Как найти координаты точки единой окружности

Как найти координаты точки единой окружности

Как найти координаты точки?

О чем эта статья:

3 класс, 4 класс, 9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Понятие системы координат

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты вашей квартиры тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится тот дом, где вы живете. С точками на плоскости та же история.

Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.

Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.

Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.

Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.

  • Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
  • Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
  • Ось ординат Oy — вертикальная ось.
  • Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
  • Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:

  • верхний правый угол — первая четверть I;
  • верхний левый угол — вторая четверть II;
  • нижний левый угол — третья четверть III;
  • нижний правый угол — четвертая четверть IV;
  • Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
  • Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
  • Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
  • Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.

Определение координат точки

Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.

Точка пересечения с осью Ох называется абсциссой точки А, а с осью Оу называется ординатой точки А.

Чтобы узнать координаты точки на плоскости, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра.

Координаты точки на плоскости записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

Смотрим на график и фиксируем: A (1; 2) и B (2; 3).

Особые случаи расположения точек

В геометрии есть несколько особых случаев расположения точек. Лучше их запомнить, чтобы без запинки решать задачки. Вот они:

  1. Если точка лежит на оси Oy, то ее абсцисса равна 0. Например,
    точка С (0, 2).
  2. Если точка лежит на оси Ox, то ее ордината равна 0. Например,
    точка F (3, 0).
  3. Начало координат — точка O. Ее координаты равны нулю: O (0,0).
  4. Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
  5. Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
  6. Если точка лежит на оси абсцисс, то ее координаты будут иметь вид: (x, 0).
  7. Если точка лежит на оси ординат, то ее координаты будут иметь вид: (0, y).

Способы нахождения точки по её координатам

Чтобы узнать, как найти точку в системе координат, можно использовать один из двух способов.

Способ первый. Как определить положение точки D по её координатам (-4, 2):

  1. Отметить на оси Ox, точку с координатой -4, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Ox.
  2. Отметить на оси Oy, точку с координатой 2, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Oy.
  3. Точка пересечения перпендикуляров и есть искомая точка D. Ее абсцисса равна -4, а ордината — 2.

Способ второй. Как определить положение точки D (-4, 2):

  1. Сместить прямую по оси Ox влево на 4 единицы, так как у нас
    перед 4 стоит знак минус.
  2. Подняться из этой точки параллельно оси Oy вверх на 2 единицы, так как у нас перед 2 стоит знак плюс.

Чтобы легко и быстро находить координаты точек или строить точки по координатам, скачайте готовую систему координат и храните ее в учебнике:

Уравнение окружности.

Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.

В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.

Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

Если координаты центра (а;b), а координаты любой точки окружности (х; у), то уравнение окружности имеет вид:

Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.

Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:

Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у, определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Примеры решения задач про уравнение окружности

Задача. Составить уравнение заданной окружности

Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.

Решение.
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x- a ) 2 + (y- b ) 2

Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R = 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a = 2
b = -3

Получаем:
(x – 2 ) 2 + (y – ( -3 )) 2 = 4 2
или
(x – 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности

Проверить, принадлежит ли точка A(2;3) уравнению окружности (x – 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Решение.
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.

В уравнение ( x – 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3

Проверим истинность полученного равенства
( x – 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
( 2 – 2) 2 + ( 3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно

Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.

Окружность на координатной плоскости

Окружность на плоскости — это множество точек на плоскости равноудаленных от точки центра. На рисунке данная точка обозначена C.

Окружность радиуса R с центром в начале координат представляется уравнением:

Окружность радиуса R с центром в точке C(a;b) представляется уравнением:

Расстояние от центра окружности С(a;b) до точки M(x;y) называется радиусом окружности R (на рисунке красная линия ).
Это уравнение можно записать в виде:

Если уравнение помножить на любое число A, то получим

Примечание
Окружность относится к линии второго порядка, так как представляется уравнением второй степени.

