Как найти координаты симметричной точки относительно плоскости

Симметрия относительно плоскости

Постановка
задачи.
Найти координаты точки
,
симметричной точкеотносительно
плоскости.

План
решения.

1.
Находим уравнение прямой, которая
перпендикулярна данной плоскости и
проходит через точку
.
Так прямая перпендикулярна заданной
плоскости, то в качестве ее направляющего
вектора можно взять вектор нормали
плоскости, т.е.

.

Поэтому
уравнение прямой будет

.

2.
Находим точку
пересечения
прямойи
плоскости(см.
задачу 13).

3.
Точка
является
серединой отрезка,
где точкаявляется
точкой симметричной точке,
поэтому

.

Задача
14.
Найти точку
,
симметричную точкеотносительно
плоскости.

Уравнение
прямой, которая проходит через точку
перпендикулярно
заданной плоскости будет:

.

Найдем
точку пересечения прямой и плоскости.

Откуда
–
точка пересечения прямой и плоскости.является
серединой отрезка,
поэтому

Т.е.
.

1. Однородные координаты плоскости.
   Аффинные преобразования на плоскости.

Пусть М
– произвольная точка плоскости с
координатами х
и у,
вычисленными относительно заданной
прямолинейной координатной системы.
Однородными координатами этой точки
называется любая тройка одновременно
неравных нулю чисел х₁,
х₂,
х₃,
связанных с заданными числами х и у
следующими соотношениями:

При решении задач
компьютерной графики однородные
координаты обычно вводятся так:
произвольной точке М
(х,
у)
плоскости ставится в соответствие точка
Мэ
(х,
у,
1) в пространстве (рис. 8).

Рис. 8

Заметим, что
произвольная точка на прямой, соединяющей
начало координат, точку 0(0, 0, 0), с точкой
Мэ
(х,
у,
1), может быть задана тройкой чисел вида
(hx,
hy,
h).

Будем считать, что
h 
0.

Вектор с координатами
hx,
hy, является направляющим вектором
прямой, соединяющей точки 0 (0, 0, 0) и Мэ
(х,
у,
1). Эта прямая пересекает плоскость z
= 1 в точке (х, у, 1), которая однозначно
определяет точку (х, у) координатной
плоскости ху.

Тем самым между
произвольной точкой с координатами (х,
у) и множеством троек чисел вида

(hx,
hy,
h),
h

0,

устанавливается
(взаимно однозначное) соответствие,
позволяющее считать числа hx,
hy,
h
новыми координатами этой точки.

Замечание

Широко используемые
в проективной геометрии однородные
координаты позволяют эффективно
описывать так называемые несобственные
элементы (по существу те, которыми
проективная плоскость отличается от
привычной нам евклидовой плоскости).
Более подробно о новых возможностях,
предоставляемых введенными однородными
координатами, говорится в четвертом
разделе этой главы.

В проективной
геометрии для однородных координат,
принято следующее обозначение:

х : у : 1 , или, более
обще, x₁
: х₂
: х₃

(напомним, что
здесь непременно требуется, чтобы числа
х₁,
х₂,
х₃
одновременно, в нуль не обращались).

Применение
однородных координат оказывается
удобным уже при решении простейших
задач.

Рассмотрим,
например, вопросы, связанные с изменением
масштаба. Если устройство отображения
работает только с целыми числами (или
если необходимо работать только с целыми
числами), то для произвольного значения
h
(например, h
= 1) точку с однородными координатами

(0.5 0.1 2.5)

представить нельзя.
Однако при разумном выборе h
можно добиться того, чтобы координаты
этой точки были целыми числами. В
частности, при h = 10 для рассматриваемого
примера имеем

(5, 1, 25).

Рассмотрим другой
случай. Чтобы результаты преобразования
не приводили к арифметическому
переполнению, для точки с координатами
(80000 40000 1000) можно взять, например, h=0,001.
В результате получим (80 40 1).

Приведенные примеры
показывают полезность использования
однородных координат при проведении
расчетов. Однако основной целью введения
однородных координат в компьютерной
графике является их несомненное удобство
в применении к геометрическим
преобразованиям.

При помощи троек
однородных координат и матриц третьего
порядка можно описать любое аффинное
преобразование плоскости.

В самом деле, считая
h
= 1, сравним две записи: помеченную
символом * и нижеследующую, матричную:

Нетрудно заметить,
что после перемножения выражений,
стоящих в правой части последнего
соотношения, мы получим обе формулы (*)
и верное числовое равенство 1=1.

Тем самым сравниваемые
записи можно считать равносильными.

Замечание

Иногда в литературе
используется другая запись – запись
по столбцам:

Такая запись
эквивалентна приведенной выше записи
по строкам (и получается из нее
транспонированием).

Элементы произвольной
матрицы аффинного преобразования не
несут в себе явно выраженного
геометрического смысла. Поэтому чтобы
реализовать то или иное отображение,
то есть найти элементы соответствующей
матрицы по заданному геометрическому
описанию, необходимы специальные приемы.
Обычно построение этой матрицы в
соответствии со сложностью рассматриваемой
задачи и с описанными выше частными
случаями разбивают на несколько этапов.

На каждом этапе
ищется матрица, соответствующая тому
или иному из выделенных выше случаев
А, Б, В или Г, обладающих хорошо выраженными
геометрическими свойствами.

Выпишем соответствующие
матрицы третьего порядка.

А. Матрица вращения,
(rotation)

Б. Матрица растяжения
(сжатия) (dilatation)
•

В. Матрица отражения
(reflection)

Г. Матрица переноса
(translation)

Рассмотрим примеры
аффинных преобразований плоскости.

Пример 1.

Построить матрицу
поворота вокруг точки А (а, b)
на угол 
(рис. 9).

Рис. 9.

1-й шаг.
Перенос на вектор – А (-а, -b)
для совмещения центра поворота с началом
координат;

матрица
соответствующего преобразования.

2-й шаг.
Поворот на угол 

матрица
соответствующего преобразования.

3-й шаг.
Перенос на вектор А(а,b)
для возвращения центра поворота в
прежнее положение;

матрица
соответствующего преобразования.

Перемножим матрицы
в том же порядке, как они выписаны:

В
результате получим, что искомое
преобразование (в матричной записи)
будет выглядеть следующим образом:

Элементы полученной
матрицы (особенно в последней строке)
не так легко запомнить. В то же время
каждая из трех перемножаемых матриц по
геометрическому описанию соответствующего
отображения легко строится.

Пример 3

Построить матрицу
растяжения с коэффициентами растяжения

вдоль оси абсцисс и 
вдоль оси ординат и с центром в точке
А(а, b).

1-й шаг.
Перенос на вектор -А(-а, -b) для совмещения
центра растяжения с началом координат;

матрица
соответствующего преобразования.

2-й шаг.
Растяжение вдоль координатных осей с
коэффициентами 
и 
соответственно; матрица преобразования
имеет вид

3-й шаг.
Перенос на вектор А(а, b) для возвращения
центра растяжения в прежнее положение;
матрица соответствующего преобразования
–

Перемножив .матрицы
в том же порядке

получим окончательно

Замечание

Рассуждая подобным
образом, то есть разбивая предложенное
преобразование на этапы, поддерживаемые
матрицами [R],[D],[M],[T],
можно построить
матрицу любого аффинного преобразования
по его геометрическому описанию.

Пусть М
– произвольная точка плоскости с
координатами х
и у,
вычисленными относительно заданной
прямолинейной координатной системы.
Однородными координатами этой точки
называется любая тройка одновременно
неравных нулю чисел х₁,
х₂,
х₃,
связанных с заданными числами х и у
следующими соотношениями:

При решении задач
компьютерной графики однородные
координаты обычно вводятся так:
произвольной точке М
(х,
у)
плоскости ставится в соответствие точка
Мэ
(х,
у,
1) в пространстве (рис. 8).

Рис. 8

Заметим, что
произвольная точка на прямой, соединяющей
начало координат, точку 0(0, 0, 0), с точкой
Мэ
(х,
у,
1), может быть задана тройкой чисел вида
(hx,
hy,
h).

Будем считать, что
h 
0.

Вектор с координатами
hx,
hy, является направляющим вектором
прямой, соединяющей точки 0 (0, 0, 0) и Мэ
(х,
у,
1). Эта прямая пересекает плоскость z
= 1 в точке (х, у, 1), которая однозначно
определяет точку (х, у) координатной
плоскости ху.

Тем самым между
произвольной точкой с координатами (х,
у) и множеством троек чисел вида

(hx,
hy,
h),
h

0,

устанавливается
(взаимно однозначное) соответствие,
позволяющее считать числа hx,
hy,
h
новыми координатами этой точки.

Замечание

Широко используемые
в проективной геометрии однородные
координаты позволяют эффективно
описывать так называемые несобственные
элементы (по существу те, которыми
проективная плоскость отличается от
привычной нам евклидовой плоскости).
Более подробно о новых возможностях,
предоставляемых введенными однородными
координатами, говорится в четвертом
разделе этой главы.

В проективной
геометрии для однородных координат,
принято следующее обозначение:

х : у : 1 , или, более
обще, x₁
: х₂
: х₃

(напомним, что
здесь непременно требуется, чтобы числа
х₁,
х₂,
х₃
одновременно, в нуль не обращались).

Применение
однородных координат оказывается
удобным уже при решении простейших
задач.

Рассмотрим,
например, вопросы, связанные с изменением
масштаба. Если устройство отображения
работает только с целыми числами (или
если необходимо работать только с целыми
числами), то для произвольного значения
h
(например, h
= 1) точку с однородными координатами

(0.5 0.1 2.5)

представить нельзя.
Однако при разумном выборе h
можно добиться того, чтобы координаты
этой точки были целыми числами. В
частности, при h = 10 для рассматриваемого
примера имеем

(5, 1, 25).

Рассмотрим другой
случай. Чтобы результаты преобразования
не приводили к арифметическому
переполнению, для точки с координатами
(80000 40000 1000) можно взять, например, h=0,001.
В результате получим (80 40 1).

Приведенные примеры
показывают полезность использования
однородных координат при проведении
расчетов. Однако основной целью введения
однородных координат в компьютерной
графике является их несомненное удобство
в применении к геометрическим
преобразованиям.

При помощи троек
однородных координат и матриц третьего
порядка можно описать любое аффинное
преобразование плоскости.

В самом деле, считая
h
= 1, сравним две записи: помеченную
символом * и нижеследующую, матричную:

Нетрудно заметить,
что после перемножения выражений,
стоящих в правой части последнего
соотношения, мы получим обе формулы (*)
и верное числовое равенство 1=1.

Тем самым сравниваемые
записи можно считать равносильными.

Замечание

Иногда в литературе
используется другая запись – запись
по столбцам:

Такая запись
эквивалентна приведенной выше записи
по строкам (и получается из нее
транспонированием).

Элементы произвольной
матрицы аффинного преобразования не
несут в себе явно выраженного
геометрического смысла. Поэтому чтобы
реализовать то или иное отображение,
то есть найти элементы соответствующей
матрицы по заданному геометрическому
описанию, необходимы специальные приемы.
Обычно построение этой матрицы в
соответствии со сложностью рассматриваемой
задачи и с описанными выше частными
случаями разбивают на несколько этапов.

На каждом этапе
ищется матрица, соответствующая тому
или иному из выделенных выше случаев
А, Б, В или Г, обладающих хорошо выраженными
геометрическими свойствами.

Выпишем соответствующие
матрицы третьего порядка.

А. Матрица вращения,
(rotation)

Б. Матрица растяжения
(сжатия) (dilatation)
•

В. Матрица отражения
(reflection)

Г. Матрица переноса
(translation)

Рассмотрим примеры
аффинных преобразований плоскости.

Пример 1.

Построить матрицу
поворота вокруг точки А (а, b)
на угол 
(рис. 9).

Рис. 9.

1-й шаг.
Перенос на вектор – А (-а, -b)
для совмещения центра поворота с началом
координат;

матрица
соответствующего преобразования.

2-й шаг.
Поворот на угол 

матрица
соответствующего преобразования.

3-й шаг.
Перенос на вектор А(а,b)
для возвращения центра поворота в
прежнее положение;

матрица
соответствующего преобразования.

Перемножим матрицы
в том же порядке, как они выписаны:

В
результате получим, что искомое
преобразование (в матричной записи)
будет выглядеть следующим образом:

Элементы полученной
матрицы (особенно в последней строке)
не так легко запомнить. В то же время
каждая из трех перемножаемых матриц по
геометрическому описанию соответствующего
отображения легко строится.

Пример 3

Построить матрицу
растяжения с коэффициентами растяжения

вдоль оси абсцисс и 
вдоль оси ординат и с центром в точке
А(а, b).

1-й шаг.
Перенос на вектор -А(-а, -b) для совмещения
центра растяжения с началом координат;

матрица
соответствующего преобразования.

2-й шаг.
Растяжение вдоль координатных осей с
коэффициентами 
и 
соответственно; матрица преобразования
имеет вид

3-й шаг.
Перенос на вектор А(а, b) для возвращения
центра растяжения в прежнее положение;
матрица соответствующего преобразования
–

Перемножив .матрицы
в том же порядке

получим окончательно

Замечание

Рассуждая подобным
образом, то есть разбивая предложенное
преобразование на этапы, поддерживаемые
матрицами [R],[D],[M],[T],
можно построить
матрицу любого аффинного преобразования
по его геометрическому описанию.

Сдвиг
реализуется сложением, а масштабирование
и поворот – умножением.

Преобразование
масштабирования
(дилатация) относительно начала координат
имеет вид:

или
в матричной форме:

где
Dx,
Dy
– коэффициенты
масштабирования по осям, а

–
матрица  масштабирования.

При
D
> 1-происходит расширение, при 0<=D<1-
сжатие

Преобразование
поворота
относительно начала координат имеет
вид:

или
в матричной форме:

где
φ – угол поворота, а

–
матрица поворота.

Замечание:
Столбцы
и строки матрицы поворота представляют
собой взаимно ортогональные единичные
векторы. В самом деле квадраты длин
векторов-строк равны единице:

cosφ·cosφ+sinφ·sinφ
= 1 и (-sinφ)
·(-sinφ)+cosφ·cosφ
= 1,

а
скалярное произведение векторов-строк
есть

cosφ·(-sinφ)
+ sinφ·cosφ=
0.

Так
как скалярное произведение векторов A
·B
= |A|
·|B|
·cosψ, где |A|
– длина вектора A,
|B|
– длина вектора B,
а ψ – наименьший положительный угол
между ними, то из равенства 0 скалярного
произведения двух векторов-строк длины
1 следует, что угол между ними равен 90^°.

Условие

Решение

Написать комментарий

Геометрия, 11 класс

Урок №5. Метод преобразований решения задач

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• симметрия относительно произвольной плоскости;
• понятие «метод движений» в пространстве.

Глоссарий по теме

Метод геометрических преобразований

Сущность метода геометрических преобразований при решении геометрических задач заключается в привлечении того или иного геометрического преобразования, опираясь на свойства которого, задача может быть решена.

Метод параллельного переноса

Сущность этого метода состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются некоторые другие фигуры, которые получаются из данных или искомых фигур или их частей путём переноса на некоторый вектор.

Метод симметрии

Применение симметрии к решению задач на построение называют методом симметрии. Метод симметрии состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются также фигуры, симметричные некоторым из них относительно некоторой точки/оси/плоскости.

Метод поворота

Идея метода поворота состоит в том, чтобы повернуть какую-либо данную или искомую фигуру около целесообразно избранного центра/оси на соответствующий угол так, чтобы облегчить проведение анализа задачи или даже непосредственно прийти к решению.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.

Дополнительная литература:

Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений /– М.: Дрофа, 2009. – 235,: ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 178-196. Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. учреждений– М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 5-30.

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Метод геометрических преобразований

Сущность метода геометрических преобразований при решении геометрических задач заключается в привлечении того или иного геометрического преобразования, опираясь на свойства которого, задача может быть решена.

1.1. Метод параллельного переноса.

Сущность этого метода состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются некоторые другие фигуры, которые получаются из данных или искомых фигур или их частей путём переноса на некоторый вектор.

Этим путём иногда удаётся облегчить проведение анализа. Метод параллельного переноса применяют главным образом для объединения разрозненных частей фигур, когда часто построение фигуры становится затруднительным только от того, что части этой фигуры слишком удалены друг от друга, и потому трудно ввести в чертёж данные. В этих случаях какую-нибудь часть искомой фигуры переносят параллельно самой себе на такое расстояние, чтобы вновь полученная фигура могла быть построена или непосредственно, или легче, чем искомая фигура. Направление такого переноса зависит от условий задачи и должно быть выбрано так, чтобы во вновь полученную фигуру вошло, по возможности, большое количество данных.

1.2. Метод симметрии.

Применение осевой симметрии к решению задач на построение называют методом симметрии. Метод симметрии состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются также фигуры, симметричные некоторым из них относительно некоторой оси. При удачном выборе оси и преобразуемой фигуры решение задачи может значительно облегчиться, а в некоторых случаях симметрия непосредственно даёт искомые точки.

Метод симметрии заключается в следующем. Предполагают задачу решённой и одну из данных точек (прямую или окружность) отражают в какой-нибудь известной оси; иногда эта ось проходит через известную точку. Тогда полученную симметричную точку (прямую или окружность) подчиняют тем же условиям, которым должна была удовлетворять заменённая точка (прямая или окружность). После этого получится новая задача, которую решают способами, уже нам известными. Обыкновенно, с решением этой новой задачи предложенная задача уже будет решена сама собой, и только в редких случаях придётся ещё переходить к первоначальным условиям задачи. Таким образом, метод симметрии приводит решение предложенной задачи к решению новой задачи.

1.3. Метод поворота.

Поворотом также пользуются как методом решения геометрических задач на построение. Идея метода вращения состоит в том, чтобы повернуть какую-либо данную или искомую фигуру около целесообразно избранного центра/оси на соответствующий угол так, чтобы облегчить проведение анализа задачи или даже непосредственно прийти к решению.

2. Решение задач методом преобразований

2.1. Симметрия относительно произвольной плоскости

Постановка задачи. Найти координаты точки , симметричной точке , относительно плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

План решения.

1. Находим уравнение прямой, которая перпендикулярна данной плоскости и проходит через точку . Так как прямая перпендикулярна заданной плоскости, то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор нормали плоскости, т.е. .

Поэтому уравнение прямой будет:

2. Находим точку пересечения прямой и плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

Для этого обозначим и выразим x, y, z:

.

Подставим x, y, z в уравнение плоскости:

найдем значение t.

Затем найдем x, y, z. Найденные координаты будут являться координатами точки .

3. Точка является серединой отрезка , где точка является точкой симметричной точке , поэтому

, , .

Задача 1. Найти точку M’, симметричную точке M относительно плоскости.

M(1, 1, 1), x + 4y + 3z + 5 = 0.

Решение:

Уравнение прямой, которая проходит через точку M перпендикулярно заданной плоскости будет:

.

Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

,

,

(1 + t) + 4(1 + 4t) + 3(1 + 3t) + 5 = 0,

t = -0,5.

Откуда – точка пересечения прямой и плоскости. является серединой отрезка MM’, поэтому

,

,

,

2.2. Задача 2

Даны плоскость α: x + 2y – z – 2 = 0 и две точки А(1, -2, -3) и В (-1, -1, -2). Найдите на этой плоскости точку С такую, чтобы ломаная АСВ имела наименьшую длину.

Решение:

Данная плоскость пересекает оси координат в точках

M (2, 0, 0) (ось OX)

N (0, 1, 0) (ось OY)

K (0, 0, 2) (ось OZ)

Две заданные точки лежат по одну сторону от данной плоскости.

Если бы две точки лежали по разные стороны от плоскости α, то очевидно, искомой точкой С была бы точка пересечения отрезка, концами которого являются данные точки, с плоскостью α, а ломаная выродилась бы в отрезок.

Сведем нашу задачу к описанной ситуации.

Для этого найдем точку, симметричную любой из заданных относительно данной плоскости α.

Например, точке А.

Используя решение задачи 1, получим следующую последовательность действий.

Уравнение прямой, которая проходит через точку А перпендикулярно заданной плоскости будет:

.

Найдем точку пересечения полученной прямой и плоскости α.

.

.

(1 + t) + 2(2t – 2) – (-t– 2) – 2 = 0

t = 0,5

Откуда точка пересечения прямой, перпендикулярной плоскости α и проходящей через точку А, с плоскость α . Точка пересечения прямой и плоскости. является серединой отрезка АА’, поэтому

,

,

,

A'(2; 0; -4)

Теперь найдем точку пересечения отрезка A’B с плоскостью α.

Прямая A’B имеет направляющий вектор .

Уравнение прямой A’B:

.

Найдем точку пересечения полученной прямой и плоскости α.

.

.

3t-1+2(t-2)-(-2t-2)-2=0

7t-5=0

.

Таким образом, координаты искомой точки .

Ответ: .

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Напишите уравнение образа плоскости 2x + 5y – z – 5 = 0 при симметрии относительно плоскости Oxz.

Решение:

Найдем координаты двух точек плоскости 2x + 5y – z – 5 = 0, лежащих в плоскости Oxz. Для этого найдем точки плоскости, принадлежащие осям координат.

OX: z = y = 0, x = 2,5 A(2,5; 0; 0)

OZ: x = y = 0, z = -5 B(0; 0; -5).

Эти точки принадлежат и образу плоскости 2x + 3y – z – 5 = 0 при симметрии относительно плоскости Oxz.

Теперь найдем точку данной плоскости, принадлежащую оси ординат.

OY: z = x = 0, y = 2,5 С(0; 1; 0).

Точка, симметричная точке С относительно плоскости Oxz, имеет координаты С'(0; -1; 0).

Теперь напишем уравнение плоскости через три полученные точки.

Оно имеет вид:

– 5x + 12.5y + 2.5z + 12.5 = 0

2x – 5y – z – 5 = 0

Ответ: 2x – 5y – z – 5 = 0

Выясним, как связаны между собой координаты симметричных точек и рассмотрим на примерах, как найти координаты точки, симметричной данной точке.

I. Две точки A(x_A;y_A) и B(x_B;y_B) симметричны относительно точки O(x_O;y_O), если точка O является серединой отрезка AB.

По формулам координаты середины отрезка получаем связь координат этих точек:

   

Координаты точек, симметричных относительно начала координат — точки O(0;0) — противоположные числа.

То есть координаты точки B, симметричной точке A относительно начала координат, отличаются от  координат точки A только знаками:

A(a;b) и B(-a;-b) — точки, симметричные относительно начала координат.

Примеры.

1) Найти точку, симметричную точке A(-3;7) относительно точки F(5; 11).

Решение:

Пусть B(x_B;y_B) — точка, симметричная точке A относительно точки F. Тогда

   

   

   

   

   

   

   

Ответ: (13;15).

2) Найти точку, симметричную точке C (9;-4) относительно начала координат.

Решение:

Точка D, симметричная точке C относительно начала координат, имеет координаты, противоположные координатам точки C: D(-9;4).

Ответ: (-9;4).

II. Две точки A(x_A;y_A) и B(x_B;y_B) симметричны относительно прямой g, если эта прямая проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему.

Таким образом, чтобы найти координаты точки B, симметричной данной точке A относительно прямой g, можно:

• Написать уравнение прямой f, перпендикулярной прямой g, проходящей через точку A.
• Найти точку O пересечения прямых f и g.
• Зная конец отрезка A и его середину O найти другой конец B.

Пример

Найти точку, симметричную точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Решение:

Уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой y=2x+4, ищем в виде y=-0,5x+b. Так как эта прямая проходит через точку A, координаты A удовлетворяют уравнению прямой:

5=-0,5·(-4)+b, откуда b=3.

Таким образом, y=-0,5x+3 — прямая, перпендикулярная прямой y=2x+4 и проходящая через точку A.

Найдём координаты точки пересечения прямых:

   

   

   

   

   

   

Значит точка B(3,2;1,4) симметрична точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Ответ: (3,2;1,4).

Координаты точек, симметричных относительно осей координат и биссектрис координатных четвертей — прямых y=x и y=-x — находятся проще:

	для точки A(x;y)
симметрия относительно:
оси Ox	A1(x;-y)
оси Oy	A2(-x;y)
биссектрисы I и II координатных четвертей (прямой y=x)	A3(y;x)
биссектрисы I b II координатных четвертей (прямой y= -x)	A4(-y;-x)