Как найти координаты прямой по общему уравнению

Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой (общее уравнение прямой на плоскости и его исследование). Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и его исследование, как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой (неполного уравнения, полного уравнения). Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач на уравнения.

Общее уравнение прямой: основные сведения

Как найти уравнение прямой? Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy.

Любое уравнение первой степени, имеющее вид Ax+By+C=0, где А, В, С – некоторые действительные числа (А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид Ax+By+C=0 при некотором наборе значений А, В, С.

Так, без какой-либо помощи онлайн мы смогли доказать и вторую часть теоремы, и доказали всю теорему в целом.

Уравнение, имеющее вид Ax+By+C=0 – это общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy (уравнение прямой параллельной оси ox).

Опираясь на доказанную теорему, мы можем сделать вывод, что заданные на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат прямая линия и ее общее уравнение неразрывно связаны. Иначе говоря, исходной прямой соответствует ее общее уравнение; общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.

Из доказательства теоремы также следует, что коэффициенты А и В при переменных x и y являются координатами нормального вектора прямой, которая задана общим уравнением прямой Ax+By+C=0.

Рассмотрим конкретный пример общего уравнения прямой.

Пусть задано уравнение 2x+3y-2=0, которому соответствует прямая линия в заданной прямоугольной системе координат. Нормальный вектор этой прямой – это вектор n→= (2, 3). Изобразим заданную прямую линию из уравнения с вектором на чертеже.

Также можно утверждать и следующее: прямая, которую мы видим на чертеже, определяется общим уравнением 2x+3y-2=0, поскольку координаты всех точек заданной прямой отвечают этому уравнению.

Мы можем получить уравнение λ·Ax+λ·By+λ·C=0, умножив обе части общего уравнения прямой на число λ, не равное нулю. Полученное уравнение является эквивалентом исходного общего уравнения, следовательно, будет описывать ту же прямую на плоскости.

Неполное уравнение общей прямой

Полное общее уравнение прямой – такое общее уравнение прямой Ax+By+C=0, в котором числа А, В, С отличны от нуля. В ином случае уравнение является неполным.

Разберем все вариации неполного общего уравнения прямой.

1. Когда А=0, В≠0, С≠0, общее уравнение принимает вид By+C=0. Такое неполное общее уравнение задает в прямоугольной системе координат Oxy прямую, которая параллельна оси Ox, поскольку при любом действительном значении x переменная y примет значение -CB . Иначе говоря, общее уравнение прямой Ax+By+C=0, когда А=0, В≠0, задает геометрическое место точек (x, y), координаты которых равны одному и тому же числу -CB.
2. Если А=0, В≠0, С=0, общее уравнение принимает вид y=0. Такое неполное уравнение определяет ось абсцисс Ox.
3. Когда А≠0, В=0, С≠0, получаем неполное общее уравнение Ax+С=0, задающее прямую, параллельную оси ординат.
4. Пусть А≠0, В=0, С=0, тогда неполное общее уравнение примет вид x=0, и это есть уравнение координатной прямой Oy.
5. Наконец, при А≠0, В≠0, С=0, неполное общее уравнение принимает вид Ax+By=0. И это уравнение описывает прямую, которая проходит через начало координат. В самом деле, пара чисел (0, 0) отвечает равенству Ax+By=0, поскольку А·0+В·0=0.

Графически проиллюстрируем все вышеуказанные виды неполного общего уравнения прямой.

Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости

Пусть заданная прямая проходит через точку М0(x0, y0), тогда ее координаты отвечают общему уравнению прямой, т.е. верно равенство: Ax0+By0+C=0. Отнимем левую и правую части этого уравнения от левой и правой части общего полного уравнения прямой. Получим: A(x-x0)+B(y-y0)+C=0, это уравнение эквивалентно исходному общему, проходит через точку М0(x0, y0) и имеет нормальный вектор n→=(A, B).

Результат, который мы получили, дает возможность записывать общее уравнение прямой при известных координатах нормального вектора прямой и координатах некой точки этой прямой.

Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно

Как мы знаем, существует несколько видов уравнения одной и той же прямой на плоскости. Выбор вида уравнения зависит от условий задачи; возможно выбирать тот, который более удобен для ее решения. Здесь очень пригодится навык преобразования уравнения одного вида в уравнение другого вида.

Для начала рассмотрим переход от общего уравнения вида Ax+By+C=0 к каноническому уравнению  x-x1ax=y-y1ay.

Если А≠0, тогда переносим слагаемое By в правую часть общего уравнения. В левой части выносим A за скобки. В итоге получаем: Ax+CA=-By.

Это равенство возможно записать как пропорцию: x+CA-B=yA .

В случае, если В≠0, оставляем в левой части общегь уравнения только слагаемое Ax, прочие переносим в правую часть, получаем: Ax=-By-C. Выносим –В за скобки, тогда: Ax=-By+CB.

Перепишем равенство в виде пропорции: x-B=y+CBA                             .

Конечно, заучивать полученные формулы нет необходимости. Достаточно знать алгоритм действий при переходе от общего уравнения к каноническому.

Чтобы преобразовать общее уравнение прямой в параметрические, сначала осуществляют переход к каноническому виду, а затем переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям.

Общее уравнение можно преобразовать в уравнение прямой с угловым коэффициентом y=k·x+b, но только тогда, когда В≠0. Для перехода в левой части оставляем слагаемое By, остальные переносятся в правую. Получим: By=-Ax-C. Разделим обе части полученного равенство на B, отличное от нуля: y=-ABx-CB.

Из общего уравнения прямой достаточно просто получить уравнение в отрезках вида xa+yb=1. Чтобы осуществить такой переход, перенесем число C в правую часть равенства, разделим обе части полученного равенства на –С и, наконец, перенесем в знаменатели коэффициенты при переменных x и y:

Ax+By+C=0⇔Ax+By=-C⇔⇔A-Cx+B-Cy=1⇔x-CA+y-CB=1

В общем, несложно производится и обратный переход: от прочих видов уравнения к общему.

Уравнение прямой в отрезках и уравнение с угловым коэффициентом легко преобразовать в общее, просто собрав все слагаемые в левой части равенства:

xa+yb⇔1ax+1by-1=0⇔Ax+By+C=0y=kx+b⇔y-kx-b=0⇔Ax+By+C=0

Каноническое уравнение преобразуется к общему по следующей схеме:

x-x1ax=y-y1ay⇔ay·(x-x1)=ax(y-y1)⇔⇔ayx-axy-ayx1+axy1=0⇔Ax+By+C=0

Для перехода от параметрических сначала осуществляется переход к каноническому, а затем – к общему:

x=x1+ax·λy=y1+ay·λ⇔x-x1ax=y-y1ay⇔Ax+By+C=0

Составление общего уравнения прямой

Выше мы говорили о том, что общее уравнение возможно записать при известных координатах нормального вектора и координатах точки, через которую проходит прямая. Такая прямая определяется уравнением A(x-x0)+B(y-y0)=0. Там же мы разобрали соответствующий пример.

Сейчас рассмотрим более сложные примеры, в которых для начала необходимо определить координаты нормального вектора.

Содержание:

Общее уравнение прямой:

Пусть на плоскости дана декартова система координат. Движение точки с произвольными координатами х и у по этой плоскости порождает линию.

Определение: Любое соотношение

Определение: Порядок линии определяется по высшему показателю степени переменных х и у или по сумме показателей степени в произведении этих величин.

Пример:

а) 2х + Зу-5 = 0 – линия первого порядка; точка A(l; 1) удовлетворяет этому соотношению, а точка, например, В(1; 0) – ему не удовлетворяет;

б)

в) – линии второго порядка.

Рассмотрим другое определение линии:

Определение: Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x; у)=0, называется линией, а само уравнение F(x; у) = 0 – уравнением линии.

Определение: Общим уравнением прямой называется уравнение первого порядка вида

Рассмотрим частные случаи этого уравнения:

а) С = 0; – прямая проходит начало системы координат (Рис. 20):

Рис. 20. Прямая, проходящая через начало координат.

б) 5 = 0; Ах+С=0 – прямая проходит параллельно оси ординат Оу (Рис. 21):

Рис. 21. Прямая, проходящая параллельно оси ординат Оу.

в) А = 0; Ву+С=0 – прямая проходит параллельно оси абсцисс Ох (Рис. 22):

Рис. 22. Прямая, проходящая параллельно оси абсцисс Ох.

Виды уравнений прямой

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть дано общее уравнение прямой в котором коэффициент Разрешим общее уравнение прямой относительно переменной Обозначим через тогда уравнение примет вид которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Выясним геометрический смысл параметров При х = 0, у = b, т.е. параметр b показывает, какой величины отрезок отсекает прямая на оси ординат, считая от начала отсчета. При т.е. прямая отсекает на оси абсцисс отрезок к (Рис. 23, для определенности принято, что ):

Рис. 23. Отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях.

Из рисунка видно, что т.е. угловой коэффициент k определяет тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс Ох.

2. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть в общем уравнении прямой параметр Выполним следующие преобразования

Обозначим через тогда последнее равенство перепишется в виде . которое называется уравнением прямой в отрезках. Выясним геометрический смысл величин m и n (Рис. 24). При х=0, у=n, т.е. параметр n показывает, какой величины отрезок отсекает прямая на оси ординат, считая от начала отсчета.

Рис. 24. Отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях.

При у=о, х=m, т.е. прямая отсекает на оси абсцисс отрезок m. Следовательно, прямая проходит через 2 точки:

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Пусть дано общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0, которая проходит через две известные точки Так как точки лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют общему уравнению прямой, т.е. выполняются равенства Вычтем первое из этих равенств из общего уравнения прямой и из второго равенства:

Пусть тогда полученные равенства можно преобразовать к виду Отсюда находим, что или Полученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки и

4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору (каноническое уравнение прямой). Пусть прямая проходит через заданную точку параллельно вектору

Определение: Вектор называется направляющим вектором прямой. Возьмем на прямой произвольную точку и создадим вектор (Рис. 25):

Рис. 25. Прямая, проходящая через данную точку параллельно направляющему вектору.

В силу того, что вектора коллинеарны, то воспользуемся первым условием коллинеарности: отношения соответствующих проекций равны между собой

Определение: Полученное уравнение называется либо уравнением, проходящим через заданную точку параллельно направляющему вектору, либо каноническим уравнением прямой.

5. Параметрическое уравнение прямой. Если каждую дробь в каноническом уравнении прямой приравнять некоторому параметру t, то получим параметрическое уравнение прямой

Основные задачи о прямой на плоскости

1. Координаты точки пересечения двух прямых. Пусть две прямые заданы общими уравнениями Требуется найти координаты точки пересечения этих прямых. Для того чтобы вычислить координаты точки пересечения М(х; у), необходимо решить вышеприведенную систему линейных алгебраических уравнений, так как координаты точки М(х; у) должны одновременно удовлетворять уравнениям прямых

2. Угол между двумя пересекающимися прямыми. Пусть даны две пересекающиеся прямые, заданные уравнениями с угловыми коэффициентами

Требуется найти угол между этими прямыми (Рис. 26):

Рис. 26. Угол между двумя прямыми.

Из рисунка видно, что Вычислим

Наименьший угол между пересекающимися прямыми определим формулой Из полученной формулы видно:

Отсюда следует условие перпендикулярности прямых: угловые коэффициенты прямых связаны между собой соотношением

Пример:

Определить угол между прямыми

Решение:

В силу того, что что прямые параллельны, следовательно,

Пример:

Выяснить взаимное расположение прямых

Решение:

Так как угловые коэффициенты и связаны между собой соотношением то прямые взаимно перпендикулярны.

3. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до прямой определятся вдоль перпендикуляра, опущенного из точки на прямую Если прямая задана общим уравнением, то расстояние от точки до прямой определяется формулой:

Если прямая задана уравнением прямой с угловым коэффициентом, то расстояние от точки до прямой определяется формулой:

Прямая линия на плоскости и в пространстве. Системы координат на плоскости

Рассмотрим произвольную прямую. Выберем на этой прямой начальную точку, обозначаемую буквой О, определим положительное направление, выберем некоторый отрезок в качестве линейной единицы, благодаря чему прямая станет осью. После этого условимся называть координатой любой точки М на этой оси величину отрезка . Точку О будем называть началом координат; ее собственная координата равна нулю. Так вводятся координаты на прямой.

Декартова прямоугольная система координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке, т.е. указано, какая из них считается первой, а какая – второй. Точка пересечения осей называется началом координат и обозначается через О, а сами оси – координатными осями, причем первую из них называют также осью абсцисс и обозначают через Ох, а вторую – осью ординат, обозначаемую Оу.

Пусть М- произвольная точка плоскости. Спроектируем точку M на координатные оси, т.е., проведем через М перпендикуляры к осям Ох и Оу; основания этих перпендикуляров обозначим соответственно .

Координатами точки М в заданной системе называются числа , обозначающие величину отрезка оси абсцисс и величину отрезка оси ординат, где х – первая координата, а у- вторая координата точки М (рис.7.1). Символически это записывается в виде М(х, у).

Если задана декартова прямоугольная система координат, то каждая точка М плоскости в этой системе имеет одну вполне определенную пару координат х, у – М(х, у). И обратно, для любых х и у на плоскости найдется одна вполне определенная точка с абсциссой х и ординатой у.

На рис. 7.2 положение точки Р полностью определяется ее координатами (2;3).

Две координатные оси разделяют всю плоскость на четыре части, называемыми координатными плоскостями, определяемыми соответственно:

Декартова прямоугольная система координат является наиболее употребительной. Однако, в отдельных случаях могут оказаться более удобными или косоугольная декартова или полярная системы координат.

Косоугольная система координат от прямоугольной декартовой системы координат отличается только произвольным углом между осями координат.

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча OA, называемого полярной осью, масштаба для измерения длин и направления- вращения в плоскости, считаемого положительным (рис. 7.3).

Каждая точка М в полярной системе координат задается парой координат .

Декартова прямоугольная система координат связана с полярной системой формулами:

Основным инструментом аналитической геометрии служит формула для вычисления расстояния между двумя точкамии . Числа могут быть любыми действительными числами, положительными, отрицательными или 0. На рис. 7.4 все числа выбраны положительными. Проведем через точку горизонтальную прямую, а через точку – вертикальную. Пусть R -точка их пересечения. Тогда по теореме Пифагора

или (7.1.1)

Это и есть формула для вычисления расстояния между двумя точками.

Важно иметь в виду, что эта формула остается в силе независимо от того, как расположены точки . Например, если точка расположена ниже точки и справа от нес, как на рис. 7.5, то отрезок можно считать равныму .

Расстояние между точками, вычисляемое по формуле (7.1.1), от этого не изменится, так как . Заметим, что, так как величина в этом случае отрицательна, то разность больше, чем

Если обозначить через угол, образованный положительным направлением оси абсцисс и отрезком , то формулы

выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и полярный угол. Из формул (7.1.2) получаем формулы:

позволяющие определить полярный угол отрезка по координатам его конца и начала. Кроме того, если u – произвольная ось, а – угол наклона отрезка к этой оси, то проекция отрезка на ось равна его длине, умноженной на косинус угла наклона к этой оси:

.

Пусть на плоскости даны две произвольные точки, из которых одна считается первой, другая – второй. Обозначим их в заданном порядке через . Проведем через данные точки ось u. Пусть М- еще одна точка оси и, расположенная на ней как угодно, но не совпадает с точкой .

Определение 7.1.1. Число определяемое равенством где – величины направленных отрезков оси u, называется отношением, в котором точка М делит направленный отрезок .

Число не зависит от направления оси и от масштаба, т.к. при изменении этих параметров будут одновременно меняться величины . Кроме того, будет положительно, если Мнаходится между точками если же М вне отрезка , то -отрицательное.

Задача о делении отрезка в данном отношении формулируется следующим образом:

Считая известными координаты двух точек и и отношение в котором некоторая неизвестная точка М делит отрезок , найти координаты точки М.

Решение задачи определяется следующей теоремой.

Теорема 7.1.1. Если точка М(х, у) делит направленный отрезок в отношении то координаты этой точки выражаются формулами:

Доказательство:

Спроектируем точки на ось Ох и обозначим их проекции соответственно через (рис. 7.6). На основании теоремы о пропорциональности отрезков прямых, заключенных между параллельными прямыми (Если две прямые пересечь тремя параллельными прямыми, то отношение двух отрезков, получившихся на одной прямой, равно отношению двух соответствующих отрезков другой прямой), имеем:

Подставив в (7.1.4) величины отрезков и

, получим

Разрешая это уравнение относительно х, находим:

Вторая формула (7.1.3) получается аналогично.

Если – две произвольные точки и М(х,y) –

середина отрезка , то . Эти формулы

получаются из (7.1.3) при .

Основная теорема о прямой линии на плоскости

Предположим, что в данной плоскости задана прямоугольная система координат и некоторая прямая l.

Всякий ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой, называется её направляющим вектором. Всякие два направляющих вектора одной и той же прямой коллинеарны между собой, т.е.

, .

Для всех направляющих векторов данной прямой, не параллельной оси ординат, отношение ординаты вектора к его абсциссе имеет одно и то же постоянное значение k, называемое угловым коэффициентом данной прямой.

Действительно, если – два направляющих вектора данной прямой /, то векторы коллинеарны, т.е.

их координаты пропорциональны: а значит

Угловой коэффициент прямой можно определить и по-другому: как тангенс угла, образованного положительным направлением оси абсцисс и заданной прямой.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 7.3,1. Всякая прямая на плоскости определяется уравнением первой степени с двумя переменными х и у; и обратно, всякое уравнение первой степени с двумя переменными х и у определяет некоторую прямую на плоскости.

Доказательство: Пусть В = (О,b}- точка пересечения прямой L с осью у, а Р = (х,у) – любая другая точка на этой прямой. Проведем через точку В прямую, параллельную оси х, а через точку Р – прямую, параллельную оси у; проведем также прямую х = 1. Пусть k -угловой коэффициент прямой L (см. рис. 7.7). Случай к =0 не исключается.

Так как треугольники BSQ и BRP подобны, то или после упрощения

Следовательно, если точка Р принадлежит прямой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (7.2.1). Обратно, нетрудно показать, что если х и у связаны уравнением (7.2.1), то точка Р принадлежит прямой L, проходящей через точку (0;b) и имеющей угловой коэффициент k.

Таким образом, уравнение любой прямой можно записать в виде:

(не вертикальная прямая) , (7.2.2), х = а (вертикальная прямая) (7.2.3).

В обоих случаях мы получаем уравнение первой степени. Кроме того, каждое уравнение первой степени ио х и у можно привести к виду (7.2.2) либо (7.2.3).

Докажем обратное утверждение. Предположим, что задано произвольное уравнение первой степени:

Ах+Ву+С=0. (7.2.4)

Если , мы можем записать уравнение (7.2.4) в виде

т.е. в виде (7.2.2). При В = 0 уравнение (7.2.3) сводится к уравнению

А х = —С,

или , т.е. к уравнению вида (7.2.3).

Таким образом, любая прямая описывается уравнением первой степени с неизвестными х и у, и обратно, каждое уравнение первой степени с неизвестными х и v определяет некоторую прямую.

Уравнение (7.2.4) называется общим уравнением прямой. Так

как , то вектор является направляющим вектором прямой (7.2.4). Вектор перпендикулярен прямой (7.2.4) и называется нормальным вектором. Возможны частные случаи:

1. или у =b, где , -это уравнсние прямой, параллельной оси Ох.

2. или х = а, где , – это уравнение прямой, параллельной оси Оу.

3. – это уравнение прямой, проходящей через начало координат.

4. А=0; С=0; Ву-0 или у = 0 – это уравнение оси абсцисс Ох.

5. В=0;С=0; Ах=0 или х = 0 – это уравнение оси ординат Оу.

Различные виды уравнений прямой на плоскости

Положение прямой на плоскости относительно системы координат можно задать различными способами. Например, прямая однозначно определяется: двумя различными точками; точкой и направляющим вектором; отрезками, отсекаемыми прямой на осях координат и др. Однако, обязательно, должна быть точка, лежащая на этой прямой.

Пусть в уравнении (7.2.4) ни один из коэффициентов А, В, С не равен нулю. Перенесем свободные члены вправо и разделим на (-С). Получим уравнение прямой в отрезках:

где -длины отрезков, отсекаемых прямой l на осях координат, взятые с соответствующими знаками (в зависимости от того, положительные или отрицательные полуоси координат пересекает прямая l).

Рассмотрим прямую l на плоскости и выберем на этой прямой какие-нибудь точки . Тогда вектор является направляющим вектором этой прямой l.

Геометрическое место концов всевозможных векторов вида где пробегает все вещественные числовые значения, определяет прямую l. Уравнение (7.3.2) называется уравнением прямой в векторной форме (векторным уравнением прямой). Записав векторное уравнение (7.3.2) в координатной форме и воспользовавшись определением равенства векторов, получим параметрические уравнения прямой:

где – координаты направляющего вектора.

Система (7.3.3) равносильна уравнению

называемым каноническим уравнением прямой на плоскости. Из системы (7.3.3) можно получить уравнение

которое называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки

Если абсциссы точек одинаковы, т. е. то прямая параллельна оси ординат и ее уравнение имеет вид: х=а.

Если ординаты точек одинаковы, т. е. , то прямая параллельна оси абсцисс и ее уравнение имеет вид: у=b. Уравнение (7.3.5) можно преобразовать к виду:

или

где

угловой коэффициент прямой.

Уравнение (7.3.6) называется уравнением прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент k.

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через две точки

Решение:

I способ. Воспользуемся уравнением (7.3.5). Подставив известные координаты точек , получим искомое уравнение прямой:

II способ. Зная координаты точек по формуле (7.3.7) можно найти угловой коэффициент искомой прямой:

Тогда, воспользовавшись уравнением (7.3.6), найдём искомое уравнение прямой: .

Заметим, что составленное уравнение можно записать как уравнение прямой в отрезках, разделив все члены уравнения

.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Пусть на плоскости заданы две прямые общими уравнениями . Угол между ними можно вычислить как угол между направляющими векторами

этих прямых:

Если прямые параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны, а это значит, что их соответствующих координаты пропорциональны:

И обратно, если координаты при неизвестных х и у пропорциональны, то прямые параллельны. Следовательно, можно сформулировать следующую теорему:

Теорема 7.4.1. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда в их уравнениях коэффициенты при соответствующих переменных х и у пропорциональны.

Например, прямые параллельны,

т. к..

Если прямые перпендикулярны , то их нормальные векторы тоже перпендикулярны, а это значит, что скалярное произведение этих векторов равно нулю: , или в координатной форме

Справедливо и обратное утверждение: если скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, то прямые /, и /2 перпендикулярны.

Теорема 7.4.2. Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда коэффициенты при переменных х и у удовлетворяют равенству .

Например, прямые перпендикулярны, так как

.

Если прямые заданы уравнениями вида и , то угол между ними находится по формуле:

Для того чтобы прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

(7.4.5)

а для их перпендикулярности необходимо и достаточно, чтобы

(7.4.6)

Пример:

Найти проекцию точки Р (2, 3) на прямую, проходящую через точки А (4, 3) и В (6, 5).

Решение:

Проекция точки Р на прямую АВ – это точка пересечения перпендикуляра, проведенного к этой прямой из точки Р.

Вначале составим уравнение прямой АВ. Воспользовавшись уравнением (7.3.5), последовательно получаем:

Для того, чтобы составить уравнение перпендикуляра, проведенного из точки Р на прямую АВ, воспользуемся уравнением (7.3.6). Угловой коэффициент k определим из условия перпендикулярности двух прямых, т. е. из формулы (7.4.6). Поскольку ,то из равенства находим угловой коэффициент перпендикуляра . Подставляя найденное значение углового коэффициента и координаты точки Р (2, 3) в уравнение (7.3.6), получаем:

.

Решая систему уравнений, составленную из уравнений прямой АВ и перпендикуляра

найдём координаты проекции точки Р на прямую АВ: х=3 у=2, т.е.

Пример:

Издержки на производство шести автомобилей составляют 1000 млн. ден. ед., а на производство двадцати автомобилей- 15000 млн. ден. ед. Определить издержки на производство 22 автомобилей при условии, что функция К(х) издержек производства линейна, т.е. имеет вид у = ах + b .

Решение:

Обозначим через х количество автомобилей, а через y- издержки производства. Тогда из условия задачи следует, что заданы координаты двух точек- А(6; 1000) и В(20; 15000), принадлежащих линейной функции у = ах +b. Воспользовавшись уравнением (7.3.6 ), найдём искомое уравнение:

Подставив в найденную функцию х = 22, определим издержки на производство 22 автомобилей:

(млн. дсн. ед)

Пример:

Фирма продаёт свои изделия по 10 ден. ед. за единицу. Затраты на изготовление одного изделия составляют 6 ден. ед. Непроизводственные расходы фирмы равны 300 ден. ед. в год. Определить годовой выпуск продукции, необходимой для того, чтобы фирма работала с прибылью.

Решение:

Обозначим через х объём произведенной продукции. Тогда доход фирмы равен D = 10x. Затраты на производство определяются уравнением: . Найдём точку безубыточности. т.е. значение x, при котором доход фирмы равен затратам: D=K, т.е. 10x = 6x + 300. Решив это уравнение, получим значение объёма производства, при котором фирма работает без убытка: х=75. Следовательно, если объём производства то фирма будет работать с прибылью.

Прямая линия в пространстве

Системы координат в пространстве

В трехмерном пространстве система координат определяется тремя взаимно перпендикулярными осями, проходящими через начало координат О. Снабдив каждую ось единицей измерения длин, можно задать тремя упорядоченными числами (называемыми координатами) положение точки в пространстве. Например, точка Р задается упорядоченной тройкой чисел Р( 1,2,3).

Пусть задано пространство. Важнейшим понятием пространственной аналитической геометрии является понятие уравнения поверхности. Всякая же линия рассматривается как пересечение двух поверхностей. Мы остановимся на изучении поверхности первого порядка – плоскости и прямой линии.

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо сё фиксированной точки и вектора параллельного этой прямой.

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая L проходит через точку , лежащую на прямой, параллельно вектору (см. рис. 7.9).

Рассмотрим произвольную точку M(x,y,z) на этой прямой. Из рисунка видно, что вектор параллельный (коллинеарный) вектору . Поскольку векторы коллинеарны, то найдётся такое число t, что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки М на прямой.

Уравнение (7.5.1) называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки M, лежащей на прямой. Это уравнение можно записать в виде: (см. рис. 7.9). Запишем это уравнение в координатной форме. Подставив координаты векторов в уравнение (7.5.1) и воспользовавшись определением алгебраических операций над векторами и равенством векторов, получим уравнения:

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты х, у и z и точка М перемещается по прямой.

Разрешив уравнения (7.5.2) относительно t

и приравняв найденные значенияt получим канонические уравнения прямой:

Если прямая L в пространстве задается двумя своими точками ,то вектор

можно взять в качестве направляющего вектора и тогда уравнения (7.5.3) преобразуются в уравнения

где . (7.5.4)- это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пример:

Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку, перпендикулярно плоскости Oxz.

Решение:

В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять единичный вектор оси Оу: • Подставив значения координат точки и значения координат направляющего вектора в уравнения (7.5.2), получаем: .

Пример:

Записать уравнения прямой в параметрическом виде.

Обозначим. Тогда ,

, откуда следует, что .

Замечание. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например, оси Ох. Тогда направляющий вектор

прямой перпендикулярный оси Ох, имеет координаты (о; n; р) и параметрические уравнения прямой примут вид

Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае формально можно записывать канонические уравнения прямой в виде . Таким образом, если в знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, канонические уравнения

определяют прямую перпендикулярную осям О х и О у или параллельную оси О z.

Пример:

Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору

Решение:

Подставив координаты точки , и вектора в (7.5.2) и (7.5.3), находим искомые канонические уравнения:

.и параметрические уравнения:

Пример:

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(2, -1,4) параллельно

а) прямой ;

б) оси Ох;

в) оси Оу;

г) оси Oz.

Решение:

а) Поскольку направляющий вектор заданной прямой

является направляющим вектором искомой прямой, то

подставив координаты точки М(2; -1; 4) и вектора в (7.5.3) получим уравнение искомой прямой:

б) Поскольку единичный вектор оси О х: будет направляющим вектором искомой прямой, то подставив в уравнение

(7.5.3) координаты точки М(2; -1; 4 ) и вектора , получаем:

в) В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять единичный вектор оси Оу: . В соответствии с уравнением (7.5.3), получаем или .

г) Единичный вектор оси Oz : будет направляющим вектором искомой прямой. В соответствии с уравнением (7.5.3), получаем

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Решение:

Подставив координаты точек в уравнение

(7.5.4), получим:

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку параллельно данным. Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и

, косинус которого находится по формуле:

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда пропорциональны соответствующие координаты направляющих векторов:

т.е. параллельна тогда и только тогда, когда параллелен

.

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих координат направляющих векторов равна нулю:

Пример:

Найти угол между прямыми и

Решение:

Воспользуемся формулой (7.6.1), в которую подставим координаты направляющих векторов и

. Тогда , откуда или.

Вычисление уравнения прямой

Пусть PQ — некоторая прямая на плоскости Оху (рис. 22). Через произвольную точку М0 (х0, у0) этой прямой (условно называемую «начальной точкой») проведем прямую М0х параллельную оси Ох и имеющую с ней одинаковое направление. Тогда наименьший неотрицательный угол , образованный полупрямой M0Q, лежащей выше оси М0х’ или совпадающей с ней, называется углом между данной прямой и осью Ох.

Очевидно, этот угол не зависит от выбора точки М0. Если прямая PQ пересекает ось Ох в некоторой точке А (а, 0), то ф есть обычный угол между направленными прямыми. Если PQ || Ох, то, очевидно, Ф = 0. Начальная точка М0 прямой и угол ф («направление прямой») однозначно определяют положение этой прямой на плоскости.

1) Пусть сначала . Тогда прямая PQ пересекает ось Оу в некоторой точке В (0, b), которую можно принять за начальную.

Ордината у = NM текущей точки М (х, у) прямой (рис. 23) состоит из двух частей:

из них первая постоянна, а вторая переменна. Введя угловой коэффициент tg ф = k9 из рис. 23 будем иметь

при х > 0.

Таким образом,

при х > 0.

Нетрудно проверить, что формула (3) остается справедливой также и при х < 0.

Мы доказали, что координаты любой точки М (х, у) прямой PQ удовлетворяют уравнению (3). Легко убедиться в обратном: если координаты какой-нибудь точки Ml удовлетворяют уравнению (3), то точка Мх обязательно лежит на прямой PQ. Следовательно, уравнение (3) представляет собой уравнение прямой линии PQ (так называемое уравнение прямой с угловым коэффициентом). Постоянные величины (параметры) имеют следующие значения: b = ОБ — начальный отрезок (точнее, начальная ордината), k = tg ф — угловой коэффициент. Заметим, что если точка В расположена выше оси Ох, то , а если ниже, то b < 0. При 6 = 0 прямая проходит через начало координат и уравнение такой прямой есть

При k = 0 получаем уравнение прямой, параллельной оси Ох:

2) Если , то с помощью аналогичных рассуждений мы также приходим к уравнению (3).

3) Если , т. е. прямая АВ перпендикулярна оси Ох, то ее уравнение есть

где а — абсцисса следа этой прямой на оси Ох (т. е. ее точки пересечения с осью Ох).

Замечание. Как частные случаи получаем уравнения осей координат:

Прямую легко построить по ее уравнению.

Пример:

Построить прямую, заданную уравнением

Решение:

Известно, что две точки вполне определяют положение прямой. Поэтому достаточно найти две точки, через которые проходит наша прямая. В данном уравнении b = -4. Следовательно, прямая проходит через точку В (0, -4). С другой стороны, координаты х и у любой точки, лежащей на нашей прямой, связаны заданным уравнением. Поэтому, задав абсциссу некоторой точки, лежащей на прямой, мы из уравнения прямой найдем ее ординату. Положим, например, х = 2; из уравнения прямой получим у = -1. Таким образом, наша прямая проходит через точки А (2, -1) и В (0, -4). Построив эти точки по их координатам и проведя через них прямую (рис. 24), мы получим искомую прямую.

Из предыдущего видно, что для произвольной прямой на плоскости можно составить ее уравнение; обратно, зная уравнение некоторой прямой, можно построить эту прямую. Таким образом, уравнение прямой полностью характеризует положение ее на плоскости.

Из формул (3) и (5) видно, что уравнение прямой есть уравнение первой степени относительно текущих координат х и у. Справедливо и обратное утверждение.

Теорема: Всякое невырожденное уравнение первой степени

представляет собой уравнение некоторой прямой линии на плоскости Оху (общее уравнение прямой линии).

Доказательство: 1) Пусть сначала В ^ 0. Тогда уравнение (7) можно представить в виде

Сравнивая с (3), мы получим, что это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом k = -А/В и начальной ординатой

2) Пусть теперь В = 0; тогда А 0. Имеем Ах + С = 0 и

х = -С/А.

Уравнение (9) представляет собой уравнение прямой, параллельной оси Оу и отсекающей на оси Ох отрезок a = -С/А.

Так как все возможные случаи исчерпаны, то теорема доказана.

• Заказать решение задач по высшей математике

Угол между двумя прямыми

Рассмотрим две прямые (не параллельные оси Оу)у заданные их уравнениями с угловыми коэффициентами (рис. 25):

Требуется определить угол 9 между ними. Точнее, под углом 0 мы будем понимать наименьший угол, отсчитываемый против хода часовой стрелки, на который вторая прямая повернута относительно первой (0 < 0 < я). Этот угол 9 (рис. 25) равен углу АСВ треугольника ABC. Далее, из элементарной геометрии известно, что внешний угол треугольника равен сумме внутренних, с ним не смежных. Поэтому ф’ = ф + 0, или

0 = ф’ – ф;

отсюда на основании известной формулы тригонометрии получаем

Заменяя tg ф и tg ф’ соответственно на к и k окончательно будем иметь

Формула (3) дает выражение тангенса угла между двумя прямыми через угловые коэффициенты этих прямых.

Выведем теперь условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Если прямые (1) и (2) параллельны, то ф’ = ф и, следовательно,

k’ = к. (4)

Обратно, если выполнено условие (4), то, учитывая, что ф’ и ф заключаются в пределах от 0 до я, получаем

Ф’ – ф, (5)

и, следовательно, рассматриваемые прямые или параллельны, или сливаются (параллельность в широком смысле).

Правило 1. Прямые на плоскости параллельны (в широком смысле) тогда и только тогдау когда их угловые коэффициенты равны между собой.

Если прямые перпендикулярны, то и, следовательно,

отсюда 1 + kk’ = 0 и

k’ = -l/k.

Справедливо также и обратное утверждение.

Правило 2. Две прямые на плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Пусть теперь уравнения прямых заданы в общем виде:

Ах + By + С = 0 (7)

и

А’х + В’у + С’ = 0. (8)

Отсюда, предполагая, что , получаем

Следовательно, угловые коэффициенты этих прямых есть

Из формулы (3), производя несложные выкладки, находим тангенс угла между этими прямыми:

Отсюда получаем:

1) условие параллельности прямых (0 = 0)

2) условие перпендикулярности прямых

Отметим, в частности, что прямые

взаимно перпендикулярны.

Для прямых, параллельных осям Ох и Оу, условно полагают и

Пример:

Определить угол между прямыми у = х и у = 1,001 + 10. Здесь угловые коэффициенты прямых есть k = 1 и k’ = 1,001.

Решение:

По формуле (3) получаем

Так как для малых углов 0 справедливо приближенное равенство , то

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая РМ образует угол ф с положительным направлением оси Ох (рис. 26) и проходит через заданную точку Р . Выведем уравнение этой прямой, предполагая сначала, что прямая не параллельна оси Оу.

В этом случае, как мы видели, уравнение прямой имеет вид

у = kx + b, (1)

где k = tg ф — угловой коэффициент прямой, а Ь — длина отрезка, отсекаемого нашей прямой на оси Оу. Так как точка Р лежит на прямой РМ, то ее координаты хг и ух должны удовлетворять уравнению (1), т. е.

ух = kxt+ b. (2)

Вычитая из равенства (1) равенство (2), получим

Это и есть уравнение искомой прямой.

Если прямая, проходящая через точку Р параллельна оси Оу, то ее уравнение, очевидно, будет

Если k — заданное число, то уравнение (3) представляет вполне определенную прямую. Если же k — переменный параметр, то это уравнение определит пучок прямых у проходящих через точку Р (рис. 27); при этом k называется параметром пучка.

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через точку Р (3, 2) и параллельной прямой:

Решение:

Так как искомая прямая параллельна данной прямой, то ее угловой коэффициент k = 4/3. Следовательно, на основании формулы (3) уравнение этой прямой имеет вид , или

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через точку Р (4, 5) и перпендикулярной к прямой:

Решение:

Так как искомая прямая перпендикулярна прямой с угловым коэффициентом k = -2/3, то ее угловой коэффициент k’ = -l/k = 3/2. Следовательно, на основании формулы (3) уравнение этой прямой таково:

, или окончательно

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Известно, что через две не совпадающие между собой точки можно провести прямую, и притом только одну. Отыщем уравнение прямой, проходящей через точки –

Предположим сначала, что , т. е. прямая PQ не параллельна оси Оу, Поскольку прямая PQ проходит через точку то ее уравнение имеет вид 

где k — неизвестный нам угловой коэффициент этой прямой. Однако так как наша прямая проходит также через точку Q , то координаты этой последней точки должны удовлетворять уравнению (1). Отсюда

=

и, следовательно, при имеем

Подставляя выражение (2) для углового коэффициента k в уравнение (1), получим уравнение прямой PQ:

Это уравнение при можно записать также в виде пропорции:

Если , т. е. прямая, проходящая через точки и , параллельна оси Оу, то уравнение этой прямой, очевидно, будет

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через точки Р(4, -2) и Q(3, -1).

Решение:

На основании уравнения (3) имеем

Уравнение прямой в «отрезках»

Выведем теперь уравнение прямой, положение которой на плоскости задано ненулевыми отрезками, отсекаемыми ею на осях координат. Предположим, например, что прямая АВ отсекает на оси Ох отрезок OA = а, а на оси Оу — отрезок О В = b (рис. 28), причем ясно, что тем самым положение прямой вполне определено.

Для вывода уравнения прямой АВ заметим, что эта прямая проходит через точки А (а, 0) и Б поэтому уравнение ее легко получается из уравнения (3′), если положить в нем . Имеем

Отсюда

и окончательно

Это и есть так называемое уравнение прямой в «отрезках». Здесь х и у, как обычно, — координаты произвольной точки М (х, у), лежащей на прямой АВ (рис. 28).

Пример:

Написать уравнение прямой АВ, отсекающей на оси Ох отрезок OA = 5, а на оси Оу отрезок ОВ = -4.

Полагая в уравнении (1) а = 5 и b = -4, получим , или

Примечание. Уравнение прямой, проходящей через начало координат или параллельной одной из осей координат, не может быть записано как уравнение прямой в «отрезках».

Точка пересечения двух прямых

Пусть имеем две прямые

Точка пересечения этих прямых лежит как на первой прямой, так и на второй. Поэтому координаты точки пересечения должны удовлетворять как уравнению первой, так и уравнению второй прямой. Следовательно, для того чтобы найти координаты точки пересечения двух данных прямых, достаточно решить совместно систему уравнений этих прямых.

Последовательно исключая из уравнений (1) и (2) неизвестные у и х, будем иметь

Отсюда если , то для координат точки пересечения прямых получаем такие выражения: или, введя определители второго порядка, имеем

Для прямых (1) и (2) возможны следующие три случая.

На основании  прямые не параллельны. Координаты их единственной точки пересечения определяются из формул (6).

Прямые параллельны и точки пересечения нет. Аналитически это видно из того, что по меньшей мере одно из уравнений (3) или (4) противоречиво и, значит, система (1) и (2) несовместна.

Прямые (1) и (2) сливаются, и, таким образом, существует бесчисленное множество точек пересечения. В этом случае левые части уравнений (1) и (2) отличаются только на постоянный множитель и, следовательно, система этих уравнений допускает бесконечно много решений.

Пример:

Решая совместно систему уравнений прямых

получаем х = 2 и у = 1. Следовательно, эти прямые пересекаются в точке N(2,1).

Расстояние от точки до прямой

Рассмотрим прямую KL, заданную общим уравнением

и некоторую точку М. Под расстоянием от точки М до прямой KL понимается длина перпендикуляра d = , опущенного из точки М на прямую KL (рис. 29).

Уравнение перпендикуляра MN можно записать в виде

Отсюда для основания перпендикуляра N(x2, у2) будем иметь

и, следовательно,

где t — коэффициент пропорциональности. Поэтому

С другой стороны, учитывая, что точка N(*2, i/2) лежит на прямой KL, причем из (4) имеем получаем

Следовательно,

Таким образом, в силу формулы (5) имеем

В частности, полагая , получаем расстояние от начала координат до прямой

Замечание. Разделив обе части уравнения прямой (1) на , получим уравнение

свободный член которого численно равен расстоянию от

начала координат до прямой. Такое уравнение прямой будем называть нормированным.

Из формулы (7) получаем правило:

чтобы определить расстояние от точки до прямой, нужно в левую часть нормированного уравнения этой прямой подставить координаты данной точки и взять модуль полученного результата.

Пример:

Определить расстояние от точки М (-2, 7) до прямой

Решение:

Нормируя уравнение этой прямой, будем иметь

Отсюда искомое расстояние есть

Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Уравнения прямых, параллельных осям координат

Возьмем прямую линию, параллельную оси Оу и проходящую на расстоянии а от нее (рис. 10).

Все точки этой прямой одинаково удалены от оси ординат на расстояние, равное а. Следовательно, для каждой точки прямой АМ абсцисса одна и та же, а именно:

х = а, (1)

ордината же различна. Таким образом, уравнение (1) вполне определяет прямую, параллельную оси Оу, а потому оно является ее уравнением. Возьмем прямую, параллельную оси Ох, на расстоянии.

равном b от нее (рис. 11). Все точки этой прямой одинаково удалены от оси Ох на расстояние, равное b , т. е. любая точка прямой ВМ имеет постоянную ординату, а именно:

абсциссу же различную. Как видно, уравнение (2) вполне определяет прямую, параллельную оси Ох, а потому оно является ее уравнением.

По уравнениям (1) и (2) можно построить соответствующие им прямые. Пусть, например, дана прямая х = — 4. Отложив на оси Ох отрезок ОА = — 4 (рис. 12) и проведя через точку А прямую, параллельную оси Оу, получим искомую прямую.

Уравнения осей координат

Возьмем уравнение прямой, параллельной оси Оу:

х = а

и станем в нем уменьшать абсолютную величину а, тогда прямая, определяемая этим уравнением, будет приближаться к оси Оу, оставаясь все время ей параллельной, и при а = 0 сольется с ней. Уравнение х = 0 является уравнением оси Оу.

Если же в уравнении у = b прямой, параллельной оси Ох, будем уменьшать абсолютную величину b то эта прямая станет приближаться к оси Ох, оставаясь ей параллельной, и при b = 0 с ней совпадет. Таким образом, уравнение у = 0 будет уравнением оси Ох.

Уравнение прямой, проходящей через начало координат

Проведем прямую через начало координат под углом

к оси Ох (рис. 13). Принято положительный угол а отсчитывать от положительного направления оси абсцисс в сторону, противоположную движению часовой стрелки (рис. 13), а отрицательный — по часовой стрелке.

Возьмем на проведенной прямой произвольную точку М (х; у). Опустив перпендикуляр МР на ось Ох, получим прямоугольный треугольник ОМР, из которого найдем:

Но

Координаты любой точки прямой ОМ удовлетворяют полученному уравнению; можно показать, что координаты любой точки, не лежащей на прямой ОМ, не удовлетворяют ему; поэтому оно является уравнением прямой ОМ. Итак,

есть уравнение прямой, проходящей через начало координат. В нем х и у — текущие координаты, а — угловой коэффициент.

Определение:

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой к положительному направлению оси Ох.

Величина может быть как положительной, так и отрицательной. Если угол а острый, то тангенс его имеет положительное значение; если же угол а тупой, —то отрицательное. Поэтому величина в уравнении прямой будет положительной, если а — острый угол, и отрицательной, если тупой.

Заметим, что при а = 90° углового коэффициента не существует, так как 90° не имеет числового значения.

Зная угловой коэффициент прямой у = х, можно определить ее положение.

Пусть требуется построить прямую у= 2х.

Для этого найдем угол а из условия

откуда:

Построив при точке О найденный угол, мы и получим искомую прямую (рис. 14).

Построение этой прямой можно провести и проще.

Известно, что положение прямой определяется двумя точками, поэтому для решения задачи нужно знать их координаты. В нашем же случае достаточно определить координаты одной точки, так как вторая (начало координат) нам известна. Для этого дадим х произвольное значение, например х = 2, тогда из уравнения прямой найдем:

Значения х = 2 и у = 4 и будут координатами точки, лежащей на данной прямой. Построив эту точку, проведем через нее и начало координат прямую линию (рис. 14).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой

Пусть дана прямая ОС, проходящая через начало координат под углом а к положительному направлению оси Ох (рис. 15)

Ее уравнение имеет вид

где .

Проведем прямую отсекающую на оси Оу отрезок ОВ = b. Прямая АВ составляет с положительным направлением оси Ох тот же угол а. Пусть М(х; у)— произвольная точка прямой АВ. Из рис. 15 найдем:

Но

Подставив значение РМ1 в равенство (1), получим уравнение прямой АВ в виде:

где — угловой коэффициент, а b называется начальной ординатой.

Заметим что прямая получается смещением всех точек прямой (рис. 15) на отрезок b вверх (при положительном b) и вниз при отрицательном b .

Уравнение определяющее прямую проходящую через начало координат, является частным случаем уравнения (2) при b = 0.

Зная угловой коэффициент и начальную ординату b можно определить положение прямой. Пусть, например, требуется построить прямую

Из данного уравнения имеем:

откуда

Проведем через начало координат прямую МN под углом в 45 градусов к положительному направлению оси Ох (рис. 16). На прямую

Как видно из уравнения ее пересекает ось Оу на расстоянии ОС, равном 4 единицам масштаба от начала координат.

Поэтому прямая АВ, проведенная через точку С параллельно прямой МN, и будет искомой.

Однако проще построить указанную прямую по двум ее точкам. Удобнее для этого брать точки пересечения прямой с осями координат. Одна из них — точка С пересечения прямой с осью Оу— дается самим уравнением, а именно С(0; 4). Для нахождения точки D пересечения этой прямой с осью Ох положим в данном уравнении y = 0, получим х = — 4; значит, прямая пересекает ось Ох в точке D (-4; 0). Строим точки С и D и проводим через них искомую прямую.

Пример:

Найти уравнения прямых АВ, СD и ЕF, изображенных на рис. 17.

Решение:

Чтобы написать уравнения данных прямых, нужно определить величины и b, а затем подставить их значения в уравнение

Для прямой АВ

Следовательно, уравнения данных прямых будут:

Общее уравнение прямой

В предыдущей лекции были выведены следующие виды уравнения прямой: уравнение прямой, параллельной оси Оу:

уравнение прямой, параллельной оси Ох:

уравнение оси Оу:

уравнение оси Ох:

уравнение прямой, проходящей через начало координат:

уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой:

Уравнения (1) — (6) исчерпывают все возможные положения прямой, поэтому можно сказать, что

всякая прямая линия определяется уравнением первой степени относительно текущих координат.

Покажем теперь, что указанные виды уравнения прямой можно получить из уравнения

при некоторых частных значениях коэффициентов А, В и С.

I. Если В = 0, то уравнение (7) обратится в следующее:

откуда

Положив

получим

Уравнение есть уравнение прямой, параллельной оси Оу.

II. Если А = 0, то

отсюда

Положив

получим

Уравнение определяет прямую, параллельную оси Ох.

III. Если В = 0 и С = 0, то

отсюда

IV. Если А = 0 и С = 0, то

отсюда

V. Если С = 0, то

отсюда

Положим

тогда

Уравнение определяет прямую, проходящую через начало координат.

VI. Если ни один из коэффициентов уравнения (7) не равен нулю, то и в этом случае его можно преобразовать в знакомую нам форму уравнения прямой. Найдем из уравнения (7) значение у:

Положив

и

можем написать

Следовательно, уравнение

включает в себя все рассмотренные нами ранее уравнения прямой; поэтому оно называется общим уравнением прямой. Итак, всякое уравнение первой степени

при любых значениях коэффициентов А, В и С, исключая одновременное равенство А и В нулю, определяет прямую линию.

Пример:

Построить прямую

Решение:

Проще всего построить прямую по двум ее точкам пересечения с осями координат. Положив в данном уравнении у = 0, получим х =- 5; координаты (-5; 0) и будут определять положение точки пересечения прямой с осью Ох. Для нахождения точки пересечения прямой с осью Оу положим в том же уравнении х = 0 тогда найдем у = 2; координаты искомой точки будут (0; 2).

Построив эти точки, проводим через них прямую 2х— 5у —10 = 0 (рис. 18).

Пример:

Найти угловой коэффициент и начальную ординату прямой 4х+ 6у — 3 = 0.

Решение:

Преобразуем это уравнение к виду

для этого находим:

6у = — 4х + 3,

отсюда

Сравнив полученное уравнение с уравнением найдем:

Угловой коэффициент можно найти и из равенства (8). Для этого, как видно, нужно коэффициент при х общего уравнения прямой разделить на коэффициент при у и частное

взять с противоположным знаком. Таким образом, в данном примере

Уравнение прямой в отрезках

Как мы уже знаем, положение прямой определяется или двумя точками или одной точкой и углом наклона прямой к оси Ох. Если прямая не параллельна ни одной из координатных осей и не проходит

через начало координат, то ее положение может быть определено и другими данными, например отрезками, которые она отсекает на осях. Выведем уравнение прямой для этого случая.

Пусть дана прямая, отсекающая на координатных осях отрезки ОА = а и ОВ = b (рис. 19).

Возьмем на этой прямой произвольную точку M (х; у) и проведем

МР Ох. Из подобия треугольников РМА и ОВА имеем:

или

Разделив а — х почленно на а, будем иметь:

откуда

Можно показать, что координаты любой точки нашей прямой будут удовлетворять этому равенству, а потому его нужно рассматривать как уравнение прямой АВ.

В уравнение (1) входят отрезки а и b , отсекаемые прямой на осях; поэтому оно называется уравнением прямой в отрезках.

Величины а и b могут быть как положительными, так и отрицательными в зависимости от того, в какую сторону от начала координат откладываются отрезки а и b .

Пусть, например, дана прямая АВ (рис. 20). Здесь а = — 2, b = — 3; следовательно, уравнение прямой АВ запишется в таком виде:

По уравнению вида (1) Очень просто строится прямая. Для этого нужно только отложить на осях отрезки а и b взятые из уравнения, и через их концы провести прямую.

Заметим, что уравнение в отрезках легко получается из общего уравнения прямой: Ах + Ву + С= 0, если все коэффициенты общего уравнения отличны от нуля (иначе уравнение в отрезках не имеет смысла).

Уравнение пучка прямых

Пусть прямая АВ проходит через точку М(х1; у1) и образует угол а с положительным направлением оси Ох (рис. 21). Составим для прямой АВ уравнение вида

Для этого нужно найти величины и b определяющие прямую АВ, а затем подставить в уравнение (1) их значения. Так как угол а дан, то величина определится из равенства

Для нахождения b воспользуемся тем, что точка М лежит на прямой (1) и, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой.

Подставив в уравнение (1) вместо х и у их значения х1 и у1, а величину полагая известной, получим

откуда

Уравнение (1) можем теперь записать в виде

или

Таково искомое уравнение прямой АВ; в нем имеет одно, вполне определенное значение.

Допустим, что через ту же точку M(х1; у1) проходит несколько прямых; тогда угол а наклона этих прямых к оси Ох, и также множитель в уравнении (2) будут иметь различные значения.

В таком случае уравнение (2) будет определять уже не одну прямую, проходящую через данную точку M, а множество прямых, пересекающихся в эточке.

Совокупность всех прямых, проходящих через одну точку М, называется пучком прямых с центром в точке М. Таким образом, уравнение (2) с переменным можно рассматривать как уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку, исключая прямую, параллельную оси ординат (так как tg 90° не имеет числового значения) (рис. 21).

Чтобы выделить из этого пучка прямую, образующую заданный угол с осью Ох, нужно в уравнении (2) вместо подставить его числовое значение. Пусть, например, пучок прямых проходит через точку М(2;—5), тогда его уравнение будет:

Выделим из этого пучка одну прямую, которая наклонена к положительному направлению оси Ох под углом а = 45°;

тогда

и уравнение (3) обратится в следующее:

или

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть даны две точки A(х1; у1) и В(х2; у2); требуется найти уравнение прямой, проходящей через эти точки.

Если взять одну точку, например А, то через нее можно провести пучок прямых, уравнение которого будет:

где каждому значению отвечает одна прямая.

Выделим из этого пучка прямую, которая проходит и через вторую точку В (рис. 22). Чтобы найти ее уравнение, необходимо определить угловой коэффициент. Для этого примем во внимание, что точка В лежит на искомой прямой, и потому ее координаты должны обращать уравнение (1)

в тождество при равном угловому коэффициенту этой прямой. Подставив в уравнение (1) вместо текущих координат х и у координаты точки В, получим:

отсюда находим угловой коэффициент искомой прямой:

Уравнение (1) можно переписать так:

Преобразуем это уравнение, разделив обе части его на у2 — у1 получим:

гле х и у — текущие координаты. Равенство (2) является уравнением прямой, проходящей через две данные точки. Это, как и уравнение в отрезках, частный случай общего уравнения прямой.

Если х1 = х2 или у1 = у2, то формула (2) теряет смысл, так как делить на нуль нельзя. В этих случаях точки А и В лежат либо на прямой, параллельной оси Оу, либо на прямой, параллельной оси Ох. В первом случае уравнение прямой запишется в виде

х = х1

а во втором — в виде

у = у1

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через две точки: А(—4; 6) и В(2; —3).

Решение:

Имеем:

х1 = —- 4, х2 = 2

и

у1 = 6, у2 = — 3.

Подставим эти значения в уравнение (2); получим:

или

Умножив обе части последнего уравнения на —18, будем иметь:

2у— 12 = — 3х— 12,

откуда

Зх + 2у = 0.

Пример:

Через две точки А( 3; 2) и В (5; 2) проходит прямая. Написать ее уравнение.

Решение:

Так как ординаты данных точек равны, то заключаем, что искомая прямая параллельна оси Ох, а потому ее уравнение будет

у = 2.

Угол между двумя прямыми

Пусть даны уравнения двух прямых:

y=klx+blt

где имеют вполне определенные значения. Выведем формулу для определения угла между этими прямыми.

Обозначим углы, образуемые данными прямыми с положительным направлением оси Ох, через а1 и а2, а угол между этими прямыми через (рис. 23).

Угол а2, как внешний угол треугольника ABC, будет равен сумме внутренних, с ним не смежных, т. е.

откуда

Если углы равны между собой, то и тангенсы их равны друг другу, поэтому

Применяя формулу для тангенса разности двух углов, получим:

Но

Поэтому

Определив tg по формуле (1), можно найти и самый угол .

Пример:

Определить угол между прямыми:

2х — 3у + 6 =0

и

х + 5у — 2=0.

Решение:

Из данных уравнений найдем угловые коэффициенты этих прямых :

Согласно формуле (1) имеем:

откуда

Полученный угол между прямыми тупой. Но если принять

то вычисляя по той же формуле (1), получим:

откуда = 45°. Получился угол острый, смежный с ранее

найденным тупым углом (рис. 24). Первое и второе значение угла будет ответом на вопрос задачи.

Условие параллельности прямых

Если прямые параллельны между собой, то они образуют одинаковые углы а1 и а2 с положительным направлением оси Ох (рис. 25).

Из равенства углов а1 и а2 следует

или

Обратно, если т.е. то а1 = а2, а это значит, что данные прямые параллельны.

Итак, если прямые параллельны между собой, то их угловые коэффициенты равны (и наоборот).

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (—2; 6) и параллельной прямой 5х—3у — 7 = 0.

Решение:

Через точку А проходит пучок прямых, среди которых находится искомая прямая. Следовательно, прежде всего пишем уравнение пучка прямых , проходящих через точку А:

Затем находим из данного в задаче уравнения прямой ее угловой коэффициент; применяя равенство (8) , получим:

Согласно условию параллельности угловой коэффициент искомой прямой тоже равен

Подставим найденное значение в уравнение

пучка:

Выполнив необходимые преобразования, получим искомое уравнение прямой:

Условие перпендикулярности прямых

Пусть две прямые взаимно перпендикулярны и образуют с положительным направлением оси Ох углы а1 и а2 (рис. 26). В этом случае

отсюда

Но

Следовательно,

или

Обратно, если

то

Отсюда

т. е. данные прямые взаимно перпендикулярны.

Таким образом, если прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку (и наоборот).

Так, например, если у одной прямой угловой коэффициент

равен то у перпендикулярной ей прямой он равен .

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(—3; 5) и перпендикулярной прямой 4х — Зу—10 = 0.

Решение:

Через точку А проходит пучок прямых, среди которых находится и искомая прямая. Поэтому напишем сначала уравнение этого пучка

Чтобы выделить из него нашу прямую, нужно найти ее угловой коэффициент связанный с угловым коэффициентом

данной прямой равенством (1). Но следовательно,

Подставив в уравнение (2) вместо найденное его значение

получим:

Это и есть искомое уравнение прямой. Преобразовав его, найдем:

или

Пересечение прямых

Пусть даны две прямые, определяемые уравнениями:

Требуется найти точку их пересечения.

Так как точка пересечения данных прямых есть их общая точка, то ее координаты должны удовлетворять как первому, так и второму уравнению, т. е. эти координаты должны быть общими корнями данных уравнений.

Чтобы найти эти корни, нужно, как известно из алгебры, решить совместно данные уравнения, рассматривая их как систему уравнений.

Пример:

Найти точку пересечения прямых

Решение:

Решим данные уравнения как систему. Умножив второе уравнение на 3 и сложив результат с первым уравнением, получим:

откуда

Зная х, находим у, например, из второго уравнения:

Пример:

Найти точку пересечения прямых

Решение:

Умножив все члены первого уравнения на —2 и сложив полученное уравнение со вторым, найдем:

что невозможно. Значит, данная система уравнений решений не имеет, а потому прямые, определяемые этими уравнениями, не имеют общих точек, т. е. данные прямые параллельны.

К этому же заключению можно прийти, сравнивая угловые коэффициенты данных прямых.

Дополнение к прямой линии

Смотрите также:

Предмет высшая математика

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Обратные тригонометрические функции
86. Теорема Безу
87. Математическая индукция
88. Показатель степени
89. Показательные функции и логарифмы
90. Множество
91. Множество действительных чисел
92. Числовые множества
93. Преобразование рациональных выражений
94. Преобразование иррациональных выражений
95. Геометрия
96. Действительные числа
97. Степени и корни
98. Степень с рациональным показателем
99. Тригонометрические функции угла
100. Тригонометрические функции числового аргумента
101. Тригонометрические выражения и их преобразования
102. Преобразование тригонометрических выражений
103. Комбинаторика
104. Вычислительная математика
105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
106. Прямая и плоскость
107. Линии и уравнения
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат

Получить уравнение прямой по двум точкам бывает необходимо, когда мы решаем задачи, связанные с анализом различных фигур на плоскости. В этом случае бывает полезно знать уравнение прямой, проходящей через две точки. Например, составляя такое уравнение мы уже знаем – как проходит прямая, с какие углом наклона к осям координат и можем рассчитать расположение прямой по отношению к другим прямым или к фигурам.

Составляем уравнение прямой по двум точкам

Итак, пусть нам даны две точки и . Наша прямая проходит через две эти точки, давайте получим уравнение этой прямой. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку с координатами имеет вид:

   

То есть если прямая проходит через две точки и она – одна из этого пучка прямых, проходящих через точку и эта прямая имеет определенный коэффициент . Значит, координаты точки должны удовлетворять уравнению (1), то есть

   

.

Находим из (2) :

   

и подставим в уравнение (1):

   

.

Преобразовывая уравнение (3) получим:

   

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки и .

Примечание: если точки и лежат на прямой, которая параллельна оси или оси , то уравнение прямой будет иметь вид или соответственно.

Зная координаты любых двух точек прямой, мы всегда сможем определить угловой коэффициент прямой:

   

Геометрический вывод уравнения прямой

Действительно, давайте нарисуем прямую в системе координат и отметим на прямой две точки и , координаты которых известны и и отметим на этой прямой произвольную точку .

Из подобия треугольников и находим:

   

Из рисунка видно, что:

   

   

   

   

,

Таким образом, получаем уравнение прямой по двум точкам:

   

Задача

Составим уравнение прямой, проходящей через две точки и .

Решение: Имеем , , , . Подставим эти значения в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

   

   

Умножим левую и правую части уравнения на 5, получим:

– получившееся уравнение прямой.

Давайте сделаем проверку – если мы все решили правильно, то при подстановке координат точек и мы получим верное равенство. Итак, подставим сначала координаты точки :

Теперь координаты точки :

Значит, уравнение прямой мы нашли верно.

Ответ:

Условие прохождения прямой через три заданные точки

Если нам в задаче нужно убедиться, что три точки с заданными координатами лежат на одной прямой, можно рассуждать так:

1. Если две точки с заданными координатами образуют прямую, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой, проходящей через две точки.
2. Если третья точка также лежит на этой прямой, то и ее координаты будут удовлетворять этому уравнению.

Таким образом, если нам даны три точки , и , лежащие на одной прямой, то их координаты будут удовлетворять условию:

   

Теперь вы легко сможете составить уравнение прямой по двум точкам, а также найти угловой коэффициент прямой и проверить – принадлежит ли третья точка этой прямой.