Как найти координаты вектора через его вершины

Нахождение координат вектора через координаты точек

Отложим от начала координат единичные векторы, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора i → должно совпадать с осью O x , а направление вектора j → с осью O y .

Векторы i → и j → называют координатными векторами.

Координатные векторы неколлинеарны. Поэтому любой вектор p → можно разложить по векторам p → = x i → + y j → . Коэффициенты x и y определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора p → по координатным векторам называются координатами вектора p → в данной системе координат.

Координаты вектора записываются в фигурных скобках p → x ; y . На рисунке вектор O A → имеет координаты 2 ; 1 , а вектор b → имеет координаты 3 ; – 2 . Нулевой вектор представляется в виде 0 → 0 ; 0 .

Если векторы a → и b → равны, то и y 1 = y 2 . Запишем это так: a → = x 1 i → + y 1 j → = b → = x 2 i → + y 2 j → , значит x 1 = x 2 , y 1 = y 2 .

Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.

Если точка координат не совпадает с его началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. Пусть в декартовой системе координат на O x y заданы координаты точек начала и конца A B → : A x a , y a , B x b , y b . Найти координаты заданного вектора.

Изобразим координатную ось.

Из формулы сложения векторов имеем O A → + A B → = O B → , где O – начало координат. Отсюда следует, что A B → = O B → – O A → .

O A → и O B → – это радиус-векторы заданных точек А и В, значит координаты точек имеют значения O A → = x a , y a , O B → = x b , y b .

По правилу операций над векторами найдем A B → = O B → – O A → = x b – x a , y b – y a .

Нахождение в трехмерном пространстве проходит по такому же принципу, только для трех точек.

Для нахождения координат вектора, необходимо найти разность его точек конца и начала.

Найти координаты O A → и A B → при значении координат точек A ( 2 , – 3 ) , B ( – 4 , – 1 ) .

Для начала определяется радиус-вектор точки A . O A → = ( 2 , – 3 ) . Чтобы найти A B → , нужно вычесть значение координат точек начала из координат точек конца.

Получаем: A B → = ( – 4 – 2 , – 1 – ( – 3 ) ) = ( – 6 , 2 ) .

Ответ: O A → = ( 2 , – 3 ) , A B → = ( – 6 , – 2 ) .

Задано трехмерное пространство с точкой A = ( 3 , 5 , 7 ) , A B → = ( 2 , 0 , – 2 ) . Найти координаты конца A B → .

Подставляем координаты точки A : A B → = ( x b – 3 , y b – 5 , z b – 7 ) .

По условию известно, что A B → = ( 2 , 0 , – 2 ) .

Известно, что равенство векторов справедливо тогда, когда координаты равны соответственно. Составим систему уравнений: x b – 3 = 2 y b – 5 = 0 z b – 7 = – 2

Отсюда следует, что координаты точки B A B → равны: x b = 5 y b = 5 z b = 5

Ответ: B ( 5 , 5 , 5 ) .

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.


Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

То есть A + C + D = 0.

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать “параллелепипед”.

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA1 = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A1DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Как найти координаты вектора вершины

Нахождение координат вектора через координаты точек

Отложим от начала координат единичные векторы, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора i → должно совпадать с осью O x , а направление вектора j → с осью O y .

Векторы i → и j → называют координатными векторами.

Координатные векторы неколлинеарны. Поэтому любой вектор p → можно разложить по векторам p → = x i → + y j → . Коэффициенты x и y определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора p → по координатным векторам называются координатами вектора p → в данной системе координат.

Координаты вектора записываются в фигурных скобках p → x ; y . На рисунке вектор O A → имеет координаты 2 ; 1 , а вектор b → имеет координаты 3 ; — 2 . Нулевой вектор представляется в виде 0 → 0 ; 0 .

Если векторы a → и b → равны, то и y 1 = y 2 . Запишем это так: a → = x 1 i → + y 1 j → = b → = x 2 i → + y 2 j → , значит x 1 = x 2 , y 1 = y 2 .

Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.

Если точка координат не совпадает с его началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. Пусть в декартовой системе координат на O x y заданы координаты точек начала и конца A B → : A x a , y a , B x b , y b . Найти координаты заданного вектора.

Изобразим координатную ось.

Из формулы сложения векторов имеем O A → + A B → = O B → , где O – начало координат. Отсюда следует, что A B → = O B → — O A → .

O A → и O B → – это радиус-векторы заданных точек А и В, значит координаты точек имеют значения O A → = x a , y a , O B → = x b , y b .

По правилу операций над векторами найдем A B → = O B → — O A → = x b — x a , y b — y a .

Нахождение в трехмерном пространстве проходит по такому же принципу, только для трех точек.

Для нахождения координат вектора, необходимо найти разность его точек конца и начала.

Найти координаты O A → и A B → при значении координат точек A ( 2 , — 3 ) , B ( — 4 , — 1 ) .

Для начала определяется радиус-вектор точки A . O A → = ( 2 , — 3 ) . Чтобы найти A B → , нужно вычесть значение координат точек начала из координат точек конца.

Получаем: A B → = ( — 4 — 2 , — 1 — ( — 3 ) ) = ( — 6 , 2 ) .

Ответ: O A → = ( 2 , — 3 ) , A B → = ( — 6 , — 2 ) .

Задано трехмерное пространство с точкой A = ( 3 , 5 , 7 ) , A B → = ( 2 , 0 , — 2 ) . Найти координаты конца A B → .

Подставляем координаты точки A : A B → = ( x b — 3 , y b — 5 , z b — 7 ) .

По условию известно, что A B → = ( 2 , 0 , — 2 ) .

Известно, что равенство векторов справедливо тогда, когда координаты равны соответственно. Составим систему уравнений: x b — 3 = 2 y b — 5 = 0 z b — 7 = — 2

Отсюда следует, что координаты точки B A B → равны: x b = 5 y b = 5 z b = 5

Ответ: B ( 5 , 5 , 5 ) .

Нахождение координат вектора

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

Нахождение координат вектора

Для того, чтобы найти координаты вектора AB , нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).

Формулы для определения координат вектора

Для плоских задач

Для трехмерных задач Для n-мерных векторов В прямоугольной системе координат х0у проекции х и у вектора на оси абсцисс и ординат называются координатами вектора. Координаты вектора общепринято указывать в виде (х, у), а сам вектор как: =(х, у).

Формула определения координат вектора для двухмерных задач.

В случае двухмерной задачи вектор с известными координатами точек A(х11) и B(x2;y2) можно вычислить:

= (x2 – x1 ; y2 – y1).

Формула определения координат вектора для пространственных задач.

В случае пространственной задачи вектор с известными координатами точек A11;z1) и B(x2;y2;z2) можно вычислить применив формулу:

= (x2 x1 ; y2 y1;z2 z1).

Координаты дают всеобъемлющую характеристику вектора, поскольку по координатам есть возможность построить и сам вектор. Зная координаты, легко вычислить и длину вектора. (Свойство 3, приведенное ниже).

Свойства координат вектора.

1. Любые равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты.

2. Координаты коллинеарных векторов пропорциональны. При условии, что ни один из векторов не равен нулю.

3. Квадрат длины любого вектора равен сумме квадратов его координат.

4.При операции умножения вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число.

5. При операции сложения векторов вычисляем сумму соответствующие координаты векторов.

6. Скалярное произведение двух векторов равняется сумме произведений их соответствующих координат.

[spoiler title=”источники:”]

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vektory-v-prostranstve-i-metod-koordinat/

http://b4.cooksy.ru/articles/kak-nayti-koordinaty-vektora-vershiny

[/spoiler]

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

  • Нахождение координат вектора

  • Примеры задач

Нахождение координат вектора

Для того, чтобы найти координаты вектора AB, нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).

Вектор AB

Формулы для определения координат вектора

Для плоских задач AB = {Bx – Ax; By – Ay}
Для трехмерных задач AB = {Bx – Ax; By – Ay; Bz – Az}
Для n-мерных векторов AB = {B1 – A1; B2 – A2; … Bn – An}

Примеры задач

Задание 1
Найдем координаты вектора AB, если у его точек следующие координаты: A = (2; 8), B = (5; 12).

Решение:
AB = {5 – 2; 12 – 8} = {3; 4}.

Задание 2
Определим координаты точки B вектора AB = {6; 14}, если координаты точки A = (2; 5).

Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
Bx = ABx + Ax = 6 + 2 = 8.
By = ABy + Ay = 14 + 5 = 19.

Таким образом, B = (8; 19).

Определение

Вектор – это направленный отрезок, т.е. отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектор изображается в виде направленных отрезков определенной длины.

Вектор

Рис. 1.

Вектор, имеющий начальную точку А и конечную точку В, обозначается [overrightarrow{A B}](рис. 1).

Определения

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора [overrightarrow{A B}]. Длина вектора [overrightarrow{A B}] обозначается как: [|overrightarrow{A B}|]

Векторы параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой, называются коллинеарными векторами.

Коллинеарный вектор

Определение

Единичный вектор или орт — это вектор, длина которого равна единице.

Еденичный вектор

Рис. 3.

Правило нахождения координат вектора

Отложим от начала системы координат два единичных вектора, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора [bar{i}] должно совпадать с осью [O x], а направление вектора [bar{j}] с осью [O y].

Векторы  [bar{i}, bar{j}] — рассматриваемые векторы называются векторами координат или ортами. Эти векторы образуют базис поверхности. Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости.

Обозначение: базис обычно пишется в круглых скобках, внутри которых в строгом порядке перечисляются векторы.

Любой вектор плоскости выражается по формуле нахождения координат вектора:

[vec{v}=v_{1} cdot vec{i}+v_{2} cdot vec{j}]

Где числа в этом базисе называются векторными координатами. Но само выражение называется векторным разложением.

Как выразить вектор через его координаты

Чтобы выразить вектор [overrightarrow{A B}(a, b)], где [Aleft(x_{1} ; y_{1}right)], а [Bleft(x_{2} ; y_{2}right)], сначала вычислим разницу между абсциссами [x], чтобы получить [a], затем вычислим разницу между ординатами [y], чтобы получить [b]:

[overrightarrow{A B}=left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1}right)]


Пример 1 

Найти координаты [overrightarrow{A B}] при значении координат точек [A(3 ; 2), B(6 ; 9)].

Нахождение координат точек

Рис. 4.

Решение:

Горизонтальное расстояние равно разнице между абсциссами [x], т.е. 6−3=3. Вертикальное расстояние равно разнице между ординатами [y], где 9−2=7.

Поэтому мы можем обозначить вектор от А до В как:

[overrightarrow{A B}=(3 ; 7)]

Нахождение координат вектора в пространстве

Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь все почти так же, как на плоскости, но будет добавлена ​​только одна дополнительная координата.

Координаты вектора в пространстве

Рис. 5.

Любой вектор в пространстве выражается следующим образом:

[vec{v}=v_{1} cdot vec{i}+v_{2} cdot vec{j}+v_{3} cdot vec{k}], где координаты вектора (числа) в заданном базисе.


Пример 2

Нужно найти вектор, соединяющий точку А (начало) с координатами (4, 5, 6) с точкой В (конец) с координатами (10, 11, 12).

Решение:

Вектор направлен из точки А в точку В и может быть обозначен как [overrightarrow{A B}]. Таким образом:

[overrightarrow{A B}=(10-4) ;(11-5) ;(12-6)=(6 ; 6 ; 6)]

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Как записать вектор на основе единичных векторов

Если мы перейдем от начальной точки к конечной точке [Cleft(x_{y} ; y_{1}right) Dleft(x_{2} ; y_{2}right)], это описывает вектор, который представляет собой смещение на расстояние в направлении [overrightarrow{C D}left(x_{2}-x_{1}right) x] затем с расстояния в направлении [left(y_{2}-y_{1}right) y].

Вектор 2

Рис. 6.

Мы можем обозначить этот вектор двумя способами:

[overrightarrow{C D}=left(x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}right)] или [overrightarrow{C D}=left(x_{2}-x_{1}right) i+left(y_{2}-y_{1}right) vec{j}]


Пример 3

Выразить вектор в виде суммы единичных векторов.

Зная, что каждый квадрат сетки имеет длину 1, представим вектор [overrightarrow{A B}] как [a vec{i}+b vec{j}].

Вектор 3

Рис. 7.

Решение:

Из точки [A](начало), мы перемещаем единицы в горизонтальном направлении (которое представляет собой вектор), затем мы перемещаем единицы в вертикальном направлении (что представляет собой вектор), чтобы перейти к точке [B+2(2 vec{i}) u+3(3 vec{j})].

Вектор [overrightarrow{A B}] что представляет собой прямое движение от [A] к [B] , тогда равна сумме этих единичных векторов.

Вектор 4

Рис. 8.

Как результат: [overrightarrow{A B}=2 vec{i}+3 vec{j}=(2,3)].

Использование векторов и позволяет описать вектор в соответствии с количеством шагов по горизонтали и вертикали длиной 1, которые необходимо сделать, чтобы пройти от начала до конца. Обратите внимание, что отрицательные коэффициенты представляют движение влево или вниз соответственно.

Вектор 5

Рис. 9.

Например, приведенный выше вектор, представляющий смещение на -2 единицы в направлении и на -3 единицы в направлении [overrightarrow{A B}=(-2 ;-3) x y] или [(-2 vec{i})+(-3 vec{j})].

[overrightarrow{A B}=-2 vec{i}-3 vec{j}]

Важно

Следует понимать разницу между координатами точки и векторными координатами:

Координаты точки — это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Каждая точка имеет строгое место на карте, и их нельзя никуда перемещать.

Координаты вектора — это его разложение относительно основания.

Любой вектор свободен, поэтому при желании или необходимости мы легко можем отложить его от другой точки плоскости. Записи координат точек и векторных координат выглядят одинаков, а значение координат совсем разные.

Координаты равных векторов соответственно равны.

Если точка начала вектора не совпадает с началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. На оси [O_{x y}] заданы координаты точек вектора, где [Aleft(x_{a} ; y_{a}right)] и [Bleft(x_{b} y_{b}right)]. Найти координаты [overrightarrow{A B}].

Вектора

Рис. 10.

Зная формулу сложения векторов, имеем [overrightarrow{O A}+overrightarrow{A B}=overrightarrow{O B}], следует: [overrightarrow{A B}=overrightarrow{O B}-overrightarrow{O A}].

[overrightarrow{O A}] и [overrightarrow{O B}] радиус-векторы точек А и В, следовательно, координаты точек: [overrightarrow{O A}=left(x_{a}, y_{a}right), overrightarrow{O B}=left(x_{b} ; y_{b}right)].

Отложим от начала координат единичные векторы, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора i→ должно совпадать с осью Ox, а направление вектора j→ с осью Oy.

Определение 1

Векторы i→ и j→ называют координатными векторами.

Координатные векторы неколлинеарны. Поэтому любой вектор p→ можно разложить по векторам p→=xi→+yj→. Коэффициенты x и y определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора p→ по координатным векторам называются координатами вектора p→ в данной системе координат.

Нахождение координат вектора через координаты точек

Координаты вектора записываются в фигурных скобках p→x; y. На рисунке вектор OA→ имеет координаты 2; 1, а вектор b→ имеет координаты 3;-2. Нулевой вектор представляется в виде 0→0; 0.

Если векторы a→ и b→ равны, то и y1=y2. Запишем это так: a→=x1i→+y1j→=b→=x2i→+y2j→, значит x1=x2, y1=y2 .

Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.

Если точка координат не совпадает с его началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. Пусть в декартовой системе координат на Oxy заданы координаты точек начала и конца AB→: Axa, ya, Bxb, yb. Найти координаты заданного вектора.

Изобразим координатную ось.

Нахождение координат вектора через координаты точек

Из формулы сложения векторов имеем OA→+AB→=OB→, где O – начало координат. Отсюда следует, что AB→=OB→-OA→.

OA→ и OB→ – это радиус-векторы заданных точек А и В, значит координаты точек имеют значения OA→=xa, ya, OB→=xb, yb.

По правилу операций над векторами найдем AB→=OB→-OA→=xb-xa, yb-ya.

Нахождение координат вектора через координаты точек

Нахождение в трехмерном пространстве проходит по такому же принципу, только для трех точек.

Для нахождения координат вектора, необходимо найти разность его точек конца и начала.

Пример 1

Найти координаты OA→ и AB→ при значении координат точек A(2,-3), B(-4,-1).

Решение

Для начала определяется радиус-вектор точки A. OA→=(2,-3). Чтобы найти AB→, нужно вычесть значение координат точек начала из координат точек конца.

Получаем: AB→=(-4-2,-1-(-3))=(-6, 2).

Ответ: OA→=(2,-3), AB→=(-6,-2).

Пример 2

Задано трехмерное пространство с точкой A=(3, 5, 7), AB→=(2, 0,-2). Найти координаты конца AB→.

Решение

Подставляем координаты точки A: AB→=(xb-3, yb-5, zb-7).

По условию известно, что AB→=(2, 0,-2).

Известно, что равенство векторов справедливо тогда, когда координаты равны соответственно. Составим систему уравнений: xb-3=2yb-5=0zb-7=-2

Отсюда следует, что координаты точки B AB→равны: xb=5yb=5zb=5 

Ответ:  B(5, 5, 5).

Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Содержание:

  • Формула
  • Примеры нахождения координат вектора по точкам

Формула

Чтобы найти координаты вектора $overline{A B}$ на плоскости, если он задан координатами своих начала $Aleft(x_{1} ; y_{1}right)$ и конца $Bleft(x_{2} ; y_{2}right)$, необходимо от координат конца отнять соответствующие координаты начала, то есть

$$overline{A B}=left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1}right)$$

Чтобы найти координаты вектора $overline{A B}$, заданного в пространстве координатами $Aleft(x_{1} ; y_{1} ; z_{1}right)$ и $Bleft(x_{2} ; y_{2} ; z_{2}right)$, необходимо, по аналогии с плоским случаем, из координат конца вычесть координаты начала:

$$overline{A B}=left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1} ; z_{2}-z_{1}right)$$

Примеры нахождения координат вектора по точкам

Пример

Задание. Даны точки
$A(4;-1)$ и $B(2;1)$. Найти координаты векторов $overline{A B}$ и
$overline{B A}$

Решение. Для вектора $overline{A B}$ точка $A$ является началом, а точка $B$ – концом. Тогда координаты вектора $overline{A B}$ равны

$$overline{A B}=(2-4 ; 1-(-1))=(-2 ; 2)$$

Для вектора точка
$B$ является началом, а точка
$A$ – концом. Тогда координаты вектора $overline{B A}$ равны

$$overline{B A}=(4-2 ;-1-1)=(2 ;-2)$$

Ответ. $overline{A B}=(-2 ; 2), overline{B A}=(2 ;-2)$

Пример

Задание. Даны три точки в пространстве точки $A(1;-2;0,5)$, $B(3;2;1,5)$ и $C(0;-1;1)$. Найти координаты векторов
$overline{A B}$,
$overline{A C}$,
$overline{B C}$

Решение. Для искомого вектора
$overline{A B}$ точка
$A$ является началом, а точка
$B$ – концом. Тогда координаты вектора
$overline{A B}$ соответственно равны:

$$overline{A B}=(3-1 ; 2-(-2) ; 1,5-0,5)=(2 ; 4 ; 1)$$

Для вектора $overline{A C}$ точка
$A$ является началом, а точка
$C$ – концом. Тогда его координаты соответственно равны

$$overline{A C}=(0-1 ;-1-(-2) ; 1-0,5)=(-1 ; 1 ; 0,5)$$

Для вектора $overline{B C}$ точка
$B$ является началом, а точка
$C$ – концом. Его координаты равны

$$overline{B C}=(0-3 ;-1-2 ; 1-1,5)=(-3 ;-3 ;-0,5)$$

Ответ. $overline{A B}=(2 ; 4 ; 1), overline{A C}=(-1 ; 1 ; 0,5), overline{B C}=(-3 ;-3 ;-0,5)$

Читать дальше: как найти сумму векторов.

  • Как найти сумму векторов
  • Как найти скалярное произведение векторов
  • Как найти векторное произведение векторов
  • Как найти смешанное произведение векторов
  • Как найти вектор коллинеарный вектору
  • Как найти вектор перпендикулярный вектору
  • Как найти орт вектора
  • Как найти разность векторов
  • Как найти проекцию вектора
  • Как найти длину вектора
  • Как найти модуль вектора
  • Как найти координаты вектора
  • Как найти направляющие косинусы вектора
  • Как найти угол между векторами
  • Как найти косинус угла между векторами

Добавить комментарий