Как найти координаты точки на ребре

Введение системы координат

30 мая 2011

Метод координат — это, конечно, очень хорошо, но в настоящих задачах C2 никаких координат и векторов нет. Поэтому их придется вводить. Да-да, вот так взять и ввести: указать начало отсчета, единичный отрезок и направление осей x, y и z.

Самое замечательное свойство этого метода заключается в том, что не имеет никакого значения, как именно вводить систему координат. Если все вычисления будут правильными, то и ответ будет правильным.

Тем не менее, приведу некоторые рекомендации, как лучше ввести систему координат для самых часто встречающихся в задаче C2 многогранников. С указанием конкретных точек. Во всех случаях упор делается на минимизацию объема вычислений.

Координаты куба

Если в задаче C2 будет куб — считайте, что вам повезло. Это самый простой многогранник, все двугранные углы которого равны 90°.

Система координат также вводится очень просто:

1. Начало координат — в точке A;
2. Чаще всего ребро куба не указано, поэтому принимаем его за единичный отрезок;
3. Ось x направляем по ребру AB, y — по ребру AD, а ось z — по ребру AA₁.

Обратите внимание: ось z направляется вверх! После двумерной системы координат это несколько непривычно, но на самом деле очень логично.

Итак, теперь у каждой вершины куба есть координаты. Соберем их в таблицу — отдельно для нижней плоскости куба:

Точка	A	B	C	D
Координаты	(0; 0; 0)	(1; 0; 0)	(1; 1; 0)	(0; 1; 0)

И для верхней:

Точка	A1	B1	C1	D1
Координаты	(0; 0; 1)	(1; 0; 1)	(1; 1; 1)	(0; 1; 1)

Несложно заметить, что точки верхней плоскости отличаются соответствующих точек нижней только координатой z. Например, B = (1; 0; 0), B₁ = (1; 0; 1). Главное — не запутаться!

Координаты трехгранной призмы

Призма — это уже намного веселее. При правильном подходе достаточно знать координаты только нижнего основания — верхнее будет считаться автоматически.

В задачах C2 встречаются исключительно правильные трехгранные призмы (прямые призмы, в основании которых лежит правильный треугольник). Для них система координат вводится почти так же, как и для куба. Кстати, если кто не в курсе, куб — это тоже призма, только четырехгранная.

Итак, поехали! Вводим систему координат:

1. Начало координат — в точке A;
2. Сторону призмы принимаем за единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи;
3. Ось x направляем по ребру AB, z — по ребру AA₁, а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.

Здесь требуются некоторые пояснения. Дело в том, что ось y НЕ совпадает с ребром AC, как многие считают. А почему не совпадает? Подумайте сами: треугольник ABC — равносторонний, в нем все углы по 60°. А углы между осями координат должны быть по 90°, поэтому сверху картинка будет выглядеть так:

Надеюсь, теперь понятно, почему ось y не пойдет вдоль AC. Проведем в этом треугольнике высоту CH. Треугольник ACH — прямоугольный, причем AC = 1, поэтому AH = 1 · cos A = cos 60°; CH = 1 · sin A = sin 60°. Эти факты нужны для вычисления координат точки C.

Теперь взглянем на всю призму вместе с построенной системой координат:

Получаем следующие координаты точек:

Как видим, точки верхнего основания призмы снова отличаются от соответствующих точек нижнего лишь координатой z. Основная проблема — это точки C и C₁. У них есть иррациональные координаты, которые надо просто запомнить. Ну, или понять, откуда они возникают.

Координаты шестигранной призмы

Шестигранная призма — это «клонированная» трехгранная. Можно понять, как это происходит, если взглянуть на нижнее основание — обозначим его ABCDEF. Проведем дополнительные построения: отрезки AD, BE и CF. Получилось шесть треугольников, каждый из которых (например, треугольник ABO) является основанием для трехгранной призмы.

Теперь введем собственно систему координат. Начало координат — точку O — поместим в центр симметрии шестиугольника ABCDEF. Ось x пойдет вдоль FC, а ось y — через середины отрезков AB и DE. Получим такую картинку:

Обратите внимание: начало координат НЕ совпадает с вершиной многогранника! На самом деле, при решении настоящих задач вы обнаружите, что это очень удобно, поскольку позволяет значительно уменьшить объем вычислений.

Осталось добавить ось z. По традиции, проводим ее перпендикулярно плоскости OXY и направляем вертикально вверх. Получим итоговую картинку:

Запишем теперь координаты точек. Предположим, что все ребра нашей правильной шестигранной призмы равны 1. Итак, координаты нижнего основания:

Координаты верхнего основания сдвинуты на единицу по оси z:

Координаты четырехугольной пирамиды

Пирамида — это вообще очень сурово. Мы разберем только самый простой случай — правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны единице. Однако в настоящих задачах C2 длины ребер могут отличаться, поэтому ниже приведена и общая схема вычисления координат.

