Как найти координаты точки изображающей комплексное число

Пример 8.Найти координаты точки m, изображающей комплексное число .

Решение.

Выделим действительную и мнимую часть этого числа:

Пример 9.Найти все значения корней:

а) ;

б) .

Решение.

а) Запишем комплексное число 1 в тригонометрической форме

1 = cos 0° + i sin 0°; затем по формуле Муавра, находим

Следовательно,

б) Записав комплексное число   в тригонометрической форме

 находим

 Отсюда

Пример 10.Изобразить корни 6 степени из  на комплексной плоскости.

Решение.

Представим число  как комплексное в алгебраической форме записи, т.е. в виде . Получим . Таким образом . После чего переведем его в тригонометрическую форму: , , т. е. . Тогда . Используем формулу для корней  степени из комплексного числа  в тригонометрической форме: , где  Получаем , где

При : .

При : .

При : .

При : .

При : .

При : .

Пример 11.Решить уравнение: z⁶ + 1 = 0.

Решение.

Имеем . Для вычисления всех значений  применим формулу Муавра:

Отсюда

Пример 12. Доказать, что   

.

Решение.

Левую часть разложим по формуле суммы кубов двух чисел:

Пример 13.Найти число, сопряженное с числом

.

Решение.

Заметим, что . Тогда

Тогда сопряженное число .

Пример 14.Установить, при каких действительных значениях x и y являются противоположными следующие комплексные числа:  и .

Решение.

Приведем числа z₁ и z₂ к алгебраической форме записи:

Согласно условию задачи, получаем систему:

(1)

Умножим обе части первого уравнения на 5, а второго – на 2 и сложим получившиеся при этом результаты:

– однородное уравнение.

Разделим обе его части на y², получим: – квадратное уравнение относительно . Решив его, получим   и , т. е. y = -2x или . Подставим эти значения, например, в первое уравнение из (1), получим .

Тогда y₁ = -2, y₂ = 2.

Аналогично, при получаем – это уравнение действительных решений не имеет.

Ответ: {(1; -2), (-1; 2)}.

Уважаемые студенты!
Заказать решение задач по 200+ предметам можно здесь всего за 10 минут.

Изображение комплексных чисел на комплексной плоскости

Комплексное число записывается следующим образом $$z = x + iy,$$ где $x = Re z$ действительная часть, а $y = Im z$ мнимая. Для того, чтобы изобразить комплексное число нужно построить оси координат, обозначив горизонтальную $Im z$ и вертикальную $Re z$.

После этого берем значения $x$ и $y$ от данного комплексного числа и отмечаем точки соответствующие осям координат $Re z$ и $Im z$.

Иногда, требудется провести вектор от начала осей координат $(0,0)$ к точке $(x,y)$, что не является обязательным. Обычно так делают, если в условии задачи дано всего одно комплексное число.

Комплексные
числа возникли в связи с задачей решения
квадратных уравнений. Оставаясь в
множестве действительных чисел,
невозможно решить квадратное уравнение,
дискриминант которого меньше нуля.

Комплексные
числа необходимы в различных приложениях
математики. В частности, теория функций
комплексной переменной является
действенным инструментом при использовании
математических методов в различных
областях науки.

Комплексным
числом называется выражение вида

где
-действительные
числа, -мнимая единица.

Итак,
комплексным числом называется
всякая упорядоченная пара
действительных
чисел
иДействительное
числоназывают абсциссой комплексного числадействительное
числоего
ординатой

или

Всякое
комплексное число можно изобразить на
плоскости
в
виде точки
Плоскость,
на которой изображаются комплексные
числа, называется плоскостью комплексного
переменного

Рис.
62

Плоскость
комплексного переменного

Действительные
числа изображаются точками оси абсцисс,
мнимые числа изображаются точками оси
ординат. Поэтому ось
называют
действительной осью, а ось ординат
мнимой
осью.

Соединив
точку
с началом координат, получим векторВ
некоторых случаях удобно считать
геометрическим изображением комплексного
числавекторПри этом действительная и мнимая части
числа являются проекциями векторана действительную и мнимую оси.

Обозначим
через

и
полярные координаты точкисчитая
начало координат полюсом, а положительное
направление осиполярной
осью.

