Как найти координаты точек пересечения двух прямых - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Для того, чтобы решить геометрическую задачу методом координат, необходима точка пересечения, координаты которой используются при решении. Возникает ситуация, когда требуется искать координаты пересечения двух прямых на плоскости или определить координаты тех же прямых в пространстве. Данная статья рассматривает случаи нахождения координат точек, где пересекаются заданные прямые.

Точка пересечения двух прямых – определение

Необходимо дать определение точкам пересечения двух прямых.

Раздел взаимного расположения прямых на плоскости показывает, что они могут совпадать , быть параллельными, пересекаться в одной общей точке или скрещивающимися. Две прямые, находящиеся в пространстве, называют пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

Определение точки пересечения прямых звучит так:

Определение 1

Точка, в которой пересекаются две прямые, называют их точкой пересечения. Иначе говоря, что точка пересекающихся прямых и есть точка пересечения.

Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости

Перед нахождением координат точки пересечения двух прямых, необходимо рассмотреть предлагаемый ниже пример.

Если на плоскости имеется система координат Оху, то задаются две прямые a и b. Прямой a соответствует общее уравнение вида A1x+B1y+C1=0, для прямой b – A2x+B2y+C2=0. Тогда M0(x0, y0) является некоторой точкой плоскости необходимо выявить , будет ли точка М0 являться точкой пересечения этих прямых.

Чтобы решить поставленную задачу, необходимо придерживаться определения. Тогда прямые должны пересекаться в точке, координаты которой являются решением заданных уравнений A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0. Значит, координаты точки пересечения подставляются во все заданные уравнения. Если они при подстановке дают верное тождество, тогда M0(x0, y0) считается их точкой пересечения.

Пример 1

Даны две пересекающиеся прямые 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0. Будет ли точка М0 с координатами (2,-3) являться точкой пересечения.

Решение

Чтобы пересечение прямых было действительным, необходимо, чтобы координаты точки М0 удовлетворяли уравнениям прямых. Это проверяется при помощи их подстановки. Получаем, что

5·2-2·(-3)-16=0⇔0=02·2-5·(-3)-19=0⇔0=0

Оба равенства верные, значит М0 (2, -3) является точкой пересечения заданных прямых.

Изобразим данное решение на координатной прямой рисунка, приведенного ниже.

Ответ: заданная точка с координатами (2,-3) будет являться точкой пересечения заданных прямых.

Пример 2

Пересекутся ли прямые 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0 в точке M0 (2, -3)?

Решение

Для решения задачи необходимо подставить координаты точки во все уравнения. Получим, что

5·2+3·(-3)-1=0⇔0=07·2-2·(-3)+11=0⇔31=0

Второе равенство не является верным, значит, что заданная точка не принадлежит прямой 7x-2y+11=0. Отсюда имеем, что точка М0 не точка пересечения прямых.

Чертеж наглядно показывает, что М0– это не точка пересечения прямых. Они имеют общую точку с координатами (-1,2).

Ответ: точка с координатами (2,-3) не является точкой пересечения заданных прямых.

Переходим к нахождению координат точек пересечения двух прямых при помощи заданных уравнений на плоскости.

Задаются две пересекающиеся прямые a и b уравнениями вида A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0, расположенных в Оху. При обозначении точки пересечения М0 получим, что следует продолжить поиск координат по уравнениям A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0.

Из определения очевидно, что М0 является общей точкой пересечения прямых. В этом случае ее координаты должны удовлетворять уравнениям A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0. Иными словами это и есть решение полученной системы A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0.

Значит, для нахождения координат точки пересечения , необходимо все уравнения добавить в систему и решить ее.

Пример 3

Заданы две прямые x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0 на плоскости. необходимо найти их пересечение.

Решение

Данные по условию уравнения необходимо собрать в систему, после чего получим x-9y+14=05x-2y-16=0. Чтобы решить его, разрешается первое уравнение относительно x, подставляется выражение во второе:

x-9y+14=05x-2y-16=0⇔x=9y-145x-2y-16=0⇔⇔x=9y-145·9y-14-2y-16=0⇔x=9y-1443y-86=0⇔⇔x=9y-14y=2⇔x=9·2-14y=2⇔x=4y=2

Получившиеся числа являются координатами, которые необходимо было найти.

Ответ: M0 (4, 2) является точкой пересечения прямых x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0.

Поиск координат сводится к решению системы линейных уравнений. Если по условию дан другой вид уравнения, тогда следует привести его к нормальному виду.

Пример 4

Определить координаты точек пересечения прямых x-5=y-4-3 и x=4+9·λy=2+λ, λ∈R.

Решение

Для начала необходимо привести уравнения к общему виду. Тогда получаем, что x=4+9·λy=2+λ, λ∈R преобразуется таким образом:

x=4+9·λy=2+λ⇔λ=x-49λ=y-21⇔x-49=y-21⇔⇔1·(x-4)=9·(y-2)⇔x-9y+14=0

После чего беремся за уравнение канонического вида x-5=y-4-3 и преобразуем. Получаем, что

x-5=y-4-3⇔-3·x=-5·y-4⇔3x-5y+20=0

Отсюда имеем, что координаты – это точка пересечения

x-9y+14=03x-5y+20=0⇔x-9y=-143x-5y=-20

Применим метод Крамера для нахождения координат:

∆=1-93-5=1·(-5)-(-9)·3=22∆x=-14-9-20-5=-14·(-5)-(-9)·(-20)=-110⇒x=∆x∆=-11022=-5∆y=1-143-20=1·(-20)-(-14)·3=22⇒y=∆y∆=2222=1

Ответ: M0 (-5, 1).

Имеется еще способ для нахождения координат точки пересечения прямых, находящихся на плоскости. Он применим, когда одна из прямых задается параметрическими уравнениями, имеющими вид x=x1+ax·λy=y1+ay·λ, λ∈R. Тогда вместо значения x подставляется x=x1+ax·λ и y=y1+ay·λ, где получим λ=λ0, соответствующее точке пересечения, имеющей координаты x1+ax·λ0, y1+ay·λ0.

Пример 5

Определить координаты точки пересечения прямой x=4+9·λy=2+λ, λ∈R и x-5=y-4-3.

