Как вычислить координаты точек окружности
Как найти координаты точки?
О чем эта статья:
3 класс, 4 класс, 9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Понятие системы координат
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты вашей квартиры тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится тот дом, где вы живете. С точками на плоскости та же история.
Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.
Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.
Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.
Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.
Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.
- Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
- Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
- Ось ординат Oy — вертикальная ось.
- Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
- Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.
Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.
У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:
- верхний правый угол — первая четверть I;
- верхний левый угол — вторая четверть II;
- нижний левый угол — третья четверть III;
- нижний правый угол — четвертая четверть IV;
- Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
- Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
- Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
- Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.
Определение координат точки
Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.
Точка пересечения с осью Ох называется абсциссой точки А, а с осью Оу называется ординатой точки А.
Чтобы узнать координаты точки на плоскости, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра.
Координаты точки на плоскости записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.
Смотрим на график и фиксируем: A (1; 2) и B (2; 3).
Особые случаи расположения точек
В геометрии есть несколько особых случаев расположения точек. Лучше их запомнить, чтобы без запинки решать задачки. Вот они:
- Если точка лежит на оси Oy, то ее абсцисса равна 0. Например,
точка С (0, 2). - Если точка лежит на оси Ox, то ее ордината равна 0. Например,
точка F (3, 0). - Начало координат — точка O. Ее координаты равны нулю: O (0,0).
- Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
- Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
- Если точка лежит на оси абсцисс, то ее координаты будут иметь вид: (x, 0).
- Если точка лежит на оси ординат, то ее координаты будут иметь вид: (0, y).
Способы нахождения точки по её координатам
Чтобы узнать, как найти точку в системе координат, можно использовать один из двух способов.
Способ первый. Как определить положение точки D по её координатам (-4, 2):
- Отметить на оси Ox, точку с координатой -4, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Ox.
- Отметить на оси Oy, точку с координатой 2, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Oy.
- Точка пересечения перпендикуляров и есть искомая точка D. Ее абсцисса равна -4, а ордината — 2.
Способ второй. Как определить положение точки D (-4, 2):
- Сместить прямую по оси Ox влево на 4 единицы, так как у нас
перед 4 стоит знак минус. - Подняться из этой точки параллельно оси Oy вверх на 2 единицы, так как у нас перед 2 стоит знак плюс.
Чтобы легко и быстро находить координаты точек или строить точки по координатам, скачайте готовую систему координат и храните ее в учебнике:
Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности
Этот калькулятор проверяет, является ли введенное уравнение общим уравнением окружности, и вычисляет координаты центра и радиуса окружности, если это возможно. Описание способа решения подобных задач находится под калькулятором
Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности
Уравнение НЕ является общим уравнением окружности
Приведение общего уравнения окружности к стандартному виду
Калькулятор выше можно применять для решения задач на уравнение окружности. Чаще всего вы имеете дело с уравнением окружности, выраженном в так называемом стандартном виде
Из этого уравнения достаточно легко найти центр окружности — это будет точка с координатами (a,b), и радиус окружности — это будет квадратный корень из правой части уравнения.
Однако, если возвести в квадрат выражения в скобках и перенести правую часть налево, то уравнение станет выглядеть примерно так:
Это — уравнение окружности в общем виде. Здесь радиус и центр окружности уже не выделены явно, и в задачах обычно просят их найти именно по общему виду уравнения окружности.
Способ решения такого рода задач следующий:
Перегруппируем слагаемые уравнения
Как видим, выражение в конце это уравнение окружности в стандартном виде, из которого уже легко получить и координаты центра окружности и ее радиус. Если же справа получилось отрицательное число — значит заданное вначале уравнение не является уравнением окружности (бывают задачи и на такую проверку). Калькулятор тоже проверяет это условие.
Для решения обратной задачи — нахождения общего уравнения окружности по координатам центра и радиусу — можно использовать калькулятор Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах
Найти центр и радиус окружности
Если окружность задана уравнением вида
найти центр (a;b) и радиус R такой окружности несложно.
Определить по уравнению окружности координаты её центра и радиуса:
Таким образом, центр данной окружности — точка (3;7), радиус R=2.
a=-2, b=5, R²=1. Окружность с центром в точке (-2;5) и радиусом 1.
Центр окружности — (0;-3), радиус R=3.
Центр — в точке (6;0), радиус R=√5.
Это уравнение задаёт окружность с центром в начале координат. Центр — O(0;0), радиус R=√11.
Чтобы найти центр и радиус окружности, заданной уравнением вида
нужно дополнить его до полных квадратов, чтобы привести к привычному виду.
