Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.
Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.
на главную
Как найти координаты точки
Поддержать сайт
Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.
Координаты точки на плоскости — это пара чисел, в которой на
первом месте стоит
абсцисса, а на
втором —
ордината точки.
Рассмотрим как в системе координат (на координатной плоскости):
- находить координаты точки;
- найти положение точки.
Чтобы найти координаты точки на плоскости, нужно опустить из этой точки
перпендикуляры на оси координат.
Точка пересечения с осью «x» называется абсциссой точки «А»,
а с осью y называется ординатой точки «А».
Обозначают координаты точки, как указано выше (·) A (2; 3).
Пример (·) A (2; 3) и (·) B (3; 2).
Запомните!
На первом месте записывают абсциссу (координату по оси «x»), а на втором —
ординату (координату по оси «y») точки.
Особые случаи расположения точек
- Если точка лежит на оси «Oy»,
то её абсцисса равна 0. Например,
точка С (0, 2). - Если точка лежит на оси «Ox», то её ордината равна 0.
Например,
точка F (3, 0). - Начало координат — точка O имеет координаты, равные нулю O (0,0).
- Точки любой прямой перпендикулярной оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
- Точки любой прямой перпендикулярной оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
- Координаты любой точки, лежащей на оси абсцисс имеют вид (x, 0).
- Координаты любой точки, лежащей на оси ординат имеют вид (0, y).
Как найти положение точки по её координатам
Найти точку в системе координат можно двумя способами.
Первый способ
Чтобы определить положение точки по её координатам,
например, точки D (−4 , 2), надо:
- Отметить на оси «Ox», точку с координатой
«−4», и провести через неё прямую перпендикулярную оси «Ox». - Отметить на оси «Oy»,
точку с координатой 2, и провести через неё прямую перпендикулярную
оси «Oy». - Точка пересечения перпендикуляров (·) D — искомая точка.
У неё абсцисса равна «−4», а ордината равна 2.
Второй способ
Чтобы найти точку D (−4 , 2) надо:
- Сместиться по оси «x» влево на
4 единицы, так как у нас
перед 4
стоит «−». - Подняться из этой точки параллельно оси y вверх на 2 единицы, так
как у нас перед 2 стоит «+».
Чтобы быстрее и удобнее было находить координаты точек или строить точки по координатам на
листе формата A4 в клеточку, можно скачать и использовать
готовую систему координат на нашем сайте.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике 5-9 класс
- Координаты на плоскости
- Координатная плоскость
Указать положение точки на плоскости можно с помощью координат. Для этого проведем на плоскости две перпендикулярные координатные прямые так, чтобы их начала отсчета совпадали.
Эти прямые называют осями координат, точку их пересечения О – начало отсчета.
Горизонтальная ось – ось абсцисс, обозначают буквой 
, поэтому еще называют ось , пишут: 
.
Вертикальная ось – ось ординат, обозначают буквой 
, поэтому еще называют ось , пишут: 
.
Оси и вместе образуют прямоугольную систему координат на плоскости. Плоскость, на которой выбрана система координат, называют координатной плоскостью.
Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, которые называют координатными четвертями и нумеруют так, как показано на рисунке ниже.
Отметим на координатной плоскости точку А. Проведем через нее прямую АВ, перпендикулярную оси абсцисс (АВ 
), и прямую АС, перпендикулярную оси ординат (АС ).
Точка В на оси имеет координату 5, а точка С на оси – координату 
3 . Число 5 называют абсциссой точки А, число 3 – ординатой точки А. Числа 5 и 3 однозначно определяют положение точки А на координатной плоскости, поэтому их называют координатами точки А и записывают: А(5; 3).
Обратите внимание, записывая координаты точки, абсциссу всегда ставят на первое место, а ординату – на второе. Если числа 5 и 3 поменять местами, то получим координаты другой точки – точки К(3; 5) (смотри рисунок выше).