Рис.
63

Геометрическое
изображение комплексного числа

Тогда
имеют место следующие равенства

Следовательно,
комплексное число
можно представить в виде

– это
есть тригонометрическая форма записи
комплексного числа
называется
модулем комплексного числааргументом
комплексного числа

30.2. Модуль и аргумент комплексного числа

Обозначение

определяется
с точностью до слагаемого

Модуль
и аргумент находятся следующим образом

так
как

Так
как

Пусть

найдем
произведение этих чисел:

Произведение
двух комплексных чисел есть такое
комплексное число, модуль которого
равен произведению модулей сомножителей,
а аргумент равен сумме аргументов
сомножителей.

Найдем
частное двух комплексных чисел

Модуль
частного двух комплексных чисел равен
частному модулей делимого и делителя,
аргумент частного равен разности
аргументов делимого и делителя.

Аргумент
комплексного числа считается положительным,
если он отсчитывается от положительного
направления оси
против
часовой стрелки, и отрицательным, если
он отсчитывается по часовой стрелке.
Аргумент
определяется
неоднозначно, а с точностью до слагаемоголюбое
целое число.

30.3. Различные формы записи комплексного числа. Формула Эйлера. Алгебраические действия над комплексными числами

Форма
записи комплексного числа
называетсяалгебраической
формой комплексного
числа
Еслито
числоназывается
мнимым, еслито
числобудет действительным.

Два
комплексных числа
отличающиеся
только знаками мнимой части, называютсякомплексно
сопряженными числами.

Комплексное
число
равно
нулю тогда, и только тогда, когда его
действительная и мнимая части равны
нулю

Алгебраическая
форма записи существенно облегчает
выполнение арифметических операций
над комплексными числами, как над
обычными двучленами, учитывая, что

Пусть

Сложение
чисел
и:

Вычитание
комплексных чисел
и:

Умножение
комплексных чисел
и:

Произведение
сопряженных комплексных чисел равно
сумме квадратов их действительной и
мнимой частей

Деление
комплексных чисел
и:

Рассмотрим
пример. Представить
комплексные числа в алгебраической
форме и выполнить операции сложения,
вычитания, умножения и деления

Показательная
форма записи комплексного числа.

Пусть
Определим
показательную функцию комплексного
переменного

Положим
получим
формулу Эйлера, выражающую показательную
функцию с мнимым показателем через
тригонометрические функции

Напомним,
что комплексное число в тригонометрической
форме имеет вид

тогда,
применив к записи комплексного числа
в показательной форме, получим

Арифметические
действия над комплексными числами в
показательной форме выполняются на
основании свойств показательной функции.

Пусть

Произведение
чисел
и

Частное
чисел
и:

Возведение
комплексного числа в степень:

Извлечение
корня n-й
степени из комплексного числа
:

Контрольные
вопросы

1. Какие
   числа называют комплексными?

2. Записать
   различные формы комплексного числа.

3. В
   каком случае применяют формулу Эйлера?

4. Перечислить
   алгебраические действия над комплексными
   числами.

Лекция
№31. Дифференциальные уравнения

31.1.
Задачи, приводящие к составлению и
решению дифференциальных уравнений.

31.2.
Дифференциальные уравнения первого
порядка. Теорема Коши. Понятие об общем
и частном решении дифференциального
уравнения. Дифференциальные уравнения
с разделяющими переменными.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Раздел III

ОСНОВЫ  ТЕОРИИ  КОМПЛЕКСНЫХ  ЧИСЕЛ

Глава 8. Комплексные
числа

Тема 8.1. Комплексные числа

1. Определение комплексных чисел в
алгебраической форме

Одним из основных понятий математики является по­нятие числа.
Это понятие прошло длительный путь раз­вития, обогащаясь новым содержанием. Исторически
первыми возникли в практике и были вве­дены в науку натуральные числа,
которые являются инст­рументом для счета количества отдельных
предметов, на­пример количества пальцев на руке. Они образуют беско­нечное множество, которое принято
обозначать буквой N.

Затем возникла необходимость во введении долей единицы и количества
этих долей (например, для измерения длин от­резков), т. е. было
введено так называемое дробное число.

Далее те же потребности измерения привели к необ­ходимости
введения отрицательных чисел (например, если за начало отсчета
берется уровень моря, то для отметки положения горы берется положительное число
— высота горы, а для отметки положения глубины моря — отрица­тельное число). Целые отрицательные числа вместе с на­туральными числами и числом
0 образуют множество це­лых чисел, обозначаемое буквой Z

Множество, состоящее из всевозможных положитель­ных и отрицательных
целых и дробных чисел и числа Q, называется множеством рациональных
чисел и обозначает­ся буквой Q.

Очевидно, что N ZQ.

Потребности практики, а также внутренние требования самой
математики, ее логического развития, показали не­достаточность
множества рациональных чисел для реше­ния различных задач. Например, дано уравнение х²
= 2,

или х = . Но не существует такого рационального
чис­ла, квадрат которого равен 2. Такие числа получили не­знание иррациональных чисел.

Поэтому появилась необходимость создать новое рас­ширенное множество
чисел, в котором для каждой точки числовой оси находилось бы числовое значение
и в кото­ром решалось
бы любое уравнение вида х^п = а.

Такое множество получило название вещественных(действительных
) чи­сел и обозначается буквой R, причем QR.

Развитие науки и практики показало недостаточность введенного
множества вещественных чисел.

Например,
даже такое простейшее квадратное урав­нение,
как   х² + 1 = 0,
не имеет решения в множестве действительных чисел, так как не существует такого действительного числа     а, что
        а² + 1 = 0. Это показывает необходимость дальнейшего расширения понятия числа. Кроме того, такие науки, как
электротех­ника и различные разделы физики, рассматривают вели­чины сложной
природы, которые не могут быть охваче­ны
понятием вещественных чисел.

В связи с этим  возникла потребность нового расшире­ния понятия
числа.

Итальянские
математики XVI в. Дж. Кардано и Р. Бомбелли,
решая квадратные уравнения вида  х²
+ а² = 0, ввели в рассмотрение символ  , который в XVIII в. петербургский
математик Л. Эйлер(1708-1783) обозначил через i. Формальное решение уравнения х² + а² = 0 при использовании
этого символа сводится к тому, что   или, используя обозначение Эйлера,   ai.

Таким образом, возникает необходимость в расширении
множества действительных чисел до нового множества, такого, чтобы в этом мно­жестве уравнения вида  х² + а² = 0  имели
решения.

Ниже мы изложим краткую теорию такого расширения.

Определение 1. Комплексным
числом z называется выражение ви­да а+bi, a и b—действительные числа, а символ    i   
удовлетворяет условию  i = – 1

Число а называется действительной частью комплексного
числа, bi  — мнимой частью, i— мнимой единицей.

Множество комплексных чисел обозначается
буквой С.

Заметим,
что множество R действительных чисел содержится в
множестве комплексных чисел  С: R  C . В самом деле, всякое действительное число а можно рассматривать как
комплексное число вида    а+0i.

Комплексные
числа вида bi называются
чисто мнимыми. Они по­лучаются из
комплексных чисел    z₁ = а + bi   при а = 0.

Определение 2. Два
комплексных числа   z₁ = а + bi  и   z₂ = с + di   на­зываются
равными, если, соответственно, равны их действительные части и коэффициенты
при мнимой единице, т. е. если    а = с,   b= d.

Комплексное число z = 0 + 0i называется нулем и
обозначается че­рез 0. Оно совпадает с числом нуль множества действительных
чисел. Таким образом,   z = а + bi = 0   тогда
и только тогда, когда а = 0 и b= 0, или, что то
же самое, когда   а²+ b² = 0.

Определение 3. Комплексные
числа   а + bi  и   а — bi  называются
ком­плексно-сопряженными.

Число, комплексно-сопряженное числу z, обозначается через  . Так, если   z
= а + bi,  то
      = а — bi, если же z
= а − bi, то  = а + bi. По­нятие
сопряженности взаимное. Например, для комплексного числа    z = = -2 + 4i   комплексно-сопряженным
является комплексное число     = – 2 – 4i; точно также
для комплексного числа   -2 – 4i   комплексно-со­пряженным
является число    -2 + 4i .

2. Геометрическая   интерпретация
комплексных чисел

Комплексное число   z = а + bi   геометрически
можно представить точкой координатной плоскости   Оху   с координатами
  а, b (рис. 1).

Определение 4.  Плоскость,
служащая для изображения множества комплексных чисел, называется комплексной
плоскостью. Так как любое комплексное число единственным образом определяется
его действительной и мни­мой частями, то каждому
комплексному числу в комплексной плоскости соответствует единственная
точка на плоскости. Очевидно, что справедливо
и обратное утверждение: каждой точке (х; у) плоскости
Оху соответствует единственное комплексное число   z = х + yi.

