Как найти координаты вектора с коэффициентом

План урока:

Разложение векторов

Координаты векторов

Сложение и вычитание векторов

Признак коллинеарности векторов

Разложение векторов

Заметим, что если два вектора a и b коллинеарны, то обязательно найдется такое число k, для которого будет справедливо равенство:

Длина а составляет 6 клеток, а длина b – 9 клеток, при этом они сонаправлены. Получается, что b длиннее a в 9/6 = 1,5 раза, а потому можно записать:

Мы смогли выразить b через а. Иначе можно сказать, что мы разложили вектор b по вектору a. Можно и наоборот, выразить b через a:

Теперь посмотрим на вектора с и d. Их длины составляют 4 и 8 клеток, то есть отличаются в 2 раза, при этом они противоположно направлены. Поэтому эти вектора можно выразить так:

Обратите внимание, что выразить, например, а через с не удастся. Действительно, предположим, что есть такое число k, что

Тогда, по определению операции умножения вектора на число, вектора а и c должны быть коллинеарными, но они таковыми не являются.

Вектор можно раскладывать не на один, а на два вектора, которые ему не коллинеарны. Покажем это на примере:

Здесь вектора р, а и b не коллинеарны, при этом р выражен через а и b:

В данном случае говорят, что р разложен на вектора а и b, а числа 2 и 4 именуют коэффициентами разложения.

Верно следующее утверждение:

Продемонстрируем, как можно осуществить такое разложение. Пусть заданы вектора с, а и b, и требуется разложить c на а и b:

На первом шаге просто отложим все три вектора от одной точки. Далее построим прямые, проходящие через вектора а и b:

Далее через конец вектора с проведем прямые, параллельные построенным на предыдущем шаге прямым. В результате у нас получится некоторый параллелограмм АВСD:

Заметим, что вектор с оказался диагональю в этом параллелограмме. Тогда, согласно правилу параллелограмма, можно записать:

Ясно, что вектора АВ и b коллинеарны, так как лежат на одной и той же прямой. Тогда найдется такое число k, для которого будет верно отношение:

Конкретно в данном случае видно по рисунку, что АВ вдвое длиннее вектора b, поэтому

Аналогично коллинеарными являются вектора а и АD, поэтому существует число m, при котором справедливо равенство:

Понятно, что числа k и m определяются единственным образом. В общем случае они могут быть не только целыми, но и дробными (в том числе иррациональными) и даже отрицательными числами. Проще говоря, они могут быть любыми действительными числами.

Задание. Найдите коэффициенты разложения вектора d на вектора e и f:

Решение. Отложим все три вектора от одной точки. Далее проведем прямые, на которых лежат вектора e и f:

Теперь через конец d проводим ещё две прямые, параллельные двум уже построенным прямым, и в результате получаем параллелограмм:

Вектор d можно представить в виде суммы:

Особняком стоит случай, когда раскладываемый вектор коллинеарен одному из тех векторов, на которые он раскладывается. В этом случае один из коэффициентов разложения оказывается равным нулю. Например, пусть с надо разложить на а и b:

Строить параллелограмм в данном случае не нужно. Так как а и с коллинеарны, то найдется некоторое число k, при котором будет выполняться равенство:

Координаты векторов

Из курса алгебры нам известна прямоугольная система координат. В ней есть оси Ох и Оу, а каждая отмеченная на плоскости точка имеет свои координаты:

Естественно, что на координатной плоскости можно отметить и вектора. Построим два вектора, которые начинаются в начале координат, имеют длину, равную единице, и направление которых совпадает с направлениями осей координат. Тот вектор, который лежит на оси Ох, обозначают буквой i, а тот, который лежит на оси Оу, обозначают как j.

Эти вектора называют единичными векторами, или ортами (ещё используется термин координатный вектор). Они не коллинеарны друг другу, а это означает, что любой вектор на плоскости можно разложить на единичные вектора. Коэффициенты такого разложения как раз и являются координатами вектора.

Посмотрим на примере, как находить координаты вектора. Пусть задан вектор а:

Нам надо разложить а по векторам i и j. Для этого их следует отложить от одной точки. Удобно перенести вектор а к началу координат:

Теперь надо через конец а провести прямые, параллельные векторам iи j. В результате получится прямоугольник АВСD:

Можно записать равенство:

Значит, и координаты данного вектора – это числа 3 и 2. Записывается это так:

Обратите внимание, что порядок чисел в скобках принципиально важен. Первое число – это коэффициент разложения, стоящий перед вектором i. Эту координату можно называть координатой х (по аналогии с координатами точек). Второе число – это коэффициент при векторе j, оно является координатой у. Также заметим очевидный факт, что координаты равных векторов одинаковы.

В приведенном выше примере легко заметить, что после того, как мы перенесли вектор в начало координат, координаты его конца (он обозначен точкой С) совпали с координатами самого вектора. Действительно, точка С имеет координаты (3; 2).