У начала координат абсцисса и ордината равны нулю, записывают так: О(0; 0). Если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю, а если на оси ординат, то нулю равна ее абсцисса. На рисунке ниже: Р(2; 0); Е(0; 4).
Чтобы попасть в точку D с координатами (4; 5), нужно сначала пройти по оси от начала отсчета влево на 4 единицы, а потом – на 5 единиц вниз.
Две точки с противоположными абсциссами и ординатами симметричны относительно начала координат.
На рисунке ниже точки N(2; 4) и М(2; 4) симметричны относительно начала координат.
Две точки, имеющие равные ординаты и противоположные абсциссы, симметричны относительно оси ординат.
На рисунке ниже точки Р(3; 2) и К(3; 2) симметричны относительно оси ординат.
Две точки, имеющие равные абсциссы и противоположные ординаты, симметричны относительно оси абсцисс.
На рисунке ниже точки Р(3; 2) и Е(3; 2) симметричны относительно оси абсцисс.
Советуем посмотреть:
Перпендикулярные прямые
Осевая и центральная симметрии
Параллельные прямые
Координаты на плоскости
Правило встречается в следующих упражнениях:
6 класс
Номер 1298,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1308,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1325,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 6,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 8,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 1391,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1394,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1395,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1397,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1456,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
7 класс
Номер 774,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 781,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 783,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 826,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 858,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 861,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 898,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 925,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 995,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 12,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
8 класс
Номер 310,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 6,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 335,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 338,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 341,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 342,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 10,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 352,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 361,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 364,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Три попарно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей измерения образуют систему координат в пространстве. Точка пересечения всех прямых является началом системы координат.
Оси координат (Ox), (Oy) и (Oz) называются соответственно: (Ox) — ось абсцисс, (Oy) — ось ординат, (Oz) — ось аппликат.
Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость. Получаем три координатные плоскости: ((Oxy)), ((Oyz)) и ((Oxz)).
Положение точки (A) в пространстве определяется тремя координатами: (x), (y) и (z).
Координата (x) называется абсциссой точки (A), координата (y) — ординатой точки (A), координата (z) — аппликатой точки (A).
Записываются так: (A(x; y; z)).
Если точка находится на оси (Ox), то её координаты (X(x; 0; 0)).
Если точка находится на оси (Oy), то её координаты (Y(0; y; 0)).
Если точка находится на оси (Oz), то её координаты (Z(0; 0; z)).
Если точка находится в плоскости (Oxy), то её координаты
A1x;y;0
.
Если точка находится в плоскости (Oyz), то её координаты
A20;y;z
.
Если точка находится в плоскости (Oxz), то её координаты
A3x;0;z
.
Если в системе координат от начальной точки отложить единичные векторы
i→
,
j→
и
k→
, то можно определить прямоугольный базис. Любой вектор можно разложить по единичным векторам и представить в виде
OA→=x⋅i→+y⋅j→+z⋅k→
.
Коэффициенты (x), (y) и (z) определяются одним-единственным образом и называются координатами вектора.
Записываются так:
OA→x;y;z
.
Рассмотрим правила о том, как с помощью координат записать:
– координаты суммы векторов, если даны координаты векторов:
,
b→x2;y2;z2
,
a→+b→x1+x2;y1+y2;z1+z2
;
– координаты разности векторов, если даны координаты векторов:
a→−b→x1−x2;y1−y2;z1−z2
;
– координаты произведения вектора на число, если даны координаты вектора:
– длину вектора:
– координаты вектора, если даны координаты начальной и конечной точек вектора:
,
BxB;yB;zB
,
AB→xB−xA;yB−yA;zB−zA
;
– расстояние между двумя точками, если даны координаты точек:
;
– координаты серединной точки отрезка, если даны координаты начальной и конечной точек отрезка:
.
Координатная плоскость
- Координаты точки на плоскости
Если построить на плоскости две взаимно перпендикулярные числовые оси: OX и OY, то они будут называться осями координат. Горизонтальная ось OX называется осью абсцисс (осью x), вертикальная ось OY — осью ординат (осью y).