    

Таким
образом, между множеством комплексных чисел
и множеством точек плоскости существует взаимно-однозначное
соответствие. При этом соответствии всякому действительному числу   z = а + 0i соответствует точка   А(а;
0)  оси абсцисс, а всякому чисто мнимому числу             z = 0 + bi — точка   В(0;
b) оси ординат.
Числу   z = i    соответствует
точка   С(0; 1) (рис. 2). Если каждой точке М комплексной
плоскости поставить в соответствие
радиус-вектор ОМ этой точки, между множеством комплексных чисел
множеством радиус-векторов можно также  установить
взаимно-однозначное соответствие.  Ось Ох будем называть действительной
осью, а ось Оу— мнимой.

Из определения комплексно-сопряженных чисел следует,
что числа z и   на комплекс­ной плоскости расположены симметрично от­носительно
действительной оси (рис. 3).

Ранее мы отметили, что квадратное уравнение  ax²+ bx + c = 0, для которого
дискриминант    D = b² – 4ас < 0, в множестве R
(действительных чисел) не имеет решения, так как корень из отрицательного числа в этом множе­стве не имеет действительного значения. Однако в
множестве С (ком­плексных чисел) такое уравнение имеет два комплексно-сопряженных
решения. В самом деле, пусть дано
квадратное уравнение

ах² + bx + c = 0.

причем D < 0.

Решения этого
уравнения   

,

представим  в виде

,

где уже, а потому  есть некоторое
действительное число.

Следовательно,
решениями квадратного уравнения будут два комплекс­но-сопряженных числа

    ,       .

Пример 1. Решить
квадратное уравнение      .

Решение. Находим:

.

Таким образом,
решениями данного квадратного уравнения будут два комплексно-сопряженных числа

   и     .

Итак, в
множестве комплексных чисел любое квадратное уравнение имеет решение.

3.  Действия над комплексными числами

Действия над комплексными числами определяются таким обра­зом, чтобы для частного случая
действительных чисел эти операции совпадали с известными операциями над ними.

Сумма z комплексных
чисел         и      определяется как комплексное число   
 .   Его обозначают      .

Таким образом,

                                                                                                                  (1)

В частности,
если     ,   то   ,    поэтому    
,   следовательно, сумма
комплексно-сопряженных чисел есть число дейст­вительное. Операцию
сложения легко распространить и на сумму любо­го конечного числа
комплексных чисел. Так, если

, , …,

то

                                .                         (2)

Пример 2. Найти комплексное число   z    из равенства    . 

Решение. Пусть   . Тогда 
    

или   

.

Два комплексных числа равны тогда и только
тогда, когда соответственно равны их
действительные и мнимые части. Следо­вательно,   

х + 4 = 2;

у+ 1 =3.

 Решив эту систему,
находим   х = – 2;   у = 2. Таким образом,   .

Вычитание двух комплексных чисел определяется как операция обратная сложению. Комплексное
число       называется разностью комплексных
чисел    и , если .

Разность комплексных чисел z₁ и z₂,
обозначается   z₁ – z₂–

Из определения
следует, что

                                                                                                                  (3)

В частности,    

                         
.

Умножение двух
комплексных чисел      и      определяется
следующим образом:

                           
.                                                                         
 (4)

Отсюда
следует, что два комплексных числа z₁ = а + b  и  z₂ = с – di можно умножать
по правилу умножения многочленов при условии, что i² = −1. В самом деле,

 (сравните результат с определением
(1)). В частно­сти, если       то   .

Пример 3. Найти произведение комплексных чисел  и  

Решение. Очевидно, что   

Деление вводится как
действие, обратное умножению. Частным от деления комплексного числа     на число      называется
комплексное число     такое, что            ,  т. е.

а₁+ b₁ i = (a₃+ b₃ i)∙(a₂+b₂ i).

Отсюда на основании равенства (4.4)
получаем:

                                              ; .                                   
(5)                        

Решая систему уравнений (5) относительно        
 а₃  и  b₃            находим:

, ,

причем, , так как по
условию  . Таким образом

                               .                                      (6)

Равенство
(6) можно получить путем умножения числителя и знаменателя дроби на число,
комплексно-сопряженное знаменателю.

Пример 3. Найти
частное от деления комплексного числа  на число .

Решение. Очевидно, что

.

Возведение комплексного
числа    в степень   п (п N) рассматривается как
частный случай умножения комплексных чисел:

 (п раз)                                                                          (7)

Найдем натуральные степени мнимой
единицы i. На основании ра­венства (4) получаем:

            ,

и вообще

  

где п — любое
натуральное число.

Пример 4. Найти .

Решение. При делении
числа 59 на 4 имеем: 59 = 14 • 4 + 3, поэтому

.

