Как найти координаты фокуса параболы по уравнению

Координаты фокуса параболы: как найти, формула

Содержание:

• Формулировка параболы в алгебре и геометрии
• Что такое фокус параболы, определение
• Как найти фокус параболы
  • Уравнение расчета
  • Чему равны координаты фокуса
• Абсцисса фокуса параболы
• Примеры расчета фокусного расстояния в задачах

Формулировка параболы в алгебре и геометрии

Определение

Парабола — совокупность точек на плоскости, расположенных на одинаковом удалении от фокуса F и директрисы d, в которую точка F не входит.

Парабола является коническим сечением, или коникой. Это значит, что она возникает при пересечении плоскости с поверхностью кругового конуса. Плоскость сечения при этом параллельна одной из касательных плоскостей конуса.

Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной. Она считается началом системы координат, канонической для данной кривой.

Что такое фокус параболы, определение

Определение

Расстояние от точки фокуса до любой точки параболы равняется расстоянию от этой точки к директрисе.

Если в фокус поместить источник света, все исходящие из него световые лучи после отражения от нее пойдут по прямым, параллельным оси симметрии. И наоборот, все световые лучи, идущие параллельно оси, после отражения от «стенок» кривой соберутся в одной точке. Это оптическое свойство широко применяется в конструкциях прожекторов, фар, фонарей, телескопов-рефлекторов.

Как найти фокус параболы

Уравнение расчета

Каноническое уравнение:

(y^2;=;2px)

Если расположить параболу слева от оси ординат, уравнение примет вид:

(y^2;=;-;2px)

Параметр p — расстояние от фокуса до директрисы, которая определяется уравнением:

(х;=;-frac p2)

Чтобы узнать расстояние r от любой точки параболы до фокуса, равное ее расстоянию до директрисы, нужно воспользоваться формулой:

(r;=;frac p2;+;x)

В полярной системе координат с центром в фокусе и направлением вдоль оси фокальный параметр можно найти по формуле:

(p;=;rho;times;(1;+;cosleft(varthetaright)))

Чему равны координаты фокуса

Фокус будет иметь координаты ((frac p2;;0)).

Абсцисса фокуса параболы

Также фокус и параметр p можно искать через так называемую фокальную хорду (Р_1Р_2).

Эта прямая, проходящая через фокус и параллельная директрисе, пересекает параболу в двух точках. Половина длины фокальной хорды будет равна параметру p, являясь абсолютной величиной ординаты любой из точек (Р_1, Р_2).

Абсцисса каждой из этих точек будет равна абсциссе фокуса (frac p2).

Для ординаты y каждой из точек (Р_1, Р_2):

(y^{2;}=;2p;times;frac p2;=;p^2).

Примеры расчета фокусного расстояния в задачах

Пример 1

Определить координаты фокуса параболы (y^{2;}=;4х).

Решение

Находим параметр p:

4 = 2p

p = 2

Координаты (1; 0).

Пример 2

Определить координаты фокуса параболы (y^{2;}=;6х).

Решение

Находим параметр p:

6 = 2p

p = 3

Координаты (1,5; 0).

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Парабола: формулы, примеры решения задач

Определение параболы. Параболой называется множество всех точек плоскости, таких, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Каноническое уравнение параболы имеет вид:

,

где число p, называемое параметром параболы, есть расстояние от фокуса до директрисы.

На чертеже линия параболы – бордового цвета, директриса – ярко-красного цвета, расстояния от точки до фокуса и директрисы – оранжевого.

В математическом анализе принята другая запись уравнения параболы:

то есть ось параболы выбрана за ось координат. Можно заметить, что ax² – это квадратный трёхчлен ax² + bx + c , в котором b = 0 и c = 0 . График любого квадратного трёхчлена, то есть левой части квадратного уравнения, будет параболой.

Фокус параболы имеет координаты

Директриса параболы определяется уравнением .

Расстояние r от любой точки параболы до фокуса определяется формулой .

Для каждой из точек параболы расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.

Пример 1. Определить координаты фокуса параболы

Решение. Число p расстояние от фокуса параболы до её директрисы. Начало координат в данном случае – в роли любой точки, расстояния от которой от фокуса до директрисы равны. Находим p:

Находим координаты фокуса параболы:

Пример 2. Составить уравнение директрисы параболы

Решение. Находим p:

Получаем уравнение директрисы параболы:

Пример 3. Составить уравнение параболы, если расстояние от фокуса до директрисы равно 2.

