Как найти координаты точки на прямой удаленной

ГДЗ и решебники
вип уровня

Написать уравнение прямой удаленной от точки

Найти уравнение прямой, проходящей через точку (-4, 3) и удаленной от начала координат на расстояние 5 единиц.

Уравнение искомой прямой как проходящей через точку (-4, 3), запишется на основании уравнения y – y₁ = k(x – x₁) в виде

После упрощений оно примет вид

Теперь приведем его к нормальному виду. Нормирующий множитель будет равен

и уравнение в нормальном виде будет выглядеть так:

Сравнивая это уравнение с нормальным уравнением прямой, видим, что прямая удалена от начала координат на величину

которая по условию равна 5. Значит, для определения k получаем такое уравнение:

а после возведения в квадрат обеих частей этого уравнения для определения k будем иметь квадратное уравнение

Следовательно, искомое уравнение запишется так:

Задача 9986 Составить уравнение прямой, параллельной.

Условие

Составить уравнение прямой, параллельной прямой 2х-у-5=0 и удаленной от точки А(2; -3) на 4 единицы.

Решение

2х–у–5=0 или у=2х-5
Расстояние от точки до прямой измеряется перпендикуляром. Напишем уравнение прямой перпендикулярной прямой у=2х-5.
Известно, что произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)
Поэтому угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой у=2х-5 равен (-1/2).
у=(-1/2)х+b.
Чтобы найти b подставим координаты точки А в это уравнение
у=-3 х=2
-3=(-1/2)•2+b;
b= -2
Итак, на прямой у=(-1/2)х – 2 найдем точку расстояние которой от точки А равно 4.
Пусть первая координата этой точки х, тогда вторая координата
равна (-1/2)х-2.
d^2=(x-2)^2+((-1/2)x-2+3)^2;
d=4
16=x^2-4x+4+(1/4)x^2-x+1
Решаем уравнение.
(5/4)x^2-5x-11=0
D=(-5)^2-4•(5/4)•(-11)=25+55=80
x=(5-4√5)/(5/2)=(10-8√5)/5 или x=(5+4√5)/(5/2)=(10+8√5)/5
у=(-15+4√5)/5 у=(-15-4√5)/5

Уравнение прямой, параллельной прямой у=2х-5 имеет вид:
у=2х+b
Чтобы найти b подставим координаты первой точки в уравнение
х=(10-8√5)/5
у=(-15+4√5)/5
(-15+4√5)/5=2(10-8√5)/5 +b;
b=-7+4√5
y=2x-7+4√5
подставим координаты второй точки в уравнение
х=(10+8√5)/5
у=(-15-4√5)/5
(-15-4√5)/5=2(10+8√5)/5 +b;
b=-7-4√5
y=2x-7-4√5

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Содержание:

Общее уравнение прямой:

Пусть на плоскости дана декартова система координат. Движение точки с произвольными координатами х и у по этой плоскости порождает линию.

Определение: Любое соотношение

Определение: Порядок линии определяется по высшему показателю степени переменных х и у или по сумме показателей степени в произведении этих величин.

Пример:

а) 2х + Зу-5 = 0 – линия первого порядка; точка A(l; 1) удовлетворяет этому соотношению, а точка, например, В(1; 0) – ему не удовлетворяет;

б)

в) – линии второго порядка.

Рассмотрим другое определение линии:

Определение: Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x; у)=0, называется линией, а само уравнение F(x; у) = 0 – уравнением линии.

Определение: Общим уравнением прямой называется уравнение первого порядка вида

Рассмотрим частные случаи этого уравнения:

а) С = 0; – прямая проходит начало системы координат (Рис. 20):

Рис. 20. Прямая, проходящая через начало координат.

б) 5 = 0; Ах+С=0 – прямая проходит параллельно оси ординат Оу (Рис. 21):

Рис. 21. Прямая, проходящая параллельно оси ординат Оу.

в) А = 0; Ву+С=0 – прямая проходит параллельно оси абсцисс Ох (Рис. 22):

Рис. 22. Прямая, проходящая параллельно оси абсцисс Ох.

Виды уравнений прямой

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть дано общее уравнение прямой в котором коэффициент Разрешим общее уравнение прямой относительно переменной Обозначим через тогда уравнение примет вид которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Выясним геометрический смысл параметров При х = 0, у = b, т.е. параметр b показывает, какой величины отрезок отсекает прямая на оси ординат, считая от начала отсчета. При т.е. прямая отсекает на оси абсцисс отрезок к (Рис. 23, для определенности принято, что ):

Рис. 23. Отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях.

Из рисунка видно, что т.е. угловой коэффициент k определяет тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс Ох.

2. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть в общем уравнении прямой параметр Выполним следующие преобразования

Обозначим через тогда последнее равенство перепишется в виде . которое называется уравнением прямой в отрезках. Выясним геометрический смысл величин m и n (Рис. 24). При х=0, у=n, т.е. параметр n показывает, какой величины отрезок отсекает прямая на оси ординат, считая от начала отсчета.

Рис. 24. Отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях.

При у=о, х=m, т.е. прямая отсекает на оси абсцисс отрезок m. Следовательно, прямая проходит через 2 точки:

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Пусть дано общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0, которая проходит через две известные точки Так как точки лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют общему уравнению прямой, т.е. выполняются равенства Вычтем первое из этих равенств из общего уравнения прямой и из второго равенства:

Пусть тогда полученные равенства можно преобразовать к виду Отсюда находим, что или Полученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки и

4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору (каноническое уравнение прямой). Пусть прямая проходит через заданную точку параллельно вектору

Определение: Вектор называется направляющим вектором прямой. Возьмем на прямой произвольную точку и создадим вектор (Рис. 25):

Рис. 25. Прямая, проходящая через данную точку параллельно направляющему вектору.