Итак, правильная четырехугольная пирамида. Это такая же, как у Хеопса, только чуть поменьше. Обозначим ее SABCD, где S — вершина. Введем систему координат: начало в точке A, единичный отрезок AB = 1, ось x направим вдоль AB, ось y — вдоль AD, а ось z — вверх, перпендикулярно плоскости OXY. Для дальнейших вычислений нам потребуется высота SH — вот и построим ее. Получим следующую картинку:

Теперь найдем координаты точек. Для начала рассмотрим плоскость OXY. Здесь все просто: в основании лежит квадрат, его координаты известны. Проблемы возникают с точкой S. Поскольку SH — высота к плоскости OXY, точки S и H отличаются лишь координатой z. Собственно, длина отрезка SH — это и есть координата z для точки S, поскольку H = (0,5; 0,5; 0).

Заметим, что треугольники ABC и ASC равны по трем сторонам (AS = CS = AB = CB = 1, а сторона AC — общая). Следовательно, SH = BH. Но BH — половина диагонали квадрата ABCD, т.е. BH = AB · sin 45°. Получаем координаты всех точек:

Вот и все с координатами пирамиды. Но не с координатами вообще. Мы рассмотрели лишь самые распространенные многогранники, однако этих примеров достаточно, чтобы самостоятельно вычислить координаты любых других фигур. Поэтому можно приступать, собственно, к методам решения конкретных задач C2.

Смотрите также:

1. Четырехугольная пирамида в задаче C2
2. Метод координат в пространстве
3. Сложение и вычитание дробей
4. Не пишите единицы измерения в задаче B12
5. Как решать простейшие логарифмические уравнения
6. Задача B4: транзит нефти

План урока:

Прямоугольная система координат

Координаты вектора

Координаты середины отрезка

Вычисление длины векторов и расстояния между точками

Коллинеарность векторов

Определение компланарности векторов

Скалярное произведение векторов

Прямоугольная система координат

В планиметрии мы уже рассматривали прямоугольную систему координат. Ее образовывали 2 перпендикулярные друг другу оси – Ох и Оу. С ее помощью можно было определить положение любой точки на координатной плоскости, просто указав две ее координаты – абсциссу х и ординату у.

В стереометрии необходимо определять положение точки уже не на плоскости, а в пространстве. Для этого добавляется третья ось Оz, которую ещё называют осью апликат. Каждые пара осей образует свою отдельную координатную плоскость, всего получается три таких плос-ти: Оху, Охz и Oуz.

Точка О именуется началом координат. Она делит каждую ось на два луча, один из которых – это положительная полуось, а второй – отрицательная полуось.

Для каждой точки в пространстве можно указать три координаты, однозначно определяющие ее положение в пространстве. Пусть в пространстве есть некоторая точка М. Опустим из нее перпендикуляры на координатные плоскости. В свою очередь из этих проекций точки М опустим перпендикуляры уже на координатные оси. В результате будет построен прямоугольный параллелепипед. Измерения этого параллелепипеда и будут координатами точки М:

Если точка M находится в одной из координатных плоскостей, то одна из ее координат будет нулевой. Например, если М принадлежит плоскости Охz, то нулю будет равна координата у. Если же точка располагается на одной из координатных осей, то у нее уже две координаты будут нулевыми. Так, если точка находится на оси Ох, то только координата х может быть ненулевой, а у и z окажутся нулевыми координатами.

На показанном рисунке ребра параллелепипеда лежат на положительных полуосях, поэтому все координаты положительны. Если же какие-то ребра будут лежать на отрицательных полуосях, то и соответствующие координаты будут отрицательными.

Координаты вектора

Введем в пространстве прямоугольную систему коорд-т, а далее от ее начала отложим вектора i, j и k, которые соответственно будут лежать на координатных осях Ох, Оу и Оz, и длина которых составит единицу. Эти вектора именуют координатными векторами, единичными векторами или просто ортами.

Ясно, что орты находятся в разных плоскостях, то есть они образуют тройку некомпланарных векторов. Это означает, что любой вектор а в пространстве можно разложить на орты:

где х, у и z – какие-то действительные числа. Они как раз и считаются координатами вектора а. Записываются коорд-ты вектора в фигурных скобках. На следующем рисунке показан вектор а{3; – 2; – 4}.

Задание. Разложите на орты вектор

Если начало вектора ОМ располагается в начале системы координат О, то вектор ОМ именуют радиус-вектором. В таком случае коорд-ты точки конца вектора, то есть точки М, совпадают с коорд-тами самого вектора ОМ.

Это свойство радиус-вектора мы уже изучали в 9 классе в планиметрии, и в стереометрии оно сохраняется.

Задание. О – начало координат, а точка М имеет коорд-ты (2; 5; – 3). Найдите коорд-ты вектора ОМ.

Решение. Всё очень просто – коорд-ты вектора будут совпадать с коорд-тами его конца, так его начало совпадает с началом коорд-т:

Также в стереометрии остаются справедливыми ещё несколько правил, которые были доказаны в курсе планиметрии:

Задание. Найдите сначала сумму, а потом разность векторов а{3; 7; 5} и b{2; 4; 6}.

Решение. Будем обозначать коорд-ты векторов через индексы. Например, коорд-ты вектора а – это х_а, у_а и z_а. Пусть сумма векторов будет вектором с, а их разность – вектором d. Для вычисления суммы надо складывать соответствующие координаты:

Для вычисления разности надо из коорд-т вектора а вычитать коорд-ты вектора b:

Задание. Вычислите коорд-ты вектора р, зная, что:

Решение. Для вычисления координат надо в выражении для вектора р сами векторы заменить на их координаты:

Получается, что вектор p имеет координаты {0; – 2; 3}.

Теперь мы можем доказать ещё одно утверждение, уже известное из курса планиметрии:

Действительно, пусть есть некоторый вектор АВ, причем коорд-ты точек А и В известны. Построим радиус-вектора OА и OВ:

Координаты радиус-векторов будут совпадать с координатами их концов:

ч. т. д.

Задание. Определите коорд-ты вектора CD, если даны коорд-ты точек С и D: С(3; 8; – 5) и D(5; 4; 1).

Решение. Здесь надо просто из коорд-т точки D, являющейся концом вектора, вычесть коорд-ты точки С:

Задание. От точки K(10; 6; 13) отложен вектор m{3; 2; 5}, конец совпал в точку H. Найдите коорд-ты точки H.

Решение. Коорд-ты вектора m и его концов связаны формулами:

Координаты середины отрезка

Пусть в пространстве есть отрезок АВ, и координаты его концов известны. Точка М – середина этого отрезка. Как вычислить ее координаты? Рассмотрим взаимосвязь векторов АМ, МВ и АВ:

Раз М – середина АВ, то вектора АМ и МВ имеют равные длины, и при этом они находятся на одной прямой. Значит, эти вектора равны и потому у них одинаковые коорд-ты:

Аналогично можно получить аналогичные формулы для коорд-т у и z:

Рассмотрим несколько задач на координаты точек.

Задание. Найдите коорд-ты середины отрезка, соединяющего точки А(3; 7; 12) и В(1; 5; – 4).

Решение. Просто используем только что выведенные формулы. Середину также обозначаем буквой М:

Задание. Известно, что K середина отрезка CD. Даны координаты точек С и K: С(12; 9; – 3) и K(15; 7; 3). Найдите коорд-ты D.

Решение. Сначала запишем формулу для коорд-ты х:

Вычисление длины векторов и расстояния между точками

Рассмотрим радиус-вектор ОМ с коорд-тами {x; у; z}. Попытаемся найти его длину. Мы можем построить прямоугольный параллелепипед, в котором этот вектор окажется диагональю:

Напомним, что квадрат длины диагонали в прямоугольном параллелепипеде равен сумме квадратов его измерений. Но в полученном параллелепипеде измерения – это коорд-ты х, у и z, поэтому можно записать:

Так как равные вектора имеют как одинаковы и коорд-ты, и длина, то ясно, что каждый вектор с коорд-тами {x; y; z} будет равен рассмотренному радиус-вектору, а значит и его длина будет рассчитываться по такой же формуле.

Задание. Найдите длину вектора m{– 2; 9; 6}.

Решение. Просто используем формулу:

Рассмотрим отрезок АВ с известными коорд-тами его концов. Можно построить вектор АВ, его коорд-ты будут определяться так:

Задание. Найдите расстояние между точкой K(10; 15; 5) и M(16; 21; – 2).

Решение. Просто подставляем коорд-ты точек в формулу:

Задание. Найдите длину медианы KM в ∆ KPN, если известны коорд-ты его вершин: P(2; 5; 8), N (6; 9; 12) и K(16; 11; 13).

Решение. Для нахождения длины медианы достаточно знать коорд-ты ее концов. Коорд-ты K уже известны, а M – середина PN, что позволяет вычислить и ее коорд-ты:

Коллинеарность векторов

Напомним, что если два вектора а и b коллинеарны друг другу, то должно существовать такое число k, что

Полученное отношение (1) является одновременно и признаком коллинеарных векторов, и их свойством. Слово «признак» означает, что любые вектора, чьи координаты соответствуют условию (1), будут коллинеарны. Слово «свойство» означает обратное – если известно, что вектора коллинеарны, то для них обязательно выполняется условие (1). В таких случаях в математике может использоваться словосочетание «тогда и только тогда»:

Очень важно то, что это правило действует только в случае, если все коорд-ты векторов ненулевые. Теперь рассмотрим случай, когда какие-то коорд-ты вектора b (одна или две из них) равны нулю. Например, пусть

В результате мы выяснили, что если коорд-та одного вектора нулевая, то и у любого вектора, коллинеарному ему, эта же коорд-та также должна быть нулевой. Особняком стоит случай с нулевым вектором с коорд-тами {0; 0; 0}. Он условно признается коллинеарным любому вектору.

Задание. Выясните, какие из этих пар векторов коллинеарны:

Решение. В первом задании просто делим друг на друга соответствующие коорд-ты и находим значение коэффициента k:

Значение коэффициента k оказалось одинаковым для каждой пары коорд-т, значит, вектора коллинеарны.

Повторяем эти действия в задании б):

На этот раз коэффициенты k оказались различными, значит, вектора неколлинеарны.

В задании в) у вектора е коорд-та z нулевая. Значит, если и у вектора f, если он коллинеарен z, эта координата должна быть нулевой, но это не так. Значит, вектора e и f неколлинеарны.

В задании г) снова указаны вектора с нулевыми коорд-тами. Но у обоих векторов коорд-та z нулевая, поэтому они могут быть коллинеарными. Однако необходимо проверить, что отношение ненулевых координат одинаково:

Коэффициент k получился одинаковым, поэтому вектора коллинеарны.

В последнем задании д) вектор n – нулевой, ведь все его коорд-ты нулевые. Нулевой вектор всегда коллинеарен другим векторам, в том числе и в этом задании.

Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) да; д) да.

Задание. Выясните, располагаются ли на одной прямой точки А(3; 5; 12), В(5; 7; 16) и С(0; 2; 6).

Решение. Ясно, что если эти точки находятся на одной прямой, то вектора АВ и ВС будут коллинеарными. Если же эти вектора неколлинеарны, то и точки должны находиться на разных прямых.

Сначала вычислим коорд-ты векторов АВ и ВС:

Теперь проверяем, коллинеарны ли эти вектора:

Коэффициенты k одинаковы, а потому АВ и ВС – коллинеарные векторы. Значит, точки А, В и С находятся на одной прямой.

Определение компланарности векторов

Пусть у нас есть три вектора с известными коорд-тами:

Как определить, компланарны ли эти вектора, то есть располагаются ли они в одной плоскости? Если эти вектора компланарны, то, по признаку компаланарности, вектор а можно разложить на вектора b и с:

где х и y – некоторые числа. Но если такое разложение существует, то коорд-ты векторов а, b и с будут связаны равенствами:

Получили систему из 3 уравнений с двумя неизвестными (х и y). Если такая система имеет решение, то вектора компланарны. Если же решения нет, то вектора не компланарны.

Задание. Определите, компланарны ли вектора

Имеем систему с тремя уравнениями. Из последних двух уравнений очевидно, что его решением может быть только пара чисел:

Значит, рассмотренная тройка векторов компланарна.

Задание. Располагаются ли в одной плос-ти вектора:

Решение. Нам надо проверить компаланарность векторов, поэтому действуем также, как и в предыдущей задаче. Если вектора компланарны, то существует разложение:

Получилось неверное равенство. Это означает, что у системы уравнений решения нет, и потому тройка векторов некомпланарна.

Скалярное произведение векторов

В 9 классе мы уже изучали скалярное произведение векторов.

Для нахождения угла между векторами необходимо отложить их от одной точки, тогда они образуют такой угол.

Задание. Угол между векторами с и d составляет 60°, а их длины соответственно равны 5 и 6. Найдите их скалярное произведение.

Решение. Здесь для расчета просто перемножаем длины векторов и косинус 60°:

Напомним несколько уже известных нам фактов о скалярном произведении, остающихся верными и в стереометрии:

Формула для расчета скалярного произведения по коорд-там векторов, используемая в стереометрии, несколько отличается от формулы из курса планиметрии. Напомним, что в планиметрии произведение векторов а{x_а; у_а} и b{х_b; y_b} можно было рассчитать так:

Задание. Вычислите скалярное произведение векторов:

На практике скалярное произведение обычно используется для расчета углов между векторами, а также отрезками и прямыми. Рассмотрим несколько задач.

Задание. Вычислите угол между векторами:

Теперь через скалярное произведение возможно рассчитать косинус искомого нами угла, а затем и сам угол, который мы обозначим как α:

Задание. Рассчитайте углы в ∆АВС, зная коорд-ты его вершин: А(1; – 1; 3), В(3; – 1; 1) и С(– 1; 1; 3).

Решение. Чтобы найти ∠В, необходимо просто рассчитать угол между векторами ВС и ВА также, как это сделано в предыдущей задаче. Но сначала найдем коорд-ты векторов ВС и ВА и их длины:

Далее рассчитываем скалярное произведение векторов:

Теперь найдем угол А, который представляет собой угол между векторам AВ и AС. Вектор AВ – это вектор, противоположный ВA, то у него та же длина, но противоположный знак у коорд-т:

Задание. В прямоугольном параллелепипеде АВСDA₁B₁C₁D₁ ребра имеют длину:

AB = 1

BC = 2

BB₁ = 2

Рассчитайте угол между векторами DB₁ и BC₁.

Решение. Введем систему коорд-т Охуz и расположим в нем параллелепипед следующим образом:

При этом построении граничные точки векторов будут иметь следующие коорд-ты:

Находим коорд-ты векторов, а также их длины:

Рассчитываем скалярное произведение DB₁ и BC₁:

Получили ноль. Из этого вытекает, что вектора перпендикулярны, то есть искомый нами угол составляет 90°.

Ответ: 90°

Сегодня мы научились использовать координаты для решения стереометрических задач. Почти все формулы, используемые в методе координаты, аналогичны тем формулам, которые были выведены ещё в курсе планиметрии. Надо лишь учитывать существование ещё одной, третьей координаты z.

Тригонометрия

Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки ( Aleft( 1;0 right) ) на ( -225<>^circ ) .

Окружность единичная с центром в точке ( left( 0;0 right) ) , значит, мы можем воспользоваться упрощёнными формулами:

( beginx=cos beta =cos (-225<>^circ )\y=sin beta =sin (-225<>^circ )end ) .