Это правильно несколько упрощает определение координат вектора. Достаточно просто отложить вектор от точки начала координат, после чего посмотреть на координаты его конечной точки. Отметим, что вектор, чье начало совпадает с началом координат, имеет особое название – радиус-вектор.

Задание. Определите координаты векторов a, b, c и d, отмеченных на рисунке:

Решение. Во всех случаях будем просто переносить вектора к началу координат, получая радиус вектора. Далее будем просто смотреть, каковы координаты конца радиус-вектора. Начнем с а:

После переноса а его конец оказался в точке А(4; 3), поэтому и координаты всего вектора можно записать так:

После переноса вершина радиус-вектора попала в точку B (1; – 3), поэтому вектор имеет координаты {1; – 3}.

Выполним построение и для с:

Конец вектора попал в точку С (3,5; 0), а потому и координаты вектора составляют {3,5; 0}.

Осталось рассмотреть d:

Здесь координаты вектора будут равны {– 2,5; – 2,5}, так как такие же координаты имеет точка D.

Ответ: а{4;3}; b{1; – 3}; с{3,5; 0}; d{– 2,5; – 2,5}.

Рассмотрим решение обратной задачи, в которой необходимо построить вектор по заранее заданным координатам.

Задание. Даны координаты вектора:

Постройте по три вектора, имеющие заданные координаты.

Решение. Проще всего построить радиус-вектор, вершина которого будет иметь те же координаты, что и требуемый вектор:

Чтобы построить ещё два вектора с такими же координатами, надо просто отложить уже построенный вектор от любых других точек:

Аналогично поступаем и во второй задаче – сначала откладываем радиус-вектор с заданными координатами, а потом добавляем ещё два равных ему вектора, отложенных от других точек:

Отдельно отметим нулевой вектор. Очевидно, что все его координаты равны нулю, так как для него можно записать такое разложение на орты:

Также можно сказать, что если отложить нулевой вектор от начала координат, то его конец также будет находиться в начале координат (так как у нулевого вектора начало и конец совпадают), то есть в точке с координатами (0; 0).

Сложение и вычитание векторов

Пусть у нас есть векторы a{x₁; у₁} и b{x₂; у₂}. Можно ли, зная только их координаты, определить их сумму и разность? Оказывается, можно. Действительно, по определению координат векторов (напомним, они являются коэффициентами разложения вектора на орты) можно записать:

Эта запись означает, что с имеет координаты {х₁ + х₂; у₁ + у₂}. В результате мы можем сформулировать правило сложения векторов:

Проиллюстрируем правило на примере. Пусть надо сложить вектора а {2; 3} и b {4; 5}. Понятно, что в результате получится новый вектор, который мы обозначим как с {х; у}. Чтобы найти его первую координату, надо сложить первые координаты векторов a и b:

x = 2 + 4 = 6

Для нахождения второй координаты складываем соответственно вторые координаты векторов:

y = 3 + 5 = 8

В итоге получился вектор с {6; 8}.

Задание. Сложите вектора, имеющие координаты:

Решение. Сначала просто складываем первые числа в скобках (и получаем координату х), а потом – вторые (и получаем координату у):

Теперь попытаемся понять, как вычислять разность двух векторов. Пусть есть вектора с заранее заданными координатами a{x₁; у₁} и b{x₂; у₂}. Снова запишем их разложение на единичные вектора:

Теперь мы можем сформулировать правило вычитания векторов:

Например, пусть надо вычесть из вектора а{5; 3} вектор b{2;1}. Искомая разность будет представлять собой вектор, чья координата х будет равна разности первых координат векторов а и b:

x = 5 – 2 = 3

Аналогично вычисляем и координату у:

y = 3 – 1 = 2

В итоге получили вектор с координатами {3; 2}.

Задание. Вычтите из вектора а вектор b, если известны их координаты:

Решение. Во всех случаях мы сначала из первой координаты вектора а вычитаем первую координату b, в результате чего получаем координату х искомого вектора. Далее повторяем процесс со второй координатой (то есть с у):

Далее рассмотрим такую операцию, как умножение вектора на число. Снова запишем, что вектор а с координатами х₁и у₁ можно разложить на орты следующим образом:

Это означает, что при умножении вектора на число надо просто умножить на это число каждую его координату.

Например, есть вектор а{3; 7}, который надо умножить на 5. Умножим на 5 по отдельности каждую координату:

x = 5*3 = 15

y = 5*7 = 35

В результате получился вектор {15; 35}.

Задание. Умножьте вектор а на число k, если известно, что:

Решение. Надо всего лишь умножить каждую координату а на число k, и таким образом получить новые координаты:

Признак коллинеарности векторов

Напомним, что если два вектора (обозначим их как a и b) коллинеарны, то обязательно существует такое число k, что 

Из равенства (1) и рассмотренного нами правила умножения вектора на число вытекают два соотношения между этими координатами:

x₁ = k * x₂

y₁ = k * y₂

Если числа х₂ и у₂ не равны нулю, то можно выразить из каждого уравнения число k, после чего выражения можно будет приравнять:

Получили соотношение, которое можно считать свойством коллинеарных векторов. Это правило работает и в обратную сторону – если координаты векторов удовлетворяют выведенному отношению, то можно смело утверждать, что вектора – коллинеарны.

