Как найти координаты хорды

Уравнение описанной окружности

Как составить уравнение описанной около треугольника окружности по координатам его вершин? Как найти координаты центра описанной окружности? Как найти радиус описанной окружности, зная координаты вершин треугольника?

Решение всех этих задач сводится к одной — написать уравнение окружности, проходящей через три данные точки. Для этого достаточно подставить координаты точек (вершин треугольника) в уравнение окружности. Получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: координатами центра и радиусом окружности.

Составить уравнение описанной окружности для треугольника с вершинами в точках A(2;1), B(6;3), C(9;2).

Подставив координаты вершин треугольника в уравнение окружности

получим систему уравнений

Вычтем из первого уравнения системы второе:

Теперь из второго уравнения системы вычтем третье:

Приравняем правые части равенств b=-2a+10 и b=3a-20:

Подставим в первое уравнение системы a=6 и b=-2:

a и b — координаты центра окружности, R — её радиус. Таким образом, точка (6;-2) — центр описанной около треугольника ABC окружности, радиус R=5, а уравнение описанной окружности

Для решения аналогичной задачи для четырёхугольника либо многоугольника достаточно знать координаты трёх его вершин.

Кривые второго порядка в математике с примерами решения и образцами выполнения

1) всякая прямая в прямоугольной системе координат определяется уравнением первой степени относительно переменных и ;

2) всякое уравнение первой степени в прямоугольной системе координат определяет прямую и притом единственную.

Мы займемся изучением линий, определяемых уравнениями второй степени относительно текущих
координат и :

Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Коэффициенты уравнения (1) могут принимать различные действительные значения, исключая одновременное равенство и нулю (в противном случае уравнение (1) не будет уравнением второй степени).

Окружность и ее уравнения

Как известно, Окружностью называется множество всех точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки, называемой центром.

Пусть дана окружность радиуса с центром в точке требуется составить ее уравнение.

Возьмем на данной окружности произвольную точку
(рис. 38). Имеем

удовлетворяют координаты произвольной точки окружности. Более того, этому уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности, так как и . Следовательно, (I) есть уравнение окружности радиуса с центром в точке . Если центр окружности находится на оси , т. е. если , то уравнение (I) примет вид

Если центр окружности находится на оси т. е. если то уравнение (I) примет вид

Наконец, если центр окружности находится в начале координат, т. е. если , то уравнение (I) примет вид

Пример:

Составить уравнение окружности радиуса с центром в точке .

Решение:

Имеем: . Подставив эти значения в уравнение (I), найдем .

Из изложенного выше следует, что уравнение окружности является уравнением второй степени относительно переменных и , как бы она ни была расположена в плоскости . Уравнение окружности (I) является частным случаем общего уравнения второй степени с
переменными

В самом деле, раскрыв скобки в уравнении (1), получим

Справедливо следующее утверждение: если в уравнении (5) , то Уравнение (5) определяет окружность.

Действительно, разделив уравнение (5) почленно на , получим:

Дополним группы членов, стоящие в скобках, до полного квадрата:

Положим Так как, по условию, то можно положить
Получим

Если в уравнении то оно определяет точку (говорят также, что окружность вырождается в точку). Если же то уравнению (5) не удовлетворяет ни одна пара действительных чисел (говорят также, что уравнение (5) определяет «мнимую» окружность).

Пример:

Найти координаты центра и радиус окружности

Решение:

Сравнивая данное уравнение с уравнением (1), находим: . Следовательно, .

Пример:

Установить, какое из уравнений:

определяет окружность. Найти координаты центра и радиус каждой из них.

Решение:

Первое уравнение не определяет окружность, потому что . Во втором уравнении . Однако и оно не определяет окружность, потому что . В третьем уравнении условия выполняются. Для окончательного вывода преобразуем его так:

Это уравнение, а следовательно, и уравнение 3), определяет окружность с центром и радиусом .

В четвертом уравнении также выполняются условия Однако преобразовав его к виду
, устанавливаем, что оно не определяет никакой линии.

Эллипс и его каноническое уравнение

Определение:

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

Составим уравнение эллипса, фокусы и которого лежат на оси
и находятся на одинаковом расстоянии от
начала координат (рис. 39).

Обозначив , получим Пусть произвольная точка эллипса. Расстояния называются фокальными радиусами точки . Положим

тогда, согласно определению эллипса, — величина постоянная и По формуле расстояния между двумя точками находим:

Подставив найденные значения и в равенство (1), получим уравнение эллипса:

Преобразуем уравнение (3) следующим образом!

Имеем: положим

последнее уравнение примет вид

Так как координаты и любой точки эллипса удовлетворяют уравнению (3),то они удовлетворяют уравнению (5).

Покажем, что справедливо и обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (5) то она принадлежит эллипсу.

Пусть — произвольная точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (5). Так как из (5)

то откуда

Подставив (6) в соотношения (2) и проведя необходимые упрощения, получим

Но так как то

т. е. точка действительно принадлежит эллипсу.

Уравнение (5) называется каноническим уравнением
эллипса.

Исследование формы эллипса по его уравнению

Определим форму эллипса по его каноническому
уравнению

1. Координаты точки не удовлетворяют уравнению (1), поэтому эллипс, определяемый этим уравнением не проходит через начало координат.

Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив в уравнении (1) , найдем Следовательно, эллипс пересекает ось в точках . Положив в уравнении (1) , найдем точки пересечения эллипса с осью :
(рис.40).

3. Так как в уравнение (1) переменные и входят только в четных степенях, то эллипс симметричен относительно координатных осей, а следовательно, и относительно начала координат.

4. Определим область изменения переменных и . В предыдущем параграфе (см. (7)) мы уже показали, что

Аналогично, переписав уравнение эллипса (1) в виде

получим откуда или

Таким образом, все точки эллипса находятся внутри прямоугольника, ограниченного прямыми
(см. рис, 40).

5. Переписав уравнение (1) соответственно в вида

мы видим, что при возрастании от 0 до величина убывает от до 0, а при возрастании от 0 до величина убывает от до 0. Эллипс имеет форму, изображенную на рис. 41.

Точки пересечения эллипса с осями координат
называются вершинами эллипса. Отрезок называется
большой осью эллипса, а отрезок — малой осью. Оси являются осями симметрии эллипса, а точка — центром симметрии (или просто центром) эллипса.

Пример:

Определить длину осей и координаты фокусов эллипса

Решение:

Разделив обе части данного уравнения на 1176, приведем его к каноническому виду

Следовательно,

Пример:

Составить каноническое уравнение эллипса, если фокусное расстояние равно 10, а малая ось равна 6.

Решение:

Другие сведения об эллипсе

Мы рассмотрели эллипс, у которого Если же то уравнение

определяет эллипс, фокусы которого лежат на оси (рис. 42). В этом случае длина большой оси равна , а малой . Кроме того, связаны между собой равенством

Определение:

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси и обозначается буквой .

Если , то, по определению,

При имеем

Из формул (3) и (4) следует . При этом с
увеличением разности между полуосями и увеличивается соответствующим образом и эксцентриситет

эллипса, приближаясь к единице; при уменьшении разности между и уменьшается и эксцентриситет, приближаясь к нулю. Таким образом, по величине эксцентриситета можно судить о форме эллипса: чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс; чем меньше эксцентриситет, тем круглее эллипс. В частности, если и уравнение эллипса примет вид , которое определяет окружность с центром в начале координат. Таким образом, окружность можно рассматривать как частный случай эллипса, у которого полуоси равны между собой, а следовательно, эксцентриситет равен нулю.

Из рис. 43, на котором изображены эллипсы и окружность , хорошо видна зависимость формы эллипса от его эксцентриситета. В заключение поясним, как можно построить эллипс

Для этого на осях координат строим вершины эллипса . Затем из вершины (можно из ) радиусом, равным а, на большой оси делаем засечки (рис. 44). Это будут фокусы эллипса, потому что . Далее, берем нерастяжимую нить, длина которой равна , и закрепляем ее концы в найденных фокусах. Натягиваем нить

острием карандаша и описываем кривую, оставляя нить все время в натянутом состоянии.

Пример:

Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси , если его большая ось равна 14 и

Решение. Так как фокусы лежат на оси , то По
формуле (2) находим:

Следовательно, искомое уравнение, будет

Гипербола и ее каноническое уравнение

Определение:

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Составим уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси и находятся на одинаковом расстоянии от начала координат (рис. 45).

Обозначив получим , Пусть
— произвольная точка гиперболы.

Расстояния называются фокальными радиусами точки . Согласно определению гиперболы

где — величина постоянная и Подставив

в равенство (1), получим уравнение гиперболы

Уравнение (2) можно привести к более простому виду; для этого преобразуем его следующим образом:

Имеем: . Положим

тогда последнее равенство принимает вид

Так как координаты и любой точки гиперболы удовлетворяют уравнению (2), то они удовлетворяют и уравнению (4).

Как и в случае эллипса (см. конец § 2), можно показать, что справедливо и обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (4), то она принадлежит гиперболе.

Уравнение (4) называется каноническим уравнением гиперболы.

Исследование формы гиперболы по ее уравнению

Определим форму гиперболы по ее каноническому уравнению

1. Координаты точки (0; 0) не удовлетворяют уравнению (1), поэтому гипербола, определяемая этим уравнением, не проходит через начало координат.

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив в уравнении (1) , найдем . Следовательно, гипербола пересекает ось в точках . Положив в уравнение (1) , получим , а это означает, что система

не имеет действительных решений. Следовательно, гипербола не пересекает ось .

3. Так как в уравнение (1) переменные и входят только в четных степенях, то гипербола симметрична относительно координатных осей, а следовательно, и относительно начала координат.

4. Определим область изменения переменных и ; для этого из уравнения. (1) находим:

Имеем: или ; из (3) следует, что — любое действительное число. Таким образом, все точки гиперболы расположены слева от прямой и справа от прямой

5. Из (2) следует также, что

Это означает, что гипербола состоит из двух ветвей, одна из которых расположена справа от прямой , а другая слева от прямой .

Гипербола имеет форму, изображенную на рис. 46.

Точки пересечения гиперболы с осью называются вершинами гиперболы. Отрезок Рис. 46.

соединяющий вершины гиперболы, называется действительной осью. Отрезок , , называется мнимой осью. Число называется действительной полуосью, число — мнимой полуосью. Оси являются осями симметрии гиперболы. Точка пересечения осей симметрии называется центром гиперболы. У гиперболы (1) фокусы всегда находятся на действительной оси.

Пример:

Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в точках , а расстояние между фокусами равно 14.

Решение:

Имеем: . По формуле находим

Следовательно, искомое уравнение будет

Пример:

Составить каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси , если длина ее действительной оси равна 16 и гипербола проходит через точку .

