Как найти координаты точки геометрия 9 класс

Прежде чем
приступить к изучению нового материала, давайте вспомним, что

Для любого угла  синусом
угла  называется
ордината  точки
М,

а косинусом угла
 –
абсцисса  точки
М.

Тангенсом угла  называется
.

Котангенсом угла
 называется
.

 основное
тригонометрическое тождество

Если ,
то:

Если ,
то:

Еще сегодня нам
надо вспомнить о том, что координаты векторы равны разности соответствующих
координат его конца и начала.

Координаты вектора  равны
разности соответствующих координат его конца и
начала :
.

Еще вспомним лемму
о коллинеарных векторах.

Лемма. Если
векторы  и
 коллинеарны
и ,
то существует такое число ,
что .
 

Рассмотрим задачу.
Определить координаты точки А, которая расположена в верхней координатной
полуплоскости.

Построим в этой полуплоскости
единичную полуокружность. Соединим точку А с центром полуокружности и обозначим
за М точку пересечения отрезка ОА с полуокружности. Координаты точки М (.

Определим
координаты вектора ,
поскольку координаты точки О (0;0).

,
 

С другой стороны,

Теперь давайте
проанализируем знаки координат точки А.

Координаты точки зависят от
величины отрезка ОА, (а это всегда положительное число), и от знака синуса и
косинуса угла α. Синус произвольного угла из промежутка от 0 до 180
градусов находится в промежутке от 0 до 1, то есть принимает не отрицательные
значения. Косинус угла может принимать значения от -1 до 1, то есть быть как
положительным, так и отрицательным. Значит, можно записать, что ;
;
.

Решим несколько
задач.

Задача. Угол
между лучом ,
пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью равен
.
Найдите координаты точки ,
если:

а) , 
; 
б) , 
; 
в) , 
.

Решение.

 

 

а)  

  

      

б)   

 

 

в)  

 

 

Задача. Найти
угол между лучом  и
положительной полуосью ,
если:

а) ; 
б) ; 
в) ;
г) .

Решение.

 

 

 

 

Запишем формулы для
определения координат точки А.

а)

 

 

 

б)

 

 

 

в)

 

 

 

г)  

 

 

 

Подведем итоги
урока. Сегодня на уроке мы вывели формулы для вычисления координат точки и
рассмотрели, как они используются при решении задач.

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

на главную

Как найти координаты точки

Поддержать сайт

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов
5. Формулы для вычисления координат точки

Советуем посмотреть:

Синус, косинус, тангенс, котангенс

Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения.

Теорема о площади треугольника

Теорема синусов

Теорема косинусов

Решение треугольников

Измерительные работы

Угол между векторами

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение в координатах

Свойства скалярного произведения векторов

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 1018,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 8,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 10,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

Конспект
На координатной плоскости изобразим окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице.

Эта окружность задаётся следующим уравнением: x² + y² = 1
Рассмотрим часть этой окружности – полуокружность, расположенную в первой и второй четвертях. Координаты любой точки этой полуокружности должны удовлетворять уравнению данной окружности.

Координаты точки М – это значения косинуса и синуса угла α, который соответствует этой точке.

x = cos⁡α, y = sin⁡α
Подставив в формулу окружности выражения для x и y получим следующее равенство: cos² α + sin² α = 1 (0° ≤ α ≤ 180°).
Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством и выполняется для любого угла от нуля градусов до ста восьмидесяти градусов.
В математике существуют формулы, которые позволяют упростить вычисления синусов и косинусов углов. Эти формулы называются формулами приведения:
Если 0° ≤ α ≤ 90°, то
sin⁡(90° – α) = cos⁡α,
cos(90° – α) = sin⁡α.
Если 0° ≤ α ≤ 180°, то
sin⁡(180° – α) = sin⁡α.
cos(180° – α) = –cos⁡α
Вычислим с помощью формул приведения значения синуса угла, равного 150°. Представим угол, равный 150° в виде разности 180° и 30°, воспользуемся соответствующей формулой приведения: sin⁡150° = sin⁡(180° – 30°) = sin⁡30° = 0,5

В верхней полуплоскости прямоугольной системы координат Оху отметим точку А и выразим координаты этой точки через длину отрезка ОА и угол α между лучом ОА с положительной полуосью Ох. Построим в верхней полуплоскости единичную полуокружность. Проведём отрезок ОА и обозначим точку пересечения построенного отрезка с полуокружностью точкой М. Абсцисса точки М равна косинусу соответствующего угла α, а ордината точки М – синусу угла α. Определим координаты вектора ОА. Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его начала и конца.
Найдём координаты вектора ОМ:
(ОМ) ⃗(cos α – 0; sin α – 0),
(ОM) ⃗(cos α; sin α).
(ОА) ⃗↑↑(ОМ) ⃗, тогда (ОА) ⃗= ОА ∙ (ОМ) ⃗
Запишем равенство векторов в координатах. ((х;у)) ⃗= ((ОА ∙ cos⁡α; ОА ∙ sin⁡α)) ⃗
Так как векторы равны, то равны их соответствующие координаты.
x = ОА ∙ cos α
у = ОА ∙ sin α
Мы выразили координаты точки А через длину отрезка АО и угол α между лучом ОА с положительной полуосью Ох: А (ОА ∙ cos α; ОА ∙ sin α)

Прямоугольная система координат

Чтобы определить понятие координат точек, нам необходимо ввести систему координат, в которой мы и будем определять ее координаты. Одна и та же точка в разных системах координат может иметь различные координаты. Здесь мы будем рассматривать прямоугольную систему координат в пространстве.

Возьмем в пространстве точку $O$ и введем для нее координаты $(0,0,0)$. Назовем ее началом системы координат. Проведем через нее три взаимно перпендикулярные оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$, как на рисунке 1. Эти оси будут называться осями абсцисс, ординат и аппликат, соответственно. Осталось только ввести масштаб на осях (единичный отрезок) – прямоугольная система координат в пространстве готова (рис. 1)

Координаты точки

Теперь разберем, как определяют в такой системе координаты любой точки. Возьмем произвольную точку $M$ (рис. 2).

Построим на координатных осях прямоугольный параллелепипед, так, что точки $O$ и $M$ противоположные его вершины (рис. 3).

«Координаты точки и координаты вектора. Как найти координаты вектора» 👇

Тогда точка $M$ будет иметь координаты $(X,Y,Z)$, где $X$ – значение на числовой оси $Ox$, $Y$ – значение на числовой оси $Oy$, а $Z$ – значение на числовой оси $Oz$.

Координаты вектора по двум точкам и формула нахождения

Чтобы узнать, как найти вектор по координатам двух точек, необходимо рассмотреть введенную нами ранее систему координат. В ней от точки $O$ по направлению оси $Ox$ отложим единичный вектор $overline{i}$, по направлению оси $Oy$ – единичный вектор $overline{j}$, а единичный вектор $overline{k}$ нужно направлять по оси $Oz$.

Для того чтобы ввести понятие координат вектора, введем следующую теорему (здесь ее доказательство мы рассматривать не будем).

Так как векторы $overline{i}$, $overline{j}$ и $overline{k}$ построены на координатных осях прямоугольной системы координат, то они, очевидно, не будут принадлежать одной плоскости. Значит любой вектор $overline{δ}$ в этой системе координат, по теореме 1, может принимать следующий вид

$overline{δ}=moverline{i}+noverline{j}+loverline{k}$ (1)

где $n,m,l∈R$.

Линейные операции над векторами