Примечание. Формулировка «тогда и только тогда» означает, что правило действует в обе стороны – из пропорциональности координат следует коллинеарность векторов, а из коллинеарности векторов следует пропорциональность координат.

Покажем, как пользоваться этим признаком коллинеарности векторов. Пусть вектор а имеет координаты {8; 5}, а у вектора b они равны {24; 15}. Нам надо определить, коллинеарны ли они. Для этого поделим друг на друга их координаты х:

24:8 = 3

Получили число 3. Далее поделим и координаты у:

15:5 = 3

Снова получили тройку. То, что в обоих случаях получилось одно и тоже число, указывает на то, что вектора коллинеарны. Более того, можно даже записать, что вектор b втрое больше a:

В данном примере мы делили координаты второго вектора b на координаты первого вектора a. Но можно было поступить и наоборот, делить координаты а на координаты b:

Естественно, снова получилось одинаковое число.

Особняком стоит случай, когда одна из координат вектора равна нулю. Например, пусть вектор имеет координаты {0; у₁}, причем у₁≠ 0. Любой коллинеарный ему вектор можно получить, умножив вектор на какое-то число k. В этом случае его координаты {x₂; у₂} составят:

Получается, что и у коллинеарного вектора координата х обязательно будет равняться нулю. В свою очередь координаты у₂ и у₁ могут быть любыми, ведь мы всегда можем найти такое число k, для которого будет выполняться условие

y₂ = ky₁

Например, есть вектор {0; 5}. Можно сказать, что ему будет коллинеарен любой вектор, у которого первая координата также равна нулю, в частности,

Но любой вектор, у которого координата х НЕ равна нулю, НЕ будет коллинеарен вектору {0; 5}. В частности, ему не будут коллинеарны вектора:

Аналогичная логика действует и тогда, когда нулю равна не координата х, а координата у.

Если же у вектора обе координаты равны нулю, то он является нулевым вектором, то есть точкой. Напомним, что такой вектор считается коллинеарным любому другому вектору.

Задание. Определите, являются ли коллинеарными два вектора, если их координаты равны:

Решение. В первых пяти случаях все координаты – ненулевые, а поэтому надо просто проверить их пропорциональность. Для этого надо делить координаты друг на друга:

Числа различны, поэтому вектора НЕ коллинеарны.

В следующих примерах как минимум одна из координат равна нулю, поэтому делить координаты уже не нужно.

е) {0; 5} и {0; 12}

У обоих векторов координаты х нулевые, этого достаточно, чтобы утверждать, что они коллинеарны.

ж) {0; 3} и {2; 6}

У первого вектора координата х – нулевая, в то время как у второго нет. Значит, они не коллинеарны.

з) {9; 0} и {4; 0}

У первого вектора координата х – нулевая, в то время как у второго нет. Значит, они не коллинеарны.

и) {0; 3} и {12; 0}

Здесь у первого вектора нулю равна координата х, а у второго она ненулевая, поэтому вектора не коллинеарны.

к) {0; 0} и {5; 8}

Здесь имеет место особый случай, ведь первый вектор – нулевой, то есть представляющий собой точку. Считается, что он коллинеарен любому вектору, поэтому в данном примере вектора коллинеарны.

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да; д) нет; е) да; ж) нет; з) да; и) нет; к) да.

Пока что мы рассматривали задачи, в которых фигурируют только вектора. Однако в будущем мы научимся с помощью метода координат решать и другие задачи, в которых рассматриваются отрезки, треугольники, окружности и прочие геометрические фигуры.

Вспомним, как мы находили координаты вектора на
плоскости.

Пользуясь тем, что любой вектор можно разложить по
двум неколлинеарным векторам, на осях мы задавали единичные векторы. Таким
образом, любой вектор можно разложить по данным единичным векторам, а
координатами вектора являются коэффициенты этого разложения.

Так же вам уже известно, что любой вектор пространства
можно выразить через 3 некомпланарных вектора, то есть векторы, не лежащие в
одной плоскости.

Изобразим прямоугольную систему координат Охуz.
На каждой из положительных осей от начала координат отложим единичные векторы.

Буквой i
обозначим единичный вектор оси Оx,
буквой j — единичный вектор оси Оy,
буквой k — единичный вектор оси Оz.

Определение:

Векторы i,
j, k
будем называть координатными векторами.

Понятно, что они являются некомпланарными. И
поэтому любой вектор пространства можно разложить по единичным векторам i,
j, k.
Причём коэффициенты разложения х, у и z
определяются единственным образом.

Коэффициенты х, у и z
называют
координатами вектора р в данной системе координат. Координаты
вектора будем записывать в фигурных скобках в последовательности х, у, z.

Задание: Пользуясь
разложениями векторов по координатным векторам, записать их координаты.

Решение:

Задание: пользуясь
координатами векторов, запишем их разложения по координатным векторам i,
j, k.

Решение:

Задача: В
прямоугольном параллелепипеде 𝑂𝐴 =
2, 𝑂𝐵 =
3, а ОО₁ = 2. Найти координаты векторов 𝑂𝐴₁,
𝑂𝐵₁,
𝑂𝑂₁,
𝑂𝐶,
𝑂𝐶₁,
𝐵𝐶₁,
𝐴𝐶₁
и 𝑂₁ 𝐶.

Решение:

После выполнения этого задания можно сделать вывод
о том, что если вектор лежит в некоторой из координатных плоскостей или
параллелен ей, а также лежит или параллелен некоторой из координатных осей, то
его соответствующие координаты равны нулю.

Если вектор лежит в координатной плоскости Оху или
параллелен ей, то его аппликата равна нулю. Если вектор принадлежит или
параллелен координатной плоскости Охz,
то его ордината равна нулю. Если же вектор принадлежит или параллелен
координатной плоскости Оyz,
то его абсцисса равна нулю.

В случае, когда вектор лежит на оси координат Оx
или параллелен ей, то ордината и аппликата равны нулю. Если вектор принадлежит
или параллелен оси Оy, то абсцисса и
аппликата равны нулю. И если вектор принадлежит или параллелен оси Оz,
то абсцисса и ордината равны нулю.

А сейчас поговорим о противоположных векторах. Из
планиметрии известно, что координаты противоположных векторов
противоположны. Это утверждение верно и для векторов в пространстве.

Задание: найти
координаты векторов противоположных данным векторам.

Решение:

Также из курса планиметрии вам известны правила
определения координат вектора суммы, вектора разности и произведения
вектора на число.

Такие же правила действую и для координат векторов в
пространстве.

Задание: 𝑎 ⃗{−1;0;3},
𝑏 ⃗{5;−2;1}
и 𝑐 ⃗{1;7;−2}.
Определить координаты векторов:

1) 𝑎 ⃗+𝑐 ⃗;  
2) 𝑏 ⃗−𝑎 ⃗;  
3) 2𝑎 ⃗+𝑏 ⃗;  
4) 1/2 𝑎 ⃗−2𝑏 ⃗+𝑐 ⃗.

Решение:

Так, используя правила определения координат вектора
суммы, разности и произведения вектора на число, мы определили координаты
данных векторов.

Итоги:

Сегодня мы ввели понятие координатных векторов i,
j, k.
И, пользуясь тем, что любой вектор пространства можно выразить через 3
некомпланарных вектора, записали, что коэффициенты х, у и z
называют координатами вектора p
в данной системе координат.

Мы отметили, что все координаты нулевого вектора равны
нулю. Равные векторы имеют равные координаты, а координаты противоположных
векторов противоположны.

Также мы записали правила, которые позволяют находить
координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных
векторов, координаты которых известны.

А что, если в задаче нет векторов — есть только точки, лежащие на прямых, и требуется вычислить угол между этими прямыми?

Все просто: зная координаты точек — начала и конца вектора — можно вычислить координаты самого вектора. Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала.

Вычисление координат векторов

Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Их три:

1. Главная формула — косинус угла φ между векторами a = (x1; y1; z1) и b = (x2; y2; z2):
2. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — действительные числа, причем, если плоскость проходит через начало координат, D = 0. А если не проходит, то D = 1.
3. Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0, имеет координаты: n = (A; B; C).

На первый взгляд, выглядит угрожающе, но достаточно немного практики — и все будет работать великолепно.

Задача. Найти косинус угла между векторами a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5).

Решение. Поскольку координаты векторов нам даны, подставляем их в первую формулу:

Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), если известно, что она не проходит через начало координат.

Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат — точку (0; 0; 0) — то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство.

• Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем: A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;
• Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения: A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
• A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;
• Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений:

Получили, что уравнение плоскости имеет вид: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Задача. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.

Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) — вот и все!

Эта теорема одинаково работает и на плоскости, и в пространстве. Выражение «вычесть координаты» означает, что из координаты x одной точки вычитается координата x другой, затем то же самое надо сделать с координатами y и z. Вот несколько примеров:

Задача. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC.

Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A: AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

• Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Поэтому имеем: AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).
• Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B: BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Обратите внимание на вычисление координат последнего вектора BC: очень многие ошибаются, когда работают с отрицательными числами. Это касается переменной y: у точки B координата y = − 1, а у точки C y = 3. Получаем именно 3 − (− 1) = 4, а не 3 − 1, как многие считают. Не допускайте таких глупых ошибок!

Вычисление направляющих векторов для прямых

Если вы внимательно прочитаете задачу C2, то с удивлением обнаружите, что никаких векторов там нет. Там только прямые да плоскости.

Для начала разберемся с прямыми. Здесь все просто: на любой прямой найдутся хотя бы две различные точки и, наоборот, любые две различные точки задают единственную прямую…

Кто-нибудь понял, что написано в предыдущем абзаце? Я и сам не понял, поэтому объясню проще: в задаче C2 прямые всегда задаются парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим так называемый направляющий вектор для прямой:

Зачем нужен этот вектор? Дело в том, что угол между двумя прямыми — это угол между их направляющими векторами. Таким образом, мы переходим от непонятных прямых к конкретным векторам, координаты которых легко считаются. Насколько легко? Взгляните на примеры:

Задача. В кубе ABCDA1B1C1D1 проведены прямые AC и BD1. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Поскольку длина ребер куба в условии не указана, положим AB = 1. Введем систему координат с началом в точке A и осями x, y, z, направленными вдоль прямых AB, AD и AA1 соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1.

Теперь найдем координаты направляющего вектора для прямой AC. Нам потребуются две точки: A = (0; 0; 0) и C = (1; 1; 0). Отсюда получаем координаты вектора AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) — это и есть направляющий вектор.

Теперь разберемся с прямой BD1. На ней также есть две точки: B = (1; 0; 0) и D1 = (0; 1; 1). Получаем направляющий вектор BD1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Ответ: AC = (1; 1; 0); BD1 = (− 1; 1; 1)

Задача. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проведены прямые AB1 и AC1. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Введем систему координат: начало в точке A, ось x совпадает с AB, ось z совпадает с AA1, ось y образует с осью x плоскость OXY, которая совпадает с плоскостью ABC.

Для начала разберемся с прямой AB1. Тут все просто: у нас есть точки A = (0; 0; 0) и B1 = (1; 0; 1). Получаем направляющий вектор AB1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Теперь найдем направляющий вектор для AC1. Все то же самое — единственное отличие в том, что у точки C1 иррациональные координаты. Итак, A = (0; 0; 0), поэтому имеем:

Ответ: AB1 = (1; 0; 1);

Небольшое, но очень важное замечание насчет последнего примера. Если начало вектора совпадает с началом координат, вычисления резко упрощаются: координаты вектора просто равны координатам конца.

К сожалению, это верно лишь для векторов. Например, при работе с плоскостями присутствие на них начала координат только усложняет выкладки.

Вычисление нормальных векторов для плоскостей

Нормальные векторы — это не те векторы, у которых все в порядке, или которые чувствуют себя хорошо. По определению, нормальный вектор (нормаль) к плоскости — это вектор, перпендикулярный данной плоскости.

Другими словами, нормаль — это вектор, перпендикулярный любому вектору в данной плоскости. Наверняка вы встречали такое определение — правда, вместо векторов речь шла о прямых. Однако чуть выше было показано, что в задаче C2 можно оперировать любым удобным объектом — хоть прямой, хоть вектором.

Еще раз напомню, что всякая плоскость задается в пространстве уравнением Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — некоторые коэффициенты. Не умаляя общности решения, можно полагать D = 1, если плоскость не проходит через начало координат, или D = 0, если все-таки проходит. В любом случае, координаты нормального вектора к этой плоскости равны n = (A; B; C).

Итак, плоскость тоже можно успешно заменить вектором — той самой нормалью. Всякая плоскость задается в пространстве тремя точками. Как найти уравнение плоскости (а следовательно — и нормали), мы уже обсуждали в самом начале статьи. Однако этот процесс у многих вызывает проблемы, поэтому приведу еще парочку примеров:

Задача. В кубе ABCDA1B1C1D1 проведено сечение A1BC1. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA1 соответственно.

Поскольку плоскость не проходит через начало координат, ее уравнение выглядит так: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коэффициент D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки A1, B и C1, то координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

1. Подставим вместо x, y и z координаты точки A1 = (0; 0; 1). Имеем: A · 0 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;
2. Аналогично, для точек B = (1; 0; 0) и C1 = (1; 1; 1) получим уравнения: A · 1 + B · 0 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
3. A · 1 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;
4. Но коэффициенты A = − 1 и C = − 1 нам уже известны, поэтому остается найти коэффициент B: B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.
5. Получаем уравнение плоскости: − A + B − C + 1 = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; − 1).

Задача. В кубе ABCDA1B1C1D1 проведено сечение AA1C1C. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA1 соответственно.

В данном случае плоскость проходит через начало координат, поэтому коэффициент D = 0, а уравнение плоскости выглядит так: Ax + By + Cz = 0. Поскольку плоскость проходит через точки A1 и C, координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

• Подставим вместо x, y и z координаты точки A1 = (0; 0; 1).
• Имеем: A · 0 + B · 0 + C · 1 = 0 ⇒ C = 0;
• Аналогично, для точки C = (1; 1; 0) получим уравнение: A · 1 + B · 1 + C · 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;
• Положим B = 1.
• Тогда A = − B = − 1, и уравнение всей плоскости имеет вид: − A + B = 0,
• Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; 0).

Вообще говоря, в приведенных задачах надо составлять систему уравнений и решать ее. Получится три уравнения и три переменных, но во втором случае одна из них будет свободной, т.е. принимать произвольные значения. Именно поэтому мы вправе положить B = 1 — без ущерба для общности решения и правильности ответа.

Координаты середины отрезка

Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Координаты таких точек легко считаются, если известны координаты концов отрезка.

Итак, пусть отрезок задан своими концами — точками A = (xa; ya; za) и B = (xb; yb; zb).  Другими словами, координаты середины отрезка — это среднее арифметическое координат его концов.

Задача. Единичный куб ABCDA1B1C1D1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K — середина ребра A1B1. Найдите координаты этой точки.

Поскольку точка K — середина отрезка A1B1, ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A1 = (0; 0; 1) и B1 = (1; 0; 1).

Задача. Единичный куб ABCDA1B1C1D1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A1B1C1D1.

Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. В частности, A1L = C1L, т.е. точка L — это середина отрезка A1C1. Но A1 = (0; 0; 1), C1 = (1; 1; 1).

Ответ: L = (0,5; 0,5; 1)

Источник: https://www.berdov.com/ege/solid_geometry/method/

Координаты вектора на плоскости

Координаты вектора на плоскости

Первым пунктом рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы:

Векторы  и  ортогональны. Ортогональны = Перпендикулярны. Вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность.   Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности.

Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами. Данные векторы образуют базис на плоскости. Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь.

Любой вектор  плоскости единственным образом выражается в виде:, где  – числа, которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение  называется разложением вектора  по базису .

Простейшие задачи аналитической геометрии.Действия с векторами в координатах

Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть. Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии.

Как найти вектор по двум точкам?

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора – это его разложение по базису , в данном случае . Любой вектор является свободным, поэтому при необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости. Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис.

Как найти длину отрезка?

Отрезок  – это не вектор, и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ  можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.

Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».

Как найти длину вектора?

Не забываем указывать размерность – «единицы»! Всегда ли, кстати, нужно рассчитывать приближенное значение (в данном примере 8,94), если этого не требуется в условии? Округление целесообразно проводить до 2-3-х знаков после запятой.

Отличие состоит в том, что здесь речь идёт о векторе, а не об отрезке. Вектор можно переместить в любую точку плоскости.

А в чём сходство Примера 3 и Примера 5? Геометрически очевидно, что длина отрезка  равна длине вектора . Так же очевидно, что длина вектора  будет такой же.

Источник: https://infourok.ru/koordinati-vektora-na-ploskosti-teoreticheskaya-podborka-1306882.html

Метод координат. Координаты вектора

Итак, построим прямоугольную систему координат. От точки О начала координат отложим единичные векторы  и . Т.е. векторы длины, которых равны единице.

Причём, направление вектора  совпадает с направлением оси , а направление вектора  совпадает с направлением оси.

Векторы  называются координатными векторами. Коэффициенты разложения вектора  по координатным векторам называют координатами вектора  в данной системе координат. Напомним, что координаты вектора записывают в фигурных скобках через точку с запятой.

• Если векторы равны, то их разложения по векторам  и  также будут равны, а значит, равны будут и коэффициенты разложения.

Вспомним ещё один особенный случай — противоположные векторы. Их разложения противоположны. Координатами вектора  являются числа 8 и –1. Значит, чтобы переместиться из точки О на вектор , сначала нужно переместиться на вектор , а затем на вектор . Соединив точку О с конечной точкой, получим вектор .

Далее изобразим вектор . Для этого из точки О переместимся на вектор . Тем самым получим искомый вектор.

Чтобы из точки О переместиться на вектор , сначала переместимся на вектор , а затем на вектор . Проведём вектор из точки О в конечную точку. Так мы получили вектор .

Теперь давайте вспомним правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число.

• Каждая координата суммы двух и более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
• Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат данных векторов.
• Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Радиус-вектором точки называют вектор, начало которого совпадает с точкой начала координат, а конец — с данной точкой.

Пользуясь этим утверждением, выразим координаты вектора  через координаты его начала и конца. Пусть точка А имеет координаты , а точка В имеет координаты .

• Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.
• Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Источник: https://videouroki.net/video/49-mietod-koordinat-koordinaty-viektora.html

Как найти вектор по двум точкам?

Из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора – это его разложение по базису , в данном случае . Любой вектор является свободным, поэтому при необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости. Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости .

• Правило сложения векторов. Для того, чтобы сложить векторы, необходимо сложить их соответствующие координаты.

Аналогичное правило справедливо для суммы любого количества векторов, например, найдём сумму трёх векторов. Если речь идёт о векторах в пространстве, то всё точно так же, только добавится дополнительная координата. Если даны векторы , то их суммой является вектор .

• Правило умножения вектора на число. Для того чтобы вектор умножить на число , необходимо каждую координату данного вектора умножить на число. Для пространственного вектора правило такое же.