Необходимые условия для этого:
1. Отсутствие в уравнение второй степени члена с произведением xy;
2. Коэффициенты при x 2 и y 2 были равны в уравнение вида:

3. Если выполняется неравенство

Как найти радиус и центр окружности

Уравнение Ax 2 +Bx+Ay 2 +Cy+D=0 если оно удовлетворяет примечаниям (1, 2 и 3), то тогда (a;b) и радиус R окружности можно найти по формулам:

Пример 1
Уравнение 5x 2 -10x+5y 2 +20y-20=0
Здесь
A=5, B=-10, C=20, D=-20
Оно удовлетворяет примечаниям 1, 2 и выполняется неравенство

Решая, получаем что центр есть (1;-2), а радиус R=3

Анимационный график окружности

Пример 2
Уравнение второй степени x 2 +4xy+y 2 =1 не является окружностью, так как в нём есть член 4xy.

Пример 3
Уравнение второй степени 4x 2 +9y 2 =36 не представляет окружность, так как в нём коэффициенты при x 2 и y 2 не равны.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.3 / 5. Количество оценок: 4

[spoiler title=”источники:”]

http://www.profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/chapter0552/?LESSON_PATH=456.552

Окружность на координатной плоскости

[/spoiler]

Источник

Содержание:

На рисунке 2 изображены колебания маятника и показан график функции, описывающей смещение маятника от положения равновесия в зависимости от времени. Изучение процесса колебания маятника, а также многих других процессов в физике (механические, электромагнитные колебания, волны и т. д.) приводит к необходимости рассматривать тригонометрические функции действительного аргумента.

Единичная окружность - с примерами решения

Для изучения тригонометрических функций используется понятие единичной окружности.

Единичная окружность в тригонометрии

Единичную окружность называют также координатной окружностью. Единичная окружность - с примерами решения

Определение единичной окружности

Определение:

Окружность на координатной плоскости единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 3) называется единичной окружностью.

Для того чтобы задать координатную окружность, нужно указать:

  • начало отсчета — точку Единичная окружность - с примерами решения
  • направление движения точки по окружности (против часовой стрелки — положительное, а по часовой стрелке — отрицательное (рис. 4)). Единичная окружность - с примерами решения

Точки на окружности будем получать путем поворота точки Единичная окружность - с примерами решения единичной окружности вокруг начала координат на заданный угол.

Точка Единичная окружность - с примерами решения (рис. 5) получена поворотом

Таким образом, при повороте точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения в заданном направлении получается точка Единичная окружность - с примерами решения единичной окружности.

Пример №1

Построить на единичной окружности точку Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

Точку Единичная окружность - с примерами решения получаем поворотом против часовой стрелки точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 6).

Единичная окружность - с примерами решения

Пример №2

Построить на единичной окружности точку Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

Точку Единичная окружность - с примерами решения получаем поворотом по часовой стрелке точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 7).

Пример №3

Построить на единичной окружности точку:

Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

а) Так как поворот на Единичная окружность - с примерами решения соответствует одному полному обороту, то необходимо выполнить поворот точки Единичная окружность - с примерами решения против часовой стрелки на Единичная окружность - с примерами решения (полный оборот). Точка Единичная окружность - с примерами решения совпадет с точкой Единичная окружность - с примерами решения (рис. 8, а).

Единичная окружность - с примерами решения

б) Так как Единичная окружность - с примерами решения то необходимо выполнить один полный оборот и еще поворот точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат против часовой стрелки на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 8, б).

в) Так как Единичная окружность - с примерами решения то необходимо выполнить два полных оборота и еще поворот точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат против часовой стрелки на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 8, в).

Пример №4

Построить на единичной окружности точку Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

Так как Единичная окружность - с примерами решения то необходимо выполнить три полных оборота и еще поворот точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат по часовой стрелке на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 9).

Единичная окружность - с примерами решения

Радианное измерение углов

По формуле длины окружности Единичная окружность - с примерами решения получим, что длина единичной окружности Единичная окружность - с примерами решения равна Единичная окружность - с примерами решения

На единичной окружности (рис. 10) легко отметить точки Единичная окружность - с примерами решения соответствующие углам поворота Единичная окружность - с примерами решения (четверть окружности), Единичная окружность - с примерами решения (половина окружности), Единичная окружность - с примерами решения (три четверти окружности), Единичная окружность - с примерами решения (вся окружность).

Числа Единичная окружность - с примерами решения – это радианная мера углов, градусная мера которых соответственно равна Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Угол в 1 радиан (от лат. radius — луч, радиус) — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

На рисунке 11 отмечена точка единичной окружности, соответствующая углу в 1 радиан. Длина дуги единичной окружности, соответствующей углу в 1 радиан, равна 1.

Так как Единичная окружность - с примерами решения радиан соответствует Единичная окружность - с примерами решения то градусная мера угла в 1 радиан равна:

Единичная окружность - с примерами решения

Сокращенное обозначение радиана «рад» чаще всего опускают.

Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Чтобы выразить радианную меру угла Единичная окружность - с примерами решения в градусной, число Единичная окружность - с примерами решения умножить на Единичная окружность - с примерами решения

Например,

Единичная окружность - с примерами решения

На рисунке 12 показано соответствие между градусной и радианной мерой некоторых углов.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример №5

Построить на единичной окружности точку Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

Точку Единичная окружность - с примерами решения получаем поворотом против часовой стрелки точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 13).

Единичная окружность - с примерами решения

В зависимости от того, в какую четверть координатной плоскости попадает точка Единичная окружность - с примерами решения говорят, что в такой же четверти находится угол Единичная окружность - с примерами решения

Например, углы Единичная окружность - с примерами решения находятся в первой четверти, углы Единичная окружность - с примерами решения и Единичная окружность - с примерами решения находятся во второй четверти, углы Единичная окружность - с примерами решения находятся в третьей четверти, а угол Единичная окружность - с примерами решения находится в четвертой четверти (рис. 14).

Углы Единичная окружность - с примерами решения соответствуют границам четвертей.

Пример №6

Определите, в какой четверти находится угол 3 рад.

Решение:

Единичная окружность - с примерами решения Так какЕдиничная окружность - с примерами решения то данный угол находится во второй четверти.

Примеры заданий и их решения

Пример №7

На единичной окружности отметьте точку, получаемую поворотом точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол:

Единичная окружность - с примерами решения

Решение.

а) Точку Единичная окружность - с примерами решения получаем поворотом против часовой стрелки точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 15, а).

б) Точку Единичная окружность - с примерами решения получаем поворотом по часовой стрелке точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения (см. рис. 15, а).

в) Точку Единичная окружность - с примерами решения получаем поворотом по часовой стрелке точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол 90° (рис. 15, б).

Единичная окружность - с примерами решения

г) Точку Единичная окружность - с примерами решения получаем поворотом против часовой стрелки точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения (см. рис. 15, б).

Пример №8

Покажите, что точки:

Единичная окружность - с примерами решения — единичной окружности совпадают.

Решение:

а) Поскольку Единичная окружность - с примерами решения то, для того чтобы получить точку Единичная окружность - с примерами решения нужно выполнить один полный оборот и еще поворот точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат против часовой стрелки на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 16, а).

Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Пример №9

На единичной окружности отметьте точку, получаемую поворотом точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол:

Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

а) Так как Единичная окружность - с примерами решения то выполним один полный оборот и еще поворот точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат против часовой стрелки на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 17, а).

б) Так как Единичная окружность - с примерами решения то выполним три полных оборота и еще поворот точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат по часовой стрелке на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 17, б).