В силу того, что вектора коллинеарны, то воспользуемся первым условием коллинеарности: отношения соответствующих проекций равны между собой

Определение: Полученное уравнение называется либо уравнением, проходящим через заданную точку параллельно направляющему вектору, либо каноническим уравнением прямой.

5. Параметрическое уравнение прямой. Если каждую дробь в каноническом уравнении прямой приравнять некоторому параметру t, то получим параметрическое уравнение прямой

Основные задачи о прямой на плоскости

1. Координаты точки пересечения двух прямых. Пусть две прямые заданы общими уравнениями Требуется найти координаты точки пересечения этих прямых. Для того чтобы вычислить координаты точки пересечения М(х; у), необходимо решить вышеприведенную систему линейных алгебраических уравнений, так как координаты точки М(х; у) должны одновременно удовлетворять уравнениям прямых

2. Угол между двумя пересекающимися прямыми. Пусть даны две пересекающиеся прямые, заданные уравнениями с угловыми коэффициентами

Требуется найти угол между этими прямыми (Рис. 26):

Рис. 26. Угол между двумя прямыми.

Из рисунка видно, что Вычислим

Наименьший угол между пересекающимися прямыми определим формулой Из полученной формулы видно:

• а) если прямые параллельны или совпадаютто Отсюда следует условие параллельности прямых: угловые коэффициенты прямых равны между собой
• б) если прямые перпендикулярныто не существует.

Отсюда следует условие перпендикулярности прямых: угловые коэффициенты прямых связаны между собой соотношением

Пример:

Определить угол между прямыми

Решение:

В силу того, что что прямые параллельны, следовательно,

Пример:

Выяснить взаимное расположение прямых

Решение:

Так как угловые коэффициенты и связаны между собой соотношением то прямые взаимно перпендикулярны.

3. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до прямой определятся вдоль перпендикуляра, опущенного из точки на прямую Если прямая задана общим уравнением, то расстояние от точки до прямой определяется формулой:

Если прямая задана уравнением прямой с угловым коэффициентом, то расстояние от точки до прямой определяется формулой:

Прямая линия на плоскости и в пространстве. Системы координат на плоскости

Рассмотрим произвольную прямую. Выберем на этой прямой начальную точку, обозначаемую буквой О, определим положительное направление, выберем некоторый отрезок в качестве линейной единицы, благодаря чему прямая станет осью. После этого условимся называть координатой любой точки М на этой оси величину отрезка . Точку О будем называть началом координат; ее собственная координата равна нулю. Так вводятся координаты на прямой.

Декартова прямоугольная система координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке, т.е. указано, какая из них считается первой, а какая – второй. Точка пересечения осей называется началом координат и обозначается через О, а сами оси – координатными осями, причем первую из них называют также осью абсцисс и обозначают через Ох, а вторую – осью ординат, обозначаемую Оу.

Пусть М- произвольная точка плоскости. Спроектируем точку M на координатные оси, т.е., проведем через М перпендикуляры к осям Ох и Оу; основания этих перпендикуляров обозначим соответственно .

Координатами точки М в заданной системе называются числа , обозначающие величину отрезка оси абсцисс и величину отрезка оси ординат, где х – первая координата, а у- вторая координата точки М (рис.7.1). Символически это записывается в виде М(х, у).

Если задана декартова прямоугольная система координат, то каждая точка М плоскости в этой системе имеет одну вполне определенную пару координат х, у – М(х, у). И обратно, для любых х и у на плоскости найдется одна вполне определенная точка с абсциссой х и ординатой у.

На рис. 7.2 положение точки Р полностью определяется ее координатами (2;3).

Две координатные оси разделяют всю плоскость на четыре части, называемыми координатными плоскостями, определяемыми соответственно:

• первая координатная четверть: х>0, у>0;
• вторая координатная четверть: х0, у>0;
• третья координатная четверть: х0, у0;
• четвертая координатная четверть: х>0, у0.

Декартова прямоугольная система координат является наиболее употребительной. Однако, в отдельных случаях могут оказаться более удобными или косоугольная декартова или полярная системы координат.

Косоугольная система координат от прямоугольной декартовой системы координат отличается только произвольным углом между осями координат.

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча OA, называемого полярной осью, масштаба для измерения длин и направления- вращения в плоскости, считаемого положительным (рис. 7.3).

Каждая точка М в полярной системе координат задается парой координат .

Декартова прямоугольная система координат связана с полярной системой формулами:

Основным инструментом аналитической геометрии служит формула для вычисления расстояния между двумя точкамии . Числа могут быть любыми действительными числами, положительными, отрицательными или 0. На рис. 7.4 все числа выбраны положительными. Проведем через точку горизонтальную прямую, а через точку – вертикальную. Пусть R -точка их пересечения. Тогда по теореме Пифагора

или (7.1.1)

Это и есть формула для вычисления расстояния между двумя точками.

Важно иметь в виду, что эта формула остается в силе независимо от того, как расположены точки . Например, если точка расположена ниже точки и справа от нес, как на рис. 7.5, то отрезок можно считать равныму .

Расстояние между точками, вычисляемое по формуле (7.1.1), от этого не изменится, так как . Заметим, что, так как величина в этом случае отрицательна, то разность больше, чем

Если обозначить через угол, образованный положительным направлением оси абсцисс и отрезком , то формулы

выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и полярный угол. Из формул (7.1.2) получаем формулы:

позволяющие определить полярный угол отрезка по координатам его конца и начала. Кроме того, если u – произвольная ось, а – угол наклона отрезка к этой оси, то проекция отрезка на ось равна его длине, умноженной на косинус угла наклона к этой оси:

.

Пусть на плоскости даны две произвольные точки, из которых одна считается первой, другая – второй. Обозначим их в заданном порядке через . Проведем через данные точки ось u. Пусть М- еще одна точка оси и, расположенная на ней как угодно, но не совпадает с точкой .

Определение 7.1.1. Число определяемое равенством где – величины направленных отрезков оси u, называется отношением, в котором точка М делит направленный отрезок .

Число не зависит от направления оси и от масштаба, т.к. при изменении этих параметров будут одновременно меняться величины . Кроме того, будет положительно, если Мнаходится между точками если же М вне отрезка , то -отрицательное.

Задача о делении отрезка в данном отношении формулируется следующим образом:

Считая известными координаты двух точек и и отношение в котором некоторая неизвестная точка М делит отрезок , найти координаты точки М.

Решение задачи определяется следующей теоремой.

Теорема 7.1.1. Если точка М(х, у) делит направленный отрезок в отношении то координаты этой точки выражаются формулами:

Доказательство:

Спроектируем точки на ось Ох и обозначим их проекции соответственно через (рис. 7.6). На основании теоремы о пропорциональности отрезков прямых, заключенных между параллельными прямыми (Если две прямые пересечь тремя параллельными прямыми, то отношение двух отрезков, получившихся на одной прямой, равно отношению двух соответствующих отрезков другой прямой), имеем:

Подставив в (7.1.4) величины отрезков и

, получим

Разрешая это уравнение относительно х, находим:

Вторая формула (7.1.3) получается аналогично.

Если – две произвольные точки и М(х,y) –

середина отрезка , то . Эти формулы

получаются из (7.1.3) при .

Основная теорема о прямой линии на плоскости

Предположим, что в данной плоскости задана прямоугольная система координат и некоторая прямая l.

Всякий ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой, называется её направляющим вектором. Всякие два направляющих вектора одной и той же прямой коллинеарны между собой, т.е.

, .

Для всех направляющих векторов данной прямой, не параллельной оси ординат, отношение ординаты вектора к его абсциссе имеет одно и то же постоянное значение k, называемое угловым коэффициентом данной прямой.

Действительно, если – два направляющих вектора данной прямой /, то векторы коллинеарны, т.е.

их координаты пропорциональны: а значит

Угловой коэффициент прямой можно определить и по-другому: как тангенс угла, образованного положительным направлением оси абсцисс и заданной прямой.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 7.3,1. Всякая прямая на плоскости определяется уравнением первой степени с двумя переменными х и у; и обратно, всякое уравнение первой степени с двумя переменными х и у определяет некоторую прямую на плоскости.

Доказательство: Пусть В = (О,b>- точка пересечения прямой L с осью у, а Р = (х,у) – любая другая точка на этой прямой. Проведем через точку В прямую, параллельную оси х, а через точку Р – прямую, параллельную оси у; проведем также прямую х = 1. Пусть k -угловой коэффициент прямой L (см. рис. 7.7). Случай к =0 не исключается.

Так как треугольники BSQ и BRP подобны, то или после упрощения

Следовательно, если точка Р принадлежит прямой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (7.2.1). Обратно, нетрудно показать, что если х и у связаны уравнением (7.2.1), то точка Р принадлежит прямой L, проходящей через точку (0;b) и имеющей угловой коэффициент k.

Таким образом, уравнение любой прямой можно записать в виде:

(не вертикальная прямая) , (7.2.2), х = а (вертикальная прямая) (7.2.3).

В обоих случаях мы получаем уравнение первой степени. Кроме того, каждое уравнение первой степени ио х и у можно привести к виду (7.2.2) либо (7.2.3).

Докажем обратное утверждение. Предположим, что задано произвольное уравнение первой степени:

Если , мы можем записать уравнение (7.2.4) в виде

т.е. в виде (7.2.2). При В = 0 уравнение (7.2.3) сводится к уравнению

или , т.е. к уравнению вида (7.2.3).

Таким образом, любая прямая описывается уравнением первой степени с неизвестными х и у, и обратно, каждое уравнение первой степени с неизвестными х и v определяет некоторую прямую.

Уравнение (7.2.4) называется общим уравнением прямой. Так

как , то вектор является направляющим вектором прямой (7.2.4). Вектор перпендикулярен прямой (7.2.4) и называется нормальным вектором. Возможны частные случаи:

1. или у =b, где , -это уравнсние прямой, параллельной оси Ох.

2. или х = а, где , – это уравнение прямой, параллельной оси Оу.

3. – это уравнение прямой, проходящей через начало координат.

4. А=0; С=0; Ву-0 или у = 0 – это уравнение оси абсцисс Ох.

5. В=0;С=0; Ах=0 или х = 0 – это уравнение оси ординат Оу.

Различные виды уравнений прямой на плоскости

Положение прямой на плоскости относительно системы координат можно задать различными способами. Например, прямая однозначно определяется: двумя различными точками; точкой и направляющим вектором; отрезками, отсекаемыми прямой на осях координат и др. Однако, обязательно, должна быть точка, лежащая на этой прямой.

Пусть в уравнении (7.2.4) ни один из коэффициентов А, В, С не равен нулю. Перенесем свободные члены вправо и разделим на (-С). Получим уравнение прямой в отрезках:

где -длины отрезков, отсекаемых прямой l на осях координат, взятые с соответствующими знаками (в зависимости от того, положительные или отрицательные полуоси координат пересекает прямая l).

Рассмотрим прямую l на плоскости и выберем на этой прямой какие-нибудь точки . Тогда вектор является направляющим вектором этой прямой l.