Можно заметить, что ( -225<>^circ =-360<>^circ +135<>^circ ; -225<>^circ =-180<>^circ -45<>^circ ) . Изобразим рассматриваемый пример на рисунке:

Радиус ( <_<1>>W ) образует с осью ( x ) углы, равные ( 45<>^circ ) и ( 135<>^circ ) . Зная, что табличные значения косинуса и синуса ( 45<>^circ ) равны ( displaystyle dfrac<sqrt<2>> <2>) , и определив, что косинус здесь принимает отрицательное значение, а синус положительное, имеем:

Подробней подобные примеры разбираются при изучении формул приведения тригонометрических функций в теме “Формулы тригонометрии”.

Таким образом, искомая точка имеет координаты ( left( -dfrac<sqrt<2>><2>;dfrac<sqrt<2>> <2>right) ) .

10.V-3. Поворот точки вокруг начала координат-2

Алгебра. 10 класс. Тригонометрия. Тест 3.

Вариант 1.

1. Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на угол 3π/2±π.

A) (0; -1); B) (0; 1); C) (1; 0); D) (-1; 0).

2. Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на угол π/6±π.

3. Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на угол π+πk, где kϵZ.

A) (-1; 0); (1; 0); B) (0; -1); (1; 0); C) (1; 0); (0; 1); D) (0; -1); (-1; 0).

4. Записать все углы, на которые нужно повернуть точку Р(1; 0), чтобы в результате получить

A) 3π/4+2πk, kϵZ; B) -π/4+2πk, kϵZ; C) π/4+2πk, kϵZ; D) 7π/4+2πk, kϵZ.

5. Записать все углы, на которые нужно повернуть точку Р(1; 0), чтобы в результате получались

A) π/6+πk, kϵZ; B) π/3+2πk, kϵZ; C) -π/3+πk, kϵZ; D) -π/6+2πk, kϵZ.

6. При повороте точки Р(1; 0) вокруг начала координат получены углы α=π/2+πk, kϵZ. Записать те из них, которые принадлежат отрезку [-5π; -7π/2].

A) -9π/2; -4π; B) -9π/2; -7π/2; C) -7π/2; D) -5π; -9π/2.

7. Точке М единичной окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел ±5π/6+2πk, где kϵZ. Записать те из них, которые принадлежат отрезку [3π; 9π/2].

A) 19π/6; B) 17π/6; C) 4π; D) 13π/6.

8. Точке М единичной окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел ±π/3+πk, где kϵZ. Записать те из них, которые принадлежат отрезку [-2π; -π/2].

A) -5π/3; -4π/3; B) -4π/3; -2π/3; C) -5π/3; -4π/3; -2π/3; D) -2π; -4π/3; -2π/3.

Вариант 2.

1. Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на угол π/2±π.

A) (0; -1); B) (0; 1); C) (1; 0); D) (-1; 0).

2. Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на угол π/3±π.

3. Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на угол -π+πk, где kϵZ.

A) (-1; 0); (0; -1); B) (0; -1); (1; 0); C) (1; 0); (0; 1); D) (1; 0); (-1; 0).

4. Записать все углы, на которые нужно повернуть точку Р(1; 0), чтобы в результате получить

A) 5π/6+2πk, kϵZ; B) π/6+2πk, kϵZ; C) -π/6+2πk, kϵZ; D) 5π/3+2πk, kϵZ.

5. Записать все углы, на которые нужно повернуть точку Р(1; 0), чтобы в результате получались

A) -π/4+πk, kϵZ; B) π/4+πk, kϵZ; C) -π/8+πk, kϵZ; D) -π/6+2πk, kϵZ.

6. При повороте точки Р(1; 0) вокруг начала координат получены углы α=πk, kϵZ. Записать те из них, которые принадлежат отрезку [4π; 11π/2].

A) 9π/2; 5π; B) 4π; 9π/2; C) 4π; 5π; D) 5π.

7. Точке М единичной окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел -π/4+2πk, где kϵZ. Записать те из них, которые принадлежат отрезку [-9π/2; -3π].

A) -13π/4; B) -19π/4; C) -15π/4; D) -17π/4.

8. Точке М единичной окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел ±2π/3+2πk, где kϵZ. Записать те из них, которые принадлежат отрезку [-5π; -7π/2].

A) -16π/3; B) -14π/3; C) -13π/3; D) -3π; -14π/3.

Вариант 3.

1. Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на угол -π/2±π.

A) (0; 1); B) (0; -1); C) (1; 0); D) (-1; 0).

2. Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на угол 3π/4±π.

3. Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на угол -3π/2+πk, где kϵZ.

A) (-1; 0); (0; -1); B) (0; 1); (0; -1); C) (1; 0); (0; 1); D) (1; 0); (-1; 0).

4. Записать все углы, на которые нужно повернуть точку Р(1; 0), чтобы в результате получить

A) 5π/3+2πk, kϵZ; B) π/3+2πk, kϵZ; C) π/6+2πk, kϵZ; D) 7π/6+2πk, kϵZ.

5. Записать все углы, на которые нужно повернуть точку Р(1; 0), чтобы в результате получались

A) -π/6+πk, kϵZ; B) -π/4+πk, kϵZ; C) -π/3+πk, kϵZ; D) π/6+2πk, kϵZ.

6. При повороте точки Р(1; 0) вокруг начала координат получены углы α=5π/6+2πk, kϵZ. Записать те из них, которые принадлежат отрезку [-6π; -4π].

A) -5π; B) -29π/6; C) -25π/6; D) -31π/6.

7. Точке М единичной окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел ±π/4+2πk, где kϵZ. Записать те из них, которые принадлежат отрезку [-5π; -3π].

A) -17π/4; B) -15π/4; C) -15π/4; -17π/4; D) -13π/4; -15π/4.

8. Точке М единичной окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел π/4+πk/2, где kϵZ. Записать те из них, которые принадлежат отрезку [5π; 13π/2].

A) 21π/4; 23π/4; 25π/4; B) 21π/4; 23π/4; C) 23π/4; 25π/4; D) 23π/4.

Вариант 4.

1. Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на угол -3π/2±π.

A) (-1; 0); B) (0; 1); C) (1; 0); D) (0; -1).

2. Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на угол 5π/6±π.

3. Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на угол 3π/2+πk, где kϵZ.

A) (-1; 0); (0; -1); B) (0; -1); (0; 1); C) (1; 0); (0; 1); D) (1; 0); (-1; 0).

4. Записать все углы, на которые нужно повернуть точку Р(1; 0), чтобы в результате получить

A) π/3+2πk, kϵZ; B) -π/3+2πk, kϵZ; C) 2π/3+2πk, kϵZ; D) π/6+2πk, kϵZ.

5. Записать все углы, на которые нужно повернуть точку Р(1; 0), чтобы в результате получались

A) π/6+πk, kϵZ; B) -π/4+πk, kϵZ; C) π/3+πk, kϵZ; D) π/4+πk, kϵZ.

6. При повороте точки Р(1; 0) вокруг начала координат получены углы α=π/3+2πk, kϵZ. Записать те из них, которые принадлежат отрезку [-5π/2; -π].

A) -5π/3; B) -π/3; -4π/3; C) -2π/3; D) -4π/3.

7. Точке М единичной окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел ±π/3+2πk, где kϵZ. Записать те из них, которые принадлежат отрезку [-2π; -π/2].

A) -π/3; B) -2π/3; C) -4π/3; D) -5π/3.

8. Точке М единичной окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел π/4+πk/2, где kϵZ. Записать те из них, которые принадлежат отрезку [-7π/2; -5π/2].

A) -13π/4; B) -13π/4; -11π/4; C) -11π/4; D) -3π.

Поворот точки вокруг начала координат

Рассмотрим на координатной плоскости окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Ее называют единичной окружностью. Введем понятие поворота точки единичной окружности во круг начала координат на угол α радиан, где α – любое действительное число.

1. 1. Пусть α>0. Предположим, что точка, двигаясь поединичной окружности от точки Р против часовой стрелки, прошла путь длиной α (рис. 1). Конечную точку пути обозначим М.

В этом случае будем говорить, что точка М получена из точки Р поворотом вокруг начала координат на угол α радиан.

Частные случаи решения уравнений tg x = a

Уравнение	Решение
tg x = – 1
tg x = 0
tg x = 1

20(1). Вопрос: Определение производной, правила дифференцирования, примеры.

Ответ: Производная функции − одно из основных понятий математики, а в математическом анализе производная наряду с интегралом занимает центральное место. Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Обратная операция − восстановление функции по известной производной − называется интегрированием.

Производная функции в некоторой точке характеризует скорость изменения функции в этой точке.

1. Вопрос: Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом (доказать одно из них).

Ответ: А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

А В (точки А, В, С лежат в плоскости ) С

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

АB Прямая АВ лежит в плоскости

Замечание. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

а = М Прямая а и плоскость пересекаются в точке М.

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

= a и пересекаются по прямой а.

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

1) Рассмотрим прямую a и точку A, которая не находится на этой прямой.

2) На прямой a выберем точки B и C.

3) Так как все 3 точки не находятся на одной прямой, из второй аксиомы следует, что через точки A, B, Cи можно провести одну единственную плоскостьα.

4) Точки прямой a, B и C, лежат на плоскостиα, поэтому из третьей аксиомы следует, что плоскость проходит через прямую a и, конечно, через точку A.

Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

2. Вопрос: Теорема о параллельности трех прямых (формулировка и доказательство).

Ответ: Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Выберем точку M на прямой b.

Через точку M и прямую a, которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).

Возможны два случая:

1) прямая b пересекает плоскость α или 2) прямая b находится в плоскости α.

Пусть прямая b пересекает плоскость α.

Значит, прямая c, которая параллельна прямой b, тоже пересекает плоскость α. Так как a∥c, то получается, что a тоже пересекает эту плоскость. Но прямая a не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α. Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая b пересекает плоскость α, является неверным.

Значит, прямая b находится в плоскости α.

Теперь нужно доказать, что прямые a и b параллельны.

Пусть у прямых a и b есть общая точка L.

Это означает, что через точку L проведены две прямые a и b, которые параллельны прямой c. Но по теореме (Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и при том только одну.) это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые a и b не имеют общих точек.

Так как прямые a и b находятся в одной плоскости α и у них нет общих точек, то они параллельны.

3. Вопрос: Параллельные прямые в пространстве(определение). Теорема о параллельных прямых.

Ответ: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема о параллельных прямых: Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

4. Вопрос: Параллельность прямой и плоскости(определение). Признак параллельности прямой и плоскости.

Ответ: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости:Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то прямая параллельна самой плоскости.

5. Вопрос: Расположение прямых в пространстве(виды). Признак скрещивающихся прямых.

Ответ:

Признак скрещивающихся прямых: Если одна из двух прямых лежит на плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

6. Вопрос: Углы с сонаправленными сторонами. Определение, теорема.

7. Вопрос: Признак параллельности двух плоскостей.

Ответ: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

8. Вопрос: Свойства параллельности плоскостей(доказать одно из них)

Ответ: Всего 3 свойства.

С1:Если две па­рал­лель­ные плос­ко­сти пе­ре­се­че­ны тре­тьей, то линии их пе­ре­се­че­ния па­рал­лель­ны.

Пусть даны па­рал­лель­ные плос­ко­сти и и плос­кость , ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет плос­ко­сти и по пря­мым а и b со­от­вет­ствен­но (Рис. 1.).

Пря­мые а и b лежат в одной плос­ко­сти, а имен­но в плос­ко­сти γ. До­ка­жем, что пря­мые а и b не пе­ре­се­ка­ют­ся.

Если бы пря­мые а и b пе­ре­се­ка­лись, то есть имели бы общую точку, то эта общая точка при­над­ле­жа­ла бы двум плос­ко­стям и , и , что невоз­мож­но, так как они па­рал­лель­ны по усло­вию.

Итак, пря­мые а и b па­рал­лель­ны, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

С2: От­рез­ки па­рал­лель­ных пря­мых, за­клю­чен­ные между па­рал­лель­ны­ми плос­ко­стя­ми, равны.

Пусть даны па­рал­лель­ные плос­ко­сти и и па­рал­лель­ные пря­мые АВ и СD, ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют эти плос­ко­сти (Рис. 2.). До­ка­жем, что от­рез­ки АВ и СD равны.

Две па­рал­лель­ные пря­мые АВ и СD об­ра­зу­ют един­ствен­ную плос­кость γ, γ = АВDС. Плос­кость γ пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные плос­ко­сти и по па­рал­лель­ным пря­мым (по пер­во­му свой­ству). Зна­чит, пря­мые АС и ВD па­рал­лель­ны.

Пря­мые АВ и СD также па­рал­лель­ны (по усло­вию). Зна­чит, че­ты­рех­уголь­ник АВDС – па­рал­ле­ло­грамм, так как его про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны по­пар­но па­рал­лель­ны.

Из свойств па­рал­ле­ло­грам­ма сле­ду­ет, что от­рез­ки АВ и СD равны, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

С3: Па­рал­лель­ные плос­ко­сти рас­се­ка­ют сто­ро­ны угла на про­пор­ци­о­наль­ные части.

Пусть нам даны па­рал­лель­ные плос­ко­сти и , ко­то­рые рас­се­ка­ют сто­ро­ны угла А (Рис. 3.). Нужно до­ка­зать, что .

Па­рал­лель­ные плос­ко­сти и рас­се­че­ны плос­ко­стью угла А. На­зо­вем линию пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти угла А и плос­ко­сти – ВС, а линию пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти угла А и плос­ко­сти – В₁С₁. По пер­во­му свой­ству, линии пе­ре­се­че­ния ВС и В₁С₁ па­рал­лель­ны.

.

9. Вопрос: Тетраэдр и параллелепипед. Определения. Свойства параллелепипеда.

Ответ: Тетраэдр – поверхность, составленная из четырёх треугольников DАВ, DВС, DАС и АВС.

АВС, DАС, DВС, DАВ – грани. отрезки DА, DВ, АВ и т.д. – рёбра. точки А, В, С и т.д. – вершины. Рёбра АD и ВС – противоположные. Считается АВС – основание, остальные грани – боковые.

Параллелепипед. АВСDA₁B₁C₁D₁: поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и A₁B₁C₁D₁, лежащих в параллельных плоскостях и четырёх параллелограммов.

	все параллелограммы – грани, их стороны – рёбра, их вершины – вершины параллелепипеда. Считается: АВСD и A1B1C1D1 – основания, остальные грани – боковые.
рис. 29	Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда: A1C, D1B, AC1, DB1.

Свойства:
1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Для любой пары противолежащих граней параллелепипеда имеем: соответствующие углы равны (например, , и т. д.); соответствующие стороны равны и параллельны ( и , и и т. д. как противолежащие стороны параллелограммов). Отсюда и их плоскости параллельны.
2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

10. Вопрос: Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Ответ:Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

11. Вопрос: Теорема о трёх перпендикулярах.

Ответ: Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

12. Вопрос: Признак перпендикулярности двух плоскостей.

Ответ: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

13. Вопрос: Призма. Основные элементы, S_бок, S_полн, V_призмы.

Ответ: Призма — это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, находящимися в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами.

14. Вопрос: Пирамида. Основные элементы, S_бок, S_полн, V_{пирамиды}.

Ответ: Пирамида – многогранник, одна из граней которого (называется основанием) – произвольный многоугольник, а остальные грани соединяются в одной точке(вершине).

15. Вопрос: Усечённаяпирамида. Основные элементы, S_бок, S_полн.

Ответ: Усечённой пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между её основанием и сечением пирамиды, параллельным основанию.

16. Вопрос: Двугранный угол. Градусная мера двугранного угла.

Ответ: Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.Двугранный угол измеряется величиной своего линейного угла.Чтобы найти величину двугранного угла или угла между плоскостями, нужно построить линейный угол и найти величину этого линейного угла.

17. Вопрос: Прямоугольный параллелепипед. Свойства прямоугольного параллелепипеда (доказать одно из них).

Ответ: Прямоугольный параллелепипед – многогранник с шестью гранями, каждая из которых является в общем случае прямоугольником. Противолежащие грани параллелепипеда равны.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

С1:В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.

С2: Боковые ребра перпендикулярны основанию. Значит, все боковые грани прямоугольного параллелепипеда – прямоугольники.

С3: Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Рассмотрим, например, двугранный угол прямоугольного параллелепипеда с ребром АВ, т. е. двугранный угол между плоскостями АВВ1 и АВС.

АВ – ребро, точка А1 лежит в одной плоскости – в плоскости АВВ1, а точка D в другой – в плоскости А1В1С1D1. Тогда рассматриваемый двугранный угол можно еще обозначить следующим образом: ∠А1АВD.

Возьмем точку А на ребре АВ. АА1 – перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВВ1, AD перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВС. Значит, ∠А1АD –линейныйуголданногодвугранногоугла. ∠А1АD = 90°, значит, двугранныйуголприребреАВравен 90°.

∠(АВВ1, АВС) = ∠(АВ) = ∠А1АВD= ∠А1АD = 90°.

Аналогично доказывается, что любые двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

18. Вопрос: Понятие многогранника. Виды. Примеры.

Ответ: Если поверхности геометрических тел составлены из многоугольников, то такие тела называются многогранниками.

19. Вопрос: Правильная пирамида. Определение, S_бок.

Ответ: Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, при этом вершина такой пирамиды проецируется в центр ее основания.

20. Вопрос: Симметрия в пространстве. Правильные многогранники.

Ответ: Точки А и A₁ на­зы­ва­ют­ся сим­мет­рич­ны­ми от­но­си­тель­но точки О (цен­тра сим­мет­рии), если О – се­ре­ди­на от­рез­ка AA₁. Точка О сим­мет­рич­на сама себе.

Точки А и A₁ на­зы­ва­ют­ся сим­мет­рич­ны­ми от­но­си­тель­но пря­мой а (ось сим­мет­рии) если пря­мая а про­хо­дит через се­ре­ди­ну от­рез­ка AA₁ и пер­пен­ди­ку­ляр­на ему. Каж­дая точка пря­мой a сим­мет­рич­на сама себе.

Точки А и A₁ на­зы­ва­ют­ся сим­мет­рич­ны­ми от­но­си­тель­но плос­ко­сти a (плос­кость сим­мет­рии) если плос­кость a про­хо­дит через се­ре­ди­ну от­рез­ка AA₁ и пер­пен­ди­ку­ляр­на ему. Каж­дая точка плос­ко­сти a сим­мет­рич­на сама себе.

21. Вопрос: Уравнение сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости.

Взаимное расположение сферы и плоскости:

1. Плос­кость не пе­ре­се­ка­ет сферу;

2. Плос­кость ка­са­ет­ся сферы;

3. Плос­кость пе­ре­се­ка­ет сферу.

22. Вопрос: Касательная плоскость к сфере. Свойство с доказательством.

Ответ: Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Свойство: Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Доказательство: Из условия свойства следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это и означает, что данная плоскость является касательной к сфере.
23. Вопрос: Цилиндр. Основные элементы, S_бок, S_полн, V_{цилиндра}.

Ответ: Цилиндр – тело, которое состоит из двух кругов, лежащих в параллельных плоскостях и всех отрезков, соединяющих соответствующие линии этих кругов.

S_бок=2πrh, r– радиус, h– высота;

24. Вопрос: Конус. Основные элементы, S_бок, S_полн, V_конуса.

Ответ: Конусом называется тело, которое состоит из круга, точки и всех отрезков, соединяющих эту точку с точкой круга. Круг называется основанием, а отрезки – образующими. Точка называется вершиной, а высота конуса перпендикуляр, проведённый из вершины конуса к основанию.

25. Вопрос:Шар и сфера, основные элементы, S_сферы, V_шара.

Ответ: Сфера – геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от некоторой заданной точки (центра сферы). Расстояние между любой точкой сферы и её центром называется радиусом. Геометрическое тело, ограниченное сферой, называется шаром.

[spoiler title=”источники:”]

10.V-3. Поворот точки вокруг начала координат-2

http://poisk-ru.ru/s16092t8.html

[/spoiler]