Как найти координаты вектора если она медиана

Найти медиану треугольника по координатам вершин

Как найти медиану если даны координаты вершин треугольника?

Чтобы найти медиану треугольника по координатам его вершин, применим формулы координат середины отрезка и формулу расстояния между точками.

Рассмотрим нахождение медианы на конкретном примере.

Дано: ΔABC,

1) Так как AF — медиана треугольника ABC, то F — середина BC.

Please wait.

We are checking your browser. megamozg.com

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d3b1d41f980d453 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Векторная алгебра — основные понятия с примерами решения и образцами выполнения

Вектором называется направленный отрезок. Вектор обозначается либо символом ( — точка начала, — точка конца вектора), либо . В математике обычно рассматриваются свободные векторы, то есть векторы, точка приложения которых может быть выбрана произвольно.

2. Длиной (модулем) вектора называется длина отрезка . Модуль вектора обозначается .

3.Вектор называется единичным, если его длина равна «1»; единичный вектор направления вектора называется ортом вектора и определяется по формуле .

4. Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают ; любое направление можно считать направлением нулевого вектора.

5. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарность векторов обозначается: . Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов и является существование такого числа , что .

6. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление.

7. Вектор называется противоположным вектору , если модули их равны, а направления противоположны.

8. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Для решения задач необходимо уметь выполнять линейные операции над вектором в геометрической форме, то есть над вектором, как над
направленным отрезком: сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.

9. Сложение двух векторов можно выполнить по правилу параллелограмма (рис. 1) или по правилу треугольника (рис. 2).

При сложении более двух векторов, лежащих в одной плоскости, используется правило «замыкающей линии многоугольника» (рис. 3).

При сложении трех некомпланарных векторов удобно пользоваться правилом «параллелепипеда» (рис. 4).

10. Действие вычитания двух векторов связано с действием сложения (рис.5).

Разностью двух векторов называется вектор, проведенный из конца вычитаемого в конец уменьшаемого. Заметим, что разностью является вектор, служащий второй диагональю параллелограмма.

Разность можно также представить в виде сложения с противоположным вектором (рис. 6).

11. Произведением вектора на число называется вектор , который имеет :

12. Для решения задач полезно знать также следующие законы и свойства:

• переместительный:
• сочетательный:
• распределительный:

Примеры задач решаемых с применением векторной алгебры

Задача:

Пусть даны точки

1) Найти координаты векторов

2) Написать разложение этих векторов по базису

3) Найти длины этих векторов

4) Найти скалярное произведение

5) Найти угол между векторами и .

6) Найти разложение вектора по базису и

Решение:

1) Вычислим координаты векторов и (нужно из координат точки его конца вычесть координаты его начала):

, аналогично,

и

2)

4) Для вычисления угла между векторами воспользуемся формулой:

5) Разложить вектор по векторам и — это значит представить вектор в виде линейной комбинации векторов и , т. е.

, где . Имеем , но у равных векторов соответственно равны координаты, следовательно, получим систему, из которой найдем и .

Задача:

а). Даны векторы и в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение:

Три вектора образуют базис, если .

Найдем координаты вектора в базисе и .

Два вектора равны, если их соответствующие координаты равны.

Решим систему методом Крамера:

Ответ: .

Задача:

Даны координаты вершин тетраэдра и . Найти: 1) координаты точки пересечения медиан треугольника ; 2) уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно медиане, проведенной из вершины треугольника ; 3) координаты точки, симметричной точке относительно плоскости . Сделать чертёж.

Решение:

1) Найдем координаты т. середины отрезка (рис. 16):

Точка пересечения медиан треугольника делит медиану в отношении , считая от вершины . Найдем координаты точки :

2) Найдем направляющий вектор прямой . Уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно прямой :

3) Найдем уравнение плоскости :

Найдем каноническое уравнение прямой, перпендикулярной плоскости и проходящей через т. : . Запишем каноническое уравнение прямой в параметрическом виде: .

Найдем координаты точки пересечения плоскости и найденной прямой:

Координаты точки симметричной точке относительно плоскости — .

Ответ: 1) координаты точки пересечения медиан уравнение прямой ; 3) координаты симметричном точки .

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Векторная алгебра — решение заданий и задач по всем темам с вычислением

Понятие вектора. Линейные операции над векторами

1°. Любые две точки пространства, если они упорядочены (например, А является первой, а В — второй точкой), определяют отрезок вместе с выбранным направлением (а именно, от A к В). Направленный отрезок называется вектором. Вектор с началом в A и концом в В обозначается или Длина вектора, обозначаемая , АВ или а, называется также модулем вектора. Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть одноименные координаты начала: Тогда длина вектора найдется так:

Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые модули и направления. В этом случае пишут Равные векторы имеют равные координаты.

Векторы называются противоположными, если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и противоположные направления:

Вектор называется нулевым, если его модуль равен нулю, и обозначается

2°. Линейными называются действия сложения, вычитания векторов и умножения вектора на число.

1.Если начало совмещено с концом то начало совпадает с началом а конец — с концом (рис. 3.1).

2.Если начала векторов совмещены, то начало совпадает с концом , а конец совпадает с концом (рис. 3.2).

3.При умножении вектора на число (скаляр) длина вектора умножается на , а направление сохраняется, если и изменяется на противоположное, если (рис. 3.3).

Вектор называется ортом, или единичным вектором вектора его длина равна единице:

3°. Запись ci — означает, что вектор имеет координаты или разложен по базису — орты осей Ох, Оу и Oz пространственной системы координат Oxyz). При этом

4°. Числа называются направляющими косинусами вектора — углы между вектором и координатными осями Ох, Оу, Oz соответственно. Единичный вектор — орт вектора . Для любого вектора справедливо:

5°. Линейные операции над векторами, которые заданы своими координатами, определяются так: пусть тогда

Следовательно, при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, а при умножении вектора на число умножаются на число все координаты вектора.

6°. Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов , устанавливаемое равенством может быть записано соотношениями из которых следует пропорциональность их координат:

Если один из членов какого-нибудь из этих отношений равен нулю, то и второй член того же отношения должен быть нулем. Геометрически это значит, что в этом случае оба вектора перпендикулярны соответствующей координатной оси (например, если то векторы ).

7°. Система векторов называется линейно независимой, если равенство

( — действительные числа) возможно только при Если же равенство (1) возможно при некотором нетривиальном наборе то система этих векторов называется линейно зависимой. Любой вектор линейно зависимой системы линейно выражается через остальные.

Примеры с решениями

Пример:

Доказать, что треугольник с вершинами в точках A(1,2), B(2,5), С(3,4) прямоугольный.

Решение:

Построим векторы, совпадающие со сторонами треугольника (см. п. 1°): (рис. 3.4).

Найдем длины сторон:
Нетрудно видеть, что Следовательно, треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой и катетами

Пример:

Проверить, что точки А( 2,-4,3), В(5, —2,9), С( 7,4,6) и D(6,8, -3) являются вершинами трапеции.

Решение:

Составим векторы-стороны с целью обнаружения коллинеарности векторов (в трапеции ВС || AD) (рис. 3.5):

Имеем значит, ABCD — трапеция.

Пример:

Найти орт и направляющие косинусы вектора

Решение:

Имеем В соответствии с п. 3°, 4°

и направляющие косинусы вектора причем

Пример:

Определить точку В, которая является концом вектора , если его начало совпадает с точкой

Решение:

Пусть точка В имеет координаты B(x,y,z) (рис. 3.6). Тогда координа- ^ ты вектора (п. 1°)

Следовательно, Ответ. В(5, -5,3).

Пример:

Вектор разложить по векторам

Решение:

Необходимо найти такие числа х, у, z, что т.е.

Имея в виду, что при сложении векторов складываются их координаты и равные векторы имеют равные координаты, приходим к системе уравнений

Ответ.

Пример:

Показать, что система векторов линейно независима.

Решение:

В данном случае равенство (1) имеет вид , или Отсюда получаем систему уравнений

из которой следует, что Это подтверждает линейную независимость данных векторов.

Пример:

Показать, что система векторов линейно зависима.

Решение:

Равенство (1) равносильно системе уравнений

Она имеет ненулевое решение, например, Таким образом, Отсюда видно, что т.е. вектор линейно выражается через Очевидно, что можно выразить через — через

Скалярное произведение векторов

1°. Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

Из (рис. 3.7) имеем ( — проекция вектора на направление вектора ).

Итак,

т.е. скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.

При этом если же , т. е. поскольку cos 90° = 0 (условие перпендикулярности двух векторов).

3°. Из определения скалярного произведения следует формула для вычисления угла между двумя векторами:

Примеры с решениями

Пример:

Перпендикулярны ли векторы если

Решение:

Условие перпендикулярности векторов (п. 2°) в нашем случае

Пример:

Найти проекцию вектора на направление вектора

Решение:

Имеем (п. 1°). Подставив сюда выражение для из п. 3°, получим

Ответ

Пример:

Зная векторы, совпадающие с двумя сторонами: и найти внутренние углы треугольника ABC.

Решение:

При помощи таблиц находим Для нахождения других углов нам понадобится вектор который является суммой : поэтому

Ответ. 123° 10′, 19°29′, 37°21′.

Пример:

Найти координаты вектора если где и

Решение:

На рис. 3.9 имеем Из условий перпендикулярности векторов (п. 2°) имеем Положим Условие задачи перепишем в виде Рис. 3.9 системы

Векторное произведение векторов

1°. Векторы приведенные к одному началу, образуют правую (левую) тройку при условии: если смотреть из конца вектора на плоскость векторов то кратчайший поворот от совершается против (по) часовой стрелки (рис. 3.10).

2°. Векторным произведением ненулевых векторов называется вектор , обозначаемый удовлетворяющий следующим трем условиям.

1) вектор перпендикулярен плоскости векторов

2) Вектор направлен так, что векторы образуют правую тройку.

3) т.е. его длина численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах (рис. 3.11), таким образом,

Если векторы коллинеарны, то под понимается нулевой вектор:

3°. Если известны координаты векторов-сомножителей то для отыскания координат векторного произведения служит формула

в которой определитель следует разложить по элементам первой строки.

Примеры с решениями

Пример:

Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках А(1,2,3), В<3,2,1), С(1,0,1).

Решение:

Найдем координаты векторов Определим координаты векторного произведения (рис. 3.12):

Найдем длину этого вектора, которая равна численно площади параллелограмма S (п. 2°): Площадь треугольника равна

Пример:

Построить параллелограмм на векторах и вычислить его площадь и высоту, опущенную на .

Сделаем чертеж (рис. 3.13). Имеем Отдельно вычисляем векторное произведение:

Смешанное произведение векторов

1°. Смешанным произведением трех ненулевых векторов называется число, равное скалярному произведению двух векторов, один из которых — векторное произведение , а другой — вектор . Обозначение: Если образуют правую тройку, то Если образуют левую тройку, то

Модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда (рис. 3.14), построенного на этих векторах, Условие равносильно тому, что векторы расположены в одной плоскости, т.е. компланарны. Имеет место равенство

Объем тетраэдра с вершинами в точках можно вычислить по формуле где

2°. Условие равносильно условию линейной независимости , а тогда любой вектор линейно выражается через них, т. е. Для определения х, у, z следует решить соответствующую систему линейных уравнений

Примеры с решениями

Пример:

Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

Решение:

Искомый объем Поскольку

Пример:

В точках 0(0,0,0), А(5,2,0), В(2,5,0) и С(1,2,4) находятся вершины пирамиды. Вычислить ее объем, площадь грани ABC и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.

Решение:

1) Сделаем схематический чертеж (рис. 3.15).

2) Введем векторы .Объем пирамиды ОАВС (тетраэда) равен

3) Площадь грани ABC

4) Объем пирамиды отсюда
Ответ.

Основные понятия векторной алгебры

Прямоугольные декартовы координаты

Координатная ось

Пусть на плоскости или в пространстве задана произвольная прямая L: Ясно, что по этой прямой L сы можем перемещаться в oднoм из двух противоположных направлений. Выбор любого (одного) из этих направлений будем называть ориентацией прямой L.

Оnределение:

Прямая с заданной на ней ориентацией называется осью. На чертеже ориентация оси указывается стрелкой (рис. 1 ) . Фиксируем на оси некоторую точку О и выберем какой-нибудь отрезок а, доложив по определению его длину равной единице (рис. 2).

Пусть М — произвольная точка оси . Поставим этой точке в соответствие число х по следующему прав илу: х равно расстоюiию между точками О и М, взятому со знаком плюс или со знаком минус н зависимости от того, совпадает ли направление движения от точки О к точке М с заданным направлением или противоположно ему (рис. 3).

Оnределение:

Ось с точкой начала отсчета О и масштабными отрезками а называется координатной осью, а число х, вычисляемое по указанному правилу, называется координатой точки М. Обозначение: М (х).

Прямоугольные декартовы координаты на плоскости

Пусть П — произвольная плоскость. Возьмем на ней некоторую точку О и проведем через эту точку взаимно перпендикулярные прямые L ₁ и L _2. Зададим на каждой из nрямых L ₁ и L ₂ ориентацию и выберем единый масштабный отрезок а. Тогда эти прямые nревратятся в координатные оси с общей точкой отсчета О (рис. 4).

Назовем одну из координатных осей осью абсцисс (осью Ох), друrую —осью ординат (осью Оу) (рис. 5). Точка О называется началом координат. Пусть М — произвольная точка плоскости П (рис. 6). Проведем через точку М прямые, перпендикулярные координатным осям, и поставим ей в соответствие упорядоченную пару чисел (х, у) по следующему nравилу:

Числа х и у называются прямоугольными декартовыми при этом х называется ее абсциссой, а у — ординатой. координатами точки М; Обозначение: М(х, у). Чтобы кратко охарактеризовать описанную конструкцию, говорят, что на плоскости П задана прямоугольная декартова система координат Ох у. Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, называемые четвертями или квадрантами. На рисунке и в таблице показано, как эти квадранты нумеруются (рис. 7).

Замечание:

Масштабные от резки на координатных осях могут быть и разной длины. В этом случае координатная система называется просто прямоугольной.

Прямоугольные декартовы координаты в пространстве

Возьмем в пространстве некоторую точку О и проведем через нее три взаимно перпендикулярные прямые L ₁ , L ₂ и L ₃ . Выберем на каждой из nрямых ориентацию и единый масштаб. Прямые L ₁ , L ₂ и L ₃ превратятся в координатные оси с общей точкой отсчета О (рис. 8).

Назовем одну из этих осей осью абсцисс (осью Ох), вторую — осью ординат (осью Оу) и третью — осью аппликат (осью Oz) (рис. 9). Точка О называется началом координат. Пусть М — nроизвольная точка (рис. 10). Проведем через точку М nлоскости, перпендикулярные координатным осям, и поставим ей в соответстnие упорядоченную тройку чисел (х, у, z) по следующему правилу:

Числа х, у и z называются прямоугольными декартовыми координатами точки М; при этом х называется абсциссой точки М, у — ее ординатой, а z —аппликатой. Обозначение: М(х, у, z). Таким образом, в пространстве введена прямоугольная декартова система координат.

Оnределение:

Плоскость, проходящая через любую пару координатных осей, называется координатной плоскостью.

Координатных плоскостей три: Оху, Oyz и Oxz. Эти плоскости разбивают пространство на восемь частей — октантов. 1 .4. Простейшие задачи аналитической геометрии А. Расстояние между точками Пусть М ₁ (х ₁ ) и М ₂ (х ₂ )- две точки на координатной оси. Тогда расстояние d между ними вычисляется по формуле

Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Оху, то расстояние d между любыми двумя точками М ₁ (х ₁ , у₁ и М₂ (х₂ , y₂) вычисляется по следующей формуле

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆MM₁M₂ (pиc. l l). По теореме Пифагора

,и извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, приходим к требуемой формуле .

Замечание:

Расстояние между точками в пространстве вычисляется по следующей формуле

Задача:

Написать уравнение окружности радиуса т с центром в точке Р(а, b).

Пусть М(х, у) — точка окружности (рис. 12). Это означает, что |M P| = r. Заменим |M P|его выражением

и возведем обе части полученного равенства в квадрат:

Это есть каноническое уравнение окружности радиуса r с центром в точке Р(а, b) .

Задача:

Пусть F _л (-с, 0) и F _n (c, 0) -фиксированные точки плоскости, а -заданное число (а > с ≥ 0). Найти условие, которому удовлетворяют координаты х и у точки М, обладающей следующим свойством: сумма расстояний от точки М до F_л и до F _n равна 2а.

Вычислим расстояния между точками М и F _л и между точками М и F _n . Имеем

Перенесем второй корень в правую часть

Возводя обе части в квадрат, после простых преобразований получим

С целью дальнейших упрощений вновь возводим обе части в квадрат. В результате nриходим к равенству

Полагая b 2 = а 2 — с 2 и деля обе части nоследнего соотноwения на а 2 b 2 , nолучаем уравнение эллипса

Деление отрезка в данном отношении:

Требуется выразить координаты х и у этой точки через координаты концов отрезка М₁М₂ и числа λ ₁ и λ ₂ . Предположим сначала, что отрезок М₁М₂ не параллелен оси ординат Оу (рис. 14). Тогда

то из последних двух соотношений получаем, что

Точка М лежит между точками М₁ и М₂ , поэтому либо х ₁ х > х ₂ . В любом из этих случаев разности х₁ — х и х — х ₂ имеют одинаковые знаки. Это позволяет переписать последнее равенство в следующей форме

В случае, когда отрезок М₁М₂ параллелен оси Оу, х ₁ = х ₂ = х. Заметим, что тот же результат дает формула (*), если nоложить в ней х ₁ = х ₂ . Справедливость формулы

доказывается аналогичным рассуждением .

Задача:

Найти координаты центра тяжести М треугольника с вершинами в точках . М₁ ( х ₁ , у ₁ ), М₂ ( х ₂ , у ₂ ) и М₃ ( х ₃ , у ₃ ). Восnользуемся тем, что центр тяжести треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан. Точка М делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины (рис. 15). Тем самым, ее координаты х и у можно найти по формулам

где х’ и у’ — координаты второго конца М’ медианы М₃ М’. Так как М’ — середина отрезка М₁М₂, то

Полученные соотношения позволяют выразить координаты z и у центра тяжести М треугольника ∆М₁М₂М₃ через координаты его вершин:

Замечание:

Полярные координаты

Предположим, что задана точка О, ось .содержащая точку О, и масштабный отрезок (эталон длины) (рис. 16).

Пусть М — произвольная точка плоскости, отличная от точки О (рис.17). Ее положение на плоскости однозначно определяется двумя числами: расстоянием г между точками О и М и отсчитываемым против часовой стрелки углом φ между положительным лучом оси и лучом ОМ с началом в точке О. Пару (г, φ) называют полярными координатами точки М; г — полярный радиус точки М , φ — полярный угол.

Точка О называется полюсом, — полярной осью.

Ясно, чтоЕсли точка М совпадаете полюсом, то считаем г = 0; полярный угол φ в этом случае не определен.

Таким образом, на плоскости можно задать еще одну координатную систему — полярную.

Прямоугольную декартову систему координат Оху будем называть согласованной с заданной полярной, если начало координат 0(0, 0) — полюс, ось Ох — полярная ось, а ось Оу составляете осью Ох угол, равный. Тогда

(рис.18). В свою очередь

Пример:

Пусть R > О — заданное число. Множество точек плоскости, полярные координаты (г,

Определители 2-го и 3-го порядков

Определителем второго порядка называется число

Обозначение:

Тем самым, для вычисления определителя второго порядка нужно из произведения а₁₁, а₂₂ элементов главной диагонали вычесть произведение а₁₂, а₂₁ элементов его побочной диагонали (рис. 20).

Пример:

По правилу (1) имеем

С определителями второго порядка мы встречаемся уже при отыскании решения системы двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными

Решая эту систему методом исключения неизвестных при условии, что

Пусгь теперь даны девять чисел a_ij (i = I, 2, 3; j = I, 2, 3).

Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое символом

и вычисляемое по следующему правилу:

Первый индекс i элемента a_ij указывает номер строки, в которой он расположен, а второй индекс j — номер столбца.

Чтобы разобраться с распределением знаков в правой части формулы (2), обратим внимание на следующее: произведение элементов а₁₁, а₂₂, а₃₃ главной диагонали входит в формулу со своим знаком, также как и произведение а₁₁, а₂₂, а₃₃ и а₁₁, а₂₂, а₃₃ элементов, расположенных в вершинах треугольников, основания которых параллельны главной диагонали (рис. 21); с другой стороны, произведение а₁₃, а₂₂, а₃₁ элементов побочной диагонали, а также произведения а₁₂, а₂₁, а₃₃ и а₁₁, а₂₃, а₃₂ — с противоположным знаком (рис.22). Такой подход к вычислению определителя третьего порядка называется правилом треугольника.

Пример:

Применяя правило треугольника, находим

Установим некоторые свойства определителей 3-го порядка, легко проверяемые при помощи разложений (1) и (2).

Свойство:

Величина определителя не изменится, если все его строки заменить его столбцами с теми же номерами

Свойство:

При перестановке любых двух строк (или любых двух столбцов) определителя он изменяет свой знак на противоположный.

Свойство:

Общий множитель всех элементов одной строки (или одного столбца) определителя можно вынести за знак определителя

Следующие три свойства определителя вытекают из свойств 1-3. Впрочем, в их справедливости можно убедиться и непосредственно, пользуясь формулами (1) и (2).

Свойство:

Если определитель имеет две равные строки (или дна равных столбца), то он равен нулю.

Свойство:

Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Свойство:

Если соответствующие элементы двух строк (или двух столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю.

Укажем еще один способ вычисления определителя 3-го порядка

Минором M_ij элемента a_ij определителя ∆ называется определитель, получаемый изданного путем вычеркивания элементов i-й строки и j-ro столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Например, минором элемента a₂₃ будет определитель

Алгебраическим дополнением элемента A_ij называется минор M_ij — этого элемента, взятый со своим знаком, если сумма i + j номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент a_ij, есть число четное, и с противоположным знаком, если это число нечетное:

Теорема:

Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (любого его столбца) на их алгебраические дополнения, так что имеют место следующие равенства

Покажем, например, что

Пользуясь формулой (2), получаем, что

Правило (3) называется разложением определителя по элементам i-й строки, а правило (4) — разложением определителя по элементам j -го столбца.

Пример:

Раскладывая определитель по элементам 1-ой строки, получим

Понятия связанного и свободного векторов

Рассмотрим две точки А и В. По соединяющему их отрезку можно перемещаться в любом из двух противоположных направлений. Если считать, например, точку А начальной, а точку В конечной, то тогда получаем направленный отрезок АВ, в другом случае — направленный отрезок В А. Направленные отрезки часто называют связанными или закрепленными векторами. На чертеже заданное направление указывается стрелкой (рис. 1).

В случае, когда начальная и конечная точки совпадают, А = В, связанный вектор называется нулевым.

Определение:

Будем говорить, что связанные векторы АВ и CD равны, если середины отрезков AD и ВС совпадают (рис. 2).

Обозначение:

Заметим, что в случае, когда точки А, В, С и D не лежат на одной прямой, это равносильно тому, что четырехугольник ABCD — параллелограмм. Ясно, что равные связанные векторы имеют равные длины.

Пример:

Рассмотрим квадрат и выберем векторы, как указано на рис.3. Векторы АВ и DC равны, а векторы ВС и DA не равны.

Укажем некоторые свойства равных связанных векторов:

1. Каждый связанный вектор равен самому себе: АВ = АВ.
2. Если АВ = CD, той CD = АВ.
3. Если АВ = CD и CD = EF,то АВ = EF (рис.4).

Пусть АВ — заданный связанный вектор и С — произвольная точка. Ясно, что, опираясь на определение, всегда можно построить точку D так, чтобы

CD = АВ.

Тем самым, от каждой точки можно отложить связанный вектор, равный исходному (рис. 5).

Мы будем рассматривать свободные векторы, т. е. такие векторы, начальную точку которых можно выбирать произвольно, или, что то же самое, которые можно произвольно переносить параллельно самим себе. Ясно, что свободный вектор однозначно определяется заданием связанного вектора АВ.

Если в качестве начальных выбирать лишь те точки, которые лежат на прямой, определяемой заданным (ненулевым) связанным вектором, то мы приходим к понятию скользящего вектора (рис. 6).

Связанные и скользящие векторы широко используются в теоретической механике.

Для обозначен ия свободных векторов будем пользоваться полужирными строчными латинскими буквами — а, b, с,… ; нулевой вектор обозначается через 0.

Пусть заданы вектор а и точка А. Существует ровно одна точка В, для которой

= а

(рис.7). Операция построения связанного вектора АВ, для которого выполняется это равенство, называется откладыванием свободного вектора а от точки А.

Заметим, что связанные векторы, получаемые в результате описанной операции откладывания, равны между собой и, значит, имеют одинаковую дли ну. Это позволяет ввести длину свободного вектора а, которую мы будем обозначать символом |а. Длина нулевого вектора равна нулю. Если а = b, то |а| = |b; обратное неверно.

Линейные операции над векторами

Сложение векторов

Пусть заданы два вектора а и b. Возьмем какую-нибудь точку О и отложим от нее вектор a: = а. От полученной точки А отложим вектор b: = b. Полученный в результате вектор называется суммой векторов а и b и обозначается через a + b (рис. 8). Этот способ построения суммы векторов называется правилом треугольника.

Нетрудно заметить, что сложение векторов коммутативно, т. е. для любых векторов а и b справедливо равенство

а + b = b + а

Если отложить векторы а и 1» от обшей точки О и построить на них как на сторонах параллелограмм, то вектор , идущий из общего начала О в противоположную вершину параллелограмма, будет их суммой а + b (или b +а) (рис. 10). Этот способ построения суммы векторов называется правилом параллелограмма.

Пусть заданы три вектора, например, a, b и с. Отложим от произвольной точки О вектор a: = а; от полученной точки А отложим вектор b: = b; отточки В — вектор с: = с (рис. 11). По определению суммы — а + b и = (а + b) + с (рис. 12). С другой стороны, АС = b + с и, значит, ОС = а + (Ь + с) (рис. 13). Тем самым, для любых векторов a, b и с выполняется равенство

(а +b) + с = а + (b + с),

т. е. сложение векторов ассоциативно. Опуская скобки, можно говорить о сумме трех векторов и записывать ее так:

а + b + с.

Аналогично определяется сумма любого числа векторов: это есть вектор, который замыкает ломаную, построенную из заданных векторов. На рис. 14 показан», как построить сумму семи векторов:

Приведенный способ сложения произвольного числа векторов называется правилом замыкающего ломаную.

Пример:

Найти сумму векторов, идущих из центра правильного шестиугольника в его вершины.

По правилу замыкающего ломаную получаем

Умножение вектора на число

Определение:

Свободные векторы а и b называются коллинеарными, если определяющие их связанные векторы лежат на параллельных или на совпадающих прямых (рис. 16).

Обозначение: а||b.

Замечание:

Из определения следует, что если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то они коллинеарны.

Если отложить коллинеарные векторы а и b от обшей точки О, = n, = Ь, то точки О, А н В будут лежать на одной прямой. При этом возможны два случая: точки А и В располагаются на этой прямой: 1) по одну сторону от точки О, 2) по разные стороны (рис. 17). В первом случае векторы а и b называются одинаково направленными, а во втором — противоположно направленными.

Если векторы имеют равные длины и одинаково направлены, то они равны. Пусть а — вектор, λ — вещественное число.

Определение:

Произведением вектора а на число λ называется вектор b такой, что

2) векторы а и b одинаково (соответственно, противоположно) направлены, если λ > 0 (соответственно, λ

(здесь λ и μ — любые действительные числа, а и Ь — произвольные векторы).
Определение:

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом, и обозначается а° (читается: а с нуликом), |а°| = 1.
Если а ≠ 0, то вектор

есть единичный вектор (орт) направления вектора а (рис. 18).

Координаты и компоненты вектора

Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат. Обозначим через i, j, к единичные векторы (орты) положительных направлений осей Ox, Оу, Oz (рис. 19). Рассмотрим произвольный вектор п, начало которого лежит в начале координат О, а конец — в точке А. Проведем через точку А плоскости, перпендикулярные осям Ох, Оу и Oz. Эти плоскости пересекут координатные оси в точках Р, Q и R соответственно. Из рис. 20 видно, что

Векторы коллинеарны соответственно единичным векторам i, j, k,

поэтому найдутся числа х, у, z такие, что

а = xi + yj + zk. (2)

Формула (2) называется разложением вектора а по векторам i, j, к. Указанным способом всякий вектор может быть разложен по векторам i, j, k.

Векторы i, j, к попарно ортогональны, и их длины равны единице. Тройку i, j, k называют ортонормированным (координатным) базисом (ортобазисом).

Можно показать, что для каждого вектора а разложение (2) по базису i, j, к единственно, т. е. коэффициенты х, у, z в разложении вектора а по векторам i, j, к определены однозначно. Эти коэффициенты называются координатами вектора а. Они совпадают с координатами х, у, z точки А — конца вектора а. Мы пишем в этом случае

а = <х, y,z>.

Эта запись означает, что свободный вектор а однозначно задастся упорядоченной тройкой своих координат. Векторы xi, yj, zk, сумма которых равна вектору а, называются компонентами вектора а.

Из вышеизложенного следует, что два вектора а = < х₁, у₁, z₁ > и b = <х₂, у₂, z₂> равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их координаты, т. е.

Радиус-вектором точки М(х,у, z) называется вектор г = xi + yj + zk, идущий из начала координат О в точку М (рис. 21).

Линейные операции над векторами в координатах

— при сложении векторов их координаты попарно складываются. Аналогично получаем

— при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Пусть а = < х₁, у₁, z₁>, b = < х₂, у₂, z₂ > — коллинеарные векторы, причем b ≠ 0. Тогда а = μb, т.е.

Обратно, если выполняются соотношения (3), то а = μb, т. е. векторы a и b коллинеарны.

Таким образом, векторы а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

Пример:

Найти координаты вектора начало которого находится в точке М₁ ( х₁, у₁, z₁ ). а конец — в точке M₂ (х₂, у₂, z₂).
Из рис. 22 видно, что = r₂ — r₁ , где r₂, r₁ — радиус-векторы точек М₁ и M₂ соответственно. Поэтому

— координаты вектора ММг равны разностям одноименных координат конечной М2 и начальной М точек этого вектора.

Проекция вектора на ось

Рассмотрим на оси l ненулевой направленный отрезок АВ (рис.23). Величиной направленного отрезка АВ на оси l называется число, равное длине отрезка АВ, взятой со знаком «+», если направление отрезка АВ совпадаете направлением оси l, и со знаком «-», если эти направления противоположны.

Рассмотрим теперь произвольный вектор , определяемый связанным вектором АВ. Опуская из его начала и конца перпендикуляры на заданную ось l, построим на ней направленный отрезок CD (рис. 24).

Определение:

Проекцией вектора на ось l называется величина направленного отрезка CD, построенного указанным выше способом.

Обозначение:

Основные свойства проекций

1. Проекция вектора АВ на какую-либо ось l равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и этим вектором (рис. 25)
2. Проекция суммы векторов на какую-либо ось l равна сумме проекций векторов на ту же ось.

Скалярное произведение векторов

Пусть имеем два вектора a и b.

Определение:

Скалярным произведением вектора а на вектор b называется число, обозначаемое символом (а, b) и определяемое равенством

(1)
где φ, или в иной записи (), есть угол между векторами а и b (рис. 27 а).
Заметив, что |b| cos φ есть проекция вектора b на направление вектора а, можем написать

(рис. 27 б) и, аналогично,’ (2)

(рис. 27 в), т.е. скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, помноженной на проекцию на него другого вектора. В случае, если один из векторов а или b — нулевой, будем считать, что

(a, b) = 0.

Свойства скалярного произведения

1. Скалярное произведение обращается в нуль в том и только в том случае, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или когда векторы а и b ортогональны, a ⊥ b.

Это следует из формулы (1), определяющей скалярное произведение.

Поскольку направление нулевого вектора не определено, мы можем его считать ортогональным любому вектору. Поэтому указанное свойство скалярного произведения можно сформулировать так:

2. Скалярное произведение коммутативно:

(а, b) = (b, а).

Справедливость утверждения вытекает из формулы (I), если учесть четность функции cos φ: cos(- φ) = cos φ.

3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством относительно сложения:

(а + b, с) = (а, с) + (b, c).

4. Числовой множитель А можно выносить за знак скалярного произведения

(λа, b) = (а, λb) = λ (а, b).

• Действительно, пусть λ > 0. Тогда

поскольку при λ > 0 углы () и (λ) равны (рис.28).

Аналогично рассматривается случай λ

Замечание:

В общeм случае (а, b)c ≠ a(b, c).

Скалярное произведение векторов, заданных координатами

Пусть векторы а и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе i, j, k:

Рассмотрим скалярное произведение векторов а и b:

Пользуясь распределительным свойством скалярного произведения, находим

То есть, если векторы а и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.

Пример:

Найти скалярное произведение векторов n = 4i — 2j + k и b = 6i + 3j + 2k.

(a, b) = 4 • 6 + (-2) • 3 + 1 • 2 = 20.

Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом:

(а, а) = а 2 .

Применяя формулу (4) при b = а, найдем (5)

С другой стороны,

так что из (5) следует, что (6)

— в ортонормированном базисе длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Косинус угла между векторами. Направляющие косинусы

Согласно определению

(а, b) = |а| • |b| • cos φ,

где φ — у гол между векторами а и b. Из этой формулы получаем
(7)

(предполагается, что векторы а и b — ненулевые).

Пример:

Найти угол между векторами a = <2, -4,4,>и d = <-3,2,6>. Пользуясь формулой (8), находим

или, в координатной записи, (9)

где а есть угол, образованный вектором я с осью Ох. Аналогично получаем формулы

Формулы (9)-(11) определяют направляющие косинусы вектора а, т. е. косинусы углов, образуемых вектором n с осями координат (рис. 29).

Пример:

Найти координаты единичного вектора n°. По условию | n°| = 1. Пусть n° = zi+ yj+ zk. Тогда

Таким образом, координатами единичного вектора являются косинусы углов, образованных этим вектором с осями координат:

Пример:

Пусть единичный вектор n° ортогонален оси z:

(рис. 30). Тогда его координаты г и у соответственно равны

x=cos φ, y = sin φ.

Векторное произведение векторов

Определение:

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор, обозначаемый символом [a, b] (или a х b), такой, что

1) длина вектора [а, b] равна |а| • |Ь| • sin φ, где φ — угол между векторами а и b (рис.31);

2) вектор [а, b] перпендикулярен векторам а и b, т.е. перпендикулярен плоскости этих векторов;

3) вектор [а, Ь] направлен так, что из конца этого вектора кратчайший поворот от л к Ь виден происходящим против часовой стрелки (рис. 32).

Иными словами, векторы я, b и [a, b] образуют правую тройку векторов, т.е. расположены так, как большой, указательный и средний пальцы правой руки. В случае, если векторы a и b коллинеарны, будем считать, что [a, b] = 0.

По определению длина векторного произведения (1)

численно равна площади параллелограмма (рис.33), построенного на перемножаемых векторах a и b как на сторонах:

|[a, b]| = .

Свойства векторного произведения

1. Векторное произведение равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или когда эти векторы коллинеарны (если векторы я и b коллинеарны, то угол между ними равен либо 0, либо тг).

Это легко получить из того, что |[a, b]| = |a| • |b| • sin φ.

Если считать нулевой вектор коллинеарным любому вектору, то условие коллинеарности векторов a и b можно выразить так

2. Векторное произведение антикоммутативно, т. е. всегда (2)

В самом деле, векторы [а, b] и [b, а] имеют одинаковую длину и коллинеарны. Направления же этих векторов противоположны, так как из конца вектора [a, b] кратчайший поворот от a к b будет виден происходящим против часовой стрелки, а из конца вектора [b, a] — почасовой стрелке (рис. 34).

3. Векторное произведение обладает распределительным свойством по отношению к сложению

4. Числовой множитель λ можно выносить за знак векторного произведения

Векторное произведение векторов, заданных координатами

Пусть векторы a и b заданы своими координатами в базисе i,j, k: а = < х₁, у₁, z₁>, b = < х₂, у₂, z₂ >. Пользуясь распределительным свойством векторного произведения, находим (3)

Выпишем векторные произведения координатных ортов (рис. 35):

Поэтому для векторного произведения векторов a и b получаем из формулы (3) следующее выражение (4)

Формулу (4) можно записать в символической, легко запоминающейся форме, если воспользоваться определителем 3-го порядка: (5)

Разлагая этот определитель по элементам 1-й строки, получим (4). Примеры:

1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а = i + j- k, b = 2i + j- k.

Искомая площадь = |[а, b]. Поэтому находим

2. Найти площадь треугольника ОАВ (рис.36).

Ясно, что площадь S∆ треугольника ОАВ равна половине площади S параллелограмма О АС В. Вычисляя векторное произведение [a, b] векторов a= и b = , получаем

Замечание:

Векторное произведение не ассоциативно, т.е. равенство [[а, b], с] = [а, b,с]] в общем случае неверно. Например, при а = i, b = j. c= j имеем

Смешанное произведение векторов

Пусть имеем три вектора а, b и с. Перемножим векторы а и b векторно. В результате получим вектор [а, b). Умножим его скалярно на вектор с:

([a, b], с).

Число ([а, b], с) называется смешанным произведением векторов а, b, с и обозначается символом (а, b, с).

Геометрический смысл смешанного произведения

Отложим векторы а, b и с от общей точки О (рис. 37). Если все четыре точки О, А, В, С лежат в одной плоскости (векторы a, b и с называются в этом случае компланарными), то смешанное произведение ([а, b], с) = 0. Это следует из того, что вектор [а, b] перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а и b, а значит, и вектору с.

Если же точки О, А, В, С не лежат в одной плоскости (векторы a, b и с некомпланарны), построим на ребрах OA, OB и ОС параллелепипед (рис. 38 а). По определению векторного произведения имеем

где — площадь параллелограмма OADB, а с — единичный вектор, перпендикулярный векторам а и b и такой, что тройка а, b, с — правая, т. е. векторы a, b и с расположены соответственно как большой, указательный и средний пальцы правой руки (рис. 38 6).

Умножая обе части последнего равенства справа скалярно на вектор с, получаем, что

Число ргe с равно высоте h построенного параллелепипеда, взятого со знаком « + », если угол ip между векторами с и с острый (тройка а, b, с — правая), и со знаком «-», если угол — тупой (тройка а, b, с — левая), так что

Тем самым, смешанное произведение векторов a, b и с равно объему V параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах, если тройка а, b, с — правая, и -V, если тройка а, b, с — левая.

Исходя из геометрического смысла смешанного произведения, можно заключить, что, перемножая те же векторы a, b и с в любом другом порядке, мы всегда будем О получать либо +V, либо -V. Знак произведения будет зависеть лишь от того, какую тройку образуют перемножаемые векторы — правую или левую. Если векторы а, b, с образуют правую тройку, то правыми будут также тройки b, с, а и с, а, b. В то же время все три тройки b, а, с; а, с, b и с, b, а — левые. Тем самым,

(а, b, с) = (b, с, а) = (с, a,b) = -(b, а, с) = -(а, с, b) = -(с, b, а).

Еще раз подчеркнем, что смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда перемножаемые векторы а, b, с компланарны:

Смешанное произведение в координатах

Пусть векторы а, b, с заданы своими координатами в базисе i, j, k:

Найдем выражение для их смешанного произведения (а, b, с). Имеем

— смешанное произведение векторов, заданных своими координатами в базисе i, j, k, равно определителю третьего порядка, строки которого составлены соответственно из координат первого, второго и третьего из перемножаемых векторов.

Пример:

Проверить, компланарны ли векторы

Рассматриваемые векторы будут компланарны или некомпланарны в зависимости от того, будет равен нулю или нет определитель

Разлагая его по элементам первой строки, получим

Двойное векторное произведение

Двойное векторное произведение [а, [b, с]] представляет собой вектор, перпендикулярный к векторам а и [b, с]. Поэтому он лежит в плоскости векторов b и с и может быть разложен по этим векторам. Можно показать, что справедлива формула

[а, [b, с]] = b(а, с) — с(а, b).

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

[spoiler title=”источники:”]

http://megamozg.com/task/31613

http://lfirmal.com/vektornaya-algebra-osnovnyie-ponyatiya-i-opredeleniya/

[/spoiler]

1) М-середина отрезка АС, значит М((-2+8)/2;(0-4)/2;(1+9)/2), М(3;-2;5), вектор ВМ имеет координаты: (3+1;-2–2;5-3) или (4;-4;2)

2) Пусть средняя линия MN. N- середина ВС, аналогично пункту 1 находим координаты точки N: ((-1+8)/2;(2-4)/2; (3+9)/2) или (3,5;-1;6). Тогда длина отрезка MN равна корню квадратному из выражения (3,5-3)2+(-1+2)2+(6-5)2 (тут каждая скобка в квадрате!), равно корню квадратному из 2,25 или просто 1,5.

3) Для нахождения координаты вершины D параллелограмма ABCD составьте выражения: длина отрезка АС равна длине отрезка BD, т.е. (8+2)2+(-4-0)2+(9-1)2=(x+1)2+(y-2)2+(z-3)2, где (x;y;z) – координаты точки D. Аналогично выражения: длина отрезка АВ равна длине отрезка CD. А потом, например, длина отрезка AN равна длине отрезка ND. Составьте и решите систему из трех уравнений с тремя неизвестными. Сложно, не спорю!))

Содержание:

Векторная алгебра

Векторная алгебра – это раздел векторного исчисления, изучающий линейные операции с векторами и их геометрические свойства; часть линейной алгебры, занимающаяся векторными пространствами; различные векторные алгебры XIX века (например, кватернионов, бикватернионов, сплит-кватернионов).

Векторы и линейные операции над ними

Займемся теперь таким важным как в самой математике, так и в ее многочисленных приложениях, понятием вектора.

Определение: Вектором, на плоскости или в пространстве называется отрезок прямой с заданным на нем направлением, т. е. одна из его граничных точек считается начальной, а вторая – конечной.

Обозначать векторы мы будем строчными латинскими буквами

Длина отрезка, изображающего вектор называется его длиной и обозначается через Вектор с совпадающими начальной и конечной точками называется нуль-вектором. Для него используется обозначение

По определению, два вектора считаются равными, если один из них можно преобразовать в другой с помощью параллельного переноса.

Учитывая приведенное определение, всюду в дальнейшем мы без специальных оговорок будем перемещать вектор параллельным переносом в любую удобную для нас точку.

Два вектора называются коллинеарными (обозначение ), если отрезки их изображающие параллельны.

Аналогично, векторы а и b называются ортогональными (обозначение ), если соответствующие отрезки перпендикулярны.

Три вектора называются компланарными, если после приведения их общему началу, они будут расположены в одной плоскости.

Углом между векторами приведенными к общему началу, называется меньший из двух углов между соответствующими отрезками. Обозначать угол мы будем строчными греческими буквами … или через

Два ненулевых вектора мы будем считать одинаково направленными, если и противоположно направленными, если

Введем теперь линейные операции над векторами.

а) Умножение числа на вектор.

Произведением действительного числа на векторназывается вектор длина которого равна а направление его совпадает с направлением вектора если и имеет противоположное с ним направление, если Если или

В частности, вектор обозначается через и называется вектором, противоположным вектору

Если то произведение мы будем иногда записывать в виде

Из приведенного определения сразу же следует, что коллинеарные векторы линейно связаны, т. е. существует константа такая,что  В качестве такой константы следует

взять число Если то В частности, если то вектором единичной длины с направлением данного вектора является вектор

b) Сложение векторов.

Суммой двух векторов называется вектор который находится по правилу треугольника

или по равносильному ему правилу параллелограмма

Вектор называется разностью векторов

Свойства линейных операций над векторами аналогичны соответствующим свойствам действительных чисел.

Проекцией вектора на вектор называется число

Геометрически очевидны следующие свойства проекции:

Пример №1

Пусть Е и F – середины сторон AD и ВС соответственно выпуклого четырехугольника ABCD. Доказать, что

Доказательство. Из четырехугольников EDCF и EABF по правил}’ сложения векторов получим:

Сложив данные равенства и учитывая, что будем иметь:

что и требовалось.

Базис и декартова система координат

Определение: Базисом на плоскости называется упорядоченная пара неколлинеарных векторов. Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Обозначение: — базис на плоскости, — базис в пространстве. Всюду в дальнейшем, не оговаривая это особо, будем рассматривать только положительно ориентированные базисы, т. е. базисы, у которых кратчайший поворот от вектора к вектору совершается против часовой стрелки, если наблюдение ведется со стороны вектораСформулируем теперь фундаментальное свойство базиса.

Теорема. Любой вектор единственным образом разлагается по базису, т. е. представляется в виде где действительные числа – координаты вектора в базисе

Приведем геометрическое доказательство этого утверждения.

Вектор можно единственным образом представить как большую диагональ параллелепипеда, ребра которого, параллельны базисным векторам. Тогда по правилу сложения векторов В виду коллинеарности векторов соответствующим базисным векторам, мы можем записать, что — некоторые действительные числа. Отсюда и следует искомое разложение.

Если базис зафиксирован, то факт, что вектор а в этом базисе имеет координаты коротко записывается как

Из доказанной теоремы следует, что при выполнении линейных операций над векторами точно также преобразуются и их координаты, т. е. если если Отсюда, в частности, следует, что два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны, т. е.

Рассмотрим теперь ортонормированный базис т.е. базис, в котором все векторы имеют единичную длин}’ и попарно ортогональны. Векторы этого базиса мы будем называть ортами. Пусть в этом базисе

Как видно из чертежа, координаты вектора в ортонормированном базисе представляют собой проекции этого вектора на соответствующие орты. т. е.

Величины т. е. косинусы углов, которые образует данный вектор с ортами к соответственно, называются направляющими косинусами вектора Единичный вектор имеет координаты

Очевидно также, что

Свяжем теперь с ортонормированным базисом декартову (прямоугольную) систему координат. Для этого поместим начала ортов в некоторую точку О, ось Ох (абсцисс) направим вдоль орта ось  (ординат) — вдоль орта наконец, ось (аппликат) направим вдоль орта

В выбранной системе координат координаты радиуса-вектора  мы будем называть координатами точки М и записывать

Если известны координаты начальной и конечной точек вектора, то из равенства слезет, что его координаты равны

и, значит, расстояние между точками вычисляется по формуле

Найдем теперь координаты точки М, делящей отрезок с концами в точках в данном

отношении Так как  Отсюда, переходя к координатам получим:

Следовательно, координаты искомой точки вычисляются по формулам:

Найдем, в частности, координаты середины отрезка. Здесь А = 1, поэтому

Пример №2

Треугольник задан координатами своих вершин Найти координаты точки пересечения его медиан. Решение.

Пусть – середина отрезка – точка пересечения медиан. Тогда

По известному свойству точки пересечения медиан и потому

Подставив сюда найденные координаты точки ползучим:

Таким образом, координаты точки пересечения медиан треугольника равны средним арифметическим соответствующих координат его вершин.

Замечание. Базисом n-мерного пространства называется упорядоченная совокупность n векторов

обладающая тем свойством, что любой вектор единственным образом представляется в виде линейной комбинации базисных векторов (1), т.е. существуют действительные числа (координаты векторав базисе (1)) такие, что

В качестве базиса в мы можем взять, например, векторы

так как, очевидно, любой вектор однозначно представляется в виде (2).

Скалярное произведение векторов

Определение: Скалярным произведением векторов называется число

Из этого определения сразу же следует, что

и таким образом, если один из векторов имеет единичную длину, то их скалярное произведение равно проекции второго вектора на единичный.

Отметим основные свойства скалярного произведения.

Первые два и последнее свойства немедленно следуют из определения скалярного произведения, а третье и четвертое – из сформулированных в §1 свойств проекции.

Найдем теперь представление скалярного произведения в координатах. Пусть в орто-нормированном базисе векторы имеют координаты Заметив, что по свойствам 1) и 5) скалярного произведения

перемножим векторыскалярно, используя свойства 2) – 4):

Таким образом, скалярное произведение в ортонормированном базисе равно сумме произведений соответствующих координат векторов.

Пример №3

Разложить вектор на две ортогональные составляющие, одна из которых коллинеарна вектору

Решение.

Из чертежа следует, что – искомое разложение. Найдем векторы Составляющая коллинеарная вектору равна, очевидно, вектору проекции и, следовательно,

Тогда вторая ортогональная составляющая вектора равна

В заключение параграфа рассмотрим одно простое приложение скалярного произведения в механике. Пусть под действием постоянной силы материальная тотп<а переместилась по прямой из положения В в положение С.

Найдем работу этой силы. Для этого разложим вектор силы на две ортогональные составляющие. одна из которых коллинеарна вектору перемещения Тогда

Составляющая работы не совершает, следовательно, работа силы равна работе составляющей и, таким образом,

Окончательно, работа силы, под действием которой материальная точка перемещается по отрезку прямой из положения В в положение С, вычисляется по формуле:

Замечание. Скалярным произведением векторов n-мерного пространстваназывается число равное произведению первого вектора, записанного строкой, на второй вектор, записанный столбцом. Таким образом, если

то

Несложной проверкой мы можем убедиться в том, что таким образом определенное скалярное произведение в обладает свойствами 2) — 4) скалярного произведения векторов на плоскости или в пространстве.

Длиной вектора называется число

Векторы называются ортогональными, если Векторы

составляют ортонормированный базис пространства , так как каждый из этих векторов имеет единичную длину и все они попарно ортогональны.

Любой вектор мы можем рассматривать как точку

n-мерного пространства с координатами

Взяв еще одну точку соответствующую вектору  мы под расстоянием между точками М и N будем понимать длину вектора  т. е. число

Таким образом переопределенное пространство с расстоянием (2) между точками мы будем называть евклидовым пространством, сохранив для него то же обозначение.

Совокупность точки О(0.0,…, 0) и ортонормированного базиса (1) называется декартовой системой координат евклидова пространства R”. Точка 0(0,0,… ,0) называется, естественно, началом координат.

Векторное произведение векторов

Определение: Векторным произведением некоялинеарных векторов называется вектор такой, что

Из этого определения следует, что площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна длине векторного произведения , т. е.

Сформулируем основные свойства векторного произведения.

Первые два свойства очевидным образом следуют из определения векторного произведения. Доказательство третьего ввиду его громоздкости мы приводить не будем.

Найдем формулу для вычисления векторного произведения в координатах. Пусть векторы и в ортонормированном базисе имеют координаты Учитывая, tito по определению векторного произведения

раскроем скобки в векторном произведении принимая во внимание свойства 1) – 3):

Полученный вектор мы можем записать в виде следующего символического определителя.

вычислять который удобно разложением по первой строке.

Пример №4

Найти составляющую вектора , ортогональную плоскости векторов .

Решение.

Из чертежа видно, что искомая составляющая представляет собой вектор проекции данного вектора на векторное произведение и, следовательно.

Переходим к вычислениям:

Тогда

Среди многочисленных приложений векторного произведения отметим его применение в механике при вычислении момента силы.

Итак, пусть сила приложена к материальной точке В. Моментом этой силы относительно неподвижной точки С называется вектор

Смешанное произведение векторов

Определение: Смешанным произведением трех векторов называется число

Выясним геометрический смысл смешанного произведения для тройки некомпланарных векторов.

По определению смешанного произведения

Поскольку – площадь параллелограмма, построенного на векторах  (§4)

 -высота параллелепипеда построенного на векторах  то

– объем параллелепипеда. Таким образом, абсолютная величина смешанного произведения трех векторов равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе , т.е.  то учитывая формулы для вычисления скалярного и векторного произведений (§3, §4), получим:

Следовательно (глава I. §2, пункт 3, свойство 7)), в координатах смешанное произведение вычисляется по формуле:

Докажем, пользуясь этой формулой, некоторые свойства смешанного произведения.

что следует из свойства 4) определителя (глава I. §2, пункт 3). Таким образом, в смешанном произведении можно менять местами знаки скалярного и векторного произведения, и поэтому для него используется более короткое обозначение . которым мы и будем пользоваться в дальнейшем.

Эти свойства смешанного произведения также являются прямыми следствиями соответствующих свойств определителя.

Докажем еще одно, геометрическое свойство смешанного произведения.

Теорема. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Доказательство. Докажем необходимость условия теоремы. Пусть векторы компланарны. Очевидно, что, если хотя бы один из них равен нулю, то и их смешанное произведение равно нулю. Если же все они ненулевые, то, ввиду их компланарности, векторное произведение ортогонально вектору с и, следовательно, . Аналогично проверяется достаточность условия теоремы.

Следствие. Три вектора образуют базис в том и только в том случае, когда их смешанное произведение отлично от нуля.

Заметим, кроме того, что, если , то угол между векторами -острый (тупой) и, следовательно, базис является положительно (отрицательно) ориентированным.

Пример №5

Доказать, что пять точек

расположены в одной плоскости.

Решение. Рассмотрим векторы Так как

то по доказанной выше теореме эти векторы компланарны и, стало быть. точки находятся в одной плоскости Аналогично покажем, что и точки также принадлежат одной плоскости . Действительно,

так как первая и третья строки в определителе пропорциональны. Плоскости имеют три общие точки , следовательно, они совпадают и, таким образом, все пять точек расположены в одной плоскости.

Векторы и линейные операции над ними

Определение: Вектором называется направленный отрезок (рис. 1).  
   А – начало, В – конец вектора  
                     Рис. 1 
  Так как вектор определяется его началом и концом, то можно сформулировать эквивалентное данному определение. 

Определение: Вектором называется упорядоченная пара точек. 

Определение: Длина вектора   – расстояние между его началом и концом. 

Определение:  Два  вектора  называются  равными,  если  они  имеют равные длины и одинаково направлены. При этом одинаково направленными называются векторы, лежащие на параллельных прямых и имеющие одинаковые направления. 
Из этого определения следует, что точка приложения вектора значения не имеет, то есть вектор не изменяется, если его перемещать параллельно самому себе, сохраняя  длину. Такие векторы называются свободными. 
Если начало и конец вектора совпадают, он называется нулевым: 
 – нулевой вектор: его направление не определено, а длина   . 

Определение: Векторы    называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых:
Так как направление  нулевого вектора не определено, то он коллинеарен любому другому. 

Определение: Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. 
Нулевой вектор компланарен любой системе компланарных векторов.

Линейные операции над векторами

Линейными  называются  операции  сложения  векторов  и  умножения  на число. 

Сложение

а)  Правило  параллелограмма  (рис.2): начала     совмещаются в одной точке, и   – диагональ параллелограмма, построенного на   . 

б) Правило треугольника  (рис. 3): начало    совмещается  с  концом  направлен от начала     к концу   . 

в) Правило сложения нескольких векторов (рис. 4).                                                                   

Вектор     замыкает ломаную линию, построенную таким образом:  конец  предыдущего  вектора  совмещается  с  началом  последующего и направлен от начала к концу . 

Умножение на число

Определение: Произведением вектора    на число называется вектор , aудовлетворяющий условиям: 
а)       
б)   

в) , если  ,a если  , если . 

Произведение  называется  вектором,  противоположным вектору . Очевидно,   . 
 

Определение:  Разностью  называется    сумма    вектора    и  вектора, противоположного (рис. 5). 

Начала    совмещаются в одной точке, и   направлен от конца    к концу   . 

Свойства линейных операций

 
 

Определение:  Результат  конечного  числа  линейных  операций  над векторами называется их линейной комбинацией:  –  линейная  комбинация  векторов   с  коэффициентами  

Пример №6

Пусть  М – точка пересечения медиан треугольника АВС, а О – произвольная точка пространства. Представить  как линейную комбинацию  
(рис. 6). 

.  Так  как  точка  пересечения  медиан  треугольника делит их в отношении 2:1, считая от вершины, то  из правила параллелограмма следует, что
По правилу треугольника , то есть  – линейная комбинация   с коэффициентами
 

Теорема:  Пусть   –  неколлинеарные  векторы.  Тогда  любой компланарный с ними вектор  c  может быть представлен в виде  

где коэффициенты (2.1) определяются единственным образом. 
Представление вектора  в виде (2.1) называется разложением  его по двум неколлинеарным векторам. 

Доказательство:

1. Пусть среди   есть два коллинеарных, например:
2. Пусть среди   коллинеарных нет, тогда совместим начала всех трех векторов  в одной точке. Построим параллелограмм, диагональ которого совпадает  с     ,  а  стороны  параллельны  прямым, на которых лежат    (рис. 7). 

Тогда  c  но Поэтому

Докажем единственность разложения. Предположим, что  и    Тогда,  вычитая  одно  равенство    из  другого,  получим:

Если , что противоречит условию. Теорема доказана. 

Теорема: Пусть    – некомпланарные векторы. Тогда любой вектор    может быть представлен в виде  

причем единственным образом. 
Представление  вектора   в  виде (2.2) называется  разложением  его по трем некомпланарным.  
Доказать самостоятельно. 

Проекция вектора на ось

Проекция вектора на ось — это скалярная величина (число), равная длине геометрической проекции вектора, если направление оси и геометрической проекции совпадают; или число, противоположное длине геометрической проекции вектора, если направления геометрической проекции и оси — противоположные.

Координаты вектора

Осью называется  направленная прямая. 
 

Определение:  Ортом  оси     называется  единичный  вектор   
направление которого совпадает с направлением оси. 

Определение: Ортогональной проекцией точки М на ось    называется основание перпендикуляра, опущенного из М на . 

Определение: Ортогональной проекцией вектора    на ось  называется  длина  отрезка    этой  оси,  заключенного  между  ортогональными проекциями его начала и конца, взятая со знаком  «+», если направление  вектора   совпадает с направлением оси, и со знаком «–», если эти направления противоположны (рис. 8).  

Определение: Углом между вектором и осью называется угол, на который  нужно  повернуть  в  положительном  направлении  ось  до  совпадения  ее направления с направлением вектора (положительным считается поворот против часовой стрелки). 

Очевидно, проекцию вектора на ось можно найти по формуле     

Можно показать, что проекция линейной комбинации векторов равна та-
кой же линейной комбинации их проекций: 

В частности, проекция суммы векторов равна сумме их проекций:  
                                                                          

Рассмотрим  прямоугольную  декартову  систему  координат ХОY. Обозначим    – орт оси ОХ,    – орт оси OY. Выберем точку  A , и пусть  x, y – проекции ее на ОХ и OY,то есть координаты этой точки (рис. 9). 
  
Аналогично в пространственной системе  OXYZ    – орты координатных осей) (рис. 10): 

– разложение    по ортам  координатных осей (единственно по теореме 2).

Таким  образом, если задана прямоугольная декартова система координат  (пдск),  то  со  всяким  пространственным  вектором     можно  связать три числа  x,y,z  (или два числа  x, y, если вектор плоский), которые являются коэффициентами разложения этого вектора по ортам координатных осей, а также являются проекциями этого вектора на координатные оси. 
 

Определение: Координатами вектора  в любой пдск называются коэффициенты в разложении этого вектора по ортам координатных осей. 

Таким образом, можно дать еще одно определение вектора. 
 

Определение:  Вектором  называется  упорядоченная  тройка  чисел (упорядоченная пара, если вектор плоский).  

Пример №7

Если    и  наоборот,  если 

Так  как, с одной стороны, вектор  – объект, имеющий длину и направление, а с другой, – упорядоченная  тройка  чисел,  то,  зная  длину  и  направление,  можно  определить  его координаты  и  наоборот.  Направление  вектора  в  заданной  системе  координат  характеризуется  его  направляющими  косинусами (рис. 11):  

Из этих формул очевидно следует  основное  свойство  направляющих  косинусов:    

Если известны длина    и направляющие  косинусы  вектора,  то  его  координаты вычисляются по формулам:       

Пусть  AB – произвольный вектор в системе OXYZ, OA,OB  – радиус-векторы его начала и конца,   

Тогда      

(см. свойства  линейных  операций  над  векторами).  Таким  образом,, то есть для определения координат вектора надо из координат его конца вычесть координаты начала. 
 

Определение: Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов (рис. 13).

 

Если    – базис, то  – другой базис, так как изменился порядок следования векторов. 
 

Определение: Базис называется прямоугольным декартовым, если базисные  векторы  взаимно  перпендикулярны и длина каждого равна 1. 
Такой базис принято обозначать  
Из теоремы 2 следует, что всякий вектор   может быть разложен по базису  ,  то  есть  представлен  в  виде: .  Числа  x,y,z  называются координатами   в базисе  . 

Определение: Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.  

Если   –  базис,  то  представление  вектора  в  виде называется разложением     по базису  и  x, y – координаты  в этом базисе.  
 

Определение:  Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор этой прямой. 

Деление отрезка в данном отношении

Рассмотрим задачу: дан отрезок   AB . Найти точку  D , которая делит   AB  в заданном отношении (рис. 14).     

Введем прямоугольную декартову систему  координат  (пдск)  OXYZ,  тогда  

Обозначим  
 

Так  как     (лежат  на  одной  прямой)  и    то 

Переходя от этого векторного  равенства к равенству соответствующих координат, получим:   

 

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если  D  – середина отрезка  AB , то k 1, поэтому 

 

ЗАМЕЧАНИЕ 2.  Если k < 0,  , то точка D  лежит за пределами AB : так как   , то при

В этом случае  

 

Скалярное произведение векторов

Определение:  Скалярным произведением векторов    называется скаляр (число), равный  

Скалярное произведение обозначается так:     или 

Так как (рис. 16) или  то
 

Свойства скалярного произведения

1. – очевидно из определения.  
2.
 

Доказательство:

3.

Доказательство:

а) – очевидно.   

б)

в) В этом случае   

4.
Отсюда следует, что
  Необходимым  и  достаточным  условием  перпендикулярности  векторов является равенство нулю их скалярного произведения:  

5.
 

Доказательство:
а) пусть
б) пусть
В первом и втором случаях один из сомножителей – нулевой вектор. Его направление не определено, поэтому можно считать, что  . В третьем случае 
Используя свойства 4 и 5, составим таблицу вычисления скалярного произведения базисных векторов

Пусть в некоторой пдск . Найдем скалярное  произведение этих векторов: 

Пример №8

Найти, при каком значении  x  векторы  перпендикулярны.  
Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю (свойство 5), поэтому найдем скалярное произведение по формуле (2.5):

Пример №9

Найти угол между биссектрисой   AD и медианой  если
Так как   
то  
Найдем координаты векторов . Точка  M  – середина  BC ,  поэтому по формулам (2.4)
По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника
Чтобы найти k , вычислим длины  AC  и  AB :  

Разделим отрезок CB в данном отношении по формулам (2.3):  

отсюда
Заметим,  что  .  Это  замечание  позволит  нам  не иметь дело с дробями, так как    

Пример №10

Найти
Воспользуемся свойствами 1–4 скалярного произведения: 

Отсюда
 

ЗАМЕЧАНИЕ. Так как работа силы    по перемещению материальной точки вдоль вектора    вычисляется по формуле
 

Определение векторного произведения векторов

Определение:  Тройка  некомпланарных векторов , имеющих общее  начало,  называется  правой  (левой),  если  конца  третьего  вектора    c  вращение  первого  вектора   ко второму  вектору    по  кратчайшему  пути наблюдается против (по) часовой стрелки (рис. 17). 

Определение:  Векторным  произведением  вектора   на  вектор  называется вектор, удовлетворяющий условиям: 

1.  (  перпендикулярен плоскости векторов  и ). 
2. Направление  таково, что тройка– правая.
3.  

Векторное произведение обозначается так:
 

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Геометрический смысл векторного произведения: длина  векторного  произведения  численно  равна  площади  параллелограмма,  построенного на этих векторах. 

Это следует из того, что площадь параллелограмма равна произведению длин смежных сторон на синус угла между ними. 
Заметим, что 

Таким  образом,  длину  вектора  векторного  произведения  можно  вычислить с помощью скалярного произведения по формуле  

 

Пример №11

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

 По формуле (2.7):
 

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Направление вектора    можно также (кроме п.2) определить по правилу винта: направление вектора     совпадает с направлением поступательного  движения  винта  в правой  резьбой  при  вращении  его в сторону  поворота первого вектора   ко второму  вектору   по кратчайшему пути (рис. 19). 

Свойства векторного произведения

1.
 

Доказательство:
а)пусть  или . В первом и втором случаях один из сомножителей – нулевой вектор. 
Его  направление  не  определено,  поэтому  можно  считать,  что  .  Если 
б)пусть 

2.   
 

Доказательство:  По  определению  направления  векторов   и  противоположны,  а  модули  равны,  значит,  векторы  отличаются  лишь знаком. 

3.  –  свойство  линейности  векторного произведения по первому сомножителю (без доказательства). 
Векторное произведение также линейно и по второму сомножителю. 

Используя определение и свойства 1 и 2, составим таблицу вычисления векторного произведения базисных векторов : векторы, стоящие в левом столбце, умножаются на соответствующие векторы верхней строки (рис. 20).                                 
                                                                                          
Пусть  в некоторой пдск . Найдем векторное произведение этих векторов: 

Заметим, что это выражение можно получить, вычислив символический определитель (сделать это можно по-разному, но лучше разложить по первой строке): 

Таким образом,   
 
 

Пример №12

Вычислить векторное произведение векторов
По формуле (2.8):
Заметим,  что  площадь  треугольника,  построенного  на  векторах   , можно вычислить двумя способами: как половину длины найденного вектора или используя формулу (2.7). Заметим, что

или 
 
 

Пример №13

Вычислить  площадь  параллелограмма,  построенного  на  векторах  
Так как  , то вычислим векторное произведение, используя его свойства:
Отсюда  

Определение смешанного произведения векторов

Определение: Смешанным произведением векторов называется число  – скалярное произведение a  на векторное произведение
Смешанное произведение обозначается так:

Пусть в некоторой пдск
Обозначим      

Тогда   

по 7 свойству определителей. 
Таким образом,   
                          

По  определению  скалярного  произведения 
Совместим начала всех трех векторов в одной точке. Тогда (рис. 21) 
 – площадь параллелограмма,  
 – высота параллелепипеда,  
 – объем параллелепипеда.  

Геометрический  смысл  смешанного  произведения:  модуль  смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях,  при  этом  –  правая  тройка,  и  – левая тройка. 

 

Свойства смешанного произведения

1. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является  равенство  нулю  их  смешанного  произведения:    компланарны  

 

Доказательство:   а) компланарны
Если компланарны, то на них нельзя построить параллелепипед, а потому
б)компланарны.   

Во всех трех случаях   компланарны: в частности,  если  параллелен плоскости векторов  , что означает их компланарность. 

2.  Круговая  перестановка  сомножителей  в  смешанном  произведении  не изменяет  его  величины.  Перестановка  соседних  сомножителей  изменяет  его знак, не изменяя абсолютной величины:  

Доказательство следует из формулы (2.9) и свойства 3 определителей, при этом круговая перестановка сомножителей соответствует двойной перемене строк в определителе, а потому оставляет его неизменным.  

3. В смешанном произведении векторное и скалярное произведения можно менять местами:
 

Доказательство:  из свойства 2 смешанного произведения и свойства 1 скалярного получим:

4.  Смешанное произведение линейно по каждому из трех сомножителей. 
 – линейность по первому сомножителю. 

Доказательство следует из формулы (2.9) и свойств определителей. 

Пример №14

Найти  объем  тетраэдра,  построенного  на  векторах  
, и его высоту, перпендикулярную плоскости векторов . 
Объем тетраэдра в 6 раз меньше объема параллелепипеда, построенного на этих векторах, поэтому

Отсюда (заметим, что – левая тройка, так как смешанное произведение отрицательно). 
Чтобы найти высоту, воспользуемся формулой   
 
По формуле (2.7)

Лекции по предметам:

1. Математика
2. Алгебра
3. Линейная алгебра
4. Геометрия
5. Аналитическая геометрия
6. Высшая математика
7. Дискретная математика
8. Математический анализ
9. Теория вероятностей
10. Математическая статистика
11. Математическая логика

Нахождение координат вектора в данном базисе

ЗАДАЧА № 8

В параллелепипеде
АВСДА₁В₁С₁Д₁
К – середина ребра АА₁,
точка М лежит на ребре ВС и ВМ = 2/3 ВС, О
= А₁С₁

В₁Д₁.
Найти координаты вектора ДО
в базисе (ВК,
ВА, ВМ) .

РЕШЕНИЕ

Так как координаты
вектора в данном базисе это коэффициенты
разложения этого вектора по векторам
базиса, то данную задачу можно
сформулировать так: выразить вектор ДО
через векторы ВК,
ВА, ВМ, поэтому
будем действовать так же, как при решении
задачи № 3.

1) ДО
= ДД₁ +
Д₁О
= АА₁
+ ½ Д₁В₁
= 2 АК
+ ½ ДВ.
Т.е.

ДО = 2
АК
+ ½ ДВ.
(1).

2) Выразим вектор
АК
через базисные векторы.

АК = АВ + ВК =
-ВА + ВК (2)

3) Выразим вектор
ДВ
через базисные векторы.

ДВ = ДА + АВ = СВ
+ АВ = -3/2 ВМ
– ВА (3)

4) Подставим (2) и
(3) в (1), получим

ДО
= 2(-ВА + ВК
) + ½ (-3/2 ВМ –
ВА ) = 2 ВК
– 5/2 ВА
– 3/4 ВМ

Следовательно,
первая координата вектора ДО
равна 2, вторая координата равна -5/2.
третья координата равна -3/4, т.е. ДО(2,
-5/2, -3/4 ).

ОТВЕТ. ДО
(2, -5/2, -3/4)

33. АВСД –
тетраэдр. М и К – точки пересечения
медиан граней ВСД и АДС, N
– середина АВ, Р

ВС и ВР :
РС = 1 : 2.
Найти координаты векторов АМ,
NР,
КР, NМ
в базисе (АВ,
АС, АД) .

34. АВСД –
тетраэдр. N
и К середины ребер ВС и АС. Найти
координаты векторов АД
и СА
в базисе (ДВ,
Д N,
ДК) .

35. В тетраэдре
АВСД М- середина ВС, а N
– точка пересечения медиан грани АДС.
Найти координаты векторов ДС
и ВN
в базисе (АВ,
АД, АМ).

36. В тетраэдре
АВСД N
– середина ВС, а М – точка пересечения
медиан грани ВСД. Найти координаты
векторов С
N
и МК
в базисе ( АМ,
АВ, АД).

37.АВСДА₁В₁С₁Д₁
– параллелепипед. А₁С₁

В1Д1 = М, К – середина ДД1, Р

ВС
и ВР = 2/3 ВС. Найти координаты векторов
ВК, МС, А₁Р
в базисе (АВ,
АД, АД₁)

38. АВСД А₁В₁С₁Д₁
– параллелепипед. АС

ВД = М . Найти координаты векторов В1С
и
АС1, в базисе
(Д₁М,
Д₁Д,
Д₁А).

39. АВСД А₁В₁С₁Д₁
– параллелепипед. А₁С₁

В1Д₁
= М.Найти координаты векторов ДС,
Д₁В,
С₁А
в базисе (МА,
МВ, МС) .

1. SАВСД – правильная
   четырехугольная пирамида с основание
   АВС Д. К
   SА
   и SК = 1/3 SА , N
   – середина SС, АС

   ВД = М. Найти координаты векторов СР
   и А N
   в базисе
   (SК, SД, SМ).

2. SАВСД – правильная
   четырехугольная пирамида с основание
   АВС Д. АС

   ВД = М, О – середина SМ, N
   – точка пересечения медиан грани ВСS.
   Найти координаты вектора Д
   N
   в базисе (АS,
   АО, АВ)

Скалярное произведение векторов

Скалярным
произведением векторов
а
и b
называется число, равное произведения
длин этих векторов и косинуса угла между
ними

а b
= │а││b│cos


(аb).

Скалярное
произведение векторов обладает следующими
свойствами. Для любых векторов а,
b,
c
и любого
числа λ

1) а
b
= b
a,
2) (a
+ b)
c
= a
c
+ b
c,
3) (λ a)
b
= a
(λ b)
= λ (a
b).

Если
известны координаты векторов а
и b
в ортонормированном базисе {i,
j,
k
}
а(а₁,а₂,а₃),
b(b₁,b₂,b₃),
то имеют место формулы

___________

a
b
= а₁ b₁
+ а₂
b₂
+ а₃ b₃,
│а│=
√а₁²
+ а₂²
+ а₃²

______а₁
b₁
+ а₂
b₂
+ а₃
b₃____

cos

(а,
b)
= √а₁²
+ а₂²
+ а₃²
√b₁²
+ b₂²
+ b₃²

42. АВСД – ромб
с углом А равным 60° и стороной АВ равной
4. Найти скалярное произведение ДА
ДВ.

43. М – точка
пересечения медиан равностороннего
треугольника АВС со стороной равной 2.
Найти скалярное произведение МА
МВ.

44. АВСД – квадрат
стороной равной 5. Найти скалярное
произведение АВ
СА.

ЗАДАЧА
№ 9

Даны неколлинеарные
векторы а и
в. Дать
геометрическое истолкование формулы
(а + в)²
+ (а – в)²
= 2(а²
+ в² )

РЕШЕНИЕ

От произвольной
точки А отложим векторы АВ
= а,
АД
= в
и построим параллелограмм АВСД. Тогда
АВ = ДС = а,
АД = ВС = в
, АС
= а + в, ДВ = а
– в. Так как
скалярный квадрат вектора равен квадрату
его длины, то (а
+ в)²
= |а + в|²
= | АС
|²
=| АС |²,
(а – в)²
= |а – в|²
= | ДВ
|²
= | ДВ |²
,

а²
=|а |²
= | АВ
|²
=
| АС
|²
= | АВ |²
=
| АС |²,
в²
=|в|²
= | АД
|²
=
| ВС
|²
=

| АД |²
=
| ВС |².

Следовательно,
данное равенство
(а
+ в)²
+ (а – в)²
= 2(а²
+ в² )

можно переписать
в виде | АС |²
+ | ДВ |²
= | АВ |²
+ | АС |²
+

+
| АД |²
+
| ВС |²
.Таким образом, данное в условии
равенство имеет следующее геометрическое
истолкование:

В параллелограмме
сумма квадратов диагоналей равна сумме
квадратов всех его сторон. ■

45. Даны неколлинеарные
векторы а и
в . Дать
геометрическое истолкование формул 1)
(а + в)²
– (а – в)²
= 4а
в,
2) (а + в)
(а – в)
= а²
– в² .

46. Какие из
следующих равенств являются верными
для любых входящих в них векторов 1) |а
| а
= а²,
2) (а + в)²
= а²
+ 2ав + в²
, 3) (а
в)²
= а²
в²
?

ЗАДАЧА № 10

Дан базис
{е₁,е₂,е₃}.
Зная координаты векторов а(а₁,а₂,а₃),
в(в₁,в₂,в₃),
длины базисных векторов и углы между
базисными векторами, выразить скалярное
произведение векторов а
и в через
их координаты в данном базисе.

РЕШЕНИЕ

Так как
а(а₁,а₂,а₃),
в(в₁,в₂,в₃),
то по определению координат вектора,
получим: а
= а₁
е₁
+ а₂
е₂
+ а₃
е₃,
в = в₁
е₁
+ в₂
е₂
+ в₃
е₃.
Тогда, подставив в скалярное произведение
а в вместо
векторов а
и в
их разложение по базисным вектора и
используя свойства скалярного
произведения, получим

а в
= (а₁
е₁
+ а₂
е₂
+ а₃
е₃)(в₁
е₁
+ в₂
е₂
+ в₃
е₃)
= а₁
в₁
(е₁е₁)
+ а₂
в₂
(е₂е₂)
+

а₃в₃(
е₃е₃)
+ (а₁в₂
+ а₂в₁)(е₁е₂)
+ (а₁в₃
+ а₃
в₁)(е₁е₃)
+ (а₂в₃
+ а₃в₂)(е₂е₃)
= а₁в₁│е₁│²
+ а₂в₂│е₂│²
+ а₃в₃│е₃│²
+ (а₁в₂
+ а₂в₁)│е₁││е₂│Соs
(е₁,е₂)
+ (а₁в₃
+ а₃в₁)│е₁││е₃│Соs
(е₁,е₃)
+(а₂в₃
+ а₃в₂)│е₂││е₃│Соs
(е₂,е₃).

ОТВЕТ.

а в =
а₁в₁│е₁│²
+ а₂в₂│е₂│²
+ а₃в₃│е₃│²
+ (а₁в₂
+ а₂в₁)│е₁││е₂│Соs
(е₁,е₂)
+ (а₁в₃
+ а₃в₁)│е₁││е₃│Соs
(е₁,е₃)
+(а₂в₃
+ а₃в₂)│е₂││е₃│Соs
(е₂,е₃).

Таким образом,
чтобы найти скалярное произведение
векторов, зная их координаты в произвольном
базисе, надо знать еще длины базисных
векторов и углы между ними.

ЗАМЕЧАНИЕ
Во всех задачах этого пункта будем
считать, что дан ортонормированный
базис

47. а(1,-1,3),
в(2,4,-5),
с(1,-2,1). Найти:
1) а в,
2) | с
|, 3) Соs
(
в, с).

4) (а
+ в + 5с)
· (2в
-4с),
5) (а – в)
· (с
– а)
.

48.В параллелограмме
АВСД АВ(-8,0,6),
ДА(-3,-4,0).
Найти

ВАД.

49. Найти косинусы
углов, образованных вектором а(5,
–
,
3)

с базисными
векторами i,
j,
k.

50. Дан тетраэдр
АВСД. АВ(1,4,1),
АС(2,-3,-2),
АД(0,5,0).
Найти Соs
ВАМ,
где М – середина СД.

51. МАВСД –
четырехугольная пирамида, основание
которой – параллелограмм АВСД. К и Р –
середины сторон АВ и ВС. ВА(6,0,-4),
ВС(4,4,10),
ВМ(1,-2,3).
Найти 1) | АС |, 2) Соs
КМР.

52. В пространственном
четырехугольнике АВСД АВ(1,6,-2),
ВС(5,3,-1),
СД(1,-7,1).
Доказать, что диагонали четырехугольника
перпендикуляры.

53. Дан четырехугольник
АВСД. АВ(6,0,-8),
ВС(0,10,0),
СД(-6,0,8).
Доказать, что этот четырехугольник
является квадратом.

54. Найти длину
медианы АМ треугольника АВС и угол АМВ,
если АВ(1,-1,2),
АС(3,5,-4).

55. Объяснить,
почему для любых векторов а,
в, с не
выполняется равенство (а
в) с
= а
( в с)
? Найти все векторы
а, в, с для
которых это равенство выполняется.

ЗАДАЧА № 11

АД – биссектриса
треугольника АВС. Выразить вектор АД
через векторы АВ
и АС.

РЕШЕНИЕ.

1. АД
   = АВ + ВД
   = АВ
   + х ВС
   = АВ +
   х (АС – АВ)
   или

АД
= АВ
+ х (АС – АВ
) (1)

1. Найдем коэффициент
   х, для которого
   ВД = х ВС.
   Так как
   векторы

ВД
и ВС
сонаправлены,
то коэффициент х положителен. Из
определения произведения вектора на
число получим, что |ВД
| =│х│ | ВС
| = х | ВС
|, а отсюда следует, что

х
=

(2)

3) Так как АД –
биссектриса треугольника АВС, то по
свойству биссектрисы треугольника
получаем, что

=

(3)

=

=

– 1 или

=

+ 1 (4)

Из (3) и (4) следует,
что

=

+ 1 =

,
отсюда и из (2) получаем, что х =

.
Поставляем это значение х в (1) и получаем

АД
= АВ
+

.
(АС – АВ
) = ( 1 –

)
АВ
+

АС
или

АД
=

АВ
+

АС
(5)

ОТВЕТ. Если АД –
биссектриса треугольника АВС, то

АД
=

АВ
+

АС.

ЗАДАЧА № 12

АН – высота
треугольника АВС. Выразить вектор АН
через векторы АВ
и АС.

РЕШЕНИЕ.

В

1) АН
= АВ + ВН
= АВ
+ х ВС
= АВ +
х (АС – АВ)
или

АН
= АВ
+ х (АС – АВ
) (1)

2) Найдем коэффициент
х, для которого
ВН = х ВС.

Так как
АН – высота
треугольника АВС, то АН
ВС,
значит АН
ВС,
поэтому
скалярное произведение АН
ВС = 0. Подставим
в это соотношение вместо АН его выражение
из (1), получим

[АВ
+ х (АС – АВ
) ] ВС
= 0 , по свойству скалярного произведения
можно раскрыть квадратные скобки АВ
ВС + х (АС
– АВ ) ВС
= 0, отсюда

АВ ВС
АВ(АС-АВ)

х = ——————-
или х = – —————– (2)

(АС – АВ)
ВС (АС _ АВ)²

Подставим это
значение х в формулу (1), получим

АВ(АС-АВ)

АН
= АВ
– —————- (АС
– АВ) (3)

(АС
– АВ)²

ОТВЕТ.
Если АН –
высота
треугольника АВС, ТО

АВ(АС
–АВ)

АН
= АВ
– —————– (АС
– АВ)

(АС
– АВ)²

ЗАМЕЧАНИЕ.

1) Если вам хочется
упростить формулу (2), то этого делать
нельзя, т.к
если
числитель и знаменатель дроби есть
скалярные произведения а
в и в
в, то это
числа, равные произведению длин векторов
на косинус угла между ними, кроме того
в векторной алгебре нет действия деления
вектор на вектор.

2) Если вам хочется
упростить формулу (3), то этого делать
нельзя, т.к

второе слагаемое
можно переписать так:

[ АВ(АС
–АВ) ]
(АС
– АВ )

————————————-
,

(АС
–АВ)²

но для скалярного
произведения [а
в] с

а
[в с].,
поэтому квадратные скобки во втором
слагаемом формулы (3) переставить нельзя.

ЗАДАЧА № 13

Дан ортонормированный
базис. В треугольнике АВС АВ(3,0,4),
АС(8,0,-6)
Найти а ) длину высоты АН, б) угол между
медианой АМ и биссектрисой АД.

РЕШЕНИЕ

1) Найдем координаты
вектора АН
и его длину. По задаче № 10

АВ(АС-АВ)

АН
= АВ
– ——————
(АС – АВ).
Сначала найдем, чему равно число х=

(АС
– АВ)²

АВ(АС-АВ)

(АС – АВ)²
. Так как
АВ(3,0, 4) АС(8,
0,-6), то (АС –
АВ)(5,0,-10), то

х =

=

=

.

Тогда АН
= АВ
+ 1/5 (АС – АВ),
отсюда найдем координаты вектора АН.

АН(4,
0, 2), тогда │АН│=

=
2

АМ
АД

2) Воспользуемся
формулой Соs
МАД
= |АМ|
|АД|

3) Найдем координаты
вектора АМ
и его длину.
Так как АМ
= ½ (АВ + АВ),
то АМ(5/2,
3, 2) и |АМ |
=

=

/2.

4)Найдем координаты
вектора АД
и его длину .

По задаче № 9 АД
=

АВ
+

АС.

Так как
АВ(3,0,4) АС(8,
0,-6), поэтому АВ
=│АВ│=
=
5, АС=│АС│=
=10,
тогда АД
= 2/3 АВ
+ 1/3 АС, поэтому

АД(14
/ 3, 0, 2 / 3)

и │АД│=

=

АМ
АД
70/6 + 0 +
4/3 39

5) Соs
МАД
= |АМ|
|АД|
= 10
/6
= 720

ОТВЕТ. |АМ
| =
/
2, Соs
МАД
= 39

720

56. Найти длины
медианы АД и высоты АН треугольника
АВС, если АВ(0,4,0),
АС(-3,
0,0).

57. В треугольнике
АВС АВ(2,1,3),
АС(0,1,1)
Найти косинус угла между медианой АМ
и высотой АН.

58. АМ и АД медиана
и биссектриса треугольника АВС. Найти
косинус угла МАД, если АВ(0,4,0),
АС(-3,
0,0).

59. В треугольнике
АВС АМ – медиана, АД –биссектриса, АН –
высота. Найти длину АМ и косинус угла
НАД, если АВ(2,0,0),
АС(0,0,4).

ЗАМЕЧАНИЕ ДЛЯ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 59 – 64

Если дан
многогранник, в котором известны длины
трех некомпланарных ребер, выходящих
из одной вершины, и углы между ними, то
надо рассмотреть базис {а,в,с}, который
порождается этими ребрам

60. В параллелепипеде
АВСД А₁В₁С₁Д₁
|АВ |=
2, |АД |=
|АА₁
| = 1,

А₁АВ
=

А₁АД
=
60°,

ВАД
= 30°. Найти длину ВД₁.

61. В прямоугольном
параллелепипеде АВСД А₁В₁С₁Д₁
|АВ |=
а, |АД |=в,
|АА₁
| = с. Найти
угол между прямыми АС₁
и В₁Д₁.

62. В тетраэдре
АВСД |АВ |=
|АС |=
|АД |
= 3,

ВАД
=

САД
= 90°,

САВ
= 60°. Найти длину ВМ, где М – середина
ДС.

63. В тетраэдре
АВСД |ДА |=
|ДВ |=
|ДС |
= 2,

АДВ
=

АДС
= 90°,

СДВ
= 60°. Найти длину ДМ, где М – точка
пересечения медиан грани АВС.

64. В тетраэдре
АВСД |ДА |=1,
|ДВ |=
2, |ДС |
= 3,

АДС
=

ВДС
=

АДВ
= 60°. Найти угол между ДМ и ВС.

65. В правильном
тетраэдре АВСД, в котором |АВ| = 3, М –
точка пересечения медиан грани АВС, Р
– середина АД. Найти длину МР.

Для начала рассмотрим треугольник ABD. Достроим его до параллелограмма ABED, так что $%overrightarrow{CB}+overrightarrow{CD}=overrightarrow{CE}$%. Тогда $%overrightarrow{CN}=1/2overrightarrow{CE}=1/2overrightarrow{CB}+1/2overrightarrow{CD}$%, т.к. точка E – середина стороны BD и является точкой пересечения диагоналей парал-грамма ABED.

Теперь рассмотрим треугольник ACD. Пусть вектор CL – медиана треугольника. Аналогично вектору CN, это половина суммы векторов CA и CD. Также известно, что медиана треугольника делится точкой пересечения с другими медианами в отношении 2:1, считая от угла, то есть $$overrightarrow{CM}=2/3overrightarrow{CL}=2/3(1/2(overrightarrow{CA}+overrightarrow{CD}))=1/3overrightarrow{CA}+1/3overrightarrow{CD}$$

Из векторов CN и СM можно найти вектор NM:
$$overrightarrow{NM}=overrightarrow{CM}-overrightarrow{CN}=1/2overrightarrow{CB}+1/2overrightarrow{CD}-(1/3overrightarrow{CA}+1/3overrightarrow{CD})=$$
$$=-1/3overrightarrow{CA}+1/2overrightarrow{CB}-1/6overrightarrow{CD}$$
Т.о., координаты вектора NM в базисе {CA, CB, CD}: {-1/3;1/2;-1/6}