Как найти координаты точки если известно расстояние

Когда мы строим ломаную или кривую, иногда необходимо вместо привычных декартовых X,Y-координат задавать точку кривой через угол и расстояние. Ни в GDI, ни в GDI+, нет инструментов, чтобы задать координаты точки по углу от произвольной прямой и расстоянию.

Зато координаты можно очень легко посчитать. Вот этим сейчас и займемся. А потом найдем угол между двумя прямыми.

Найти координаты по углу и расстоянию

Если прямая, от которой необходимо отложить угол, параллельна оси X, формулы для нахождения координат достаточно очевидны.

Рис1. Прямая отстоит на угол от оси X

Где:

L — расстояние, или длина прямой (P1, P2)

А — угол, на который отстоит прямая (P1, P2) от прямой (P0, P1). Отрицательное значение угла означает — против часовой стрелки.

Теперь придадим прямой (P0, P1) наклон.

A (синий) — это угол, на который отстоит (P1, P2) от прямой (P0, P1);

В (красный) — угол на между прямой (P0, P1) и осью X;

C (оранжевый) — угол на между прямой (P1, P2) и осью X.

Задача сводится к нахождению угла C. Как нетрудно убедится по рисунку:

Угол А нам известен. Угол B найдем через arctan2. Функция arctan2 есть во множестве языков. Возможно, будет называться atan2.

Таким образом, функция для нахождения координат точки выглядит так:

И что, всегда работает? Всегда.

Найти угол по трем координатам

Рассмотрим процесс, обратный нахождению координаты по углу. Теперь будем находить угол между отрезками ломаной. Мы в плоскости работаем в декартовых координатах. Меняем мышкой координаты X, Y. А ситуация может возникнуть такая, что для предметной области важно хранить данные в полярных координатах.

Функция такая:

Более продвинутую функцию можно найти в статье Пересечение прямых, угол и координаты пересечения.

---

Друзья, спасибо за внимание!

Оставляйте комментарии. Подписывайтесь на телегу.

В группе комментариев уже потихоньку становится интересно )))

Veinar, я думаю, что существуют две точки, принадлежащие заданной прямой и находящиеся на заданном расстоянии от заданной плоскости. Не вдаваясь в подробности вычислений, могу предложить два способа решения задачи.

Первый способ заключается в том, что нужно найти плоскости, параллельные заданной и расположенные на заданном расстоянии от неё. Затем нужно найти точки пересечения заданной прямой с найденными плоскостями.

Второй способ заключается в том, что находится точка пересечения заданных прямой и плоскости. Затем находятся расстояния от точки [math](1,~0,~-1)[/math] до заданной плоскости и до найденной выше точки. Затем рассматриваются подобные треугольники, расположенные в плоскости, перпендикулярной заданной плоскости, и проходящей через заданную прямую.

Вроде бы так…

Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости

1. Расстояние между двумя точками.

Теорема
1.
Для любых двух точек
иплоскости расстояниемежду ними выражается формулой:

.
(1.1)

Например,
если
даны точки
и,
то расстояние между ними:

.

2. Площадь треугольника.

Теорема
2.
Для любых точек

,
не лежащих на одной прямой, площадь
треугольника
выражается формулой:

.
(1.2)

Например,
найдем площадь треугольника, образованного
точками
,и.

.

Замечание.
Если площадь треугольника равна нулю,
это означает, что точки лежат на одной
прямой.

3. Деление отрезка в заданном отношении.

Пусть
на плоскости дан произвольный отрезок

и
пусть

–любая
точка этого отрезка, отличная от точек
концов. Число
,
определенное равенством,
называетсяотношением,
в
котором точка
делит отрезок.

Задача
о делении отрезка в данном отношении
состоит в том, чтобы по данному отношению
и данным координатам точек

и
найти координаты точки.

Теорема
3.
Если
точка
делит отрезок
в
отношении

,
то
координаты этой точки определяются
формулами:
(1.3), где– координаты точки,– координаты точки.

Следствие:
Если
– середина отрезка

,
где
и,
то(1.4) (т.к.).

Например.
Даны точки
и.
Найти координаты точки,
которая в два раза ближе к,
чем к

Решение:
Искомая точка
делит
отрезок

в
отношении
так как,
тогда,,
получили

.