Решение. Параметр p – это и есть данное расстояние от фокуса до директрисы. Подставляем и получаем:

Траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча или артиллерийского снаряда будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). Зона достижимости для пущенных камней вновь будет параболой. В данном случае речь идёт об огибающей кривой траекторий камней, выпущенных из данной точки под разными углами, но с одной и той же начальной скоростью.

Парабола обладает следующим оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно её оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которых имеют вид параболоидов вращения (фигур, получающихся при вращении параболы вокруг оси). Пучок параллельных лучей, двигающийся вдоль оси параболы, отражаясь, собирается в её фокусе.

Парабола

Парабола, её форма, фокус и директриса.

Параболой называется линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
y^<2>=2pxlabel
$$
при условии (p > 0).

Из уравнения eqref вытекает, что для всех точек параболы (x geq 0). Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Форма параболы известна из курса средней школы, где она встречается в качестве графика функции (y=ax^<2>). Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством (2p=a^<-1>).

Фокусом параболы называется точка (F) с координатами ((p/2, 0)) в канонической системе координат.

Директрисой параболы называется прямая с уравнением (x=-p/2) в канонической системе координат ((PQ) на рис. 8.11).

Рис. 8.11. Парабола.

Свойства параболы.

Расстояние от точки (M(x, y)), лежащей на параболе, до фокуса равно
$$
r=x+frac

<2>.label
$$

Вычислим квадрат расстояния от точки (M(x, y)) до фокуса по координатам этих точек: (r^<2>=(x-p/2)^<2>+y^<2>) и подставим сюда (y^<2>) из канонического уравнения параболы. Мы получаем
$$
r^<2>=left(x-frac

<2>right)^<2>+2px=left(x+frac

<2>right)^<2>.nonumber
$$
Отсюда в силу (x geq 0) следует равенство eqref.

Заметим, что расстояние от точки (M) до директрисы также равно
$$
d=x+frac

<2>.nonumber
$$

Следовательно, мы можем сделать следующий вывод.

Для того чтобы точка (M) лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директрисы этой параболы.

Докажем достаточность. Пусть точка (M(x, y)) одинаково удалена от фокуса и от директрисы параболы:
$$
sqrt<left(x-frac

<2>right)^<2>+y^<2>>=x+frac

<2>.nonumber
$$

Возводя это уравнение в квадрат и приводя в нем подобные члены, мы получаем из него уравнение параболы eqref. Это заканчивает доказательство.

Параболе приписывается эксцентриситет (varepsilon=1). В силу этого соглашения формула
$$
frac=varepsilonnonumber
$$
верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы.

Уравнение касательной к параболе.

Выведем уравнение касательной к параболе в точке (M_<0>(x_<0>, y_<0>)), лежащей на ней. Пусть (y_ <0>neq 0). Через точку (M_<0>) проходит график функции (y=f(x)), целиком лежащий на параболе. (Это (y=sqrt<2px>) или же (y=-sqrt<2px>), смотря по знаку (y_<0>).) Для функции (f(x)) выполнено тождество ((f(x))^<2>=2px), дифференцируя которое имеем (2f(x)f'(x)=2p). Подставляя (x=x_<0>) и (f(x_<0>)=y_<0>), находим (f'(x_<0>)=p/y_<0>) Теперь мы можем написать уравнение касательной к параболе
$$
y-y_<0>=frac

>(x-x_<0>).nonumber
$$
Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним, что (y_<0>^<2>=2px_<0>). Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид
$$
yy_<0>=p(x+x_<0>).label
$$

Заметим, что для вершины параболы, которую мы исключили, положив (y_ <0>neq 0), уравнение eqref превращается в уравнение (x=0), то есть в уравнение касательной в вершине. Поэтому уравнение eqref справедливо для любой точки на параболе.

Касательная к параболе в точке (M_<0>) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезком, который соединяет (M_<0>) с фокусом, и лучом., выходящим из этой точки в направлении оси параболы (рис. 8.12).

Рассмотрим касательную в точке (M_<0>(x_<0>, y_<0>)). Из уравнения eqref получаем ее направляющий вектор (boldsymbol(y_<0>, p)). Значит, ((boldsymbol, boldsymbol_<1>)=y_<0>) и (cos varphi_<1>=y_<0>/boldsymbol). Вектор (overrightarrow>) имеет компоненты (x_<0>=p/2) и (y_<0>), а потому
$$
(overrightarrow>, boldsymbol)=x_<0>y_<0>-frac

<2>y_<0>+py_<0>=y_<0>(x_<0>+frac

<2>).nonumber
$$
Но (|overrightarrow>|=x_<0>+p/2). Следовательно, (cos varphi_<2>=y_<0>/|boldsymbol|). Утверждение доказано.

Заметим, что (|FN|=|FM_<0>|) (см. рис. 8.12).

Парабола свойства и график квадратичной функции

Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.

Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.

Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.

Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.

Что такое парабола и как она выглядит

Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.

Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:

1. Любая прямая пересекает на плоскости искомую линию в 2-х точках – так называемые, «нули» (кроме основного экстремума графика).
2. Множество точек плоскости ХОY (М), расстояние FM которых до F = расстоянию MN до прямой Где F – фокус, AN – директриса. Эти понятия рассмотрим ниже.

Каноническое уравнение параболы

На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.

Каноническое уравнение имеет вид:

где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).

В алгебре оно запишется иначе:

y = a x2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x2).

Свойства и график квадратичной функции

Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.

Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.

Как определить, куда направлены ветви параболы

Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.

Как найти вершину параболы по формуле

Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.

Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.

Формулы нахождения вершины:

Пример.

Имеется функция у = 4 * x2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.

Для такой линии:

• х = -16 / (2 * 4) = -2,
• y = 4 * 4 — 16 * 2 — 25 = 16 — 32 — 25 = -41.

Получаем координаты вершины (-2, -41).

Смещение параболы

Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0, 0).

Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.

Пример.

Имеем: b = 2, c = 3.

Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 по оси ординат.

Как строить параболу по квадратному уравнению

Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.

Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:

1. Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.
2. Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.

Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:

Для этого нужно приравнять выражение к нулю.

Наличие корней параболы зависит от результата:

• D ˃ 0, то х1, 2 = (-b ± D0,5) / (2 * a),
• D = 0, то х1, 2 = -b / (2 * a),
• D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.

Получаем алгоритм построения параболы:

• определить направление ветвей,
• найти координаты вершины,
• найти пересечение с осью ординат,
• найти пересечение с осью абсцисс.

Пример 1.

Дана функция у = х2 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

1. а = 1, следовательно, ветви направлены вверх,
2. координаты экстремума: х = (-5) / 2 = 5/2, y = (5/2)2 — 5 * (5/2) + 4 = -15/4,
3. с осью ординат пересекается в значении у = 4,
4. найдем дискриминант: D = 25 — 16 = 9,
5. ищем корни:

• Х1 = (5 + 3) / 2 = 4, (4, 0),
• Х2 = (5 — 3) / 2 = 1, (1, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Пример 2.

Для функции у = 3 * х2 2 * х 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:

1. а = 3, следовательно, ветви направлены вверх,
2. координаты экстремума: х = (-2) / 2 * 3 = 1/3, y = 3 * (1/3)2 — 2 * (1/3) — 1 = -4/3,
3. с осью у будет пересекаться в значении у = -1,
4. найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:

• Х1 = (2 + 4) / 6 = 1, (1,0),
• Х2 = (2 — 4) / 6 = -1/3, (-1/3, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).

Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.

Эксцентриситет (константа) = 1.

Заключение

Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.

[spoiler title=”источники:”]

http://univerlib.com/analytic_geometry/second_order_lines_and_surfaces/parabola/

http://tvercult.ru/nauka/parabola-svoystva-i-grafik-kvadratichnoy-funktsii

[/spoiler]

1. Парабола, её форма, фокус и директриса.

   Начать изучение
   

2. Свойства параболы.

   Начать изучение
   

3. Уравнение касательной к параболе.

   Начать изучение
   

Парабола, её форма, фокус и директриса.

Из уравнения eqref{ref15} вытекает, что для всех точек параболы (x geq 0). Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Форма параболы известна из курса средней школы, где она встречается в качестве графика функции (y=ax^{2}). Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством (2p=a^{-1}).

Фокусом параболы называется точка (F) с координатами ((p/2, 0)) в канонической системе координат.

Директрисой параболы называется прямая с уравнением (x=-p/2) в канонической системе координат ((PQ) на рис. 8.11).

---

Свойства параболы.

