и сократить. Таким образом, формулы для определения координат центра тяжести фигуры, составленной из отрезков линий, примут вид:
Если тело имеет вид фигуры, составленной из расположенных различным образом плоскостей или кривых поверхностей (рис. 174),
то вес каждой плоскости (поверхности) можно представить так:
где 
— площади каждой поверхности, ар — вес единицы площади фигуры.
После подстановки этого значения
в формулы (1) получаем формулы координат центра тяжести фигуры, составленной из площадей:
Если же однородное тело можно разделить на простые части определенной геометрической формы (рис. 175), то вес каждой части
где 
— объем каждой части, а у — вес единицы объема тела.
После подстановки значений 
в формулы (I) получаем формулы для определения координат центра тяжести тела, составленного из однородных объемов;
При решении некоторых задач на определение положения центра тяжести тел иногда необходимо знать, где расположен центр тяжести дуги окружности, кругового сектора или треугольника.
Если известен радиус дуги г и центральный угол 2а, стягиваемый дугой и выраженный в радианах, то положение центра тяжести С (рис. 176, а) относительно центра дуги О определится формулой
Если же задана хорда 
дуги, то в формуле (5) можно произвести замену
и тогда
В частном случае для полуокружности обе формулы примут вид (рис. 176, б)
Положение центра тяжести кругового сектора, если задан его радиус r (рис. 176, в), определяется при помощи формулы
Если же задана хорда сектора, то
В частном случае для полукруга обе последние формулы примут вид (рис. 176, г)
Центр тяжести площади любого треугольника расположен от любой стороны на расстоянии, равном одной трети соответствующей высоты.
У прямоугольного треугольника центр тяжести находится на пересечении перпендикуляров, восставленных к катетам из точек, расположенных на расстоянии одной трети длины катетов, считая от вершины прямого угла (рис. 177).
При решении задач на определение положения центра тяжести любого однородного тела, й составленного либо из тонких стержней (линий), либо из пластинок (площадей), либо из объемов, целесообразно придерживаться следующего порядка:
- выполнить рисунок тела, положение центра тяжести которого нужно определить. Так как все размеры тела обычно известны, при этом следует соблюдать масштаб;
- разбить тело на составные части (отрезки линий или площади, или объемы), положение центров тяжести которых определяется исходя из размеров тела;
- определить или длины, или площади, или объемы составных частей;
- выбрать расположение осей координат;
- определить координаты центров тяжести составных частей;
- найденные значения длин или площадей, или объемов отдельных частей, а также координат их центров тяжести подставить в соответствующие формулы и вычислить координаты центра тяжести всего тела;
- по найденным координатам указать на рисунке положение центра тяжести тела.
- Кинематика точки
- Плоское движение твердого тела
- Мгновенный центр скоростей
- Мгновенный центр ускорений
- Условия равновесия системы сил
- Плоская система сил
- Трение
- Пространственная система сил
Центр тяжести тела, теория и онлайн калькуляторы
Центр тяжести тела
Как известно, сила тяжести тела равна векторной сумме сил тяжести, которые действуют на все материальные точки, на которые можно разбить рассматриваемое тело. Точку, к которой приложена результирующая сила тяжести, называют центром тяжести. Если известно положение центра тяжести, то можно считать, что на тело действует только одна сила тяжести, приложенная к центру тяжести.
Следует учитывать, что силы тяжести, действующие на отдельные элементы тела, направлены к центру Земли и не являются строго параллельными. Но так как размеры большинства тел на Земле много меньше ее радиуса, поэтому эти силы считают параллельными.
Определение центра тяжести тела
Определение
Центром тяжести называют точку, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на материальные точки, на которые разбито рассматриваемое тело, при любом положении тела в пространстве.
Центр тяжести – это точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести равен нулю при любом положении тела.
От положения центра тяжести зависит устойчивость всех конструкций.
Как найти центр тяжести?
Для нахождения центра тяжести тела сложной формы необходимо мысленно разбить тело на части простой формы и определить место нахождения центров тяжести для них. У тел простой формы центр тяжести определяют, используя их симметрию. Так, центр тяжести однородных диска и шара расположен в их центре, однородного цилиндра в точке на середине его оси; однородного параллелепипеда на пересечении его диагоналей и т, д. У всех однородных тел центр тяжести совпадает с центром симметрии. Центр тяжести может находиться вне тела, например, у кольца.
