Как найти координаты точки треугольника по координатам

Дано: у нас есть треугольник, нам известны только координаты его вершин. У нас есть точка, нам известны её координаты.

Что нужно узнать: нужно установить принадлежность точки треугольнику.

В данной статье разбирается несколько разных методов определения принадлежности точки треугольнику.

Метод сравнения площадей

В данном методе сначала находятся площади 3-х треугольников, которые образует данная точка с каждой стороной треугольника. В нашем случае(рис. 1) это треугольники ABP, BCP, CAP и их площади s1, s2, s3 соответственно.

Затем находится площадь самого треугольника ABC.

Найденный площади сравниваются — если сумма 3-х площадей равна площади всего треугольника, то значит точка принадлежит треугольнику. При сравнении, как правило, задаётся погрешность.

Так как у нас известны только координаты точек, то все площади, находятся по формуле Герона, от обильности операций которой становится ясно, почему этот метод очень трудоёмкий.

Простейшая реализация алгоритма:

Атрибуты функции: aAx, aAy, aBx, aBy, aCx, aCy — координаты точек A, B, C треугольника; aPx, aPy — координаты точки, принадлежность которой надо определить.

Метод относительности

Данный метод заключается в следующем. Сначала выбирается ориентация движения по вершинам треугольника(по часовой или против часовой стрелке). Я выбираю по часовой. На рисунке 2 выбранная ориентация движения(по часовой) показана стрелками. По данной ориентации проходим все стороны треугольника, рассматривая их как прямые, и рассчитываем по какую сторону от текущей прямой лежит наша точка. Не трудно догадаться, что если точка для всех прямых, при нашей ориентации, лежит с правой стороны, то значит точка принадлежит треугольнику, а если хоть для какой-то прямой она лежит с левой стороны, то значит условие принадлежности не выполняется.

На рисунке 2 продемонстрирована ситуация, когда точка только для одной прямой AB лежит по левую сторону, а значит не принадлежит треугольнику.

Реализация алгоритма:

Всё относительно!

Тут надо кое что пояснить, весьма не маловажное, что может сыграть роль в оптимизации и выборе алгоритма. Обратите внимание, что в приведённом коде есть закомментированные блоки кода с комментариями «для строгой ориентации», в то время как рабочий код универсален — он предназначен для любой ориентации. Т.е. представленный код определит принадлежность точки для любого заданного треугольника. В моей тестирующей программе треугольники как раз таки строятся по random()-у координат вершин, а ориентация идёт по вершинам(A>B>C>A). Для рисунка 2 — это по часовой стрелки, но для рисунка 3 — это против часовой.

Так вот, в случае рисунка 3 точка должна лежать по левую сторону векторов, чтобы принадлежать треугольнику.

Вот тут и получается важный момент! Если вы уверены, что в вашем проекте все треугольники будут ориентированы по часовой стрелке(а т.е. вершина C будет всегда правее вектора AB), то вам можно закомментировать блок универсального решения и раскомментировать блок «для строгой ориентации по часовой» и данный алгоритм упрощается аж на 3 логических операции!

Векторный метод

Третий метод который я освещаю для меня самый интересный.

Идея его применения зарождается если взглянуть на треугольник как на половинку параллелограмма…

Данный метод я сначала проверил на бумаге. После всех оптимизаций формул, как всё сошлось, я реализовал его в коде, где он показал себя вполне успешным и результативным. Аж эффективнее 2-х предыдущих методов :]

Алгоритм такой:

1) одну вершину треугольника помещаем в координаты (0;0);

2) две стороны, выходящие из этой вершины, представляем как вектора.

Таким образом из всего этого появляется система простых условий нахождения точки P между векторами b и c.(рис. 4)

Смотрим код:

По коду можно увидеть, что находятся новые координаты точек B и C, которые одновременно являются векторами b и c (рис. 4.). А новые координаты точки P являются вектором (Px, Py). Далее идёт формула, которую я предварительно свёл к общему виду и упростил.

Кол-во основных операций получается 13(+4). Совсем не плохо :]

Метод геометрического луча

Это достаточно известный метод, особенно когда определяется принадлежность точки многоугольникам. Часто данный метод называют «трассировка луча», хотя это не совсем правильно, т.к. трассировка луча — это расчёт хода световых лучей в 3D сцене.

Суть в том, что из данной точки пускается луч по какой-либо оси в каком-либо направлении.
Затем проверяются пересечения со сторонами многоугольника и ведётся подсчёт пересечений.
Таким образом если кол-во пересечений чётное, то значит точка лежит вне многоугольника, если же кол-во НЕчётное, то значит точка лежит внутри.

На рисунке 5 изображены две подопытные точки P и K, у луча из точки P одно пересечение со сторонами треугольника, таким образом точка P принадлежит фигуре, а точке K не повезло — у неё два пересечения.

Реализация алгоритма:

Вроде нормально упростил(для треугольника имею ввиду), но что-то мне кажется, что может быть и по круче…

А так, получается примерно 30 операций.

Сравнение скоростей

Ну вот мы и подошли к самому интересному! Кто быстрее и сильнее!? :]

Я провёл тест со следующими параметрами(хотя всё зависит от процессора):

• кол-во повторений алгоритма за 1 имитацию = 4 миллиона.
• кол-во имитаций для каждого алгоритма = 1000.

Таблица результатов:

Ну что сказать, векторный метод хорош)

С ним конечно соперничает  второй способ относительности точки, но главное отличие в том, что для отн. точки необходима строгая ориентация сторон треугольника, а для векторного это не важно, поэтому он круче)

Так же можно скачать написанную в ходе экспериментов программу: prin_tochki_proga. Программа реализована на Delphi 2007.