Решение:

Имеем: . Положив в уравнении (1) , получим

Другие сведения о гиперболе

Асимптоты гиперболы

Определение:

Прямая называется
асимптотой кривой при , если

Аналогично определяется асимптота при . Докажем, что прямые

являются асимптотами гиперболы

при

Так как прямые (2) и гипербола (3) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти (рис. 47). Напишем уравнения прямых (2) и гиперболы (3), соответствую*
щие первой четверти:

Положив найдем:

Следовательно, прямые (2) являются асимптотами гиперболы (3).

Отметим, что асимптоты (2) совпадают с диагоналям прямоугольника, стороны которого параллельны осям и и равны соответственно и , а его центр находится в начале координат. При этом ветви гиперболы расположены внутри вертикальных углов,
образуемых асимптотами, и приближаются сколь угодно близко к асимптотам (рис.48).

Пример:

Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку и, имеющей асимптоты

Решение:

Из данных уравнений асимптот имеем:

Заменив в уравнении гиперболы переменные и координатами точки и его найденным значением, получим:

Следовательно, искомое уравнение будет

Эксцентриситет гиперболы

Определение:

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами

к длине действительной оси и обозначается буквой :

Из формулы (§ 5) имеем поэтому

Пример:

Найти эксцентриситет гиперболы .

Решение:

По формуле (5) находим

Равносторонняя гипербола

Гипербола называется равносторонней, если длины ее полуосей равны между собой, т. е. . В этом случае уравнение гиперболы принимает вид

Равносторонняя гипербола определяется одним пара*
метром и асимптотами являются биссектрисы координатных углов:

У всех равносторонних гипербол один и тот же эксцентриситет:

Так как асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны, их можно принять за оси новой системы координат полученной в результате поворота осей старой системы вокруг начала координат на угол (рис.49).

Составим уравнение равносторонней гиперболы относительно новой системы координат . Для этого воспользуемся формулами
(4) § 3 гл. 2:

Положив , получим:

Учитывая равенство (6), получим

Уравнение (8) называется уравнением равносторонней гиперболы, отнесенной к своим асимптотам.

Из уравнения (8) следует, что переменные — величины обратно пропорциональные. Таким образом, равносторонняя гипербола, отнесенная к своим асимптотам, представляет собой график обратно пропорциональной зависимости.

Пример:

Составить каноническое уравнение
равносторонней гиперболы, проходящей через точку .

Решение:

Заменив в уравнении (6) переменные координатами точки , получим:

Следовательно, искомое уравнение будет

Парабола и ее каноническое уравнение

Определение:

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, не проходящей через данную точку и
называемой директрисой.

Составим уравнение параболы, фокус которой лежит на оси , а
директриса параллельна оси и удалена от нее на такое же расстояние, как и фокус от начала координат (рис.50).

Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается через . Из рис. 50 видно, что следовательно, фокус имеет координаты , а уравнение директрисы имеет вид , или

Пусть — произвольная точка параболы. Соединим точки
и и проведем . Непосредственно из рис. 50 видно, что

а по формуле расстояния между двумя точками

согласно определению параболы

Уравнение (1) является искомым уравнением параболы. Для упрощения уравнения (1) преобразуем его следующим образом:

Последнее уравнение эквивалентно

Координаты точки параболы удовлетворяют уравнению (1), а следовательно, и уравнению (3).

Покажем, что справедливо и обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (3), то она принадлежит параболе.

Но так как из (3) , и в левой части последнего уравнения можно оставить знак «плюс», т. е. оно является исходным уравнением параболы (1).

Уравнение (3) называется каноническим уравнением параболы.

Исследование формы параболы по ее уравнению

Определим форму параболы по ее каноническому уравнению

1. Координаты точки удовлетворяют уравнению (1), следовательно, парабола, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат.

2. Так как в уравнение (1) переменная входит только в четной степени, то парабола симметрична относительно оси абсцисс.

Так как . Следовательно, парабола расположена справа от оси .

4. При возрастании абсциссы ордината изменяется от , т. е. точки параболы неограниченно удаляются как от оси , так и от оси .

Парабола имеет форму, изображенную на рис. 51.

Ось является осью симметрии параболы. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется вершиной параболы. Отрезок называется фокальным радиусом точки .

5. Если фокус параболы лежит слева от оси , а директриса справа от нее, то ветви параболы расположены слева от оси (рис. 52, а). Уравнение такой параболы имеет вид

Координаты ее фокуса будут ; директриса определяется уравнением .

6. Если фокус параболы имеет координаты , а директриса задана уравнением , то ветви параболы направлены вверх (рис. 52,6), а ее уравнение имеет вид

7. Наконец, если фокус параболы имеет координаты а директриса задана уравнением , то ветви параболы направлены вниз (рис. 52, в), а ее уравнение имеет вид

Пример:

Дана парабола . Найти координаты ее фокуса и составить уравнение директрисы.

Решение:

Данная парабола симметрична относительно оси , ветви направлены вверх. Сравнивая данное уравнение с уравнением (3), находим:

Следовательно, фокус имеет координаты , а уравнение директрисы будет , или .

Пример:

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, директриса которой задана уравнением .

Решение:

Из условия задачи следует, что парабола симметрична относительно оси и ветви расположены слева от оси , поэтому искомое уравнение имеет вид . Так как и, следовательно,

Параллельный перенос параболы

Пусть дана парабола с вершиной в точке , ось симметрии которой параллельна оси , а ветви направлены вверх (рис. 53).

Требуется составить ее уравнение. Сделаем параллельный перенос осей координат, поместив начало в точке . Относительно новой системы координат парабола определяется уравнением

Чтобы получить уравнение данной параболы относительно старой системы, воспользуемся формулами преобразования прямоугольных координат при параллельном переносе;

Подставив значения из формул (2) в уравнение (1), получим

Преобразуем это уравнение следующим образом:

С уравнением параболы вида (5) читатель хорошо знаком по школьному курсу.

Пример 1. Составить уравнение параболы с вершиной в точке и с фокусом в точке .

Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси (у них абсциссы одинаковы), ветви параболы направлены вверх (ордината фокуса больше ординаты вершины), расстояние фокуса от вершины равно

Заменив в уравнении (3) и координатами точки и его найденным значением, получим:

Пример:

Дано уравнение параболы

Привести его к каноническому виду.

Решение:

Разрешив данное уравнение относительно переменной , получим

Сравнивая это уравнение с уравнением (5), находим Из формул (4) имеем:
следовательно, Подставляем найденные значения в уравнение (3):

Положив получим т. е, каноническое уравнение данной параболы.

Уравнения кривых второго порядка как частные случаи общего уравнения второй степени с двумя переменными

Выше было установлено, что уравнение окружности есть частный случай общего уравнения второй степени с переменными и :

Покажем, что и канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы являются частными случаями уравнения (1). В самом деле:
1) при и уравнение (1) примет вид

т. е. определяет эллипс;
2) при и уравнение (1) примет вид

т. е. определяет гиперболу;
3) при и уравнение (1) примет вид т. е. определяет параболу.

Дополнение к кривым второго порядка

Пусть задана кривая, определяемая уравнением второй степени

где — действительные числа; и одновременно не равны нулю. Эта кривая называется кривой второго порядка.

Приведем еще одно определение кривой второго порядка.

Геометрическое место точек плоскости, для которых отношение их расстояний до заданной точки, называемой фокусом, и до заданной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная, равная , является кривой 2-го порядка с эксцентриситетом, равным . Если , то кривая второго порядка — эллипс; — парабола; — гипербола.

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек и этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная . Если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Каноническое уравнение эллипса: .

Если , то эллипс расположен вдоль оси ; если , то эллипс расположен вдоль оси (рис. 9а, 9б).

Если , то, сделав замену , перейдем в «штрихованную» систему координат, в которой уравнение будет иметь канонический вид:

Декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение эллипса имеет канонический вид, называется канонической.

Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Расстояния от начала координат до вершин и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Центр симметрии эллипса, совпадающий с началом координат, называется центром эллипса.

Если — расстояние от начала координат канонической системы координат до фокусов, то .

Отношение называется эксцентриситетом эллипса.

Расстояние от произвольной точки , лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы, т.е. .

С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе имеют вид .

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек и этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная (рис. 10).

Декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение гиперболы имеет канонический вид, называется канонической. Каноническое уравнение гиперболы:

Ось абсцисс канонической системы пересекает гиперболу в точках, называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. и называются вещественной и мнимой полуосями гиперболы. Центр симметрии гиперболы, совпадающий с началом координат, называется центром гиперболы.

Если — расстояние от начала координат канонической системы координат до фокусов гиперболы, то .

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы.

Расстояние от произвольной точки , лежащей на гиперболе, до каждого из фокусов равно .

Гипербола с равными полуосями называется равносторонней.

Прямые с уравнениями в канонической системе называются асимптотами гиперболы.

Прямые называют директрисами гиперболы в канонической системе координат.

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рассматриваемой плоскости (рис. 11).

Указанная точка называется фокусом параболы, а фиксированная прямая — директрисой параболы.

Система координат, в которой парабола имеет канонический вид, называется канонической, а ось — осью параболы.

Каноническое уравнение параболы:

Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Фокус параболы имеет координаты .

Директрисой параболы называется прямая в канонической системе координат.

Расстояние от произвольной точки параболы до фокуса равно .

Пример задачи решаемой с применением кривых второго порядка

Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс — с полярной осью, привести его к каноническому виду; 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Решение:

1) Вычисляя значения с точностью до сотых при указанных значениях , получим таблицу:

Используя полученные табличные значения, построим кривую в полярной системе координат (рис. 17).

2) Используя формулы перехода

из полярной в декартовую систему координат, получим: .

Возведем левую и правую части в квадрат: Выделим полный квадрат и приведем к каноническому виду: , где

3) Это эллипс, смещенный на вдоль оси .

Ответ: эллипс , где

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Кривая второго порядка и её определение

Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением

Окружность и ее уравнение

Окружностью называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от одной точки, называемой центром.

Пользуясь этим определением, выведем уравнение окружности. Пусть радиус ее равен r, а центр находится в точке

О1(а; b). Возьмем на окружности произвольную точку М(х; у) (рис. 27).

По формуле расстояния между двумя точками можем написать:

или, после возведения обеих частей равенства в квадрат,

Так как точка М нами взята произвольно, а радиус r — величина постоянная, то равенство (1) справедливо для всех точек окружности, т. е. координаты любой ее точки удовлетворяют этому равенству. А если так, то равенство (1) нужно рассматривать как уравнение окружности.

В уравнении (1) а и b — координаты центра окружности, а х и у — текущие координаты.

Если положить а = 0, то уравнение (1) обратится в следующее:

и будет определять окружность с центром на оси Оу (рис. 28).

При b = 0 уравнение (1) примет вид

и будет определять окружность с центром на оси Ох (рис. 29).

Наконец, при а = 0 и b = 0 уравнение (1) преобразуется в следующее:

и будет определять окружность с центром в начале координат (рис. 30).

Можно построить окружность, имея ее уравнение. Пусть, например, требуется построить окружность

Перепишем это уравнение в следующем виде:

сравнивая это уравнение с(1), видим, что координаты центра окружности суть (2; — 3) и радиус ее r = 3. Построив

точку О1(2;—3), опишем из нее радиусом, равным 3 единицам масштаба, искомую окружность (рис. 31).

Уравнение окружности как частный вид общего уравнения второй степени

Раскрыв скобки в уравнении (1) , можем написать:

Умножив все члены последнего равенства на А, получим:

тогда уравнение (1) окружности примет вид

Уравнение (2) является частным случаем общего уравнения второй степени с двумя переменными. В самом деле, сравним уравнение (2) с общим уравнением второй степени с двумя переменными, имеющим, как известно, следующий вид:

Мы видим, что уравнение (2) отличается от уравнения (3) только тем, что у первого коэффициенты при х2 и у2 одинаковы и отсутствует член, содержащий произведение ху.

Таким образом, окружность определяется общим уравнением второй степени с двумя переменными, если в нем коэффициенты при х2 и у2 равны между собой и отсутствует член с произведением ху.

Обратно, уравнение вида (2), вообще говоря, определяет окружность. Убедимся в этом на примере. Пусть дано уравнение

Перепишем его в следующем виде:

и преобразуем двучлены, стоящие в скобках, в полные квадраты суммы и разности, прибавив к первому 4, ко второму 16. Чтобы равенство при этом не нарушилось, увеличим и правую часть его на сумму 4+16. Получим:

Последнее равенство является уравнением окружности, имеющей радиус, равный 5, и центр в точке О1(-2; 4).

Бывают однако случаи, когда уравнение (2) при некоторых значениях коэффициентов не определяет окружности; например, уравнению

удовлетворяют координаты единственной точки (0; 0), а уравнению

не удовлетворяют координаты ни одной точки, так как сумма квадратов действительных чисел не может иметь отрицательного значения.

Пример:

и хорда Найти длину этой хорды.

Решение:

Так как концы хорды являются общими точками окружности и хорды, то их координаты удовлетворяют как уравнению первой, так и уравнению второй линии. Поэтому, чтобы найти эти координаты, нужно решить совместно уравнения окружности и хорды. Подставив значение

в уравнение окружности, получим:

Находим значение у:

Итак, концами хорды служат точки с координатами (4; 3) и (6; 1).

По формуле расстояния между двумя точками можем определить искомую длину хорды

Эллипс и его уравнение

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (и болыиая, чем расстояние между фокусами).

Пусть, например, на эллипсе взяты точки М1, M2, M3, М4 и т. д. (рис. 32). Если фокусы обозначить через F и F1, то согласно данному определению можно написать:

Геометрическое место точек, обладающих вышеуказанным свойствам (1), и есть эллипс.

На основании определения эллипса составим его уравнение. Для этого выберем систему координат следующим образом. За ось Ох примем прямую, проходящую через фокусы F и F1, а за ось Оу — прямую перпендикулярную

к FF1 и проведенную через середину отрезка FF1 (рис. 33). Обозначим расстояние F1F между фокусами через 2с, тогда координаты фокусов будут:

Возьмем на эллипсе произвольную точку М(х;у). Обозначим постоянную величину суммы расстояний каждой точки от фокусов через 2а, тогда

По формуле расстояния между двумя точками найдем:

Теперь равенство (2) перепишется следующим образом:

и будет представлять уравнение эллипса в принятой системе координат.

Упростим уравнение (3). Для этого перенесем один из радикалов в правую часть уравнения:

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

Приведем подобные члены:

Сократив на 4 и снова возведя в квадрат обе части равенства, получим:

Перенесем все члены, содержащие х и у, в левую часть равенства, остальные члены — в правую:

Но согласно определению эллипса

Из последнего неравенства следует, что а потому эту разность можно обозначить через Подставив это обозначение в равенство (4), найдем:

Наконец, разделим все члены последнего равенства на окончательно получим:

где х и у — текущие координаты точек эллипса, а

Уравнение (6) и есть простейший вид уравнения эллипса *).

*) Уравнение (6) получилось в результате двукратного возведения в квадрат уравнения (3), благодаря чему, вообще говоря, возможно появление посторонних корней. Можно показать, что уравнение (6) не имеет посторонних корней, т. е. любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (6), лежит на эллипсе.

Исследование уравнения эллипса

Определим сначала у из уравнения (5) :

Из того же уравнения (5) найдем:

Рассмотрим теперь равенства (1) и (2).

I. Пусть

*) | х | означает, что х берется по абсолютной величине; таким образом, запись | х |

Тогда каждому значению у, как мы видим из равенства (2), отвечают два значения х равные по абсолютной величине, но с разными знаками. Отсюда следует, что каждому значению у соответствуют на эллипсе две точки, симметричные относительно оси Оу.

Из сказанного заключаем: эллипс симметричен относительно координатных осей.

II. Найдем точки пересечения эллипса с осью Ох. Пусть

тогда из равенства (2) имеем:

Отсюда следует: эллипс пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (— а; 0) (точки А и А1 на рис. 34).

III. Найдем точки пересечения эллипса с осью Оу. Пусть

тогда из равенства (1) имеем:

Отсюда заключаем, что эллипс пересекает ось Оу в двух точках, координаты которых (0; b) и (0; —b) (точки В и В1 на рис. 35).

IV. Пусть х принимает такие значения, что

тогда выражение под корнем в равенстве (1) будет отрицательным, и, следовательно, у будет иметь мнимые значения. А это значит, что не существует точек эллипса, абсциссы которых удовлетворяют условию (3), т. е. эллипс расположен внутри полосы, заключенной между прямыми х = + а и х = — а (рис. 34, прямые КL и РQ).

Если же положить

то из равенства (2) получим для х мнимые значения. Это говорит о том, что точки, удовлетворяющие условию (4), на эллипсе не лежат, т. е. эллипс заключен между прямыми у = + b и у = — b (рис. 35, прямые РК и QL .

Из сказанного следует, что все точка эллипса лежат внутри прямоугольника, стороны которого параллельны координатным осям и имеют длины, равные 2а и 2b, а диагонали пересекаются в начале координат (рис. 36).

Эллипс имеет форму, показанную на рис. 37, Точки A,, A1, В и В1 называются вершинами эллипса, а точка О — его центром. Отрезок А1А = 2а называется его большой осью, а отрезок В1В = 2b — малой осью, Отрезки FМ и F1М носят название фокальных радиусов точки М.

Эксцентриситет эллипса

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между его фокусами к длине большой оси, т. e.

Эксцентриситет обычно обозначают буквой е. Таким образом,

Но согласно формуле (7)

Поэтому для определения эксцентриситета может служить

Так как 0 а уравнение (6) представляет эллипс, фокусы которого лежат на оси Оу; в этом случае его большая ось равна 2 b , а малая 2 а . В соответствии с этим формула (7) и формулы (1) и (2) настоящей лекции примут такой вид:

Пример:

Определить длину его осей, координаты вершин и фокусов, а также величину эксцентриситета.

Решение:

Разделив обе части данного уравнения на 400, получим:

Итак, большая ось эллипса а малая

Координаты вершин его будут:

Чтобы найти координаты фокусов, нужно узнать величину

Из равенства (7) имеем:

Следовательно, координаты фокусов будут:

Наконец, по формуле (1) настоящей лекции находим:

Связь эллипса с окружностью

Положим, что полуоси эллипса равны между собой, т. е. а = b, тогда уравнение эллипса примет вид

Полученное уравнение, как известно, определяет окружность радиуса, равного а.

Посмотрим, чему будет равен эксцентриситет в этом случае; полагая в формуле (2)

Отсюда заключаем, что окружность есть частный случай эллипса, у которого полуоси равны между собой, а следовательно, эксцентриситет равен нулю.

Гипербола и ее уравнение

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний каждой из которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (эта постоянная берется по абсолютному значению, причем она меньше расстояния между фокусами и не равна нулю).

Пусть, например, точки М1, М2, M3, М4 лежат на гиперболе, фокусы которой находятся в точках F и F1 (рис. 39). Тогда, согласно данному выше определению, можно написать:

Пользуясь определением гиперболы, выведем ее уравнение.

Примем за ось Ох прямую, проходящую через фокусы F и F1 (рис. 40), а за ось Оу — прямую, перпендикулярную к отрезку F1F и делящую его пополам.

Положим F1F = 2c тогда координаты фокусов будут

Возьмем на гиперболе произвольную точку М(х; у) и обозначим величину разности расстояний каждой точки от фокусов через 2а; тогда

По формуле расстояния между двумя точками найдем:

и, заменив в равенстве (2) F1М и FМ их выражениями, напишем:

Это и есть уравнение гиперболы относительно выбранной системы координат, так как оно согласно равенствам (1) справедливо для любой ее точки.
*) Знак + берется в случае, если F1М > FМ , и знак —, если F1М

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Приведем подобные члены:

Сократив на 4, снова возведем в квадрат обе части уравнения; получим:

Перенесем в левую часть члены, содержащие х и у, а остальные члены в правую:

Согласно определению гиперболы

При условии (5) разность имеет только положительное значение, а потому ее можно обозначить через

Сделав это в равенстве (4), получим:

Разделив последнее равенство на найдем окончательно:

где х и у— текущие координаты точек гиперболы, а

Равенство (7) представляет собой простейший вид уравнения гиперболы *).

*) Как и в случае эллипса, можно показать, что уравнение (7) равносильно уравнению (3), т. е. не имеет посторонних корней.

Исследование уравнения гиперболы

Из уравнения (6) имеем:

Из этого же уравнения (6) находим:

Исследуем уравнения (1) и (2) для выяснения геометрической формы гиперболы.

I. Найдем точки пересечения гиперболы с осью Ох. Для этого полагаем, у = 0 и из уравнения (2) получаем:

Отсюда следует: гипербола пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (— а; 0) (рис. 41, точки А и А1).

II. Положим в уравнении (1)

тогда у получит мнимое значение, а это значит, что на гиперболе нет точек, удовлетворяющих условию (3). Следовательно, в полосе между прямыми х = + а и х = — а (прямые KL и РQ на рис. 41) нет точек гиперболы

III. Пусть

тогда из равенства (1) найдем для каждого х два действительных значения у, равных по абсолютной величине, но с противоположными знаками. А это значит, что каждому значению х, удовлетворяющему неравенству (4), соответствуют на нашей кривой две точки, симметричные относительно оси Ох.

Следовательно, гипербола симметрична относительно оси Ох.

С другой стороны, для каждого значения у из равенства (2) найдем два действительных значения х, равных по абсолютной величине, но противоположных по знаку, т. е. каждому значению у на гиперболе соответствуют две точки, симметричные относительно оси Оу.

Следовательно, гипербола 1 симметрична относительно оси Оу.

IV. Если в уравнении (1) давать х значения, заключенные между +a и то величина у будет изменяться от 0 до : т. е. в этом случае каждому значению х соответствуют на кривой две точки, симметричные относительно оси Ох и отстоящие друг от друга тем дальше, чем больше величина абсциссы. Таким образом, можно сказать, что гипербола имеет бесконечную ветвь, расположенную справа от прямой х = с.

Если же давать х значения, заключенные между — а и , то у будет изменяться опять от 0 до а это значит, что, как в предыдущем случае, гипербола имеет бесконечную ветвь, но идущую влево от прямой х = — а. Итак, гипербола есть кривая, состоящая из двух ветвей, простирающихся в бесконечность.

Из всего изложенного следует, что гипербола

состоит из двух симметричных относительно оси Оу бесконечных ветвей, одна из которых расположена справа от

прямой х = + а, а другая слева от прямой х = — а. Каждая из этих ветвей симметрична относительно оси Ох (рис. 42).

Точки А(а; 0) и А1(- а; 0) называются вершинами гиперболы, а точка О (0; 0) — ее центром.

Отрезок АА1 = 2а носит название действительной или вещественной оси гиперболы в отличие от оси ВВ1 = 2b, называемой мнимой *).

*) Отрезок ВВ1 = 2b называется мнимой осью, так как на нем нет точек гиперболы.

Отрезки F1М и FМ — фокальные радиусы точки М.

Эксцентриситет гиперболы

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к длине вещественной оси, т. е.

Эксцентриситет гиперболы, так же как и для эллипса, обозначается буквой е:

Но согласно равенству (8)

поэтому формулу (1) можно представить в следующем виде:

Так как для гиперболы с > а , то дробь

а потому эксцентриситет гиперболы больше единицы.

Асимптоты гиперболы

Построим на осях гиперболы

прямоугольник LQRS со сторонами, равными 2а и 2b и проведем его диагонали LR и QS продолжив их по обе стороны (рис. 43).

Прямая LR проходит через начало координат, поэтому ее уравнение будет:

Но угловой коэффициент

Заменив в уравнении (1) найденным его значением, получим уравнение прямой LR в следующем виде:

Прямая QS также определяется уравнением (1), но угловой коэффициент ее будет уже другой, а именно:

Таким образом, уравнение прямой QS будет:

Обычно уравнения (2) и (3) записывают следующим образом:

Между прямыми, представленными уравнениями (4), и гиперболой существует связь; выясним ее.

Решим совместно способом подстановки уравнения (4) и

уравнение гиперболы

что невозможно, так как

Таким образом, прямые (4) х2 уа

и гипербола не имеют общих точек, т. е. прямые (4) не пересекают гиперболу.

Возьмем на прямой LR и на гиперболе точки М и N, расположенные в первом координатном углу и имеющие одну и ту же абсциссу. Ординатой точки М служит РМ; обозначим ее через Y в отличие от ординаты точки N которую обозначим буквой у. Из уравнения (2) можно написать:

Из уравнения гиперболы имеем:

и посмотрим, как она будет изменяться при возрастании абсциссы. Для этого умножим и разделим правую часть последнего равенства на выражение

Пусть величина х в равенстве (5) бесконечно возрастает, тогда знаменатель дроби также бесконечно растет, а сама дробь уменьшается, приближаясь к нулю. Таким образом, гипотенуза NМ и, следовательно, катет NT в прямоугольном треугольнике МNТ стремится к нулю. Из сказанного делаем вывод: при неограниченном возрастании абсциссы х гипербола приближается к прямой LR как угодно близко, нигде ее не пересекая.

Так как прямые LR и QS, а также точки гиперболы симметричны относительно оси Ох, то можно сказать, что и часть гиперболы, расположенная в четвертом координатном углу, как угодно близко подходит к прямой QS , нигде ее не пересекая.

Вывод, сделанный для правой ветви гиперболы, справедлив и для ее левой ветви благодаря той же симметричности прямых (4) и гиперболы относительно координатных осей.

называются асимптотами гиперболы.

Из сказанного в настоящей лекции можно сделать заключение, что гипербола расположена всеми своими точками внутри вертикальных углов, образуемых асимптотами, и нигде не выходит за их границы. Этим обстоятельством можно воспользоваться для построения гиперболы в случае, если не требуется точного, а достаточно только приближенного ее изображения; для этого, нарисив асимптоты, нужно провести плавную кривую линию, постепенно приближая ее к асимптотам.

Пример:

Дана гипербола

Узнать, лежит ли точка A(2; 1,5) на какой-либо ее асимптоте.

Решение:

Из данного уравнения имеем:

Следовательно, уравнения асимптот будут:

Так как точка А лежит согласно условию в первом координатном углу, то она может принадлежать только асимптоте, определяемой уравнением

Подставив в него вместо х и у координаты точки А, получим тождество:

Значит, точка А лежит на указанной асимптоте гиперболы.

Равносторонняя гипербола

Если в уравнении гиперболы

положим а = b то это уравнение примет вид

Уравнение (1) определяет гиперболу, у которой полуоси равны между собой. Такая гипербола называется равносторонней. Уравнения асимптот в этом случае будут:

так как отношение

Как видно из уравнения (2), угловые коэффициенты асимптот равны + 1 и —1 . Если обозначить углы, образуемые асимптотами с положительным направлением оси Ох, соответственно через а и а1 (рис. 44), то

Следовательно, угол между асимптотами будет:

Отсюда заключаем: асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны.

Уравнение равносторонней гиперболы, отнесенной к асимптотам

Так как асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны, то их можно принять за оси прямоугольной системы координат и рассматривать гиперболу по отношению к этим новым осям. Выведем уравнение равносторонней гиперболы для этого случая.

Пусть дана равносторонняя гипербола. Тогда ее уравнение по отношению к координатным осям Ох и Оу (рис. 45)

выразится, как было пока-* у зано в , в виде

Взяв на гиперболе произвольную точку М (х; у) и построив ее координаты, будем иметь:

Примем теперь за оси координат асимптоты гиперболы: ОХ— за ось абсцисс, ОY — за ось ординат. Опустив перпендикуляр МС на новую ось абсцисс, найдем:

Выразим новые координаты X н Y точки М через старые х и у. Для этого из точки А проведем и

Обратим внимание на то, что в образовавшихся прямоугольных треугольниках АМВ и АОD

как углы, образованные взаимно перпендикулярными прямыми. Но

Из рисежа имеем:

Перемножив равенства (2) и (3) и приняв во внимание равенство (1), получим:

Положим для краткости

тогда равенство (4) перепишется так:

где m— постоянная величина.

Таково уравнение равносторонней гиперболы, если за оси координат принять ее асимптоты.

Как видно из уравнения (5), переменные X и Y — величины обратно пропорциональные, а потому можно сказать, что равносторонняя гипербола ху = m представляет собой график обратно пропорциональной зависимости между переменными величинами.

Парабола и ее простейшее уравнение

Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой <при условии, что фокус не лежит на директрисе).

Пусть точки М1 М2, М3, М4 лежат на параболе (рис. 46).

Если точка F изображает фокус, а прямая АВ— директрису, то согласно данному выше определению можем написать:

Выведем уравнение параболы, пользуясь ее определением. Для этого выберем систему координат, приняв за ось Ох прямую, проведенную через точку F (фокус) перпендикулярно к директрисе АВ, а за

ось Оу — прямую, проходящую через середину отрезка КF перпендикулярно к последнему (рис. 47). Обозначим

тогда координаты фокуса F будут

Возьмем на параболе произвольную точку М(x; у) расстояния ее от фокуса F и от директрисы АВ будут выражаться соответственно отрезками FМ и МN. Согласно определению параболы, можем написать:

Применяя формулу расстояния между двумя точками и приняв во внимание, что точка N имеет координаты , найдем:

Заменив FМ и МN в равенстве (1) их выражениями, получим:

Это и есть уравнение параболы относительно выбранной системы координат, так как оно справедливо для любой ее точки.

Упростим уравнение (2). Для этого возведем обе части его в квадрат:

Приведя подобные члены, получим простейшее уравнение параболы

*) Можно показать, что уравнение (3) равносильно уравнению (2). Величина р называется параметром параболы.

Исследование уравнения параболы

Из уравнения (3) найдем:

Исследуем уравнение (1) для выяснения геометрической формы нашей кривой, полагая р > 0.

I. Положим

Отсюда следует: парабола проходит через начало координат.

II. Если х 0, то у имеет два действительных значения, равных по абсолютной величине, но с разными знаками. Это значит, что каждому положительному значению х на параболе соответствуют две точки, расположенные симметрично относительно оси Ох.

Следовательно, парабола симметрична относительно оси Ох.

IV. Пусть х неограниченно возрастает, тогда и будет неограниченно расти, т. е. точки параболы с перемещением вправо от оси Оу неограниченно удаляются вверх и вниз от оси Ох.

Итак, парабола состоит из бесконечных ветвей.

Вышеизложенное позволяет представить параболу, как показано на рис. 48.

Точка О называется вершиной параболы, отрезок FМ — фокальным радиусом точки М параболы, а бесконечная прямая Ох является ее осью симметрии.

Если директрису параболы поместить справа от начала координат, то фокус и ветви ее расположатся как показано на рисеже 49.

При этом абсциссы точек параболы будут удовлетворять условию

а потому ее уравнение примет вид:

Парабола может быть симметрична и относительно оси Оу в этом случае фокус ее будет лежать па оси ординат, а директрисой будет прямая, параллельная оси Ох. Как видно при этом условии координатные оси поменяются ролями, и уравнение параболы примет вид

если ветви ее направлены вверх (рис. 50), и

если ветви направлены вниз (рис. 51).

Пример:

Найти координаты ее фокуса и написать уравнение директрисы.

Решение:

Данная парабола симметрична относительно оси Ох и расположена направо от оси Оу. Из уравнения находим:

Расстояние фокуса от начала координат равно , поэтому абсцисса фокуса будет Итак, фокус находится в точке

Директрисой служит прямая, параллельная оси Оу и отстоящая от последней на расстоянии Следовательно,

уравнение директрисы параболы будет х = — 3.

Пример:

Фокус параболы с вершиной в начале координат лежит в точке F(0; —4). Написать уравнение этой параболы.

