Как найти координаты вектора через уравнение прямой

С понятием прямой линии тесно связано понятие ее направляющего вектора. Часто в задачах бывает удобнее рассматривать его вместо самой прямой. В рамках данного материала мы разберем, что же такое направляющий вектор прямой в пространстве и на плоскости, и расскажем, для чего можно его использовать.

В первом пункте мы сформулируем определение и покажем основные понятия на иллюстрациях, дополнив их конкретными примерами направляющего вектора. Далее мы посмотрим, как прямая и направляющие векторы взаимодействуют в прямоугольной системе координат и как можно вычислить координаты этого вектора, если мы знаем уравнение прямой. Все правила, как всегда, будут проиллюстрированы примерами решений задач.

Что такое направляющий вектор прямой

Для того чтобы понять эту тему, нам нужно хорошо представлять, что такое вообще прямая и как она может размещаться в пространстве и на плоскости. Кроме того, важно вспомнить ранее изученное понятие вектора. Об этом мы уже писали в отдельном материале. Если нужно, найдите и перечитайте эти статьи.

Сформулируем, что такое направляющий вектор.

Определение 1

Направляющим вектором прямой является любой вектор, не равный нулю, который размещается на данной прямой или же на прямой, параллельной ей.

Что такое направляющий вектор прямой

Получается, что у каждой прямой есть бесконечное множество направляющих векторов. При этом все они будут являться коллинеарными в силу озвученного определения, ведь они лежат на одной прямой или параллельной ей другой прямой. Выходит, что если a→ является направляющий вектором прямой a, то другой направляющий вектор мы можем обозначить как t·a→ при любом значении t, соответствующем действительному числу.

Также из определения выше можно сделать вывод, что направляющие векторы двух параллельных прямых будут совпадать: если прямые a и a1 являются параллельными, то вектор a→ будет направляющим и для a, и для a1.

Третий вывод, следующий из определения: если у нас есть направляющий вектор прямой a, то он будет перпендикулярным по отношению к любому нормальному вектору той же прямой.

Приведем пример направляющего вектора: в прямоугольной системе координат для осей Ox, Oy и Oz направляющими будут координатные векторы i→, j→ и k→.

Как вычислить координаты направляющего вектора по уравнениям прямой

Допустим, что у нас есть некая прямая с направляющими векторами, лежащая в прямоугольной системе координат. Сначала мы разберем случай с плоской декартовой системой Oxy, а потом с системой Oxyz, расположенной в трехмерном пространстве.

1. Прямую линию в Oxy можно описать с помощью уравнения прямой на плоскости. В этом случае координаты направляющих векторов будут соответствовать направляющим векторам исходной прямой. А если нам известно уравнение прямой, как вычислить координаты ее направляющего вектора? Это легко сделать, если мы имеем дело с каноническим или параметрическим уравнением.

Допустим, у нас есть канонический случай уравнения, которое имеет вид x-x1ax=y-y1ay. С его помощью на плоскости задана прямая с направляющим вектором a→=(ax, ay).

Чтобы вычислить координаты направляющего вектора, нам нужно взять числа из знаменателя канонического уравнения прямой.

Приведем пример задачи.

Пример 1

В прямоугольной системе координат задана прямая, которую можно описать уравнением x-14=y+12-3. Вычислите координаты одного из направляющих векторов прямой.

Решение

Из уравнения мы можем сразу взять координаты направляющего вектора. Берем числа в знаменателях и записываем: 4, -3. Это и будет нужный нам ответ.

Ответ: 4, -3.

Если же прямая описана уравнением параметрического типа, то нам нужно смотреть на коэффициенты при параметре. Они будут соответствовать координатам нужного нам направляющего вектора.

Пример 2

У нас есть прямая, которую можно описать с помощью системы параметрических уравнений x=-1y=7-5·λ, при этом λ∈R. Найдите координаты направляющих векторов.

Решение 

Для начала перепишем данные параметрические уравнения в виде x=-1+0·λy=7-5·λ. Посмотрим на коэффициенты. Они сообщат нам нужные координаты направляющего вектора – a→=(0, 5). Учитывая, что все направляющие векторы одной прямой будут коллинеарны, мы можем задать их в виде t·a→ или 0, -5·t, где t может быть любым действительным числом. О том, как проводить действия с векторами в координатах, мы писали в отдельной статье.

Ответ: 0, -5·t, t∈R, t≠0 

Теперь разберем случай, как найти координаты вектора, если прямая задана общим уравнением вида Ax+By+C=0. Если A=0, то исходное уравнение можно переписать как By+C=0. Оно определяет прямую, которая будет параллельна оси абсцисс. Значит, в качестве ее направляющего вектора мы можем взять координатный вектор i→=1, 0.

А если B=0, то уравнение прямой мы можем записать как Ax+C=0. Описываемая им прямая будет параллельна оси ординат, поэтому ее координатный вектор j→=0, 1 также будет направляющим. Рассмотрим конкретную задачу.

Пример 3

У нас есть прямая, заданная при помощи общего уравнения x-2=0. Найдите координаты любого направляющего вектора.

Решение

В прямоугольной системе координат исходное уравнение будет соответствовать прямой, параллельной оси ординат. Значит, мы можем взять координатный вектор j→=(0, 1). Он будет для нее направляющим.

Ответ: (0, 1) 

А как быть в случае, если ни один коэффициент в Ax+By+C=0 не будет равен 0? Тогда мы можем использовать несколько разных способов.

1. Мы можем переписать основное уравнение так, чтобы оно превратилось в каноническое. Тогда координаты вектора можно будет взять из его значений.

2. Можно вычислить отдельно начальную и конечную точку направляющего вектора. Для этого надо будет взять координаты двух любых несовпадающих точек исходной прямой.

3. Третий способ заключается в вычислении координат любого вектора, который будет перпендикулярен нормальному вектору этой прямой n→=A, B.

Самым простым является первый подход. Проиллюстрируем его на примере задачи.

Пример 4

Есть прямая на плоскости, заданная уравнением 3x+2y-10=0. Запишите координаты любого направляющего вектора.

Решение

Перепишем исходное уравнение в каноническом виде. Сначала перенесем все слагаемые из левой части, кроме 3x, в правую с противоположным знаком. У нас получится:

3x+2y-10=0⇔3x=-2y+10

Получившееся равенство преобразовываем и получаем:

3x=-2y+10⇔3x=-2(y-5)⇔x-2=y-53

Отсюда мы уже можем вывести координаты нужного нам направляющего вектора: -2, 3

Ответ: -2, 3

К общему виду легко свести и такие типы уравнений, как уравнение прямой в отрезках xa+yb=1 и  уравнение прямой с угловым коэффициентом y=k·x+b, так что если они встретились вам в задаче на нахождение координат направляющего вектора, то можно также использовать этот подход.

Далее мы разберем, как найти эти координаты, если прямая у нас задана не в плоскости, а в пространстве.

Определение 2

Вектор a→=(ax, ay, az) является направляющим для прямой, выраженной с помощью:

1) канонического уравнения прямой в пространстве x-x1ax=y-y1ay=z-z1az 

2) параметрического уравнения прямой в пространстве x-x1ax=y-y1ay=z-z1az

Таким образом, для вычисления координат направляющего вектора нужно взять числа из знаменателей или коэффициентов при параметре в соответствующем уравнении.  

Рассмотрим конкретную задачу.

Пример 5

Прямая в пространстве задана уравнением вида x-14=y+120=z-3. Укажите, какие координаты будет иметь направляющий вектор данной прямой.

Решение

 В каноническом уравнении необходимые числа видны сразу в знаменателях. Получается, что ответом будет вектор с координатами 4, 0, -3.  Координаты всех направляющих векторов данной прямой можно записать в виде 4·t, 0, -3·t при условии, что t является действительным числом.

Ответ: 4·t, 0, -3·t, t∈R, t≠0 

Пример 6

Вычислите координаты любого направляющего вектора для прямой, которая задана в пространстве с помощью параметрического уравнения x=2y=1+2·λz=-4-λ.

Решение

Перепишем данные уравнения в виде x=2+0·λy=1+2·λz=-4-1·λ.

Из этой записи можно вычленить координаты нужного нам вектора – ими будут коэффициенты перед параметром.

Ответ: 0, 2, -1

Разберем  еще один случай. Как вычислить нужные координаты, если прямая задана уравнением двух пересекающихся плоскостей вида A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0?

Есть два способа. Можно записать это уравнение в параметрическом виде, где будут видны нужные координаты. Но можно использовать и другой способ. Объясним его.

Вспомним, что такой нормальный вектор плоскости. Он по определению будет лежать на прямой, перпендикулярной исходной плоскости. Значит, любой направляющий вектор прямой, которая в ней находится, будет перпендикулярен ее любому нормальному вектору.

Направляющий вектор прямой, образованной пересечением двух плоскостей A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0, будет перпендикулярен нормальным векторам n1→=(A1, B1, C1) и n2→=(A2, B2, C2). То есть в качестве направляющего вектора мы может взять произведение векторов n1→=(A1, B1, C1) и n2→=(A2, B2, C2).

n1→×n2→=i→j→k→A1B1C1A2B2C2 – это и есть направляющий вектор прямой, по которой пересекаются исходные плоскости.