Полярные координаты

Наиболее
важной после прямоугольной системы
координат является полярная система
координат. Она состоит из некоторой
точки
,
называемойполюсом,
и исходящего из нее луча
–полярной
оси.
Кроме того, задается единица масштаба
для измерения длин отрезков.

Пусть
задана полярная система координат и
пусть
– произвольная точка плоскости. Пусть
–
расстояние от точки

до
точки
;– угол, на который нужно повернуть
полярную ось для совмещения с лучом.

Полярными
координатами точки
называются числаи.
При этом числосчитается первой координатой и называетсяполярным
радиусом,
число
– второй координатой и называетсяполярным
углом.

Обозначается
.
Полярный радиус может иметь любое
неотрицательное значение:.
Обычно считают, что полярный угол
изменяется в следующих пределах:.
Однако в ряде случаев приходится
определять углы, отсчитываемые от
полярной оси по часовой стрелке.

Связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами.

Будем
считать, что начало прямоугольной
системы координат находится в полюсе,
а положительная полуось абсцисс совпадает
с полярной осью.

Пусть
– в прямоугольной системе координат и– в полярной системе координат. Определен– прямоугольный треугольник с.
Тогда(1.5).
Эти формулы выражают прямоугольные
координаты через полярные.

С
другой стороны, по теореме Пифагора
и

(1.6)
– эти формулы, выражают полярные
координаты через прямоугольные.

Заметим,
что формула
определяет два значения полярного угла,
так как.
Из этих двух значений углавыбирают тот, при котором удовлетворяются
равенства.

Например,
найдем полярные координаты точки
..или,
т.к.I
четверти.

Пример
1:
Найти точку, симметричную точке

относительно
биссектрисы первого координатного
угла.

Решение:

Проведем
через точку А
прямую l₁,
перпендикулярную биссектрисе l
первого координатного угла. Пусть
.
На прямой
l₁
отложим отрезок
СА₁,
равный
отрезку
АС.
Прямоугольные треугольники
АСО
и
А₁СО
равны
между собой (по двум катетам). Отсюда
следует, что |ОА|
= |OA₁|.
Треугольники
ADO
и
ОЕА₁
также равны между собой (по гипотенузе
и острому углу). Заключаем, что
|AD|
= |ОЕ|
= 4,
|OD| = |EA₁|
=
2, т.е. точка имеет координаты х
= 4, у = -2,
т.е. А₁(4;-2).

Отметим,
что имеет место общее утверждение: точка
A₁,
симметричная точке

относительно биссектрисы первого и
третьего координатных углов, имеет
координаты
,
то есть.

Пример
2:
Найти точку, в которой прямая, проходящая
через точки
и
,
пересечет ось
Ох.

Решение:

Координаты
искомой точки
С
есть (x;
0). А так как точки
А,
В и
С
лежат на одной прямой, то должно
выполняться условие (x₂-x₁)(y₃-y₁)-(x₃-x₁)(y₂-y₁)=0
(формула (1.2), площадь треугольника ABC
равна
нулю!), где

–
координаты точки А,
– точкиВ,
– точкиС.
Получаем
,
т.е.,
,
.
Следовательно, точка
С
имеет координаты
,,
т.е..

Пример
3: В
полярной системе координат заданы точки
,.
Найти:
а)
расстояние между точками

и
;
б)
площадь треугольника
ОМ₁М₂
(О
– полюс).

Решение:

а)
Воспользуемся формулами (1.1) и (1.5):

,

то
есть,
.

б)
пользуясь формулой для площади
треугольника со сторонами
а
и
b
и углом
между ними (),
находим площадь треугольника
ОМ₁М₂.
.

Рассмотрим первый пример. Пусть в плоскости координат задан двумя точками некий отрезок. В данном случае его длину мы можем найти, применяя теорему Пифагора.

Итак, в системе координат начертим отрезок с заданными координатами его концов (x1; y1) и (x2; y2) . На оси X и Y из концов отрезка опустим перпендикуляры. Отметим красным цветом отрезки, которые являются на оси координат проекциями от исходного отрезка. После этого перенесем параллельно к концам отрезков отрезки-проекции. Получаем треугольник (прямоугольный). Гипотенузой у данного треугольника станет сам отрезок АВ, а его катетами являются перенесенные проекции.

Вычислим длину данных проекций. Итак, на ось Y длина проекции равна y2-y1, а на ось Х длина проекции равна x2-x1. Применим теорему Пифагора: |AB|² = (y2 – y1)² + (x2 – x1)². В данном случае |AB| является длиной отрезка.

Если использовать данную схему для вычисления длины отрезка, то можно даже отрезок и не строить. Теперь высчитаем, какова длина отрезка с координатами (1;3) и (2;5). Применяя теорему Пифагора, получаем: |AB|² = (2 – 1)² + (5 – 3)² = 1 + 4 = 5. А это значит, что длина нашего отрезка равна 5:1/2.

Рассмотрим следующий способ нахождения длины отрезка. Для этого нам необходимо знать координаты двух точек в какой-либо системе. Рассмотрим данный вариант, применяя двухмерную Декартову систему координат.

Итак, в двухмерной системе координат даны координаты крайних точек отрезка. Если проведем прямые лини через эти точки, они должны быть перпендикулярными к оси координат, то получим прямоугольный треугольник. Исходный отрезок будет гипотенузой полученного треугольника. Катеты треугольника образуют отрезки, их длина равна проекции гипотенузы на оси координат. Исходя из теоремы Пифагора, делаем вывод: для того чтобы найти длину данного отрезка, нужно найти длины проекций на две оси координат.

Найдем длины проекций (X и Y) исходного отрезка на координатные оси. Их вычислим путем нахождения разницы координат точек по отдельной оси: X = X2-X1, Y = Y2-Y1.

Рассчитаем длину отрезка А, для этого найдем квадратный корень:

Если наш отрезок расположен между точками, координаты которых 2;4 и 4;1, то его длина, соответственно, равна √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61.

Этот онлайн калькулятор рассчитывает длину отрезка и координаты середины отрезка (средней точки) по декартовым координатам концов отрезка. Отрезок и средняя точка отображаются на графике, также на графике показан графический способ нахождения середины отрезка.

Эта страница существует благодаря следующим персонам

Timur

• Статья : Расчет длины отрезка и координат середины отрезка по двум точкам – Автор, Переводчик en – ru
• Калькулятор : Расчет длины отрезка и координат середины отрезка по двум точкам – Автор, Переводчик en – ru

Этот онлайн калькулятор рассчитывает длину отрезка и координаты середины отрезка по введенным декартовым координатам двух точек – концов отрезка.

Формула вычисления расстояния между двумя точками и это формула длины гипотенузы прямоугольного треугольника . Координаты середины отрезка – среднее арифметическое координат точек .

Отрезок и средняя точка отображаются на графике. Также среднюю точку можно найти построением. Для этого на графике надо построить две дуги с центрами на концах отрезка и с радиусом равным длине отрезка. Затем надо построить прямую линию между точками пересечения дуг. Эта линия пересечет исходный отрезок в середине.

Отрезком обозначают ограниченный двумя точками участок прямой. Точки – концы отрезка.

Общеизвестный факт, что каждая точка А плоскости имеет свои координаты (х, у).

В данном примере вектор AB задан координатами (х₂— х₁, y₂— y₁). Квадрат длины вектора будет равен сумме квадратов его координат. Следовательно, расстояние d между точками А и В, или, что то же самое, длина вектора АВ, вычисляется согласно формуле:

Эта формула длины отрезка предоставляет возможность рассчитывать расстояние между двумя произвольными точками плоскости, при условии, что известны координаты этих точек

Вышеуказанную формулу длины отрезка можно доказать и другим способом. В системе координат заданы координаты крайних точек отрезка координатами его концов(х₁y₁) и (х₂,у₂).

Прочертим прямые лини через эти точки перпендикулярно к осям координат, в результате имеем прямоугольный треугольник. Первоначальный отрезок является гипотенузой образовавшегося треугольника. Катеты треугольника сформированы отрезками, их длиной будет проекция гипотенузы на оси координат.

Установим длину этих проекций.

На ось у длина проекции равна y₂ – y₁, а на ось х длина проекции равна х₂ – х₁. На основании теоремы Пифагора видим, что |AB|² = (y₂ – y₁)² + (x₂ – x₁)².

В рассмотренном случае |AB| выступает длиной отрезка.

Вычислим длину отрезка АВ, для этого извлечем квадратный корень. Результатом является все та же формула длины отрезков по известным координатам конца и начала.