Как найти координаты точки пересечения перпендикулярных прямых

Не такая тривиальная задача, скажу я вам. Всякий раз, когда возникает необходимость посчитать координату пересечения пары прямых, каждая из которых задана парой точек, снова беру блокнот и вывожу пару формул. И всякий раз – блин, ну это уже когда-то было, опять надо что-то делать с параллельными прямыми, опять появляется пакостная строго вертикальна линия, когда на (x₁-x₂) никак не разделить и т.д.

Поэтому – в подборку теории и практики, пригодится, сэкономим блокнот, спасем дерево.

Коэффициенты А, B, C

Все помним со школы формулу:

Тоже самое, но с претензией на образование (некоторые индивидуумы утверждают, что существует такая, и только такая, и никакая другая, формулировка):

Те же фаберже, только сбоку.

В теории надо составить и решить систему уравнений для первой и второй линии, где переменными будут X и Y точки пересечения.

Загвоздка в том, что мы не знаем коэффициенты для обеих линий.

В нашем случае известны координаты двух точек, по которым проходит линия. Поэтому мне, как последователю геометрического агностицизма, более привлекательная следующая формула:

Путем несложных операций приходим к следующей записи:

Глядя на вариант в исполнении высшего образования, получаем следующие формулы для нахождения коэффициентов:

Пока все идет отлично, нигде вероятного деления на ноль не встретилось.

Итак, мы можем легко найти два набора коэффициентов для первой и второй прямых. Переходим к системе уравнений.

Система уравнений

Как правило, подобная система уравнений решается путем выражения одной переменной через другую, подстановкой во второе уравнение, получая таким образом уравнение одной переменной. Далее переменная находится, подставляется, решается. Или определяется, что система решения не имеет.

Но нас интересует метод Крамера. Потому что с помощью этого метода можно получить сразу значения для обеих переменных, без дополнительных телодвижений.

Сразу же запишем метод под нашу систему.

Имеем следующую систему:

Определители будут такими:

Исходя из метода, решение выглядит так:

Ага! Вот и возможное деление на ноль, скажете вы. И правильно! В этой, в высшей степени непозволительной ситуации, когда знаменатель равен нулю, решения нет, прямые либо параллельны, либо совпадают (что, впрочем, частный случай параллельности).  В коде, естественно, этот момент надо учитывать.

Практика 1

Частные случаи

• Прямые параллельны: ∆_ab = 0
  • (A₁B₂ – B₁A₂ = 0);
• Прямые совпадают:  ∆_ab = ∆_X = ∆_Y = 0 
  • (A₁B₂ – B₁A₂ = 0) И (A₁C₂ — A₂C₁ = 0) И (C₁B₂ -B₁C₂ = 0);
• Прямые перпендикулярны:
  • (A₁ A₂ + B₁ B₂ = 0).

Принадлежность точки отрезку

В общем случае, чтобы определить принадлежность точки отрезку, надо установить две вещи:

1. Точка принадлежит прямой, проходящей через конечные точки отрезка. Для этого достаточно подставить значение X и Y в уравнение прямой и проверить получившееся равенство. В нашем случае, этот пункт уже выполнен, т.к. точка пересечения априори принадлежит обеим прямым.
2. Проверить факт нахождения точки между концами отрезка.

Займемся пунктом 2. Данный факт можно установить двумя способами:

• Логически, т.е. (x₁ <= x <= x₂) ИЛИ (x₁ >= x >= x₂). На случай «вертикальности» линии добавить проверку на Y:
  • (y₁ <= y <= y₂) ИЛИ (y₁ >= y >= y₂).
• Арифметически. Сумма отрезков |x-x₁| + |x-x₂| должна быть равна длине отрезка |x₁-x₂|. Аналогично, на случай «вертикальности» , добавить проверку:
  • |y-y₁| + |y-y₂| = |y₁-y₂|

Практика показывает, что арифметический способ быстрее примерно в 3 раза. Когда-то я считал, что операции сравнения самые быстрые. Это давно уже не так.

Задача нахождения принадлежности точки P(x,y) отрезку, заданного двумя точками с координатами P1(x1, y1) и P2(x2, y2) подробно рассмотрена в отдельной статье.

Угол пересечения прямых

Угол пересечения прямых — это угол пересечения направляющих векторов. Т.е., взяв уже знакомые ранее точки p₁ и p₂, получим направляющий вектор V(p₁,p₂), и аналогично второй вектор M(p₃,p₄). В теории мы должны вычислить достаточно «затратную» функцию, с корнями, квадратами, дробями и арккосинусом.

Давайте не будем останавливаться на ней, она долгая, нудная и в нашем случае ненужная. Рассмотрим вектор:

α — угол наклона вектора к оси X, который можно найти, как:

α = arctan (A₁ / B₁)

Где расстояния:

A₁ = (y₁ — y₂)

B₁ = (x₂ — x₁)

Что-то знакомое? Да это ни что иное, как коэффициенты в уравнении прямой от образованных фанатов. Может они и правы в своем испепеляющем фанатизме…

Одним словом, коэффициенты (расстояния) у нас уже есть по обеим прямым.

Судя по рисунку, угол между векторами, это сумма углов наклона векторов к оси X. Ммм… не совсем так, на самом деле это разность.

По рисунку явно видно, что угол между векторам это γ = (β — α).

В предыдущем примере все правильно, просто знаки углов разные, т.к. находятся по разные стороны от оси X, а формула работает та же.

От теории к практике

Теперь в плане практического применения. Мне нужно точно знать, откуда, куда и в каком направлении этот угол. В теории, углом между прямыми считается наименьший из пары γ и (180-γ). Так вот, нам это не надо. Какой угол получится – такой нам и нужен.

Поэтому, под углом между векторами понимаем угол от вектора V(p1,p2) к вектору M(p3,p4). Если знак угла – отрицательный, понимаем, что он против часовой стрелки, иначе – по часовой стрелке.

Следует заметить, что, зная коэффициенты, для нахождения угла пересечения, координаты уже не нужны. Листинг таков:

Тут ситуация с вертикальной прямой, т.е. когда теоретически происходит деление на ноль, явно не обрабатывается. Она корректно обрабатывается функцией ArcTan2, которая вернет в этом случае и знак, и 90 градусов.  

Практика 2

В дополнение к функции нахождения точки пересечения, напишем «продвинутую» функцию, которая находит эту точку, определяет нахождение на каждом из отрезков, и определяет угол между направляющими векторами. Или же определяет, что прямые параллельны/совпадают.

Исходники

Небольшие комментарии по интерфейсу.

Скачать (219 Кб): Исходники (Delphi XE 7-10)

Скачать (1.14 Мб): Исполняемый файл

При запуске генерируется случайным образом 4 точки, по две на прямую. Точки и отрезки можно перетаскивать мышкой. Также, слева присутствует панель, на которой можно ввести координаты точек или коэффициенты уравнения прямой. При нажатии «Enter» или когда элемент ввода теряет фокус, происходит перерасчет и перерисовка.

Внизу есть 4 кнопки переключения режимов отображения. Начиная со второй, помимо координат точки пересечений в верхнем левом углу будет отображаться текущий угол пересечения между направляющими векторами.

Если точка пересечений попадает в какой-либо из отрезков, соответствующий заголовок линии отрезка станет жирным. На рисунке это зеленая линия 2.

По умолчанию, рабочее поле системы координат имеет размерность [-10..10], которую можно изменить ползунком в нижнем правом углу.

Сообщения без ответов | Активные темы

Похожие темы	Автор	Ответы	Просмотры	Последнее сообщение
Найти точку пересечения двух прямых в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	Anies	4	578	19 янв 2016, 08:44
Найти координаты точки пересечения прямых в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	guymontag	1	497	28 ноя 2015, 19:34
Проверить решение (Найти точку пересечения прямых) в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	dencil	2	486	12 ноя 2016, 20:24
Найти точку пересечения двух прямых(декартова система) в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	AndreiT	2	314	07 апр 2018, 16:43
Точка пересечения прямых в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра	Ketuzed	10	424	13 янв 2018, 22:41
Конфигурации пересечения прямых на плоскости в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей	Volodislavir	1	145	18 дек 2021, 15:43
Точка пересечения прямых, содержащих биссектриссы в форуме Геометрия	sfanter	1	274	07 июл 2014, 18:25
Найдите геометрическое место точек пересечения прямых в форуме Геометрия	Petya	0	653	07 сен 2013, 10:37
Ax=b , найти одну координату х в форуме Численные методы	Ish_2	0	344	20 фев 2014, 15:24
Найти координату вершины треугольника в форуме Геометрия	Kara4un	2	468	05 апр 2015, 10:50

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Пересечение прямых. Точка пересечения двух прямых

Если точка M, является точкой пересечения двух прямых, то она должна принадлежать этим прямым, а ее координаты удовлетворять уравнения этих прямых.

Точка пересечения двух прямых на плоскости

Если система уравнений:

• имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
• имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
• не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны между собой)

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2 x – 1 y = -3 x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y – y = 2 x – 1 – (-3 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = 5 x – 2 y = -3 x + 1

Из первого уравнения найдем значение x

5 x = 2 y = -3 x + 1 => x = 2 5 = 0.4 y = -3 x + 1

Подставим значение x во второе уравнение и найдем значение y

x = 0.4 y = -3·(0.4) + 1 = -1.2 + 1 = -0.2

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (0.4, -0.2)

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2 x – 1 x = 2 t + 1 y = t

В первое уравнение подставим значения x и y из второго и третьего уравнений.

t = 2·(2 t + 1) – 1 x = 2 t + 1 y = t => t = 4 t + 1 x = 2 t + 1 y = t =>

-3 t = 1 x = 2 t + 1 y = t => t = – 1 3 x = 2 t + 1 y = t

Подставим значение t во второе и третье уравнение

t = – 1 3 x = 2·(- 1 3 ) + 1 = – 2 3 + 1 = 1 3 y = – 1 3

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты ( 1 3 , – 1 3 )

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

2 x + 3 y = 0 x – 2 3 = y 4

Из второго уравнения выразим y через x

2 x + 3 y = 0 y = 4· x – 2 3

Подставим y в первое уравнение

2 x + 3·4· x – 2 3 = 0 y = 4· x – 2 3 => 2 x + 4·( x – 2) = 0 y = 4· x – 2 3 =>

2 x + 4 x – 8 = 0 y = 4· x – 2 3 => 6 x = 8 y = 4· x – 2 3 =>

x = 8 6 = 4 3 y = 4· x – 2 3 => x = 8 6 = 4 3 y = 4· 4/3 – 2 3 = 4· -2/3 3 = – 8 9

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты ( 4 3 , – 8 9 )

Решение: Обе прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Так как k ₁ = k ₂ = 2, то прямые параллельны. Так как эти прямые не совпадают то точек пересечения нет.

Решим также эту задачу используя систему уравнений:

y = 2 x – 1 y = 2 x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y – y = 2 x – 1 – (2 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = -2 y = -3 x + 1

В первом уравнении получили противоречие (0 ≠ -2), значит система не имеет решений – отсутствуют точки пересечения прямых (прямые параллельны).

Ответ. Прямые не пересекаются (прямые параллельны).

Решение: Подставим координаты точки N в уравнения прямых.

Ответ. Так как оба уравнения превратились в тождества, то точка N – точка пересечения этих прямых.

Точка пересечения двух прямых в пространстве

Если система уравнений:

• имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
• имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
• не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны или скрещиваются между собой)

Решение: Составим систему уравнений

x – 1 = a y – 1 = a z – 1 = a x – 3 -2 = b 2 – y = b z = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 x – 3 -2 = b 2 – y = b z = b =>

Подставим значения x , y , z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a + 1 – 3 -2 = b 2 – ( a + 1) = b a + 1 = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a – 2 -2 = b 1 – a = b a + 1 = b

К шестому уравнению добавим пятое уравнение

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a – 2 -2 = b 1 – a = b a + 1 + (1 – a ) = b + b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a – 2 -2 = b 1 – a = b b = 1

Подставим значение b в четвертое и пятое уравнения

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a – 2 -2 = 1 1 – a = 1 b = 1 => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a – 2 = -2 a = 0 b = 1 =>

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a = 0 a = 0 b = 1 => x = 0 + 1 = 1 y = 0 + 1 = 1 z = 0 + 1 = 1 a = 0 a = 0 b = 1

Ответ. Прямые пересекаются в точке с координатами (1, 1, 1).

Решение: Составим систему уравнений заменив во втором уравнении параметр t на a

x = 2 t – 3 y = t z = – t + 2 x = a + 1 y = 3 a – 2 z = 3

Подставим значения x , y , z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

x = 2 t – 3 y = t z = – t + 2 2 t – 3 = a + 1 t = 3 a – 2 – t + 2 = 3 => x = 2 t – 3 y = t z = – t + 2 2 t = a + 4 t = 3 a – 2 t = -1 =>

Подставим значение t из шестого уравнения в остальные уравнения

x = 2·(-1) – 3 y = (-1) z = -(-1) + 2 2·(-1) = a + 4 -1 = 3 a – 2 t = -1 => x = -5 y = -1 z = 3 a = -6 a = 1 3 t = -1

Ответ. Так как -6 ≠ 1 3 , то прямые не пересекаются.

Пересечение прямых, угол и координаты пересечения

IP76 > Пересечение прямых, угол и координаты пересечения

Не такая тривиальная задача, скажу я вам. Всякий раз, когда возникает необходимость посчитать координату пересечения пары прямых, каждая из которых задана парой точек, снова беру блокнот и вывожу пару формул. И всякий раз – блин, ну это уже когда-то было, опять надо что-то делать с параллельными прямыми, опять появляется пакостная строго вертикальна линия, когда на (x₁-x₂) никак не разделить и т.д.

Поэтому – в подборку теории и практики, пригодится, сэкономим блокнот, спасем дерево.

Коэффициенты А, B, C

Все помним со школы формулу:

Тоже самое, но с претензией на образование (некоторые индивидуумы утверждают, что существует такая, и только такая, и никакая другая, формулировка):

Те же фаберже, только сбоку.

В теории надо составить и решить систему уравнений для первой и второй линии, где переменными будут X и Y точки пересечения.

Загвоздка в том, что мы не знаем коэффициенты для обеих линий.

В нашем случае известны координаты двух точек, по которым проходит линия. Поэтому мне, как последователю геометрического агностицизма, более привлекательная следующая формула:

Путем несложных операций приходим к следующей записи:

Глядя на вариант в исполнении высшего образования, получаем следующие формулы для нахождения коэффициентов:

Пока все идет отлично, нигде вероятного деления на ноль не встретилось.

Итак, мы можем легко найти два набора коэффициентов для первой и второй прямых. Переходим к системе уравнений.

Система уравнений

Как правило, подобная система уравнений решается путем выражения одной переменной через другую, подстановкой во второе уравнение, получая таким образом уравнение одной переменной. Далее переменная находится, подставляется, решается. Или определяется, что система решения не имеет.

Но нас интересует метод Крамера. Потому что с помощью этого метода можно получить сразу значения для обеих переменных, без дополнительных телодвижений.

Сразу же запишем метод под нашу систему.

Имеем следующую систему:

Исходя из метода, решение выглядит так:

Ага! Вот и возможное деление на ноль, скажете вы. И правильно! В этой, в высшей степени непозволительной ситуации, когда знаменатель равен нулю, решения нет, прямые либо параллельны, либо совпадают (что, впрочем, частный случай параллельности). В коде, естественно, этот момент надо учитывать.

Практика 1

Частные случаи

• Прямые параллельны: ∆_ab = 0
  • (A₁B₂ – B₁A₂ = 0);
• Прямые совпадают: ∆_ab = ∆_X = ∆_Y = 0
  • (A₁B₂ – B₁A₂ = 0) И (A₁C₂ — A₂C₁ = 0) И (C₁B₂ -B₁C₂ = 0);
• Прямые перпендикулярны:
  • (A₁ A₂ + B₁ B₂ = 0).

Рис.2. Пересечение перпендикулярных прямых Рис.3. Параллельные прямые не пересекаются

Принадлежность точки отрезку

В общем случае, чтобы определить принадлежность точки отрезку, надо установить две вещи:

1. Точка принадлежит прямой, проходящей через конечные точки отрезка. Для этого достаточно подставить значение X и Y в уравнение прямой и проверить получившееся равенство. В нашем случае, этот пункт уже выполнен, т.к. точка пересечения априори принадлежит обеим прямым.
2. Проверить факт нахождения точки между концами отрезка.

Займемся пунктом 2. Данный факт можно установить двумя способами:

• Логически, т.е. (x₁ = x >= x₂). На случай «вертикальности» линии добавить проверку на Y:
  • (y₁ = y >= y₂).
• Арифметически. Сумма отрезков |x-x₁| + |x-x₂| должна быть равна длине отрезка |x₁-x₂|. Аналогично, на случай «вертикальности» , добавить проверку:
  • |y-y₁| + |y-y₂| = |y₁-y₂|

Практика показывает, что арифметический способ быстрее примерно в 3 раза. Когда-то я считал, что операции сравнения самые быстрые. Это давно уже не так.

Задача нахождения принадлежности точки P(x,y) отрезку, заданного двумя точками с координатами P1(x1, y1) и P2(x2, y2) подробно рассмотрена в отдельной статье.

Угол пересечения прямых

Угол пересечения прямых — это угол пересечения направляющих векторов. Т.е., взяв уже знакомые ранее точки p₁ и p₂, получим направляющий вектор V(p₁,p₂), и аналогично второй вектор M(p₃,p₄). В теории мы должны вычислить достаточно «затратную» функцию, с корнями, квадратами, дробями и арккосинусом.

Давайте не будем останавливаться на ней, она долгая, нудная и в нашем случае ненужная. Рассмотрим вектор:

Рис.4. Вектор V(p₁,p₂)

α — угол наклона вектора к оси X, который можно найти, как:

Что-то знакомое? Да это ни что иное, как коэффициенты в уравнении прямой от образованных фанатов. Может они и правы в своем испепеляющем фанатизме…

Одним словом, коэффициенты (расстояния) у нас уже есть по обеим прямым.

Рис.5. Пересекающиеся вектор V(p₁,p₂) и вектор M(p₃,p₄)

Судя по рисунку, угол между векторами, это сумма углов наклона векторов к оси X. Ммм… не совсем так, на самом деле это разность.

Рис.6. Пересекающиеся векторы в положительной Y

По рисунку явно видно, что угол между векторам это γ = (β — α).

В предыдущем примере все правильно, просто знаки углов разные, т.к. находятся по разные стороны от оси X, а формула работает та же.

От теории к практике

Теперь в плане практического применения. Мне нужно точно знать, откуда, куда и в каком направлении этот угол. В теории, углом между прямыми считается наименьший из пары γ и (180-γ). Так вот, нам это не надо. Какой угол получится – такой нам и нужен.

Поэтому, под углом между векторами понимаем угол от вектора V(p1,p2) к вектору M(p3,p4). Если знак угла – отрицательный, понимаем, что он против часовой стрелки, иначе – по часовой стрелке.

Следует заметить, что, зная коэффициенты, для нахождения угла пересечения, координаты уже не нужны. Листинг таков:

Координаты точки пересечения двух прямых – примеры нахождения

Для того, чтобы решить геометрическую задачу методом координат, необходима точка пересечения, координаты которой используются при решении. Возникает ситуация, когда требуется искать координаты пересечения двух прямых на плоскости или определить координаты тех же прямых в пространстве. Данная статья рассматривает случаи нахождения координат точек, где пересекаются заданные прямые.

Точка пересечения двух прямых – определение

Необходимо дать определение точкам пересечения двух прямых.

Раздел взаимного расположения прямых на плоскости показывает, что они могут совпадать , быть параллельными, пересекаться в одной общей точке или скрещивающимися. Две прямые, находящиеся в пространстве, называют пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

Определение точки пересечения прямых звучит так:

Точка, в которой пересекаются две прямые, называют их точкой пересечения. Иначе говоря, что точка пересекающихся прямых и есть точка пересечения.

Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости

Перед нахождением координат точки пересечения двух прямых, необходимо рассмотреть предлагаемый ниже пример.

Если на плоскости имеется система координат О х у , то задаются две прямые a и b . Прямой a соответствует общее уравнение вида A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 , для прямой b – A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Тогда M 0 ( x 0 , y 0 ) является некоторой точкой плоскости необходимо выявить , будет ли точка М 0 являться точкой пересечения этих прямых.

Чтобы решить поставленную задачу, необходимо придерживаться определения. Тогда прямые должны пересекаться в точке, координаты которой являются решением заданных уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Значит, координаты точки пересечения подставляются во все заданные уравнения. Если они при подстановке дают верное тождество, тогда M 0 ( x 0 , y 0 ) считается их точкой пересечения.

Даны две пересекающиеся прямые 5 x – 2 y – 16 = 0 и 2 x – 5 y – 19 = 0 . Будет ли точка М 0 с координатами ( 2 , – 3 ) являться точкой пересечения.

Чтобы пересечение прямых было действительным, необходимо, чтобы координаты точки М 0 удовлетворяли уравнениям прямых. Это проверяется при помощи их подстановки. Получаем, что

5 · 2 – 2 · ( – 3 ) – 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 · 2 – 5 · ( – 3 ) – 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Оба равенства верные, значит М 0 ( 2 , – 3 ) является точкой пересечения заданных прямых.

Изобразим данное решение на координатной прямой рисунка, приведенного ниже.

Ответ: заданная точка с координатами ( 2 , – 3 ) будет являться точкой пересечения заданных прямых.

Пересекутся ли прямые 5 x + 3 y – 1 = 0 и 7 x – 2 y + 11 = 0 в точке M 0 ( 2 , – 3 ) ?

Для решения задачи необходимо подставить координаты точки во все уравнения. Получим, что

5 · 2 + 3 · ( – 3 ) – 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 · 2 – 2 · ( – 3 ) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Второе равенство не является верным, значит, что заданная точка не принадлежит прямой 7 x – 2 y + 11 = 0 . Отсюда имеем, что точка М 0 не точка пересечения прямых.

Чертеж наглядно показывает, что М 0 – это не точка пересечения прямых. Они имеют общую точку с координатами ( – 1 , 2 ) .

Ответ: точка с координатами ( 2 , – 3 ) не является точкой пересечения заданных прямых.

Переходим к нахождению координат точек пересечения двух прямых при помощи заданных уравнений на плоскости.

Задаются две пересекающиеся прямые a и b уравнениями вида A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 , расположенных в О х у . При обозначении точки пересечения М 0 получим, что следует продолжить поиск координат по уравнениям A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Из определения очевидно, что М 0 является общей точкой пересечения прямых. В этом случае ее координаты должны удовлетворять уравнениям A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Иными словами это и есть решение полученной системы A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Значит, для нахождения координат точки пересечения , необходимо все уравнения добавить в систему и решить ее.

Заданы две прямые x – 9 y + 14 = 0 и 5 x – 2 y – 16 = 0 на плоскости. необходимо найти их пересечение.

Данные по условию уравнения необходимо собрать в систему, после чего получим x – 9 y + 14 = 0 5 x – 2 y – 16 = 0 . Чтобы решить его, разрешается первое уравнение относительно x , подставляется выражение во второе:

x – 9 y + 14 = 0 5 x – 2 y – 16 = 0 ⇔ x = 9 y – 14 5 x – 2 y – 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y – 14 5 · 9 y – 14 – 2 y – 16 = 0 ⇔ x = 9 y – 14 43 y – 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y – 14 y = 2 ⇔ x = 9 · 2 – 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Получившиеся числа являются координатами, которые необходимо было найти.

Ответ: M 0 ( 4 , 2 ) является точкой пересечения прямых x – 9 y + 14 = 0 и 5 x – 2 y – 16 = 0 .

Поиск координат сводится к решению системы линейных уравнений. Если по условию дан другой вид уравнения, тогда следует привести его к нормальному виду.

Определить координаты точек пересечения прямых x – 5 = y – 4 – 3 и x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R .

Для начала необходимо привести уравнения к общему виду. Тогда получаем, что x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R преобразуется таким образом:

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x – 4 9 λ = y – 2 1 ⇔ x – 4 9 = y – 2 1 ⇔ ⇔ 1 · ( x – 4 ) = 9 · ( y – 2 ) ⇔ x – 9 y + 14 = 0

После чего беремся за уравнение канонического вида x – 5 = y – 4 – 3 и преобразуем. Получаем, что

x – 5 = y – 4 – 3 ⇔ – 3 · x = – 5 · y – 4 ⇔ 3 x – 5 y + 20 = 0

Отсюда имеем, что координаты – это точка пересечения

x – 9 y + 14 = 0 3 x – 5 y + 20 = 0 ⇔ x – 9 y = – 14 3 x – 5 y = – 20

Применим метод Крамера для нахождения координат:

∆ = 1 – 9 3 – 5 = 1 · ( – 5 ) – ( – 9 ) · 3 = 22 ∆ x = – 14 – 9 – 20 – 5 = – 14 · ( – 5 ) – ( – 9 ) · ( – 20 ) = – 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = – 110 22 = – 5 ∆ y = 1 – 14 3 – 20 = 1 · ( – 20 ) – ( – 14 ) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1

Ответ: M 0 ( – 5 , 1 ) .

Имеется еще способ для нахождения координат точки пересечения прямых, находящихся на плоскости. Он применим, когда одна из прямых задается параметрическими уравнениями, имеющими вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Тогда вместо значения x подставляется x = x 1 + a x · λ и y = y 1 + a y · λ , где получим λ = λ 0 , соответствующее точке пересечения, имеющей координаты x 1 + a x · λ 0 , y 1 + a y · λ 0 .

Определить координаты точки пересечения прямой x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R и x – 5 = y – 4 – 3 .

Необходимо выполнить подстановку в x – 5 = y – 4 – 3 выражением x = 4 + 9 · λ , y = 2 + λ , тогда получим:

4 + 9 · λ – 5 = 2 + λ – 4 – 3

При решении получаем, что λ = – 1 . Отсюда следует, что имеется точка пересечения между прямыми x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R и x – 5 = y – 4 – 3 . Для вычисления координат необходимо подставить выражение λ = – 1 в параметрическое уравнение. Тогда получаем, что x = 4 + 9 · ( – 1 ) y = 2 + ( – 1 ) ⇔ x = – 5 y = 1 .

Ответ: M 0 ( – 5 , 1 ) .

Для полного понимания темы, необходимо знать некоторые нюансы.

Предварительно необходимо понять расположение прямых. При их пересечении мы найдем координаты, в других случаях решения существовать не будет. Чтобы не делать эту проверку, можно составлять систему вида A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 При наличии решения делаем вывод о том, что прямые пересекаются. Если решение отсутствует, то они параллельны. Когда система имеет бесконечное множество решений, тогда говорят, что они совпадают.

Даны прямые x 3 + y – 4 = 1 и y = 4 3 x – 4 . Определить, имеют ли они общую точку.

Упрощая заданные уравнения, получаем 1 3 x – 1 4 y – 1 = 0 и 4 3 x – y – 4 = 0 .

Следует собрать уравнения в систему для последующего решения:

1 3 x – 1 4 y – 1 = 0 1 3 x – y – 4 = 0 ⇔ 1 3 x – 1 4 y = 1 4 3 x – y = 4

Отсюда видно, что уравнения выражаются друг через друга, тогда получим бесконечное множество решений. Тогда уравнения x 3 + y – 4 = 1 и y = 4 3 x – 4 определяют одну и ту же прямую. Поэтому нет точек пересечения.

Ответ: заданные уравнения определяют одну и ту же прямую.

Найти координаты точки пересекающихся прямых 2 x + ( 2 – 3 ) y + 7 = 0 и 2 3 + 2 x – 7 y – 1 = 0 .

По условию возможно такое, прямые не будут пересекаться. Необходимо составить систему уравнений и решать. Для решения необходимо использовать метод Гаусса, так как с его помощью есть возможность проверить уравнение на совместимость. Получаем систему вида:

2 x + ( 2 – 3 ) y + 7 = 0 2 ( 3 + 2 ) x – 7 y – 1 = 0 ⇔ 2 x + ( 2 – 3 ) y = – 7 2 ( 3 + 2 ) x – 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 – 3 y = – 7 2 ( 3 + 2 ) x – 7 y + ( 2 x + ( 2 – 3 ) y ) · ( – ( 3 + 2 ) ) = 1 + – 7 · ( – ( 3 + 2 ) ) ⇔ ⇔ 2 x + ( 2 – 3 ) y = – 7 0 = 22 – 7 2

Получили неверное равенство, значит система не имеет решений. Делаем вывод, что прямые являются параллельными. Точек пересечения нет.

Второй способ решения.

Для начала нужно определить наличие пересечения прямых.

n 1 → = ( 2 , 2 – 3 ) является нормальным вектором прямой 2 x + ( 2 – 3 ) y + 7 = 0 , тогда вектор n 2 → = ( 2 ( 3 + 2 ) , – 7 – нормальный вектор для прямой 2 3 + 2 x – 7 y – 1 = 0 .

Необходимо выполнить проверку коллинеарности векторов n 1 → = ( 2 , 2 – 3 ) и n 2 → = ( 2 ( 3 + 2 ) , – 7 ) . Получим равенство вида 2 2 ( 3 + 2 ) = 2 – 3 – 7 . Оно верное, потому как 2 2 3 + 2 – 2 – 3 – 7 = 7 + 2 – 3 ( 3 + 2 ) 7 ( 3 + 2 ) = 7 – 7 7 ( 3 + 2 ) = 0 . Отсюда следует, что векторы коллинеарны. Значит, прямые являются параллельными и не имеют точек пересечения.

Ответ: точек пересечения нет, прямые параллельны.

Найти координаты пересечения заданных прямых 2 x – 1 = 0 и y = 5 4 x – 2 .

Для решения составляем систему уравнений. Получаем

2 x – 1 = 0 5 4 x – y – 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x – y = 2

Найдем определитель основной матрицы. Для этого 2 0 5 4 – 1 = 2 · ( – 1 ) – 0 · 5 4 = – 2 . Так как он не равен нулю, система имеет 1 решение. Отсюда следует, что прямые пересекаются. Решим систему для нахождения координат точек пересечения:

2 x = 1 5 4 x – y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x – y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 · 1 2 – y = 2 ⇔ x = 1 2 y = – 11 8

Получили, что точка пересечения заданных прямых имеет координаты M 0 ( 1 2 , – 11 8 ) .

Ответ: M 0 ( 1 2 , – 11 8 ) .

Нахождения координат точки пересечения двух прямых в пространстве

Таким же образом находятся точки пересечения прямых пространства.

Когда заданы прямые a и b в координатной плоскости О х у z уравнениями пересекающихся плоскостей, то имеется прямая a , которая может быть определена при помощи заданной системы A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 а прямая b – A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 .

Когда точка М 0 является точкой пересечения прямых, тогда ее координаты должны быть решениями обоих уравнений. Получим линейные уравнения в системе:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Рассмотрим подобные задания на примерах.

Найти координаты точки пересечения заданных прямых x – 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 и 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x – 2 z – 4 = 0

Составляем систему x – 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x – 2 z – 4 = 0 и решим ее. Чтобы найти координаты, необходимо решать через матрицу. Тогда получим основную матрицу вида A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 – 2 и расширенную T = 1 0 0 1 0 1 2 – 3 4 0 – 2 4 . Определяем ранг матрицы по Гауссу.

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = – 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 – 3 3 2 0 – 3 4 0 – 2 4 = 0

Отсюда следует, что ранг расширенной матрицы имеет значение 3 . Тогда система уравнений x – 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x – 27 – 4 = 0 в результате дает только одно решение.

Базисный минор имеет определитель 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = – 4 ≠ 0 , тогда последнее уравнение не подходит. Получим, что x – 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x – 2 z – 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = – 3 3 x + 2 y – 3 . Решение системы x = 1 y + 2 z = – 3 3 x + 2 y = – 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = – 3 3 · 1 + 2 y = – 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = – 3 y = – 3 ⇔ ⇔ x = 1 – 3 + 2 z = – 3 y = – 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = – 3 .

Значит, имеем, что точка пересечения x – 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 и 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x – 2 z – 4 = 0 имеет координаты ( 1 , – 3 , 0 ) .

Ответ: ( 1 , – 3 , 0 ) .

Система вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 имеет только одно решение. Значит, прямые a и b пересекаются.

В остальных случаях уравнение не имеет решения, то есть и общих точек тоже. То есть невозможно найти точку с координатами, так как ее нет.

Поэтому система вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 решается методом Гаусса. При ее несовместимости прямые не являются пересекающимися. Если решений бесконечное множество, то они совпадают.

Можно произвести решение при помощи вычисления основного и расширенного ранга матрицы, после чего применить теорему Кронекера-Капелли. Получим одно, множество или полное отсутствие решений.

Заданы уравнения прямых x + 2 y – 3 z – 4 = 0 2 x – y + 5 = 0 и x – 3 z = 0 3 x – 2 y + 2 z – 1 = 0 . Найти точку пересечения.

Для начала составим систему уравнений. Получим, что x + 2 y – 3 z – 4 = 0 2 x – y + 5 = 0 x – 3 z = 0 3 x – 2 y + 2 z – 1 = 0 . решаем ее методом Гаусса:

1 2 – 3 4 2 – 1 0 – 5 1 0 – 3 0 3 – 2 2 1

1 2 – 3 4 0 – 5 6 – 13 0 – 2 0 – 4 0 – 8 11 – 11

1 2 – 3 4 0 – 5 6 – 13 0 0 – 12 5 6 5 0 0 7 5 – 159 5

1 2 – 3 4 0 – 5 6 – 13 0 0 – 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Очевидно, что система не имеет решений, значит прямые не пересекаются. Точки пересечения нет.

Ответ: нет точки пересечения.

Если прямые заданы при помощи кононических или параметрических уравнений, нужно привести к виду уравнений пересекающихся плоскостей, после чего найти координаты.

Заданы две прямые x = – 3 – λ y = – 3 · λ z = – 2 + 3 · λ , λ ∈ R и x 2 = y – 3 0 = z 5 в О х у z . Найти точку пересечения.

Задаем прямые уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Получаем, что

x = – 3 – λ y = – 3 · λ z = – 2 + 3 · λ ⇔ λ = x + 3 – 1 λ = y – 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 – 1 = y – 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 – 1 = y – 3 x + 3 – 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x – y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y – 3 0 = z 5 ⇔ y – 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y – 3 = 0 5 x – 2 z = 0

Находим координаты 3 x – y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y – 3 = 0 5 x – 2 z = 0 , для этого посчитаем ранги матрицы. Ранг матрицы равен 3 , а базисный минор 3 – 1 0 3 0 1 0 1 0 = – 3 ≠ 0 , значит, что из системы необходимо исключить последнее уравнение. Получаем, что

3 x – y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y – 3 = 0 5 x – 2 z = 0 ⇔ 3 x – y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y – 3 = 0

Решим систему методом Крамер. Получаем, что x = – 2 y = 3 z = – 5 . Отсюда получаем, что пересечение заданных прямых дает точку с координатами ( – 2 , 3 , – 5 ) .

[spoiler title=”источники:”]

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/koordinaty-tochki-peresechenija-dvuh-prjamyh-prime/

[/spoiler]

Прямые, находящиеся в одной плоскости,
будут либо пересекающимися, либо
параллельными. Выясним условия, при
которых прямые соответствуют тому или
иному случаю, определим угол между
прямыми, координаты точки пересечения,
если таковая имеется.

Пусть две прямые заданы уравнениями

,.
(4.1)

Поскольку угловой коэффициент определяет
наклон прямой к оси абсцисс, то очевидно,
что равные углы наклона соответствуют
параллельным прямым. Поэтому условием
параллельности двух прямых, заданных
уравнениями (4.1) является равенство их
угловых коэффициентов

.
(4.2)

Если
,
тоугол
между прямыми(4.1) определяется
известной тригонометрической формулой
тангенса разности двух углов,
которое в случае прямых принимает вид

.
(4.3)

Если прямые (4.1) перпендикулярны,т.е.,
то

− (4.4)

условие перпендикулярности двух
прямых.

Если прямые заданы общими уравнениями

,,
(4.5)

то указанные выше условия будут выглядеть
так:

условие параллельности ;
(4.6)

условие перпендикулярности ;
(4.7)

угол между прямыми .
(4.8)

Условие
(4.9)

определяет совпадающие прямые.

Точка пересечения двух прямых(4.5) есть общая точка этих прямых.
Координаты этой точки должны одновременно
удовлетворять уравнениям обеих прямых,
т.е. системе

_.(4.10)

Решая эту систему, находим координаты
искомой точки.

Замечание.Для определения угла
между прямыми, удобнее переходить к
уравнению с угловым коэффициентом.

Пример 1. Напишите уравнение
медианы АМ треугольника АВС, если заданы
координаты его вершин А(-5;4), В(3;1), С(2;-5).

Решение.Точка М − середина
отрезка ВС, поэтому в соответствии с
формулами (2.5);;
М(2,5;-2). Уравнение прямой АМ запишем,
используя формулу (3.1):или,,.
Разделив обе части уравнения на 1,5,
получим более удобный вид− уравнение медианы АМ.

Пример 2.Напишите уравнение
прямой,
проходящей через точку М(7;4) параллельно
прямой.

Решение.Первый способ.
Согласно формуле (3.5), уравнение любой
прямой, проходящей через точку М, может
быть записано в виде.
Поскольку искомая прямая должна быть
параллельна прямой,
то их угловые коэффициенты совпадают.
Запишемв виде уравнения прямой с угловым
коэффициентом,
откуда.
Следовательно, искомая прямая имеет
уравнениеили.

Второй способ. Будем искать уравнение
прямой в виде.
Поскольку прямая проходит чрез точку
М(7;4), то координаты этой точки удовлетворяют
уравнению. И можно записать.
Данная прямая параллельна прямой,
для которой,.
Подставив эти значения в предыдущее
уравнение, получим,.
Окончательно запишем, что уравнение
искомой прямой имеет вид.

Замечание.Если дано общее
уравнение прямой,
тоуравнение параллельной прямой,
проходящей через заданную точкух₁,у₁, имеет
вид

.
(4.11)

Пример 3. Проверить, принадлежит
ли точка М(2;-4) прямой.

Решение.Подставим координаты
точки М в левую часть уравнения прямой.
Поскольку левая часть не равна правой:,
то точка М не принадлежит прямой.

Пример 4. На прямойнайти точку, у которой ордината.

Решение. Подставив в уравнение
прямой значениенайдем абсциссу:;.
Искомая точка.

Пример 5. Найти координаты вершинпараллелограмма,
если известны координаты вершины,
а также уравнение сторон:и:.

Решение.Решая эту задачу, необязательно (и даже
не нужно) рисовать данные в условии
прямые и точки в декартовых координатах.
Достаточно (для себя) нарисовать
произвольный параллелограмм, чтобы
определиться с расположением вершин и
сторон (рис. 6). Окончательный чертеж
можно выполнить после получения решения.

Поскольку
,
то, используя условие параллельности
двух прямых (4.11), можно записать,− уравнение прямойDC.
ПрямаяAD, заданная
уравнением,
параллельна оси ОХ.
И поскольку точкапринадлежит прямойВС, то уравнениеполностью определяет эту прямую. Теперь,
когда известны уравнения всех сторон
параллелограмма, его вершины найдем из
решения систем вида (4.10). Точка А −
пересечение прямыхАВиAD:

.

Точка В − пересечение прямых АВиВС:

.

Точка
− пересечение прямыхADиDC:

.

Ответ: координаты точек
,,.

Пример 6. Найти уравнение прямой,
проходящей через точку М(1;1), перпендикулярно
прямой.

Решение. Перепишем уравнениев виде.
Таким образом, угловой коэффициент
данной прямой.
Если прямая, проходящая через точку М,
перпендикулярна данной, то их угловые
коэффициенты связаны соотношением
(4.4):,
откуда.
В соответствии с формулой (3.5), можно
записать уравнение искомой прямой,
проходящей через точку М(1;1) перпендикулярно
прямойили;.

Ответ: уравнение прямой
.

Пример 6.1. Найти расстояние от
точки М(1;1) до прямой.

Решение.Расстояниемdот точки до прямой называется длина
перпендикуляра, опущенного из точки М
на прямую. Поэтому сначала запишем
уравнение прямой, проходящей через
точку М перпендикулярно данной прямой.
Эта часть задания нами уже выполнена в
примере 6, поэтому воспользуемся готовым
результатом и запишем, что нужная нам
прямаяимеет уравнение.
Найдем точку А пересечения прямыхи,
решая систему;;.
Расстояние между точками А и М вычислим
по формуле (2.1):.

Ответ: расстояние от точки М до прямой
d=1.

Замечание. Можно вывести формулу
расстояния от точкидо прямойв общем случае, используя рассуждения
примера 6.1. Тогда получим формулу

,
(4.12)

определяющую расстояние от точки
до прямой. Вместо слов «расстояние
от точки до прямой» иногда используют
выражение «отклонение точки от
прямой».

Пример 7.Через точкупровести прямую под угломк прямой.

Решение. Обозначим прямуюкак,
а искомую прямую, проходящую через точку
М, как.
Уравнение прямой, проходящей через
точку М, имеет вид (см. формулу (3.5)):или.
Здесь− угловой коэффициент прямой.
Записав уравнение прямойв виде,
найдем ее угловой коэффициент.
Поскольку известен уголмежду прямыми, то согласно формуле (4.3);;;.
Теперь окончательно запишем уравнение
искомой прямойили.

Пример
8.Даны две вершины треугольникаи.
Его высоты пересекаются в точке.
Определить координаты третьей вершины
треугольника.

Решение.Для удобства рекомендуется
нарисовать произвольный треугольник
АВС (рис. 7).

Пусть AD,BFиCK– высоты треугольника
АВС,N– точка пересечения
высот. В связи с этимANиADопределяют одну и ту же
прямую. Аналогично для парBNиBF, а такжеCNиCK. Согласно формуле
(3.1) уравнение прямойBN(или, что то же самое, прямойBF:;;;− прямаяBF.Аналогично,
уравнение прямой AN
(или AD):
;−
прямая AD.

Запишем уравнение стороны ВС как
уравнение прямой, проходящей через
точку В, перпендикулярно прямой AD.
ПосколькуADопределяется
уравнением y=const, то перпендикулярная
ей прямая ВС будет иметь уравнение
x=const. А так как эта прямая проходит через
точку В, то абсцисса точки В и определит
уравнение ВС: х=6.

Уравнение стороны АС запишем как
уравнение прямой, проходящей через
точку А перпендикулярно прямой BF,
согласно формулам (4.4) и (3.5). Так как
угловой коэффициентBFизвестен:,
то угловой коэффициент АС – это,
поэтому уравнение АС:;− уравнение АС.

Точка С теперь может быть найдена как
пересечение прямых ВС
и АС:
;;.

Ответ: С(6;-6).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #

  16.03.2016301.06 Кб309М6.doc

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #