Как найти координаты точек пересечения двух окружностей

Как найти точку пересечения окружностей

Геометрические задачи, решаемые аналитически при помощи приемов алгебры, являются неотъемлемой частью программы школьного обучения. Кроме логического и пространственного мышления они развивают понимание ключевых взаимосвязей между сущностями окружающего мира и абстракциями, применяемыми людьми для формализации отношений между ними. Нахождение точек пересечения простейших геометрических фигур – один из типов подобных задач.

Инструкция

Предположим, что даны две окружности, заданные своими радиусами R и r, а также координатами их центров — соответственно (x1, y1) и (x2, y2). Требуется вычислить, пересекаются ли эти окружности, и если да, то найти координаты точек пересечения.Для простоты можно предположить, что центр одной из заданных окружностей совпадает с началом координат. Тогда (x1, y1) = (0, 0), а (x2, y2) = (a, b). Также имеет смысл предполагать, что a ≠ 0 и b ≠ 0.

Таким образом, координаты точки (или точек) пересечения окружностей, если они есть, должны удовлетворять системе из двух уравнений:x^2 + y^2 = R^2,
(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2.

После раскрытия скобок уравнения приобретают вид:x^2 + y^2 = R^2,
x^2 + y^2 – 2ax – 2by + a^2 + b^2 = r^2.

Теперь первое уравнение можно вычесть из второго. Таким образом, квадраты переменных исчезают, и возникает линейное уравнение: -2ax – 2by = r^2 – R^2 – a^2 – b^2. С его помощью можно выразить y через x:y = (r^2 – R^2 – a^2 – b^2 – 2ax)/2b.

Если подставить найденное выражение для y в уравнение окружности, задача сводится к решению квадратного уравнения: x^2 + px + q = 0, гдеp = -2a/2b,
q = (r^2 – R^2 – a^2 – b^2)/2b – R^2.

Корни этого уравнения позволят найти координаты точек пересечения окружностей. Если уравнение неразрешимо в действительных числах, то окружности не пересекаются. Если корни совпадают между собой, то окружности касаются друг друга. Если корни различны, то окружности пересекаются.

Если a = 0 или b = 0, то исходные уравнения упрощаются. Например, при b = 0 система уравнений примет вид:x^2 + y2 = R^2,
(x – a)^2 + y^2 = r^2.

После вычитания первого уравнения из второго получается:- 2ax + a^2 = r^2 – R^2.Его решение: x = – (r^2 – R^2 – a2)/2a. Очевидно, что в случае b = 0 центры обеих окружностей лежат на оси абсцисс, и у точек их пересечения будет одинаковая абсцисса.

Это выражение для x можно подставить в первое уравнение окружности и получить квадратное уравнение относительно y. Его корни — ординаты точек пересечения, если таковые существуют. Аналогичным образом находится выражение для y, если a = 0.

Если a = 0 и b = 0, но при этом R ≠ r, то одна из окружностей заведомо находится внутри другой, и точки пересечения отсутствуют. Если же R = r, то окружности совпадают, и точек их пересечения бесконечно много.

Если ни у одной из двух окружностей центр не совпадает с началом координат, то их уравнения будут иметь вид:(x – x1)^2 + (y – y1)^2 = R^2,
(x – x2)^2 + (y – y2)^2 = r^2.Если перейти к новым координатам, получающимся из старых методом параллельного переноса: x′ = x + x1, y′ = y + y1, то эти уравнения приобретают вид:x′^2 + y′^2 = R^2,
(x′ – (x1 + x2))^2 + (y′ – (y1 + y2))^2 = r^2.Задача, таким образом, сводится к предыдущей. Найдя решения для x′ и y′, можно легко вернуться к изначальным координатам, обратив уравнения для параллельного переноса.

Источники:

как найти точки пересечения окружности с прямой

Источник

Чтобы использовать калькулятор, введите координаты x и y центра и радиус каждой окружности.

Формулы для расчета приведены под калькулятором.

Точки пересечения двух окружностей

Первая окружность

Вторая окружность

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Проверка расстояния между окружностями

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Пересечение окружностей

Сама по себе задача нахождения точек пересечения двух окружностей достаточно проста, однако предварительно надо проанализировать если ли вообще точки пересения у данных двух окружностей. Поэтому начать надо с вычисления расстояния d в декартовых координатах между центрами окружностей и сравнения его с радиусами окружностей r1 и r2.

При этом возможно следующие случаи (расстояние между центрами показано красным отрезком):

Случай	Описание	Условие
	Тривиальный случай – окружности совпадают (это одна и та же окружность)
	Окружности не касаются друг друга
	Одна окружность содержится внутри другой и не касается ее
	Окружности пересекаются в двух точках	Не выполнено ни одно из условий выше
	Окружности соприкасаются в одной точке	Частный случай предыдущего

Если окружности действительно пересекаются, калькулятор использует следующие формулы (в-основном выведенные из теоремы Пифагора), проиллюстрированные рисунком ниже:

Two intersection points

Сначала калькулятор находит отрезок a
$a=frac{r^2_1-r^2_2+d^2}{2d}$
и затем отрезок h
$h=sqrt{r^2_1-a^2}$

Чтобы найти точку P3, калькулятор использует следующую формулу (в векторном виде):
$P3=P1 + frac{a}{d}(P2-P1)$

И наконец, чтобы найти точки пересечения, калькулятор использует следующие уравнения:
Первая точка:
$x_4=x_3+frac{h}{d}(y_2-y_1)\y_4=y_3-frac{h}{d}(x2-x_1)$
Вторая точка:
$x_4=x_3-frac{h}{d}(y_2-y_1)\y_4=y_3+frac{h}{d}(x2-x_1)$
Обратите внимание на разные знаки перед вторым слагаемым

По теме также можно посмотреть следующие ссылки (на английском языке): Circle-Circle Intersection и Circles and spheres

Источник