Заметим, что расстояние от точки (M) до директрисы также равно
$$
d=x+frac{p}{2}.nonumber
$$

Следовательно, мы можем сделать следующий вывод.

Параболе приписывается эксцентриситет (varepsilon=1). В силу этого соглашения формула
$$
frac{r}{d}=varepsilonnonumber
$$
верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы.

---

Уравнение касательной к параболе.

Выведем уравнение касательной к параболе в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})), лежащей на ней. Пусть (y_{0} neq 0). Через точку (M_{0}) проходит график функции (y=f(x)), целиком лежащий на параболе. (Это (y=sqrt{2px}) или же (y=-sqrt{2px}), смотря по знаку (y_{0}).) Для функции (f(x)) выполнено тождество ((f(x))^{2}=2px), дифференцируя которое имеем (2f(x)f'(x)=2p). Подставляя (x=x_{0}) и (f(x_{0})=y_{0}), находим (f'(x_{0})=p/y_{0}) Теперь мы можем написать уравнение касательной к параболе
$$
y-y_{0}=frac{p}{y_{0}}(x-x_{0}).nonumber
$$
Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним, что (y_{0}^{2}=2px_{0}). Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид
$$
yy_{0}=p(x+x_{0}).label{ref17}
$$

Заметим, что для вершины параболы, которую мы исключили, положив (y_{0} neq 0), уравнение eqref{ref17} превращается в уравнение (x=0), то есть в уравнение касательной в вершине. Поэтому уравнение eqref{ref17} справедливо для любой точки на параболе.

Заметим, что (|FN|=|FM_{0}|) (см. рис. 8.12).

Как найти фокус на параболе

В алгебре парабола — прежде всего график квадратного трехчлена. Однако существует и геометрическое определение параболы, как совокупности всех точек, расстояние которых от некоторой данной точки (фокуса параболы) равно расстоянию до данной прямой (директрисы параболы). Если парабола задана уравнением, то нужно уметь вычислить координаты ее фокуса.

Инструкция

Идя от обратного, предположим, что парабола задана геометрически, то есть известны ее фокус и директриса. Для простоты расчетов установим систему координат так, чтобы директриса была параллельна оси ординат, фокус лежал на оси абсцисс, а сама ось ординат проходила точно посередине между фокусом и директрисой. Тогда вершина параболы будет совпадать с началом координат.Иными словами, если расстояние между фокусом и директрисой обозначить p, то координаты фокуса будут равны (p/2, 0), а уравнение директрисы — x = -p/2.

Расстояние от любой точки (x, y) до точки фокуса будет равно, по формуле расстояния между точками, √(x – p/2)^2 + y^2). Расстояние от этой же точки до директрисы, соответственно, будет равняться x + p/2.

Приравнивая друг другу эти два расстояния, вы получите уравнение: √(x – p/2)^2 + y^2) = x + p/2.Возводя обе части уравнения в квадрат и раскрывая скобки, вы получите: x^2 – px + (p^2)/4 + y^2 = x^2 + px + (p^2)/4.Упростив выражение, вы придете к окончательной формулировке уравнения параболы: y^2 = 2px.

Из этого видно, что если уравнение параболы можно привести к виду y^2 = kx, то координаты ее фокуса будут равны (k/4, 0). Поменяв переменные местами, вы придете к алгебраическому уравнению параболы y = (1/k)*x^2. Координаты фокуса этой параболы равны (0, k/4).

Парабола, служащая графиком квадратного трехчлена, обычно задается уравнением y = Ax^2 + Bx + C, где A, B, и C — константы. Ось такой параболы параллельна оси ординат.Производная квадратичной функции, заданной трехчленом Ax^2 + Bx + C, равна 2Ax + B. Она обращается в ноль при x = -B/2A. Таким образом, координаты вершины параболы равны (-B/2A, – B^2/(4A) + C).

Такая парабола полностью эквивалентна параболе, заданной уравнением y = Ax^2, сдвинутой путем параллельного переноса на -B/2A по оси абсцисс и на -B^2/(4A) + C по оси ординат. Это легко проверить заменой координат. Следовательно, если вершина параболы, заданной квадратичной функцией, находится в точке (x, y), то фокус этой параболы находится в точке (x, y + 1/(4A).

Подставляя в эту формулу вычисленные на предыдущем шаге значения координат вершины параболы и упрощая выражения, вы окончательно получите:x = – B/2A,
y = – (B^2 – 1)/4A + C.