Решение:

Согласно условию данная парабола симметрична относительно оси Оу, а ветви ее направлены вниз, поэтому искомое уравнение найдется из (3). Так как

и уравнение параболы будет:

Уравнение параболы со смещенной вершиной и осью, параллельной оси Оу

Возьмем уравнения параболы (2) и (3) и запишем их в следующем виде:

Положив в уравнении (1)

Уравнение (2) определяет параболу, ветви которой направлены вверх, если А > О, вниз, если А

Возьмем на параболе произвольную точку М(х; у). Опустив из нее перпендикуляр МР на ось Ох, будем иметь:

Проведем через О1 прямые О1Х и QY, параллельные координатным осям Ох и Оу, и положим временно, что прямые О1Х и О1Y служат осями новой системы координат. Обозначим координаты точки М в этой системе через X и Y, т. е.

Уравнение параболы в новой системе координат напишется следующим образом:

Чтобы найти ее уравнение относительно прежних осей Ох и Оу, нужно X и Y выразить через х и y. Так как

Подставив в уравнение (3) найденные значения X и Y, получим:

Упростим уравнение (4); для этого раскроем в нем скобки.

тогда уравнение (5) примет вид

Это—уравнение параболы с вершиной, лежащей в любой точке плоскости, и с осью симметрии, параллельной оси Оу.

Рассмотрим частные случаи.

Пусть абсцисса вершины параболы a = 0; тогда величина В в равенстве (6) также будет нулем и уравнение (8) примет следующий вид:

Полученное уравнение определяет параболу, у которой вершина лежит на оси Оу, являющейся в то же время и ее осью симметрии (рис. 53).

Положим, что одна из точек параболы (исключая ее вершину) лежит в начале координат; тогда координаты (0; 0) должны удовлетворять уравнению (8). Заменив в нем х и у нулями, найдем С=0. В этом случае уравнение (8) получит вид

и будет определять параболу, проходящую через начало координат (рис. 54).

Заметим, что и уравнение (2) можно рассматривать как частный случай уравнения (8). Действительно, положив в равенствах (6) и (7)

вследствие чего уравнение (8) преобразуется в следующее:

Из сказанного следует, что парабола, у которой ось симметрии параллельна оси Оу или совпадает с ней, определяется уравнением

при любых значениях А, В и С, кроме А = 0.

Убедимся на примере, что справедливо и обратное утверждение: всякое уравнение вида (8) определяет параболу с осью симметрии, параллельной оси Оу.

Пусть дано уравнение

Преобразуем его следующим образом:

тогда уравнение (10) примет вид:

Уравнение (11) имеет такой же вид, как и уравнение (2), поэтому оно, а следовательно, и уравнение (9) определяют параболу, у которой ось симметрии параллельна оси Оу.

Для построения параболы, определяемой уравнением вида (8), можно использовать обычный прием, применяемый для вычерчивания графиков функций, а именно: дав х ряд значений, вычислить значения у, а затем, построив точки по найденным координатам, провести через них плавную линию.

Пример:

Решение:

Прежде всего найдем абсциссы точек пересечения данной параболы с осью Ох; положив у = 0, получим:

Так как найденные точки симметричны относительно оси параболы, то вершина последней, находясь на этой оси, имеет 0 + 4 0

абсциссу, равную ордината же ее

Этих трех точек достаточно для приближенного изображения параболы.

Для более точного ее представления нужны дополнительные точки. Составим следующую таблицу:

Построив эти точки и прозедя через них плавную линию, получим искомую параболу (рис. 55).

Пример:

Решение:

мнимые, а потому ось Ох не пересекает данную параболу. В этом случае следует найти абсциссы точек пересечения параболы с прямой

(-1 — свободный член данного уравнения параболы)

Решая для этой цели систему уравнений

Полученные точки симметричны относительно оси параболы, поэтому абсцисса ее вершины равна ордината же ее

Присоединим к этим точкам несколько дополнительных точек. Составим таблицу:

Конические сечения

Окружность, эллипс, гипербола и парабола определяются, как мы установили в предыдущих лекциях уравнениями второй степени относительно текущих координат; поэтому их называют кривыми второго порядка. Они были известны еще древним грекам, которые изучали эти кривые, рассматривая их как результат сечения прямого кругового конуса плоскостью в следующих четырех случаях.

I. Секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса; в сечении получается окружность (рис. 57).

II. Секущая плоскость образует с осью конуса угол, не равный 90°, и пересекает все его образующие по одну сторону от вершины S; в сечении получается эллипс (рис. 58).

III. Секущая плоскость параллельна какой-либо образующей конуса; при этом получается кривая, называемая параболой (рис. 59).

IV. Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; при этом получаются две бесконечные ветви, образующие гиперболу (рис. 60).

Окружность, эллипс, гипербола и парабола называются коническими сечениями.

Конические сечения изучались в древности исключительно геометрическим путем, что представляло большие трудности, и только со времени Декарта, давшего метод координат, изучение их значительно упростилось.

Кривая второго порядка и её вычисление

Уравнение линии. Кривые второго порядка. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола. Приведение к каноническому виду.

Уравнение линии в декартовых и полярных координатах

В лекции 3 было введено понятие неявной функции, задаваемой уравнением вида F(x,y) = 0.

Определение 6.1. Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению
(6.1) F(x;y) = 0
называется линией (плоской кривой).

Не всякое уравнение определяет линию. Например, уравнение x² + y² = -1 не определяет никакой линии. Кроме того, линия может состоять из отдельных точек. Так, например, уравнению x² + y² = 0 удовлетворяет только начало координат.

Линия не обязательно является графиком функции. Так, например, уравнение x² + y² = 1 определяет окружность с центром в начале координат и радиуса 1 (т.к. d = = 1, расстояние от начала координат равно 1). Однако это не будет графиком функции у от х, т.к. каждому х, |x| ≤ 1, соответствует два значения у: у = ±, т.е. линия задается двумя функциями у = (верхняя полуокружность) и у = — (нижняя полуокружность).

Уравнение произвольной окружности с центром в точке M(a;b) и радиусом R будет иметь вид:
(6.2) (х — а)² + (у- b)² = R²,
т.к. окружность радиусом R есть геометрическое место точек плоскости, находящихся на расстоянии R от центра, т.е. в соответствии с формулой ( 6.2) d = = R.

В частности, окружность с центром в начале координат, радиусом R, описывается уравнением
x² + y² = R².

Пример 6.1. Какую линию описывает уравнение x² + y² = Rx?

Решение: Перенося Rx в левую часть и выделяя полный квадрат, получаем:
x² + y² = Rx ⇔ X2 — Rx + у² = 0 ⇔ x² — Rx + ⇔
(х — ) + y² = .

Ответ: данное уравнение описывает окружность с центром в точке M(;0) и радиусом .

Линия может определяться на плоскости уравнением как в декартовых, так и в полярных координатах: F(; r) = 0. Если при этом зависимость r от обладает тем свойством, что каждому значению из области определения соответствует единственное значение r, то данная линия будет графиком функции r от : r = f().

Пример 6.2. Построить график функции, заданной в полярных координатах уравнением r = 2 sin3, ∈ (—∞; ∞).

Решение: Составим таблицу некоторых значений этой функции:

	0
r	0	1		2		1	0	-2

Рис. 70. График функции r = 2 sin 3 в декартовых координатах

Далее, пользуясь тем, что из вида графика функции r = 2 sin 3, приведенного в декартовых координатах на рис. 70, следует, что неотрицательные значения г повторяются на промежутках ∈ [0; ], ∈ [;π], ∈ [-;] и т. д.. Отсюда заключаем, что если в полярных координатах построить график в секторе ∈ [0; ], то в секторах ∈ [; π], ∈ [— ; ] и т. д. вид графика будет аналогичный, а в секторах ∈ (; ), ∈ ;0) и т.д. графика не будет, т.к. там r Рис. 71. График функции r = 2 sin 3 в полярных координатах

Такой график называют называют “трехлепестковая роза”.

Кривые второго порядка:

Определение 6.2. Кривой второго порядка называется линия, определяемая в декартовых координатах уравнением:
(6.3) Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = O.

Здесь коэффициенты — действительные числа и, по крайней мере, одно из чисел A₁B или C не равно нулю. Удобство таких обозначений для коэффициентов (2В, 2D, 2Е) станет ясно позже.

Всего существует три ’’реальных” кривых второго порядка: эллипс, (окружность — частный случай эллипса) гипербола и парабола, не считая такие линии, как ’’пара пересекающихся прямых” (ху = 0), «пара параллельных прямых” ((x — у)² — 4), ’’точка” ((x — 5)² + (у — 1)² = 0), ’’прямая” (х — 1)² = 0) и ’’мнимые кривые” (x² + y² + 5 = 0), которым не соответствует ни одна точка.

Окружность

Ранее было получено уравнение ( 6.2) окружности с центром в точке M(а; b), радиусом R. Это уравнение вида ( 6.3), т.е. окружность есть кривая второго порядка — можно показать, что уравнение (6.3), в котором A = C и B = O c помощью дополнения до полного квадрата каждой группы членов Ax² + 2Dx и By² + 2Еу приводится к виду (6.2), определяющему окружность радиуса R, или к виду: (х — а)² + (у — b)² = -R², не определяющему линию при R ≠ 0. Покажем это на примере.

Пример:

Показать, что уравнение 2x² + 2y² — 4x + 8y — 13 = 0 определяет окружность.

Решение: Поделив обе части на 2, получим уравнение в виде: x² + y² — 2x + 4y — 6,5 = 0 или, выделяя полный квадрат: (x² — 2х + 1) + (у² + 4y + 4) = 11,5 ⇔ (х — 1)² + (у + 2)² =11,5. Мы получим уравнение окружности с центром M(1; —2) и радиусом R = √11,5.

Пример:

Показать, что уравнение х² + у² + 6х — 6у + 22 = 0 не определяет никакой линии.

Решение:

Аналогично предыдущему, выделяя полный квадрат, получаем: х² + у² + 6х — 6у + 22 = 0 ⇔ (х² + 6х + 9) + (у² — 6у + 9) = — 4 ⇔ (x + 3)² + (y — 3)² =-4.

Эллипс

Определение:

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, равна постоянной величине.

Обозначим фокусы F₁ и F₁, расстояние между ними 2с, а сумму расстояний до них от точек эллипса через 2а (2а > 2с). Выберем декартову систему координат как показано на рис. 72. По определению эллипса: MF₁ + MF₂ = 2а. Пользуясь формулой (2.6) получаем:

Рис. 72. Фокусы эллипса и гиперболы

Обозначив b² = a² — с² > 0, получаем: b²x² + a²y² — a²b² или:
(6.4)

Уравнение ( 6.4) называется каноническим уравнением эллипса, а и b — полуосями, а — большая полуось, b — малая, т.к. b = Рис. 73. Эллипс

Так как 2а > 2с, то ε т.е. тем меньше эллипс вытянут вдоль фокальной оси Ох. В пределе, при ε → 0,a = b и получается окружность x² + у² = а² радиусом а При этом с = = 0, т.е. F₁ — F₂ = 0. Если эллипс расположен так, что центр его симметрии находится в точке P(x₀; y₀), а полуоси параллельны осям координат, то, перейдя к новым координатам X = х — х₀, У = у — у₀, начало которых совпадает с точкой Р, а оси параллельны исходным (см. п. 2.8), получим, что в новых координатах эллипс описывается каноническим уравнением Уравнение такого эллипса в старых координатах будет:
(6.5)

Гипербола

Определение 6.4. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, равен постоянной величине.

Обозначим фокусы F₁ и F₂, расстояние между ними 2с, а модуль разности расстояний до них от точек гиперболы через 2a (2c > 2a > 0). Выберем декартову систему координат, как показано на рис. 72. По определению гиперболы: MF₁ — MF₂ = ±2а. Пользуясь формулой (2.6), аналогично тому, как это было сделано для эллипса, получаем:
= ±2a ⇒ (а² — c²)x² + a²y² = a²(a² — с²). Обозначив b² = с² — a² > 0 (сравните с выводом формулы ( 6.4) для эллипса), получаем: -b²x² + a²y² = -b²a², или:

Уравнение (6.6) называется каноническим уравнением гиперболы, а и b — полуосями, а — действительной полуосью, b — мнимой. Так как х и у входят в уравнение только в четных степенях, гипербола симметрична относительно осей Ox и Оу. Выразив у из уравнения ( 6.6), получаем: , |x| ≥ а, что означает, что гипербола состоит из двух симметричных половин, верхней у = и нижней у = — . При х = а у = 0, при возрастании х от 0 до +∞, у для верхней части возрастает от 0 до +∞. C учетом симметрии, получаем линию, изображенную на рис. 74.

Точки пересечения гиперболы с осью Ox (фокальной осью) называются ее вершинами A₂(а;0), A₁(-a;0). C осью ординат гипербола не пересекается, поэтому фокальная ось называется действительной осью (а — действительная полуось), а перпендикулярная ей ось — мнимой осью (b — мнимая полуось). Можно показать, что при неограниченном возрастании абсциссы точка гиперболы неограниченно приближается к прямой у = (изображена на рис. 74 пунктиром). Такая прямая, к которой неограниченно приближается некоторая линия, называется асимптотой. Из соображений симметрии вытекает, что у гиперболы две асимптоты: у = и у =-, изображенные на рис. 74 пунктиром. Прямоугольник, с центром в начале координат, со сторонами 2а и 2b, параллельными осям, называется основным. Асимптоты являются его диагоналями.

Рис. 74. Гипербола

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Т.к. 2α 1. Эксцентриситет определяет форму гиперболы: чем меньше е, тем более вытянут в направлении фокальной оси ее основной прямоугольник (= = — 1 = ε² — 1). Если а = b, гипербола называется равносторонней (равнобочной). Для нее х² — у² = а², асимптоты: у = х, у = —х, ε = = √2. Если центр гиперболы (центр ее симметрии) находится в точке P(x₀; y₀), a оси параллельны осям координат, то, применяя параллельный перенос координат (п. 2.8), аналогично тому, как это было сделано для эллипса, получим уравнение гиперболы:
(6.7)

Уравнение асимптот такой гиперболы будет: у — y₀ =

Парабола

Определение:

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой d, называемой директрисой (F ∉ d).

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы р. Эта величина называется параметром параболы. Выберем декартову систему координат как показано на рис. 75.

По определению параболы MF=MN. Из рис. 75. ясно, что:

Рис. 75. Фокус и директриса параболы

Приравнивая, получаем:

(6.8) у² = 2рх

Уравнение ( 6.8) называется каноническим уравнением параболы. Т.к. у входит в уравнение в четной степени, парабола симметрична относительно оси Ох. Выразив у из уравнения, получаем: у = , х ≥ 0. При х =0 у = 0, при возрастании х от 0 до +∞ у для верхней части возрастает от 0 до +∞. C учетом симметрии получаем линию, изображенную на рис. 76.

Ось симметрии параболы называется фокальной осью (ось Ox на рис. 76), точка пересечения пораболы с ней называется вершиной пораболы (точка О на рис. 76). Если вершина параболы находится в точке P(x₀; у₀), фокальная ось параллельна и одинаково направлена с осью Ox и расстояние от директрисы до фокуса равно Р, то с помощью параллельного переноса осей координат нетрудно получить уравнение такой параболы:
(6.9) (y — y₀)² = 2p(x -х₀)

Пример:

Найти фокус, директрису, фокальную ось для параболы у= 4x².

Рис. 76. Парабола

Решение:

Как известно, осью симметрии параболы у = х² является ось Оу, а вершиной — точка О, поэтому фокальной осью будет ось Оу, вершиной — начало координат.

Для определения фокуса и директрисы запишем уравнение данной параболы в виде: x² = y, откуда 2р =; р =. Поэтому фокус имеет координаты F(0; ), а директриса — уравнение у = — (см. рис. 77).

Рис. 77. График параболы у = 4х²

Понятие о приведении общего уравнения второго порядка к каноническому виду

Если в общем уравнении кривой второго порядка ( 6.3)
Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey +F = 0
коэффициент 2B ≠ 0, то методами, которые будут изложены позже (лекция 34) это уравнение преобразуется к виду, в котором отсутствует член с произведением координат (т.е. 2В — 0).

Для приведения к каноническому виду уравнения ( 6.3), в котором 2В = 0, необходимо дополнить члены, содержащие х и у, до полных квадратов.

Если при этом (В = 0) А = С, то получится окружность (пример 6.3), точка или мнимая окружность (пример 6.4).

Если при этом (В = 0) A ≠ C и A ∙ C > 0, то получится эллипс (пример 6.8) или мнимый эллипс.

Если при этом (В = 0) A ≠ C и A ∙ C Рис. 78. Гипербола

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение и определите вид кривой: x² — 6x — 4y + 29 = 0.

Решение:

Выделим полный квадрат: x² — 6x — 4y + 29 = 0 ⇔ x² — 6x + 9 = 4y — 20 ⇔ (x — 3)² = 4(у — 5). Сделав замену координат X =х — 3, Y = у — 5 мы получим каноническое уравнение параболы X² = 4Y с осью OY и параметром р = 2. Таким образом исходная парабола имела вершину A(3; 5) и ось х = 3 параллельную оси Oy (рис. 79).

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение и определите вид кривой: x² + 4y² + 2x — 24y + 21 =0.

Решение:

Выделив полный квадрат, получим уравнение: (x + 1)² + 4(у — 3)² = 16. Сделав замену координат: X = х + 1, Y = y — 3, получим каноническое уравнение эллипса: X² + AY² ⇔ = 1 с параметрами а = 4, b = 2. Таким образом, исходный эллипс имел центр A( —1;3) и полуоси а = 4, b = 2 (рис. 80).

Рис. 79. Решение примера 6.7 Рис. 80. Решение примера 6.8

Решение заданий на тему: Кривые второго порядка

Пример:

Составьте уравнение окружности, имеющей центр 0(2; —5) и радиус R = 4.

Решение:

В соответствии с формулой (6.2) искомое уравнение имеет вид: (х — 2)² + (у + 5)² = 16.

Ответ: (х — 2)² + (у + 5)² = 16.

Пример:

Составьте уравнение эллипса, зная, что сумма полуосей равна 8 и расстояние между фокусами равно 8.

Решение:

Из условия имеем: a + b = 8, 2c = 8. C учетом того, что b² = а² — с², находим с = 4, а = 5, b = 3. Искомое уравнение эллипса будет: .

Ответ:

Пример:

Составьте уравнение гиперболы, зная, что фокусы F₁(10;0) и F₂(-10; 0) и что гипербола проходит через точку M(12; 3√5)

Решение:

Из условия имеем: с = 10, |MF₁ — MF₂|= 2а ⇔ 2а = ⇔ а = 8. C учетом того, что b² = с² — а², находим а = 8, с = 10, b = 6. Искомое уравнение гиперболы будет: .
Ответ: .

Пример:

Составьте уравнение параболы, зная, что фокус имеет координаты (5;0), а ось ординат является директрисой.

Решение:

Поскольку расстояние от директрисы параболы до ее полюса равно параметру р, а вершина находится на середине, из условия следует, что р = 5 и вершина расположена в точке A(2,5;0). Таким образом, в новых координатах X = х — 2,5; У = у каноническое уравнение параболы будет: Y² = 10Х, а в старых координатах: у² = 10(х — 2,5).
Ответ: y² = 10x — 25.

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение x² + y² — 2х + 6у — 5 = 0, определите вид кривой и ее параметры.

Решение:

Выделим полный квадрат: х² — 2х + у² + 6у — 5 = 0 ⇔ x² — 2x + 1 + у² + 6у + 9 — 1 — 9 — 5 = 0 ⇔ (х — 1)² + (у + 3)² = 15

В соответствии с формулой (6.2) это есть уравнение окружности с центром в точке A(1; -3), радиусом √5.
Ответ: (х — 1)² + (у + 3)² = 15.

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение x² + 4у² + 4х — 16у — 8 = 0, определите вид кривой и ее параметры:

Решение:

Выделим полный квадрат: x² + 4х + 4у² — 16y -8 = 0 ⇔ x²+4x + 4 + 4y²- 16y + 16-4-16-8 = 0 ⇔ (x + 2)² + 4(y²-4у+ 4) -28 ⇔ (х + 2)² + 4(y — 2)² = 28 ⇔ = 1. Сделав замену координат: X = x +2, Y = у — 2, в новых координатах получим уравнение эллипса с полуосями а = √28 и b = √7. Таким образом, в старых координатах эллипс имеет центр A(—2; 2) и полуоси а = 2√7 и b = √7.
Ответ: = 1.

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение x² + 2y² + 8x — 4 = 0, определите вид кривой и ее параметры.

Решение:

Выделим полный квадрат:
x²+2y²+8x-4 = 0 ⇔ x²+8x+16+2y²-16-4 =0 ⇔ (x+4)²+2y2-20 = 0 ⇔ =1

Сделав замену координат X = х + 4, Y — у, убеждаемся, что эта кривая — эллипс, с полуосями a = 2√5 и b = √10 и центром A(-4;0).
Ответ: =1

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Как найти координаты центр окружности??

Инструкция
1
Аналитически окружность задается уравнением вида (x-x0)²+(y-y0)²=R², где x0 и y0 − координаты центра окружности, R − ее радиус. Итак, центр окружности (x0;y0) здесь задан в явном виде.
2
Пример. Установите центр фигуры, заданной в декартовой системе координат уравнением (x-2)²+(y-5)²=25.
Решение. Данное уравнение является уравнением окружности. Ее центр имеет координаты (2;5). Радиус такой окружности равен 5.
3
Уравнение x²+y²=R² соответствует окружности с центром в начале координат, то есть, в точке (0;0). Уравнение (x-x0)²+y²=R² означает, что центр окружности имеет координаты (x0;0) и лежит на оси абсцисс. Вид уравнения x²+(y-y0)²=R² говорит о расположении центра с координатами (0;y0) на оси ординат.
4
Общее уравнение окружности в аналитической геометрии запишется как: x²+y²+Ax+By+C=0. Чтобы привести такое уравнение к выше обозначенному виду, надо сгруппировать члены и выделить полные квадраты: [x²+2(A/2)x+(A/2)²]+[y²+2(B/2)y+(B/2)²]+C-(A/2)²-(B/2)²=0. Для выделения полных квадратов, как можно заметить, требуется добавлять дополнительные величины: (A/2)² и (B/2)². Чтобы знак равенства сохранялся, эти же величины надо вычесть. Прибавление и вычитание одного и того же числа не меняет уравнения.
5
Таким образом, получается: [x+(A/2)]²+[y+(B/2)]²=(A/2)²+(B/2)²-C. Из этого уравнения уже видно, что x0=-A/2, y0=-B/2, R=√[(A/2)²+(B/2)²-C]. Кстати, выражение для радиуса можно упростить. Домножьте обе части равенства R=√[(A/2)²+(B/2)²-C] на 2. Тогда: 2R=√[A²+B²-4C]. Отсюда R=1/2·√[A²+B²-4C].
6
Окружность не может быть графиком функции в декартовой системе координат, так как, по определению, в функции каждому x соответствует единственное значение y, а для окружности таких «игреков» будет два. Чтобы убедиться в этом, проведите перпендикуляр к оси Ox, пересекающий окружность. Вы увидите, что точек пересечения две.
7
Но окружность можно представить как объединение двух функций: y=y0±√[R²-(x-x0)²]. Здесь x0 и y0, соответственно, представляют собой искомые координаты центра окружности. При совпадении центра окружности с началом координат объединение функций принимает вид: y=√[R²-x²].

[spoiler title=”источники:”]

http://lfirmal.com/krivyie-vtorogo-poryadka-ellips-giperbola-parabola/

http://sprashivalka.com/tqa/q/4723581

[/spoiler]

Содержание:

Окружность:

Определение: Кривой второго порядка называется линия, описываемая уравнением

Замечание: Если коэффициенты

При определенных значениях параметров, входящих в это уравнение, оно дает канонические у равнения окружности, эллипса (не путать с овалом), гиперболы и параболы. Рассмотрим эти кривые второго порядка в указанной последовательности.

Определение: Окружностью называется геометрическое место точек равноудаленных от выделенной точки называемой центром окружности, на расстояние R, которое называется радиусом окружности.

Получим уравнение окружности (Рис. 27). Пусть точка М(х;у) лежит на окружности:

Рис. 27. Вывод уравнения окружности.

Из рисунка видно, что по теореме Пифагора которое определяет уравнение окружности (Рис. 28):

Рис. 28. Окружность.

Если то уравнение принимает вид который называется каноническим уравнением окружности.

Пример:

Составить уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой М (2; 1), прямая линия является касательной к окружности.

Решение:

Радиус окружности равен расстоянию от центра окружности точки М (2; 1) до прямой l, т.е.

В уравнении окружности таким образом оно имеет вид:

Пример:

Составить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых причем одной из них в т. А (1; 2).

Решение:

Прежде всего определим, на какой из прямых или лежит точка A(1; 2). Для этого подставим ее координаты в уравнения прямых

следовательно, точка A(1; 2) принадлежит линии (в сокращенной форме это предложение пишут так: где значок означает “принадлежит”. Таким образом, диаметр окружности D равен расстоянию от точки A(1; 2) до прямой

а радиус окружности Найдём координаты центра окружности точки которая делит отрезок АВ пополам. Вначале составим уравнение прямой (АВ) и вычислим координаты точки перейдем от общего уравнения прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом Так как прямаято её угловой коэффициент Прямая (АВ) проходит через известную точку A(1;2), следовательно, Отсюда находим Таким образом,уравнение прямой (АВ):

Найдем координаты точки B, которая является пересечением прямых и (АВ), т.е. решим систему линейных алгебраических уравнений, составленную из уравнений прямых и (АВ): (В): Подставим выражение для переменной у из второго у равнения в первое, получим Подставив это значение во второе уравнение системы, найдем т.е.

Для вычисления координат точки О применим формулы деления отрезка пополам (О): в этой формуле (координаты точки О), (координаты точки А), (координаты точки В), следовательно, т.е. координаты точки О

Таким образом, уравнение искомой окружности имеет вид:

Окружность в высшей математике

Рассмотрим уравнение

которое получается из уравнения (I), если положить , .

Если в формулу, выражающую расстояние между двумя точками, подставить , , то получим Из уравнения (1) находим, что , т. е. . Это значит, что все точки , координаты которых удовлетворяют уравнению (1), находятся на расстоянии от начала координат. Следовательно, геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), есть окружность радиуса с центром в начале координат. Аналогично получаем, что уравнение определяет окружность радиуса с центром в точке .

Пример:

Найдем уравнение окружности с центром в точке и радиусом, равным 10.

Решение:

Полагая, получим .

Разрешим это уравнение относительно , будем иметь

и

Первое из этих уравнений есть уравнение верхней половины окружности, второе—нижней.

Центральный угол. Градусная мера дуги

Дуга окружности. Если отметить на окружности точки и , то окружность разделится на две дуги: большую дугу (мажорная дуга) и меньшую дугу (минорная дуга). Если точка является какой-либо точкой дуги , то . Если точки и являются концами диаметра, го каждая дуга является полуокружностью.

Центральный угол. Угол, вершина которого находится в центре окружности, называется центральным углом. Дугу окружности можно измерять в градусах. Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла:

Сумма всех центральных углов окружности, не имеющих общую внутреннюю точку, равна

Дуги окружности и их величины

Пример: минорная дуга:

мажорная дуга:

Конгруэнтные дуги

В окружности конгруэнтным центральным углам соответствуют конгруэнтные дуги и наоборот.

Если

Если

Длина дуги

Какую часть составляет центральный угол от всей окружности, такую же часть длина дуги составляет от длины всей окружности.

Длина дуги в равна части длины окружности.

Длина дуги, соответствующей центральному углу с градусной мерой , составляет части длины окружности:

Длина дуги выражается единицами измерения длины (мм, см, м, и т.д.)

Пример №1

Длина окружности равна 72 см. Найдите длину дуги, соответствующей центральному углу .

Решение:

Так как центральный угол составляет часть полного угла, то длина искомой дуги:

Пример №2

Найдите длину дуги, соответствующей центральному углу в окружности радиусом 15 см.

Решение: подставляя значения в формулу длины дуги находим:

Окружность и хорда

Теорема о конгруэнтных хордах

Теорема 1. Хорды, стягивающие конгруэнтные дуги окружности, конгруэнтны.

Обратная теорема 1. Дуги, стягиваемые конгруэнтными хордами окружности, конгруэнтны.

1)Если , то

2)Если

Доказательство теоремы 1:

Теорема о серединном перпендикуляре хорд

Теорема 2.

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду и соответствующую дугу пополам.

Если

Доказательство теоремы 2.

Дано: – центральный угол,

Докажите:

Начертите радиусы и окружности.

Следствие 1. Прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная хорде, делит хорду и ее дугу пополам.

Следствие 2. Центр окружности расположен на серединном перпендикуляре хорды. Серединный перпендикуляр хорды проходит через центр окружности.

Пример: Найдите расстояние от центра до хорды длиной 30 единиц в окружности радиусом 17 единиц. Если , то . Из по теореме Пифагора имеем:

Теорема о хордах, находящихся на одинаковом расстоянии от центра окружности

Теорема 3.

Конгруэнтные хорды окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Если , то

Обратная теорема 3. Хорды, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра окружности, конгруэнтны.

Доказательство теоремы 3

Дано: Окружность с центром

Докажите:

Доказательство (текстовое): Прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная хорде, делит хорду и стягивающую ее дугу пополам. и – серединные перпендикуляры конгруэнтных хорд и . , так как они являются половиной конгруэнтных хорд. Начертим радиусы окружности и : . Прямоугольные треугольники, и конгруэнтны (по катету и гипотенузе). Так как и являются соответствующими сторонами данных треугольников, то они конгруэнтны: . Теорема доказана.

Задача. Хорды и находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности. . Если радиус окружности равен 41 единице, то найдите .

Решение: Так как хорды и находятся на одинаковом расстоянии от центра, то они конгруэнтны: Соединим точки и с точкой В прямоугольном треугольнике ; ; ;

Так как

Угол, вписанный в окружность

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется углом вписанным в окружность. Дуга, соответствующая углу, вписанному в окружность, называется дугой, на которую опирается этот угол.

является углом вписанным в окружность с центром , а дуга, на которую опирается этот угол. Ниже показаны три разных угла, вписанных в окружность.

Угол, вписанный в окружность:

Теорема 1. Градусная мера угла, вписанного в окружность, равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство (текстовое): и радиусы окружности и равнобедренный треугольник. Значит, Так как является внешним углом , Если примем, что , то Так как градусные меры центрального угла и опирающейся на него дуги равны, то Следовательно, .

Следствие 1. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.

Следствие 2. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр (полуокружность), является прямым углом.

Конгруэнтные углы, вписанные в окружность

Следствие 3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, конгруэнтны. , .

Следствие 4. Вписанные углы, опирающиеся на конгруэнтные дуги, конгруэнтны. Если , то .

Касательная к окружности

Касательная. Признак касательной

Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью, называется касательной. Теорема 1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Прямая является касательной к окружности. Значит, Обратная теорема (признак касательной): Прямая, проходящая через точку окружности и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку, является касательной окружности.

Прямая, касающаяся обеих окружностей, называется общей касательной этих окружностей. Окружности, касаясь друг друга изнутри или извне, могут иметь общую касательную в одной точке. Также окружности могут касаться одной касательной в разных точках.

Две окружности могут иметь несколько общих касательных или вообще не иметь общих касательных.

Доказательство теоремы 1. Если прямая – касательная к окружности, значит, она имеет единственную общую точку с окружностью. Допустим, что прямая не перпендикулярна радиусу Проведем и на прямой выделим отрезок Тогда так как Значит, точка также находится на окружности. То есть прямая имеет с окружностью две общие точки, что противоречит условию. Значит,

Свойства касательных, проведенных к окружности из одной точки

Теорема 2. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, конгруэнтны, и центр окружности находится на биссектрисе угла, образованного касательными.