Для этого сначала сгруппируем слагаемые
затем прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого из формулы квадрата разности (2ax- удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Первое — x, второе — a)
При a²+b²-c>0 это уравнение задаёт окружность с радиусом
При a²+b²-c=0 уравнению удовлетворяют координаты единственной точки (a;b).
При a²+b²-c
Выделяем в уравнении полные квадраты. В первых скобках удвоенное слагаемое 10x представляем как 10x=2·a·5 (чтобы получить 2ab для формулы a²+2ab+b²=(a+b)²). Получается, что b=5. Если прибавить и вычесть b², результат не изменится:
Центром этой окружности является точка (-5;3), радиус R=7.
Центр окружности — точка (2,5;0), радиус R=1,5.
Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности
Числовая ось
Определение 1 . Числовой осью ( числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление
указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.
Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .
Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).
Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.
Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA1 и AA2 на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).
Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A1 на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A2 на числовой оси Oy .
Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).
Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .
Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).
Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.
Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .
Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.
Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости
вычисляется по формуле
Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.
| A1A2| 2 = = ( x2 – x1) 2 + ( y2 – y1) 2 . |
(1) |
что и требовалось доказать.
Уравнение окружности на координатной плоскости
Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:
Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A0 (x0 ; y0) .
Следствие . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид
Окружность на координатной плоскости
Окружность на плоскости — это множество точек на плоскости равноудаленных от точки центра. На рисунке данная точка обозначена C.
Окружность радиуса R с центром в начале координат представляется уравнением:
Окружность радиуса R с центром в точке C(a;b) представляется уравнением:
Расстояние от центра окружности С(a;b) до точки M(x;y) называется радиусом окружности R (на рисунке красная линия ).
Это уравнение можно записать в виде:
Если уравнение помножить на любое число A, то получим
Примечание
Окружность относится к линии второго порядка, так как представляется уравнением второй степени.
Необходимые условия для этого:
1. Отсутствие в уравнение второй степени члена с произведением xy;
2. Коэффициенты при x 2 и y 2 были равны в уравнение вида:
3. Если выполняется неравенство
Как найти радиус и центр окружности
Уравнение Ax 2 +Bx+Ay 2 +Cy+D=0 если оно удовлетворяет примечаниям (1, 2 и 3), то тогда (a;b) и радиус R окружности можно найти по формулам:
Пример 1
Уравнение 5x 2 -10x+5y 2 +20y-20=0
Здесь
A=5, B=-10, C=20, D=-20
Оно удовлетворяет примечаниям 1, 2 и выполняется неравенство
Решая, получаем что центр есть (1;-2), а радиус R=3
Анимационный график окружности
Пример 2
Уравнение второй степени x 2 +4xy+y 2 =1 не является окружностью, так как в нём есть член 4xy.
Пример 3
Уравнение второй степени 4x 2 +9y 2 =36 не представляет окружность, так как в нём коэффициенты при x 2 и y 2 не равны.
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 4.3 / 5. Количество оценок: 4
[spoiler title=”источники:”]
http://www.resolventa.ru/demo/him/diagege.htm
[/spoiler]
Содержание:
Окружность:
Определение: Кривой второго порядка называется линия, описываемая уравнением
Замечание: Если коэффициенты
При определенных значениях параметров, входящих в это уравнение, оно дает канонические у равнения окружности, эллипса (не путать с овалом), гиперболы и параболы. Рассмотрим эти кривые второго порядка в указанной последовательности.
Определение: Окружностью называется геометрическое место точек равноудаленных от выделенной точки называемой центром окружности, на расстояние R, которое называется радиусом окружности.
Получим уравнение окружности (Рис. 27). Пусть точка М(х;у) лежит на окружности:
Рис. 27. Вывод уравнения окружности.
Из рисунка видно, что по теореме Пифагора которое определяет уравнение окружности (Рис. 28):
Рис. 28. Окружность.
Если то уравнение принимает вид который называется каноническим уравнением окружности.
Пример:
Составить уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой М (2; 1), прямая линия является касательной к окружности.
Решение:
Радиус окружности равен расстоянию от центра окружности точки М (2; 1) до прямой l, т.е.
В уравнении окружности таким образом оно имеет вид:
Пример:
Составить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых причем одной из них в т. А (1; 2).