Предоставляем
проверить самостоятельно, что для комплексно-сопряженных чисел выполняются следующие
равенства:

   ;  ;  ;  .                                       (8)

3.1.
Решение алгебраических уравнений

Многочлены и алгебраические уравнения. Многочленом
(поли­номом или целой рациональной функцией) п-й
степени называется  функция вида

                   p_n (z) = а_n zⁿ + а_n-1z^п-1 +…+a₁z+a_o                                                                   
(9)

где zC, а_o,
а₁, .. . ,а_n— коэффициенты (вообще говоря, комплексные), причем а_п
≠ 0, nN– Уравнение

            а_n zⁿ + а_n-1z^п-1 +…+a₁z+a_o = 0,           а_n ≠ 0,                                                             (10)

называется алгебраическим
уравнением п-й степени. Число z_o для которого р_n(z_о)=0, называется корнем многочлена (9) или уравнения (10).

Теорема Гаусса (основная
теорема алгебры). Всякий много­член ненулевой степени
имеет по крайней мере один корень (вообще говоря,
комплексный).

Число z_o является корнем многочлена р_п
(z) в том и только в том случае,
когда р_п (z) делится без остатка на бином z—z_o, т. е.

                                 
        p_п(z) =
(z—z_о)·q_n–1(z),     

где q_n–1(z) —
многочлен (n −1)-й степени. Если p_n(z)
делится без
остатка на (z—z_o)^k, k ≥1, но не делится на (z—z_o)^{k +1}, то  z_o  назы­вается корнем кратности k  многочлена р_n(z); при этом

p_п(z) = (z—z_o)^k q_n–k (z),     

где q_n–k (z) ≠ 0.

Теорема Гаусса может быть уточнена следующим образом: много­член п-й
степени имеет ровно п корней, если каждый корень считать столько раз,
какова его кратность.

Если
коэффициенты многочлена (9)—действительные числа и   z_o= x_o + iy_o — его комплексный корень, то сопряженное
число     — также корень этого
многочлена, причем корни z₀ и  имеют
одинаковую кратность.

Пусть многочлен  р_n(z)
 имеет корни z₁, z₂,
z₃,…, z_т (т ≤ п) кpатностей соответственно k₁,
k₂, …k_m  (k₁+
k₂+ …+k_m = п) Тогда

его можно
разложить на линейные множители, т. е. справедливо тож­дество

                                         p_п(z) = a_n(z—z₁)^k1(z—z₂)^k2…(z—z_m)^km

Если
при этом коэффициенты многочлена—действительные числа, то, объединяя скобки, соответствующие комплексно сопряжен­ным корням, можно разложить этот многочлен в
произведение линейных и квадратичных
множителей* с действительными коэффици­ентами.

Пример 5. Найти корни многочлена   z⁶ + 2z³ + 1   и разложить
его на множители.

Решение. Так как   z⁶ + 2z³ + 1 = (z³ + 1)², то корнями этого
многочлена яв­ляются корни 3-й степени из   −1:

z₁ = -1;

;

При этом каждый корень имеет кратность k= 2. Разложение этого многочлена на линейные множители имеет вид

 

Объединяя последние
две скобки в один сомножитель, получим раз­ложение на множители с
действительными коэффициентами

z⁶ + 2z³ + 1 = (z +1)²(z² − z + 1)². 

Пример 5.   Решить квадратные уравнения:

     1)  z² + 2z + 5 = 0;   2) 4z²
—2z + 1= 0;    3)  z²+ (5−2i) z + 5(1 − i)
= 0;   4)  (z + 1)⁴ +16 = 0;

     5)   z⁴+18z² + 81=0.

Решение.

1)  z² + 2z + 5 = 0;  D = 4 − 4∙ 5 = 4 –
20 = -16;       z₂ = −1
+ 2i .

2) 4z² − 2z + 1= 0;  D = 4 − 4∙ 4∙
1 = 4 – 16 = -12;      

3)  z²+ (5−2i) z
+ 5(1 − i) = 0;     D = (5−2i)² − 4∙5(1 − i)
= 25 −20i +4i² −20 +20i = 1; 

                   .

4)  (z + 1)⁴ +16 = 0;    
(z + 1)⁴ = −16;      (z + 1)² = ± 4i;    
z + 1 = ± 2 = ± 2;

;           .

5)     
z⁴+18z² + 81=0;   

Обозначим   t = z²
,  тогда имеем

t² +18t + 81=0;     D = 18² – 4 ∙1∙81 = 324-324 = 0;
 два одинаковых корня   t_1,2= -9

t = z²;   
z² = -9;    z_1,2= z_3,4=
± 3i.

Ответ.   1) −1 ± 2i;    
2)    3)  3 ± i;   4) ;
  ;    5)  ± 3i.

4. Полярные координаты точки на плоскости

Возьмем на
плоскости произвольную точку О и некоторую ось Or проходящую через эту точку. Ось может быть
задана, например, еди­ничным вектором ОЕ (рис. 4).

Произвольную
точку М плоскости, не совпадающую с точкой С можно задать
двумя числами:   r — длиной отрезка ОМ и φ  — углом, который
образует отрезок ОМ с осью ОР в положительном направлении

Числа  r  и φ
называются полярными координатами точки М. При этом r  называется полярным радиусом точки
М, а  φ— ее полярным
углом. Совокупность точки О и оси ОР образует систему
координат на плоскости, которая называется полярной системой. Точка
О называется полюсом, а ось ОР— полярной осью.

Так же, как и для декартовых коор­динат точки, полярные
координаты точки будем заключать в круглые скобки.  Так, точка М,
заданная на рис. 5, имеет полярные координаты .

­

Точка О характеризуется
условием   r = 0. Полярный угол    φ  для этой точки не определен.

Будем считать, что полярные координаты точек плоскости изменя­ются в следующих пределах: ; .

Для
построения точки по полярным координатам необходимо по­строить луч с началом в точке О, на котором лежит искомая точка,
и на этом луче от полюса отложить отрезок, длина которого равна полярно­му радиусу.

Пусть на плоскости выбраны одновременно полярные и прямоуголь­ные
системы координат таким образом, что полюс совпадает с началом декартовых
координат, а полярная ось — с положительным направлением оси абсцисс (рис.
6). Если произвольная точка М в полярной системе имеет координатами
числа   r и  φ , а в
прямоугольной   х, у, то очевидно

;                                                          (11)

;    ,                                                          (12)

Таким образом, полярные и прямоугольные координаты одной и той же точки
плоскости при указанном выборе систем координат связа­ны соотношениями (11)
и (12). При этом из соотношения (11) по заданным полярным координатам r и φ определяются
прямоугольные координаты, а из соотношений (12) по заданным прямоугольным ко­ординатам
хи у определяются полярные координаты.
Необходимо учесть, что из второй формулы (12) угол ср определяется не однознач­но. Поэтому, вместо этого
соотношения лучше воспользоваться соот­ношениями   
;   .

Пример.   Даны   полярная   и   прямоугольная 
системы  координат (рис. 7). Найти:              а)
полярные координаты точки ;
       б) прямоугольные координаты точки .

Решение, а) Пользуясь соотношениями (12), получим 

;

 ;   .

Из этих соотношений следует, что точ­ка расположена в четвертой четверти, поэтому ;

б) пользуясь соотношениями   (11),   получим     ; .  Следовательно, .

5.
Тригонометрическая форма комплексного числа

Выберем на
комплексной плоскости вместе с прямоугольной и по­лярную систему координат таким образом, как это изображено на рис. 6 Так как произвольное комплексное число изображается
точкой, то числа х и у являются
ее прямоугольными координатами. Пусть  и— полярные координаты точки М(х;у). Полярный
радиусназывается
модулем, или абсолютной величиной комплексного числа z и обозначается ,
а полярный угол ф называется аргумен­том комплексного
числа и обозначается arg. Так как

 и , то  или

.                                    (13)

Правая
часть (13) называется тригонометрической формой ком­плексного числа.

Запись комплексного
числа z в виде  называется алгебраической
формой комплексного числа. Переход от алгебраической формы записи к
тригонометрической и обратно осуществляется по формулам

;     ;

;    .

Пример 1. Составить
тригонометрическую форму записи ком­плексного числа

Решение. Имеем:  , .

По таблице
тригонометрических функций или на калькуляторе на­ходим .

Следовательно, .

Пример 2. Доказать, что.

Решение. На комплексной плоскости построим числа z₁ и z₂ (рис. 8). Неравенства, подлежащие доказательству, вытекают из известной
теоремы геометрии о сторонах треугольника (разность двух сторон тре­угольника
не больше третьей стороны, а сумма двух сторон не меньше третьей стороны).

Следует
заметить, что для комплексных чисел понятия «больше» и «меньше» лишены смысла,
так как эти числа, в отличие от дейст­вительных,
располагаются на плоскости, точки которой
нельзя линейно упорядочить, в то время как точки прямой могут быть
линейно упорядочены.

5.1. Действия над комплексными числами, заданными в
тригонометрической форме

Пусть даны два
комплексных числа в тригонометрической форме:

                                         (14)

Перемножая их, получим

т. е.

                                          (15)

Таким образом, при умножении ком­плексных чисел в
тригонометрической форме их модули
перемножаются, а аргументы скла­дываются:

Пример 1. Дано

ВЫЧИСЛИТЬ              

Решение. Применяем
формулу (15):            

На комплексной плоскости числа z₁ и z₂ представим,
соответствен­но,
векторами  и (рис. 9). Чтобы построить вектор изображающий комплексное число z = z₁z₂ надо (см.
равенство (11)) векторповернуть на
угол  против часовой стрелки, затем умно­жить его длину на
число r. Это есть
геометрическая интерпретация ум­ножения комплексных чисел.

В частности, так как 
, то умножение любого
комплексного
числа z на число i с геометрической точки зрения
можно рассматривать как операцию
поворота вектора, изображающего число z, на угол  в
положительном направлении (против движения часовой стрелки).

     Разделим теперь
первое комплексное число (14) на вто­рое:

          (имея   i² = -1, получим:)

,      где    

Итак,

Таким
образом, при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются:

 

Пример 2. Дано , . Вычислить.

Решение.    Имеем:

Для построения вектора  изображающего комплексное число , нужно вектор изображающий комплексное число z₁, повернуть на угол  по часовой стрелке и уменьшить его длину
в   r₂ раз.

Деление комплексного числа z на i с геометрической
точки зрения можно
рассматривать как операцию поворота радиус-вектора точки z на угол  по
часовой стрелке.

Возведение комплексного числа  в
натуральную степень п рассматривается как и-кратное умножение z на самое себя:

т. е.

                                                     (16)

Таким
образом, при возведении комплексного числа в степень п мо­дуль этого числа возводится в степень п, а
аргумент умножается на п:

;

Формулу (16) можно записать в виде

                                         (17)

В частности, при r = 1 из равенства (17) следует формула
Муавра, имеющая широкое применение в
математике:

Пример 3. Выразите  sin 4φ
 и cos 4φ   через sin φ   и cos φ.

 Решение. Применяя
формулу Муавра при п = 4, получим:

                                           (18)

 Но

(19)

Сравнивая действительные и мнимые части равенств (18) и (19), получим

Пусть п — натуральное число.

Корнем п-й степени из
комплексного числа   называется
комплексное число  для которого wⁿ = z. Это число
обозначается

Так как
два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на целое число, кратное 2л, то

,

откуда

 

Таким образом,

                            (20)

Подставляя вместо к значения 0, 1, 2, …, п – 1, получим п
различ­ных значений корня. Для      k = п, п + 1, п + 2, …
или k = -1, -2, … корни будут принимать полученные ранее значения.

Так, например, при    k = 2 имеем:  и при   k  = п +
2

Читатель может проверить, что и для функции косинуса
получается то же
самое.

Пример 4. Найти все
значения  

Решение. Так как 1 = l(cos 0 + i sin 0), то

Придавая 
 k   последовательно
значения 0, 1, 2, 3, 4, соответственно, получим:

z₁ = 1 при k = 0;

 при k = 1;

при k = 2;
 при k = 3;

при k = 4.

Дадим геометрическую интерпретацию полученных значений . Модули всех этих значений равны 1.
Следовательно, точки   z₁, z₂, z₃, z₄, z₅  лежат на окружности радиуса 1 с
центром в начале координат. Построив аргументы значений z₁, … , z₅ (рис. 10), заметим, что точки,
изобра­жающие числа z₁,…, z₅, являются
вершинами правильного пятиугольника.

Исходя из формулы (20) можно показать, что геометрически точки, соответствующие различным
значениям корня n-й степени из комплексного числа   располагаются в вершинах правильного
п-угольника с центром в точке О, причем одна из вершин (соответствующая k = 0) имеет
полярные координаты.

6. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера

Найдем тригонометрическую форму комплексного числа z, если  Так как в
записи выражение

 есть действительная, а  —
мнимая часть и комплексно-

сопряженные числа отличаются знаком мнимых
частей, то

                                     (21)

Функция
косинус — четная, а синус — нечетная, поэтому соотно­шение (21) можно записать
в виде

Из геометрических соображений можно заключить, что точка, изо­бражающая комплексное число 1, получается
из точки, изображающей число z,
в результате ее
симметричного отображения относительно оси абсцисс. Значит,

 

Из правил умножения и деления комплексных чисел в тригономет­рической
форме следует, что аргумент комплексного числа ведет себя так же, как
показатель степени при умножении степеней с одинаковыми основаниями:  Это
обстоятельство навело Л. Эйлера на

мысль представлять комплексные числа в виде

                                                         (22)

где   е —
основание натурального логарифма.

К комплексным числам, записанным в форме (22), применимы
правила
действий над степенью. А именно, если , , то

 откуда следуют
известные нам правила:

,  

Аналогично получаем

т. е. при делении
комплексных чисел справедливы равенства  и

Далее, возведя
комплексное число (22) в степень п, получим

Следовательно, при возведении комплексного числа в
степень |zⁿ| = |z|ⁿ,arg(zⁿ) = n arg z.

Таким образом, представление комплексного числа в виде (22)
формально находит оправдание. Запись (22) называется показатель­ной или экспоненциальной формой
комплексного числа.

Если z представлено в форме (22), то
комплексно-сопряженное число

Сравнивая записи
комплексного числа в известных нам формах, будем иметь  При r = 1

                                                   (23)

Это соотношение
называется тождеством Эйлера. Аналогично можно записать

                                                  (24)

Путем
сложения и вычитания равенств (23) и (24), соответст­венно, получаем

 

Эти
равенства находят широкое применение в различных вопросах математики.

Пример 5. Представить в экспоненциальной форме
комплексное чис­ло

Решение. Находим   Следовательно, 

7.
Понятие функции комплексной переменной

Пусть даны
две комплексные плоскости Оху (плоскость z) и O‘uv (плоскость w).

Определение. Если каждой точке (числу)  zD  (D — множество точек плоскости z ) по некоторому закону f ставится в соответ­ствие единственная точка   w  Е   (Е — множество точек
плоско­сти  w), то говорят, что  w  есть функция от  z (однозначная):

                                 w = f (z),                                                            (25)

с областью
определения D, значения которой принадлежат множе­ству Е (рис. 11). Т.е. говорят, что на мно­жестве определена однозначная функция
комплексного переменно­го w = f(z), отображающая
множество D в множество Е.  Если множество
значений функции f (z)
исчерпывает все множество Е, то
Е называется множеством значений (областью
изменения) функции f (z).   В этом случае пишут

                                                                       
Е = f (D).                                                                  (26)

Если каждому z  D соответствует несколько значений w, то функция w = f(z) называется многозначной.

Множества D и Е можно изображать на одной комплексной пло­скости.

                                               
Рис. 11.

Таким образом, каждая комплексная функция реа­лизует однозначное
в одну сторону отображение одного множества на другое. Благодаря этому комплекс­ные функции
находят свое применение в таких науках, как гидро­динамика и аэродинамика, так как с их помощью удобно описы­вать «историю» движения объема жидкости (или газа).

                                    

a)                                                           
б)

Рис. 12.

Раздел математики,
изучающий свойства комплексных функций, носит название теории функций
комплексной переменной.

Пример6.  Во что переходит сектор Е

 ,  
  

(рис. 12, а)
при отображении w = z²?

Имеем

arg w =
2argz  < π   и   |w| = |z|² < 1.

Поэтому отображенная область E ‘ представляет собой полукруг (рис. 12, б).

Далее, как правило,
будем рассматривать такие функции w = f(z), для которых множества D и Е₁ являются областями. Областью комплексной плоскости называется множество точек плоскос­ти,
обладающих свойствами открытости и связности.

Функцию w = f(z) можно
записать в виде

u + iv = f(x + iy),

т. е.

f(x + iy) = и(х; у) +
iv(x; у),

где

и = и(х;у) = Ref(z),  
v = v(x;у)
= Imf(z),  
(х; у)  D.

Функцию и(х;у)
при этом называют действительной частью функции f(z),
a v(x;y)
— мнимой.

Таким образом, задание функции комплексного переменного
равно­сильно заданию двух функций двух действительных переменных.

Пример 7. Найти действительную и мнимую части
функции w = z².

Решение: Функцию w = z² можно записать в виде и + iv = (х + iy)²,

т.е.

и + iv = х² — у² + i 2ху.

Отсюда следует: и = х²
—у²,   v
= 2ху.