Решение

Необходимо выполнить подстановку в x-5=y-4-3 выражением x=4+9·λ, y=2+λ, тогда получим:

4+9·λ-5=2+λ-4-3

При решении получаем, что λ=-1. Отсюда следует, что имеется точка пересечения между прямыми x=4+9·λy=2+λ, λ∈R и x-5=y-4-3. Для вычисления координат необходимо подставить выражение λ=-1 в параметрическое уравнение. Тогда получаем, что x=4+9·(-1)y=2+(-1)⇔x=-5y=1.

Ответ: M0 (-5, 1).

Для полного понимания темы, необходимо знать некоторые нюансы.

Предварительно необходимо понять расположение прямых. При их пересечении мы найдем координаты, в других случаях решения существовать не будет. Чтобы не делать эту проверку, можно составлять систему вида A1x+B1y+ C1=0A2x+B2+C2=0 При наличии решения делаем вывод о том, что прямые пересекаются. Если решение отсутствует, то они параллельны. Когда система имеет бесконечное множество решений, тогда говорят, что они совпадают.

Пример 6

Даны прямые x3+y-4=1 и y=43x-4. Определить, имеют ли они общую точку.

Решение

Упрощая заданные уравнения, получаем 13x-14y-1=0 и 43x-y-4=0.

Следует собрать уравнения в систему для последующего решения:

13x-14y-1=013x-y-4=0⇔13x-14y=143x-y=4

Отсюда видно, что уравнения выражаются друг через друга, тогда получим бесконечное множество решений. Тогда уравнения x3+y-4=1 и y=43x-4 определяют одну и ту же прямую. Поэтому нет точек пересечения.

Ответ: заданные уравнения определяют одну и ту же прямую.

Пример 7

Найти координаты точки пересекающихся прямых 2x+(2-3)y+7=0 и 23+2x-7y-1=0.

Решение

По условию возможно такое, прямые не будут пересекаться. Необходимо составить систему уравнений и решать. Для решения необходимо использовать метод Гаусса, так как с его помощью есть возможность проверить уравнение на совместимость. Получаем систему вида:

2x+(2-3)y+7=02(3+2)x-7y-1=0⇔2x+(2-3)y=-72(3+2)x-7y=1⇔⇔2x+2-3y=-72(3+2)x-7y+(2x+(2-3)y)·(-(3+2))=1+-7·(-(3+2))⇔⇔2x+(2-3)y=-70=22-72

Получили неверное равенство, значит система не имеет решений. Делаем вывод, что прямые являются параллельными. Точек пересечения нет.

Второй способ решения.

Для начала нужно определить наличие пересечения прямых.

n1→=(2, 2-3) является нормальным вектором прямой 2x+(2-3)y+7=0, тогда вектор n2→=(2(3+2), -7 – нормальный вектор для прямой 23+2x-7y-1=0.

Необходимо выполнить проверку коллинеарности векторов n1→=(2, 2-3) и n2→=(2(3+2), -7). Получим равенство вида 22(3+2)=2-3-7. Оно верное, потому как 223+2-2-3-7=7+2-3(3+2)7(3+2)=7-77(3+2)=0. Отсюда следует, что векторы коллинеарны. Значит, прямые являются параллельными и не имеют точек пересечения.

Ответ: точек пересечения нет, прямые параллельны.

Пример 8

Найти координаты пересечения заданных прямых 2x-1=0 и y=54x-2.

Решение

Для решения составляем систему уравнений. Получаем

2x-1=054x-y-2=0⇔2x=154x-y=2

Найдем определитель основной матрицы. Для этого 2054-1=2·(-1)-0·54=-2. Так как он не равен нулю, система имеет 1 решение. Отсюда следует, что прямые пересекаются. Решим систему для нахождения координат точек пересечения:

2x=154x-y=2⇔x=1245x-y=2⇔x=1254·12-y=2⇔x=12y=-118

Получили, что точка пересечения заданных прямых имеет координаты M0(12, -118).

Ответ: M0(12, -118).

Нахождения координат точки пересечения двух прямых в пространстве

Таким же образом находятся точки пересечения прямых пространства.

Когда заданы прямые a и b в координатной плоскости Охуz уравнениями пересекающихся плоскостей, то имеется прямая a , которая может быть определена при помощи заданной системы A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D1=0 а прямая b – A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0.

Когда точка М0 является точкой пересечения прямых, тогда ее координаты должны быть решениями обоих уравнений. Получим линейные уравнения в системе:

A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0

Рассмотрим подобные задания на примерах.

Пример 9

Найти координаты точки пересечения заданных прямых x-1=0y+2z+3=0 и 3x+2y+3=04x-2z-4=0

Решение

Составляем систему x-1=0y+2z+3=03x+2y+3=04x-2z-4=0 и решим ее. Чтобы найти координаты, необходимо решать через матрицу. Тогда получим основную матрицу вида A=10001232040-2 и расширенную T=1001012-340-24. Определяем ранг матрицы по Гауссу.

Получаем, что

1=1≠0, 1001=1≠0, 100012320=-4≠0, 1001012-3320-340-24=0

Отсюда следует, что ранг расширенной матрицы имеет значение 3. Тогда система уравнений x-1=0y+2z+3=03x+2y+3=04x-27-4=0 в результате дает только одно решение.

Базисный минор имеет определитель 100012320=-4≠0, тогда последнее уравнение не подходит. Получим, что x-1=0y+2z+3=03x+2y+3=04x-2z-4=0⇔x=1y+2z=-33x+2y-3 . Решение системы x=1y+2z=-33x+2y=-3⇔x=1y+2z=-33·1+2y=-3⇔x=1y+2z=-3y=-3⇔⇔x=1-3+2z=-3y=-3⇔x=1z=0y=-3.

Значит, имеем, что точка пересечения x-1=0y+2z+3=0 и 3x+2y+3=04x-2z-4=0 имеет координаты (1, -3, 0).

Ответ: (1, -3, 0).

Система вида A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0 имеет только одно решение. Значит, прямые a и b пересекаются.