Решение:
Прежде всего определим, на какой из прямых или лежит точка A(1; 2). Для этого подставим ее координаты в уравнения прямых
следовательно, точка A(1; 2) принадлежит линии (в сокращенной форме это предложение пишут так: где значок означает “принадлежит”. Таким образом, диаметр окружности D равен расстоянию от точки A(1; 2) до прямой
а радиус окружности Найдём координаты центра окружности точки которая делит отрезок АВ пополам. Вначале составим уравнение прямой (АВ) и вычислим координаты точки перейдем от общего уравнения прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом Так как прямаято её угловой коэффициент Прямая (АВ) проходит через известную точку A(1;2), следовательно, Отсюда находим Таким образом,уравнение прямой (АВ):
Найдем координаты точки B, которая является пересечением прямых и (АВ), т.е. решим систему линейных алгебраических уравнений, составленную из уравнений прямых и (АВ): (В): Подставим выражение для переменной у из второго у равнения в первое, получим Подставив это значение во второе уравнение системы, найдем т.е.
Для вычисления координат точки О применим формулы деления отрезка пополам (О): в этой формуле (координаты точки О), (координаты точки А), (координаты точки В), следовательно, т.е. координаты точки О
Таким образом, уравнение искомой окружности имеет вид:
Окружность в высшей математике
Рассмотрим уравнение
которое получается из уравнения (I), если положить , .
Если в формулу, выражающую расстояние между двумя точками, подставить , , то получим Из уравнения (1) находим, что , т. е. . Это значит, что все точки , координаты которых удовлетворяют уравнению (1), находятся на расстоянии от начала координат. Следовательно, геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), есть окружность радиуса с центром в начале координат. Аналогично получаем, что уравнение определяет окружность радиуса с центром в точке .
Пример:
Найдем уравнение окружности с центром в точке и радиусом, равным 10.
Решение:
Полагая, получим .
Разрешим это уравнение относительно , будем иметь
и
Первое из этих уравнений есть уравнение верхней половины окружности, второе—нижней.
Центральный угол. Градусная мера дуги
Дуга окружности. Если отметить на окружности точки и , то окружность разделится на две дуги: большую дугу (мажорная дуга) и меньшую дугу (минорная дуга). Если точка является какой-либо точкой дуги , то . Если точки и являются концами диаметра, го каждая дуга является полуокружностью.
Центральный угол. Угол, вершина которого находится в центре окружности, называется центральным углом. Дугу окружности можно измерять в градусах. Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла:
Сумма всех центральных углов окружности, не имеющих общую внутреннюю точку, равна
Дуги окружности и их величины
Пример: минорная дуга:
мажорная дуга:
Конгруэнтные дуги
В окружности конгруэнтным центральным углам соответствуют конгруэнтные дуги и наоборот.
Если
Если
Длина дуги
Какую часть составляет центральный угол от всей окружности, такую же часть длина дуги составляет от длины всей окружности.
Длина дуги в равна части длины окружности.
Длина дуги, соответствующей центральному углу с градусной мерой , составляет части длины окружности:
Длина дуги выражается единицами измерения длины (мм, см, м, и т.д.)
Пример №1
Длина окружности равна 72 см. Найдите длину дуги, соответствующей центральному углу .
Решение:
Так как центральный угол составляет часть полного угла, то длина искомой дуги:
Пример №2
Найдите длину дуги, соответствующей центральному углу в окружности радиусом 15 см.
Решение: подставляя значения в формулу длины дуги находим:
Окружность и хорда
Теорема о конгруэнтных хордах
Теорема 1. Хорды, стягивающие конгруэнтные дуги окружности, конгруэнтны.
Обратная теорема 1. Дуги, стягиваемые конгруэнтными хордами окружности, конгруэнтны.
1)Если , то
2)Если
Доказательство теоремы 1:
Теорема о серединном перпендикуляре хорд
Теорема 2.
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду и соответствующую дугу пополам.
Если
Доказательство теоремы 2.
Дано: – центральный угол,
Докажите:
Начертите радиусы и окружности.
Следствие 1. Прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная хорде, делит хорду и ее дугу пополам.
Следствие 2. Центр окружности расположен на серединном перпендикуляре хорды. Серединный перпендикуляр хорды проходит через центр окружности.
Пример: Найдите расстояние от центра до хорды длиной 30 единиц в окружности радиусом 17 единиц. Если , то . Из по теореме Пифагора имеем:
Теорема о хордах, находящихся на одинаковом расстоянии от центра окружности
Теорема 3.
Конгруэнтные хорды окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.
Если , то
Обратная теорема 3. Хорды, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра окружности, конгруэнтны.
Доказательство теоремы 3
Дано: Окружность с центром
Докажите:
Доказательство (текстовое): Прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная хорде, делит хорду и стягивающую ее дугу пополам. и – серединные перпендикуляры конгруэнтных хорд и . , так как они являются половиной конгруэнтных хорд. Начертим радиусы окружности и : . Прямоугольные треугольники, и конгруэнтны (по катету и гипотенузе). Так как и являются соответствующими сторонами данных треугольников, то они конгруэнтны: . Теорема доказана.