Точка O, стоящая на пересечении осей, называется началом координат. Она является нулевой
точкой для обеих осей. Положительные числа изображаются на оси абсцисс точками вправо, а на оси ординат — точками вверх от нулевой точки. Отрицательные числа изображаются точками влево и вниз от начала координат (точки O). Плоскость, на которой лежат оси координат, называется координатной плоскостью.
Оси координат делят плоскость на четыре части, называемые четвертями или квадрантами. Принято эти четверти нумеровать римскими цифрами в том порядке, в котором они пронумерованы на чертеже.
Координаты точки на плоскости
Если взять на координатной плоскости произвольную точку A и провести от неё перпендикуляры к осям координат, то основания перпендикуляров лягут на два числа. Число, на которое указывает вертикальный перпендикуляр, называется абсциссой точки A. Число, на которое указывает горизонтальный перпендикуляр, — ординатой точки A.
На чертеже абсцисса точки A равна 3, а ордината 5.
Абсцисса и ордината называются координатами данной точки на плоскости.
Координаты точки записываются в скобках справа от обозначения точки. Первой записывается абсцисса, а за ней ордината. Так запись A(3; 5) обозначает, что абсцисса точки A равна трём, а ордината — пяти.
Координаты точки – это числа, определяющие её положение на плоскости.
Если точка лежит на оси абсцисс, то её ордината равна нулю (например, точка B с координатами -2 и 0). Если точка лежит на оси ординат, то её абсцисса равна нулю (например, точка C с координатами 0 и -4).
Начало координат — точка O — имеет и абсциссу и ординату равные нулю: O (0; 0).
Данная система координат называется прямоугольной или декартовой.
Марина Николаевна Ковальчук
Эксперт по предмету «Геометрия»
Задать вопрос автору статьи
Прямоугольная система координат
Чтобы определить понятие координат точек, нам необходимо ввести систему координат, в которой мы и будем определять ее координаты. Одна и та же точка в разных системах координат может иметь различные координаты. Здесь мы будем рассматривать прямоугольную систему координат в пространстве.
Возьмем в пространстве точку $O$ и введем для нее координаты $(0,0,0)$. Назовем ее началом системы координат. Проведем через нее три взаимно перпендикулярные оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$, как на рисунке 1. Эти оси будут называться осями абсцисс, ординат и аппликат, соответственно. Осталось только ввести масштаб на осях (единичный отрезок) – прямоугольная система координат в пространстве готова (рис. 1)
Рисунок 1. Прямоугольная система координат в пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Координаты точки
Теперь разберем, как определяют в такой системе координаты любой точки. Возьмем произвольную точку $M$ (рис. 2).
Рисунок 2. Произвольная точка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Построим на координатных осях прямоугольный параллелепипед, так, что точки $O$ и $M$ противоположные его вершины (рис. 3).
Рисунок 3. Построение прямоугольного параллелепипеда. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
«Координаты точки и координаты вектора. Как найти координаты вектора» 👇
Тогда точка $M$ будет иметь координаты $(X,Y,Z)$, где $X$ – значение на числовой оси $Ox$, $Y$ – значение на числовой оси $Oy$, а $Z$ – значение на числовой оси $Oz$.
Пример 1
Необходимо найти решение следующей задачи: написать координаты вершин параллелепипеда, изображенного на рисунке 4.
Рисунок 4. Параллелепипед. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Решение.
Точка $O$ начало координат, следовательно, $O=(0,0,0)$.
