Как найти координаты нормального вектора прямой

В аналитической геометрии часто требуется составить общее уравнение прямой по принадлежащей ей точке и вектору нормали к прямой.

Общее уравнение прямой на плоскости выглядит как $Ax + By + C = 0$. Подставляя в него различные значениях $A$, $B$ и $C$, в том числе нулевые, можно определить любые прямые.

Можно выразить уравнение прямой и другим способом:

$y = kx + b$.

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом. В нем геометрический смысл коэффициента $k$ заключается в угле наклона прямой по отношению к оси абсцисс, а независимого члена $b$ – в расстоянии, на которое прямая отстоит от центра координатной плоскости, т.е. точки $O(0; 0)$.

Нормальное уравнение прямой можно выразить и в тригонометрическом виде:

$x cdot cos{alpha} + y cdot sin{alpha} – p = 0$

где $alpha$ – угол между прямой и осью абсцисс, а $p$ – расстояние от начала координат до рассматриваемой прямой.

Возможны четыре варианта зависимости наклона прямой от величины углового коэффициента:

1. когда угловой коэффициент положителен, направляющий вектор прямой идёт снизу вверх;
2. когда угловой коэффициент отрицателен, направляющий вектор прямой идёт сверху вниз;
3. когда угловой коэффициент равен нулю, описываемая им прямая параллельна оси абсцисс;
4. для прямых, параллельных оси ординат, углового коэффициента не существует, поскольку тангенс 90 градусов является неопределенной (бесконечной) величиной.

«Нормальный вектор прямой» 👇

Чем больше абсолютное значение углового коэффициента, тем круче наклонен график прямой.

Зная угловой коэффициент, легко составить уравнение графика прямой, если дополнительно известна точка, принадлежащая искомой прямой:

$y – y_0 = k cdot (x – x_0)$

Таким образом, геометрически прямую на координатной всегда можно выразить с помощью угла и расстояния от начала координат. В этом и заключается смысл нормального вектора к прямой – самого компактного способа записи ее положения, если известны координаты хотя бы одной точки, принадлежащей этой прямой.

Для каждой прямой можно найти бесконечное множество нормальных векторов, равно как и направляющих векторов, т.е. таких, которые параллельны этой прямой. При этом все нормальные векторы к ней будут коллинеарными, хотя и не обязательно сонаправлены.

Обозначив нормальный вектор прямой как $vec{n}(n_1; n_2)$, а координаты точки как $x_0$ и $y_0$, можно представить общее уравнение прямой на плоскости по точке и вектору нормали к прямой как

$n_1 cdot (x – x_n) + n_2 cdot (y – y_0) = 0$

Таким образом, координаты вектора нормали к прямой пропорциональны числам $A$ и $B$, присутствующим в общем уравнении прямой на плоскости. Следовательно, если известно общее уравнение прямой на плоскости, то можно легко вывести и вектор нормали к прямой. Если прямая, задана уравнением в прямоугольной системе координат

$Ax + By + C = 0$,

то нормальный вектор описывается формулой:

$bar{n}(A; B)$.

При этом говорят, что координаты нормального вектора “снимаются” с уравнения прямой.

Нормальный к прямой вектор и ее направляющий вектор всегда ортогональны по отношению друг к другу, т.е. их скалярные произведения равны нулю, в чем легко убедиться, вспомнив формулу направляющего вектора $bar{p}(-B; A)$, а также общее уравнение прямой по направляющему вектору $bar{p}(p_1; p_2)$ и точке $M_0(x_0; y_0)$:

$frac{x – x_0}{p_1} = frac{y – y_0}{p_2}$

В том, что вектор нормали к прямой всегда ортогонален направляющему вектору к ней можно убедиться с помощью скалярного произведения:

$bar{p} cdot bar{n} = -B cdot A + A cdot B = 0 implies bar{p} perp bar{n}$

Всегда можно составить уравнение прямой, зная координаты принадлежащей ей точки и нормального вектора, поскольку направление прямой следует из его направления. Описав точку как $M(x_0; y_0)$, а вектор как $bar{n}(A; B)$, можно выразить уравнение прямой в следующем виде:

$A(x – x_0) + B(y – y_0) = 0$



2.2.5. Нормальный вектор прямой

Или вектор нормали.

Что такое нормаль? Простыми словами, нормаль – это перпендикуляр. То есть, вектор нормали прямой перпендикулярен данной прямой. Очевидно, что у любой прямой их бесконечно много (так же, как и направляющих векторов), но нам хватит одного:

Если прямая задана общим уравнением  в декартовой системе координат, то вектор  является вектором нормали данной прямой.

Обратите внимание, что это утверждение справедливо лишь для «школьной» системы координат; все предыдущие выкладки п. 2.2  работают и в общем аффинном случае.

Вектор нормали всегда ортогонален направляющему вектору прямой. Убедимся в ортогональности данных векторов с помощью скалярного произведения:

И тут всё ещё проще: если координаты направляющего вектора  приходилось аккуратно «вытаскивать» из уравнения, то координаты вектора нормали  достаточно просто «снять».

Приведу примеры с теми же уравнениями, что и для направляющего вектора:

Можно ли составить уравнение прямой, зная одну точку и вектор нормали? Нутром чувствуется, можно. Ведь вектор нормали ортогонален направляющему вектору и образует с ним «жесткую конструкцию».

2.2.6. Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали?

2.2.4. Как составить уравнение прямой по двум точкам?

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Определение.
Любой ненулевой вектор, перпендикулярный
прямой называется её нормальным
вектором,
и обозначается
.

Теорема.
Алгебраическое уравнение 1-й степени

,

где
коэффициенты
– произвольные действительные числа,
одновременно не равные нулю, являетсяуравнением
прямой на плоскости
,
а вектор
является её нормальным вектором.

Верно
обратное:
на координатной плоскости
уравнение
любой прямой с нормальным вектором,
может быть записано в виде алгебраического
уравнения.

Определение.
Уравнение прямой вида

,

где
коэффициенты
– произвольные действительные числа,
одновременно не равные нулю, называетсяобщим
уравнением прямой.

Известно,
что прямая определяется двумя точками.
Пусть

и

–
точки, лежащие на прямой
,
–
произвольная точка этой прямой. Тогда
векторы
и– коллинеарны, а их координаты
пропорциональны. Получаемуравнение
прямой, проходящей через две точки:

.

Определение.
Вектор,
параллельный прямой, называется
направляющим
вектором прямой.

Определение.
Пусть
– направляющий вектор прямой. Тогда из
предыдущего уравнения получаемканоническое
уравнение прямой:

.

Определение.
В
тех же обозначениях, параметрическое
уравнение прямой
имеет вид:
.

Определение.
Уравнение прямой вида
,
гдеи– произвольные, не равные нулю
действительные числа, называетсяуравнением
прямой в отрезках.

Теорема.
Пусть
– уравнение прямой в отрезках. Тогда,– координаты точек пересечения дан­ной
прямой с осями координат.

Определение.
Уравнение прямой вида
,
гдеи– произвольные действительные числа,
называетсяуравнением
прямой с угловым коэффициентом,
коэффициент
называетсяугловым
коэффициентом дан­ной
прямой.

Теорема.
Пусть
– уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Тогда,
где угол
α
равен углу наклона данной прямой к оси
,– ордината точки пересечения с осью.

Если
известны угловые коэффициенты
идвух прямых, то один из угловмежду этими прямыми определяется по
формуле:

.

Признаком
параллельности двух прямых является
равенство их угловых коэффициентов:
.

Признаком
перпендикулярности двух прямых является
соотношение:
или.

Теорема.
(Связь нормального вектора прямой с её
направляющим вектором и её угловым
коэффициентом.)

1)
Если
– нормальный вектор прямой, то– её направляющий вектор, и, если,
то– её угловой коэффициент.

2)
Если
– направляющий вектор прямой, то– её нормальный вектор, и, если, то– её угловой коэффициент.

3)
Если
угловой коэффициент прямой, то– её нормальный вектор,
–
направляющий вектор.

Взаимное
расположение двух прямых на плоскости.

Две
прямые на плоскости могут пересекаться,
совпадать или быть параллельными.

Теорема.
Пусть прямые заданы общими уравнениями:

L₁:,L₂:.
Тогда:

1)
если
,
то прямые совпадают, и система уравнений

имеет
бесконечное множество решений;

2)
если
, то прямые параллельные, и система
уравненийне имеет решений;

3)
если
, то прямые пересекаются и координаты
точки их пересечения являются единственным
решением системы уравнений

.

Определение.
Уравнение вида
,
где– расстояние от прямой до начала
координат, называетсянормальным
уравнением прямой,
– координаты орта вектора.

Чтобы
привести прямую к указанному виду,
разделим общее уравнение прямой на
, причем со знаком «+» в случае, когда, и со знаком «-» в случае, когда, получим:

.

Теорема.
Орт нормального вектора
имеет координаты:

,

где

.

Теорема.
Расстояние от прямой до произвольной
точки

находится
по формуле:

Чтобы
найти расстояние
между двумя параллельными прямыми,
нужно взять произвольную точку на одной
из прямых и найти расстояние от нее до
другой прямой.

Чтобы
найти множество
точек, равноудаленных от двух прямых
и, составим уравнение:

.

Раскрывая
модули в случае параллельных прямых,
получаем параллельную им прямую, лежащую
между данными прямыми, а в случае
пересекающихся прямых – биссектрисы
углов,
образованных пересечением прямых.

Определение.
Совокупность прямых, проходящих через
некоторую точку S,
называется пучком
прямых с центром S.

Теорема.
Если
и– уравнения двух прямых, пересекающихся
в точкеS,
то уравнение:

,

где
– какие угодно числа, не равные
одновременно нулю, определяют прямую,
также проходящую через точкуS.

Более
того, в указанном уравнении числа всегда
возможно подобрать так, чтобы оно
определяло любую (заранее назначенную)
прямую, проходящую через точку S,
иначе говоря, любую прямую пучка с
центром S.
Поэтому уравнение вида называется
уравнением пучка с центром S.

Решение
типовых задач

Задача
№1:

Даны
уравнения двух сторон параллелограмма
,и уравнение одной из его диагоналей.
Определить координаты вершин этого
параллелограмма.

Решение:

Найдём
координаты т.
как точки пересечения прямыхи:;;
т.Выясним, какая из диагоналей задана.

Подставим
координаты т.
в уравнение диагонали:;
т.не принадлежит заданной диагонали,
следовательно– уравнение диагонали.

Найдём
координаты т.
,
как точки пересеченияи:

;

;
т..

Найдём
координаты т.,
как точки пересеченияи:

;

;
т..

Найдём
координаты т.B:
в параллелограмме диагонали делят друг
друга пополам:
.
Найдём координаты т.:
т.– середина,
следовательно, т.;
т.,
но т.– середина,
следовательно,и, поэтомуи,
т..

Ответ:

Задача
№2:

Дана
прямая
.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку:

1. параллельно
   данной прямой.

2. перпендикулярно
   к данной прямой.

Решение:

1. Искомая
   прямая параллельна прямой
   ,
   поэтому её уравнение имеет вид:.

Найдём
т.:
точкапринадлежит этой прямой, поэтому её
координаты удовлетворяют записанному
уравнению:,.
Итак, прямая принимает вид:.

1. Т.к.
   заданная и искомые прямые перпендикулярны,
   то их угловые коэффициенты удовлетворяют
   условию:
   .

Найдём
угловой коэффициент прямой
;;
итак,тогда.
Запишем уравнение искомой прямой:.

Точка
принадлежит этой прямой, поэтому;

Уравнение
прямой принимает вид:

.

Ответ:
;.

Задача
№3:

Определить,
при каких значениях a
и b
две прямые
,
:

1. имеют
   одну общую точку;

2. параллельны;

3. совпадают.

Решение:

1. Прямые
   имеют одну общую точку, когда они не
   параллельны (их коэффициенты при x
   и y
   не пропорциональны):
   ;

2. Прямые
   параллельны, когда коэффициенты при x
   и y
   пропорциональны:
   ;.

3. Прямые
   совпадают, когда все их коэффициенты
   пропорциональны:
   ;.

Задача
№4:

Найти
проекцию точки
на прямую.

Решение:

Проведём
через т.прямую,
перпендикулярную прямой.
Точкапересечения прямых и является искомой
проекцией.

Прямая
перпендикулярна заданной прямой, поэтому
её направляющим вектором служит
нормальный вектор прямой,
т.е..

Запишем
уравнение прямой
в каноническом виде:

;

– уравнение.

Найдём
координаты т.:

;

;
т.

Ответ:

Задача
№5:

Найти
точку
,
симметричную точкеотносительно прямой, проходящей через
точкии.

Решение:

Составим
уравнение
,
как прямой проходящей через 2 точки:

;

– уравнение.

Найдём
уравнение прямой
перпендикулярной.

Нормальный
вектор
прямойявляется направляющим вектором прямой,
поэтому используем каноническое
уравнение прямой:;– уравнение прямой.

Найдём
координат т.,
как точки пересечения прямыхи:

;

;
т..

Так
как точка
симметрична точкеотносительно,
следовательно,
то есть т.– середина отрезка.
Найдём координаты точки,
зная начало и середину отрезка:

,

, тогда

,

,
т..

Ответ:
.

Задача
№6:

Даны
вершины треугольника
,и.
Составить уравнение перпендикуляра,
опущенного из вершинына медиану, проведенную из вершины.

Решение:

Найдём
координаты т.,
как середины отрезка:

т.
, т..

Запишем
уравнение медианы
,
как прямой, проходящей через две известные
точки:

;

– уравнение.

Нормальный
вектор для
является направляющим для прямойперпендикулярной,
тогда уравнение примет вид:

;

– уравнение.

Ответ:
.

Задача
№7:

Даны
вершины треугольника
,,.
Составить уравнение перпендикуляра,
опущенного из вершинына биссектрису внутреннего угла при
вершине.

Решение:

Пусть
– биссектриса.

Найдём
координаты т.воспользовавшись свойством биссектрисы:

Тогда:
;

;
т.;

Уравнение
биссектрисы
примет вид:
=

⇒
,

,перпендикулярен⇒

.

Точка
принадлежит искомому перпендикуляру,
поэтому уравнениепримет вид:.

Ответ:

Задача
№8:

Две
стороны квадрата лежат на прямых
,.
Вычислить его площадь.

Решение:

1. Выберем
   на прямой
   некоторую точку:

пусть
,
тогда⇒
,
т.е.
.

1. Найдём
   расстояние от точки
   до прямой:

⇒,
где
и есть длина стороны квадрата.

1. т.е.

   .

Ответ:
.

Задача
№9:

Даны
две противоположные вершины квадрата
и.
Составить уравнения его сторон.

Решение:

Зная
вершины
исоставим уравнение диагонали,
как прямой проходящей через две точки:⇒

– уравнение прямой
.

Т.к.
– квадрат, его диагонали являются
биссектрисами, поэтому;
найдём угловой коэффициент

.

Зная
и,
найдём угловой коэффициент:;⇒
.
Уравнение
примет вид:.

Найдём
;
Тогда уравнение.

Т.к.
перпендикулярно⇒
угловой коэффициент
.
Уравнениеимеет вид:,
тогда– уравнение.

Т.к.
– квадрат, то,
то уравнениепримет вид:.

Зная,
что точка
принадлежит прямой,
найдём свободный членискомого уравнения, итак– уравнение стороны.

Аналогично
найдём уравнение стороны
.

Ответ:

Задача
№10:

Вычислить
площадь треугольника, отсекаемого
прямой
от координатного угла.

Решение:

Запишем
уравнение прямой
в отрезках:+1.

Из
этого уравнения следует, что длины
отрезков
исоответственно равныи,
поэтомукв. ед.

Ответ:
кв.ед.

Задача
№11:

Составить
уравнения сторон треугольника, зная
одну из его вершин
и уравнения двух его медиан.

Решение:

Выясним,
что точка
не принадлежит известным медианами.

Найдём
координаты точки
– пересечения медиан:⇒
т.

Продолжим
медиану
,
и на её продолжении отложим отрезок.
Соединим точкус вершинамии.
Полученный четырёхугольник– параллелограмм (его диагонали
пересекаясь в точке,
делятся пополам).

Найдём
координаты точки
,
как конца отрезкас известным началоми серединой

Найдём
уравнение прямой
,
зная, чтои точкалежит на этой прямой:

Найдём
координаты вершины
,
как точки пересечения прямыхи:⇒
т.

Точка
– середина отрезка,
поэтому.

Найдём
координаты точки
,
как конца отрезкас известными началоми серединой:.

Зная
координаты всех вершин треугольника
,
найдём уравнения его сторон, как прямых
проходящих через две точки.

Ответ:

Задача
№12:

Составить
уравнения сторон треугольника, зная
одну из его вершин
и уравнения биссектрис двух его углов:

Решение:

Очевидно,
что точка
не принадлежит заданным биссектрисами.
Найдём точку,
симметричную точкеотносительно биссектрисы.
Можно доказать, что точкапринадлежит прямой.
Опустим из т.перпендикуляр на биссектрисудо пересечения в точкеи отложим.

Т.к.
перпендикулярно,
то;
точкапринадлежит прямой,
поэтому её уравнение примет вид:

Координаты
точки
найдём как точки пересечения прямыхи:⇒

т.(;).

Найдём
координаты точки
,
как конца отрезкас известными началоми серединой:().

Аналогично
найдём точку
,
симметричную т.относительно биссектрисы.
Точкапринадлежит прямой,.

Тогда
уравнение стороны
примет вид:или.

Найдём
координаты точек
и,
как точек пересечения прямойи заданных биссектрис:();

Зная
координаты вершин треугольника
,
найдём уравнения его сторон.

Ответ:

Задача
№13:

Составить
уравнения биссектрис углов, образованных
двумя пересекающимися прямыми:
и.

Решение:

Известно
свойство: биссектриса есть геометрическое
место точек, равноудалённых от сторон
угла.

Пусть
– произвольная точка искомой биссектрисы,
тогда;

;

;

;.

Тогда
уравнения биссектрис примут вид:
.

Ответ:

.

Задача
№14:

Составить
уравнение биссектрисы угла между прямыми
,
в котором лежит точка

Решение:

Найдём
отклонение точки
отзаданных
прямых, для этого приведём их уравнения
к нормальному виду:;
нормирующий множитель+;+0.

Найдём
отклонение
₁
т.от прямой, для этого в левую часть
нормального уравнения подставим
координаты т.:₁
––0.

Аналогично
найдём отклонение
₂
т.от второй прямой:₂0.
Отклонения имеют разные знаки, поэтому
при раскрытии модулей (см. решение
предыдущей задачи) справа ставим знак
«минус».

⇒

Уравнение
биссектрисы принимает вид:

Ответ:
.

Задача
№15:

На
прямой
найти точки, равноудалённые от прямыхи

Решение:

Точки
равноудалённые от прямых
и,
лежат на биссектрисах углов, образованных
этими прямыми. Аналогично решению
предыдущих задач найдём их:.

Тогда
искомые точки являются точками пересечения
этих биссектрис и прямой
,
поэтому найдём их, решая системы:и.

Ответ:

Задача
№16:

Составить
уравнения сторон треугольника, зная
одну из его вершин
и уравнения медианыи высоты,
проведённых из различных вершин.

Решение:

Убедимся,
что точка
не принадлежит заданным медиане и
высоте.

Найдём
уравнение стороны
,
зная, что.⇒

тогда уравнение примет вид:
,
зная координаты т.,
принадлежащей,
найдём,
тогда уравнение примет вид:.

Найдём
координаты т.,
как точки пересеченияи
медианы:⇒
.

Пусть
точка
имеет координатыи,
найдём их. Точка– середина,
поэтому

Точка
принадлежит медиане,
точкапринадлежит высоте,
поэтомуинайдём, решая систему:

Откуда
Зная координаты вершин треугольника,
найдём уравнения всех его сторон.

Ответ:
.

Задача
№17:

Через
точку
провести прямую так, чтобы её отрезок,
заключённый между прямыми,
делился бы в точкепополам.

Решение:

Обозначим
через
иточки пересечения заданных прямых и
искомой прямой и пустьтогдат.к.– середина отрезка.
Координатынайдём, составив систему уравнений:⇒
⇒.

Составим
уравнение искомой прямой, которая
проходит через две точки, например,
и:

Ответ:

Задача
№18:

Составить
уравнения сторон треугольника
,
зная одну из его вершина также уравнение высотыи биссектрисы,
проведённых из одной вершины. Решить
задачу, не вычисляя координат вершини.

Решение:

Можно
проверить, что т.не принадлежит ни высоте,
ни биссектрисе.
Найдём уравнение стороны,
поэтому;,
зная координаты т.,
найдём.

Итак,
уравнение
имеет вид:.

Рассмотрим
пучок с центром в т.:.

Пусть
,
тогда уравнение пучка примет вид:

.
(1)

–прямая
пучка, причём координаты т.известны, поэтому найдёмдля прямой:,
поэтому уравнениепримет вид:,
т.е..

Найдём
угол между прямыми
и:tg
1⇒
.

Тогда
угол
равен 90°, т.е.;
–.
С другой стороны найдёмиз уравнения (1):

Итак,
⇒
.

Найдём
уравнение стороны
зная, что она принадлежит пучку. Подставимв уравнение (1) и получим уравнение
стороны.

Ответ:

Образовательным
результатом после изучения данной темы
является сформированность компонент,
заявленных во введении, совокупности
компетенций (знать, уметь, владеть) на
двух уровнях: пороговый и продвинутый.
Пороговый уровень соответствует оценке
«удовлетворительно», продвинутый
уровень соответствует оценкам «хорошо»
или «отлично» в зависимости от результатов
защиты кейс-заданий.

Для
самостоятельной диагностики данных
компонент вам предлагаются следующие
задания.

Прямая имеет несколько видов задающих ее уравнений. Рассмотрим некоторые из них и разберем примеры.

Здесь будет калькулятор

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

y=kx+by=kx+b,

где kk — угловой коэффициент, а bb — свободный коэффициент.

Уравнения данного вида составляются следующим образом по формуле:

y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0),

где (x0;y0)(x_0; y_0) — координаты любой точки, лежащей на данной прямой.

Задача 1

Составить уравнение прямой, если координаты точки, принадлежащей данной прямой, таковы: x0=1,y0=2x_0=1, y_0=2. Угловой коэффициент принять равным 11.

Решение

Подставляем значения в формулу:

y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0)

y−2=1⋅(x−1)y-2=1cdot(x-1)

Приводим подобные слагаемые:

y=x+1y=x+1

Ответ

y=x+1y=x+1

Общее уравнение прямой

Для приведения прямой к такому виду из предыдущего вида достаточно просто перенести все слагаемые в одну часть. Возьмем уравнение прямой из предыдущей задачи y=x+1y=x+1. Тогда общее уравнение этой прямой запишется в виде:

y−x−1=0y-x-1=0

Уравнение прямой по двум точкам

Если в задаче даны координаты двух точек и необходимо составить уравнение прямой, то это делается при помощи такой формулы:

Уравнение прямой по двум точкам

x−x2x1−x2=y−y2y1−y2frac{x-x_2}{x_1-x_2}=frac{y-y_2}{y_1-y_2},

где (x1;y1),(x2;y2)(x_1; y_1), (x_2; y_2) — координаты двух точек, через которые проходит данная прямая.

Задача 2

Найти уравнение прямой, если координаты точек имеют значения: (2;3)(2;3) и (4;−1)(4;-1).

Решение

x1=2x_1=2
y1=3y_1=3
x2=4x_2=4
y2=−1y_2=-1

x−x2x1−x2=y−y2y1−y2frac{x-x_2}{x_1-x_2}=frac{y-y_2}{y_1-y_2}

x−42−4=y−(−1)3−(−1)frac{x-4}{2-4}=frac{y-(-1)}{3-(-1)}

x−4−2=y+14frac{x-4}{-2}=frac{y+1}{4}

x−4=−y−12x-4=frac{-y-1}{2}

y+1=2⋅(4−x)y+1=2cdot(4-x)

y=8−2x−1y=8-2x-1

y=−2x+7y=-2x+7

Ответ

y=−2x+7y=-2x+7

Уравнение прямой при помощи точки и вектора нормали

Уравнение прямой по точке и нормали

(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2=0,

где (x0;y0)(x_0; y_0) — координаты точки, лежащей на данной прямой, а (n1;n2)(n_1; n_2) — координаты вектора нормали к этой прямой.

Задача 3

Составить уравнение прямой, если координаты нормального вектора — (1;−5)(1;-5), а точка, через которую проходит данная прямая имеет координаты (7;8)(7;8).

Решение

x0=7x_0=7
y0=8y_0=8
n1=1n_1=1
n2=−5n_2=-5

(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2=0,

(x−7)⋅1+(y−8)⋅(−5)=0(x-7)cdot 1+(y-8)cdot (-5)=0,

x−7+40−5y=0x-7+40-5y=0

x−5y=−40+7x-5y=-40+7

x−5y=−33x-5y=-33

5y=x+335y=x+33

y=x5+335y=frac{x}{5}+frac{33}{5}

Проверка

Чтобы проверить правильность решения, достаточно подставить координаты точки в данное уравнение и, если оно будет верным, то задача решена верно.

8=75+3358=frac{7}{5}+frac{33}{5}

8=88=8 — верно, ответ правильный.

Ответ

y=x5+335y=frac{x}{5}+frac{33}{5}

Прямая в пространстве

Уравнение прямой, заданной в пространстве имеет такой вид:

Уравнение прямой в пространстве

x−x0ν1=y−y0ν2=z−z0ν3frac{x-x_0}{nu_1}=frac{y-y_0}{nu_2}=frac{z-z_0}{nu_3},

где (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0) — координаты точки, через которую проходит прямая, а (ν1,ν2,ν3)(nu_1,nu_2,nu_3) — координаты напрявляющего вектора данной прямой.

Задача 4

Написать уравнение прямой по заданной точке (1;5;−23)(1;5;-23) и вектору направления (3;11;7)(3;11;7).

Решение

x0=1x_0=1
y0=5y_0=5
z0=−23z_0=-23
ν1=3nu_1=3
ν2=11nu_2=11
ν3=7nu_3=7

x−x0ν1=y−y0ν2=z−z0ν3frac{x-x_0}{nu_1}=frac{y-y_0}{nu_2}=frac{z-z_0}{nu_3}

x−13=y−511=z−(−23)7frac{x-1}{3}=frac{y-5}{11}=frac{z-(-23)}{7}

Проверка

Проверим, удовлетворяет ли это уравнение прямой точке (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0). Для этого подставим в него координаты этой точки:

1−13=5−511=−23−(−23)7frac{1-1}{3}=frac{5-5}{11}=frac{-23-(-23)}{7} — верно, значит ответ правильный.

Такой вид уравнения прямой называется каноническим.

Ответ

x−13=y−511=z−(−23)7frac{x-1}{3}=frac{y-5}{11}=frac{z-(-23)}{7}

Тест по теме “Составление уравнения прямой”

Метод координат в пространстве

30 мая 2011

Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Их три:

1. Главная формула — косинус угла φ между векторами a = (x₁; y₁; z₁) и b = (x₂; y₂; z₂):

   

2. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — действительные числа, причем, если плоскость проходит через начало координат, D = 0. А если не проходит, то D = 1.
3. Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0, имеет координаты: n = (A; B; C).

На первый взгляд, выглядит угрожающе, но достаточно немного практики — и все будет работать великолепно.

Задача. Найти косинус угла между векторами a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5).

Решение. Поскольку координаты векторов нам даны, подставляем их в первую формулу:

Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), если известно, что она не проходит через начало координат.

Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат — точку (0; 0; 0) — то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:
A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:
A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений:

Получили, что уравнение плоскости имеет вид: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Задача. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.

Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) — вот и все!

Вычисление координат векторов

А что, если в задаче нет векторов — есть только точки, лежащие на прямых, и требуется вычислить угол между этими прямыми? Все просто: зная координаты точек — начала и конца вектора — можно вычислить координаты самого вектора.

Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала.

Эта теорема одинаково работает и на плоскости, и в пространстве. Выражение «вычесть координаты» означает, что из координаты x одной точки вычитается координата x другой, затем то же самое надо сделать с координатами y и z. Вот несколько примеров:

Задача. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC.

Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Поэтому имеем:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Обратите внимание на вычисление координат последнего вектора BC: очень многие ошибаются, когда работают с отрицательными числами. Это касается переменной y: у точки B координата y = − 1, а у точки C y = 3. Получаем именно 3 − (− 1) = 4, а не 3 − 1, как многие считают. Не допускайте таких глупых ошибок!

Вычисление направляющих векторов для прямых

Если вы внимательно прочитаете задачу C2, то с удивлением обнаружите, что никаких векторов там нет. Там только прямые да плоскости.

Для начала разберемся с прямыми. Здесь все просто: на любой прямой найдутся хотя бы две различные точки и, наоборот, любые две различные точки задают единственную прямую…

Кто-нибудь понял, что написано в предыдущем абзаце? Я и сам не понял, поэтому объясню проще: в задаче C2 прямые всегда задаются парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим так называемый направляющий вектор для прямой:

Зачем нужен этот вектор? Дело в том, что угол между двумя прямыми — это угол между их направляющими векторами. Таким образом, мы переходим от непонятных прямых к конкретным векторам, координаты которых легко считаются. Насколько легко? Взгляните на примеры:

Задача. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведены прямые AC и BD₁. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Поскольку длина ребер куба в условии не указана, положим AB = 1. Введем систему координат с началом в точке A и осями x, y, z, направленными вдоль прямых AB, AD и AA₁ соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1.

Теперь найдем координаты направляющего вектора для прямой AC. Нам потребуются две точки: A = (0; 0; 0) и C = (1; 1; 0). Отсюда получаем координаты вектора AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) — это и есть направляющий вектор.

Теперь разберемся с прямой BD₁. На ней также есть две точки: B = (1; 0; 0) и D₁ = (0; 1; 1). Получаем направляющий вектор BD₁ = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Ответ: AC = (1; 1; 0); BD₁ = (− 1; 1; 1)

Задача. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, проведены прямые AB₁ и AC₁. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Введем систему координат: начало в точке A, ось x совпадает с AB, ось z совпадает с AA₁, ось y образует с осью x плоскость OXY, которая совпадает с плоскостью ABC.

Для начала разберемся с прямой AB₁. Тут все просто: у нас есть точки A = (0; 0; 0) и B₁ = (1; 0; 1). Получаем направляющий вектор AB₁ = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Теперь найдем направляющий вектор для AC₁. Все то же самое — единственное отличие в том, что у точки C₁ иррациональные координаты. Итак, A = (0; 0; 0), поэтому имеем:

Ответ: AB₁ = (1; 0; 1);

Небольшое, но очень важное замечание насчет последнего примера. Если начало вектора совпадает с началом координат, вычисления резко упрощаются: координаты вектора просто равны координатам конца. К сожалению, это верно лишь для векторов. Например, при работе с плоскостями присутствие на них начала координат только усложняет выкладки.

Вычисление нормальных векторов для плоскостей

Нормальные векторы — это не те векторы, у которых все в порядке, или которые чувствуют себя хорошо. По определению, нормальный вектор (нормаль) к плоскости — это вектор, перпендикулярный данной плоскости.

Другими словами, нормаль — это вектор, перпендикулярный любому вектору в данной плоскости. Наверняка вы встречали такое определение — правда, вместо векторов речь шла о прямых. Однако чуть выше было показано, что в задаче C2 можно оперировать любым удобным объектом — хоть прямой, хоть вектором.

Еще раз напомню, что всякая плоскость задается в пространстве уравнением Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — некоторые коэффициенты. Не умаляя общности решения, можно полагать D = 1, если плоскость не проходит через начало координат, или D = 0, если все-таки проходит. В любом случае, координаты нормального вектора к этой плоскости равны n = (A; B; C).

Итак, плоскость тоже можно успешно заменить вектором — той самой нормалью. Всякая плоскость задается в пространстве тремя точками. Как найти уравнение плоскости (а следовательно — и нормали), мы уже обсуждали в самом начале статьи. Однако этот процесс у многих вызывает проблемы, поэтому приведу еще парочку примеров:

Задача. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведено сечение A₁BC₁. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA₁ соответственно.

Поскольку плоскость не проходит через начало координат, ее уравнение выглядит так: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коэффициент D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки A₁, B и C₁, то координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки A₁ = (0; 0; 1). Имеем:
A · 0 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Аналогично, для точек B = (1; 0; 0) и C₁ = (1; 1; 1) получим уравнения:
A · 1 + B · 0 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A · 1 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Но коэффициенты A = − 1 и C = − 1 нам уже известны, поэтому остается найти коэффициент B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Получаем уравнение плоскости: − A + B − C + 1 = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; − 1).

Задача. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведено сечение AA₁C₁C. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA₁ соответственно.

В данном случае плоскость проходит через начало координат, поэтому коэффициент D = 0, а уравнение плоскости выглядит так: Ax + By + Cz = 0. Поскольку плоскость проходит через точки A₁ и C, координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки A₁ = (0; 0; 1). Имеем:
A · 0 + B · 0 + C · 1 = 0 ⇒ C = 0;

Аналогично, для точки C = (1; 1; 0) получим уравнение:
A · 1 + B · 1 + C · 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Положим B = 1. Тогда A = − B = − 1, и уравнение всей плоскости имеет вид: − A + B = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; 0).

Вообще говоря, в приведенных задачах надо составлять систему уравнений и решать ее. Получится три уравнения и три переменных, но во втором случае одна из них будет свободной, т.е. принимать произвольные значения. Именно поэтому мы вправе положить B = 1 — без ущерба для общности решения и правильности ответа.

Координаты середины отрезка

Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Координаты таких точек легко считаются, если известны координаты концов отрезка.

Итак, пусть отрезок задан своими концами — точками A = (x_a; y_a; z_a) и B = (x_b; y_b; z_b). Тогда координаты середины отрезка — обозначим ее точкой H — можно найти по формуле:

Другими словами, координаты середины отрезка — это среднее арифметическое координат его концов.

Задача. Единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁ помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA₁ соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K — середина ребра A₁B₁. Найдите координаты этой точки.

Поскольку точка K — середина отрезка A₁B₁, ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A₁ = (0; 0; 1) и B₁ = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:

Задача. Единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁ помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA₁ соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A₁B₁C₁D₁.

Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. В частности, A₁L = C₁L, т.е. точка L — это середина отрезка A₁C₁. Но A₁ = (0; 0; 1), C₁ = (1; 1; 1), поэтому имеем:

Ответ: L = (0,5; 0,5; 1)

Смотрите также:

1. Введение системы координат
2. Четырехугольная пирамида в задаче C2
3. В 2012 году ЕГЭ по математике станет двухуровневым?
4. Сводный тест по задачам B12 (1 вариант)
5. Симметрия корней и оптимизация ответов в тригонометрии
6. ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная и уравнение с параметром