Геометрическое место концов всевозможных векторов вида где пробегает все вещественные числовые значения, определяет прямую l. Уравнение (7.3.2) называется уравнением прямой в векторной форме (векторным уравнением прямой). Записав векторное уравнение (7.3.2) в координатной форме и воспользовавшись определением равенства векторов, получим параметрические уравнения прямой:

где – координаты направляющего вектора.

Система (7.3.3) равносильна уравнению

называемым каноническим уравнением прямой на плоскости. Из системы (7.3.3) можно получить уравнение

которое называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки

Если абсциссы точек одинаковы, т. е. то прямая параллельна оси ординат и ее уравнение имеет вид: х=а.

Если ординаты точек одинаковы, т. е. , то прямая параллельна оси абсцисс и ее уравнение имеет вид: у=b. Уравнение (7.3.5) можно преобразовать к виду:

угловой коэффициент прямой.

Уравнение (7.3.6) называется уравнением прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент k.

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через две точки

Решение:

I способ. Воспользуемся уравнением (7.3.5). Подставив известные координаты точек , получим искомое уравнение прямой:

II способ. Зная координаты точек по формуле (7.3.7) можно найти угловой коэффициент искомой прямой:

Тогда, воспользовавшись уравнением (7.3.6), найдём искомое уравнение прямой: .

Заметим, что составленное уравнение можно записать как уравнение прямой в отрезках, разделив все члены уравнения

.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Пусть на плоскости заданы две прямые общими уравнениями . Угол между ними можно вычислить как угол между направляющими векторами

этих прямых:

Если прямые параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны, а это значит, что их соответствующих координаты пропорциональны:

И обратно, если координаты при неизвестных х и у пропорциональны, то прямые параллельны. Следовательно, можно сформулировать следующую теорему:

Теорема 7.4.1. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда в их уравнениях коэффициенты при соответствующих переменных х и у пропорциональны.

Например, прямые параллельны,

т. к..

Если прямые перпендикулярны , то их нормальные векторы тоже перпендикулярны, а это значит, что скалярное произведение этих векторов равно нулю: , или в координатной форме

Справедливо и обратное утверждение: если скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, то прямые /, и /2 перпендикулярны.

Теорема 7.4.2. Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда коэффициенты при переменных х и у удовлетворяют равенству .

Например, прямые перпендикулярны, так как

.

Если прямые заданы уравнениями вида и , то угол между ними находится по формуле:

Для того чтобы прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

(7.4.5)

а для их перпендикулярности необходимо и достаточно, чтобы

(7.4.6)

Пример:

Найти проекцию точки Р (2, 3) на прямую, проходящую через точки А (4, 3) и В (6, 5).

Решение:

Проекция точки Р на прямую АВ – это точка пересечения перпендикуляра, проведенного к этой прямой из точки Р.

Вначале составим уравнение прямой АВ. Воспользовавшись уравнением (7.3.5), последовательно получаем:

Для того, чтобы составить уравнение перпендикуляра, проведенного из точки Р на прямую АВ, воспользуемся уравнением (7.3.6). Угловой коэффициент k определим из условия перпендикулярности двух прямых, т. е. из формулы (7.4.6). Поскольку ,то из равенства находим угловой коэффициент перпендикуляра . Подставляя найденное значение углового коэффициента и координаты точки Р (2, 3) в уравнение (7.3.6), получаем:

.

Решая систему уравнений, составленную из уравнений прямой АВ и перпендикуляра

найдём координаты проекции точки Р на прямую АВ: х=3 у=2, т.е.

Пример:

Издержки на производство шести автомобилей составляют 1000 млн. ден. ед., а на производство двадцати автомобилей- 15000 млн. ден. ед. Определить издержки на производство 22 автомобилей при условии, что функция К(х) издержек производства линейна, т.е. имеет вид у = ах + b .

Решение:

Обозначим через х количество автомобилей, а через y- издержки производства. Тогда из условия задачи следует, что заданы координаты двух точек- А(6; 1000) и В(20; 15000), принадлежащих линейной функции у = ах +b. Воспользовавшись уравнением (7.3.6 ), найдём искомое уравнение:

Подставив в найденную функцию х = 22, определим издержки на производство 22 автомобилей:

(млн. дсн. ед)

Пример:

Фирма продаёт свои изделия по 10 ден. ед. за единицу. Затраты на изготовление одного изделия составляют 6 ден. ед. Непроизводственные расходы фирмы равны 300 ден. ед. в год. Определить годовой выпуск продукции, необходимой для того, чтобы фирма работала с прибылью.

Решение:

Обозначим через х объём произведенной продукции. Тогда доход фирмы равен D = 10x. Затраты на производство определяются уравнением: . Найдём точку безубыточности. т.е. значение x, при котором доход фирмы равен затратам: D=K, т.е. 10x = 6x + 300. Решив это уравнение, получим значение объёма производства, при котором фирма работает без убытка: х=75. Следовательно, если объём производства то фирма будет работать с прибылью.

Прямая линия в пространстве

Системы координат в пространстве

В трехмерном пространстве система координат определяется тремя взаимно перпендикулярными осями, проходящими через начало координат О. Снабдив каждую ось единицей измерения длин, можно задать тремя упорядоченными числами (называемыми координатами) положение точки в пространстве. Например, точка Р задается упорядоченной тройкой чисел Р( 1,2,3).

Пусть задано пространство. Важнейшим понятием пространственной аналитической геометрии является понятие уравнения поверхности. Всякая же линия рассматривается как пересечение двух поверхностей. Мы остановимся на изучении поверхности первого порядка – плоскости и прямой линии.

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо сё фиксированной точки и вектора параллельного этой прямой.

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая L проходит через точку , лежащую на прямой, параллельно вектору (см. рис. 7.9).

Рассмотрим произвольную точку M(x,y,z) на этой прямой. Из рисунка видно, что вектор параллельный (коллинеарный) вектору . Поскольку векторы коллинеарны, то найдётся такое число t, что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки М на прямой.

Уравнение (7.5.1) называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки M, лежащей на прямой. Это уравнение можно записать в виде: (см. рис. 7.9). Запишем это уравнение в координатной форме. Подставив координаты векторов в уравнение (7.5.1) и воспользовавшись определением алгебраических операций над векторами и равенством векторов, получим уравнения:

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты х, у и z и точка М перемещается по прямой.

Разрешив уравнения (7.5.2) относительно t

и приравняв найденные значенияt получим канонические уравнения прямой:

Если прямая L в пространстве задается двумя своими точками ,то вектор

можно взять в качестве направляющего вектора и тогда уравнения (7.5.3) преобразуются в уравнения

где . (7.5.4)- это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пример:

Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку, перпендикулярно плоскости Oxz.

Решение:

В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять единичный вектор оси Оу: • Подставив значения координат точки и значения координат направляющего вектора в уравнения (7.5.2), получаем: .

Пример:

Записать уравнения прямой в параметрическом виде.

Обозначим. Тогда ,

, откуда следует, что .

Замечание. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например, оси Ох. Тогда направляющий вектор

прямой перпендикулярный оси Ох, имеет координаты (о; n; р) и параметрические уравнения прямой примут вид

Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае формально можно записывать канонические уравнения прямой в виде . Таким образом, если в знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, канонические уравнения

определяют прямую перпендикулярную осям О х и О у или параллельную оси О z.

Пример:

Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору

Решение:

Подставив координаты точки , и вектора в (7.5.2) и (7.5.3), находим искомые канонические уравнения:

.и параметрические уравнения:

Пример:

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(2, -1,4) параллельно

а) прямой ;

Решение:

а) Поскольку направляющий вектор заданной прямой

является направляющим вектором искомой прямой, то

подставив координаты точки М(2; -1; 4) и вектора в (7.5.3) получим уравнение искомой прямой:

б) Поскольку единичный вектор оси О х: будет направляющим вектором искомой прямой, то подставив в уравнение

(7.5.3) координаты точки М(2; -1; 4 ) и вектора , получаем:

в) В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять единичный вектор оси Оу: . В соответствии с уравнением (7.5.3), получаем или .

г) Единичный вектор оси Oz : будет направляющим вектором искомой прямой. В соответствии с уравнением (7.5.3), получаем

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Решение:

Подставив координаты точек в уравнение

(7.5.4), получим:

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку параллельно данным. Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и

, косинус которого находится по формуле:

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда пропорциональны соответствующие координаты направляющих векторов:

т.е. параллельна тогда и только тогда, когда параллелен

.

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих координат направляющих векторов равна нулю:

Пример:

Найти угол между прямыми и

Решение:

Воспользуемся формулой (7.6.1), в которую подставим координаты направляющих векторов и

. Тогда , откуда или.

Вычисление уравнения прямой

Пусть PQ — некоторая прямая на плоскости Оху (рис. 22). Через произвольную точку М0 (х0, у0) этой прямой (условно называемую «начальной точкой») проведем прямую М0х параллельную оси Ох и имеющую с ней одинаковое направление. Тогда наименьший неотрицательный угол , образованный полупрямой M0Q, лежащей выше оси М0х’ или совпадающей с ней, называется углом между данной прямой и осью Ох.

Очевидно, этот угол не зависит от выбора точки М0. Если прямая PQ пересекает ось Ох в некоторой точке А (а, 0), то ф есть обычный угол между направленными прямыми. Если PQ || Ох, то, очевидно, Ф = 0. Начальная точка М0 прямой и угол ф («направление прямой») однозначно определяют положение этой прямой на плоскости.

1) Пусть сначала . Тогда прямая PQ пересекает ось Оу в некоторой точке В (0, b), которую можно принять за начальную.

Ордината у = NM текущей точки М (х, у) прямой (рис. 23) состоит из двух частей:

из них первая постоянна, а вторая переменна. Введя угловой коэффициент tg ф = k9 из рис. 23 будем иметь

Нетрудно проверить, что формула (3) остается справедливой также и при х

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

[spoiler title=”источники:”]

http://reshimvse.com/zadacha.php?id=9986

http://www.evkova.org/pryamaya-liniya-na-ploskosti-i-v-prostranstve

[/spoiler]

§ 1. Прямоугольная система координат. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости

1. Прямоугольная
   система координат.

Прямая, на которой
выбрано положительное направление
называется осью.

Прямая, на которой
выбрано направление, точка
начало
отсчёта и единичный отрезок, называетсякоординатной
осью (Рис.
1).

Рис. 1.

Координатой
любой точки
данной прямой (в установленной системе
координат) называется число,
если направление от начала координатк точкесовпадает с положительным направлением
оси, и,
в противном случае. Обозначение

.

Две взаимно
перпендикулярные координатные оси, с
общим началом и равными единичными
отрезками, называются прямоугольной
декартовой системой координат (ПДСК).
Одна из осей (горизонтальная) называется
осью абсцисс
,
вторая (вертикальная)осью ординат
.

Плоскость,
на которой введена ПДСК, называетсякоординатной
плоскостью.

Пусть
произвольная
точка плоскости, опустим из точкиперпендикуляры на оси координат, получим
точкиисоответственно (Рис. 2). Пусть точкаимеет координатуна оси абсцисс, точкакоординатуна оси ординат, тогда будем говорить,
что точкаимеет координаты,и обозначать

Прямоугольными
декартовыми координатами
точки
плоскости называется упорядоченная
пара действительных чисели.

1. Расстояние между
   двумя точками.

Расстояние между
точками
ивычисляется по формуле:

. (1)

1. Деление отрезка
   в данном отношении.

Пусть на плоскости
дан произвольный отрезок
и пустьлюбая
точка этого отрезка, отличная от точки(Рис. 3).

Число,
определяемое равенством

,
(2)

называется
отношением,
в котором точка
делит отрезок.

Координаты точки
по данному отношениюи данным координатам точекиможно найти по формулам

, . (3)

В частности, при
делении отрезка пополам, т. е. при
,
получаем формулы для нахождения координат
середины отрезка:

, . (4)

Используя равенства
(3) можно получить формулы для нахождения
координат точки пересечения медиан
треугольника
,
если,,:

, .

1. Площадь
   треугольника.

Площадь треугольника
с вершинами
,,равна:

Выражение вида
равнои называется определителем второго
порядка.

Задача 1. Найти
точку, удалённую на 13 единиц, как от
точки
,
так и от оси.

Решение.
Пусть
искомая
точка. Так как точкаудалена от осина 13 единиц, то её абсциссаили.
Следовательно, получим две точкии.
Найдём вторую координату.

По условию задачи,
расстояние
.
По формуле (2) имеем,

,

.

Возведем в квадрат
обе части равенств:

,

(невозможно).

Отсюда,

или
.

Таким образом,
получили две точки
и.

Задача 2. Даны
три вершины параллелограмма
,,.
Определить четвёртую вершину,
противоположную.

Решение.
Пусть
точка
пересечения диагоналей данного
параллелограмма (Рис. 4) Тогда по свойству
параллелограмма, она делит его диагонали
пополам, т. е.исередина.
Из (4)

,

,

Таким образом,
точка
.
Аналогично,является серединой диагонали.
Так как

, ,

то имеем,

, .

Итак, четвёртая
вершина параллелограмма
.

Задача 3. Даны
вершины треугольника
,,.
Найти длину его медианыи биссектрисы(Рис.5).

Решение.
Пусть
медиана
треугольника.
Тогда из определения медианы следует,
что точкасередина
отрезка.
Вычислим координаты точки,
используя формулы (4):

,

.

Итак, точка
.

Найдём длину
медианы по формуле расстояния между
двумя точками (2):

.

Таким образом,
длина медианы
равна.

Пусть
биссектриса
внутреннего угла треугольникапри вершине.
Воспользуемся следующим свойством
биссектрисы треугольника: биссектриса
делит противолежащую сторону в отношении
пропорциональном прилежащим сторонам,
т. е.

.

Вычислим длины
сторон
ипо формуле (2):

,

.

Таким образом,

.

Координаты точки
определим по формулам (3):

,

.

Итак, точка
.
Найдём длину биссектрисы:

.

Задачи для
самостоятельного решения.

Задача 4.
Где расположены точки имеющие: 1) равные
абсциссы; 2)
равные ординаты; 3) равные координаты.

Задача 5. Определить
координаты точки, симметричной точке
относительно оси абсцисс; относительно
оси ординат, если 1);
2).

Задача 6. Построить
треугольник
.
Доказать, что он прямоугольный, если:

1)
,,;

2)
,,.

Задача 7.
На оси ординат найти точку равноудалённую
от точек
и,
если:

1)
,;

2)
,.

Задача 8.
Найти центр и радиус окружности, описанной
около треугольника
,
если:

1)
,,;

2)
,,.

Задача 9.
Даны две смежные вершины параллелограмма
,и точка пересечения его диагоналей.
Определить две другие вершины, если:

1)
,,;

2)
,,.

Задача 10.
Отрезок, ограниченный точками
,,
разделён на равные части. Определить
координаты точек деления, если:

1)
,,
на три части;

2)
,,
на четыре части.

Задача 11.
Дан треугольник
.
Найти длину медианыи длину биссектрисы,
если

1)
,,;

2)
,,.

Задача 12.
Вычислить площадь треугольника с
вершинами
,,.

Задача 13.
Показать, что точки лежат на одной прямой
,,.

Задача 14^*.
Даны две вершины
итреугольникаи точкапересечения его медиан. Определить
координаты вершины.

Задача 15^*.
Отрезок
разделён точкамиина три равные части. Найти координаты
концов отрезка.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Как доказать теорему о свойстве точек, равноудалённых от прямой?

Первый — что они все лежат на прямой, параллельной данной, второй — что какая-то прямая параллельна данной, третий — что ни одна точка, не равноудалённая от данной прямой, не лежит на какой-то прямой. Проболела, не знаю, как решать. В инете ничего не нашла. Могу примерный рисунок показать. Что дано, не знаю полностью, знаю, что дана прямая, 5 точек, и все они равноудалены от прямой.

Блин, ошиблась.. . В начале описаны 3 пункта, которые нужно доказать.