Решим задачу, в которой применяется этот подход.

Пример 7

Запишите координаты направляющего вектора прямой, выраженной с помощью уравнения x+2y+3z-1=02x+4y-4z+5=0.

Решение 

Возьмем произведение двух нормальных векторов плоскостей x+2y+3z-1=0 и 2x+4y-4z+5=0. У них следующие координаты: 1, 2, 3 и 2, 4, -4.

У нас получится:

n1→×n2→=i→j→k→12324-4=i→·2·(-4)+j→·3·2+k→·1·4–k→·2·2-i→·3·4-j→·1·(-4)=-20·i→+10·j→+0·k→

Выходит, что вектор n1→×n2→=-20·i→+10·j→+0·k→⇔n1→×n2→=-20, 10, 0 – это и есть нужный нам направляющий вектор прямой.

Ответ: -20, 10, 0 

В конце статьи отметим, что умение вычислять направляющий вектор пригодится для решения многих задач, таких, как сопоставление двух прямых, доказательство их параллельности и перпендикулярности, вычисление угла между пересекающимися или скрещивающимися прямыми и др.

Автор статьи

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Рассмотрим прямую $L$, заданную точкой $M_0$, лежащей на ней, и направляющим вектором $overline{S}$ с координатами $(l;m)$, при этом вектор $overline{S}$ — ненулевой. Обозначим на прямой произвольную точку $M$ с координатами $(x, y)$, не совпадающую с точкой $M_0$. Радиус-векторы этих точек назовём $overline{r_0}$ и $overline{r}$. Вектор $overline{MM_0}$ при этом будет колинеарен вектору $overline{S}$.

Вектор $overline{r}$ можно выразить через сумму векторов $overline{MM_0}$:

$overline{r} = overline{r_0} + overline{MM_0}left(1right).$

Вектор $overline{MM_0}$ лежит на прямой $L$, поэтому он по условию является параллельным направляющему вектору $overline{S}$ и связан с ним соотношением $overline{MM_0}= toverline{S}left(2right)$, где $t$ — множитель, являющийся скалярной величиной и зависящий от позиции точки $M$ на прямой.

Логотип baranka

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Направляющий вектор прямой L

Рисунок 1. Направляющий вектор прямой L

Учитывая равенство $(2)$, формулу $(1)$ можно переписать следующим образом:

Определение 2

$overline{r} = overline{r_0} + toverline{S}left(3right)$

Данное равенство носит название векторного уравнения прямой.

Возможны следующие варианты задания уравнения прямой на плоскости:

  • Общее уравнение прямой;
  • Уравнение с угловым коэффициентом;
  • Через параметрические уравнения;
  • Каноническое уравнение;
  • С помощью двух точек, через которые проходит прямая.

Для каждого из этих вариантов подходит свой способ нахождения направляющего вектора.

Направляющий вектор из канонического уравнения прямой и через две точки

«Направляющий вектор прямой» 👇

Каноническое уравнение прямой выглядит так:

$frac{x-x_0}{l}= frac{y-y_0}{m}left(4right)$

Из канонического уравнения выразить координаты направляющего вектора проще всего: достаточно выписать знаменатели из уравнения следующим образом:

$overline{S}=(l; m)$.

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки, имеет вид, очень похожий на каноническое уравнение:

$frac{x-x_1}{x_2 – x_1}= frac{y-y_1}{y_2-y_1}left(5right)$, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ — координаты точек, через которые проходит прямая.

В этом случае координаты направляющего вектора $overline{S}$ равны $((x_2 – x_1); (y_2-y_1))$.

Пример 1

Даны две точки $(5; 10)$ и $(2;1)$. Составьте уравнение прямой и выпишите координаты направляющего вектора.

Подставим координаты данных точек в уравнение $(5)$ и получим:

$frac{x-2}{5-2}=frac{y-1}{10-1}$

$frac{x-2}{3}=frac{y-1}{9}$

Ответ: координаты направляющего вектора $overline{S}$ равны $(3;9)$.

Направляющий вектор из параметрических уравнений

Параметрические уравнения имеют следующий вид:
$begin{cases} x=x_0 + lt \ y=y_0 + mt end{cases}$

Для того чтобы выразить координаты направляющего вектора из параметрических уравнений, нужно выписать коэффициенты, стоящие перед параметром $t$, т.е. $overline{S}=(l; m)$.

Координаты направляющего вектора из общего уравнения

Общее уравнение имеет следующий вид:

$Ax + By + C = 0left(6right)$

Для того чтобы получить координаты направляющего вектора, нужно от общего уравнения прямой перейти к каноническому.

Сделаем это в общей форме.

Сначала перенесём часть $By + C$ в правую часть:

$Ax = – By – C$

Теперь разделим всё на $A$:

$x=-frac{By}{A} – frac{C}{A}$

А после этого всё уравнение разделим на $B$:

$frac{x}{B}=-frac{y}{A} – frac{C}{AB}$

$frac{x}{B} = frac{y + frac{C}{B}}{-A}left(7right)$

Из вышеизложенного следует, что координаты направляющего вектора $overline{S}$ будут равны $(B; -A)$.

Пример 2

Дано общее уравнение прямой $6x-7y + 5 = 0$. Получите направляющий вектор для данной прямой.

Воспользуемся уравнением прямой $(7)$. Из этого уравнения получается, что координаты направляющего вектора равны $(6;7)$.

Координаты направляющего вектора из уравнения с угловым коэффициентом

Уравнение с угловым коэффициентом имеет вид:

$y = kx + b$

Для того чтобы получить из него координаты направляющего вектора, необходимо сначала привести его к общему виду, для этого переносим всё в левую часть:

$y – kx – b= 0$

Затем нужно воспользоваться алгоритмом для общего уравнения.

Уравнение с угловым коэффициентом, приведённое к каноническому, выглядит так:

$frac{x}{1}=frac{y-b}{k}$,

то есть координаты направляющего вектора в данном случае будут $overline{S}= (1;k)$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Направляющий вектор прямой

В геометрии можно встретить множество задач на изучение прямой в пространстве и ее свойств. В трехмерном пространстве рассматривают не только прямую, но и плоскость. Данные объекты достаточно просто задать, используя направляющие векторы.

Направляющим вектором прямой является любой ненулевой вектор, находящийся на рассматриваемой прямой или на прямой, параллельной ей.

Согласно определению, можно сделать вывод о существовании бесконечного множества направляющих векторов прямой, которая задана. Кроме того, какой-либо направляющий вектор прямой расположен либо на рассматриваемой прямой, либо на прямой, которая ей параллельна. Таким образом, все направляющие векторы заданной прямой коллинеарны.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Отсюда следует, что при (vec{a}) направляющем векторе прямой а, каждое из направлений (t*vec{a}), где t определяется некоторым ненулевым действительным значением, также представляет собой направляющий вектор прямой а, что следует из условия коллинеарности векторов.

Исходя из термина направляющего вектора прямой, следует, что множества направляющих векторов параллельных прямых совпадают. По-другому, данное утверждение можно сформулировать так: в том случае, когда прямые а и а1 параллельны, вектор (vec{a}) является направляющим вектором прямой а, при этом вектор (vec{a}) также является направляющим вектором прямой а1.

Кроме того, из определений направляющего вектора прямой и нормального вектора прямой следует, что каждый нормальный вектор прямой а является перпендикуляром каждому направляющему вектору прямой а.

На примере можно рассмотреть направляющий вектор прямой. Предположим, что в трехмерном пространстве имеется прямоугольная система координат Охуz. Координатные векторы ( vec{i}, vec{j}, vec{k}) представляют собой направляющие векторы координатных прямых Ох, Оу, Оz соответственно.

Можно рассмотреть другой пример, где задан вектор (vec{v}). Его координаты известны (а; b; с). Так как имеется три координаты, то можно заключить, что вектор задан в пространстве. Для того чтобы изобразить рассматриваемый вектор в прямоугольной системе координат, на каждой из трех осей требуется отложить прямую, ограниченную двумя точками, то есть отрезок с длиной, равной соответствующей координате сектора.

Вектор

Источник: fb.ru

Три перпендикуляра, которые восстановлены к плоскостям xy, yz и xz, будут пересекаться в точке, являющейся концом вектора. Начало вектора совпадает с точкой (0; 0; 0). Однако рассматриваемое положение вектора не единственное. Таким же образом можно задать вектор (vec{v}) с началом в произвольной точке пространства.

Отсюда следует вывод о невозможности задания конкретной прямой с помощью вектора. С его помощью можно определить комплекс из бесконечного числа параллельных прямых.

Далее можно отметить в пространстве какую-либо точку P(x0; y0; z0). Следует определить условие, что через данную точку должна проходить прямая. Таким образом, заданная точка будет располагаться на векторе (vec{v}). Исходя из этого, можно сделать вывод, что прямая, заданная с помощью (Р) и (vec{v}), является единственной. Уравнение данной прямой будет иметь вид:

(Q=P+lambda*vec{v})

 где Q является любой точкой, которая принадлежит рассматриваемой прямой.

Данная точка получается путем подбора соответствующего параметра (lambda). Представленная запись уравнения является векторной, а (vec{v}) представляет собой направляющий вектор прямой. В том случае, когда этот вектор пересекает Р и изменяется в длине по параметру (lambda), получается какая-либо точка Q прямой. Координатная форма уравнения:

((x;y;z) = (x_{0};y_{0};z_{0})+lambda*(a;b;c))

Параметрический вид уравнения:

(x=x_{0}+lambda*a;)

(y = y_{0}+lambda *b;)

(z = z_{0} + lambda *c)

Примечание

Можно преобразовать приведенные формулы путем исключения третьей координаты. В этом случае получим векторные уравнения прямой на плоскости.

Когда нужно знать направляющий вектор

Данные знания пригодятся при решении задач на определение параллельности и перпендикулярности прямых. Кроме того, направляющий вектор используют для расчета расстояния между прямыми, а также точкой и прямой, описания поведения прямой относительно плоскости.

Одна прямая будет параллельна второй прямой в том случае, когда их направляющие вектора параллельны. Аналогично, перпендикулярность прямых доказывают через перпендикулярность их векторов. Подобные задачи предполагают необходимость определения скалярного произведения рассматриваемых векторов для получения ответа.

Одна прямая будет параллельна второй прямой

Источник: fb.ru

Когда требуется вычислить расстояние между прямыми и точками, целесообразно использовать формулу с направляющим вектором:

(d=frac{left|left[vec{P_{1}P_{2} }*vec{v}right]right|} {left| vec{v}right|})

В данном случае (vec{P_{1}P_{2} }) является построенным на точках P1 и P2 направленным отрезком. Точка P2 произвольно расположена на прямой с вектором (*vec{v}), а до точки Р1 требуется определить расстояние. Данная точка является самостоятельной, либо расположена на другой прямой или находится в другой плоскости.

Следует заметить, что рассчитывать расстояние целесообразно только между параллельными или скрещивающимися прямыми. В том случае, когда прямые пересекаются, d обладает нулевым значением. Записанная формула для d справедлива и для расчета дистанции между плоскостью и параллельной ей прямой. Но при этом P1 расположена в рассматриваемой плоскости.

Задача на составление векторного уравнения

Представим, что имеется следующее уравнение прямой:

(y = 3 × x – 4)

Необходимо записать векторное уравнение данной прямой.

Допустимо переписать выражение в виде:

((x; y) = (x; 3 × x – 4))

При раскрытии данного уравнения будет получено выражение из условия.

Далее можно разделить правую часть уравнения на вектора таким образом, чтобы лишь один из них включал неизвестные:

((x; y) = (x; 3 × x) + (0; -4))

Затем следует вынести х за скобки, обозначить его (lambda) и поменять вектора правой части местами:

((x; y) = (0; -4) + lambda * (1; 3))

Таким образом, получена векторная форма уравнения прямой из условия. Координаты ее направляющего вектора равны (1; 3).

Задача на определение взаимного расположения прямых

Представим, что в пространстве задана пара прямых:

((x; y; z) = (1; 0; -2) + lambda * (-1; 3; 1);)

((x; y; z) = (3; 2; 2) + lambda * (1; 2; 0))

Необходимо определить, какие эти прямые: параллельные, скрещивающиеся или пересекающиеся. При этом ненулевые вектора (-1; 3; 1) и (1; 2; 0) являются направляющими для заданных прямых. Можно выразить в параметрической форме рассматриваемые уравнения и подставить координаты первого во второе:

(x = 1 – lambda;)

(y = 3 * lambda;)

(z = -2 + lambda;)

(x = 3 + gamma = 1 – lambda => gamma = -2 – lambda;)

(y = 2 + 2 * gamma = 3 * lambda => gamma = 3 / 2 * lambda – 1;)

(z = 2 = -2 + lambda => lambda = 4)

Плоскость

Источник: fb.ru

При подстановке определенного параметра (lambda )в два уравнения выше, получится:

(gamma = -2 – lambda = -6;)

(gamma = 3 / 2 *lambda – 1 = 5)

Для параметра (gamma) не предусмотрено наличие сразу двух значений. Таким образом, прямые не обладают ни одной общей точкой, то есть являются скрещивающимися. Параллельность данных прямых исключается, так как ненулевые векторы не параллельны друг другу, то есть для их параллельности должно существовать число, которое бы путем умножения на один вектор приводило к координатам второго.

Математическое описание плоскости

Задать плоскость в пространстве можно путем приведения уравнения общего вида:

(A * x + B * y + C * z + D = 0)

В данном случае латинскими большими буквами обозначают конкретные числа. Первая тройка таких чисел определяет координаты нормального вектора плоскости. В том случае, когда он обозначен (vec{n}), можно записать: (vec{n} = (A; B; C)). Рассматриваемый вектор перпендикулярен к плоскости, поэтому его называют направляющим.

Его знание, а также известные координаты любой точки, находящейся на плоскости, однозначно задают последнюю. Если точка P (x1; y1; z1) плоскости принадлежит, то свободный член D рассчитывается следующим образом:

(D = -1 * (A * x1 + B * y1 + C * z1))

Вектор 2

Источник: fb.ru

Уравнение прямой по направляющему вектору

Любой ненулевой вектор (vec{a} (а1; а2)) с компонентами, соответствующими условию А а1 + В а2 = 0, представляет собой направляющий вектор прямой.

Ах + Ву + С = 0

В качестве примера можно вывести уравнение прямой, которая проходит через точку А (1, 2) с направляющим вектором (vec{a} ) (1, -1). Для этого требуется записать уравнение в виде:

Ax + By + C = 0

Согласно определению, коэффициенты должны соответствовать следующим условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, то есть А = В

В таком случае:

Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0

Если х = 1, у = 2 получаем:

С/ A = -3

Таким образом:

х + у – 3 = 0

Общее уравнение прямой в декартовой системе координат имеет вид:

Ax + By + C = 0

где x, y – являются координатами точек прямой, A, B, C – определяются, как действительные числа при условии ({A^2} + {B^2} ne 0).

В том случае, когда прямая задана общим уравнением:

Ax + By + C = 0

В таком случае вектор:

(mathbf{n}left( {A,B} right))

Его координаты соответствуют коэффициентам A, B. Данный вектор представляет собой вектор нормали к данной прямой.

Данный вектор представляет собой вектор нормали к данной прямой

Источник: math24.ru

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору представляет собой каноническое уравнение прямой и имеет вид:

(largefrac{{x – {x_1}}}{X}normalsize = largefrac{{y – {y_1}}}{Y}normalsize)

где вектор (mathbf{s}left( {X,Y} right)) направлен вдоль прямой, а точка (Pleft( {{x_1},{y_1}} right)) расположена на этой прямой.

расположена на этой прямой

Источник: math24.ru

Координаты направляющего вектора из общего уравнения

При рассмотрении данной темы стоит привязать рассматриваемую прямую и ее направляющие векторы к прямоугольной системе координат. Алгоритм действий:

  • рассмотреть прямую и ее направляющие векторы в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости;
  • рассмотреть прямую и ее направляющие векторы в прямоугольной системе координат Oxyz, принадлежащей трехмерному пространству.

Прямая линия в прямоугольной системе координат Oxy определяется некоторым уравнением прямой на плоскости. При этом направляющие вектора прямой в системе координат Oxy соответствуют координатам направляющих векторов.

Определить координаты направляющего вектора прямой при известном уравнении рассматриваемой прямой можно в том случае, когда прямая линия задана каноническим уравнением или параметрическими уравнениями.

Каноническое уравнение прямой на плоскости можно записать в виде:

(frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}})

Один из направляющих векторов этой прямой можно записать так:

(vec{a}(a_{x}; a_{y}))

Отсюда следует вывод о том, что числа в знаменателях канонического уравнения прямой соответствуют координатам направляющего вектора рассматриваемой прямой.

Задача № 1

Уравнение определено в прямоугольной системе координат Oxy:

(frac{x-1}{4}=frac{y+1/2}{-3})

Необходимо рассчитать координаты любого направляющего вектора данной прямой.

Решение

Согласно каноническому уравнению прямой на плоскости, координаты какого-то из направляющих векторов рассматриваемой прямой соответствуют числам в знаменателях. Таким образом, искомый направляющий вектор обладает координатами (4; -3).

Ответ: (4; -3)

Подобным образом можно определить прямую с направляющим вектором (vec{a}(a_{x}; a_{y})) с помощью параметрических уравнений прямой на плоскости:

(x=x_{1}+a_{x}*lambda)

(y=y_{1}+a_{y}*lambda)

Таким образом, коэффициенты при параметре в параметрических уравнениях прямой представляют собой соответствующие координаты направляющего вектора прямой.

Задача № 2

Прямая на плоскости задана с помощью параметрических уравнений:

(x=-1)

(y=7-5*lambda)

При этом (lambda in R). Требуется определить координаты направляющих векторов заданной прямой.

Решение

В первую очередь следует преобразовать уравнение прямой:

(x=-1+0*lambda)

(y=7-5*lambda)

Коэффициенты с параметром (lambda) соответствуют координатам направляющего вектора прямой:

(vec{a}(0; -5))

Данный вектор является одним из направляющих векторов исходной прямой. Так как направляющие вектора прямой коллинеарны, их можно записать в виде: (t*vec{a}). В координатной форме запись будет иметь вид: ((0; -5*t)). В данном случае t является любым действительным числом, которое не равно нулю.

Ответ: ((0; -5*t), t in R, tneq 0)

Далее можно рассмотреть принцип поиска координат направляющего вектора прямой, заданной общим уравнением прямой вида: (Ax + By + C = 0.)

Ели А=0 в выражении Ах + Ву + С = 0, то уравнение будет записано в виде:

Ву + С = 0

Данное уравнение определяет прямую, которая параллельна оси абсцисс. Таким образом, направляющим вектором прямой (Ву + С = 0) является координатный вектор (vec{i}(1; 0).)

Если В=0, то запись общего уравнения прямой будет следующая:

(Ах + С = 0)

Данная прямая параллельна оси ординат. В связи с этим, ее направляющим вектором будет координатный вектор (vec{j}(1; 0).)

Задача № 3

Имеется прямая х-2=0, которая расположена на плоскости. Необходимо указать координаты любого направляющего вектора данной прямой.

Решение

С помощью уравнения х-2=0 в прямоугольной системе координат Oxy можно задать прямую, которая будет параллельна оси Oy. Таким образом, роль ее направляющего вектора играет координатный вектор (vec{j}(0; 1).)

Ответ: (0; 1)

В том случае, когда общее уравнение прямой имеет вид (Ах + Ву + С = 0) с коэффициентами А и В, не равными нулю, координаты направляющего вектора находят одним из следующих методов:

  • приведение заданного уравнения в канонический вид, что позволит распознать координаты направляющего вектора;
  • поиск координат пары не совпадающих точек на данной прямой, принятие их в качестве начала и конца направляющего вектора прямой и определение его координат;
  • поиск координат любого вектора, который перпендикулярен к нормальному вектору (vec{n}(A; B)) прямой (Ах + Ву + С = 0.)

Примечание

Наиболее простым способом является приведение общего уравнения прямой к каноническому виду. В результате можно найти координаты направляющего вектора данной прямой.

Задача № 4

Требуется определить координаты направляющего вектора прямой, исходя из ее общего уравнения на плоскости, которое имеет вид:

(3х + 2у – 10 = 0)

Решение

В первую очередь необходимо привести общее уравнение прямой к каноническому виду. В данном случае в левой части выражения остается лишь слагаемое 3х, а остальные компоненты следует перенести в правую часть, меняя знак на противоположный:

(3х + 2у – 10 = 0)

(3х = -2у + 10)

Преобразованное равенство имеет вид:

(3х = -2у + 10)

(3х = -2(у -5))

(frac{x}{-2}=frac{y-5}{3})

Полученное уравнение позволяет сделать вывод о том, что координаты направляющего вектора равны (2;-3).

Ответ: (2;-3)

Координаты направляющего вектора из уравнения с угловым коэффициентом

Уравнение с угловым коэффициентом записывают в таком виде:

(y=kx+b)

Определить координаты направляющего вектора прямой, описанной данным уравнением, можно с помощью приведения рассматриваемого уравнения к общему виду. В процессе требуется перенести компоненты в левую часть:

(y−kx–b=0)

Далее можно прибегнуть к алгоритму, характерному для общего уравнения. Уравнение с угловым коэффициентом, преобразованное в каноническое, запишем следующим образом:

(x1=y−bk)

Таким образом, координаты направляющего вектора для данного случая равны:

(vec{S}=(1;k))

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

(y = kx + b)

где (k = tanalpha) представляет собой угловой коэффициент прямой, число b определяется, как координата точки пересечения прямой с осью Oy.

как координата точки пересечения прямой с осью Oy

Источник: math24.ru

Угловой коэффициент прямой рассчитывают с помощью уравнения:

(k = tan alpha = largefrac{{{y_2} – {y_1}}}{{{x_2} – {x_1}}}normalsize,)

где (Aleft( {{x_1},{y_1}} right), Bleft( {{x_2},{y_2}} right)) – являются координатами двух точек, расположенных на прямой.

Угловой коэффициент прямой рассчитывают с помощью уравнения

Источник: math24.ru

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту имеет вид:

(y = {y_0} + kleft( {x – {x_0}} right),)

где k – является угловым коэффициентом, а точка (Pleft( {{x_0},{y_0}} right) ) расположена на рассматриваемой прямой.

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту имеет вид

Источник: math24.ru


2.2.3. Как найти направляющий вектор
по общему уравнению прямой?

Очень просто:

Если прямая задана общим уравнением , то вектор  является направляющим вектором данной прямой.

Примеры нахождения направляющих векторов прямых:

Утверждение позволяет найти лишь один направляющий вектор из бесчисленного множества, но нам больше и не нужно. Хотя в ряде случаев координаты направляющих векторов целесообразно сократить: так, уравнение  задаёт прямую, которая параллельна оси  и координаты полученного направляющего вектора  удобно разделить на –2, получая в точности базисный вектор  в качестве направляющего вектора. Аналогично, уравнение  задаёт прямую, параллельную оси , и, разделив координаты вектора  на 5, получаем направляющий вектор .

Читателям с низким уровнем подготовки рекомендую постоянно выполнять чертежи, чтобы лучше понимать мои объяснения!

Теперь выполним проверку Задачи 61. Решение уехало вверх, поэтому напоминаю, что в ней мы составили уравнение прямой  по точке  и направляющему вектору . Проверка состоит в двух действиях:

Во-первых, по уравнению прямой  восстанавливаем её направляющий вектор:  – всё нормально, получили исходный вектор (в ряде случаев может получиться коллинеарный исходному вектор, и это несложно заметить по пропорциональности соответствующих координат).

Во-вторых, координаты точки  должны удовлетворять уравнению . Подставляем их в уравнение:

 – получено верное равенство, чему мы очень рады.

Вывод: задание выполнено правильно.

Задача 62

Составить уравнение прямой по точке  и направляющему вектору

Это задача для самостоятельного решения. И проверка, проверка, проверка!


Старайтесь всегда (если это возможно) выполнять проверку на черновике.
Глупо допускать ошибки там, где их 100%-но можно избежать!

В том случае, если одна из координат направляющего вектора равна нулю, поступают очень просто:

Задача 63

Составить уравнение прямой по точке  и направляющему вектору .

Решение: формула  не годится, так как знаменатель правой части равен нулю. Но выход прост! Используя свойства пропорции, перепишем уравнение в виде , и дальнейшее покатилось по глубокой колее:

переставим части местами:

Ответ:

Проверка:

1) Восстановим направляющий вектор найденной прямой :
 – полученный вектор коллинеарен исходному направляющему вектору .

2) Подставим координаты точки  в уравнение :

 – получено верное равенство, значит, точка  удовлетворяет уравнению.

Вывод: задание выполнено правильно

Возникает вопрос: зачем маяться с формулой , если существует универсальная версия , которая сработает в любом случае?

Причин две. Во-первых, формула в виде дроби  гораздо лучше запоминается. А во-вторых, недостаток универсальной формулы  состоит в том, что здесь повышается риск запутаться при подстановке координат.

Задача 64

Составить уравнение прямой по точке  и направляющему вектору , выполнить проверку.

Это задача для самостоятельного решения. Кстати, проверку можно выполнять и графически – решили задачу и изобразили всё на чертеже. Правда, такой способ бывает неудобен или трудновыполнИм, и поэтому всё-таки «рулит» аналитика.

Вернёмся к вездесущим двум точкам:

2.2.4. Как составить уравнение прямой по двум точкам?

2.2.2. Как составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору?

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Содержание:

Общее уравнение прямой:

Пусть на плоскости дана декартова система координат. Движение точки с произвольными координатами х и у по этой плоскости порождает линию.

Определение: Любое соотношение Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Определение: Порядок линии определяется по высшему показателю степени переменных х и у или по сумме показателей степени в произведении этих величин.

Пример:

а) 2х + Зу-5 = 0 – линия первого порядка; точка A(l; 1) удовлетворяет этому соотношению, а точка, например, В(1; 0) – ему не удовлетворяет;

б) Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

в) Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения – линии второго порядка.

Рассмотрим другое определение линии:

Определение: Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x; у)=0, называется линией, а само уравнение F(x; у) = 0 – уравнением линии.

Определение: Общим уравнением прямой называется уравнение первого порядка вида Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Рассмотрим частные случаи этого уравнения:

а) С = 0; Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения – прямая проходит начало системы координат (Рис. 20):

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Рис. 20. Прямая, проходящая через начало координат.

б) 5 = 0; Ах+С=0 – прямая проходит параллельно оси ординат Оу (Рис. 21):

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Рис. 21. Прямая, проходящая параллельно оси ординат Оу.

в) А = 0; Ву+С=0 – прямая проходит параллельно оси абсцисс Ох (Рис. 22):

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Рис. 22. Прямая, проходящая параллельно оси абсцисс Ох.

Виды уравнений прямой

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть дано общее уравнение прямой Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения в котором коэффициент Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Разрешим общее уравнение прямой относительно переменной Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Обозначим через Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения тогда уравнение примет вид Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Выясним геометрический смысл параметров Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения При х = 0, у = b, т.е. параметр b показывает, какой величины отрезок отсекает прямая на оси ординат, считая от начала отсчета. При Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения т.е. прямая отсекает на оси абсцисс отрезок к Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (Рис. 23, для определенности принято, что Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения):

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Рис. 23. Отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях.

Из рисунка видно, что Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения т.е. угловой коэффициент k определяет тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс Ох.

2. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть в общем уравнении прямой параметр Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Выполним следующие преобразования Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Обозначим через Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения тогда последнее равенство перепишется в виде Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. которое называется уравнением прямой в отрезках. Выясним геометрический смысл величин m и n (Рис. 24). При х=0, у=n, т.е. параметр n показывает, какой величины отрезок отсекает прямая на оси ординат, считая от начала отсчета.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Рис. 24. Отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях.

При у=о, х=m, т.е. прямая отсекает на оси абсцисс отрезок m. Следовательно, прямая проходит через 2 точки: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Пусть дано общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0, которая проходит через две известные точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Так как точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют общему уравнению прямой, т.е. выполняются равенства Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Вычтем первое из этих равенств из общего уравнения прямой и из второго равенства:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пусть Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения тогда полученные равенства можно преобразовать к виду Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Отсюда находим, что Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения или Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Полученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияпараллельно заданному вектору Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (каноническое уравнение прямой). Пусть прямая проходит через заданную точку Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения параллельно вектору Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Определение: Вектор Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения называется направляющим вектором прямой. Возьмем на прямой произвольную точку Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и создадим вектор Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (Рис. 25):

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Рис. 25. Прямая, проходящая через данную точку параллельно направляющему вектору.

В силу того, что вектора Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения коллинеарны, то воспользуемся первым условием коллинеарности: отношения соответствующих проекций равны между собой Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Определение: Полученное уравнение называется либо уравнением, проходящим через заданную точку параллельно направляющему вектору, либо каноническим уравнением прямой.

5. Параметрическое уравнение прямой. Если каждую дробь в каноническом уравнении прямой приравнять некоторому параметру t, то получим параметрическое уравнение прямой Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Основные задачи о прямой на плоскости

1. Координаты точки пересечения двух прямых. Пусть две прямые заданы общими уравнениями Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Требуется найти координаты точки пересечения этих прямых. Для того чтобы вычислить координаты точки пересечения М(х; у), необходимо решить вышеприведенную систему линейных алгебраических уравнений, так как координаты точки М(х; у) должны одновременно удовлетворять уравнениям прямых Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

2. Угол между двумя пересекающимися прямыми. Пусть даны две пересекающиеся прямые, заданные уравнениями с угловыми коэффициентами

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Требуется найти угол между этими прямыми (Рис. 26):

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Рис. 26. Угол между двумя прямыми.

Из рисунка видно, что Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения ВычислимПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Наименьший угол между пересекающимися прямыми определим формулой Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Из полученной формулы видно:

Отсюда следует условие перпендикулярности прямых: угловые коэффициенты прямых связаны между собой соотношением Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пример:

Определить угол между прямыми Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Решение:

В силу того, что Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения что прямые параллельны, следовательно, Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пример:

Выяснить взаимное расположение прямых Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Решение:

Так как угловые коэффициенты Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и связаны между собой соотношением Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения то прямые взаимно перпендикулярны.

3. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до прямой определятся вдоль перпендикуляра, опущенного из точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения на прямую Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Если прямая Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения задана общим уравнением, то расстояние от точки до прямой определяется формулой: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Если прямая Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения задана уравнением прямой с угловым коэффициентом, то расстояние от точки до прямой определяется формулой: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Прямая линия на плоскости и в пространстве. Системы координат на плоскости

Рассмотрим произвольную прямую. Выберем на этой прямой начальную точку, обозначаемую буквой О, определим положительное направление, выберем некоторый отрезок в качестве линейной единицы, благодаря чему прямая станет осью. После этого условимся называть координатой любой точки М на этой оси величину отрезка Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Точку О будем называть началом координат; ее собственная координата равна нулю. Так вводятся координаты на прямой.

Декартова прямоугольная система координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке, т.е. указано, какая из них считается первой, а какая – второй. Точка пересечения осей называется началом координат и обозначается через О, а сами оси – координатными осями, причем первую из них называют также осью абсцисс и обозначают через Ох, а вторую – осью ординат, обозначаемую Оу.

Пусть М- произвольная точка плоскости. Спроектируем точку M на координатные оси, т.е., проведем через М перпендикуляры к осям Ох и Оу; основания этих перпендикуляров обозначим соответственно Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Координатами точки М в заданной системе называются числа Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, обозначающие величину отрезка Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияоси абсцисс и величину отрезка Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения оси ординат, где х – первая координата, а у- вторая координата точки М (рис.7.1). Символически это записывается в виде М(х, у). Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Если задана декартова прямоугольная система координат, то каждая точка М плоскости в этой системе имеет одну вполне определенную пару координат х, у – М(х, у). И обратно, для любых х и у на плоскости найдется одна вполне определенная точка с абсциссой х и ординатой у.

На рис. 7.2 положение точки Р полностью определяется ее координатами (2;3). Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Две координатные оси разделяют всю плоскость на четыре части, называемыми координатными плоскостями, определяемыми соответственно:

Декартова прямоугольная система координат является наиболее употребительной. Однако, в отдельных случаях могут оказаться более удобными или косоугольная декартова или полярная системы координат.

Косоугольная система координат от прямоугольной декартовой системы координат отличается только произвольным углом между осями координат.

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча OA, называемого полярной осью, масштаба для измерения длин и направления- вращения в плоскости, считаемого положительным (рис. 7.3). Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Каждая точка М в полярной системе координат задается парой координат Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Декартова прямоугольная система координат связана с полярной системой формулами: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Основным инструментом аналитической геометрии служит формула для вычисления расстояния между двумя точкамиПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияи Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Числа Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решениямогут быть любыми действительными числами, положительными, отрицательными или 0. На рис. 7.4 все числа выбраны положительными. Проведем через точку Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения горизонтальную прямую, а через точку Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения – вертикальную. Пусть R -точка их пересечения. Тогда по теореме Пифагора

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения или Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (7.1.1)

Это и есть формула для вычисления расстояния между двумя точками. Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Важно иметь в виду, что эта формула остается в силе независимо от того, как расположены точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Например, если точка Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения расположена ниже точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияи справа от нес, как на рис. 7.5, то отрезок Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения можно считать равныму Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Расстояние между точками, вычисляемое по формуле (7.1.1), от этого не изменится, так как Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Заметим, что, так как величина Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения в этом случае отрицательна, то разность Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения больше, чемПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Если обозначить через Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения угол, образованный положительным направлением оси абсцисс и отрезком Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения , то формулы

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и полярный угол. Из формул (7.1.2) получаем формулы:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

позволяющие определить полярный угол отрезка по координатам его конца и начала. Кроме того, если u – произвольная ось, аПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения – угол наклона отрезкаПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения к этой оси, то проекция отрезка на ось равна его длине, умноженной на косинус угла наклона к этой оси:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Пусть на плоскости даны две произвольные точки, из которых одна считается первой, другая – второй. Обозначим их в заданном порядке через Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Проведем через данные точки ось u. Пусть М- еще одна точка оси и, расположенная на ней как угодно, но не совпадает с точкой Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Определение 7.1.1. Число Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияопределяемое равенствомПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения где Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения– величины направленных отрезков Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения оси u, называется отношением, в котором точка М делит направленный отрезок Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения .

Число Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения не зависит от направления оси и от масштаба, т.к. при изменении этих параметров будут одновременно меняться величины Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения . Кроме того, Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения будет положительно, если Мнаходится между точками Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения если же М вне отрезка Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения , то Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения -отрицательное.

Задача о делении отрезка в данном отношении формулируется следующим образом:

Считая известными координаты двух точек Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и отношение Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения в котором некоторая неизвестная точка М делит отрезок Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, найти координаты точки М.

Решение задачи определяется следующей теоремой.

Теорема 7.1.1. Если точка М(х, у) делит направленный отрезок Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения в отношении Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения то координаты этой точки выражаются формулами:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Доказательство:

Спроектируем точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения на ось Ох и обозначим их проекции соответственно через Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (рис. 7.6). На основании теоремы о пропорциональности отрезков прямых, заключенных между параллельными прямыми (Если две прямые пересечь тремя параллельными прямыми, то отношение двух отрезков, получившихся на одной прямой, равно отношению двух соответствующих отрезков другой прямой), имеем:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Подставив в (7.1.4) величины отрезков Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияи

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, получимПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Разрешая это уравнение относительно х, находим: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Вторая формула (7.1.3) получается аналогично. Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Если Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения – две произвольные точки и М(х,y) –

середина отрезкаПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения , то Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Эти формулы

получаются из (7.1.3) при Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Основная теорема о прямой линии на плоскости

Предположим, что в данной плоскости задана прямоугольная система координат и некоторая прямая l.

Всякий ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой, называется её направляющим вектором. Всякие два направляющих вектора Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения одной и той же прямой коллинеарны между собой, т.е.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, .

Для всех направляющих векторов Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения данной прямой, не параллельной оси ординат, отношение Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения ординаты вектора к его абсциссе имеет одно и то же постоянное значение k, называемое угловым коэффициентом данной прямой.

Действительно, если Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения – два направляющих вектора данной прямой /, то векторы коллинеарны, т.е.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения их координаты пропорциональны: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияа значит Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Угловой коэффициент прямой можно определить и по-другому: как тангенс угла, образованного положительным направлением оси абсцисс и заданной прямой.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 7.3,1. Всякая прямая на плоскости определяется уравнением первой степени с двумя переменными х и у; и обратно, всякое уравнение первой степени с двумя переменными х и у определяет некоторую прямую на плоскости.

Доказательство: Пусть В = (О,b}- точка пересечения прямой L с осью у, а Р = (х,у) – любая другая точка на этой прямой. Проведем через точку В прямую, параллельную оси х, а через точку Р – прямую, параллельную оси у; проведем также прямую х = 1. Пусть k -угловой коэффициент прямой L (см. рис. 7.7). Случай к =0 не исключается.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Так как треугольники BSQ и BRP подобны, то Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения или после упрощения

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Следовательно, если точка Р принадлежит прямой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (7.2.1). Обратно, нетрудно показать, что если х и у связаны уравнением (7.2.1), то точка Р принадлежит прямой L, проходящей через точку (0;b) и имеющей угловой коэффициент k.

Таким образом, уравнение любой прямой можно записать в виде:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (не вертикальная прямая) Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, (7.2.2), х = а (вертикальная прямая) (7.2.3).

В обоих случаях мы получаем уравнение первой степени. Кроме того, каждое уравнение первой степени ио х и у можно привести к виду (7.2.2) либо (7.2.3).

Докажем обратное утверждение. Предположим, что задано произвольное уравнение первой степени:

Ах+Ву+С=0. (7.2.4)

Если Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, мы можем записать уравнение (7.2.4) в виде

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

т.е. в виде (7.2.2). При В = 0 уравнение (7.2.3) сводится к уравнению

А х = —С,

или Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, т.е. к уравнению вида (7.2.3).

Таким образом, любая прямая описывается уравнением первой степени с неизвестными х и у, и обратно, каждое уравнение первой степени с неизвестными х и v определяет некоторую прямую. Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Уравнение (7.2.4) называется общим уравнением прямой. Так

как Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, то вектор Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения является направляющим вектором прямой (7.2.4). Вектор Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения перпендикулярен прямой (7.2.4) и называется нормальным вектором. Возможны частные случаи:

1. Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения или у =b, где Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, -это уравнсние прямой, параллельной оси Ох.

2. Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения или х = а, где Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, – это уравнение прямой, параллельной оси Оу.

3. Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения– это уравнение прямой, проходящей через начало координат.

4. А=0; С=0; Ву-0 или у = 0 – это уравнение оси абсцисс Ох.

5. В=0;С=0; Ах=0 или х = 0 – это уравнение оси ординат Оу.

Различные виды уравнений прямой на плоскости

Положение прямой на плоскости относительно системы координат можно задать различными способами. Например, прямая однозначно определяется: двумя различными точками; точкой и направляющим вектором; отрезками, отсекаемыми прямой на осях координат и др. Однако, обязательно, должна быть точка, лежащая на этой прямой.

Пусть в уравнении (7.2.4) ни один из коэффициентов А, В, С не равен нулю. Перенесем свободные члены вправо и разделим на (-С). Получим уравнение прямой в отрезках:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

где Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения-длины отрезков, отсекаемых прямой l на осях координат, взятые с соответствующими знаками (в зависимости от того, положительные или отрицательные полуоси координат пересекает прямая l).

Рассмотрим прямую l на плоскости и выберем на этой прямой какие-нибудь точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Тогда вектор Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения является направляющим вектором этой прямой l.

Геометрическое место концов всевозможных векторов вида Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения где Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения пробегает все вещественные числовые значения, определяет прямую l. Уравнение (7.3.2) называется уравнением прямой в векторной форме (векторным уравнением прямой). Записав векторное уравнение (7.3.2) в координатной форме Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и воспользовавшись определением равенства векторов, получим параметрические уравнения прямой:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

где Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения– координаты направляющего вектора.

Система (7.3.3) равносильна уравнению

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

называемым каноническим уравнением прямой на плоскости. Из системы (7.3.3) можно получить уравнение

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения которое называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Если абсциссы точек Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения одинаковы, т. е.Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения то прямая Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения параллельна оси ординат и ее уравнение имеет вид: х=а.

Если ординаты точек Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения одинаковы, т. е. Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, то прямая Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения параллельна оси абсцисс и ее уравнение имеет вид: у=b. Уравнение (7.3.5) можно преобразовать к виду:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

или

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

где

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

угловой коэффициент прямой.

Уравнение (7.3.6) называется уравнением прямой, проходящей через точку Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и имеющей угловой коэффициент k.

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через две точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Решение:

I способ. Воспользуемся уравнением (7.3.5). Подставив известные координаты точек Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, получим искомое уравнение прямой:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

II способ. Зная координаты точек Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения по формуле (7.3.7) можно найти угловой коэффициент искомой прямой:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Тогда, воспользовавшись уравнением (7.3.6), найдём искомое уравнение прямой: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Заметим, что составленное уравнение можно записать как уравнение прямой в отрезках, разделив все члены уравнения

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Пусть на плоскости заданы две прямые общими уравнениями Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Угол между ними можно вычислить как угол между направляющими векторами

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения этих прямых:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Если прямые параллельныПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, то их нормальные векторы Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияколлинеарны, а это значит, что их соответствующих координаты пропорциональны:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

И обратно, если координаты при неизвестных х и у пропорциональны, то прямые параллельны. Следовательно, можно сформулировать следующую теорему:

Теорема 7.4.1. Две прямыеПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения параллельны тогда и только тогда, когда в их уравнениях коэффициенты при соответствующих переменных х и у пропорциональны.

Например, прямые Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения параллельны,

т. к.Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Если прямые перпендикулярны Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, то их нормальные векторы Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения тоже перпендикулярны, а это значит, что скалярное произведение этих векторов равно нулю: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения , или в координатной форме

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Справедливо и обратное утверждение: если скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, то прямые /, и /2 перпендикулярны.

Теорема 7.4.2. Две прямые Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения перпендикулярны тогда и только тогда, когда коэффициенты при переменных х и у удовлетворяют равенству Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Например, прямые Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения перпендикулярны, так как

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Если прямые заданы уравнениями вида Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияи Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, то угол между ними находится по формуле:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Для того чтобы прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (7.4.5)

а для их перпендикулярности необходимо и достаточно, чтобы

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (7.4.6)

Пример:

Найти проекцию точки Р (2, 3) на прямую, проходящую через точки А (4, 3) и В (6, 5).

Решение:

Проекция точки Р на прямую АВ – это точка пересечения перпендикуляра, проведенного к этой прямой из точки Р.

Вначале составим уравнение прямой АВ. Воспользовавшись уравнением (7.3.5), последовательно получаем:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Для того, чтобы составить уравнение перпендикуляра, проведенного из точки Р на прямую АВ, воспользуемся уравнением (7.3.6). Угловой коэффициент k определим из условия перпендикулярности двух прямых, т. е. из формулы (7.4.6). Поскольку Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения,то из равенства Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения находим угловой коэффициент перпендикуляра Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Подставляя найденное значение углового коэффициента Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и координаты точки Р (2, 3) в уравнение (7.3.6), получаем:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Решая систему уравнений, составленную из уравнений прямой АВ и перпендикуляра

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

найдём координаты проекции точки Р на прямую АВ: х=3 у=2, т.е.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пример:

Издержки на производство шести автомобилей составляют 1000 млн. ден. ед., а на производство двадцати автомобилей- 15000 млн. ден. ед. Определить издержки на производство 22 автомобилей при условии, что функция К(х) издержек производства линейна, т.е. имеет вид у = ах + b .

Решение:

Обозначим через х количество автомобилей, а через y- издержки производства. Тогда из условия задачи следует, что заданы координаты двух точек- А(6; 1000) и В(20; 15000), принадлежащих линейной функции у = ах +b. Воспользовавшись уравнением (7.3.6 ), найдём искомое уравнение:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Подставив в найденную функцию х = 22, определим издержки на производство 22 автомобилей:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (млн. дсн. ед)

Пример:

Фирма продаёт свои изделия по 10 ден. ед. за единицу. Затраты на изготовление одного изделия составляют 6 ден. ед. Непроизводственные расходы фирмы равны 300 ден. ед. в год. Определить годовой выпуск продукции, необходимой для того, чтобы фирма работала с прибылью.

Решение:

Обозначим через х объём произведенной продукции. Тогда доход фирмы равен D = 10x. Затраты на производство определяются уравнением: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Найдём точку безубыточности. т.е. значение x, при котором доход фирмы равен затратам: D=K, т.е. 10x = 6x + 300. Решив это уравнение, получим значение объёма производства, при котором фирма работает без убытка: х=75. Следовательно, если объём производства Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения то фирма будет работать с прибылью.

Прямая линия в пространстве

Системы координат в пространстве

В трехмерном пространстве система координат определяется тремя взаимно перпендикулярными осями, проходящими через начало координат О. Снабдив каждую ось единицей измерения длин, можно задать тремя упорядоченными числами (называемыми координатами) положение точки в пространстве. Например, точка Р задается упорядоченной тройкой чисел Р( 1,2,3).

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пусть задано пространствоПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Важнейшим понятием пространственной аналитической геометрии является понятие уравнения поверхности. Всякая же линия рассматривается как пересечение двух поверхностей. Мы остановимся на изучении поверхности первого порядка – плоскости и прямой линии.

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо сё фиксированной точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и вектора Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияпараллельного этой прямой.

Вектор Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая L проходит через точку Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, лежащую на прямой, параллельно вектору Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения(см. рис. 7.9).

Рассмотрим произвольную точку M(x,y,z) на этой прямой. Из рисунка видно, что вектор Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения параллельный (коллинеарный) вектору Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Поскольку векторыПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения коллинеарны, то найдётся такое число t, что Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки М на прямой.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Уравнение Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (7.5.1) называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки M, лежащей на прямой. Это уравнение можно записать в виде: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (см. рис. 7.9). Запишем это уравнение в координатной форме. Подставив координаты векторов Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения в уравнение (7.5.1) и воспользовавшись определением алгебраических операций над векторами и равенством векторов, получим уравнения:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты х, у и z и точка М перемещается по прямой.

Разрешив уравнения (7.5.2) относительно t

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

и приравняв найденные значенияt получим канонические уравнения прямой:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Если прямая L в пространстве задается двумя своими точками Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения,то вектор

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

можно взять в качестве направляющего вектора и тогда уравнения (7.5.3) преобразуются в уравнения

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

где Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. (7.5.4)- это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пример:

Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точкуПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, перпендикулярно плоскости Oxz.

Решение:

В качестве направляющего вектораПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения искомой прямой можно взять единичный вектор оси Оу: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения • Подставив значения координат точкиПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и значения координат направляющего вектора в уравнения (7.5.2), получаем: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Пример:

Записать уравнения прямой Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения в параметрическом виде.

ОбозначимПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Тогда Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения,

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, откуда следует, что Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Замечание. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например, оси Ох. Тогда направляющий вектор Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

прямой перпендикулярный оси Ох, имеет координаты (о; n; р) и параметрические уравнения прямой примут вид Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Однако и в этом случае формально можно записывать канонические уравнения прямой в виде Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Таким образом, если в знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, канонические уравнения

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения определяют прямую перпендикулярную осям О х и О у или параллельную оси О z.

Пример:

Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения параллельно вектору Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Решение:

Подставив координаты точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, и вектора Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения в (7.5.2) и (7.5.3), находим искомые канонические уравнения:

.Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияи параметрические уравнения:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пример:

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(2, -1,4) параллельно

а) прямой Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения;

б) оси Ох;

в) оси Оу;

г) оси Oz.

Решение:

а) Поскольку направляющий вектор заданной прямой

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения является направляющим вектором искомой прямой, то

подставив координаты точки М(2; -1; 4) и вектора Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения в (7.5.3) получим уравнение искомой прямой: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

б) Поскольку единичный вектор оси О х: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения будет направляющим вектором искомой прямой, то подставив в уравнение

(7.5.3) координаты точки М(2; -1; 4 ) и вектора Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, получаем:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

в) В качестве направляющего вектора Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения искомой прямой можно взять единичный вектор оси Оу: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. В соответствии с уравнением (7.5.3), получаем Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения или Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

г) Единичный вектор оси Oz : Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения будет направляющим вектором искомой прямой. В соответствии с уравнением (7.5.3), получаем

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Решение:

Подставив координаты точек Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияв уравнение

(7.5.4), получим:Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку параллельно данным. Пусть в пространстве заданы две прямые:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Очевидно, что за угол Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, косинус которого находится по формуле:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторовПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда пропорциональны соответствующие координаты направляющих векторов:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

т.е. Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения параллельна Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения тогда и только тогда, когда Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения параллелен

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих координат направляющих векторов равна нулю: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пример:

Найти угол между прямыми Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Решение:

Воспользуемся формулой (7.6.1), в которую подставим координаты направляющих векторов Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Тогда Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, откуда Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения илиПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения.

Вычисление уравнения прямой

Пусть PQ — некоторая прямая на плоскости Оху (рис. 22). Через произвольную точку М0 (х0, у0) этой прямой (условно называемую «начальной точкой») проведем прямую М0х параллельную оси Ох и имеющую с ней одинаковое направление. Тогда наименьший неотрицательный угол Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, образованный полупрямой M0Q, лежащей выше оси М0х’ или совпадающей с ней, называется углом между данной прямой и осью Ох.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Очевидно, этот угол не зависит от выбора точки М0. Если прямая PQ пересекает ось Ох в некоторой точке А (а, 0), то ф есть обычный угол между направленными прямыми. Если PQ || Ох, то, очевидно, Ф = 0. Начальная точка М0 прямой и угол ф («направление прямой») однозначно определяют положение этой прямой на плоскости.

1) Пусть сначала Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Тогда прямая PQ пересекает ось Оу в некоторой точке В (0, b), которую можно принять за начальную.

Ордината у = NM текущей точки М (х, у) прямой (рис. 23) состоит из двух частей:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

из них первая постоянна, а вторая переменна. Введя угловой коэффициент tg ф = k9 из рис. 23 будем иметь

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

при х > 0.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Таким образом,

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

при х > 0.

Нетрудно проверить, что формула (3) остается справедливой также и при х < 0.

Мы доказали, что координаты любой точки М (х, у) прямой PQ удовлетворяют уравнению (3). Легко убедиться в обратном: если координаты какой-нибудь точки Ml Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения удовлетворяют уравнению (3), то точка Мх обязательно лежит на прямой PQ. Следовательно, уравнение (3) представляет собой уравнение прямой линии PQ (так называемое уравнение прямой с угловым коэффициентом). Постоянные величины Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (параметры) имеют следующие значения: b = ОБ — начальный отрезок (точнее, начальная ордината), k = tg ф — угловой коэффициент. Заметим, что если точка В расположена выше оси Ох, то Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, а если ниже, то b < 0. При 6 = 0 прямая проходит через начало координат и уравнение такой прямой есть

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

При k = 0 получаем уравнение прямой, параллельной оси Ох:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

2) Если Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, то с помощью аналогичных рассуждений мы также приходим к уравнению (3).

3) Если Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, т. е. прямая АВ перпендикулярна оси Ох, то ее уравнение есть

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

где а — абсцисса следа этой прямой на оси Ох (т. е. ее точки пересечения с осью Ох).

Замечание. Как частные случаи получаем уравнения осей координат:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Прямую легко построить по ее уравнению.

Пример:

Построить прямую, заданную уравнением

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Решение:

Известно, что две точки вполне определяют положение прямой. Поэтому достаточно найти две точки, через которые проходит наша прямая. В данном уравнении b = -4. Следовательно, прямая проходит через точку В (0, -4). С другой стороны, координаты х и у любой точки, лежащей на нашей прямой, связаны заданным уравнением. Поэтому, задав абсциссу некоторой точки, лежащей на прямой, мы из уравнения прямой найдем ее ординату. Положим, например, х = 2; из уравнения прямой получим у = -1. Таким образом, наша прямая проходит через точки А (2, -1) и В (0, -4). Построив эти точки по их координатам и проведя через них прямую (рис. 24), мы получим искомую прямую.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Из предыдущего видно, что для произвольной прямой на плоскости можно составить ее уравнение; обратно, зная уравнение некоторой прямой, можно построить эту прямую. Таким образом, уравнение прямой полностью характеризует положение ее на плоскости.

Из формул (3) и (5) видно, что уравнение прямой есть уравнение первой степени относительно текущих координат х и у. Справедливо и обратное утверждение.

Теорема: Всякое невырожденное уравнение первой степени

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

представляет собой уравнение некоторой прямой линии на плоскости Оху (общее уравнение прямой линии).

Доказательство: 1) Пусть сначала В ^ 0. Тогда уравнение (7) можно представить в виде

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Сравнивая с (3), мы получим, что это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом k = -А/В и начальной ординатой Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

2) Пусть теперь В = 0; тогда А Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения 0. Имеем Ах + С = 0 и

х = -С/А.

Уравнение (9) представляет собой уравнение прямой, параллельной оси Оу и отсекающей на оси Ох отрезок a = -С/А.

Так как все возможные случаи исчерпаны, то теорема доказана.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Угол между двумя прямыми

Рассмотрим две прямые (не параллельные оси Оу)у заданные их уравнениями с угловыми коэффициентами (рис. 25):

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Требуется определить угол 9 между ними. Точнее, под углом 0 мы будем понимать наименьший угол, отсчитываемый против хода часовой стрелки, на который вторая прямая повернута относительно первой (0 < 0 < я). Этот угол 9 (рис. 25) равен углу АСВ треугольника ABC. Далее, из элементарной геометрии известно, что внешний угол треугольника равен сумме внутренних, с ним не смежных. Поэтому ф’ = ф + 0, или

0 = ф’ – ф;

отсюда на основании известной формулы тригонометрии получаем

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Заменяя tg ф и tg ф’ соответственно на к и k окончательно будем иметь

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Формула (3) дает выражение тангенса угла между двумя прямыми через угловые коэффициенты этих прямых.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Выведем теперь условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Если прямые (1) и (2) параллельны, то ф’ = ф и, следовательно,

k’ = к. (4)

Обратно, если выполнено условие (4), то, учитывая, что ф’ и ф заключаются в пределах от 0 до я, получаем

Ф’ – ф, (5)

и, следовательно, рассматриваемые прямые или параллельны, или сливаются (параллельность в широком смысле).

Правило 1. Прямые на плоскости параллельны (в широком смысле) тогда и только тогдау когда их угловые коэффициенты равны между собой.

Если прямые перпендикулярны, то Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и, следовательно,

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

отсюда 1 + kk’ = 0 и

k’ = -l/k.

Справедливо также и обратное утверждение.

Правило 2. Две прямые на плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Пусть теперь уравнения прямых заданы в общем виде:

Ах + By + С = 0 (7)

и

А’х + В’у + С’ = 0. (8)

Отсюда, предполагая, что Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, получаем

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Следовательно, угловые коэффициенты этих прямых есть

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Из формулы (3), производя несложные выкладки, находим тангенс угла между этими прямыми:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Отсюда получаем:

1) условие параллельности прямых (0 = 0)

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

2) условие перпендикулярности прямых Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Отметим, в частности, что прямые

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения взаимно перпендикулярны.

Для прямых, параллельных осям Ох и Оу, условно полагают Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пример:

Определить угол между прямыми у = х и у = 1,001Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения + 10. Здесь угловые коэффициенты прямых есть k = 1 и k’ = 1,001.

Решение:

По формуле (3) получаем

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Так как для малых углов 0 справедливо приближенное равенство Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, то

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая РМ образует угол ф с положительным направлением оси Ох (рис. 26) и проходит через заданную точку Р Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Выведем уравнение этой прямой, предполагая сначала, что прямая не параллельна оси Оу.

В этом случае, как мы видели, уравнение прямой имеет вид

у = kx + b, (1)

где k = tg ф — угловой коэффициент прямой, а Ь — длина отрезка, отсекаемого нашей прямой на оси Оу. Так как точка Р Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения лежит на прямой РМ, то ее координаты хг и ух должны удовлетворять уравнению (1), т. е.

ух = kxt+ b. (2)

Вычитая из равенства (1) равенство (2), получим

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Это и есть уравнение искомой прямой.

Если прямая, проходящая через точку Р Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения параллельна оси Оу, то ее уравнение, очевидно, будет

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Если k — заданное число, то уравнение (3) представляет вполне определенную прямую. Если же k — переменный параметр, то это уравнение определит пучок прямых у проходящих через точку Р Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения (рис. 27); при этом k называется параметром пучка.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через точку Р (3, 2) и параллельной прямой:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Решение:

Так как искомая прямая параллельна данной прямой, то ее угловой коэффициент k = 4/3. Следовательно, на основании формулы (3) уравнение этой прямой имеет вид Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, или

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через точку Р (4, 5) и перпендикулярной к прямой:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Решение:

Так как искомая прямая перпендикулярна прямой с угловым коэффициентом k = -2/3, то ее угловой коэффициент k’ = -l/k = 3/2. Следовательно, на основании формулы (3) уравнение этой прямой таково:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, или окончательно

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Известно, что через две не совпадающие между собой точки можно провести прямую, и притом только одну. Отыщем уравнение прямой, проходящей через точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Предположим сначала, что Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, т. е. прямая PQ не параллельна оси Оу, Поскольку прямая PQ проходит через точку Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения то ее уравнение имеет вид 

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

где k — неизвестный нам угловой коэффициент этой прямой. Однако так как наша прямая проходит также через точку Q Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, то координаты Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения этой последней точки должны удовлетворять уравнению (1). Отсюда

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения=Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

и, следовательно, при Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения имеем

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Подставляя выражение (2) для углового коэффициента k в уравнение (1), получим уравнение прямой PQ:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Это уравнение при Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения можно записать также в виде пропорции:

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Если Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, т. е. прямая, проходящая через точки Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения и Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, параллельна оси Оу, то уравнение этой прямой, очевидно, будет

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через точки Р(4, -2) и Q(3, -1).

Решение:

На основании уравнения (3) имеем

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Уравнение прямой в «отрезках»

Выведем теперь уравнение прямой, положение которой на плоскости задано ненулевыми отрезками, отсекаемыми ею на осях координат. Предположим, например, что прямая АВ отсекает на оси Ох отрезок OA = а, а на оси Оу — отрезок О В = b (рис. 28), причем ясно, что тем самым положение прямой вполне определено.

Для вывода уравнения прямой АВ заметим, что эта прямая проходит через точки А (а, 0) и Б Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения поэтому уравнение ее легко получается из уравнения (3′), если положить в нем Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Имеем

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Отсюда

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

и окончательно

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решенияПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Это и есть так называемое уравнение прямой в «отрезках». Здесь х и у, как обычно, — координаты произвольной точки М (х, у), лежащей на прямой АВ (рис. 28).

Пример:

Написать уравнение прямой АВ, отсекающей на оси Ох отрезок OA = 5, а на оси Оу отрезок ОВ = -4.

Полагая в уравнении (1) а = 5 и b = -4, получим Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, или

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Примечание. Уравнение прямой, проходящей через начало координат или параллельной одной из осей координат, не может быть записано как уравнение прямой в «отрезках».

Точка пересечения двух прямых

Пусть имеем две прямые

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Точка пересечения этих прямых лежит как на первой прямой, так и на второй. Поэтому координаты точки пересечения должны удовлетворять как уравнению первой, так и уравнению второй прямой. Следовательно, для того чтобы найти координаты точки пересечения двух данных прямых, достаточно решить совместно систему уравнений этих прямых.

Последовательно исключая из уравнений (1) и (2) неизвестные у и х, будем иметь

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Отсюда если Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, то для координат точки пересечения прямых получаем такие выражения: Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения или, введя определители второго порядка, имеемПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Для прямых (1) и (2) возможны следующие три случая.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

На основании  прямые не параллельны. Координаты их единственной точки пересечения определяются из формул (6).

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Прямые параллельны и точки пересечения нет. Аналитически это видно из того, что по меньшей мере одно из уравнений (3) или (4) противоречиво и, значит, система (1) и (2) несовместна.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Прямые (1) и (2) сливаются, и, таким образом, существует бесчисленное множество точек пересечения. В этом случае левые части уравнений (1) и (2) отличаются только на постоянный множитель и, следовательно, система этих уравнений допускает бесконечно много решений.

Пример:

Решая совместно систему уравнений прямых

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

получаем х = 2 и у = 1. Следовательно, эти прямые пересекаются в точке N(2,1).

Расстояние от точки до прямой

Рассмотрим прямую KL, заданную общим уравнением

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

и некоторую точку МПрямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения. Под расстоянием от точки М до прямой KL понимается длина перпендикуляра d = Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, опущенного из точки М на прямую KL (рис. 29).

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Уравнение перпендикуляра MN можно записать в виде

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Отсюда для основания перпендикуляра N(x2, у2) будем иметь

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

и, следовательно,

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

где t — коэффициент пропорциональности. Поэтому

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

С другой стороны, учитывая, что точка N(*2, i/2) лежит на прямой KL, причем из (4) имеем Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения получаем

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Следовательно,

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Таким образом, в силу формулы (5) имеем

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

В частности, полагая Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, получаем расстояние от начала координат до прямой

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Замечание. Разделив обе части уравнения прямой (1) на Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения, получим уравнение

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

свободный член которого Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения численно равен расстоянию от

начала координат до прямой. Такое уравнение прямой будем называть нормированным.

Из формулы (7) получаем правило:

чтобы определить расстояние от точки до прямой, нужно в левую часть нормированного уравнения этой прямой подставить координаты данной точки и взять модуль полученного результата.

Пример:

Определить расстояние от точки М (-2, 7) до прямой

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Решение:

Нормируя уравнение этой прямой, будем иметь

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Отсюда искомое расстояние есть

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

  • Плоскость в трехмерном пространстве
  • Функция одной переменной
  • Производная функции одной переменной
  • Приложения производной функции одной переменной
  • Обратная матрица – определение и нахождение
  • Ранг матрицы – определение и вычисление
  • Определители второго и третьего порядков и их свойства
  • Метод Гаусса – определение и вычисление

Добавить комментарий