Как найти координаты прямой по координатам концов

Вывести уравнение прямой по координатам двух точек

По введенным пользователем координатам двух точек вывести уравнение прямой, проходящей через эти точки.

Общее уравнение прямой имеет вид y = kx + b . Для какой-то конкретной прямой в уравнении коэффициенты k и b заменяются на числа, например, y = 4x — 2 . Задача сводится именно к нахождению этих коэффициентов.

Так как координаты точки это значения x и y , то мы имеем два уравнения. Пусть, например, координаты точки А(3;2), а координаты B(-1;-1). Получаем уравнения:
2 = k*3 + b,
-1 = k*(-1) + b.
Решая полученную систему уравнений находим значения k и b :
b = 2 — 3k
-1 = -k + 2 — 3k
4k = 3
k = 3/4 = 0.75
b = 2 — 3 * 0.75 = 2 — 2.25 = -0.25
Таким образом, получается уравнение конкретной прямой, проходящей через указанные точки: y = 0.75x — 0.25.

Алгоритм решения данной задаче на языке программирования будет таков:

  1. Получить значения координат первой точки и присвоить их переменным, например x1 и y1 .
  2. Получить значения координат ( x2, y2 ) второй точки.
  3. Вычислить значение k по формуле k = (y1 — y2) / (x1 — x2) .
  4. Вычислить значение b по формуле b = y2 — k * x2 .
  5. Вывести на экран полученное уравнение.

Уравнение прямой в отрезках: описание, примеры, решение задач

Продолжаем изучение раздела «Уравнение прямой на плоскости» и в этой статье разберем тему «Уравнение прямой в отрезках». Последовательно рассмотрим вид уравнения прямой в отрезках, построение прямой линии, которая задается этим уравнением, переход от общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках. Все это будет сопровождаться примерами и разбором решения задач.

Уравнение прямой в отрезках – описание и примеры

Пусть на плоскости расположена прямоугольная система координат O x y .

Прямая линия на плоскости в декартовой системе координат O x y задается уравнением вида x a + y b = 1 , где a и b – это некоторые действительные числа, отличные от нуля, величины которых равны длинам отрезков, отсекаемых прямой линией на осях O x и O y . Длины отрезков считаются от начала координат.

Как мы знаем, координаты любой из точек, принадлежащих прямой линии, заданной уравнением прямой, удовлетворяют уравнению этой прямой. Точки a , 0 и 0 , b принадлежат данной прямой линии, так как a a + 0 b = 1 ⇔ 1 ≡ 1 и 0 a + b b = 1 ⇔ 1 ≡ 1 . Точки a , 0 и b , 0 расположены на осях координат O x и O y и удалены от начала координат на a и b единиц. Направление, в котором нужно откладывать длину отрезка, определяется знаком, который стоит перед числами a и b . Знак « – » обозначает, что длину отрезка необходимо откладывать в отрицательном направлении координатной оси.

Поясним все вышесказанное, расположив прямые относительно фиксированной декартовой системы координат O x y на схематическом чертеже. Уравнение прямой в отрезках x a + y b = 1 применяется для построения прямой линии в декартовой системе координат O x y . Для этого нам необходимо отметить на осях точки a , 0 и b , 0 , а затем соединить эти точки линией при помощи линейки.

На чертеже показаны случаи, когда числа a и b имеют различные знаки, и, следовательно, длины отрезков откладываются в разных направлениях координатных осей.

Прямая линия задана уравнением прямой в отрезках вида x 3 + y – 5 2 = 1 . Необходимо построить эту прямую на плоскости в декартовой системе координат O x y .

Решение

Используя уравнение прямой в отрезках, определим точки, через которые проходит прямая линия. Это 3 , 0 , 0 , – 5 2 . Отметим их и проведем линию.

Приведение общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках

Переход от заданного уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках облегчает нам решение различных задач. Имея полное общее уравнение прямой, мы можем получить уравнение прямой в отрезках.

Полное общее уравнение прямой линии на плоскости имеет вид A x + B y + C = 0 , где А , В и C не равны нулю. Мы переносим число C в правую часть равенства, делим обе части полученного равенства на – С . При этом, коэффициенты при x и y мы отправляем в знаменатели:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = – C ⇔ ⇔ A – C x + B – C y = 1 ⇔ x – C A + y – C B = 1

Для осуществления последнего перехода мы воспользовались равенством p q = 1 q p , p ≠ 0 , q ≠ 0 .

В результате, мы осуществили переход от общего уравнения прямой A x + B y + C = 0 к уравнению прямой в отрезках x a + y b = 1 , где a = – C A , b = – C B .

Разберем следующий пример.

Осуществим переход к уравнению прямой в отрезках, имея общее уравнение прямой x – 7 y + 1 2 = 0 .

Решение

Переносим одну вторую в правую часть равенства x – 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x – 7 y = – 1 2 .

Делим обе части равенства на – 1 2 : x – 7 y = – 1 2 ⇔ 1 – 1 2 x – 7 – 1 2 y = 1 .

Преобразуем полученное равенство к нужному виду: 1 – 1 2 x – 7 – 1 2 y = 1 ⇔ x – 1 2 + y 1 14 = 1 .

Мы получили уравнение прямой в отрезках.

Ответ: x – 1 2 + y 1 14 = 1

В тех случаях, когда прямая линия задана каноническим или параметрическим уравнением прямой на плоскости, то сначала мы переходим к общему уравнению прямой, а затем уже к уравнению прямой в отрезках.

Перейти от уравнения прямой в отрезках и общему уравнению прямой осуществляется просто: мы переносим единицу из правой части уравнения прямой в отрезках вида x a + y b = 1 в левую часть с противоположным знаком, выделяем коэффициенты перед неизвестными x и y .

x a + y b = 1 ⇔ x a + y b – 1 = 0 ⇔ 1 a · x + 1 b · y – 1 = 0

Получаем общее уравнение прямой, от которого можно перейти к любому другому виду уравнения прямой на плоскости. Процесс перехода мы подробно разобрали в теме «Приведение общего уравнения прямой к другим видам уравнения прямой».

Уравнение прямой в отрезках имеет вид x 2 3 + y – 12 = 1 . Необходимо написать общее уравнение прямой на плоскости.

Решение

Действует по заранее описанному алгоритму:

x 2 3 + y – 12 = 1 ⇔ 1 2 3 · x + 1 – 12 · y – 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 2 · x – 1 12 · y – 1 = 0

Ответ: 3 2 · x – 1 12 · y – 1 = 0

Уравнение прямой

Уравнение прямой на плоскости

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида

где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду

где k – угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.

Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами ( a , 0) и (0, b ), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки M( x 1, y 1) и N( x 2, y 2), такие что x 1 ≠ x 2 и y 1 ≠ y 2, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

x – x 1 = y – y 1
x 2 – x 1 y 2 – y 1

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x 0 y = m t + y 0

где N( x 0, y 0) – координаты точки лежащей на прямой, a = < l , m >- координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если известны координаты точки N( x 0, y 0) лежащей на прямой и направляющего вектора a = ( l и m не равны нулю), то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки

x – 1 2 – 1 = y – 7 3 – 7

Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой

Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

x = t + 1 y = -4 t + 7

Решение. Так как M y – N y = 0, то невозможно записать уравнение прямой проходящей через две точки.

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки M( x 1, y 1, z 1) и N( x 2, y 2, z 2), такие что x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 и z 1 ≠ z 2, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

x – x 1 = y – y 1 = z – z 1
x 2 – x 1 y 2 – y 1 z 2 – z 1

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x 0
y = m t + y 0
z = n t + z 0

где ( x 0, y 0, z 0) – координаты точки лежащей на прямой, – координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки M( x 0, y 0, z 0) лежащей на прямой и направляющего вектора n = , то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x – x 0 = y – y 0 = z – z 0
l m n

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений

[spoiler title=”источники:”]

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/uravnenie-prjamoj-v-otrezkah/

http://ru.onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/line/

[/spoiler]

Координаты на прямой:

Если на прямой задано направление, то такую прямую называют направленной, а выбранное направление—положительным. Например, на горизонтальной прямой можно отметить направление вправо, тогда будем говорить, что направленная прямая имеет положительное направление вправо. Можно с таким же правом считать положительным и направление влево. Направление прямой будем указывать стрелкой (рис. 1).

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Выберем на направленной прямой точку, которую назовем началом отсчета или началом координат, и будем обозначать ее буквой О. Кроме того, выберем отрезок, длину которого будем считать единицей длины. Этот отрезок назовем единицей масштаба.

Определение: Прямая линия, на которой указаны: начало отсчета, единица масштаба и направление отсчета, называется осью координат.

Рассмотрим отрезок, расположенный на оси координат. Если одну из точек, ограничивающих отрезок, назовем началом отрезка, а другую—его концом, то отрезок будем называть направленным отрезком. Направленный отрезок обозначают двумя буквами, например: АВ, СМ, КР, причем на первом месте ставят букву, обозначающую начало, на втором— букву, обозначающую конец. Таким образом, запись АВ показывает, что начало отрезка есть точка А, а конец — точка В. Направление отрезка считается от начала к концу.

Если направление отрезка совпадает с направлением оси, то отрезок называют положительно направленным: если же его направление противоположно направлению оси, то—отрицательно направленным. Таким образом, отрезки АВ и ВА имеют противоположные направления. Это записывают так:

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Отметим, что положительный отрезок может находиться в любом месте координатной оси, только его направление должно совпадать с направлением оси.

Сложение направленных отрезков производится по следующему правилу: Для того чтобы сложить два направленных отрезка, нужно к концу первого приложить начало второго; тогда отрезок, имеющий началом начало первого отрезка и концом конец второго, называют суммой двух направленных отрезков.

Из этого определения вытекает, что сумма отрезков АВ и ВС равна отрезку АС при любом расположении точек А, В, С, т. е. всегда:

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

(рис. 2 и 3).

Координатным отрезком точки А называется направленный отрезок, имеющий начало в точке О (т. е. в начале координат), а концом — рассматриваемую точку А.

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Всякий направленный отрезок, лежащий на оси, можно выразить через координатные отрезки его начала и конца. В самом деле, рассмотрим направленный отрезок АВ. На основании равенства (2) можно написать

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

(здесь вместо точки В поставлена точка О, а вместо точки С точка В) или

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Отрезок ОВ есть координатный отрезок (его начало есть точка О), но отрезок АО не является координатным, посколькуего начало не является началом координат. Но в силу равенства (1)

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

поэтому можно написать

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Получен следующий результат:

Направленный отрезок равен разности координатного отрезка его конца и координатного отрезка его начала.

Это верно для любого отрезка, лежащего на координатной оси. Теперь дадим одно из самых важных определений:

Координатой точки на координатной оси называется число, равное по абсолютной величине длине координатного отрезка этой точки и по знаку совпадающее со знаком координатного отрезка.

Точку А, имеющую координатной число ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений, будем обозначать ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений.

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Указанные на рис. 4 точки имеют следующие координаты: ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений Будем также писать

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Если даны точки ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений и ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений, то на основании формул (3) и (4) получим

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

т. е. направленный отрезок равен разности координат его конца и начала. Отсюда сразу получаем, что длина отрезка равна абсолютной величине разности координат его конца и начала.

Длину отрезка будем обозначать, пользуясь знаком | |, т. е. знаком абсолютной величины. Таким образом, длина отрезка АВ будет записываться так:

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Если даны точки ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений,​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений, то отрезок ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений, а его длина ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений. Если даны точки ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений и ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений, то отрезок ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений, а его длина ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений. Даны две точки: ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений. Длина отрезка ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений. Даны две точки ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений и ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений; отрезок ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений, а его длина | ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений.

Пример:

Начало отрезка АВ находится в точке ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений, а конец—в точке ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений; найти его направление и длину. Отрезок ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений. Так как он получился отрицательным, то его направление противоположно направлению оси. Его длина равна ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений.

Пример:

На координатной оси даны две точки: ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений и ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений. Найти точку С, лежащую между ними и делящую отрезок АВ в отношении ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений. Чтобы найти точку, надо найти ее координату. По условию задачи должно быть

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Обозначая координату искомой точки С через ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений и выражая отрезки через координаты, т. е. применяя формулу (5), получим, что ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений. Подставляя эти выражения в равенство (6), будем иметь

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Решая последнее уравнение относительно ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений, найдем:

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Это и есть координата искомой точки.

Пример:

Найти точку С, делящую отрезок АВ в отношении 1:2, если даны начало отрезка ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений и конец ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений (рис. 5).

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Решение:

Здесь ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений Применяя формулу (7), получим

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Пример:

Найти точку ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений, делящую расстояние между точками ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений и ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений в отношении 3:4 (рис. 5). Здесь ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений. По формуле (7) находим

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Решение:

Если ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений, т. е. точка ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений делит отрезок ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений пополам, тогда формула (7) перепишется так:

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Таким образом, координата точки, делящей отрезок пополам, равна средней арифметической координат его начала и конца.

​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений

Пример:

Найдем середину отрезка, заключенного между точками ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений и ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений (рис.6).

Решение:

Применяя формулу (8), получим, ​​​​​​​Координаты на прямой - определение и вычисление с примерами решений​​​​​​​

  • Координаты на плоскости
  • Линейная функция
  • Квадратичная функция
  • Тригонометрические функции
  • Элементы матричного анализа
  • Уравнение линии
  • Функции нескольких переменных
  • Комплексные числ

План урока:

Взаимосвязь координат векторов и его начала и конца

Определение координат середины отрезка

Вычисление длины вектора и отрезка

Простейшие задачи с использованием координатного метода

Использование признака коллинеарности векторов

Деление отрезка в заданном отношении

Введение прямоугольной системы координат

Взаимосвязь координат векторов и его начала и конца

На координатной плоскости любые две точки можно соединить друг с другом. В результате получается отрезок. Если же дополнительно указано, какая из этих точек – начало отрезка, а какая – конец, то в итоге мы уже имеем вектор. Попробуем определить, есть ли связь между координатами вектора и координатами (можно использовать сокращение коор-ты) его граничных точек.

Пусть в прямоугольной системе координат отмечены точки А (хАА) и В(хBB).Тогда можно задать вектор АВ. Также построим ещё два вспомогательных вектора ОА и ОВ, начинающиеся в точке О – начале коор-т:

1 zadachi v koordinatah

Вектора ОВ и ОА – это радиус-векторы (так как их начало находится в начале координат), поэтому их коор-ты ОВ и ОА совпадают с коор-тами их концов (В и А соответственно):

2 zadachi v koordinatah

Итак, зная коор-ты граничных точек вектора, можно найти и координаты данного вектора:

3 zadachi v koordinatah

Например, если вектор начинается в точке А (2; 1), а заканчивается в точке В (6; 3), то коор-ты вектора АВ можно определить так:

4 zadachi v koordinatah

Задание. Начало вектора находится в точке М, а конец – в точке К. Определите его коор-ты, если:

а) М(2; 7) и К(6; 8);

б) М(5; 1) и К(2; 10);

в) М(0; 8) и К(9; -5).

Решение. Из коор-т К мы просто вычитаем соответствующие коор-ты М, и в итоге определяем коор-ты вектора:

5 zadachi v koordinatah

Задание. От точки H (8; 15) отложили вектор m{5; – 6}. Каковы координаты конца этого вектора?

Решение. Обозначим интересующие нас коор-ты как (хк; ук). Для вектора, начинающегося в точке (8; 15) и заканчивающегося в точке (хк; ук), коор-ты можно вычислить так:

x = xk – 8

y = yk – 15

Однако нам даны координаты вектора, то есть величины х и у, поэтому мы можем записать:

5 = xk – 8

-6 = yk – 15

Оба равенства представляет собой уравнения, которые можно решить:

5 = xk – 8

xk = 5 + 8 = 13

-6 = yk – 15

yk = -6 + 15 = 9

В итоге получили, что конец вектора находится в точке (13; 9).

Ответ:(13; 9).

Определение координат середины отрезка

Пусть построен вектор АВ, причем известны коор-ты его начала А (хА; уА) и его конца B (хB; уB). Обозначим буквой С середину отрезка АВ и попытаемся вычислить коор-ты С, которые мы обозначим как (хC; уC):

6 zadachi v koordinatah

Рассмотрим вектора АС и СВ. Они имеют одинаковую длину, потому что С разбивает АВ пополам. Также АС и СВ коллинеарны, так как они лежат на одной прямой АВ. При этом они и сонаправлены, а значит, эти вектора равны:

7 zadachi v koordinatah

Нам удалось выразить коор-ты С через координаты А и В. В итоге можно сформулировать правило:

8 zadachi v koordinatah

Например, пусть необходимо найти координаты середины отрезка HK, при этом известны коор-ты его концов: Н(5; – 2) и К(3; 4). Сначала найдем полусумму коор-т х и получим эту же коор-ту у середины:

9 zadachi v koordinatah

Итак, точка середины отрезка имеет коор-ты (4; 1). Для наглядности построим отрезок ОК и продемонстрируем, что его середина действительно находится в точке (4; 1):

10 zadachi v koordinatah

Вычисление длины вектора и отрезка

Пусть есть произвольный вектор с коор-тами {x; у}. Отложим его от точки начала координат, после чего из его конца опустим перпендикуляры ОВ и ОС на координатные оси:

11 zadachi v koordinatah

Для простоты рассмотрим случай, когда х и у – положительные числа, то есть точка А находится в первой четверти. Тогда длина ОВ будет равна х:

OB = x

Так как ОСАВ – прямоугольник, то стороны ОС и АВ одинаковы, причем ОС имеет длину, равную коор-те у:

AB = OC = y

Теперь изучим ∆ОВА. Он прямоугольный, и ОА в нем – гипотенуза, поэтому можно записать теорему Пифагора:

OA2 = OB2 + AB2

Теперь заменим отрезки ОВ и АВ на х и у:

OA2 = x2 + y2

Осталось извлечь квадратный корень:

12 zadachi v koordinatah

Мы вывели формулу для вычисления длины вектора по его координатам. Можно рассмотреть и остальные случаи, когда точка А лежит в другой четверти координатной плоскости или на координатных осях, однако во всех случаях будет получаться одинаковая формула.

13 zadachi v koordinatah

Задание. Определите длину вектора с коор-тами:

14 zadachi v koordinatah

Решение. Во всех случаях просто возводим каждую коор-ту в квадрат, потом складываем полученные числа и извлекаем из полученной суммы квадратный корень:

15 zadachi v koordinatah

Теперь предположим, что имеется две точки с коор-тами (х1; у1) и (х2; у2). Требуется найти длину отрезка, их соединяющего, то есть расстояние между этими двумя точками. Если принять одну из этих точек, например первую, за начало вектора, а вторую за его конец, то задача сведется к вычислению длины этого вектора. Его коор-ты можно будет высчитать так:

x = x2 – x1

y = y2 – y1

Тогда расстояние между точками (обозначим его как d) будет вычисляться по формуле:

16 zadachi v koordinatah

Задание. Определите длину отрезка MP, если известны коор-ты его концов:

17 zadachi v koordinatah

Простейшие задачи с использованием координатного метода

Выведенные нами формулы являются базовыми для расчетов, связанных с коор-тами. До этого мы решали лишь простейшие задачи на использование этих формул, однако в более сложных задачах надо использовать сразу несколько более сложных формул.

Задание. Известны коор-ты трех вершин параллелограмма АВСD: А(4; 1), В(1; 1), С(3; 5). Определите коор-ты четвертой вершины D.

Решение.

18 zadachi v koordinatah

Сначала найдем коор-ты вектора ВС. Мы можем это сделать, так как нам известны коор-ты его начальной и конечной точки:

xBC = xC – xB = 3 – 1 = 2

yBC = yC – yB = 5 – 1 = 4

Так как в параллелограмме противоположные стороны имеют одинаковую длину и при этом параллельны, то вектора ВС и АD равны, то есть имеют одинаковые коор-ты:

19 zadachi v koordinatah

Итак, D имеет коор-ты (6; 5).

Ответ (6; 5).

Задание. В – середина отрезка АС. Известны коор-ты точек: А(2; 4) и В(0; 18). Найдите коор-ты С.

Решение.

20 zadachi v koordinatah

Для начала будем работать только с коор-той х. Так как В – середина АС, то их абсциссы (напомним, так называют координату х точек) связаны соотношением:

21 zadachi v koordinatah

Задание. Отрезок MN имеет длину 13. Даны координаты концов отрезка: M(4; 6) и N (х; 1). Найдите величину переменной х.

22 zadachi v koordinatah

Нам по условию известно это расстояние для точек M и N, а также известны 3 и 4 коор-т точек. Поэтому надо просто подставить все известные данные в формулу, получить уравнение и решить его:

23 zadachi v koordinatah

Далее извлекаем корень из обеих частей, но при этом появляется два различных корня (так обычно и бывает при решении квадратных уравнений):

24 zadachi v koordinatah

Ответ: – 8 или 16.

Задание. Расстояние от точки S(2x; – 2) до точки T (6; 4х) составляет 14. Определите величину х.

Решение. Задача во многом аналогично предыдущей, надо подставить в формулу расстояния между точками данные из условия и решить получившееся уравнение:

25 zadachi v koordinatah

Решаем это квадратное уравнение через дискриминант:

26 zadachi v koordinatah

Ответ: (– 2,6) или 3.

Задание. Найдите коор-ты точки M на рисунке, если точка А имеет коор-ты (4; 2).

27 zadachi v koordinatah

Решение. По рисунку видно, что середина отрезка находится в точке О(0; 0). Коор-ты середины отрезка (то есть точки О) и его граничных точек связаны формулами:

28 zadachi v koordinatah

Использование признака коллинеарности векторов

На прошлом уроке мы выяснили, что если вектора коллинеарны, то их коор-ты пропорциональны. Это позволяет определить, лежит ли та или иная точка на указанной прямой.

Задание. Даны точки А(1; 2), В(4; 7) и С (10; 17). Определите, лежит ли точка В на прямой АС.

Решение. Если А, В и С принадлежат одной прямой, то любые два вектора, проведенные через эти точки, окажутся коллинеарными друг другу. Если же они НЕ лежат на одной прямой, то наоборот, любые два таких вектора окажутся неколлинеарными. То есть надо составить два вектора, например, АВ и ВС, и проверить их коллинеарность.

Определим коор-ты АВ:

29 zadachi v koordinatah

Напомним, что для проверки векторов на коллинеарность надо поделить их коор-ты друг на друга. Если получится одно и то же число, то вектора коллинеарны:

30 zadachi v koordinatah

В обоих случаях получилось одинаковое число, значит, вектора коллинеарны.

Ответ: Да, точка B лежит на прямой AC.

Задание. Проверьте, лежат ли точки А(3; 7), В (8; 12) и С(6; 4) на одной прямой.

Решение. Снова вычисляем коор-ты векторов АВ и ВС:

31 zadachi v koordinatah

Получились разные числа, следовательно, вектора АВ и ВС не коллинеарны, а потому точки А, В и С никак не могут лежать на одной прямой.

Ответ: Нет, точки A,B,C не лежат на одной прямой.

Задание. Проверьте, параллельны ли друг другу отрезки АВ и CD, если известны коор-ты: А(1; 1), В(5; 5), С(4; 2), D(6; 4).

Решение. Если отрезки параллельны, то и вектора АВ и CD должны быть коллинеарными. Проверим это также, как мы это делали в двух предыдущих задачах:

32 zadachi v koordinatah

Итак, вектора коллинеарны. Означает ли это, что отрезки АВ и CD параллельны? Ещё нет. На самом деле возможно два случая:

1) АВ и CD действительно параллельны;

2) АВ и СD лежат на одной прямой, и тогда их параллельными считать нельзя.

33 zadachi v koordinatah

Как же проверить, какой из двух случаев относится к этой задаче? Надо рассмотреть ещё один ВС. Если реализуется второй случай, то он окажется коллинеарен вектору АВ. В первом же случае он будет ему не коллинеарен.

34 zadachi v koordinatah

Получили различные числа, значит, АВ и ВС не коллинеарны. Теперь мы можем точно утверждать, что АВ и СD параллельны.

Ответ: Да, отрезки AB и CD параллельны.

Деление отрезка в заданном отношении

Мы уже научились находить коор-ты середины отрезка. Можно сказать, что середина – это точка, которая разбивает отрезок в отношении 1:1, то есть на равные отрезки. А что делать в более сложном случае, если нужно найти точку, разбивающую отрезок в другом отношении, например, в отношении 2:1? Выведем для такого случая формулу.

Пусть точка С разбивает отрезок АВ в некотором отношении так, что отрезок АС в больше отрезка СВ:

35 zadachi v koordinatah

(Примечание. Если отрезок АС меньше СВ, то число k будет меньше единицы.)

Как и обычно, для обозначения коор-т точек используем индексы, совпадающие с обозначением точек: А(xА; уА), В(xВ; уВ) и С(xС; уС).

36 zadachi v koordinatah

Нам также потребуются вектора АС{xАС; уАС} и СВ{xСВ; уСВ}. Так как эти вектора сонаправлены, и АС в k раз длиннее, то

37 zadachi v koordinatah

Абсолютно аналогичные образования приведут к такому же выражению для коор-ты у:

38 zadachi v koordinatah

Рассмотрим на примерах использование этой формулы.

Задание. На отрезке РM отложена точка K так, что она разбивает РM на отрезки РK и KM в отношении РK:KM = 2:1. Даны коор-ты точек: Р(6; 3) и К (18; 12). Вычислите коор-ты K.

Решение.

39 zadachi v koordinatah

Отношение РК:КМ = 2:1 означает, что отрезок РК в 2 раза длиннее, чем КМ. Это означает, что в формуле

40 zadachi v koordinatah

Задание. Точки B (5; – 16) и H(29; 24) соединены отрезком. Точка M на отрезке ВН отмечена так, что ВМ:МН = 3:5. Определите коор-ты точки М.

Решение. Из отношения ВМ:МН = 3:5 вытекает, что ВМ длиннее МН в

3/5 = 0,6 раз

то есть фактически ВМ короче МН. То есть при использовании формулы

51 zadachi v koordinatah

Рассмотрим ещё несколько более усложненных задач с использованием коор-т.

Задание. Точка K лежит на оси Ох, при этом она равноудалена от точек Е(2; 2) и F(6; 10). Найдите коор-ты К.

Решение. У любой точки, лежащей на оси Ох, коор-та у будет равна нулю, в том числе и у точки К:

yk = 0

Будем обозначать неизвестную коор-ту К как х:

xk = x

Напомним расстояние между точками можно рассчитать, используя формулу:

42 zadachi v koordinatah

Получили иррациональное уравнение. В данном случае можно просто приравнять подкоренные выражения, однако после получения корней надо проверить, нет ли среди них посторонних:

43 zadachi v koordinatah

Проверяем, не является ли корень посторонним. Для этого просто подставляем его в уравнение:

44 zadachi v koordinatah

Корень действительно подошел, поэтому коор-та х точки К равна 16.

Ответ: (16; 0).

Введение прямоугольной системы координат

Даже если в формулировке задачи коор-ты и вектора прямо не упоминаются, может быть полезным самостоятельно добавить в нее прямоугольную систему координат. Это позволит использовать формулы, используемые в методе коор-т, для решения задачи.

Задание. Докажите, что если в параллелограмме сложить квадраты всех его сторон, то получится то же число, что и при сложении квадратов диагоналей этого параллелограмма.

Решение. Расположим систему коор-т таким образом, одна из сторон параллелограмма находилась на оси Ох, причем одна ее вершина совпадала с началом коор-т, а другая имела положительную коор-ту х:

45 zadachi v koordinatah

Пусть вершина А находится в начале коор-т, и тогда она имеет коор-ты (0; 0). Вершина D лежит на Ох, тогда ее ордината равна нулю, а абсциссу обозначим буквой а. Точка В имеет произвольные коор-ты (b; с), коор-ты же точки С можно рассчитать. Сначала заметим, что вектор коор-ты вектора АВ совпадают с коор-тами точки В, так как он является радиус-вектором:

46 zadachi v koordinatah

Вектора АВ и DC равны, потому что они лежат на параллельных прямых и имеют одинаковую длину:

47 zadachi v koordinatah

Итак, коор-ты С – это (а + b; с).

Теперь мы должны длину каждой стороны параллелограмма и возвести ее в квадрат. Обратите внимание, что если расстояние между точками рассчитывается по формуле

48 zadachi v koordinatah

Равенство доказано.

Задание. В равнобедренном треугольнике длина основания составляет 80 см, а опущенная на нее медиана имеет длину 160 см. Вычислите длины двух других медиан.

Решение. Пусть АВС – рассматриваемый в задаче треугольник, причем АВ – его основание. Расположим систему коор-т так, чтобы ее начало совпадало с точкой, в которой медиана пересекается с основанием:

49 zadachi v koordinatah

В этом случае вершина, из которой опущена медиана, будет иметь коор-ты (0; 160), а две другие вершины будут иметь коор-ты (– 40; 0) и (40; 0).

Нам надо найти длину двух других медиан АM и BN. Они одинаковы по длине, поэтому достаточно найти длину только одной из них, например, АМ. Для этого сначала найдем коор-ты М, которая является серединой ВС:

50 zadachi v koordinatah

Сегодня мы познакомились с важнейшими формулами, используемыми в методе коор-т, и научились решать некоторые простейшие задачи. В будущем мы узнаем о более сложных задачах, в которых будут фигурировать не только отрезки и многоугольники, но и окружности.


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Найти длину вертикального или горизонтального отрезка на координатной плоскости можно с помощью координат, а вот сделать это с диагональным отрезком сложнее. Длину диагонального отрезка можно вычислить по формуле, которая основана на теореме Пифагора, где гипотенузой прямоугольного треугольника является наш диагональный отрезок.[1]
С помощью этой формулы можно быстро найти длину любого отрезка на координатной плоскости.

  1. Изображение с названием Use Distance Formula to Find the Length of a Line Step 1

    1

    Запишите формулу для вычисления длины. Формула: d={sqrt  {(x_{{2}}-x_{{1}})^{{2}}+(y_{{2}}-y_{{1}})^{{2}}}}, где d — длина отрезка, (x_{{1}},y_{{1}}) — координаты начальной точки отрезка, (x_{{2}},y_{{2}}) — координаты конечной точки отрезка.[2]

  2. Изображение с названием Use Distance Formula to Find the Length of a Line Step 2

    2

    Найдите координаты точек отрезка. Возможно, они будут даны. Если нет, найдите их по осям Х и Y.[3]

  3. Изображение с названием Use Distance Formula to Find the Length of a Line Step 3

    3

    Подставьте координаты в формулу. Будьте внимательны и подставьте значения соответствующих переменных. Две координаты x должны находится внутри первой пары скобок, а две координаты y — внутри второй пары скобок.[4]

    Реклама

  1. Изображение с названием Use Distance Formula to Find the Length of a Line Step 4

    1

    Выполните вычитание в скобках. Сделайте это, потому что операции в скобках имеют приоритет.[5]

  2. Изображение с названием Use Distance Formula to Find the Length of a Line Step 5

    2

    Возведите в квадрат полученные значения. В нашем случае возведение в степень — это вторая по важности операция.[6]

  3. Изображение с названием Use Distance Formula to Find the Length of a Line Step 6

    3

    Сложите числа под знаком корня. Делайте вычисления так, как будто работаете с целыми числами.

  4. Изображение с названием Use Distance Formula to Find the Length of a Line Step 7

    4

    Вычислите длину отрезка d. Для этого извлеките корень из полученной суммы чисел.

    Реклама

Советы

  • Не путайте эту формулу с другими, например, с формулой для вычисления углового коэффициента или с линейным уравнением.
  • Помните о порядке выполнения математических операций. Сначала вычтите, затем возведите в квадрат, затем сложите, а затем извлеките квадратный корень.

Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 24 532 раза.

Была ли эта статья полезной?

Длина отрезка

Отрезком называют часть прямой линии, состоящей из всех точек этой линии, которые расположены между данными двумя точками — их называют концами отрезка. 

рис.1 (2)

Рассмотрим первый пример.  Пусть в плоскости координат задан двумя точками некий отрезок. В данном случае его длину мы можем найти, применяя теорему Пифагора.

Итак, в системе координат начертим отрезок с заданными координатами его концов (x1; y1) и (x2; y2). На оси X и Y из концов отрезка опустим перпендикуляры. Отметим красным цветом отрезки, которые являются на оси координат проекциями от исходного отрезка.  После этого перенесем параллельно к концам отрезков отрезки-проекции. Получаем треугольник (прямоугольный). Гипотенузой у данного треугольника станет сам отрезок АВ, а его катетами являются перенесенные проекции.

Вычислим длину данных проекций. Итак, на ось Y длина проекции равна y2-y1, а на ось Х длина проекции равна x2-x1. Применим теорему Пифагора: |AB|² = (y2 – y1)² + (x2 – x1)². В данном случае |AB| является длиной отрезка.

Если использовать данную схему для вычисления длины отрезка, то можно даже отрезок и не строить. Теперь высчитаем, какова длина отрезка с координатами (1;3) и (2;5). Применяя теорему Пифагора, получаем: |AB|² = (2 – 1)² + (5 – 3)² = 1 + 4 = 5. А это значит, что длина нашего отрезка равна 5:1/2.

Рассмотрим следующий способ нахождения длины отрезка. Для этого нам необходимо знать координаты двух точек в какой-либо системе. Рассмотрим данный вариант, применяя двухмерную  Декартову систему координат.

рис.2

Итак, в двухмерной системе координат даны координаты крайних точек отрезка. Если проведем прямые лини через эти точки,  они должны быть перпендикулярными к оси координат, то получим прямоугольный треугольник. Исходный отрезок будет гипотенузой полученного треугольника. Катеты треугольника образуют отрезки, их длина равна проекции гипотенузы на оси координат. Исходя из теоремы Пифагора, делаем вывод: для того чтобы найти длину данного отрезка, нужно найти длины проекций на две оси координат.

Найдем длины проекций (X и Y) исходного отрезка на координатные оси. Их вычислим путем нахождения разницы координат точек по отдельной оси: X = X2-X1, Y = Y2-Y1.

Рассчитаем длину отрезка А, для этого найдем квадратный корень:

A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²).

Если наш отрезок расположен между точками, координаты которых 2;4 и 4;1, то его длина, соответственно, равна √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61.

Добавить комментарий