Если точки равноудалены от данной прямой, то любые две из них (А и В) могут быть по разные стороны от данной прямой, и поэтому они не лежат на прямой, параллельной данной. Любая другая с ними точка С не лежит на прямой этих двух точек (А и В) . В противном случае, эти три точки не были бы равноудалёнными от прямой (При построении получаются три прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом. Два из них равны, а третий не равен двум другим. Катеты трёх треугольников — это расстояния от точек до прямой, и они получаются неодинаковыми.
Если же известно, что все точки, равноудалённые от данной прямой, лежат по одну сторону от неё, то они все лежат на одной прямой, параллельной данной. И никакая точка, не равноудалённая от данной прямой, не будет лежать на одной прямой с данными точками. Это легко доказать. Выбираем две любые точки из данных. Опускаем перпендикуляры от них на данную прямую. Они параллельны между собой, т. к. перпендикулярны одной и той же прямой. Они равны по условию. Значит получается параллелограмм. Он содержит прямой угол, т. е. это — прямоугольник. В нём противолежащие стороны параллельны. Значит, прямая, проходящая через две данные точки, параллельна данной. Далее проводим через одну из этих точек и через любую третью из данных прямую. По предыдущему, она параллельна данной прямой. Она также совпадает с ранее построенной прямой (если бы это было не так, то через одну и ту же точку проходили бы две различные прямые, параллельные одной и той же прямой, что невозможно по пятому постулату Евклида. Если взять любую неравноудалённую точку, то проводя через неё и одну из данных точек прямую, а затем через каждую из этих точек — перпендикуляры к данной прямой, то в предположении, что неравноудалённая точка будет лежать на той же прямой (которая параллельна данной) , мы получили бы прямоугольник (две стороны параллельны по предположению, две стороны — как перпендикуляры к одной и той же прямой, есть прямой угол) . В нём противолежащие стороны (перпендикуляры) должны быть равны, а на самом деле они не равны, т. к. точки не равноудалены. Противоречие. Значит неравноудалённая точка не лежит с равноудалёнными на одной прямой.

Источник

Что значит точка удалена от прямой

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК

Один из основных способов задания фигур на плоскости заключается в указании свойства, которому удовлетворяют точки этой фигуры.

Вспомним определение окружности. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от данной точки на данное расстояние. Свойством здесь является удаленность от данной точки на данное расстояние.

Фигуры, состоящие из всех точек, удовлетворяющих заданному свойству, получили особое название «геометрические места точек». Таким образом, геометрическим местом точек называется фигура, состоящая из всех точек, удовлетворяющих заданному свойству или нескольким заданным свойствам.

Поясним смысл слов “всех точек, удовлетворяющих заданному свойству” в этом определении. Они означают, что все точки, принадлежащие фигуре, удовлетворяют заданному свойству, и наоборот, все точки, удовлетворяющие заданному свойству, принадлежат фигуре. Другими словами, точка принадлежит фигуре в том и только том случае, когда для нее выполняется заданное свойство.

Рассмотрим еще несколько геометрических мест точек.

Серединным перпендикуляром к заданному отрезку на­зывается прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

Выясним, каким геометрическим местом точек является серединный перпендикуляр.

Теорема. Серединный перпендикуляр к отрезку является геометричес­ким местом точек, одинаково удаленных от концов этого отрезка.

Доказательство. Пусть дан отрезок АВ и точка О – его середина. Покажем, что геометрическим местом точек, одинаково удаленных от точек А и В является серединный перпендикуляр к отрезку АВ (рис. 1). Действительно, очевидно, точка О одинаково удалена от точек А, В и принадле­жит серединному перпендикуляру. Если точка С одинаково удалена от точек А и В и не совпадает с точкой О, то треугольник АВС равнобед­ренный и СО – медиана. По свойству равнобедренного треугольника меди­ана является также и высотой. Значит, точка С принадлежит серединному пер­пендикуляру. Обратно, пусть точка С принадлежит серединному перпендикуляру и не совпадает с О, тогда прямоугольные треугольники АОС и ВОС равны (по катетам). Следовательно, АС=ВС.

Теорема. Биссектриса угла является геометрическим местом точек, лежащих внутри данного угла и одинаково удаленных от его сторон.

Доказательство . Рассмотрим угол c вершиной в точке О и сторонами а, b . Пусть точка С лежит внутри данного угла. Опустим из нее перпендикуляры СА и CB на стороны а и b (рис. 2). Если CA = CB , то прямоугольные треугольники А O С и В O С равны (по гипотенузе и катету). Сле­довательно, углы AOC и BOC равны. Значит, точка C принадлежит биссектрисе угла. Обратно, если точка C принадлежит биссектрисе угла, то прямоугольные треугольники AOC и BOC равны (по гипотенузе и острому углу). Следовательно, AC = BC . Значит, точка С одинаково удалена от сторон данного угла.

Пример 1. На данной прямой найдите точку одинаково удаленную от двух за­данных точек.

Решение. Пусть c – данная прямая, A , B – данные точки (рис. 3). Геометрическим местом точек, одинаково удаленных от точек A и B, является серединный перпендикуляр к отрезку AB . Если серединный перпендикуляр и прямая c пересекаются, то искомой точкой C будет их точка пересечения. Если они не пересекаются, то задача не имеет решения.

Пример 2. Найдите точки, одинаково удаленные от прямых, на которых лежат стороны данного треугольника.

Решение. Рассмотрим треугольник ABC (рис. 4). Точка D этого треугольника одинаково удалена от AB и AC , если она принадлежит биссектрисе угла A . Аналогично, точка D треугольника ABC одинаково удалена от AB и BC , если она принадлежит биссектрисе угла B . Таким образом, точкой одинаково удаленной от AB , AC и BC будет точка пересечения биссектрис углов A и B треугольника ABC .

Заметим, что так как эта точка одинаково удалена от AC и BC , то она будет принадлежать и биссектрисе угла C . Значит, все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

1 . Какое геометрическое место точек представляет собой: а) отрезок; б) луч; в) круг c центром O и радиусом R ; г) кольцо с центром O и радиусами R ₁ , R ₂ ( R ₁ R ₂ )?

2 . Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

3 . Найдите геометрическое место вершин С равнобедренных треугольников с заданным основанием AB .

4. Пусть А и В — точки плоскости. Найдите геометрическое место точек С, для которых: а) АС ВС; б) АС АВ.

5. Даны три точки: А, В, С. Найдите точки, которые одинаково уда­лены от точек А и В и находятся на расстоянии R от точки С.

6. На данной прямой a найдите точки, удаленные от данной точки C на заданное расстояние R . Какие при этом возможны случаи?

7. Пусть А и В точки плоскости, c — прямая. Найдите геометричес­кое место точек прямой c , расположенных ближе к А, чем к В. В каком случае таких точек нет?

8. Пусть a и b — пересекающиеся прямые. Найдите геометрическое место точек: а) одинаково удаленных от a и b ; б) расположенных ближе к a , чем к b .

9. Пусть А, В, С — три точки, не принадлежащие одной прямой. Найди­те геометрическое место точек М таких, что: а) прямая СМ пересекает отрезок АВ; б) луч СМ пересекает отрезок АВ; в) отрезок СМ пересекает отрезок АВ.

10. На прямой, пересекающей стороны угла, найдите точку, одинаково удаленную от этих сторон.

11. Дан угол АВС и точки M , N на его сторонах. Внутри угла найдите точку, оди­наково удаленную от точек M и N и находящуюся на одинаковом расстоянии от сторон угла.

12. В треугольнике АВС АВ=ВС=14 см. Серединный перпендикуляр к стороне АВ пересекает сторону AB в точке D и сторону AC в точке E (рис. 5). Точка Е соеди­нена с точкой В. Найдите сторону АС треугольника АВС, если периметр треугольника ВЕС равен 40 см.

13. В треугольнике АВС АВ=ВС=18 см. Середин­ный перпендикуляр к стороне АВ пересекает сторону AB в точке D и сторону ВС в точке Е (рис. 6). Точка Е соединена с точкой А. Периметр треугольника АЕС равен 27 см. Найдите сторону АС.

14. Невдалеке от двух населенных пунктов проходит шоссе. В каком месте этого шоссе нужно построить автозаправочную станцию, чтобы расстояния от нее до обоих пунктов были одинаковыми?

15. Жильцы трех домов решили совместными усилиями вырыть колодец. В каком месте следует расположить колодец, чтобы расстояния от него до домов были одинаковыми?

Источник

Отклонение точки от прямой

В данной статье мы рассмотрим понятие отклонения точки от прямой на плоскости. Приведем примеры нахождения отклонения точки от прямой.

Отклонение точки от прямой на плоскости − это расстояние от точки до прямой, взятой со знаком «+», если эта точка и начало координат лежат по разные стороны прямой, и со знаком «−», если точка и начало координат лежат по одну сторону от прямой.

Если прямая проходит через начало координат, то отклонение точки от прямой предполагается равным расстоянию от точки до прямой, взятой со знаком «+», если точка лежит по ту сторону от прямой, куда направлен пормальный вектор прямой, и равным расстоянию от точки до прямой, взятой со знаком «−», в противном случае.

Обозначим отклонение точки от прямой символом δ, а расстояние от точки до прямой символом d. На рисунке Рис.1 отклонение точки M₁ от прямой L равно δ=+d₁, так как точка M₁ и начало координат O лежат по разные стороны прямой L, а отклонение точки M₂ от прямой L равно δ=−d₂, так как точка M₂ и начало координат O лежат по одну сторону от прямой L.

На рисунке Рис.2 прямая L проходит через начало координат. Поэтому, отклонение точки M₁ от прямой L равно δ=+d₁, так как точка M₁ лежит по ту сторону прямой L, куда направлен нормальный вектор n прямой L, а отклонение точки M₂ от прямой L равно δ=−d₂, так как точка M₂ лежит по противоположную сторону прямой, куда направлен нормальный вектор n прямой L

где r− расстояние начала координат до прямой L, а φ− угол между нормальным вектором прямой L и осью Ox.

Покажем, что левая часть нормального уравнения прямой дает отклонение точки M(x,y) от прямой, заданной уравнением (1). Для этого докажем следующую теорему:

Теорема 1. Пусть прямая L определяется нормальным уравнением прямой (1). Тогда отклонением точки M с координатами x, y от прямой L равно δ=xcosφ+ysinφ−r.

Доказательство. Проведем через нормальный вектор прямой L линию OQ (Рис.3). Проекция точки М на прямую OQ будет точка S. Отклонение δ точки M от прямой L будет равно SR.

,

(3)

где n− единичный нормальный вектор прямой L, α−угол между векторами n и .

Из (3) и (4) следует:

.

(5)

С другой стороны

,

(6)

так как нормальный вектор прямой имеет координаты n=<cosφ, sinφ>, а точка M − M(x, y).

Сопоставляя (2), (5) и (6), получим:

Таким образом, как следует из теоремы 1, для вычисления отклонения некоторой точки M₀(x₀, y₀) от прямой, нужно в левую часть нормированного уравнения прямой (1) подставить координаты точки M₀:

Заметим, расстояние от точки M₀ до прямой L будет равно модулю отклонения данной точки от прямой.

Пример 1. Задано нормальное уравнение прямой:

.

(7)

Найти отклонение точки M(5,-3) от прямой (7).

Решение. Подставим координаты точки M(5,−3) в левую часть уравнения (7):

Ответ. Отклонение точки M(5,−3) от прямой (7) равно:

.

Пример 2. Задано общее уравнение прямой:

Найти отклонение точки M(1,1) от прямой (8).

Решение. Один из простых методов решения − это приведение общего уравнения прямой к нормальному виду (подробнее об этом читайте в статье «нормальное уравнение прямой»). Для приведения уравнения (8) к нормальному виду, нужно умножить данное уравнение на нормирующий множитель:

.

Так как в уравнении (8) третий коэффициент равен +1, то знак нормирующего множителя должен быть противоположным:

.

Умножив уравнение (8) на нормирующий множитель, получим:

.

Теперь найдем отклонение точки M(1,1) от прямой (8). Для этого вставим координаты точки M в левую часть уравнения(8):

.

Ответ. Отклонение точки M(1,1) от прямой (8) равно:

Источник