Точки $Q$, $N$ и $R$ лежат на осях $Ox$, $Oz$ и $Oy$, соответственно, значит
$Q=(2,0,0)$, $N=(0,0,1.5)$, $R=(0,2.5,0)$
Точки $S$, $L$ и $M$ лежат в плоскостях $Oxz$, $Oxy$ и $Oyz$, соответственно, значит
$S=(2,0,1.5)$, $L=(2,2.5,0)$, $R=(0,2.5,1.5)$
Точка $P$ имеет координаты $P=(2,2.5,1.5)$
Координаты вектора по двум точкам и формула нахождения
Чтобы узнать, как найти вектор по координатам двух точек, необходимо рассмотреть введенную нами ранее систему координат. В ней от точки $O$ по направлению оси $Ox$ отложим единичный вектор $overline{i}$, по направлению оси $Oy$ – единичный вектор $overline{j}$, а единичный вектор $overline{k}$ нужно направлять по оси $Oz$.
Для того чтобы ввести понятие координат вектора, введем следующую теорему (здесь ее доказательство мы рассматривать не будем).
Теорема 1
Произвольный вектор в пространстве может быть разложен по трем любым векторам, которые не лежат в одной плоскости, причем коэффициенты в таком разложении будут единственным образом определены.
Математически это выглядит следующим образом:
$overline{δ}=moverline{α}+noverline{β}+loverline{γ}$
Так как векторы $overline{i}$, $overline{j}$ и $overline{k}$ построены на координатных осях прямоугольной системы координат, то они, очевидно, не будут принадлежать одной плоскости. Значит любой вектор $overline{δ}$ в этой системе координат, по теореме 1, может принимать следующий вид
$overline{δ}=moverline{i}+noverline{j}+loverline{k}$ (1)
где $n,m,l∈R$.
Определение 1
Три вектора $overline{i}$, $overline{j}$ и $overline{k}$ будут называться координатными векторами.
Определение 2
Коэффициенты перед векторами $overline{i}$, $overline{j}$ и $overline{k}$ в разложении (1) будут называться координатами этого вектора в заданной нами системе координат, то есть
$overline{δ}=(m,n,l)$
Линейные операции над векторами
Теорема 2
Теорема о сумме: Координаты суммы любого числа векторов определяются суммой их соответствующих координат.
Доказательство.
Будем доказывать эту теорему для 2-х векторов. Для 3-х и более векторов доказательство строится аналогичным образом. Пусть $overline{α}=(α_1,α_2,α_3)$, $overline{β}=(β_1,β_2 ,β_3)$.
Эти вектора можно записать следующим образом
$overline{α}=α_1overline{i}+ α_2overline{j}+α_3overline{k}$, $overline{β}=β_1overline{i}+ β_2overline{j}+β_3overline{k}$
$overline{α}+overline{β}=α_1overline{i}+α_2overline{j}+α_3overline{k}+β_1overline{i}+ β_2overline{j}+β_3overline{k}=(α_1+β_1 )overline{i}+(α_2+β_2 )overline{j}+(α_3+β_3)overline{k}$
Следовательно
$overline{α}+overline{β}=(α_1+β_1,α_2+β_2,α_3+β_3)$
Теорема доказана.
Замечание 1
Замечание: Аналогично, находится решение разности нескольких векторов.
Теорема 3
Теорема о произведении на число: Координаты произведения произвольного вектора на действительное число определяется произведением координат на это число.
Доказательство.
Возьмем $overline{α}=(α_1,α_2,α_3)$, тогда $overline{α}=α_1overline{i}+α_2overline{j}+α_3overline{k}$, а
$loverline{α}=l(α_1overline{i}+ α_2overline{j}+α_3overline{k})=lα_1overline{i}+ lα_2overline{j}+lα_3overline{k}$
Значит
$koverline{α}=(lα_1,lα_2,lα_3)$
Теорема доказана.
Пример 2
Пусть $overline{α}=(3,0,4)$, $overline{β}=(2,-1,1)$. Найти $overline{α}+overline{β}$, $overline{α}-overline{β}$ и $3overline{α}$.
Решение.
$overline{α}+overline{β}=(3+2,0+(-1),4+1)=(5,-1,5)$
$overline{α}-overline{β}=(3-2,0-(-1),4-1)=(1,1,3)$
$3overline{α}=(3cdot 3,3cdot 0,3cdot 4)=(9,0,12)$
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