и касательные, проведенные из точки к окружности с центром

Углы, образованные секущими и касательными

Прямая, имеющая две общие точки с окружностью, называется секущей окружности.

Углы между двумя секущими

Вершина угла находится внутри окружности

Теорема. Если вершина угла, образованного двумя секущими, находится внутри окружности, то градусная мера угла равна полусумме величин дуг на которые опирается этот угол и угол вертикальный данному.

Углы между касательной и секущей

Вершина угла находится на окружности

Теорема. Если вершина угла, образованного касательной и секущей, находится на окружности, то градусная мера угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Углы, образованные касательной и секущей

Вершина угла находится вне окружности

Теорема 1.

Градусная мера угла, образованного секущей и касательной, двумя касательными, двумя секущими окружности (если вершина угла находится вне окружности), равна половине разности градусных мер дуг, находящихся между сторонами угла.

Отрезки секущих и касательных

Длина отрезков, секущих окружность

Теорема 1. При пересечении двух хорд, произведение отрезков одной хорды, полученных точкой пересечения, равно произведению отрезков второй хорды.

Теорема 2. Если из точки провести две прямые, пересекающие окружность соответственно в точках и , и то верно равенство

Теорема 3. Если из точки проведены прямая, которая пересекает окружность в точках и и касательная к окружности в точке то верно равенство:

Уравнение окружности

Используя формулу расстояния между двумя точками, можно написать уравнение окружности с радиусом и с центром в начале координат. Расстояние между центром окружности и ее любой точкой равно радиусу окружности.

Расстояние между двумя точками

Упрощение

Возведение обеих частей в квадрат

Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом :

Например, уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 2 имеет вид:

По формуле расстояния между центром окружности и точки на окружности радиуса имеем Возведя в квадрат обе части, получаем уравнение окружности с центром в точке и радиусом

Например, уравнение окружности с центром в точке и радиусом 4 имеет вид:

Пример №3

Постройте на координатной плоскости окружность, заданную уравнением

Решение: Напишем уравнение в виде Как видно,

Отметим 4 точки, находящиеся на расстоянии 5 единиц от начала координат. Например, Проведем окружность через эти точки.

Пример №4

Точка находится на окружности, центром которой является начало координат. Напишите уравнение этой окружности.

Решение: Записав координаты точки в уравнении , получим: Уравнение этой окружности:

Пример №5

Найдем центр и радиус окружности, заданной уравнением

Решение:

Центр окружности точка Радиус

Пример №6

Мобильные телефоны работают с помощью передачи сигналов посредством спутников из одной передающей станции в другую. Компания мобильного оператора старается расположить передающую станцию так, чтобы обслуживать больше пользователей. Представим, что три больших города находятся в точках На координатной плоскости 1 единица равна расстоянию в 100 км. Передающая станция должна быть расположена в точке, находящейся на одинаковом расстоянии от этих городов. Напишите координаты этой точки и уравнение соответствующей окружности.

Решение: Сначала соединим эти точки и найдем точку пересечения серединных перпендикуляров сторон полученного треугольника. Эта точка Эта точка, являясь центром окружности, показывает месторасположение станции. Расстояние между центром и любой из заданных точек является радиусом окружности,

Уравнение окружности:

Заметка. Определив линейные уравнения, соответствующие серединным перпендикулярам, можно найти координаты центра окружности решением системы уравнений.

Координаты точек, находящихся на окружности, и тригонометрические отношения

Если точка при повороте радиуса вокруг точки против движения часовой стрелки на угол преобразуется в точку то

Для координат точки соответствующей углу поворота на окружности, верны формулы В этих формулах – угол, отсчитываемый от положительной оси против движения часовой стрелки. Если точка не находится на оси ординат, то .

Синусы смежных углов равны, а косинусы взаимно противоположны.

Из этих формул при почленным делением получаем:

С помощью формул, приведенных выше, вычисление синуса, косинуса, тангенса для тупого угла можно свести к вычислению синуса, косинуса, тангенса острого угла, соответственно.

Сектор и сегмент

Сектор часть круга, ограниченная центральным углом, образованным двумя радиусами и соответствующей этому углу дугой. Площадь сектора, соответствующего центральному углу, составляет ту часть площади круга, которую составляет центральный угол от полного угла.

Например, часть круга, соответствующая центральному углу , составляет часть всего круга. Так как площадь круга , то площадь этого сектора будет Сегмент часть круга, ограниченная хордой и соответствующей дугой.

Площадь сектора

Площадь сектора:

Площадь сегмента:

Указание: При нахождении площади сегмента, соответствующего большей дуге, к площади соответствующего сектора прибавляется площадь

Геометрия круга

Круг, его части, их размеры и соотношения — вещи, с которыми ювелир постоянно сталкивается. Кольца, браслеты, касты, трубки, шары, спирали — много всего круглого приходится делать. Как же всё это посчитать, особенно если тебе посчастливилось в школе прогулять уроки геометрии?..

---

Давайте сначала рассмотрим, какие у круга бывают части и как они называются.

• Окружность — линия, ограничивающая круг.
• Дуга — часть окружности.
• Радиус — отрезок, соединяющий центр круга с какой-либо точкой окружности.
• Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
• Сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой.
• Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.

---

Интересующие нас величины и их обозначения:

---

Теперь посмотрим, какие задачи, связанные с частями круга, приходится решать.

• Найти длину развертки какой-либо части кольца (браслета). Задан диаметр и хорда (вариант: диаметр и центральный угол), найти длину дуги.
• Есть рисунок на плоскости, надо узнать его размер в проекции после сгибания в дугу. Заданы длина дуги и диаметр, найти длину хорды.
• Узнать высоту детали, полученной сгибанием плоской заготовки в дугу. Варианты исходных данных: длина дуги и диаметр, длина дуги и хорда; найти высоту сегмента.

Жизнь подскажет и другие примеры, а эти я привел только для того, чтобы показать необходимость задания каких-нибудь двух параметров для нахождения всех остальных. Вот этим мы и займемся. А именно, возьмем пять параметров сегмента: D, L, X, φ и H. Затем, выбирая из них все возможные пары, будем считать их исходными данными и путем мозгового штурма находить все остальные.

Чтобы зря не грузить читателя, подробных решений я приводить не буду, а приведу лишь результаты в виде формул (те случаи, где нет формального решения, я оговорю по ходу дела).

И еще одно замечание: о единицах измерения. Все величины, кроме центрального угла, измеряются в одних и тех же абстрактных единицах. Это значит, что если, к примеру, вы задаёте одну величину в миллиметрах, то другую не надо задавать в сантиметрах, а результирующие значения будут измеряться в тех же миллиметрах (а площади — в квадратных миллиметрах). То же самое можно сказать и про дюймы, футы и морские мили.

И только центральный угол во всех случаях измеряется в градусах и ни в чём другом. Потому что, как показывает практика, люди, проектирующие что-нибудь круглое, не склонны измерять углы в радианах. Фраза «угол пи на четыре» многих ставит в тупик, тогда как «угол сорок пять градусов» — понятна всем, так как это всего на пять градусов выше нормы. Однако, во всех формулах будет присутствовать в качестве промежуточной величины еще один угол — α. По смыслу это половина центрального угла, измеренная в радианах, но в этот смысл можно спокойно не вникать.

---

1. Даны диаметр D и длина дуги L

;     длина хорды ;
высота сегмента ;    центральный угол .

---

2. Даны диаметр D и длина хорды X

;     длина дуги ;
высота сегмента ;    центральный угол .

Поскольку хорда делит круг на два сегмента, у этой задачи не одно, а два решения. Чтобы получить второе, нужно в приведенных выше формулах заменить угол α на угол .

---

3. Даны диаметр D и центральный угол φ

;     длина дуги ;
длина хорды ;    высота сегмента .

---

4. Даны диаметр D и высота сегмента H

;     длина дуги ;
длина хорды ;    центральный угол .

---

6. Даны длина дуги L и центральный угол φ

;     диаметр ;
длина хорды ;    высота сегмента .

---

8. Даны длина хорды X и центральный угол φ

;     длина дуги ;
диаметр ;    высота сегмента .

---

9. Даны длина хорды X и высота сегмента H

;     длина дуги ;
диаметр ;    центральный угол .

---

10. Даны центральный угол φ и высота сегмента H

;     диаметр ;
длина дуги ;    длина хорды .

---

Внимательный читатель не мог не заметить, что я пропустил два варианта:

5. Даны длина дуги L и длина хорды X

7. Даны длина дуги L и высота сегмента H

Это как раз те два неприятных случая, когда у задачи нет решения, которое можно было бы записать в виде формулы. А задача-то не такая уж редкая. Например, у вас есть плоская заготовка длины L, и вы хотите согнуть ее так, чтобы ее длина стала X (или высота стала H). Какого диаметра взять оправку (ригель)?

Задача эта сводится к решению уравнений:
; — в варианте 5
; — в варианте 7
и хоть они и не решаются аналитически, зато легко решаются программным способом. И я даже знаю, где взять такую программу: на этом самом сайте, под именем Segment. Всё то, что я тут длинно рассказываю, она делает за микросекунды.

---

Для полноты картины добавим к результатам наших вычислений длину окружности и три значения площадей — круга, сектора и сегмента. (Площади нам очень помогут при вычислении массы всяких круглых и полукруглых деталей, но об этом — в отдельной статье.) Все эти величины вычисляются по одним и тем же формулам:

длина окружности ;
площадь круга ;
площадь сектора ;
площадь сегмента ;

---

И в заключение еще раз напомню о существовании абсолютно бесплатной программы, которая выполняет все перечисленные вычисления, освобождая вас от необходимости вспоминать, что такое арктангенс и где его искать.

Программа Segment

Как найти хорду

Понятие хорда в школьном курсе геометрии связано с понятием окружность.Окружностью называется плоская фигура, составленная из всех точек этой плоскости равностоящих от заданной плоскости. Радиусом окружности называется расстояние от центра до любой точки лежащей на ней.Ходой называется отрезок, соединяющий любые две точки, лежащие на окружности.

Инструкция

Самая длинная хорда проходит через центр окружности, при этом её называют диаметром, и обозначается d. Длина такой хорды равна
d = 2 * R, где R – радиус окружности.

Для получения длины произвольной хорды необходимо ввести дополнительное понятие.
Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом этой окружности.
Если известна градусная мера центрального угла ??, то длина хорды, на которую она опирается, рассчитывается по формулам
h = 2 * R * sin(??/2)
h = R * v(2 * (1 – cos??))
h = 2 * R * cos??, где ?? = (П – ??)/2, П – число П

Видео по теме

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?