В остальных случаях уравнение не имеет решения, то есть и общих точек тоже. То есть невозможно найти точку с координатами, так как ее нет.

Поэтому система вида A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0 решается методом Гаусса. При ее несовместимости прямые не являются пересекающимися. Если решений бесконечное множество, то они совпадают.

Можно произвести решение при помощи вычисления основного и расширенного ранга матрицы, после чего применить теорему Кронекера-Капелли. Получим одно, множество или полное отсутствие решений.

Пример 10

Заданы уравнения прямых x+2y-3z-4=02x-y+5=0 и x-3z=03x-2y+2z-1=0. Найти точку пересечения.

Решение

Для начала составим систему уравнений. Получим, что x+2y-3z-4=02x-y+5=0x-3z=03x-2y+2z-1=0 . решаем ее методом Гаусса:

12-342-10-510-303-221~12-340-56-130-20-40-811-11~~12-340-56-1300-125650075-1595~12-340-56-1300-1256500031110

Очевидно, что система не имеет решений, значит прямые не пересекаются. Точки пересечения нет.

Ответ: нет точки пересечения.

Если прямые заданы при помощи кононических или параметрических уравнений, нужно привести к виду уравнений пересекающихся плоскостей, после чего найти координаты.

Пример 11

Заданы две прямые x=-3-λy=-3·λz=-2+3·λ, λ∈R и x2=y-30=z5 в Охуz. Найти точку пересечения.

Решение

Задаем прямые уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Получаем, что

x=-3-λy=-3·λz=-2+3·λ⇔λ=x+3-1λ=y-3λ=z+23⇔x+3-1=y-3=z+23⇔⇔x+3-1=y-3x+3-1=z+23⇔3x-y+9=03x+z+11=0x2=y-30=z5⇔y-3=0x2=z5⇔y-3=05x-2z=0

Находим координаты 3x-y+9=03x+z+11=0y-3=05x-2z=0, для этого посчитаем ранги матрицы. Ранг матрицы равен 3, а базисный минор 3-10301010=-3≠0, значит, что из системы необходимо исключить последнее уравнение. Получаем, что

3x-y+9=03x+z+11=0y-3=05x-2z=0⇔3x-y+9=03x+z+11=0y-3=0

Решим систему методом Крамер. Получаем, что x=-2y=3z=-5. Отсюда получаем, что пересечение заданных прямых дает точку с координатами (-2, 3, -5).

Ответ: (-2, 3, -5).

Источник

Загрузить PDF

В двумерном пространстве две прямые пересекаются только в одной точке,^[1] задаваемой координатами (х,y). Так как обе прямые проходят через точку их пересечения, то координаты (х,y) должны удовлетворять обоим уравнениям, которые описывают эти прямые. Воспользовавшись некоторыми дополнительными навыками, вы сможете находить точки пересечения парабол и других квадратичных кривых.

1

Запишите уравнение каждой прямой, обособив переменную «у» на левой стороне уравнения. Другие члены уравнения должны размещаться на правой стороне уравнения. Возможно, данное вам уравнение вместо «у» будет содержать переменную f(x) или g(x); в этом случае обособьте такую переменную. Для обособления переменной выполните соответствующие математические операции на обеих сторонах уравнения.
2

Приравняйте выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения. Наша задача — найти точку пересечения обеих прямых, то есть точку, координаты (х,у) которой удовлетворяют обоим уравнениям. Так как на левой стороне каждого уравнения находится переменная «у», то выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения, можно приравнять. Запишите новое уравнение.
3

Найдите значение переменной «х». Новое уравнение содержит только одну переменную «х». Для нахождения «х» обособьте эту переменную на левой стороне уравнения, выполнив соответствующие математические операции на обеих сторонах уравнения. Вы должны получить уравнение вида х = __ (если это невозможно, перейдите в конец этого раздела).
4

Используйте найденное значение переменной «х» для вычисления значения переменной «у». Для этого подставьте найденное значение «х» в уравнение (любое) прямой.
5

Проверьте ответ. Для этого подставьте значение «х» в другое уравнение прямой и найдите значение «у». Если вы получите разные значение «у», проверьте правильность ваших вычислений.
6

Запишите координаты (х,у). Вычислив значения «х» и «у», вы нашли координаты точки пересечения двух прямых. Запишите координаты точки пересечения в виде (х,у).
7

Вычисления в особых случаях. В некоторых случаях значение переменной «х» найти нельзя. Но это не значит, что вы допустили ошибку. Особый случай имеет место при выполнении одного из следующих условий:

Реклама

1
Определение квадратичной функции. В квадратичной функции одна или несколько переменных имеют вторую степень (но не выше), например, $x^{2}$ или $y^{2}$ . Графиками квадратичных функций являются кривые, которые могут не пересекаться или пересекаться в одной или двух точках. В этом разделе мы расскажем вам, как найти точку или точки пересечения квадратичных кривых.
- Если уравнение включает выражение в скобках, раскройте их, чтобы удостовериться, что функция является квадратичной. Например, функция является квадратичной, так как, раскрыв скобки, вы получите $y=x^{2}+3x.$
- Функция, описывающая окружность, включает как $x^{2}$ , так и $y^{2}$ .^[2]^[3] Если у вас возникли проблемы при решении задач с такой функцией, перейдите в раздел «Советы».
2

Перепишите каждое уравнение, обособив переменную «у» на левой стороне уравнения. Другие члены уравнения должны размещаться на правой стороне уравнения.
3

Приравняйте выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения. Так как на левой стороне каждого уравнения находится переменная «у», то выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения, можно приравнять.
4

Перенесите все члены полученного уравнения на его левую сторону, а на правой стороне запишите 0. Для этого выполните базовые математические операции. Это позволит вам решить полученное уравнение.
5
6

Не забудьте про вторую точку пересечения двух графиков. В спешке можно забыть про вторую точку пересечения. Вот как найти координаты «х» двух точек пересечения:
7

Графики пересекаются в одной точке или вообще не пересекаются. Такие ситуации имеют место при соблюдении следующих условий:
8

Подставьте найденное значение переменной «х» в уравнение (любое) кривой. Так вы найдете значение переменной «у». Если у вас есть два значения переменной «х», проделайте описанный процесс с обоими значениями «х».
9

Запишите координаты точки пересечения в виде (х,у). Вычислив значения «х» и «у», вы нашли координаты точки пересечения двух графиков. Если вы определили по два значения «х» и «у», запишите две пары координат, не перепутав соответствующие значения «х» и «у».

Реклама

Советы

Функция, описывающая окружность, включает как $x^{2}$ , так и $y^{2}$ . Для нахождения точки (точек) пересечения окружности и прямой вычислите «х», используя линейное уравнение.^[4] Затем подставьте найденное значение «х» в функцию, описывающую окружность, и вы получите простое квадратное уравнение, которое может не иметь решения или иметь одно или два решения.
Окружность и кривая (квадратичная или иная) могут не пересекаться или пересекаться в одной, двух, трех, четырех точках. В этом случае необходимо найти значение x² (а не «х»), а затем подставить его во вторую функцию. Вычислив «у», вы получите одно или два решения или вообще не получите решений. Теперь подставьте найденное значение «у» в одну из двух функций и найдите значение «х». В этом случае вы получите одно или два решения или вообще не получите решений.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 94 474 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

В евклидовой геометрии пересечение двух прямых может быть пустым множеством, точкой или прямой. Различение этих случаев и поиск точки пересечения используется, например, в компьютерной графике, при планировании движения^[en] и для обнаружения столкновений.

В трёхмерной евклидовой геометрии, если две прямые не лежат в одной плоскости, они называются скрещивающимися и не имеют точек пересечения. Если прямые находятся в одной плоскости, имеется три возможности. Если они совпадают, они имеют бесконечно много общих точек (а именно, все точки на этих прямых). Если прямые различны, но имеют один и тот же наклон, они параллельны и не имеют общих точек. В противном случае они имеют одну точку пересечения.

В неевклидовой геометрии две прямые могут пересекаться в нескольких точках и число непересекающихся с данной прямой других прямых (параллельных) может быть больше единицы.

Пересечение двух прямых[править | править код]

Необходимым условием пересечения двух прямых является принадлежность их одной плоскости, то есть эти прямые не должны быть скрещивающимися. Выполнение этого условия эквивалентно вырожденности тетраэдра, у которого две вершины лежат на одной прямой, а две другие — на другой (т.е. объём этого тетраэдра равен нулю). Алгебраическую форму этого условия можно посмотреть в статье «Проверка скрещенности».

Если заданы по две точки на каждой прямой[править | править код]

Рассмотрим пересечение двух прямых ${displaystyle L_{1},}$ и ${displaystyle L_{2},}$ на плоскости, где прямая ${displaystyle L_{1},}$ определена двумя различными точками ${displaystyle (x_{1},y_{1}),}$ и ${displaystyle (x_{2},y_{2}),}$ , а прямая ${displaystyle L_{2},}$ — различными точками ${displaystyle (x_{3},y_{3}),}$ и ${displaystyle (x_{4},y_{4}),}$ ^[1].

Пересечение прямых ${displaystyle L_{1},}$ и ${displaystyle L_{2},}$ можно найти при помощи определителей.

${displaystyle P_{x}={frac {begin{vmatrix}{begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\x_{2}&y_{2}end{vmatrix}}&{begin{vmatrix}x_{1}&1\x_{2}&1end{vmatrix}}\\{begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\x_{4}&y_{4}end{vmatrix}}&{begin{vmatrix}x_{3}&1\x_{4}&1end{vmatrix}}end{vmatrix}}{begin{vmatrix}{begin{vmatrix}x_{1}&1\x_{2}&1end{vmatrix}}&{begin{vmatrix}y_{1}&1\y_{2}&1end{vmatrix}}\\{begin{vmatrix}x_{3}&1\x_{4}&1end{vmatrix}}&{begin{vmatrix}y_{3}&1\y_{4}&1end{vmatrix}}end{vmatrix}}},!qquad P_{y}={frac {begin{vmatrix}{begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\x_{2}&y_{2}end{vmatrix}}&{begin{vmatrix}y_{1}&1\y_{2}&1end{vmatrix}}\\{begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\x_{4}&y_{4}end{vmatrix}}&{begin{vmatrix}y_{3}&1\y_{4}&1end{vmatrix}}end{vmatrix}}{begin{vmatrix}{begin{vmatrix}x_{1}&1\x_{2}&1end{vmatrix}}&{begin{vmatrix}y_{1}&1\y_{2}&1end{vmatrix}}\\{begin{vmatrix}x_{3}&1\x_{4}&1end{vmatrix}}&{begin{vmatrix}y_{3}&1\y_{4}&1end{vmatrix}}end{vmatrix}}},!}$

Определители можно переписать в виде:

${displaystyle {begin{aligned}(P_{x},P_{y})={bigg (}&{frac {(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})(x_{3}-x_{4})-(x_{1}-x_{2})(x_{3}y_{4}-y_{3}x_{4})}{(x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})}},\&{frac {(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}y_{4}-y_{3}x_{4})}{(x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})}}{bigg )}end{aligned}}}$

Заметим, что точка пересечения относится к бесконечным прямым, а не отрезкам между точками, и она может лежать вне отрезков. Если (вместо решения за один шаг) искать решение в терминах кривых Безье первого порядка, то можно проверить параметры этих кривых 0.0 ≤ t ≤ 1.0 и 0.0 ≤ u ≤ 1.0 (t и u — параметры).

Если две прямые параллельны или совпадают, знаменатель обращается в ноль:

${displaystyle (x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})=0.}$

Если прямые очень близки к параллельности (почти параллельны), при вычислении на компьютере могут возникнуть числовые проблемы и распознавание такого условия может потребовать подходящего теста на «неопределённость» для приложения. Более устойчивое и общее решение может быть получено при вращении отрезков таким образом, что один из них станет горизонтальным, а тогда параметрическое решение второй прямой легко получить. При решении необходимо внимательное рассмотрение специальных случаев (параллельность/совпадение прямых, наложение отрезков).

Если заданы уравнения прямых[править | править код]

Координаты и точки пересечения двух невертикальных прямых можно легко найти с помощью следующих подстановок и преобразований.

Предположим, что две прямые имеют уравнения и , где и — угловые коэффициенты прямых, а и — пересечения прямых с осью y. В точке пересечения прямых (если они пересекаются), обе координаты будут совпадать, откуда получаем равенство:

Мы можем преобразовать это равенство с целью выделения ,

а тогда

${displaystyle x={frac {d-c}{a-b}}}$

Чтобы найти координату y, всё что нам нужно, это подставить значение x в одну из формул прямых, например, в первую:

${displaystyle y=a{frac {d-c}{a-b}}+c}$

Отсюда получаем точку пересечения прямых

${displaystyle Pleft({frac {d-c}{a-b}},a{frac {d-c}{a-b}}+cright)=Pleft({frac {d-c}{a-b}},{frac {ad-bc}{a-b}}right)}$

Заметим, что при a = b две прямые параллельны. Если при этом c ≠ d, прямые различны и не имеют пересечений, в противном же случае прямые совпадают ^[2].

Использование однородных координат[править | править код]

При использовании однородных координат точка пересечения двух явно заданных прямых может быть найдена достаточно просто. В 2-мерном пространстве любая точка может быть определена как проекция 3-мерной точки, заданной тройкой . Отображение 3-мерных координат в 2-мерные происходит по формуле . Мы можем преобразовать точки в 2-мерном пространстве в однородные координаты, приравняв третью координату единице — .

Предположим, что мы хотим найти пересечение двух бесконечных прямых в 2-мерном пространстве, которые заданы формулами ${displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0}$ и ${displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0}$ . Мы можем представить эти две прямые в линейных координатах^[en] как ${displaystyle U_{1}=(a_{1},b_{1},c_{1})}$ и ${displaystyle U_{2}=(a_{2},b_{2},c_{2})}$ ,

Пересечение двух прямых тогда просто задаётся формулами ^[3]

${displaystyle P'=(a_{p},b_{p},c_{p})=U_{1}times U_{2}=(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1},a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})}$

Если ${displaystyle c_{p}=0}$ , прямые не пересекаются.

Пересечение n прямых[править | править код]

Существование и выражение пересечения[править | править код]

В двухмерном пространстве[править | править код]

В двухмерном пространстве прямые числом больше двух почти достоверно не пересекаются в одной точке. Чтобы определить, пересекаются ли они в одной точке, и, если пересекаются, чтобы найти точку пересечения, запишем i-ое уравнение (i = 1, …,n) как ${displaystyle (a_{i1}quad a_{i2})(xquad y)^{T}=b_{i},}$ и скомпонуем эти уравнения в матричный вид

где i-ая строка n × 2 матрицы A равна ${displaystyle (a_{i1},a_{i2})}$ , w является 2 × 1 вектором (x, y)^T, а i-ый элемент вектора-столбца b равен b_i. Если столбцы матрицы A независимы, ранг матрицы равен 2. Тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы^[en] [A | b ] равен также 2, существует решение матричного уравнения, а тогда существует и точка пересечения n прямых. Точка пересечения, если таковая существует, задаётся формулой

${displaystyle w=A^{g}b=(A^{T}A)^{-1}A^{T}b,}$

где ${displaystyle A^{g}}$ — псевдообратная матрица матрицы . Альтернативно решение может быть найдено путём решения любых двух независимых уравнений. Но если ранг матрицы A равен 1, а ранг расширенной матрицы равен 2, решений нет. В случае же, когда ранг расширенной матрицы равен 1, все прямые совпадают.

В трёхмерном пространстве[править | править код]

Представленный выше подход без труда распространяется на трёхмерное пространство. В трёхмерном и более высоких пространствах даже две прямые почти наверняка не пересекаются. Пары непараллельных непересекающихся прямых называются скрещивающимися. Но когда пересечение существует, его можно найти следующим образом.

В трёхмерном пространстве прямая представляется пересечением двух плоскостей, каждая из которых задаётся формулой ${displaystyle (a_{i1}quad a_{i2}quad a_{i3})(xquad yquad z)^{T}=b_{i}.}$ Тогда множество n прямых может быть представлено в виде 2n уравнений от 3-мерного координатного вектора w = (x, y, z)^T:

где A — матрица 2n × 3, а b — 2n × 1. Как и ранее, единственная точка пересечения существует тогда и только тогда, когда A имеет полный ранг по столбцам, а расширенная матрица [A | b ] таковой не является. Единственная точка пересечения, если существует, задаётся формулой

${displaystyle w=(A^{T}A)^{-1}A^{T}b.}$

Ближайшая точка к непересекающимся прямым[править | править код]

В размерностях два и выше можно найти точку, которая является ближайшей к этим двум (или более) прямым в смысле наименьшей суммы квадратов.

В двухмерном пространстве[править | править код]

В случае двухмерного пространства представим прямую i как точку $p_{i}$ на прямой и единичную нормаль ${displaystyle {hat {n}}_{i}}$ , перпендикулярную прямой. То есть, если $x_{1}$ и $x_{2}$ — точки на прямой 1, то пусть ${displaystyle p_{1}=x_{1}}$ и

${displaystyle {hat {n}}_{1}:={begin{bmatrix}0&-1\1&0end{bmatrix}}(x_{2}-x_{1})/|x_{2}-x_{1}|}$

который является единичным вектором вдоль прямой, повёрнутым на 90º.

Заметим, что расстояние от точки x до прямой задаётся формулой

${displaystyle d(x,(p,n))=|(x-p)cdot {hat {n}}|=|(x-p)^{top }{hat {n}}|={sqrt {(x-p)^{top }{hat {n}}{hat {n}}^{top }(x-p)}}.}$

Следовательно, квадрат расстояния от x до прямой равен

${displaystyle d(x,(p,n))^{2}=(x-p)^{top }({hat {n}}{hat {n}}^{top })(x-p).}$

Сумма квадратов расстояний до набора прямых является целевой функцией:

${displaystyle E(x)=sum _{i}(x-p_{i})^{top }({hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top })(x-p_{i}).}$

Выражение можно преобразовать:

${displaystyle {begin{aligned}E(x)&=sum _{i}x^{top }{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }x-x^{top }{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }p_{i}-p_{i}^{top }{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }x+p_{i}^{top }{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }p_{i}\&=x^{top }left(sum _{i}{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }right)x-2x^{top }left(sum _{i}{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }p_{i}right)+sum _{i}p_{i}^{top }{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }p_{i}.end{aligned}}}$

Чтобы найти минимум, продифференцируем по x и приравняем результат нулю:

${displaystyle {frac {partial E(x)}{partial x}}=0=2left(sum _{i}{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }right)x-2left(sum _{i}{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }p_{i}right)}$

Таким образом,

${displaystyle left(sum _{i}{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }right)x=sum _{i}{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }p_{i}}$

откуда

${displaystyle x=left(sum _{i}{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }right)^{-1}left(sum _{i}{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }p_{i}right).}$

В трёхмерном пространстве[править | править код]

Хотя в размерностях выше двух нормаль ${displaystyle {hat {n}}_{i}}$ не определить, его можно обобщить на любую размерность, если заметить, что ${displaystyle {hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }}$ является просто (симметричной) матрицей со всеми собственными значениями, равными единице, кроме нулевого собственного значения в направлении прямой, что задаёт полунорму между точкой $p_{i}$ и другой точкой. В пространстве любой размерности, если ${displaystyle {hat {v}}_{i}}$ является единичным вектором вдоль i-ой прямой, то

${displaystyle {hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }}$

превращается в ${displaystyle E-{hat {v}}_{i}{hat {v}}_{i}^{top }}$

где E — единичная матрица, а тогда

${displaystyle x=left(sum _{i}E-{hat {v}}_{i}{hat {v}}_{i}^{top }right)^{-1}left(sum _{i}(E-{hat {v}}_{i}{hat {v}}_{i}^{top })p_{i}right).}$

См. также[править | править код]

Пересечение отрезков
Расстояние от точки до прямой на плоскости
Аксиома параллельности Евклида

Примечания[править | править код]

↑ Weisstein, Eric W. “Line-Line Intersection.” From MathWorld. A Wolfram Web Resource. Дата обращения: 10 января 2008. Архивировано 10 октября 2007 года.
↑ Похожие выкладки можно найти в книге Делоне и Райкова (стр. 202-203)
↑ Homogeneous coordinates. robotics.stanford.edu. Дата обращения: 18 августа 2015. Архивировано 23 августа 2015 года.

Литература[править | править код]

Б. Н. Делоне, Д. А. Райков. Аналитическая геометрия. — М., Л.: ОГИЗ, Государственнон издательство технико-теоретической литературы, 1948. — Т. 1.

Ссылки[править | править код]

Distance between Lines and Segments with their Closest Point of Approach, applicable to two, three, or more dimensions.

Источник

Не такая тривиальная задача, скажу я вам. Всякий раз, когда возникает необходимость посчитать координату пересечения пары прямых, каждая из которых задана парой точек, снова беру блокнот и вывожу пару формул. И всякий раз – блин, ну это уже когда-то было, опять надо что-то делать с параллельными прямыми, опять появляется пакостная строго вертикальна линия, когда на (x₁-x₂) никак не разделить и т.д.

Поэтому – в подборку теории и практики, пригодится, сэкономим блокнот, спасем дерево.

Коэффициенты А, B, C

Все помним со школы формулу:

Тоже самое, но с претензией на образование (некоторые индивидуумы утверждают, что существует такая, и только такая, и никакая другая, формулировка):

Те же фаберже, только сбоку.

В теории надо составить и решить систему уравнений для первой и второй линии, где переменными будут X и Y точки пересечения.

Загвоздка в том, что мы не знаем коэффициенты для обеих линий.

В нашем случае известны координаты двух точек, по которым проходит линия. Поэтому мне, как последователю геометрического агностицизма, более привлекательная следующая формула:

Путем несложных операций приходим к следующей записи:

Глядя на вариант в исполнении высшего образования, получаем следующие формулы для нахождения коэффициентов:

Пока все идет отлично, нигде вероятного деления на ноль не встретилось.

Итак, мы можем легко найти два набора коэффициентов для первой и второй прямых. Переходим к системе уравнений.

Система уравнений

Как правило, подобная система уравнений решается путем выражения одной переменной через другую, подстановкой во второе уравнение, получая таким образом уравнение одной переменной. Далее переменная находится, подставляется, решается. Или определяется, что система решения не имеет.

Но нас интересует метод Крамера. Потому что с помощью этого метода можно получить сразу значения для обеих переменных, без дополнительных телодвижений.

Сразу же запишем метод под нашу систему.

Имеем следующую систему:

Определители будут такими:

Исходя из метода, решение выглядит так:

Ага! Вот и возможное деление на ноль, скажете вы. И правильно! В этой, в высшей степени непозволительной ситуации, когда знаменатель равен нулю, решения нет, прямые либо параллельны, либо совпадают (что, впрочем, частный случай параллельности). В коде, естественно, этот момент надо учитывать.

Практика 1

//*******************************************************

// Нахождение точки пересечения прямых (p1,p2) и (p3,p4)

// Результат – факт пересечения

//*******************************************************

function CrossLines(const p1,p2,p3,p4: TxPoint;

var res: TxPoint): Boolean;

const

Prec = 0.0001;

var

a1, a2: Extended;

b1, b2: Extended;

c1, c2: Extended;

v: Extended;

begin

a1 := p2.y – p1.y;

a2 := p4.y – p3.y;

b1 := p1.x – p2.x;

b2 := p3.x – p4.x;

v := a1*b2 – a2*b1;

Result := (abs(v) > Prec);

if Result then

begin

c1 := p2.x*p1.y – p1.x*p2.y;

c2 := p4.x*p3.y – p3.x*p4.y;

res.X := –(c1*b2 – c2*b1)/v;

res.Y := –(a1*c2 – a2*c1)/v;

end;

Рис.1. Пересечение прямых

Частные случаи

Прямые параллельны: ∆_ab = 0
- (A₁B₂ – B₁A₂ = 0);
Прямые совпадают: ∆_ab = ∆_X = ∆_Y = 0
- (A₁B₂ – B₁A₂ = 0) И (A₁C₂ — A₂C₁ = 0) И (C₁B₂ -B₁C₂ = 0);
Прямые перпендикулярны:
- (A₁ A₂ + B₁ B₂ = 0).

Рис.2. Пересечение перпендикулярных прямых

Рис.3. Параллельные прямые не пересекаются

Принадлежность точки отрезку

В общем случае, чтобы определить принадлежность точки отрезку, надо установить две вещи:

Точка принадлежит прямой, проходящей через конечные точки отрезка. Для этого достаточно подставить значение X и Y в уравнение прямой и проверить получившееся равенство. В нашем случае, этот пункт уже выполнен, т.к. точка пересечения априори принадлежит обеим прямым.
Проверить факт нахождения точки между концами отрезка.

Займемся пунктом 2. Данный факт можно установить двумя способами:

Логически, т.е. (x₁ <= x <= x₂) ИЛИ (x₁ >= x >= x₂). На случай «вертикальности» линии добавить проверку на Y:
- (y₁ <= y <= y₂) ИЛИ (y₁ >= y >= y₂).
Арифметически. Сумма отрезков |x-x₁| + |x-x₂| должна быть равна длине отрезка |x₁-x₂|. Аналогично, на случай «вертикальности» , добавить проверку:
- |y-y₁| + |y-y₂| = |y₁-y₂|

//*****************************************************

// Проверка факта нахождения точки res между

// концами отрезка (p1,p2).

// Решение с помощью условных операторов и

// коэффициентов A=(y2-y1) B=(x1-x2).

// Выступают в качестве параметров, чтобы не тратить

// время на их подсчет, т.к. в вызывающей стороне

// они уже посчитаны

//*****************************************************

function CheckCrossPoint(const p1, p2, res: TxPoint;

const A,B: Extended): Boolean;

begin

Result :=

(((B<0) and (p1.X < res.X) and (p2.X > res.X)) or

((B>0) and (p1.X > res.X) and (p2.X < res.X)) or

((A<0) and (p1.y > res.Y) and (p2.Y < res.Y)) or

((A>0) and (p1.y < res.Y) and (p2.Y > res.Y)));

end;

//*****************************************************

// Проверить факт нахождения точки res между

// концами отрезка (p1,p2)

// Арифметическое решение без коэффициентов

//*****************************************************

function CheckCrossPoint(const p1, p2, res: TxPoint): Boolean;

begin

Result :=

(abs(p2.x–p1.x)>= abs(p2.x–res.x) + abs(p1.x–res.x)) and

(abs(p2.y–p1.y)>= abs(p2.y–res.y) + abs(p1.y–res.y));

end;

Практика показывает, что арифметический способ быстрее примерно в 3 раза. Когда-то я считал, что операции сравнения самые быстрые. Это давно уже не так.

Задача нахождения принадлежности точки P(x,y) отрезку, заданного двумя точками с координатами P1(x1, y1) и P2(x2, y2) подробно рассмотрена в отдельной статье.

Угол пересечения прямых

Угол пересечения прямых — это угол пересечения направляющих векторов. Т.е., взяв уже знакомые ранее точки p₁ и p₂, получим направляющий вектор V(p₁,p₂), и аналогично второй вектор M(p₃,p₄). В теории мы должны вычислить достаточно «затратную» функцию, с корнями, квадратами, дробями и арккосинусом.

Давайте не будем останавливаться на ней, она долгая, нудная и в нашем случае ненужная. Рассмотрим вектор:

Рис.4. Вектор V(p₁,p₂)

α — угол наклона вектора к оси X, который можно найти, как:

α = arctan (A₁ / B₁)

Где расстояния:

A₁ = (y₁ — y₂)

B₁ = (x₂ — x₁)

Что-то знакомое? Да это ни что иное, как коэффициенты в уравнении прямой от образованных фанатов. Может они и правы в своем испепеляющем фанатизме…

Одним словом, коэффициенты (расстояния) у нас уже есть по обеим прямым.

Рис.5. Пересекающиеся вектор V(p₁,p₂) и вектор M(p₃,p₄)

Судя по рисунку, угол между векторами, это сумма углов наклона векторов к оси X. Ммм… не совсем так, на самом деле это разность.

Рис.6. Пересекающиеся векторы в положительной Y

По рисунку явно видно, что угол между векторам это γ = (β — α).

В предыдущем примере все правильно, просто знаки углов разные, т.к. находятся по разные стороны от оси X, а формула работает та же.

От теории к практике

Теперь в плане практического применения. Мне нужно точно знать, откуда, куда и в каком направлении этот угол. В теории, углом между прямыми считается наименьший из пары γ и (180-γ). Так вот, нам это не надо. Какой угол получится – такой нам и нужен.

Поэтому, под углом между векторами понимаем угол от вектора V(p1,p2) к вектору M(p3,p4). Если знак угла – отрицательный, понимаем, что он против часовой стрелки, иначе – по часовой стрелке.

Следует заметить, что, зная коэффициенты, для нахождения угла пересечения, координаты уже не нужны. Листинг таков:

//**********************************************************

// Посчитать угол пересечения векторов по коэфф-ам А и B

//**********************************************************

function CalcCrossAngle(const a1,b1: Extended;

const a2,b2: Extended): Extended;

var

c1, c2: Extended;

begin

c1 := ArcTan2(a1,b1);

c2 := ArcTan2(a2,b2);

Result := c2–c1;

if Result < –pi then

Result := 2*pi + Result;

if Result > pi then

Result := Result – 2*pi;

end;

Тут ситуация с вертикальной прямой, т.е. когда теоретически происходит деление на ноль, явно не обрабатывается. Она корректно обрабатывается функцией ArcTan2, которая вернет в этом случае и знак, и 90 градусов.

Рис.7. Пересечение перпендикулярных векторов

Практика 2

В дополнение к функции нахождения точки пересечения, напишем «продвинутую» функцию, которая находит эту точку, определяет нахождение на каждом из отрезков, и определяет угол между направляющими векторами. Или же определяет, что прямые параллельны/совпадают.

//**********************************************************

// Тип пересечения прямых (p1,p2) и (p3,p4)

//**********************************************************

type

TxCrossLineResult = (

xclrEqual = –32// эквивалентны

,xclrParallel = –16// параллельны

,xclrOk = 0 // как минимум пересечение есть

,xclrFirst = 1 // попадает в первый отрезок

,xclrSecond = 2 // попадает во второй отрезок

,xclrBoth = 3 // попадает в оба

,xclrPerpend = 4 // перпендикулярны

// можно найти по маске через AND, но для полноты картины

,xclrFirstP = 5 // перпендикулярны и попадает в первый

,xclrSecondP = 6 // перпендикулярны и попадает в второй

,xclrBothP = 7 // перпендикулярны и попадает в оба

);

//**********************************************************

// Нахождение точки пересечения прямых (p1,p2) и (p3,p4)

// Определяет параллельность, совпадение,

// перпендикулярность, пересечение.

// Определяет, каким отрезкам принадлежит.

// Находит угол(рад.) от (p1,p2) к (p3,p4):

// отрицательное значение – против часовой

// положительное – по часовой

//**********************************************************

function CrossLines(const p1,p2,p3,p4: TxPoint;

var res: TxPoint; var Angle: Extended): TxCrossLineResult;

const

Prec = 0.0001;

var

a1, a2: Extended;

b1, b2: Extended;

c1, c2: Extended;

v: Extended;

begin

Angle := 0;

a1 := p2.y – p1.y;

a2 := p4.y – p3.y;

b1 := p1.x – p2.x;

b2 := p3.x – p4.x;

c1 := p2.x*p1.y – p1.x*p2.y;

c2 := p4.x*p3.y – p3.x*p4.y;

v := a1*b2 – a2*b1;

if abs(v) > Prec then

begin

Result := xclrOk;

res.X := –(c1*b2 – c2*b1)/v;

res.Y := –(a1*c2 – a2*c1)/v;

if CheckCrossPoint(p1,p2,res) then

Result := TxCrossLineResult(Integer(Result) +

Integer(xclrFirst));

if CheckCrossPoint(p3,p4,res) then

Result := TxCrossLineResult(Integer(Result) +

Integer(xclrSecond));

if (abs(a1*a2 + b1*b2) < Prec) then

Result := TxCrossLineResult(Integer(Result) +

Integer(xclrPerpend));

Angle := CalcCrossAngle(a1,b1,a2,b2);

end else

begin

Result := xclrParallel;

if ((abs(c1*b2 – c2*b1) < Prec) and

(abs(a1*c2 – a2*c1) < Prec))

then

Result := xclrEqual;

end;

Исходники

Небольшие комментарии по интерфейсу.

Рис.8. Интерфейс программы

Скачать (219 Кб): Исходники (Delphi XE 7-10)

Скачать (1.14 Мб): Исполняемый файл

При запуске генерируется случайным образом 4 точки, по две на прямую. Точки и отрезки можно перетаскивать мышкой. Также, слева присутствует панель, на которой можно ввести координаты точек или коэффициенты уравнения прямой. При нажатии «Enter» или когда элемент ввода теряет фокус, происходит перерасчет и перерисовка.

Внизу есть 4 кнопки переключения режимов отображения. Начиная со второй, помимо координат точки пересечений в верхнем левом углу будет отображаться текущий угол пересечения между направляющими векторами.

Если точка пересечений попадает в какой-либо из отрезков, соответствующий заголовок линии отрезка станет жирным. На рисунке это зеленая линия 2.

По умолчанию, рабочее поле системы координат имеет размерность [-10..10], которую можно изменить ползунком в нижнем правом углу.

Источник

В данной публикации мы рассмотрим, что такое точка пересечения двух прямых, и как найти ее координаты разными способами. Также разберем пример решения задачи по этой теме.

Нахождение координат точки пересечения
Пример задачи

Нахождение координат точки пересечения

Пересекающимися называются прямые, которые имеют одну общую точку.

M – точка пересечения прямых. Она принадлежит им обоим, значит ее координаты одновременно должны удовлетворять обоим их уравнениях.

Для нахождения координат этой точки на плоскости можно использовать два способа:

графический – чертим графики прямых на координатой плоскости и находим их точку пересечения (не всегда применимо);
аналитический – более универсальный метод. Мы объединяем уравнения прямых в систему. Затем решаем ее и получаем требуемые координаты. От количества решений зависит то, каким образом ведут себя прямые по отношению друг к другу:
- одно решение – пересекаются;
- множество решений – совпадают;
- нет решений – параллельны, т.е. не пересекаются.

Пример задачи

Найдем координаты точки пересечения прямых y = x + 6 и y = 2x – 8.

Решение

Составим систему уравнений и решим ее:

В первом уравнении выразим x через y:
x = y – 6

Теперь подставим полученное выражение во второе уравнение вместо x:
y = 2 (y – 6) – 8
y = 2y – 12 – 8
y – 2y = -12 – 8
-y = -20
y = 20

Значит, x = 20 – 6 = 14

Таким образом, общая точка пересечения заданных прямых имеет координаты (14, 20).

Источник

Точка пересечения двух прямых – определение

Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости

Нахождения координат точки пересечения двух прямых в пространстве

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Пересечение двух прямых[править | править код]

Если заданы по две точки на каждой прямой[править | править код]

Если заданы уравнения прямых[править | править код]

Использование однородных координат[править | править код]

Пересечение n прямых[править | править код]

Существование и выражение пересечения[править | править код]

В двухмерном пространстве[править | править код]

В трёхмерном пространстве[править | править код]

Ближайшая точка к непересекающимся прямым[править | править код]

В двухмерном пространстве[править | править код]

В трёхмерном пространстве[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Коэффициенты А, B, C

Система уравнений

Практика 1

Частные случаи

Принадлежность точки отрезку

Угол пересечения прямых

От теории к практике

Практика 2

Исходники

Нахождение координат точки пересечения

Пример задачи

Вам также может понравиться

Как найти куда этапировали осужденного

Как найти периметр окружности при известном диаметре

Как найти налог на имущество по инн

Добавить комментарий Отменить ответ