Источник: https://poisk-ru.ru/s61557t1.html

Нахождение координат вектора через координаты точек. Как найти вектор по двум точкам

Отложим от начала координат единичные векторы, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора i→ должно совпадать с осью Ox, а направление вектора j→ с осью Oy. Векторы i→ и j→ называют координатными векторами.

Координатные векторы не коллинеарны. Поэтому любой вектор p→ можно разложить по векторам p→=xi→+yj→. Коэффициенты x и y определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора p→ по координатным векторам называются координатами вектора p→ в данной системе координат.

Координаты вектора записываются в фигурных скобках p→x; y. На рисунке вектор OA→ имеет координаты 2; 1, а вектор b→ имеет координаты 3;-2. Нулевой вектор представляется в виде 0→0; 0.

Если векторы a→ и b→ равны, то и y1=y2. Запишем это так: a→=x1i→+y1j→=b→=x2i→+y2j→, значит x1=x2, y1=y2 . Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.

Если точка координат не совпадает с его началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. Пусть в декартовой системе координат на Oxy заданы координаты точек начала и конца AB→: Axa, ya, Bxb, yb. Найти координаты заданного вектора.

Изобразим координатную ось. Из формулы сложения векторов имеем OA→+AB→=OB→, где O – начало координат. Отсюда следует, что AB→=OB→-OA→.

OA→ и OB→ – это радиус-векторы заданных точек А и В, значит координаты точек имеют значения OA→=xa, ya, OB→=xb, yb.

По правилу операций над векторами найдем AB→=OB→-OA→=xb-xa, yb-ya.

Нахождение в трехмерном пространстве проходит по такому же принципу, только для трех точек. Для нахождения координат вектора, необходимо найти разность его точек конца и начала.

Пример 1

Найти координаты OA→ и AB→ при значении координат точек A(2,-3), B(-4,-1).

Решение

Для начала определяется радиус-вектор точки A. OA→=(2,-3). Чтобы найти AB→, нужно вычесть значение координат точек начала из координат точек конца. Получаем: AB→=(-4-2,-1-(-3))=(-6, 2).

Ответ: OA→=(2,-3), AB→=(-6,-2).

Пример 2

Задано трехмерное пространство с точкой A=(3, 5, 7), AB→=(2, 0,-2). Найти координаты конца AB→.

Решение

• Подставляем координаты точки A: AB→=(xb-3, yb-5, zb-7).
• По условию известно, что AB→=(2, 0,-2).
• Известно, что равенство векторов справедливо тогда, когда координаты равны соответственно. Составим систему уравнений: xb-3=2yb-5=0zb-7=-2
• Отсюда следует, что координаты точки B AB→равны: xb=5yb=5zb=5

Ответ:  B(5, 5, 5).

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/Nahozhdenie_kordinat_vectora/

До сих пор считалось, что векторы
рассматриваются в пространстве. Начиная
с этого момента будим считать, что все
векторы рассматриваются на плоскости.
Будем также полагать, что на плоскости
задана Декартова система координат
(даже если об этом не говорится),
представляющая две взаимно перпендикулярные
числовые оси – горизонтальная ось
и
вертикальная ось.
Тогда каждой точкена
плоскости ставится в соответствие пара
чисел,
которые являются ее координатами.
Обратно, каждой паре чиселсоответствует точка плоскости такая,
что пара чиселявляются ее координатами.

Рис. 19.

Из элементарной геометрии известно,
что если на плоскости имеются две точки
и,
то расстояниемежду
этими точками выражается через их
координаты по формуле

.

Пусть на плоскости задана Декартова
система координат. Орт оси
будем обозначать символом,
а орт осисимволом.
Проекцию произвольноговекторана осьбудем обозначать символом,
а проекцию на осьсимволом.

Рис. 20.

Пусть
– произвольный вектор на плоскости.
Имеет место следующая теорема.

Теорема 22.

Для любого вектора
на плоскости существует пара чиселтаких, что справедливо равенство

.

При этом
,.

Доказательство.

Рис. 21.

Пусть дан вектор.
Отложим векторот начала координат. Обозначим черезвектор-проекцию векторана ось,
а черезвектор-проекцию векторана ось.
Тогда, как видно из рисунка 21, имеет
место равенство

.

Согласно
теореме 9,

,

.

Обозначим
,.
Тогда получаем

.

Итак, доказано, что для любого вектора
существует пара чиселтаких, что справедливо равенство

,

Причем,

,

.

При другом расположении вектора
относительно осей доказательство
аналогично.

Определение.

Пара чисел
итаких, что,
называются координатами вектора.
Числоназывается иксовой координатой, а числоигрековой координатой.

Определение.

Пара ортов осей координат
называется ортонормированным базисом
на плоскости. Представление любого
векторав виденазывается разложением векторапо базису.

Непосредственно из определения
координат вектора следует, что если
координаты векторов равны, то равны и
сами векторы. Справедливо также и
обратное утверждение.

Теорема.

Равные векторы имеют равные
координаты.

Доказательство.

Пусть

,

и
.
Докажем, что,.

Из равенства векторов следует, что

.

Отсюда

.

Допустим, что
,
а.

Тогда
и значит,
что не верно. Аналогично, если,
но,
то.
Отсюда,
что не верно. Наконец, если допустить,
чтои,
то получаем, что

.

Это означает, что векторы
иколлинеареы. Но это не верно, так как
они перпендикулярны. Следовательно,
остается, что,,
что и требовалось доказать.

Таким образом, координаты вектора
полностью определяют сам вектор. Зная
координаты
ивектораможно построить сам вектор, построив векторыии сложив их. Поэтому часто сам векторобозначают в виде пары его координат и
пишут.
Такая запись означает, что.

Непосредственно из определения
координат вектора следует следующая
теорема.

Теорема.

При сложении векторов их координаты
складываются а при умножении вектора
на число его координаты умножаются на
это число. Записываются эти утверждения
в виде

,

.

Доказательство.

,

.

Далее установим как связаны
координаты вектора с координатами его
концов.

Теорема.

Пусть
,
причем начало вектора точкаимеет координаты,
а конец вектора есть точка.
Тогда координаты вектора связаны с
координатами его концов следующими
соотношениями

,

.

Доказательство.

Пусть
и пусть вектор-проекция векторана осьсонаправлен с осью(см. рис. 22). Тогда

,

так
как длина отрезка на числовой осиравна координате правого конца минус
координата левого конца. Если вектор

Рис. 22.

противонаправлен оси(как
на Рис. 23), то

.

Рис. 23.

Если
,
то в этом случаеи тогда получаем

.

Таким образом, при любом расположении
вектора
относительно
осей координат его координатаравна

.

Аналогично доказывается, что

.

Пример.

Даны координаты концов вектора
:.
Найти координаты вектора.

Решение.

.

В следующей теореме приводится выражение
длины вектора через его координаты.

Теорема 15.

Пусть
.Тогда

.

Доказательство.

Пусть
и– вектор-проекции векторана осии,
соответственно. Тогда, как показано при
доказательстве теоремы 9, имеет место
равенство

.

При этом, векторы
ивзаимно перпендикулярны. При сложении
этих векторов по правилу треугольника
получаем прямоугольный треугольник
(см. Рис. 24).

Рис. 24.

По теореме Пифагора имеем

.

Но

,

.

Следовательно

,

.

Отсюда

.

Или

.

Пример.

.Найти.

Решение.

.

Введем понятие направляющих
косинусов вектора .

Определение.

Пусть вектор
составляет с осьюугол,
а с осьюугол(см. Рис. 25).

Рис. 25.

Тогда

,

.

Следовательно,

Так как для любого вектора
имеет место равенство

,

Где
– орт вектора,
то есть вектор единичной длины,
сонаправленный с вектором,
то

.

Вектор
определяет направление вектора.
Его координатыиназываются направляющими косинусами
вектора.
Направляющие косинусы вектора можно
выразить через его координаты по формулам

,

.

Имеет место соотношение

.

До настоящего момента в этом
параграфе считалось, что все векторы
располагаются в одной и той же плоскости.
Теперь сделаем обобщение для векторов
в пространстве.

Будем считать, что в пространстве
задана Декартова система координат с
осями
,и.

Орты осей
,ибудем обозначать символами,и,
соответственно (Рис. 26).

Можно показать, что все понятия и
формулы, которые были получены для
векторов на плоскости, обобщаются для

Рис. 26.

векторов в пространстве. Тройка векторов
называется ортонормированным базисом
в пространстве.

Пусть
,и– вектор-проекции векторана
оси,и,
соответственно. Тогда

.

В свою очередь

,

,

.

Если обозначить

,

,

,

То получаем равенство

.

Коэффициенты перед базисными векторами
,иназываются координатами вектора.
Таким образом, для любого векторав пространстве существует тройка чисел,,,
называемых координатами векторатаких,
что для этого вектора справедливо
представление

.

Вектор
в этом случае также обозначают в виде.
При этом, координаты вектора равны
проекциям этого вектора на координатные
оси

,

,

,

где
–
угол между вектороми осью,–
угол между вектороми осью,– угол между вектороми осью.

Длина вектора
выражается через его координаты по
формуле

.

Справедливы утверждения о том, что
равные векторы имеют равные координаты,
при сложении векторов их координаты
складываются, а при умножении вектора
на число его координаты умножаются на
это число.
,иназываются
направляющими косинусами вектора.
Они связаны с координатами вектора
формулами

,,.

Отсюда следует соотношение

.

Если концы вектора
имеют
координаты,,
то координаты векторасвязаны с координатами концов вектора
соотношениями

,

,

.

Пример.

Даны точки
и.
Найти координаты вектора.

Решение.

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #