Как найти координаты точки вершины квадратичной функции

Общие сведения

Парабола — кривая, состоящая из равноудаленных точек от заданной точки (вершина) и прямой. Последняя называется директрисой. График функции имеет ось симметрии, которая проходит по определенной траектории и зависит от функции кривой (рис. 1). Ее вершина находится в центре координат.

Рисунок 1. График квадратичной функции с вершиной в начале координат.

Однако существуют и другие случаи прохождения кривой. Она может пересекать оси абсцисс или ординат. В некоторых случаях ее ветви направлены вниз. При вращении вокруг оси симметрии получается поверхность, которая используется в различных устройствах. По этому принципу изготовлены фары автомобиля, зеркала в телескопах и т. д. Кроме того, парабола — это квадратичная зависимость переменных друг от друга. Парабола имеет некоторые свойства:

1. Парабола — кривая второго порядка.
2. Ось симметрии перпендикулярна директрисе и проходит через фокус и вершины.
3. Оптическое свойство отражения.
4. Отрезок, который соединяет середину любой хорды параболы и точку пересечения касательных прямых, является перпендикуляром относительно директрисы.
5. Подобность всех парабол.
6. Траектория фокуса, которая катится по произвольной прямой — цепная молния.

Следует отметить, что оптическое свойство — это способность отражать свет от источника. Если пучок лучей, которые являются параллельными ее оси, отражаются в параболе, то они собираются в фокусе кривой. При нахождении источника света в фокусе происходит отражение параллельного пучка лучей относительно ее оси.

Уравнения квадратичной функции

Параболу можно описать несколькими способами. Каждый из них нужно применять в конкретных случаях для удобства вычислений. Существует три формы описания кривой:

1. Каноническая.
2. Квадратичная.
3. Общая.

В первой форме она имеет следующий вид: y ² = 2px. Если поменять местами оси декартовой системы, то получится следующий вид: x ² = 2yp. Коэффициент p — фокальный параметр. Он соответствует расстоянию между фокусом и директрисой. Кроме того, его значение всегда больше нуля. Вершина лежит всегда между фокусом и директрисой кривой на расстоянии, равном p/2 (рис. 2).

Рисунок 2. Директриса и фокус.

Пусть уравнение директрисы (прямая, которая параллельна оси ОУ) имеет следующий вид: х + p/2 = 0. Координаты фокуса F — (р/2;0). Начало координат делит луч, проходящий из точки F и точки пересечения с директрисой на 2 равных отрезка. Величина FM рассчитывается таким образом: FM = [(x — p/2)^2 + y ² ]^0.5. Отрезок (луч) из точки М до директрисы равен p/2 + x. Если приравнять оба выражения, то равенство имеет такой вид: p/2 + x = [(x — p/2)^2 + y ² ]^0.5. При возведении в квадрат и приведении подобных слагаемых, получается искомое уравнение параболы (y ² = 2px).

Парабола может задаваться квадратичной функцией. Она имеет такой вид: y = ax ² + bx + c. Следует учитывать, что коэффициент «a» не должен быть равен 0. Если a=1, b = 0 и с = 0, функция принимает такой вид: y = ax ² . В этом случае формула нахождения вершины параболы выглядит таким образом:

1. Абсцисса вершины параболы: xa = -b / 2a.
2. Координата «игрек» по оси ординат: yb = – D / 2a.

В последней формуле переменная D является дискриминантом квадратного уравнения искомой функции. Он вычисляется с помощью такого соотношения: D = b ² — 4ac. При а>0 фокус лежит на оси, и находится над вершиной. Ось симметрии параллельна оси ординат. Кроме того, она проходит через вершину кривой. Расстояние до нее равно ¼ величины «а». Если а<0, то ось ее симметрии параллельна оси абсцисс. Расстояние до фокуса также равно ¼а. Уравнение y = a (x — xa)^2 + ya — функция, определяющая кривую II порядка, как параболу.

Поскольку искомую функцию можно назвать кривой второго порядка, то ее уравнение может быть записано в виде квадратного многочлена в декартовой системе координат. Вид его имеет такой вид: Ax ² + Bxy + Cy ² + Dx + Ey + F = 0. Дискриминант равен нулю (при старших членах).

В полярной системе координат с осями p и v уравнение квадратичной функции имеет такой вид: p (1 + cos (v)) = p. Расстояние от фокуса до директрисы обозначается фокальным коэффициентом p. Кроме того, p соответствует удвоенной длине отрезка, проведенного от фокуса до вершины.

Методы нахождения вершины

В математике есть три способа нахождения координат точки вершины кривой: по формуле, выделением полного квадрата и нахождением производной. Следует отметить, что первый способ не подойдет в том случае, когда функция отличается от вида y = ax ² + bx + c. Первый способ — расчет по формуле вершины параболы квадратичной функции. Координата x0 вычисляется таким образом: x0 = -b / 2a. Для нахождения координаты y0 следует подставить в функцию найденное значение x0.

Когда функция представлена неполным квадратом, нужно прибавить или отнять одинаковое число к двум частям уравнения. Если воспользоваться этим методом, то можно вычислить сразу значения х и у. Алгоритм нахождения вершины для функции у = x ² + 4x + 2 имеет такой вид:

1. Приравнять многочлен к нулю, и перенести свободный член в правую сторону с противоположным знаком: x ² + 4x = -2.
2. Дополнить до полного квадрата. Необходимо вычислить свободный член по такому соотношению: с = (b/2)^2 = (4/2)^2 = 4.
3. Записать полный квадрат, отняв и прибавив свободный член: x ² + 4x + 4 — 4 = -2.
4. Выделить квадрат: (x ² + 2x + 4) — 4 = -2.
5. Перенести свободное число в правую сторону с противоположным знаком: (x ² + 2x + 4) = 4 — 2.
6. Уравнение принимает следующий вид: (x + 2)^2 = 2.
7. Для того чтобы вычислить x0, нужно решить уравнение (x + 2)^2 = 0. Следовательно, x = -2.
8. Ординату точки определить очень просто, поскольку ее значение соответствует числу (нужно брать с противоположным знаком), которое находится в правой части уравнения, т. е. у = -2.

При изображении графика вершину нужно сместить в точку (-2;2). Третий способ позволяет узнать координаты вершины с помощью определения производной. Находить ее следует от заданной функции. Для вычисления координат вершины нужно действовать по следующему алгоритму:

1. Найти производную и приравнять ее к нулю: f'(x) = (ax ² + bx + c)’ = 2ax + b.
2. Выразить х: х = -b / (2a).
3. Подставить в функцию для вычисления y.
4. Записать координаты точки.

Однако эти все три метода относятся к ручному вычислению. Автоматизация действий осуществляется с помощью специализированного программного обеспечения. Для этой цели подойдет онлайн-калькулятор, поддерживающий функцию нахождения точек вершины квадратичной кривой. Программы рекомендуется применять только для проверки решения, поскольку очень важно знать методы нахождения этой точки.

Алгоритм построения

В различных задачах нужно выполнить построение графика функции. В некоторых случаях даются координаты вершины, а в других — их следует искать, используя какой-либо метод. Чтобы построить квадратичную функцию, нужно воспользоваться таким алгоритмом:

1. Если вершина не задана, то нужно найти ее любым из методов.
2. Определить точки пересечения с осями декартовой системы координат.
3. Построить таблицу зависимости ординаты от абсциссы. Для этой цели нужно выделить минимум 3 значения «х». Вершина должна находиться по центру таблицы.
4. Выполнить построение, соединив точки.

Если необходим более точный график, то необходимо брать больше точек. Значения рассчитываются при подстановке значений «х» в функцию. Когда парабола задана функцией y = x ² + c, нет смысла брать разные значения. Нужно использовать для построения искомой таблицы числа с противоположными знаками. Например, x1 = 2 и x2 = -2.

Специалисты-математики настоятельно рекомендуют не усложнять вычисления. Возможно, в школьных программах и рассматриваются различные случаи. Однако в высших учебных заведениях основной аспект изучения дисциплин с физико-математическим уклоном сводится к оптимизации процесса решения задачи.

Примеры решений

В математике существует определенная классификация заданий на простые и сложные типы. Все они считаются однотипными, но отличаются только объемами вычислений и необходимостью построения графиков. Для решения нужно воспользоваться рекомендуемыми алгоритмами, которые существенно оптимизируют вычисления.

«Корень» трудностей при расчете — отсутствие систематизации вычислений. Не все ими пользуются. В результате простая задача становится очень сложной, поскольку в ней присутствует много ненужных вычислений. Кроме того, как отмечалось выше, рекомендуется «набить руку» на ручных вычислениях, ведь не всегда можно будет воспользоваться программами.

Упрощенная задача

Простым примером задания является следующий: необходимо вычислить координаты вершины точки параболы y = x ² + 3x — 18. Следует продемонстрировать решение тремя способами. Решение первым методом:

1. Координата по оси абсцисс: х0 = -3 / (2 * 1) = -1,5.
2. По ординате: (-1,5)^2 + 3 * (-1,5) — 18 — y= 0. Отсюда, y = -20,25.

Следовательно, вершина находится в точке (-1,5;20,25). Второй способ решения данной задачи имеет такой вид:

1. Составить уравнение и перенести свободный член: x ² + 3x = 18.
2. Вычислить свободный член: с = (b/2)^2 = 2,25.
3. Записать выражение: x ² + 3x + 2,25 — 2,25 = 18.
4. Выделить квадрат: (x ² + 3x + 2,25) = 20,25.
5. Определить координаты: (x + 1,5)^2 = 20,25.
6. Искомая точка: (-1,5;20,25).

Для решения третьим методом следует найти производную: y’ = (x ² + 3x — 18)’ = 2x + 3. Затем нужно приравнять ее к нулю: 2х + 3 = 0. Уравнение является простым, а его переменная легко находится: x = -3 / 2 = -1,5. После этого необходимо подставить абсциссу в функцию, приравняв ее к 0: y = 20,25.

Повышенная сложность

Задания повышенной сложности сводятся к вычислению нескольких значений. Кроме того, в некоторых случаях следует построить график параболы y = x ² — 7x +10. Необходимо выполнить такие действия:

1. Пересечение с осями.
2. Вычислить экстремум (вершину) всеми методами.
3. Выполнить графический эскиз (график).

Точек пересечения по ОУ нет. Они есть по оси абсцисс. Следует приравнять функцию к 0. Нахождение корней выполняется по теореме Виета: x1 = 2 и x2 = 5.

Для нахождения вершины необходимо воспользоваться тремя методами. При решении первым способом находится координата x0 = 7 / (2 * 1) = 3,5. Ордината определяется таким образом: y0 = (3,5)^2 — (7 * 3,5) + 10 = -2,25. Точка экстремума имеет координаты (3,5;-2,25). Находить вершину параболы необходимо по такому алгоритму:

1. Записать уравнение, и выполнить перенос свободного члена: x ² — 7x = -10.
2. Найти свободный член: с = (7/2)^2 = 12,25.
3. Составить уравнение: x ² — 7x + 12,25 — 12,25 = -10.
4. Выделить квадрат: (x — 3,5)^2 = 2,25.
5. Экстремум: (3,5;-2,25).

Для следующего метода нужно найти производную: y’ = (x ² — 7x +10)’ = 2x — 7. Далее нужно приравнять y’ к нулю: 2x — 7 = 0. Значение по оси абсцисс равно х0 = 3,5, а y0 = -2,25. Далее нужно заполнить таблицу зависимостей ординаты от переменной.

y	4	0	-2	-2,25	-2	0	4
x	1	2	3	3,5	4	5	6

Таблица 1. Зависимость y от x.

После заполнения таблицы следует построить график искомой функции (рис. 3). Таблица состоит из следующих элементов: вершины, точек пересечения с осью абсцисс и 4 произвольных значений.

Рисунок 3. График функции.

Математики рекомендуют использовать для построения графика полученные значения при расчетах, поскольку подстановка и вычисление произвольных х существенно снижает скорость вычислений.

Таким образом, нахождение координат вершины параболы является довольно простой задачей, поскольку существует несколько методов. Из них можно выбрать оптимальный, который подходит в конкретной ситуации.

Определение

Функция вида y=ax²+bx+c, где а, b, с – некоторые числа, причем, а≠0 число, х – переменная, называется квадратичной функцией.

Графиком квадратичной функции является парабола, она имеет вершину и две ветви, которые могут быть направлены либо вверх, либо вниз (рис.1). Красной точкой обозначена вершина параболы, из которой выходят ветви. Её координаты по графику – (3; –4). Направление ветвей зависит от значения коэффициента «а», то есть, если «а» – положительное число, то ветви направлены вверх; если число «а» – отрицательное, то ветви направлены вверх. На данном рисунке ветви направлены вверх, значит коэффициент «а» у формулы, которая задает эту функцию – положительное число. Коэффициент «с» показывает ординату (у) точки пересечения ветви параболы с осью у. Так, на рисунке №1 парабола пересекает ось у в точке (5;0), значит коэффициент с=5.

Вершина параболы. Формула.

Чтобы найти координаты вершины параболы (х₀; у₀), надо воспользоваться формулой:

х₀=−b2a

для нахождения у₀ можно просто подставить значение х₀ в формулу данной функции y₀=ax²+bx+c вместо х.

Рассмотрим это на примере конкретно заданной функции.

Пример №1

Найти вершину параболы, заданной формулой у=2х² – 8х + 5.

Найдем, чему равны коэффициенты: а=2; b= – 8

Подставим их в формулу и вычислим значение х₀:

х₀=−b2a=82∙2=84=2

Теперь в заданную по условию формулу вместо х подставим найденное значение у₀=2∙2² – 8∙2 + 5=8 – 16 + 5= –3

Итак, мы нашли координаты вершины параболы: (2; –3).

Ответ: (2; –3).

Нули параболы

Значения х, при которых функция принимает значения, равные нулю, называются нулями функции. Другими словами, Значения абсцисс (х) точек пересечения ветвей параболы с осью х, называются нулями функции. На рисунке №1 точки координаты точек пересечения ветвей параболы с осью х следующие: (1;0) и (5;0). Значит, нули функции – это значения х, равные 1 и 5.

Рассмотрим, как найти нули функции не по рисунку, а по заданной формуле.

Пример №2

Найти нули функции у=х² +4х – 5

Так как нули функции это абсциссы точек пересечения ветвей параболы с осью х, то их координаты будут (х;0), то есть у=0. Значит, вместо у подставляем нуль в нашу формулу 0=х² +4х – 5 и получаем квадратное уравнение, решив которое, мы и найдем значения нулей функции:

х² +4х – 5=0

а=1, b=4, с= –5

D=b² – 4ac=4² – 4∙1∙(−5)=36

x=−b±√D2a

x=−4±√362; х₁=–5; х₂=1

Значит, нули функции равны –5 и 1

Ответ: –5 и 1

Примечание к заданию по нахождению нулей функции без графика

Если дискриминант уравнения отрицательный, значит, нулей функции нет, то есть парабола не пересекает ось х (вершина находится выше неё, если ветви направлены вверх и ниже, если ветви направлены вниз).

Рассмотрим нахождение соответствия рисунков парабол, расположенных в системе координат значениям а и с.

Пример №3

Для выполнения данного задания на соответствие необходимо сначала поработать с графиками, подписав на них, какими – отрицательными или положительными являются коэффициенты а и с.

Теперь можно выполнить соответствие:

Ответ: 231

Пример №4

Рассмотрим еще пример на соответствие

В данном задании рассмотрим коэффициенты в формулах и подчеркнем их: так, в формуле под буквой А коэффициент а=-2, т.е. отрицательный, значит, ветви направлены вниз, а это график под номером 2. В формулах под буквами Б и В первые и третьи коэффициенты одинаковые, значит, сравнить по рисунку их невозможно, следовательно, будем сравнивать по расположению вершины (справа или слева от оси у), а именно х₀.

Итак, найдем х₀ для формулы «Б»:

х₀=−b2a=−42∙2=−44=−1

Видим, что х₀ отрицательное, значит, вершина расположена слева от оси у, а это рисунок 3. Ну и осталось привести в соответствие В и 1.

Запишем в таблицу

Ответ: 231

Даниил Романович | Просмотров: 10.5k

Парабола присутствует в мире математики, физики и других наук. По траектории параболы передвигаются искусственные спутники, которые стремятся покинуть пределы Солнечной системы, мяч при игре в волейбол тоже описывает её траекторию. Нужно уметь строить параболу. А чтобы это не составляло труда, надо знать, как найти вершину параболы.

Нахождение вершины параболы: способы, примеры, советы

График функции y = ax²+ bx + c, где a — первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член, называется параболой. Но обратите внимание на тот факт, что a ≠0.

У каждой точки параболы есть симметричная ей, кроме одной точки, и эта точка называется вершиной. Для того чтобы найти точку, которая является вершиной, нужно определиться, что такое точка на графике. Точка на графике – это определённая координата по оси абсцисс и по оси ординат. Она обозначается как (x; y). Давайте разбираться, как найти заветные числа.

Первый способ

Если вы хотите знать, как необходимо правильно вычислять координаты вершины, то нужно только выучить формулу x0 = -b/2a. Подставляя полученное число в функцию, получим y0.

Например, y =x²–8 x +15;

находим первый, второй коэффициенты и свободный член;

• a =1, b =-8, c =15;

подставляем значения a и b в формулу;

• x0=8/2=4;

вычисляем значения y;

• y0 = 16–32+15 = -1;

Значит, вершина находится в точке (4;-1).

Ветви параболы симметричны относительно оси симметрии, которая идёт через вершину параболы. Зная корни уравнения, можно без особых трудностей посчитать абсциссу вершины параболы. Предположим, что k и n – корни квадратичного уравнения. Тогда точка x0 равноудалена от точек k и n, и её можно вычислить по формуле: x0 = (k + n)/2.

Рассмотрим на примере y =x²–6x+5

1) Приравниваем к нулю:

• x²–6x+5=0.

2) Находим дискриминант, используя формулу: D = b ²–4 ac:

• D =36–20=16.

3) Находим корни уравнения по формуле (-b±√ D)/2a:

• 1 – первый корень;
• 5 – второй корень.

4) Вычисляем:

• x0 =(5+1)/2=3

Второй способ

Дополнение до полного квадрата – отличный способ узнать, где располагается вершина. Используя этот способ, вы сможете вычислить точки x и y одновременно, без нужды подставлять x в начальный пример. Рассмотрим этот метод на примере функции: y=x ²+8 x +10.

1. Сначала нужно приравнять выражение с переменной к 0. Потом перенести c в правую сторону с противоположным знаком, то есть у нас получается выражение x² + 8x = -10.

2. Теперь в левой части нужно сделать полный квадрат. Для этого посчитайте (b/2)² и увеличьте обе части уравнения результат. В этом случае нужно подставит 8 вместо b.

У нас получается 16. Теперь прибавьте это число к обеим частям уравнения:

x² + 8x +16= 6.

3. Видно, что полученное выражение – полный квадрат. Его можно представить в форме: (x + 4)² = 6.

4. Используйте это выражение для поиска координат вершины параболы. Чтобы посчитать x, нужно приравнять его к 0. Получаем, x =-4. Координата y равна тому, что находится в правой части, то есть y =6. Вершина параболы этого уравнения (-4, 6).

Третий способ

Если вы знаете, что такое производная, то для вас есть другая формула. Несмотря на то, куда смотрят «рога» параболы, её вершина — точка экстремума. Для этого способа надо применить следующий алгоритм:

1. Нахождение первой производной по формуле f'(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.

2. Приравнивание производной к 0. В итоге вы получите 0 = 2ax + b, отсюда можно найти то, что нас интересует.

Рассмотрим этот способ подробнее.

Дана функция y = 4x²+16x-17;

• Записываем производную и приравниваем к нулю.

f'(x) = (4x²+16x-17)’ = 8x+16 =0

Построение параболы

Самое трудное при построении – это верно найти точки функции. Для подробного построения нужно просчитать 5–7 точек (для школьного курса хватит этого). Для этого выбираем какое-либо значение x и подставляем его в данную функцию. Итогом подсчётов будет число точки по оси ординат. После этого ставим на координатную плоскость полученные нами точки. В итоге у нас получается парабола.

Рассмотрим подробнее вопрос о нахождении точек, которые нужно отметить. Для примера возьмём функцию y =-x ²+11 x -24 с вершиной в точке (5,5;-6,25).

1) Строим таблицу

X			5,5
Y

2) Заполняем таблицу

Так как парабола имеет осевую симметрию, то можно считать только значения справа или слева от вершины. Лучше считать те значения, которые ближе к 0, так удобнее. В нашем случае эти значения 4 и 5.

X	4	5	5,5	6	7
Y	-4	-6	-6,25	-6	-4

Советы

Правильно находите коэффициенты.

Пишите промежуточные вычисления на бумаге. Это не только облегчит нахождение вершины, но и поможет найти свои ошибки.

Делайте всё поэтапно. Следуйте алгоритму.

Обратите ваше внимание на то, что:

• Нужно проверять правильно ли ваше решение.
• Необходимо успокоиться. Решение любых задач по математике требует опыта. Просто нужно отработать данную тему, и тогда непременно у вас всё получится.

Видео

Это видео поможет вам научиться находить вершину параболы

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» — это переменная функции или аргумент, а «y» — зависимая переменная или значение функции.

Установка функции означает определение правила, согласно которому могут быть найдены соответствующие значения независимой переменной. Вот способы, которыми вы можете его установить:

• Табличный способ. Помогает быстро определять конкретные значения без дополнительных измерений или расчетов.
• Графический способ: понятно.

• Аналитическим путем, с помощью формул. Он компактен, и вы можете вычислить функцию для произвольного значения аргумента из области определения.
• Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» вы можете подставить произвольные значения в функцию и найти координаты этих точек.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — числа, обязательное условие — 0. Уравнение имеет следующее распределение:

• а — главный коэффициент, отвечающий за ширину параболы. Большое значение a означает узкую параболу, маленькое значение означает большую параболу.
• b — второй коэффициент, отвечающий за смещение параболы от центра координат.
• c — свободный член, который соответствует координате пересечения параболы с осью y.

График квадратичной функции представляет собой параболу, которая при y = x2 имеет следующий вид:

Точки, отмеченные зелеными кружками, называются базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x2, нужно создать таблицу:

икс	-2	−1	0	1	2
да	4	1	0	1	4

Если главный коэффициент в уравнении квадратной функции равен единице, график имеет ту же форму, что и y = x2 для любого значения остальных коэффициентов.

График функции y = –x2 имеет вид перевернутой параболы:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

икс	-2	−1	0	1	2
да	−4	−1	0	−1	−4

Глядя на оба графика, вы можете увидеть их симметрию относительно оси OX. Обращаем внимание на важные выводы:

• Если главный коэффициент больше нуля при> 0, ветви параболы направлены вверх.
• Если главный коэффициент меньше нуля при <0, ветви параболы направлены вниз.

Как построить график квадратичной функции: учитывать значения x, где функция равна нулю. В противном случае ее можно назвать нулевой функцией. На графике нули функции f (x) — это точки пересечения y = f (x) с осью OX.

Поскольку ордината (y) любой точки на оси OX равна нулю, следовательно, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции y = f (x) с осью OX, необходимо решить уравнение е (х) = 0.

Для наглядности возьмем функцию y = ax2 + bx + c, для построения которой необходимо решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. В процессе мы найдем дискриминант D = b2 — 4ac, который будет дают нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

Если a> 0, график выглядит так:

Исходя из вышеизложенного, ясно, что, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы понимаем, как будет выглядеть график той или иной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим образом:

Ось симметрии параболы — это прямая линия, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY.

Для построения графика нам понадобится точка пересечения параболы с осью OY. Поскольку абсцисса каждой точки на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax2 + bx + c с осью OY, вам нужно подставить ноль в уравнение вместо x: y (0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении показаны основные параметры графика квадратичной функции:

Как найти вершину параболы по формуле

Нахождение экстрима — главный шаг в решении многих практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн-калькуляторы, но лучше уметь это делать самому.

Как вы можете это определить? Есть особая формула. Когда b не равно 0, вам нужно найти координаты этой точки.

Формулы поиска саммита:

• х0 = -b / (2 * а),
• у0 = у (х0).

Пример.

Есть функция y = 4 * x2 + 16 * x — 25. Находим вершины этой функции.

Для этой строки:

• х = -16 / (2 * 4) = -2,
• y = 4 * 4 — 16 * 2 — 25 = 16 — 32 — 25 = -41.

Получаем координаты вершины (-2, -41).

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в зависимости от того, как задана квадратичная функция.

Свойства и график квадратичной функции

Функция имеет ось симметрии и центр (крайний). Область определения: все значения по оси абсцисс.

Диапазон значений функции — (-∞, M) или (M, + ∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр M здесь указывает значение функции в верхней части строки.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax2 + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2×2 + 3x — 5.

Как мы строим:

1. Определите направление ветвей параболы. Поскольку a = 2> 0, ветви параболы направлены вверх.
2. Найдите дискриминант квадратного трехчлена 2×2 + 3x — 5.

D = b2 — 4ac = 9-4 * 2 * (-5) = 49> 0

√D = 7

В этом случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью OX. Чтобы найти их координаты, решаем уравнение:

2×2 + 3x — 5 = 0

1. Координаты вершины параболы:

• Точка пересечения с осью OY составляет: (0; -5) и симметрична ей.
• Постройте эти точки на координатной плоскости и постройте параболу:
  

Смещение параболы

Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x2 + bx + c второй и третий параметры равны 0 и = 1 — вершина находится в точке (0, 0).

Смещение по оси абсцисс или ординат связано с изменением параметров b и c соответственно. Перемещение линии по плоскости будет производиться ровно на то количество единиц, которое равно значению параметра.

Пример.

Имеем: b = 2, c = 3.

Это означает, что классическая форма кривой будет перемещать 2 единичных сегмента по абсциссе и 3 по ординате.

Уравнение параболы в полярной системе координат

Уравнение параболы в полярной системе координат (рис. 3.45, в) имеет вид

где — параметр притчи, а — ее эксцентриситет.

Действительно, в качестве полюса полярной системы координат выберем фокус параболы, а в качестве полярной оси — радиус с началом в точке, перпендикулярной директрисе и не пересекающей ее (рис. 3.45, в). Тогда для произвольной точки, принадлежащей параболе, согласно геометрическому определению (свойству директории) параболы, мы имеем. Поскольку, получаем уравнение параболы в координатной форме:

Обратите внимание, что в полярных координатах уравнения эллипса, гиперболы и параболы совпадают, но описывают разные линии, так как они отличаются эксцентриситетом (для эллипса, для параболы, для гиперболы).

Как строить параболу по квадратному уравнению

школьникам важно научиться правильно рисовать параболу по указанным параметрам.

Анализируя выражения и уравнения, вы можете увидеть следующее:

1. Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное c.
2. Все точки на графике (по оси абсцисс) будут симметричными относительно главного конца функции.

Кроме того, точки пересечения с OX можно найти, зная дискриминант (D) этой функции:

D = (b2 4 * a * c).

Для этого установите выражение равным нулю.

Наличие корней параболы зависит от результата:

• D ˃ 0, поэтому x1, 2 = (-b ± D0.5) / (2 * a),
• D = 0, поэтому x1, 2 = -b / (2 * a),
• D ˂ 0, то точек пересечения с вектором OX нет.

Получаем алгоритм построения параболы:

• определить направление ветвей,
• найти координаты вершины,
• найти пересечение с осью y,
• найти пересечение с абсциссой.

Пример 1.

Дана функция y = x2 5 * x + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

1. a = 1, поэтому ветви направлены вверх,
2. крайние координаты: x = (-5) / 2 = 5/2, y = (5/2) 2-5 * (5/2) + 4 = -15/4,
3. пересекает ординату при значении y = 4,
4. найти дискриминант: D = 25 — 16 = 9,
5. в поисках корней:

• Х1 = (5 + 3) / 2 = 4, (4, 0),
• Х2 = (5-3) / 2 = 1, (1, 0).

Из полученных точек можно построить параболу.

Пример 2.

Для функции y = 3 * x2 2 * x 1 вам нужно построить параболу. Действуем по заданному алгоритму:

1. a = 3, поэтому ветви направлены вверх,
2. крайние координаты: x = (-2) / 2 * 3 = 1/3, y = 3 * (1/3) 2 — 2 * (1/3) — 1 = -4/3,
3. ось y будет пересекаться при значении y = -1,
4. найти дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Итак, корни:

• Х1 = (2 + 4) / 6 = 1, (1.0),
• Х2 = (2-4) / 6 = -1/3, (-1/3, 0).

Из полученных точек можно построить параболу.

Гипербола

Гипербола — это прямая линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которой до двух заданных точек — постоянное значение (не равно нулю и меньше расстояния между ).

Точки их называют огнями гиперболы. Пусть, как и раньше, расстояние между фокусами равно 2s. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим с. По условию, чтобы <>

Выбрав декартову систему координат, как в случае эллипса, и используя определение гиперболы, составим ее уравнение: (7.6) где xy — координаты произвольной точки гиперболы,

Уравнение (7.6) называется каноническим уравнением гиперболы.

Уравнение (7.6) показывает, что … Это означает, что вся гипербола находится вне полосы, ограниченной прямыми x = -a и x = a.

Поскольку уравнение включает только четные степени x и y, гипербола симметрична относительно каждой из координатных осей и начала координат. Поэтому достаточно построить эту кривую в первой четверти: в остальных четвертях гипербола построена по симметрии. Из уравнения (7.6) для первого квартала имеем:

График этой функции от точки A (a, 0) неограниченно идет вправо и вверх (рис. 7.7) и приближается к прямой на столько, сколько вы хотите:

Поэтому говорят, что гипербола бессимптомно приближается к прямой (7.7), и эта прямая называется асимптотой гиперболы. Из симметрии гиперболы следует, что она имеет две асимптоты

Построим гиперболу. Сначала строим так называемый главный прямоугольник гиперболы, центр которого совпадает с началом координат, а стороны 2a и 2b параллельны осям координат. Прямые, на которых лежат диагонали этого прямоугольника, являются асимптотами гиперболы. Рисуем рисунок гиперболы (рис.7.8).

Гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Центр симметрии гиперболы называется центром, оси симметрии называются осями гиперболы. Точки пересечения гиперболы с осью Ox называются вершинами гиперболы. Величины a и b называются полуосями гиперболы. Если a = b, гипербола называется равносторонней.

Эксцентриситет гиперболы — это число… Для любых преувеличений … Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем она меньше, тем больше гипербола простирается вдоль оси быка. На рис. 7.9 показаны гиперболы с разными значениями £.

Фокусные лучи точки гиперболы — это отрезки прямых, которые соединяют эту точку с фокусами… Их длина а также даются формулами:

Справа — ветки ,

Слева — ветви

Прямой они называются гиперболическими руководящими принципами. Как и в случае эллипса, точки гиперболы характеризуются соотношением

Как определить, куда направлены ветви параболы

Чтобы найти направление такой кривой из выражения, необходимо определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если на 0, то они направлены вверх. Если наоборот — вниз.

Кривые второго порядка в высшей математике

Выяснение взаимосвязи между различными показателями экономического характера часто приводит к форме этих взаимосвязей в виде гиперболы и параболы. В этом уроке мы дадим краткую информацию обо всех кривых второго порядка.

Окружность

Определение 9.1. Круг — это геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки — центра круга.

Если я укажу
— центр (рисунок 9.1), N (x, y) — произвольная точка окружности, а R — ее радиус, поэтому по определению можно написать

или

Найдем условия, при которых общее уравнение второй степени с двумя переменными

определяет круг. Раскладывая скобки в (9.1.1), получаем

Сравнивая (9.1.2) и (9.1.3), находим условия A = C, B = O,

, при котором общее уравнение (9.1.2) определяет окружность.

Эллипс

Определение 9.2. Эллипс — это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек на плоскости, называемых фокусами, является постоянной величиной, превышающей расстояние между фокусами.

Для эллипса с фокусами на плоскости xOy (рис. 9.2
а также
… Пусть начало координат будет в середине отрезка
… Выводим уравнение эллипса.

Если точка A — произвольная точка эллипса с координатами (x, y), то

(9.2.1)

где это находится
— постоянная сумма. Потому что

они расположены симметрично относительно начала координат, поэтому имеют координаты (ñ, 0) и (-с, 0) соответственно. Используя формулу для расчета расстояния между двумя точками, находим
… Подставляем значения

а также
в (9.2.1) получаем уравнение

Мы учетверим обе части этого уравнения. Упростить и обозначить

получать
… Разделим обе части уравнения на правую часть

Уравнение (9.2.2) называется каноническим уравнением эллипса, где a — большая полуось, b — малая полуось.

Это уравнение второго порядка, поэтому эллипс является линией второго порядка. Для определения формы эллипса используется его эксцентриситет
, то есть отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой полуоси. Поскольку с
a, то эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы. До такой степени, что

, а затем подставив значение
в равенстве, у нас есть

Следовательно, эксцентриситет определяется соотношением осей эллипса; а соотношение осей определяется эксцентриситетом. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше , следовательно, чем меньше отношение … Это означает, что эллипс вытянут по оси быка. В случае b = ae
получаем круг.

Две линии, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии
отсюда их называют эллиптическим директором. Ведущие уравнения

Пример:

Исследуйте, какая линия определяется уравнением

Решение:

Группируя термины, содержащие одну и ту же переменную, получаем

Из второй скобки извлекаем коэффициент a , после чего предыдущее уравнение примет вид

В каждой из скобок выберите полный квадрат

или

Сделаем замену: … Исследуемое уравнение принимает вид: .

Разделив обе части этого уравнения на , получаем каноническую форму этого уравнения:

Данное уравнение определяет эллипс с полуосями чей центр находится в точке

Выберем произвольным образом прямоугольную систему координат xOy на плоскости. Используя параллельный перенос, переносим оси координат в новое начало в точке … В новой системе координат постройте основной прямоугольник со сторонами , стороны которого параллельны новым осям координат, а центр находится в точке … Входим в эллипс.

Гипербола

Определение 9.3.1. Гипербола — это геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек на плоскости, называемых фокусами, является постоянной величиной, меньшей, чем расстояние между фокусами, и отличной от нуля (указанная разница принимается как абсолютная величина).

Пусть M — произвольная точка гиперболы с фокусами
(рис. 9.4) сегменты
они называются фокальными лучами точки M и обозначаются
По определению гиперболы … Потому что
и с тех пор
расположены симметрично относительно начала координат, поэтому, используя формулу для расчета расстояния между двумя точками, находим … Замена
в равенстве
найденных выражений, получаем:

.

Возводя обе части этого уравнения в квадрат и обозначая
, у нас есть:
или, разделив все члены уравнения на правую часть, возьмем его в виде:

Уравнение (9.3.1) — каноническое уравнение гиперболы, линии второго порядка.

Прямоугольник со сторонами 2a и 2b, расположенный симметрично вокруг осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называется основным прямоугольником. Его диагонали совпадают с асимптотами гиперболы … Следовательно, если необходимо построить гиперболу с полуосями a и b, то нужно сначала построить ее главный прямоугольник, а затем асимптоты.

Уравнение формы
определяет гиперболу, вершины которой лежат на оси Oy (рис. 9.5).

Форма гиперболы отличается эксцентриситетом , то есть отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами. До такой степени, что , затем подставив в формулу
получать
где это находится… Следовательно, эксцентриситет представлен отношением и отношения — неординарность. Следовательно, эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, тем меньше отношение , что означает, что основной прямоугольник растягивается в направлении оси, соединяющей вершины.

Линии, заданные уравнениями
они называются гиперболическими руководящими принципами.

Пример:

Изобразите уравнение геометрического места точек, у которых отношение расстояний от заданной точки A (4, 0) до заданной прямой x = 1 равно 2.

Решение:

В системе координат xOy построим точку A (4, 0) и прямую x = 1. Пусть M (x, y) — произвольная точка искомого геометрического места точек. Опускаем перпендикуляр MB к ​​этой прямой x = 1 и определяем координаты точки B. Поскольку точка B лежит на заданной прямой, ее абсцисса равна 1. Ордината точки B равна ординате точки M. Следовательно, B (1, y) (рис. 9.6) Из условия задачи .Замена значений расстояния, которое мы находим с помощью формулы для расстояния между двумя точками, получаем:

Возводя в квадрат левую и правую части равенства и последовательно преобразуя, находим уравнение:

Полученное уравнение определяет гиперболу, для которой действительная полуось -a = 2, а мнимая .

Определим фокусы гиперболы. Для гиперболы равенство … Следовательно, .A
— очаги гиперболы. Как видите, данная точка

A (4, 0) — правый фокус гиперболы.

Эксцентриситет полученной гиперболы равен

Подставляя значения a и b в уравнения асимптот
а также

y = — получаем уравнения асимптот гиперболы:а также .

Для построения гиперболы строим базовый прямоугольник с полуосями , приступим к асимптотам
а также
а затем строим саму гиперболу (рис. 9.6).

Парабола

Определение 9.4.1. Парабола — это место точек, для каждой из которых расстояние от фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию от фиксированной линии, называемой директрисой (директриса не проходит через фокус).

Обозначим фокус параболы — F, расстояние от фокуса до направляющей — p (p> 0) (рис. 9.7). Проведите ось абсцисс через фокус F перпендикулярно направляющей. Начало координат будет посередине между фокусом и направляющей. Пусть A — произвольная точка координатной плоскости (x, y) и пусть
… Тогда точка A лежит на параболе, если r = d, где d — расстояние от точки A до директрисы. Focus F имеет координаты
.

Следовательно
И расстояние
Подставив в формулу r = d, получим… Возводя обе части равенства в квадрат, получаем

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1) — каноническое уравнение параболы. Уравнения
также определите притчи.

легко доказать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если a> 0, и нисходящей, если a А. Для этого выделите весь квадрат:

и делаем параллельный перенос с формулами

В новых координатах преобразованное уравнение примет вид:
где p — положительное число, определяемое равенством.

Пример:

Пусть задана точка F и прямая y = -1 (рис. 9.8). Множество точек P (x, y), для которых расстояние | PF | равно расстояниюэто называется притчей. Прямая y = -1 называется направляющей параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы узнать, как находятся точки P, удовлетворяющие условию, запишем это равенство через координаты:
, или после упрощения … Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Методы нахождения координат вершины

Очень часто при решении задач функция квадратичного типа может быть представлена ​​в определенной форме, которую нужно привести в удобочитаемый вид с помощью математических преобразований. Последний термин означает, что необходимо преобразовать формулу параболы для удобного построения таблицы и принципиальной схемы. Это делается по следующему алгоритму для примера z = t ^ 2 + 4t + 2:

1. Приравнять к нулю (квадратное уравнение): t ^ 2 + 4t + 2 = 0.
2. Выполните подготовительную операцию, чтобы выделить квадрат: t ^ 2 + 4t + 2 + 2-2 = 0.
3. Выберите формулу сокращенного умножения — квадрат: (t + 2) ^ 2 -2 = 0.
4. Переместите «-2» вправо, то есть (t + 2) ^ 2 = 2.
5. Найдите вершину на основе решения тождества без «-2″.
6. Определяет ординату z: z = — (2), которая представляет собой число из правой части выражения, умноженное на -1.
7. Вычислите координату фокуса (смещение от начала координат): (t; z) = (- 2; -2).

Методика позволяет найти фокус без дополнительных формул. Однако есть другой способ определить вершину, где применяется производная функции:

1. Найдите производную: z ‘= 2t + 4.
2. Установите z ‘равным нулю: 2t + 4 = 0.
3. Найдите корень: t = -2.
4. Замените исходную функцию, чтобы найти ординату, которая равна z = -2.
5. Координата вершины: (-2; -2). То же, что и в предыдущем примере.

Существуют программные продукты для определения параметров блюда. Имена имеют английскую номенклатуру, то есть «притча».

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀)2 + y₀

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2×2 + 3x — 5 при a = 1 второй коэффициент является четным числом.

Рассмотрим пример: y = 2 * (x — 1) 2 + 4.

Как мы строим:

• Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого вам понадобятся:

1. построить y = x2,
2. умножьте ординаты всех точек на графике на 2,
3. переместите его по оси OX на 1 единицу вправо,
4. переместите его по оси OY на 4 единицы вверх.

• Нарисуйте притчу для каждого случая.

Исследование на плоскости уравнения второй степени

Рассмотрим уравнение:

(7,9)

где между коэффициентами A, B, C стоят ненулевые, то есть (7.9) является уравнением второй степени относительно x и y.

Возьмем на плоскости две прямоугольные системы координат: Oxy, которую мы назовем старой, и новую, полученную из Oxy, повернув ее на угол вокруг начала координат

Старые координаты x, y выражаются через новые координаты
из формул:

(7.10)

Подставляя выражения для x и y в уравнение (8), получаем:
(7.11)

Это уравнение в системе координат
определяет ту же линию, что и уравнение (7.9) в системе Oxy.

Если в уравнении (7.9) , поэтому, выбирая угол a в (7.10), можно получить, что B ‘= 0. Для этого угол a должен быть взят таким образом, чтобы … Поэтому будем считать, что B ‘= 0, поэтому уравнение (7.11) примет вид:

(7.12)

Преобразуя это уравнение и применяя параллельный перенос осей координат, мы приходим к уравнению:

(7.13)

В зависимости от знаков коэффициентов уравнения (7.13) рассмотрим следующие случаи:

Рассматривая далее методически все случаи, приходим к выводу: уравнение вида (7.9) определяет одну из следующих фигур: эллипс, гипербола, парабола, пара пересекающихся прямых, пара параллельных прямых, прямая линия, точка или пустой набор.

Геометрический смысл параметра в уравнении параболы

Поясним геометрический смысл параметра в каноническом уравнении параболы. Подставляя в уравнение (3.51), получаем, т.е.. Следовательно, параметр равен половине длины хорды параболы, проходящей через ее фокус перпендикулярно оси параболы.

Фокальный параметр параболы, а также эллипса и гиперболы составляет половину длины струны, которая проходит через ее фокус перпендикулярно фокальной оси (см. Рис. 3.45, c). Из уравнения параболы в полярных координатах получаем, что параметр параболы совпадает с ее фокальным параметром.

• Параметр параболы характеризует ее форму. Чем больше, чем шире ветви параболы, чем ближе к нулю, тем уже ветви параболы (рис. 3.46).
• Уравнение (в) определяет параболу, которая лежит слева от оси ординат (рис. 3.47, а). Это уравнение сводится к каноническому изменением направления оси абсцисс (3.37). На рис. 3.47, а показаны заданная и каноническая системы координат .
• Уравнение определяет параболу с вершиной, ось которой параллельна оси абсцисс (рис. 3.47.6). Это уравнение сводится к каноническому с помощью параллельного переноса (3.36).

Уравнение также определяет параболу с вершиной, ось которой параллельна оси ординат (рис. 3.47, c). Это уравнение сводится к каноническому за счет параллельного переноса (3.36) и переименования осей координат (3.38). На рис. 3.47, б, в показаны заданные системы координат и канонические системы координат .

• График квадратного трехчлена представляет собой параболу с вершиной в точке, ось которой параллельна оси ординат, ветви параболы направлены вверх (в) или вниз (в). Фактически, выделив полный квадрат, мы получим уравнение

что сводится к канонической форме, где, используя замену и .

Знак выбирается так, чтобы он совпадал со знаком основного коэффициента. Эта замена соответствует композиции: параллельный перенос (3.36) с помощью и, переименование осей координат (3.38), а в случае изменения направления оси координат (3.37). На рис. 3.48, а, б показаны указанные системы координат и канонические системы координат для случаев и соответственно.

• Ось абсцисс канонической системы координат является осью симметрии параболы, поскольку изменение переменной на не меняет уравнение (3.51). Другими словами, координаты точки, принадлежащей параболе, и координаты точки, симметричной точке относительно оси абсцисс, удовлетворяют уравнению (3.S1). Оси канонической системы координат называются главными осями параболы.

Пример 3.22. Нарисуйте параболу в канонической системе координат. Найдите параметр фокуса, координаты фокуса и уравнение направляющей.

Решение. Строим параболу с учетом ее симметрии относительно оси абсцисс (рис. 3.49). При необходимости определяем координаты некоторых точек параболы. Например, подставив параболы в уравнение, мы получим. Следовательно, точки с координатами принадлежат параболе.

Сравнивая данное уравнение с каноническим (3.S1), определяем фокальный параметр:. Координаты фокуса, например… Составим уравнение директрисы, т.е.

Пример решения

Для практического применения теоретических знаний о параболе рекомендуется решать задачи. Условие одного из них формулируется следующим образом: дана формула функции параболы f = (t + 2) ^ 2 -3t ^ 2 + 8t-5 + 3 (t-1) ^ 2, для которой необходимо подготовить данные для построения графика в схематическом виде (8 значений). Ее следует решать по следующей методике:

1. Раскройте скобки и приведите аналогичные элементы: f = t ^ + 4t-1.
2. Равно 0: t ^ 2 + 4t-1 = 0.
3. Выберите квадрат: (t + 2) ^ 2-5.
4. Прямая передача: (t + 2) ^ 2 = 5.
5. Вершина с координатами: (-2; -5).
6. Вычислите нули функции с абсциссами: t ^ 2 + 4t-1 = 0. Корни: t1 = -2- (5) ^ 0,5 и t2 = -2 + (5) ^ 0,5. Координаты: (-2- (5) ^ 0,5,0) и (-2+ (5) ^ 0,5,0)
7. Нули функции (пересечение ординаты при t = 0): (0 + 2) ^ 2-5 = -1. Координата — (0; -1).
8. Строим стол.

ж	-5	-3	-1	0	-5	0	-1	-3	-5
т	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2

Вы можете приступить к построению диаграммы. Специалисты советуют нарисовать его карандашом. Отметить нужно только точки, указанные в таблице. Кроме того, необходимо указать нули функции на графике, а также ее пересечения с ординатой. Ветви искомой параболы будут направлены вверх, поскольку квадрат коэффициента 1> 0.

Таким образом, парабола — это кривая 11 порядка, которая используется для описания некоторых физических явлений, траекторий тел в пространстве, а также для описания квадратичной связи между двумя величинами.

Каноническое уравнение параболы

На рисунке показана прямоугольная система координат (XOY), одна крайность, направление рисования ветвей функции по оси абсцисс.

Каноническое уравнение:

у2 = 2 * р * х,

где коэффициент p — фокальный параметр параболы (AF).

В алгебре это будет записано иначе:

y = a x2 + bx + c (узнаваемый образец: y = x2).

Была ли эта статья полезной?