Определив, где расположены центры тяжести отдельных частей тела, переходят к поиску места расположения центра тяжести тела в целом. Тело представляют в виде системы материальных точек. При этом каждая точка имеет массу своей части тела и располагается в ее центре тяжести.
Координаты центра тяжести тела
В трехмерном пространстве координаты центра тяжести для твердого тела нахояд как:
[left{ begin{array}{c}
x_c=frac{sumlimits_i{Delta m_ix_i}}{m};; \
y_c=frac{sumlimits_i{Delta m_iy_i}}{m};; \
z_c=frac{sumlimits_i{Delta m_iz_i}}{m} end{array}
right.left(1right),]
где $m$ – масса тела.$;;x_i$ – координата на оси X элементарной массы $Delta m_i$; $y_i$ – координата на оси Y элементарной массы $Delta m_i$; ; $z_i$ – координата на оси Z элементарной массы $Delta m_i$.
В векторной форме записи система уравнений (1) представляется как:
[{overline{r}}_c=frac{1}{m}sumlimits_i{m_i{overline{r}}_ileft(2right),}]
${overline{r}}_c$ – радиус – вектор, определяющий положение центра тяжести; ${overline{r}}_i$ – радиус-векторы, которые определяют положения элементарных масс.
Центр тяжести, центр масс и центр инерции тела
Считают, что центр тяжести тела совпадают с центром масс тела, если его размеры малы в сравнении с расстоянием до центра Земли. При этом формулы, которые определяют положение цента тяжести и центра масс тела совпадают с выражениями (1) и (2). В основной массе задач центр тяжести принимают совпадающим с центром масс тела.
Сила инерции в неинерциальных системах отсчета, движущихся поступательно, приложена к центру тяжести тела.
Но центробежная сила инерции (в общем случае) не приложена к центру тяжести, поскольку в неинерциальной системе отсчета на элементы тела действуют разные центробежные силы инерции (даже если массы элементов равны), так как расстояния до оси вращения разные.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание: Каковы координаты центра тяжести системы из трех точечных масс, расположенных в вершинах и одной в центре равностороннего треугольника, со стороной равной $a (м)$ (рис.1)?
Решение: Определение для координат $x_c и y_c$ центра тяжести в нашем случае запишем в виде:
[x_c=frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3+m_4x_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}(1.1);;]
[y_c=frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3+m_4y_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}(1.2).]
Из рис.1 мы видим, что соответствующие абсциссы точек равны:
[left{ begin{array}{c}
m_1=2m, x_1=0;; \
{rm }m_2=3m, x_2=frac{a}{2};; \
m_3=m, x_3=frac{a}{2};; \
m_4=4m, x_4=a. end{array}
right.left(1.3right).]
Тогда абсцисса центра тяжести получается равной:
[x_c=frac{2mcdot 0+3mcdot frac{a}{2}+mcdot frac{a}{2}+4mcdot a}{2m+3m+m+4m}=frac{6ma}{10m}=0,6a (м);]
Найдем ординаты точек.
[ begin{array}{c}
m_1=2m, y_1=0;; \
{rm }m_2=3m, y_2=frac{asqrt{3}}{2};; \
m_3=m, y_3=frac{asqrt{3}}{6};; \
m_4=4m, y_4=0. end{array}
left(1.4right).]
Для того чтобы найти ординату $y_2$ найдем, высоту в равностороннем треугольнике:
[h=sqrt{a^2-frac{a^2}{4}}=frac{asqrt{3}}{2}=y_2left(1.5right).]
Ординату $y_3$ найдем, учитывая, что медианы в равностороннем треугольнике точкой пересечения делятся в отношении 2:1 от вершины, имеем:
[y_3=hcdot frac{1}{3}=frac{asqrt{3}}{6} left(1.6right).]
Вычислим ординату центра тяжести:
[y_c=frac{2mcdot 0+3mcdot frac{asqrt{3}}{2}+mcdot frac{asqrt{3}}{6}+4mcdot 0}{2m+3m+m+4m}=frac{10mfrac{asqrt{3}}{6}}{10m}=frac{asqrt{3} }{6}(м).]
Ответ: $x_c=0,6a {rm }{rm м}$; $y_c=frac{asqrt{3} }{6}$ м
Пример 2
Задание: Каковы координаты центра тяжести системы из четырех элементарных масс, расположенных в вершинах куба со стороной равной $a$ (рис.2)?
Решение: Координату $x_c$ центра тяжести найдем как:
[x_c=frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3+m_4x_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=frac{mcdot a+2mcdot 0+3mcdot 0+4mcdot 0}{m+2m+3m+4m}=frac{am}{10m}=0,1 aleft(мright).]
Ординату центра тяжести вычислим как:
[y_c=frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3+m_4y_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=frac{mcdot 0+2mcdot 0+3mcdot a+4mcdot 0}{m+2m+3m+4m}=frac{acdot 3m}{10m}=0,3a left(мright).]
Для координаты $z_c$ получаем:
[z_c=frac{m_1z_1+m_2z_2+m_3z_3+m_4z_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=frac{mcdot 0+2mcdot a+3mcdot 0+4mcdot 0}{m+2m+3m+4m}=frac{acdot 2m}{10m}=0,2a left(мright).]
Ответ: ($x_{c, }y_c, z_c$)=($ 0,1 a$, $0,3a$, $0,2a$)(м)
Читать дальше: циклическая частота колебаний.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
И. В. Богомаз. Механика
Рис. 5.7
Центр тяжести полукруга yC = 43Rπ .
Метод разбиения на части. Некоторые тела сложной формы можно разбить на части, положение центра тяжести которых известно. В таких случаях центр тяжести составного тела вычисляют по формуле
|
n |
n |
|||
|
∑Ai xi |
∑Ai yi |
|||
|
x = |
i=1 |
, y = |
i=1 |
. |
|
C |
A |
C |
A |
|
Здесь A = ∑Ai – площадь сечения; xi, yi – центр тяжести i-го сечения; Ai – площадь i-го сечения.
Пример 5.1. Вычислить координаты центра тяжести однородного сечения, составленного из двух прямоугольников (рис. 5.8). Размеры прямоугольников показаны на рис. 5.8 в см.
Решение. Разбиваем сечение на два прямоугольника (линии разреза показаны пунктиром) и проводим оси координат (рис. 5.8).
Вычислим координаты центров тяжести и площадь каждого из прямоугольников:
|
x =1cм, |
x = 4 см, |
|||
|
1 |
2 |
|||
|
y1 = 4 см, |
y2 = 9 см, |
|||
|
А = 2 8 =16cм2 |
; |
А =8 2 =16см2. |
||
|
1 |
2 |
112
5. Центр тяжести
Рис. 5.8
Площадь всего сечения
|
3 |
|||||||
|
А= ∑Аk = А1 + А2 =16 +16 = 32 см2. |
|||||||
|
Тогда |
k=1 |
||||||
|
x1 A1 + x2 A2 |
= 1 16 + 4 16 = 80 = 2,5см; |
||||||
|
x |
= |
||||||
|
С |
A |
32 |
32 |
||||
|
y |
= |
y1 A1 + y2 A2 |
= 4 16 +9 16 = 64 +144 = 6,5см. |
||||
|
С |
A |
32 |
32 |
||||
Положение центра тяжести совпадает с точкой С {2,5; 6,5}
(рис. 5.7).
Метод отрицательных площадей. В данном методе вырезан-
ные сечения заменяют отрицательными площадями. Проиллюстрируем этот метод на примере сечения.
Пример 5.2. Задано сечение (рис. 5.9, а). Дано: R = 6 см. Вычислить центр тяжести сечения.
Решение. Разобьем сечение на простые фигуры: дополним квадрат – сечение 1, полукруг – сечение 2 и четверть круга – сечение 3 (рис. 5.9, б). За вспомогательную систему координат выберем стороны квадрата: Oxy. Вычислим площадь и координаты центров тяжести каждого сечения.
113
И. В. Богомаз. Механика
Рис. 5.9
Имеем (рис. 5.10) 1. Квадрат:
A1 = 2R 2R = 4R2 = 4 62 = 4 36 =144 см2;
x1 = R = 6 см; y1 = R = 6 см.
2. Полукруг:
A2 = πR2 2 = 3,142 62 = 56,52 см2;
x2 = 2R + 43Rπ = 2 6 + 343,146 =12 + 2,55 =14,55см;
y2 = R = 6 см.
3. Четверть круга:
A3 = − πR4 2 = −3,144 62 = −28,26 см2; xC = yC = 43Rπ = 3 43.146 = 2,6 см.
114
5. Центр тяжести
Рис. 5.10
|
Итак, |
|||||
|
x |
= x1 A1 + x2 A2 + x3 A3 |
= 6 144 +14,55 56,52 −2,6 28,26 = |
|||
|
С |
A1 + A2 + A3 |
144 |
+56,52 −28,26 |
||
|
= 864 +822,37 −73,5 |
= 9, 4см; |
||||
|
172, 26 |
|||||
|
y |
= y1 A1 + y2 A2 + y3 A3 = 6 144 +6 56,52 −2,6 28,26 = |
||||
|
С |
A1 + A2 + A3 |
144 |
+56,52 −28,26 |
||
|
= 864 +339,12 −73,5 |
= 6,6см. |
||||
|
172, 26 |
Положение центра тяжести совпадает с точкой С {9,4; 6,6}
(рис. 5.11).
Статические моменты. Статические моменты сечения Sx и Sy определим, как сумму произведений элементарных площадей dAi на кратчайшее расстояния до осей Ox, Oy соответственно (рис. 5.11), т. е.
S x = ∑Ai yi → Sx = ∫y dA, Sy = ∑Ai xi → Sy = ∫x dA.
A A
115
И. В. Богомаз. Механика
Рис. 5.11
Статические моменты имеют размерность см3 или м3.
При параллельном переносе осей (Oxy → O1x1 y1 ) значения ста-
тических моментов изменяются и могут иметь как положительное, так и отрицательное значение. Следовательно, существует ось, относительно которой статический момент равен нулю.
Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Точка пересечения центральных осей совпадает с точкой центра тяжести сечения.
Координаты центра тяжести тела через статические моменты будут вычисляться следующим образом:
|
x |
= |
Sy |
= ∑Ai xi →, |
y |
= |
Sx |
= ∑Ai yi . |
|
C |
A A |
C |
A |
A |
|||
Пример 5.3. Для заданного несимметричного поперечного сечения, составленного из швеллера № 20 и неравнополочного уголка № 10/6,5 (рис. 5.12), найти положение центральных осей.
Рис. 5.12
116
I – момент инерции;
5. Центр тяжести
Решение. Из сортамента выберем геометрические характеристики швеллера № 20 и неравнополочного уголка № 10/6,5 (табл. 5.1) и построим чертеж в масштабе (рис. 5.13).
Таблица 5.1
Сталь горячекатаная. Швеллеры. Сортамент (ГОСТ 8240–89)
|
I – момент инерции; |
||||||||
|
h – высота швеллера; |
z0 – расстояние от оси y до на- |
|||||||
|
b – ширина полки |
ружной грани стенки; |
|||||||
|
А – площадь поперечного сече- |
||||||||
|
ния |
||||||||
|
Номер |
Размеры, |
|||||||
|
швел- |
мм |
А, см2 |
Ix, см4 |
Iy, см4 |
x0, см |
|||
|
лера |
h |
b |
||||||
|
20 |
200 |
76 |
23,4 |
1530 |
134 |
2,3 |
Уголки стальные горячекатаные неравнополочные. Сортамент (ГОСТ 8510–86)
В – ширина
большей полки; z0 – расстояние от оси y до наружной b – ширина грани стенки;
меньшей полки А – площадь поперечного сечения
|
Но- |
Разме- |
|||||||
|
мер |
ры, мм |
А, см2 |
Ix, см4 |
Iy, см4 |
Ixy, см4 |
x0, см |
||
|
угол- |
В |
b |
||||||
|
ка |
||||||||
|
10/6,5 |
200 |
65 |
15,67 |
155,52 |
51,68 |
51,18 |
2,3 |
Для вычисления положения центра тяжести заданного сечения за вспомогательные оси примем центральные оси швеллера C1x1y1
(рис. 5.13).
Вычислим координаты центра тяжести сечения осей C1x1y1:
|
y |
= ∑Sxi |
= |
S1x1 |
+ S2x1 |
= |
А1 уС1 + А2 уС2 |
= |
0 +15,67 6,63 |
= 2,66; |
||||||||
|
A1 |
+ A2 |
А1 + А2 |
23,4 +15,67 |
||||||||||||||
|
C |
∑Ai |
||||||||||||||||
|
х |
= |
∑Sуi = |
S1у1 + S2 у1 |
= |
А1 хС1 + А2 хС2 |
= |
0 +15,67 (−3,94) |
= −1,58. |
|||||||||
|
23,4 +15,67 |
|||||||||||||||||
|
C |
∑Ai |
A1 + A2 |
А1 + А2 |
117
И. В. Богомаз. Механика
Рис. 5.13
Откладываем на схеме координаты точки центра тяжести сечения С{xC , yC }. Координаты центра тяжести сечения «легли» на отре-
зок С1С2, соединяющий центры тяжести частей (профилей), составляющих заданное сечение. Проверим правильность расчета. Соотношение отрезков должно быть равно соотношению площадей. Измеряем отрезки С1С и С2С, уточняем правильность соотношения
A2 = C1C →15,67 = C1C = 0,67.
A1 C2C 23,4 C2C
Проводим центра центральные оси CxCyC (рис. 5.13).
118
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
В этой статье посмотрим, как определяются координаты центра тяжести сложной фигуры — состоящей из простых. В задачах по сопромату часто приходится находить положение центра тяжести составных сечений, для дальнейшего вычисления моментов инерции и т. д.
Также часто, при изучении теоретической механики, студентам предлагается решить подобную задачу, и найти центр тяжести какой-нибудь фигуры.
Условие задачи
Предлагаю рассмотреть следующую фигуру:
В сопромате принято заштриховывать сечения тонкими линиями, вот так:
В своих же уроках я буду использовать заливку. Так, штриховка не будет мешать наносить обозначения.
Разбивка сложной фигуры на простые
Как видишь, сечение состоит из прямоугольника, прямоугольного треугольника, четверти круга, а также имеет круглый вырез:
Отметим центры тяжести (С1, С2, С3, С4) каждой отдельной фигуры, с учётом справочной информации.
Открой эту страничку, и пока не закрывай, она нам ещё понадобится!
Покажем вспомогательные оси (x0, y0) для всего сечения, которые будем использовать для нахождения положения центра тяжести (C):
Как определить положение центра тяжести?
Чтобы определить координату центра тяжести сечения, например, вертикальное расстояние от оси x0 до центра тяжести сечения (yc):
Нужно статический момент сечения относительно этой вспомогательной оси (x0) разделить на площадь всего сечения (A):
Площадь всего сечения (A) найти просто – это алгебраическая сумма площадей всех фигур:
Статический момент сечения, относительно вспомогательной оси будет равен алгебраической сумме статических моментов каждой фигуры (с учётом знака):
где Ai – площадь отдельной фигуры;
yi – расстояние от центра тяжести отдельной фигуры до вспомогательной оси (x0).
Координата центра тяжести (xc), находится аналогично:
Определение площади сечения
Для начала предлагаю сделать самое простое, используя формулы, указанные на этой странице, найти площадь всего сечения (A):
Как видишь, круглый вырез, нужно учесть с «минусом», что очевидно.
Определение расстояний от вспомогательных осей до центров тяжести отдельных фигур
Найдём расстояния от вспомогательных осей (x0, y0) до центров тяжести отдельных фигур, опять же, используя нашу шпаргалку:
Определение статических моментов
Определяем статические моменты сечения относительно вспомогательных осей (x0, y0):
Важно! Статические моменты могут быть и отрицательными.
Определение координат центра тяжести
И, наконец, определяем положение центра тяжести всего сечения (C):
Покажем центр тяжести всего сечения (C):
Если остались какие-то вопросы по данному уроку, можешь смело задавать их в комментариях. Также, другие уроки, на сайте – ssopromat.ru, по определению геометрических характеристик, можешь найти здесь.
