Как найти координаты угла 45 градусов

Содержание:

Тригонометрические функции произвольного угла

Угол поворота

До недавнего времени говоря об угле мы имели в виду угол, полученный между двумя неподвижными сторонами. Угол также можно рассматривать как измерение поворота. Например, радиус колеса, расположенного по горизонтали при вращении вокруг неподвижной оси, через определённое время относительно начального положения образует некоторый угол. К тому же значение угла зависит от направления поворота. Любой угол можно рассматривать как фигуру, полученную вращением луча вокруг начальной точки.

Начальное положение луча соответствует одной стороне угла, конечное положение – другой стороне. При вращении луча на координатной плоскости относительно начала координат в направлении по часовой стрелке или против часовой стрелки, можно получить различные углы.

Начальная сторона угла поворота совпадает с положительным направлением оси абсцисс. Сторону, полученную при вращении относительно начала координат (вершины угла), назовём конечной стороной. Принято считать, что если поворот происходит в направлении против часовой стрелки, то угол имеет положительное значение, при повороте в направлении по часовой стрелке, угол имеет отрицательное значение,

положительный угол отрицательный угол

Координатные оси разбивают координатную плоскость на 4 четверти. Значение угла, в зависимости от того, в какой четверти расположена его конечная сторона, меняется в определенном интервале.

Конечная сторона угла может совершить один или несколько оборотов относительно начала координат. Один полный оборот соответствует углу 360°. Существует бесконечное число углов поворота, у которых начальная и конечная стороны совпадают. Например, конечные стороны углов 30°и 390° совпадают. В общем, для углов поворота и (здесь произвольное целое число) конечные стороны совпадают.

Радианная и градусная мера угла

Пример 1. Нарисуйте угол заданной величины. Определите какой четверти принадлежит конечная сторона угла.

Пример 2. На координатной плоскости покажите и запишите градусные меры двух положительных и одного отрицательного угла поворота, конечные стороны которых совпадают с конечной стороной угла 60°.

Радианное измерение углов

Угол в один радиан-это центральный угол, у которого длина дуги равна радиусу. Радианная мера угла есть отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности: . Величина угла, выраженная в радианах не зависит от длины радиуса (объясните, воспользуясь подобием фигур на рисунке).

Пример 1. Сколько радиан составляет центральный угол, длина дуги которого равна 12 см, если радиус окружности равен 4 см?

Решение: 1 радиан соответствует длине дуги 4 см. Дуге длиной 12 см будет соответствовать угол 12 : 4 = 3 радиан. Длина окружности . Если центральный угол, соответствующий дуге окружности радиуса равен 1 радиану, то дуге, равной; соответствует центральный угол . Ниже показаны радианные меры углов поворота.

Радианная мера одного целого оборота равна , градусная мера 360°. То есть, радиан = 360°. Отсюда можно установить следующую связь между радианной и градусной мерой. Преобразование радиан в градусы:

Преобразование градусов в радианы:

Таким образом, рад = 180°. Обозначение “рад’ часто опускают. Вместо рад = 180° обычно пишут = 180°. Отсюда получаем, что

Используя соответствующие радианные и градусные меры углов, расположенных в первой четверти, можно найти увеличенные в разы значения других углов. Например, если 30° = , тогда 150° =

Пример 2. Выразите углы, заданные в градусах радианами, а углы, заданные радианами в градусах, а) 60° ; б)

Решение.

а)60° = радиан — радиан 1,047 радиан

б) радиан

Пример 3. Выразите углы, конечная сторона которых совпадает с углом 45°, в градусах и радианах.

Решение: Конечная сторона угла 45°совпадает с углами 405° и 315°, а также существует бесконечно много углов, конечные стороны которых совпадают с конечной стороной угла 45°: ;

,

или,

.

В радианах это можно записать как

и т.д. Все углы, конечные стороны которых совпадают с углом в общем виде записываются так:

Пример, а)

Все углы поворота, конечные стороны которых совпадают с углом

можно найти но формуле .

Как видно, в заданном интервале, расположен всего один угол 425°. Пример. д) Все углы поворота, конечные стороны которых, совпадают с этим углом можно найти по формуле .

Интервалу принадлежат углы

Длина дуги

Запишем формулу нахождения длины дуги, соответствующей центральному углу окружности радиуса . Используя радианную меру длину окружности можно найти ещё проще. По определению радиана, если , тогда длина дуги равна произведению радиуса и радианной меры угла: Длина дуги окружности находится с радиусом в прямо пропорциональной зависимости.

Площадь сектора

Центральному углу соответствует сектор площадь которого равна . Учитывая что радиальная мера центрального угла равна и обозначив её через , запишем формулу нахождения площади сектора . Пример 1. Длина секундной стрелки часов равна 12 см. Определите длину дуги, которую описывает конец секундной стрелки за 15 секунд.

Решение. Секундная стрелка за 60 минут совершают один полный оборот. Это соответствует радианам. 15 секунд соответствуют части полного оборота: радиан. То есть, минутная стрелка за 15 секунд чертит дугу, соответствующую центральному углу . Длина этой дуги:

Пример 2. Найдите площадь и периметр закрашенного сектора на рисунке, если радиус круга равен 8 см. Закрашенной части круга соответствует центральный угол:

Площадь сектора равна:

(см²).

Периметр сектора равен сумме длин двух радиусов и длины дуги: (см)

Линейная скорость и угловая скорость

Скорость при движении по окружности, например, скорость движения произвольной точки Р колеса, которое вращается вокруг точки О, может быть вычислена двумя способами.

В первом случае, её можно найти используя расстояние и время. Эта скорость называется линейной скоростью. Во втором случае – используя угол поворота (центральный угол). Эта скорость называется угловой скоростью.

Если тело движется но окружности, то линейная скорость равна отношению пройденного пути (длины дуги окружности) к промежутку времени.

Если тело движется по окружности, то угловая скорость равна отношению угла поворота к промежутку времени.

Здесь (в радианах) – угол вращения за промежуток времени . Между линейной и угловой скоростью существует следующая связь:

линейная скорость = угловая скорость

Пример 3. Карусель совершает за минуту 8 полных оборотов.

а)Чему равна угловая скорость карусели за минуту(в радианах)?

б)На сколько метров за минуту передвигается лошадь, которая находится на расстоянии 3 м от центра окружности?

в)На сколько метров за минуту передвигается лошадь, которая находится на расстоянии 2 м от центра окружности?

Решение:

а) Один целый оборот при вращении соответствует центральному углу . За 8 оборотов этот угол равен . Угловая скорость за минуту равна радиан/мин.

б)Если лошадь находится на расстоянии 3 м от центра, то она движется по окружности радиуса 3 м.

Линейная скорость:м/мин

в)Если лошадь находится на расстоянии 2 м от центра, то она движется по окружности радиуса 2 м.

Линейная скорость:м/мин

Тригонометрические функции

Тригонометрические отношении для угла зависят только от значения угла.

Пусть конечная сторона угла а при повороте пересекается с окружностью радиусом г, центр которой находится в начале координат, в точке Р(х; у).

Отношение ординаты точки Р к длине радиуса называется синусом угла :

Отношение абсциссы точки Р к длине радиуса называется косинусом угла :

Отношение ординаты точки Р к абсциссе называется тангенсом угла :

(здесь , то есть точка Р не расположена на оси ординат)

Отношение абсциссы точки Р к ординате называется котангенсом угла : (здесь , то есть точка Р не расположена на оси абсцисс)

Косинусом угла называется обратное значение для синуса:

(здесь )

Секансом угла называется обратное значение для косинуса:

(здесь )

Пример 1. Точка А (- 3; 4) расположена на конечной стороне угла поворота .

а) Изобразите решение примера.

б) Определите значения тригонометрических отношений для угла поворота .

Решение:

а)

б)

Координаты точки на окружности

Если заданная точка Р окружности находится на конечной стороне угла поворота , то она имеет координаты .

Пример 2. По данным рисунка найдите координаты точки Р.

Точка Р находится во II четверти и косинус отрицательный.

Для некоторых углов, конечная сторона расположена на одной из координатной оси. В этом случае, градусная мера угла поворота равна: или радиан, или радиан, или радиан, или радиан.

В этом случае координаты х или у равны или нулю, или абсолютному значению длины радиуса.

Пример 3. Найдём значения тригонометрических отношений для:

а) а = 90° ; б) а = 180°; в) а = 270° .

При всех допустимых значениях, каждому значению , соответствует единственное значение . Поэтому тригонометрические отношения являются функциями угла и называются тригонометрическими функциями.

Так как , то знак косинуса совпадает со знаком х.

Так как , то знак синуса совпадает со знаком у.

Тригонометрические функции произвольного угла. Нахождение значений тригонометрических функций произвольного угла при помощи острого угла

Чтобы вычислить тригонометрические отношения для углов больше 90°, удобно использовать тригонометрические отношения острого угла.

Для любого угла поворота существует образованный конечной стороной и прямой, содержащий ось абсцисс.

Используя соответствующие острые углы можно определить тригонометрические отношения для любого произвольного угла. Эти значения можно вычислить точно для углов 30°, 45°, 60°, а для остальных острых углов – при помощи калькулятора.

Пример 1. Для следующих углов, определите острые углы:

а) б)

Решение:

а) конечная сторона угла 300° расположена в IV четверти. Соответствующий острый угол равен: 360°- 300° = 60°

б) конечная сторона угла расположена в III четверти. Соответствующий

острый угол равен:

Пример 2. Найдём значение основных тригонометрических функций для угла . Шаги решения:

1.Найдём наименьший положительный угол, конечная сторона которого совпадает с заданным углом и дополняет его до 360°: -135° + 360° = 225°

2.Для угла 225° найдём соответствующий острый угол 225° – 180° = 45°.

3.Определим какой четверти принадлежит угол -135° – угол III четверти.

4.Найдём значение тригонометрических функций для угла 45° и учтём знак этих функций в III четверти. Получим:

Тригонометрические функции для произвольного угла можно определить следующим образом:

•определяем соответствующий острый угол;

•находим значение тригонометрических функций для этого угла;

•определяем знак значения тригонометрических функций в зависимости от четверти.

Так как конечные стороны углов и совпадают, то значения тригонометрических функций этих углов одинаковы. Если угол изменяется на целое число оборотов, то значение тригонометрических функций не меняется.

Заметим, что если угол меняется на пол оборота, то значения тангенса и котангенса не изменяются.

На самом деле, если углу поворота соответствует точка , а углу поворота (или ) соответствует точка , то :

В общем случае выполняются равенство:

Пример 3. Найдём допустимые значения , если . Так как в I и во II четвертях синус положителен.

, значит если , то

Абсцисса этой точки

Тогда или

Единичная окружность и тригонометрические функции

Значения тригонометрических функций зависят только от значения угла и не зависят от радиуса окружности. Поэтому, не нарушая общности, можно принять . Окружность, центр которой находится в начале координат, с радиусом равным единице, называется единичной окружностью. Координаты точки, принадлежащей окружности удовлетворяют уравнению .

Если точка является точкой пересечения единичной окружности и конечной стороны угла поворота , то между ней и тригонометрическими функциями существует следующая связь: Таким образом, координаты точки принадлежащей единичной окружности, можно записать как: .

Также по заданным координатам можно найти следующие тригонометрические функции: . Зная, что при определённом повороте на единичной окружности, можно найти соответствующие координаты точки.

Для этого надо выполнить следующие шаги:

1) На единичной окружности отметим точки, соотвегствующие углу поворота , найдём координаты этих точек по формуле: .

2)Для некоторой точки, принадлежащей единичной окружности, например ,определите координаты симметричной точки. Как видно но рисунку, существует 3 точки, симметричные точке А, которые расположены во II, III и IV четвертях.

Точка В симметрична точке А относительно оси у, точка С – относительно начала координат, а точка D – относительно оси х. Абсолютные значения координат этих точек равны и отличаются только знаком.

3)Таким образом, можно определить координаты новых точек, зная координаты точки, принадлежащей I четверти. Т.е. получаем единичную окружность, на которой отмечены углы поворота и координаты точек.

• Заказать решение задач по высшей математике

Единичная окружность и тригонометрические функции произвольного угла

Так как координаты точек на единичной окружности удовлетворяют условиям , то Наибольшее значение и равно 1, а наименьшее значение равно -1.

Пример 1. Для угла поворота вычислите значения основных тригонометрических функций.

Решение: Конечная сторона угла поворота расположена в III четверти. Этому углу соответствует острый угол . Точка пересечения конечной стороны угла с единичной окружностью симметрична точке относительно начала координат и соответствует точке .

Тогда ,

Пример 2. Точка А, с абсциссой расположена в III четверти и пересекается с единичной окружностью на стороне угла .

а)Найдём ординату точки А.

б)Изобразим рисунок, соответствующий условию и для угла найдём значения шести тригонометрических функций.

Решение:

а), . Так как точка расположена в III четверти .

б),,,,

,.

Пример 3. Найдём наибольшее и наименьшее значение выражения .

Решение:

Таким образом, для выражения a НМЗ равно 1, а НБЗ равно 5.

Формулы приведения

Если объект находится в I четверти, то симметричный ему относительно оси у объект находится во II четверти. Симметричный последнему относительно оси х, объект находится в III четверти, и он совпадает с объектом, симметричным начальному объекту из I относительно начала координат. Обратите внимание, что отображение относительно оси у и отображение, относительно оси х, совпадают с поворотом на 180°.

При отображении относительно оси х, точка расположенная на конечной стороне угла изменяет координаты, как показано на рисунке.

То есть, при этом знак меняет только координата у. Таким образом, так как косинус зависит от х он не меняется, зато меняется знак синуса. Отсюда, для углов можно записать следующие зависимости между тригонометрическими функциями.

То есть, синус, тангенс и котангенс нечётные функции, косинус-чётная.

Пример 1:

Конечные стороны углов поворота и 360° – симметричны относительно оси х. То есть .

Отсюда получаем:

Запишем для углов и 90° – прямоугольного треугольника с острым углом тригонометрические отношения:

При попарном сравнении равенств можно увидеть следующую связь-между значениями тригонометрических функций углов и 90° – .

Повернём конечную сторону угла поворота ещё на 90°. При этом точка Р(х; у), расположенная на стороне преобразуется в точку . По определению тригонометрических функций:

Запишем эти формулы в следующем виде:

Как видно но рисунку отображения относительно оси у и оси х эквивалентны повороту на 180°. Изменение координат, можно записать следующим образом:

Как видно по рисунку, при повороте угла а на 180° конечная сторона расположена в противоположных четвертях, но на одной прямой.

Пример 2.

Для получения аналогичных формул тригонометрических функций угла поворота достаточно записать и применить последовательность соответствующих формул.

Например:

Теперь запишем соответствующие формулы для угла поворота . Например:

При помощи полученных формул можно найти значения тригонометрических функций произвольного угла, зная значения для соответствующего острого угла. Эти формулы называются формулами приведения. Для формул приведений можно легко увидеть следующую закономерность

1)Если аргумент имеет вид или , то функция преобразуется в “сопряжённую” функцию (то есть синус в косинус или наоборот, а тангенс в котангенс или наоборот) угла .

2)Если аргумент имеет вид 180° ± или 360° ± , то функция преобразуется в одноимённую функцию угла .

В каждом из обоих случаев, знак полученной в результате преобразования функции имеет одинаковое значение со знаком острого угла в соответствующей четверти.

Тригонометрические тождества

Для острого угла прямоугольного треугольника покажите, что , выполнив следующие шаги:

1)Запишите теорему Пифагора:

2)Каждую из сторон равенства разделите на с²:

3)Примените свойство степени:

4) Примите во внимание, что:

Связь между тригонометрическими функциями одного и того же угла

Тождество можно доказать и при помощи координат точки, принадлежащей единичной окружности.

По координатам точки на единичной окружности и по определениям тригонометрических функций имеем:

Для всех значений , при которых

Для всех значений , при которых

Из данных равенств имеем,что если для угла одновременно выполняются условия и , то справедливо тождество

Разделив обе чаете равенства поочередно на и на будем иметь:

Полученные выше равенства являются тождествами. Их называют основными тригонометрическими тождествами. На основании основных тригонометрических можно написать:

При помощи основных тригонометрических тождеств можно упрощать тригонометрические выражения и вычислять модуль значения всех остальных функций, зная значение одной из них.

Пример 1. Используя основные тригонометрические тождества, докажите,что:

Доказательство:

Пример 2. Зная, что и угол принадлежит III четверти, найдите

остальные тригонометрические функции.

Из формул получаем:

Так как угол принадлежит III четверти, то

Тогда:

Формулы сложения

Практическая работа .

1)Покажем по шагам, равенство выражения

a)Для значений и, вычислим значения выражения в левой части.

б)Для значений и, вычислим значения выражения в правой части.

2)Как можно вычислить значение тригонометрических функций для угла 15°, используя разность значений углов 45° и 30°(15° = 45° – 30°)?

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов. Сначала докажем тождество

На рисунке

а)для угла координаты точки Р₁, взятой на единичной окружности равны , а для угла координаты точки Р₂ равны . Разместим углы – , как показано на рисунке б).

Тогда, для угла координаты точки Р_з будут . Из того, что (по признаку СУС ) следует, что .

Доказательство тождества

учитывая, что

справедливость тождества доказана.

Доказательство тождества

no формулам приведения группируя

no формуле косинуса разности с учётом формул приведения.

Доказательство тождества :

Пример 1. Найдём значение выражения если

Решение.

Пример 2.

Найдём значение выражения если

.

Решение.

Известно что . Если углу соответствует острый угол , то . Так как противолежащий катет равен 3, а гипотенуза 5, тогда прилежащий катет равен и учитывая, что угол III четверти, получим:.

Аналогично, если зная, что , получаем,

что .

Можно записать формулы сложения для тангенса и котангенса:

no определению no формулам сложения

Аналогичным образом можно показать, что :

Следствия из формул сложения

Практическая работа.

Преобразуйте сумму в произведение, выполнив следующие шаги:

1)

решив систему уравнений найдите такие углы, чтобы их сумма была равна 70°, а разность

2)Запишите следующее 70° = 40° + 30°, 10° = 40° – 30° и упростите

Преобразование суммы(разности) в произведение

Формулы преобразования произведения

Справедливость данных тождеств можно показать при помощи формул сложения:

почленно складываем почленно складываем

Следующее тождество можно доказать аналогичным образом.

Тригонометрические функции двойного аргумента

Формулы сложения позволяют выразить через тригонометрические функции угла .

Таким образом, получаем тождества, которые называются формулами двойного аргумента:

Формулы половинного аргумента

Имеем, что

Отсюда: Заменяем в данной формуле на получаем:

Для половинных аргументов справедливы тождества. Знак в правой части в данном равенстве зависит от того, в какой четверги находится угол .

Пример 1. Упростим выражение .

Решение.

Пример 2. He используя калькулятор, вычислим значения и , зная, что угол принадлежит IV четверти и

Решение.

Пример 3. Найдём значений .

Решение:

Используем формулу половинного аргумента

угол I четверти и в этой четверти косинус положителен.

Упрощение тригонометрических выражений

Пример 1. Раскроем скобки и упростим выражение.

Пример 2. Разложим на множители и упростим выражение.

Пример 3. Упростим рациональное выражение, содержащее тригонометрические функции.

Пример 4. Освободим знаменатель от радикала

Здесь .

$%45, 30 и 105$% градусов. Возможно несколько решений. 1) Через векторы. 2) По теореме синусов. 3) Достроить треугольник до параллелограмма.

Приведу решение через векторы. Поместим вершину, из которой исходит медиана, в начало координат, одну из двух оставшихся вершин $%A $%- на ось абсцисс, третью вершину $%B$% – в первую четверть координатной плоскости.
Очевидно, что условие задачи задает семейство подобных треугольников, поэтому можно зафиксировать одну сторону. Пусть, например, $%|OA|=1$%, т.е. $%A(1,0)$%.
Далее, пусть $%C$% – середина $%AB$%. Вектор $%OB$% составляет с осью абсцисс угол 45 градусов, поэтому его координаты можно записать как $%(b,b)$%, вектор $%OC$% – полусумма векторов $%OA$% и $%OB$%, поэтому он имеет координаты $%((b+1)/2,b/2)$%. С другой стороны вектор $%OC$% составляет угол 30 градусов с положительным направлением оси абсцисс, поэтому его координаты можно записать как $%(a sqrt{3}/2, a/2)$%. Приравняв эти 2 выражения, получаем $%a=b=1/(sqrt 3-1) $%. Вектор $%AB$% имеет координаты $%(b-1,b)$%, котангенс его угла наклона к оси абсцисс равен $%1-1/b$%, т.е. $%2-sqrt 3 $%, следовательно угол $%BAx$% равен $%arcctg(2-sqrt 3)=75 $% градусов, следовательно, смежный с ним – тупой угол треугольника равен 105 градусов, а оставшийся угол $%OBA$% = 30 градусов.

Построение тригонометрической окружности

А теперь сделай вот что: возьми-ка в руки циркуль и нарисуй любую (самую любую, но лучше достаточно немаленькую) окружность.

Получилось?

Ну да ладно, задачка не самая сложная. Так, ты не потерял ту точку, в которой у тебя был центр (куда ты прикладывал острую ножку циркуля)? Я вот у себя потерял, растяпа! Ну ладно, найду!

А что пока делать тебе?

А вот что: проведи через эту точку две линии, которые пересекаются «прямым крестиком», то есть под прямым углом. И пусть их точка пересечения – это центр (который ты не потерял!) окружности.

Нарисовал? У меня получилось что-то вроде вот этого.

Правда я чуть-чуть поторопился и сразу «обозвал» эти прямые ( displaystyle x) и ( displaystyle y) и точку пересечения через ( displaystyle O).

А что такое в таком случае ( displaystyle R)?

Это радиус нашей окружности.

Как называлась наша тема? Единичная окружность.

Тогда будем считать ( но не будем так рисовать!), что ( displaystyle R=1 ).

А рисовать мы так не будем, потому что на такой крошечной картинке ты ничего не разберешь! Ты же понимаешь, что когда инженеры проектируют самолеты, скажем, они не рисуют его в натуральную величину?

Так и мы не будем рисовать единичную окружность в самом деле единичной. Это нам нужно исключительно для удобства.

Теперь отмечаем: ( displaystyle OR=1). Что же мы с тобой на самом деле сделали? А вот что:

Мы поместили нашу окружность в систему координат ( displaystyle mathbf{X0Y}), сделав центр окружности началом координат!

Это позволит изучать свойства такой окружности уже не с геометрической, а с математической точки зрения. Этот подход был придуман хитрым математиком и философом Рене Декартом еще в 17 веке!

Перегнать фигуру в цифры, каково, а?

Но допустим, мы поместили нашу окружность в координаты. В скольких точках она пересекается с осями системы координат?

В четырех. Вот они:

Эти точки ( displaystyle left( A; B; C; D right)) имеют координаты:

( displaystyle Aleft( 1,0 right)); ( displaystyle Bleft( 0,1 right)); ( displaystyle Cleft( -1;0 right)); ( displaystyle Dleft( 0;-1 right)).

Теперь вспомни, как называются области, на которые этот «координатный крестик» делит всю плоскость?

Они называются координатные четверти.

Тогда посмотри на рисунок. Наша окружность тоже оказалась разрезанной на 4 равные дольки. Давай пронумеруем каждую из этих долек против часовой стрелки:

Ты уже можешь догадаться, как называются эти самые дольки:

1 четверть, 2 четверть, 3 четверть, 4 четверть

(Прямо как четверти в школе!)

Углы на тригонометрической окружности

Теперь давай сделаем еще вот что. Снова посмотрим на предыдущую картинку.

Чему на ней равен ( displaystyle angle AOB)?

Он равен ( displaystyle 90{}^circ ).

Также, как и ( displaystyle angle BOC), как и угол ( displaystyle angle COD), и угол ( displaystyle angle DOA).

Она равна ( displaystyle 360{}^circ ).

Вместе же эти 4 угла составляют всю окружность целиком!

Градусная мера окружности равна ( displaystyle 360{}^circ )!

Однако, ты нередко можешь увидеть и вот такую картинку:

где вместо привычных нам градусов появляются некие буковки «пи» ( displaystyle pi ) с цифрами.

В чем же тут дело, кто прав и кто виноват?

Ну так вот, кто прав, кто виноват, решать, увы, не нам. Но чтобы «воз не был поныне там», нам нужно уделить этому моменту пару минут времени.

В самом деле, есть два способа измерять углы:

• Через градусы
• Через радианы

Как измерять углы через градусы мы все знаем. Это нам привычно. Однако в некоторых случаях их измеряют по-другому (как в градуснике есть несколько шкал: цельсий, кельвин, фаренгейт и т. д.), а именно: через радианы.

Для того, чтобы перейти от одной формы записи к другой, используется вот такое основное соотношение:

По пропорции ты легко получишь, что для того, чтобы пересчитать угол из градусов в радианы, нужно применить вот такую незамысловатую формулу:

( displaystyle P~рад.=frac{alpha {}^circ cdot pi }{180})

И наоборот: от радиан к градусам:

( displaystyle alpha {}^circ =frac{P~рад.cdot 180}{pi })

Ты должен уметь ориентироваться и в той, и в другой форме записи.

Потренируйся на следующих примерах:

• Перевести угол в ( displaystyle 30) градусов в радианы;
• Перевести угол ( displaystyle frac{pi }{4}) радиан в градусы;
•  Перевести угол в ( displaystyle 60) градусов в радианы; 
•  Перевести угол в ( displaystyle frac{pi }{2}) радиан в градусы; 
•  Перевести угол в ( displaystyle 120) градусов в радианы; 
•  Перевести угол в ( displaystyle frac{3pi }{4}) радиан в градусы; 
• Перевести угол в ( displaystyle 150) градусов в радианы.

Я сделаю только первые два, а остальные реши сам!

• ( P~рад.=frac{30cdot pi }{180}=frac{pi }{6}), тогда угол в ( displaystyle 30) градусов равен углу в ( displaystyle frac{pi }{6}) радиан;
• ( alpha {}^circ =frac{frac{pi }{4}cdot 180}{pi }=frac{45pi }{pi }=45{}^circ ), тогда угол в ( displaystyle frac{pi }{4}) радиан равен углу в ( displaystyle 45) градусов.

Все очень просто, не так ли? Остальные значения ты можешь найти в следующей таблице:

( displaystyle 0{}^circ )	( displaystyle 30{}^circ )	( displaystyle 45{}^circ )	( displaystyle 60{}^circ )	( displaystyle 90{}^circ )	( displaystyle 120{}^circ )	( displaystyle 135{}^circ )	( displaystyle 150{}^circ )	( displaystyle 180{}^circ )
( displaystyle 0)	( displaystyle frac{pi }{6})	( displaystyle frac{pi }{4})	( displaystyle frac{pi }{3})	( displaystyle frac{pi }{2})	( displaystyle frac{2pi }{3})	( displaystyle frac{3pi }{4})	( displaystyle frac{5pi }{6})	( displaystyle pi )

( displaystyle 210{}^circ )	( displaystyle 225{}^circ )	( displaystyle 240{}^circ )	( displaystyle 270{}^circ )	( displaystyle 300{}^circ )	( displaystyle 315{}^circ )	( displaystyle 330{}^circ )	( displaystyle 360{}^circ )
( displaystyle frac{7pi }{6})	( displaystyle frac{5pi }{4})	( displaystyle frac{4pi }{3})	( displaystyle frac{3pi }{2})	( displaystyle frac{5pi }{3})	( displaystyle frac{7pi }{4})	( displaystyle frac{11pi }{6})	( displaystyle 2pi )

Так что впредь не удивляйся, когда ты увидишь вместо привычных градусов углы в радианах. Теперь ты знаешь, что это такое, и с чем его едят!

Синус, косинус, тангенс и котангенс на тригонометрической окружности

Но мы с тобой и так слишком увлеклись. Ты давно уже, наверное, заждался обещанных синусов и косинусов на тригонометрической окружности. Не смею более отвлекаться!

Давай сделаем вот что: совместим два знакомых нам объекта: тригонометрическую окружность (пока в том виде, в котором она у нас есть) и прямоугольный треугольник.

Что нам нужно, чтобы наш треугольник «целиком влез» в окружность?

Его гипотенуза должна быть не более единицы. Пусть же она у нас в точности будет равна единице.

Совместим мы их вот так:

Я нарисовал прямоугольный треугольник с центром в начале координат и гипотенузой равной ( 1). Это так потому, что окружность-то у меня единичная!

Тогда по определению синуса и косинуса:

• ( sin alpha =frac{AB}{OB}=frac{AB}{1}=AB)
• ( cos alpha =frac{OA}{OB}=frac{OA}{1}=OA)

А что же такое отрезки ( OA) и ( OB)? Чему равны их длины?

Смотри, сейчас будет самое главное: мы взяли угол ( alpha ) и провели луч, соединяющий этот угол с точкой на окружности.

Обозначим эту точку через ( B). Пусть ( B) имеет координаты ( Bleft( x,y right)).

Тогда длина отрезка ( OA) равна ( x), а длина отрезка ( AB)–равна ( y).

Но мы с тобой помним, что ( sin alpha =AB), ( cos alpha =OA), тогда:

• ( y=sin alpha )
• ( x=cos alpha )

Ух ты! Это надо еще раз обдумать, что же мы такое получили.

Давай проговорим еще раз: мы выбрали некоторый угол ( alpha ) и хотим найти его синус и косинус.

Что мы делаем?

• Проводим единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла;
• Ищем точку пересечения нашего угла с окружностью;
•  Её «иксовая» координата – это косинус нашего угла; 
• Её «игрековая» координата – это синус нашего угла.

Вот и все! Теперь синус и косинус искать стало намного проще! Допустим, мы хотим найти синус, косинус ( 30) градусов.

Отмечаем ( 30) градусов на окружности и «достраиваем» этот угол до треугольника (как показано на рисунке выше).

Как найти ( x) и ( y)?

Да очень просто: в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в ( 30) градусов равен половине гипотенузы (это известный факт из геометрии 7 класса).

Так как гипотенуза равна ( 1), то противолежащий ей катет равен ( 0,5), откуда:

Наши катеты в треугольничке равны ( x) и ( y), которые в свою очередь совпадают с ( cos alpha ) и ( sin alpha ). Гипотенуза в треугольнике равна ( 1).

Тогда:

В частности, если:

( si{{n}^{2}}30{}^circ +co{{s}^{2}}30{}^circ =1) и ( sin 30{}^circ =0,5), то

Определение знака синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла ( displaystyle 30) градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».

C ( displaystyle 45) градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 45) градусам, то и другой тоже равен ( displaystyle 45) градусам, а значит такой треугольник равнобедренный.

Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус.

Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в ( displaystyle 0) градусов и ( displaystyle 90) градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!

У тебя должно было получиться:

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:

Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти.

Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса ( displaystyle 90) градусов. Это неспроста!

В частности:

Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:

• Угол лежит в пределах от ( displaystyle 0) до ( displaystyle 360) градусов;
• Угол больше ( displaystyle 360) градусов.

Честно говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим чуть позже. Вначале остановимся на первом случае.

Если угол лежит в 1 четверти – то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали.

Теперь же пусть наш угол больше ( displaystyle 90) градусов и не больше чем ( displaystyle 360).

Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти.

Как мы поступаем? Да точно так же!

Давай рассмотрим вместо вот такого случая…

…вот такой:

То есть рассмотрим угол ( displaystyle alpha ), лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него?

У точки ( displaystyle {{M}_{1}}), которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты ( displaystyle {{x}_{1}}) и ( displaystyle {{y}_{1}}).

Причем первая координата отрицательная, а вторая – положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус – положителен!

Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.

Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника.

Кстати, подумай, у каких углов косинус равен ( displaystyle -1)? А у каких ( displaystyle -1) равен синус?

Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!).

Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой.

Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.

Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:

Синус – это игрек. Косинус – это икс. Тангенс – это синус деленный на косинус. Котангенс – это косинус деленный на синус.

Углы больше 360 градусов

А как быть с углами, большими чем ( displaystyle 360) градусов?

Возьму я, скажем, угол в ( displaystyle 30) градусов (( displaystyle frac{pi }{6}) радиан) и пойду от него против часовой стрелки…

На рисунке я нарисовал спираль, но ты-то понимаешь, что на самом деле у нас нет никакой спирали: у нас есть только окружность.

Так куда же мы попадем, если стартуем от определенного угла и пройдем полностью весь круг (( displaystyle 360) градусов или ( displaystyle 2pi ) радиан)?

Куда мы придем? А придем мы в тот же самый угол!

Это же, конечно, справедливо и для любого другого угла:

Взяв произвольный угол ( displaystyle alpha ) и пройдя полностью всю окружность, мы вернемся в тот же самый угол ( displaystyle alpha ).

Что же нам это даст? А вот что: если ( displaystyle sin alpha =y,~cos alpha =x), то

( displaystyle sin left( alpha +2pi k right)=y), ( displaystyle cos left( alpha +2pi k right)=x), откуда окончательно получим:

( displaystyle sin left( alpha +2pi k right)=sinalpha )

( displaystyle cos left( alpha +2pi k right)=cosalpha )

Для любого целого ( displaystyle k). Это значит, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом ( displaystyle 2pi ).

Таким образом, нет никакой проблемы в том, чтобы найти знак теперь уже произвольного угла: нам достаточно отбросить все «целые круги», которые умещаются в нашем угле и выяснить, в какой четверти лежит оставшийся угол.

Например, найти знак:

• ( displaystyle text{sin}1000{}^circ ),
• ( displaystyle text{cos} 605{}^circ ),
• ( displaystyle text{cos}frac{16pi }{7}),
• ( displaystyle text{sin}frac{19pi }{4}).

Проверяем:

Отрицательные углы

Отрицательные углы в тригонометрии откладываются на тригонометрическом круге вниз от начала, по направлению движения часовой стрелки:

Давай вспомним, как мы до этого откладывали углы на тригонометрической окружности.

Мы шли от положительного направления оси ( displaystyle Ox) против часовой стрелки:

Тогда на нашем рисунке построен угол, равный ( displaystyle 180+45=225{}^circ ). Аналогичным образом мы строили все углы.

Однако ничего нам не запрещает идти от положительного направления оси ( displaystyle Ox) по часовой стрелке.

Мы будем тоже получать различные углы, но они будут уже отрицательными:

А следующей картинке изображено два угла, равные по абсолютной величине (если не знаешь, что это такое, читай здесь про «Модуль числа»), но противоположные по знаку:

В целом правило можно сформулировать вот так:

• Идем против часовой стрелки – получаем положительные углы
• Идем по часовой стрелке – получаем отрицательные углы

Схематично правило изображено вот на этом рисунке:

Ты мог бы задать мне вполне резонный вопрос: ну углы нам нужны для того, чтобы измерять у них значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Так есть ли разница, когда у нас угол положительный, а когда – отрицательный? Я отвечу тебе: как правило есть.

Однако ты всегда можешь свести вычисление тригонометрической функции от отрицательного угла к вычислению функции в угле положительном.

Посмотри на следующую картинку:

Я построил два угла, они равны по абсолютному значению, но имеют противоположный знак. Отметим для каждого из углов его синус и косинус на осях.

Что мы с тобой видим? А вот что:

Синусы у углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle -alpha ) противоположны по знаку!

Тогда если ( displaystyle text{sin} text{ }!!alpha!!text{ }=text{y}), 

то ( displaystyle sin left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{y})

( displaystyle sin left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{sin} text{ }!!alpha!!text{ }).

Косинусы у углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle -alpha ) совпадают!

Кстати, вспомни-ка, как называется функция ( displaystyle f(x)), у которой для любого допустимого ( displaystyle x) выполняется:( displaystyle f(-x)=-f(x))?

Такая функция называется нечетной.

А если же для любого допустимого ( displaystyle x) выполняется: ( displaystyle f(-x)=f(x))? То в таком случае функция называется четной.

Таким образом, мы с тобой только что показали, что:

Синус, тангенс и котангенс – нечетные функции, а косинус – четная.

Таким образом, как ты понимаешь, нет никакой разницы, ищем ли мы синус от положительного угла или отрицательного: справиться с минусом очень просто. Так что нам не нужны таблицы отдельно для отрицательных углов.

С другой стороны, согласись, было бы очень удобно зная только тригонометрические функции углов первой четверти, уметь вычислять аналогичные функции и для остальных четвертей.

Можно ли это сделать? Конечно, можно!

У тебя есть по крайней мере 2 пути: первый – строить треугольник и применять теорему Пифагора (так мы с тобой и отыскали значения тригонометрических функций для основных углов первой четверти)

Второй – запомнив значения функций для углов в первой четверти и некое несложное правило, уметь вычислять тригонометрические функции для всех остальных четвертей.

Второй способ избавит тебя от долгой возни с треугольниками и с Пифагором, поэтому мне он видится более перспективным:

Итак, данный способ (или правило) называется формулами приведения.

Формулы приведения

Грубо говоря, эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу (она между прочим содержит 98 чисел!):

…если ты помнишь вот эту (всего на 20 чисел):

То есть ты сможешь не забивать себе голову совершенно ненужными 78 числами! Пусть, например, нам нужно вычислить ( displaystyle text{sin} 855{}^circ ). Ясно, что в маленькой таблице такого нет. Что же нам делать? А вот что:

Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

Синус и косинус имеют период ( displaystyle 2pi ) (( displaystyle 360) градусов)

То есть

( displaystyle sinleft( 2pi k+x right)=sin x)
( displaystyle cosleft( 2pi k+x right)=cos x)

Тангенс (котангенс) имеют период ( displaystyle pi ) (( displaystyle 180) градусов)

( displaystyle tgleft( pi k+x right)=tg x)

( displaystyle ctgleft( pi k+x right)=ctg x)
( displaystyle k) – любое целое число

Синус и тангенс – функции нечетные, а косинус – четная:

Непосредственно правило приведения выглядит вот так:

Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла – делаем его положительным при помощи группы формул о четности.

Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол ( displaystyle alpha ): это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!

Представляем угол ( displaystyle alpha )в одной из следующих форм:

• ( displaystyle alpha =90+beta ) (если во второй четверти)
• ( displaystyle alpha =180-beta ) (если во второй четверти)
• ( displaystyle alpha =180+beta ) (если в третьей четверти)
• ( displaystyle alpha =270-beta ) (если в третьей четверти)
• ( displaystyle alpha =270+beta ) (если в четвертой четверти)
• ( displaystyle alpha =360-beta ) (если в четвертой четверти)

( displaystyle 135{}^circ =180{}^circ -45{}^circ )
( displaystyle 135{}^circ =90{}^circ +45{}^circ )
( displaystyle 315{}^circ =270{}^circ+45{}^circ )
( displaystyle 240{}^circ =180{}^circ +60{}^circ )
( displaystyle 240{}^circ =270{}^circ -30{}^circ )…

В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.

Ставим перед получившимся выражением знак, который мы запомнили.

Единичная числовая окружность на координатной плоскости