Задача. Хорды и находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности. . Если радиус окружности равен 41 единице, то найдите .
Решение: Так как хорды и находятся на одинаковом расстоянии от центра, то они конгруэнтны: Соединим точки и с точкой В прямоугольном треугольнике ; ; ;
Так как
Угол, вписанный в окружность
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется углом вписанным в окружность. Дуга, соответствующая углу, вписанному в окружность, называется дугой, на которую опирается этот угол.
является углом вписанным в окружность с центром , а дуга, на которую опирается этот угол. Ниже показаны три разных угла, вписанных в окружность.
Угол, вписанный в окружность:
Теорема 1. Градусная мера угла, вписанного в окружность, равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Доказательство (текстовое): и радиусы окружности и равнобедренный треугольник. Значит, Так как является внешним углом , Если примем, что , то Так как градусные меры центрального угла и опирающейся на него дуги равны, то Следовательно, .
Следствие 1. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.
Следствие 2. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр (полуокружность), является прямым углом.
Конгруэнтные углы, вписанные в окружность
Следствие 3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, конгруэнтны. , .
Следствие 4. Вписанные углы, опирающиеся на конгруэнтные дуги, конгруэнтны. Если , то .
Касательная к окружности
Касательная. Признак касательной
Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью, называется касательной. Теорема 1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Прямая является касательной к окружности. Значит, Обратная теорема (признак касательной): Прямая, проходящая через точку окружности и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку, является касательной окружности.
Прямая, касающаяся обеих окружностей, называется общей касательной этих окружностей. Окружности, касаясь друг друга изнутри или извне, могут иметь общую касательную в одной точке. Также окружности могут касаться одной касательной в разных точках.
Две окружности могут иметь несколько общих касательных или вообще не иметь общих касательных.
Доказательство теоремы 1. Если прямая – касательная к окружности, значит, она имеет единственную общую точку с окружностью. Допустим, что прямая не перпендикулярна радиусу Проведем и на прямой выделим отрезок Тогда так как Значит, точка также находится на окружности. То есть прямая имеет с окружностью две общие точки, что противоречит условию. Значит,
Свойства касательных, проведенных к окружности из одной точки
Теорема 2. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, конгруэнтны, и центр окружности находится на биссектрисе угла, образованного касательными.
и касательные, проведенные из точки к окружности с центром
Углы, образованные секущими и касательными
Прямая, имеющая две общие точки с окружностью, называется секущей окружности.
Углы между двумя секущими
Вершина угла находится внутри окружности
Теорема. Если вершина угла, образованного двумя секущими, находится внутри окружности, то градусная мера угла равна полусумме величин дуг на которые опирается этот угол и угол вертикальный данному.
Углы между касательной и секущей
Вершина угла находится на окружности
Теорема. Если вершина угла, образованного касательной и секущей, находится на окружности, то градусная мера угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Углы, образованные касательной и секущей
Вершина угла находится вне окружности
Теорема 1.
Градусная мера угла, образованного секущей и касательной, двумя касательными, двумя секущими окружности (если вершина угла находится вне окружности), равна половине разности градусных мер дуг, находящихся между сторонами угла.
Отрезки секущих и касательных
Длина отрезков, секущих окружность
Теорема 1. При пересечении двух хорд, произведение отрезков одной хорды, полученных точкой пересечения, равно произведению отрезков второй хорды.
Теорема 2. Если из точки провести две прямые, пересекающие окружность соответственно в точках и , и то верно равенство
Теорема 3. Если из точки проведены прямая, которая пересекает окружность в точках и и касательная к окружности в точке то верно равенство:
Уравнение окружности
Используя формулу расстояния между двумя точками, можно написать уравнение окружности с радиусом и с центром в начале координат. Расстояние между центром окружности и ее любой точкой равно радиусу окружности.
Расстояние между двумя точками
Упрощение
Возведение обеих частей в квадрат
Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом :
Например, уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 2 имеет вид:
По формуле расстояния между центром окружности и точки на окружности радиуса имеем Возведя в квадрат обе части, получаем уравнение окружности с центром в точке и радиусом
Например, уравнение окружности с центром в точке и радиусом 4 имеет вид:
Пример №3
Постройте на координатной плоскости окружность, заданную уравнением
Решение: Напишем уравнение в виде Как видно,
Отметим 4 точки, находящиеся на расстоянии 5 единиц от начала координат. Например, Проведем окружность через эти точки.
Пример №4
Точка находится на окружности, центром которой является начало координат. Напишите уравнение этой окружности.
Решение: Записав координаты точки в уравнении , получим: Уравнение этой окружности:
Пример №5
Найдем центр и радиус окружности, заданной уравнением
Решение:
Центр окружности точка Радиус
Пример №6
Мобильные телефоны работают с помощью передачи сигналов посредством спутников из одной передающей станции в другую. Компания мобильного оператора старается расположить передающую станцию так, чтобы обслуживать больше пользователей. Представим, что три больших города находятся в точках На координатной плоскости 1 единица равна расстоянию в 100 км. Передающая станция должна быть расположена в точке, находящейся на одинаковом расстоянии от этих городов. Напишите координаты этой точки и уравнение соответствующей окружности.
Решение: Сначала соединим эти точки и найдем точку пересечения серединных перпендикуляров сторон полученного треугольника. Эта точка Эта точка, являясь центром окружности, показывает месторасположение станции. Расстояние между центром и любой из заданных точек является радиусом окружности,
Уравнение окружности:
Заметка. Определив линейные уравнения, соответствующие серединным перпендикулярам, можно найти координаты центра окружности решением системы уравнений.
Координаты точек, находящихся на окружности, и тригонометрические отношения
Если точка при повороте радиуса вокруг точки против движения часовой стрелки на угол преобразуется в точку то
Для координат точки соответствующей углу поворота на окружности, верны формулы В этих формулах – угол, отсчитываемый от положительной оси против движения часовой стрелки. Если точка не находится на оси ординат, то .
Синусы смежных углов равны, а косинусы взаимно противоположны.
Из этих формул при почленным делением получаем:
С помощью формул, приведенных выше, вычисление синуса, косинуса, тангенса для тупого угла можно свести к вычислению синуса, косинуса, тангенса острого угла, соответственно.
Сектор и сегмент
Сектор часть круга, ограниченная центральным углом, образованным двумя радиусами и соответствующей этому углу дугой. Площадь сектора, соответствующего центральному углу, составляет ту часть площади круга, которую составляет центральный угол от полного угла.
Например, часть круга, соответствующая центральному углу , составляет часть всего круга. Так как площадь круга , то площадь этого сектора будет Сегмент часть круга, ограниченная хордой и соответствующей дугой.
Площадь сектора
Площадь сектора:
Площадь сегмента:
Указание: При нахождении площади сегмента, соответствующего большей дуге, к площади соответствующего сектора прибавляется площадь
- Эллипс
- Гипербола
- Парабола
- Многогранник
- Сфера в геометрии
- Шар в геометрии
- Правильные многогранники в геометрии
- Многогранники
Уравнение окружности.
Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.
В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.
Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.
Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.
Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.
Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.
Если координаты центра (а;b), а координаты любой точки окружности (х; у), то уравнение окружности имеет вид:
Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.
Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:
Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у, определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.
Примеры решения задач про уравнение окружности
Задача. Составить уравнение заданной окружности
Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.
Решение.
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x- a ) 2 + (y- b ) 2
Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R = 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a = 2
b = -3
Получаем:
(x — 2 ) 2 + (y — ( -3 )) 2 = 4 2
или
(x — 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .
Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности
Проверить, принадлежит ли точка A(2;3) уравнению окружности (x — 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.
Решение.
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.
В уравнение ( x — 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3
Проверим истинность полученного равенства
( x — 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
( 2 — 2) 2 + ( 3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно
Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.
Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности
Числовая ось
Определение 1 . Числовой осью ( числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление
указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.
Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .
Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).
Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.
Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA1 и AA2 на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).
Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A1 на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A2 на числовой оси Oy .
Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).
Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .
Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).
Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.
Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .
Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.
Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости
вычисляется по формуле
Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.
| A1A2| 2 = = ( x2 – x1) 2 + ( y2 – y1) 2 . |
(1) |
что и требовалось доказать.
Уравнение окружности на координатной плоскости
Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:
Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A0 (x0 ; y0) .
Следствие . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид
Точки принадлежащие кругу и окружности
Вводятся координаты (x;y) точки и радиус круга ( r ). Определить принадлежит ли данная точка кругу, если его центр находится в начале координат.
Будем считать, что точка принадлежит кругу, если находится внутри его или на его окружности.
Из любой точки координатной плоскости можно провести отрезок к началу координат. Если длина этого отрезка больше радиуса круга, то точка лежит за пределами круга и, следовательно, не принадлежит ему. Если же отрезок, соединяющий точку и начало координат, меньше радиуса круга с центром в начале координат или равен ему, то точка будет принадлежать кругу.
Отрезок между любой точкой и нулевой точкой (началом координат) является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны значениям x и y координаты данной точки.
Таким образом задача сводится по-сути к двум действия:
- Нахождение длины отрезка между точкой и началом координат по теореме Пифагора (квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов).
- Сравнению полученного значения с радиусом круга.
Окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности. Это расстояние называется радиус и в записях обозначается буквой R .
Центр окружности обозначают буквой O.
Окружность разделяет плоскость на две части, внутреннюю и внешнюю. Внутренняя часть, включающая саму окружность, называется кругом. (Наведите курсор на рисунок.)
Точка O — это центр и круга и окружности.
Отрезки OA, OB, и OC — это радиусы, их длины равны. Отрезок BC, проходящий через центр окружности (круга) называется диаметром и обозначается буквой D. Диаметр разделяет круг на два полукруга, а окружность на две полуокружности.
Диаметр равен двум радиусам, это хорошо видно на рисунке.
BC = OC + OB , так как BC = D а OC = OB = R , то
Точки A и B делят окружность на две части, которые называются дугами, а точки A и B концами этих дуг.
Дуга окружности — это часть окружности ограниченная двумя точками.
На рисунке точки B и C разделили окружность на две дуги, голубую и зеленую.
Записать их названия мы можем так:
BC (дуга BC) — в данном случае речь может идти как о голубой так и о зеленой;
BAC (дуга BAC) — в данном случае речь идет именно о зеленой дуге.
Выберите верные утверждения, исходя из рисунка:
1) Точки C, B и E не принадлежат кругу.
2) Точки D, B и O принадлежат окружности.
3) Точки A, B и O принадлежат кругу. Неверно. Точка B принадлежат кругу, так как окружность часть круга. Неверно. Точка O центр окружности, но не лежит на ней. 1) Точка О является центром и окружности, и круга.
2) Точка О является центром окружности, но не центром круга.
3) Точки D и B не принадлежат окружности. 1) Точки B и D не принадлежат кругу.
2) Точки A, B, D и O принадлежат кругу.
3) Точки B, D и E принадлежат кругу. Неверно. Точка О является центром и окружности, и круга. Неверно. Точки D и B принадлежат окружности. Неверно. Точки B и D принадлежат кругу, так как лежат на окружности, а она часть круга. 1) Точки B и D разделяют окружность на 4 дуги.
2) Точки B и D разделяют окружность на 3 дуги.
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На данном уроке дается определение окружности и круга, а также определение дуги, радиуса, хорды и диаметра окружности, рассматривается взаимное расположение точек и окружности, а также двух окружностей, решаются различные задачи по этой теме.
Окружность и круг
Окружность можно построить с помощью циркуля (рис. 1). Ножку с иголкой устанавливают в точку, а ножка с грифелем опишет замкнутую линию, которую называют окружностью.
Окружность – это множество точек, равноудаленных от заданной точки (точки О), которую называют центром окружности. Окружность разделит плоскость на 2 части. Ту часть плоскости, которая лежит внутри окружности вместе с самой окружностью, называют кругом. Точка О является как центром окружности, так и центром круга (рис. 2).
Рис. 2. Окружность и круг
Взаимное расположение окружности и точки
Точки могут лежать на окружности, т. е. принадлежать окружности. Точки А и В принадлежат окружности с центром в точке О (Рис. 3); точки О, Е и D не принадлежат окружности с центром в точке О; точки О, Е, А, В принадлежат кругу с центром в точке О, а точка D не принадлежит этому кругу.
Рис. 3. Окружность и круг с центром в точке О
Точки А и В делят окружность на две части (рис. 4), каждую из которых называют дугой окружности; точки А и В – концами дуг.
Рис. 4. Окружность
Дуга, радиус, хорда, диаметр окружности
Дуга окружности – это часть окружности, ограниченная двумя точками. Пример. На окружности с центром в точке О отмечены точки А, В и С. Назовите дуги, на которые эти дуги делят окружность. Дуги с концами в точках А и В: дуга АВ, дуга АСВ. Дуги с концами в точках В и С: дуга ВС, дуга ВАС. Дуги с концами в точках А и С: дуга АС, дуга АВС. Отрезки ОА, ОВ соединяют центр окружности с точками, лежащими на окружности. Их называют радиусами (рис. 5).
Рис. 5. Радиусы окружности
Радиус – это расстояние от центра окружности до любой точки окружности. Радиусы одной окружности равны. Обозначают радиусы R или r. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром. Обозначают: d или D. Свойства диаметра: 1. диаметр – самая большая хорда. 2. d = 2R. Диаметр делит круг на два полукруга, а окружность – на две полуокружности
Задача 1
Постройте окружность с центром в точке О и радиусом 4 см. Постройте прямую а так, чтобы она пересекла окружность в двух точках А и В (рис. 6). На каком расстоянии от центра окружности находятся точки А и В?
Рис. 6. Окружность с центром в точке О и радиусом 4 см
Так как расстояние между двумя точками – это длина отрезка с концами в этих точках, то нам необходимо найти длины отрезков ОА и ОВ. По определению отрезки ОА и ОВ – радиусы одной и той же окружности. Тогда ОА = ОВ = R= 4 см. Значит, на расстоянии 4 см находятся точки А и В от центра окружности.
Задача 2
Постройте отрезок АВ, равный 4 см. Постройте первую окружность с центром в точке А радиусом 3 см, и другую окружность с центром в точке В радиусом 2 см. Назовите точки пересечения окружностей точками Е и С (рис. 7). Чему равны длины отрезков АЕ, АС, ЕВ и ВС?
Рис. 7. Отрезок АВ
По определению, отрезок АЕ, АС – это радиусы первой окружности. АЕ = АС = = 2 см.
Задача 3
Начертите отрезок СМ, равный 5 см. Постройте точку, удаленную от концов отрезка на 3 см. Сколько таких точек можно построить? Таких точек можно построить 2. Они будут лежать на пересечении двух окружностей с центром в точке С и с центром в точке М радиусом 3 см (рис. 8).
Рис. 8. Точки, удаленные от концов отрезка на 3 см
Список литературы
- Н.Я. Виленкин. Учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений/ 17-е изд. – М.: Мнемозина, 2005.
- Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике: 5–6. – М.: Илекса, 2011. – 106 с.
- Ершева А.П., Голобородько В.В. Вся школьная математика в самостоятельных и контрольных работах. Математика 5–6. – М.: Илекса, 2006. – 432 с.
- Н.Н. Хлевнюк, М.В. Иванова. Формирование вычислительных навыков на уроках математики. 5–9 классы. – М.: Илекса, 2011. – 248 с.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
Учебник математики. 5 класс. Н.Я. Виленкин. № 850–856.
Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.
источники:
http://www.resolventa.ru/demo/him/diagege.htm
http://4apple.org/tochki-prinadlezhashhie-krugu-i-okruzhnosti/
Определение.
Окружностью
называется множество всех точек
плоскости, для которых расстояние от
данной точки, называемой центром
окружности, есть величина постоянная,
называемая радиусом окружности.
Выведем
уравнение окружности. Пусть точка
произвольная точка окружности радиуса
.
Введем прямоугольную систему координат,
у которой начало совпадает с центром
окружности.
В этом случае точкаимеет координаты.
По определению окружности.
Учитывая, что,
получим,
или
.
(1.27)
Выражение (1.27)
называется уравнением окружности с
центром в точке
и радиуса.
Покажем,
что любая точка, координаты которой
удовлетворяют уравнению (1.27), принадлежит
окружности с центром в точке
и радиуса.
Пусть
координаты точки
удовлетворяют уравнению (1.27). Тогда,
т. е.является точкой окружности.
С
учетом формулы преобразования
прямоугольных координат точки при
параллельном переносе осей получим
уравнение окружности с центром в точке
и радиуса:
.
(1.28)
П
р и м е р 13.Составить
уравнение окружности, проходящей через
начало координат, центр которой находится
на одинаковом расстоянии от параллельных
прямых
и.
Решение.
Для того чтобы составить уравнение
окружности вида
,
необходимо найти координатыее центраи радиус.
Искомая окружность касается прямыхи,
поэтому радиусравен половине расстояниямежду этими прямыми. Расстояние между
параллельными прямыми равно расстоянию
от произвольной точки одной прямой до
другой прямой. На прямой, задаваемой
уравнением,
возьмем произвольную точку,
тогда.
По формуле (1.15) имеем:.
Таким образом,.
Центр окружности равноудален от заданных
прямых, поэтому координатыее центрадолжны удовлетворять равенству,
т. е..
Известно, что окружность проходит через
начало координат, поэтому.
Получили систему уравнений относительно
координат центраокружности:.
Ее решениями будут.
Итак, существует два уравнения,
удовлетворяющих условиям задачи:.
1.12. Эллипс
Определение.
Эллипсом
называется
множество всех точек плоскости, для
которых сумма расстояний от двух данных
точек, называемых фокусами, есть величина
постоянная, большая, чем расстояние
между фокусами.
Выберем
прямоугольную систему координат таким
образом, чтобы ось абсцисс проходила
через фокусы
и,
а начало координатсовпадало
с серединой отрезка.
Обозначим,,,
где,
фокальные радиусы (расстояния от точки
до фокусов) точки эллипса. Тогда фокусы
иимеют координаты,.
O
Пусть
произвольная точка эллипса. Имеем:
,.
Из определения эллипса
,
(1.29)
или
искомое уравнение эллипса, которое
неудобно для использования. Из последнего
равенства следует, что
.Так
как,
то можем обе части уравнения возвести
в квадрат и после эквивалентных
преобразований получим:.
Следовательно,.
Введем новую переменную.
Имеем:.
Из этого равенства следует, что
.
(1.30)
Уравнение
(1.30) называется каноническим (простейшим)
уравнением эллипса. Это уравнение
является уравнением второго порядка.
Таким образом, любая точка эллипса,
удовлетворяющая уравнению (1.29),
удовлетворяет и уравнению (1.30). Докажем,
что все точки плоскости, координаты
которых удовлетворяют уравнению (1.30),
являются точками эллипса, т. е. их
координаты удовлетворяют уравнению
(1.29).
Для
фокального радиуса
выполняется соотношение.
Из уравнения (1.30) имеем:.
Поэтому,
или.
Аналогично находим, что.
Следовательно,.
Эллипс
симметричен относительно координатных
осей, так как содержит только четные
степени
и,
и относительно начала координат. Оси
симметрии эллипса называются его осями,
а центр симметрии
центром эллипса.
b
с
х
О
a
Эллипс
пересекает координатные оси в точках
,,,.
Эти точки называются вершинами эллипса.
Приэллипс вырождается в окружность радиусоми центром в начале координат. Вершины
эллипса ограничивают на осях отрезки
длинойи,
причем(это следует из того, что).
Величины
иназываются большой и малой полуосями
эллипса, оси эллипса
соответственно большой и малой осью.
Определение. Эксцентриситетом эллипса
называется отношение,
где
половина расстояния между фокусами,
большая полуось, т. е.
.
(1.31)
Учитывая,
что
,
получим.
Так как,
то.
Если,
т. е. эллипс приближается к окружности,
то.
Если,
ак нулю не стремится, то эллипс вытянут
вдоль большой оси. Таким образом,
эксцентриситет эллипса характеризует
меру его вытянутости вдоль большой оси.
Если
фокусы эллипса
ирасположены на оси ординат, то в этом
случаеи большой является полуось.
Уравнение эллипса также имеет вид
(1.30), но,
а его эксцентриситет вычисляется по
формуле.
П
р и м е р 14. Составить
уравнение эллипса, фокусы которого
лежат на оси абсцисс симметрично
относительно начала координат, зная,
что расстояние между его фокусами
и эксцентриситет.
Решение.
Половина расстояния между фокусами
.
Фокусы эллипса расположены на оси
абсцисс, поэтому большой полуосью
является.
Из (1.31) следует, что.
Тогда.
Таким образом, уравнение эллипса имеет
вид.
П
р и м е р 15. Дан
эллипс
.
Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет.
Решение.
Приведем
уравнение эллипса к каноническому виду.
Для этого обе части уравнения разделим
на 45, получим
.
Таким образом, его полуось,.
Большой полуосью является полуось,
поэтому фокусы эллипса расположены на
оси ординат и,
следовательно, фокусы находятся в точкахи.
Эксцентриситет эллипса равен отношению
половины расстояния между фокусами к
большой полуоси, т. е..
П
р и м е р 16. Вычислить
площадь четырехугольника
,
две вершиныикоторого лежат в фокусах эллипса,
две другиеисовпадают с концами его малой оси.
Решение.
Каноническое
уравнение эллипса имеет вид
,
поэтому,.
Следовательно, вершины четырехугольникаиимеют соответственно координатыи.
Найдем координаты вершини.
Так как,
то,.
Полученный четырехугольник симметричен
относительно координатных осей и
относительно начала координат,
следовательно,.
Соседние файлы в папке 20-12-2012_21-26-59
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Уравнение окружности.
Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.
В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.
Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.
Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.
Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.
Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.
Если координаты центра (а;b), а координаты любой точки окружности (х; у), то уравнение окружности имеет вид:
Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.
Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:
Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у, определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.
Примеры решения задач про уравнение окружности
Задача. Составить уравнение заданной окружности
Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.
Решение.
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R2 = (x-a)2 + (y-b)2
Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R = 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a = 2
b = -3
Получаем:
(x – 2)2 + (y – (-3))2 = 42
или
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 16.
Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности
Проверить, принадлежит ли точка A(2;3) уравнению окружности (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16.
Решение.
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.
В уравнение (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3
Проверим истинность полученного равенства
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 16
(2 – 2)2 + (3 + 3)2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно
Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.
0
Площадь геометрической фигуры |
Описание курса
| Задачи про окружность