Пример №10

Запишите все углы Единичная окружность - с примерами решения для которых точка Единичная окружность - с примерами решения совпадает с точкой:

Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

а) Отметим на единичной окружности точку Единичная окружность - с примерами решенияТак как, например, Единичная окружность - с примерами решения и т. п., то точки единичной окружности Единичная окружность - с примерами решения совпадают с точкой Единичная окружность - с примерами решения единичной окружности. Очевидно, что существует бесконечно много углов Единичная окружность - с примерами решения для которых точки единичной окружности Единичная окружность - с примерами решения совпадают. Эти углы могут быть получены в результате поворота точки Единичная окружность - с примерами решения на целое число полных оборотов по или против часовой стрелки (рис. 18), таким образом, Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Пример №11

На единичной окружности отметьте точку, получаемую поворотом точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол:

Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

а) Так как Единичная окружность - с примерами решения то выполним поворот точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 19, а).

б) Поскольку Единичная окружность - с примерами решения то точка Единичная окружность - с примерами решения совпадает с точкой Единичная окружность - с примерами решения (рис. 19, б).

Единичная окружность - с примерами решения

  • Определение синуса и косинуса произвольного угла
  • Определение тангенса и котангенса произвольного угла
  • Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла (тригонометрические тождества)
  • Функция y=sin x и её свойства и график
  • Раскрытие неопределенностей
  • Дробно-рациональные уравнения
  • Дробно-рациональные неравенства
  • Прогрессии в математике – арифметическая, геометрическая
Источник

Как найти точку пересечения окружностей

Геометрические задачи, решаемые аналитически при помощи приемов алгебры, являются неотъемлемой частью программы школьного обучения. Кроме логического и пространственного мышления они развивают понимание ключевых взаимосвязей между сущностями окружающего мира и абстракциями, применяемыми людьми для формализации отношений между ними. Нахождение точек пересечения простейших геометрических фигур – один из типов подобных задач.

Как найти точку пересечения окружностей

Инструкция

Предположим, что даны две окружности, заданные своими радиусами R и r, а также координатами их центров — соответственно (x1, y1) и (x2, y2). Требуется вычислить, пересекаются ли эти окружности, и если да, то найти координаты точек пересечения.Для простоты можно предположить, что центр одной из заданных окружностей совпадает с началом координат. Тогда (x1, y1) = (0, 0), а (x2, y2) = (a, b). Также имеет смысл предполагать, что a ≠ 0 и b ≠ 0.

Таким образом, координаты точки (или точек) пересечения окружностей, если они есть, должны удовлетворять системе из двух уравнений:x^2 + y^2 = R^2,
(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2.

После раскрытия скобок уравнения приобретают вид:x^2 + y^2 = R^2,
x^2 + y^2 – 2ax – 2by + a^2 + b^2 = r^2.

Теперь первое уравнение можно вычесть из второго. Таким образом, квадраты переменных исчезают, и возникает линейное уравнение: -2ax – 2by = r^2 – R^2 – a^2 – b^2. С его помощью можно выразить y через x:y = (r^2 – R^2 – a^2 – b^2 – 2ax)/2b.

Если подставить найденное выражение для y в уравнение окружности, задача сводится к решению квадратного уравнения: x^2 + px + q = 0, гдеp = -2a/2b,
q = (r^2 – R^2 – a^2 – b^2)/2b – R^2.

Корни этого уравнения позволят найти координаты точек пересечения окружностей. Если уравнение неразрешимо в действительных числах, то окружности не пересекаются. Если корни совпадают между собой, то окружности касаются друг друга. Если корни различны, то окружности пересекаются.

Если a = 0 или b = 0, то исходные уравнения упрощаются. Например, при b = 0 система уравнений примет вид:x^2 + y2 = R^2,
(x – a)^2 + y^2 = r^2.

После вычитания первого уравнения из второго получается:- 2ax + a^2 = r^2 – R^2.Его решение: x = – (r^2 – R^2 – a2)/2a. Очевидно, что в случае b = 0 центры обеих окружностей лежат на оси абсцисс, и у точек их пересечения будет одинаковая абсцисса.

Это выражение для x можно подставить в первое уравнение окружности и получить квадратное уравнение относительно y. Его корни — ординаты точек пересечения, если таковые существуют. Аналогичным образом находится выражение для y, если a = 0.

Если a = 0 и b = 0, но при этом R ≠ r, то одна из окружностей заведомо находится внутри другой, и точки пересечения отсутствуют. Если же R = r, то окружности совпадают, и точек их пересечения бесконечно много.

Если ни у одной из двух окружностей центр не совпадает с началом координат, то их уравнения будут иметь вид:(x – x1)^2 + (y – y1)^2 = R^2,
(x – x2)^2 + (y – y2)^2 = r^2.Если перейти к новым координатам, получающимся из старых методом параллельного переноса: x′ = x + x1, y′ = y + y1, то эти уравнения приобретают вид:x′^2 + y′^2 = R^2,
(x′ – (x1 + x2))^2 + (y′ – (y1 + y2))^2 = r^2.Задача, таким образом, сводится к предыдущей. Найдя решения для x′ и y′, можно легко вернуться к изначальным координатам, обратив уравнения для параллельного переноса.

Источники:

  • как найти точки пересечения окружности с прямой

Источник

Единичная числовая окружность на координатной плоскости

  1. Понятие тригонометрии
  2. Числовая окружность
  3. Градусная и радианная мера угла
  4. Свойства точки на числовой окружности
  5. Интервалы и отрезки на числовой окружности
  6. Примеры

п.1. Понятие тригонометрии

Тригонометрия – это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование.

Тригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами.
Начиная с Нового времени, тригонометрия заняла прочное место в физике, в частности, при описании периодических процессов. Например, переменный ток в розетке генерируется в периодическом процессе. Поэтому любой электрический или электронный прибор у вас в доме: компьютер, смартфон, микроволновка и т.п., – спроектирован с использованием тригонометрии.

Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.

Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
2) использование тригонометрических функций в геометрии.

п.2. Числовая окружность

Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.

числовая окружность Числовая окружность (тригонометрический круг) – это окружность единичного радиуса R=1 с центром в начале координат (0;0).
Точка с координатами (1;0) является началом отсчета, ей соответствует угол, равный 0.
Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным; по часовой стрелке – отрицательным.

Например:

Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90&deg, –120°, –180°.

п.3. Градусная и радианная мера угла

Углы можно измерять в градусах или в радианах.
Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).

В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.

Радианной мерой угла называется отношение длины дуги окружности, заключенной между сторонами угла и центром в вершине угла, к радиусу этой окружности.
От радиуса окружности это отношение не зависит.

Например:

Найдем радианную меру прямого угла ∠AOB=90°.
Построим окружность произвольного радиуса r с центром в вершине угла – точке O. Длина этой окружности: L=2πr.
Длина дуги AB: (l_{AB}=frac{L}{4}=frac{2pi r}{4}=frac{pi r}{2}.)
Тогда радианная мера угла: $$ angle AOB=frac{l_{AB}}{r}=frac{pi r}{2cdot r}=frac{pi}{2} $$

$$ 1^{circ}=frac{pi}{180}text{рад}, 1 text{рад}=frac{180^{circ}}{pi}approx 57,3^{circ} $$

Таблица соответствия градусных и радианных мер некоторых углов

30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
(frac{pi}{6}) (frac{pi}{4}) (frac{pi}{3}) (frac{pi}{2}) (frac{2pi}{3}) (frac{3pi}{4}) (frac{5pi}{6}) (pi) (frac{3pi}{2}) (2pi)

п.4. Свойства точки на числовой окружности

Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)

числовая окружность Каждому действительному числу t на числовой окружности соответствует точка Μ(t).
При t=0, M(0)=A.
При t>0 двигаемся по окружности против часовой стрелки, описывая дугу
⌒ AM=t. Точка M – искомая.
При t<0 двигаемся по окружности по часовой стрелке, описывая дугу
⌒ AM=t. Точка M – искомая.

Например:

Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac{pi}{6}, frac{pi}{4}, frac{pi}{2}, frac{2pi}{3}, pi), а также (-frac{pi}{6}, -frac{pi}{4}, -frac{pi}{2}, -frac{2pi}{3}, -pi)
Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности.

Каждой точке M(t) на числовой окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел t с точностью до полного периода 2π:
$$ M(t) = M(t+2pi k), kinmathbb{Z} $$

Например:

Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac{pi}{6}, frac{13pi}{6}, frac{25pi}{6}), и (-frac{11pi}{6}).
Все четыре точки совпадают, т.к. begin{gather*} Mleft(frac{pi}{6}right)=Mleft(frac{pi}{6}+2pi kright)\ frac{pi}{6}-2pi=-frac{11pi}{6}\ frac{pi}{6}+2pi=frac{13pi}{6}\ frac{pi}{6}+4pi=frac{25pi}{6} end{gather*}

п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности

Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.

Например:

п.6. Примеры

Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?

Пример 1

Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: begin{gather*} BE=30^{circ}=frac{pi}{6}.\ EC=60^{circ}=frac{pi}{3}.\ AE=EC+CD=90^{circ}+30^{circ}=120^{circ}=frac{2pi}{3}.\ ED=EC+CD=60^{circ}+90^{circ}=150^{circ}=frac{5pi}{6}. end{gather*}

Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac{pi}{2}; frac{3pi}{4}; frac{7pi}{6}; frac{7pi}{4}).

Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. begin{gather*} -frac{pi}{2}=-90^{circ}, frac{3pi}{4}=135^{circ}\ frac{7pi}{6}=210^{circ}, frac{7pi}{4}=315^{circ} end{gather*} Пример 2

Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac{11pi}{2}; 5pi; frac{17pi}{6}; frac{27pi}{4}).

Выделяем из дроби целую часть, отнимаем/прибавляем один или больше полных оборотов (2πk – четное количество π), чтобы попасть в промежуток от 0 до 2π.
Далее – действуем, как в примере 2. begin{gather*} -frac{11pi}{2}=frac{-12+1}{2}cdotpi=-6pi+frac{pi}{2}rightarrow frac{pi}{2}=90^{circ}\ 5pi=4pi+pirightarrow pi=180^{circ}\ frac{17pi}{6}=frac{18-1}{6}pi=3pi-frac{pi}{6}rightarrow pi-frac{pi}{6}=frac{5pi}{6}\ frac{27pi}{4}=frac{28-1}{4}pi=7pi-frac{pi}{4}rightarrow pi-frac{pi}{4}=frac{3pi}{4} end{gather*}		 Пример 3

Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.

Пример 4 Сравниваем каждое число с границами четвертей: begin{gather*} 0, fracpi2approxfrac{3,14}{2}=1,57, piapprox 3,14\ 3pi 3cdot 3,14\ frac{3pi}{2}approx frac{3cdot 3,14}{2}=4,71, 2piapprox 6,28 end{gather*}

(fracpi2lt 2lt pi Rightarrow ) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
(pilt 4lt frac{3pi}{2} Rightarrow ) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
(frac{3pi}{2}lt 5lt 2pi Rightarrow ) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
(7gt 2pi), отнимаем полный оборот: (0lt 7-2pilt fracpi2Rightarrow) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.

Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек ((kinmathbb{Z})), запишите количество полученных базовых точек.

Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.

Источник

Сегодня поговорим об единичной окружности 🧑‍🏫

 

Можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота?🤔

Ну, конечно, можно! Записывай и запоминай общую формулу для нахождения координат точки:

x=x0+r⋅cos δ

y=y0+r⋅sin δ

x0,y0 — координаты центра окружности;

r — радиус окружности;

δ —угол поворота радиуса вектора.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter. Мы обязательно поправим!

Источник

Добавить комментарий