Как найти координаты вектора с примерами

Содержание:

• Что такое координаты вектора — какие операции можно производить
• Способы представления, как записываются
• Методы вычисления координат вектора
• Примеры задачи на нахождение координат вектора

Что такое координаты вектора — какие операции можно производить

Три попарно перпендикулярные прямые с определенными направлениями и единицей измерения в геометрии составляют систему координат в пространстве. Точка, в которой пересекаются данные прямые, представляет собой начало координат.

Оси координат:

1. (Ox) — ось абсцисс.
2. (Oy) — ось ординат.
3. (Oz) — ось аппликат.

Через две прямые, которые пересекаются, можно построить плоскость. Таким образом, образуются три координатные плоскости в виде:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

• ((Oxy));
• ((Oyz));
• ((Oxz)).

Определить положение точки (А) в пространстве можно с помощью трех координат (x, y) и (z).

Координата x является понятием абсциссы точки (A), координата y — определяет ординату точки (A), координата (z) — аппликату точки (A).

Запись имеет следующий вид:

(A(x;y;z)).

Варианты расположения точки:

• в том случае, когда точка расположена на оси (Ox), ее координаты — (X(x;0;0));
• при нахождении точки на оси (Oy) она характеризуется координатами (Y(0;y;0));
• если точка принадлежит оси (Oz), ее координаты — (Z(0;0;z));
• точка, лежащая в плоскости (Oxy), обладает координатами (A1(x;y;0));
• в том случае, когда расположение точки совпадает с плоскостью (Oyz,) она обладает координатами (A2(0;y;z));
• если точка расположена в плоскости (Oxz), то данная точка имеет координаты ( A3(x;0;z)).

Допустим, что в системе координат существуют некие единичные векторы (overrightarrow { i }),  (overrightarrow { j }) и (overrightarrow { k }), которые были отложены от начала координат. В этом случае допустимо определить прямоугольный базис. Какой-либо вектор раскладывается на единичные вектора и записывается в виде:

(overrightarrow {OA}=x⋅overrightarrow { i }+y⋅overrightarrow { j }+z⋅overrightarrow { k })

Коэффициенты (x), (y) и ( z) могут иметь одно единственное значение и являются координатами вектора.

Координатами вектора, начало которого совпадает с точкой (A(x1; y1)), а конец — соответствует точке (B(x2; y2)), называют числа:

(a1 = x2 — x1);

(a2 = y2 — y1).

Координаты вектора записывают в таком виде:

(overrightarrow {OA}{x;y;z}).

Правила записи с помощью координат:

Координаты суммы векторов при наличии известных координат векторов: 

Координаты разности векторов при заданных координатах векторов: 

Координаты произведения вектора на число при наличии определенных координатах вектора: 

Длина, которой обладает вектор:

Координаты вектора при заданных координатах, которыми характеризуются начальная и конечная точки вектора: 

Расстояние по модулю, на которое удалены две точки с заданными координатами: 

Координаты серединной точки отрезка, когда заданы координаты начальной и конечной точек отрезка: 

Координаты вектора обладают следующими свойствами:

1. Какие-либо равные векторы в единой системе координат обладают идентичными координатами.
2. Координаты коллинеарных векторов пропорциональны в том случае, когда ни один из векторов не обладает нулевым значением.
3. Квадрат длины какого-либо вектора определяется как сумма квадратов его координат.
4. В процессе умножения вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число.
5. Когда требуется сложить вектора, следует определить сумму соответствующих координат данных векторов.
6. Скалярное произведение пары векторов соответствует сумме произведений их соответствующих координат.

Способы представления, как записываются

Общепринятой является запись координат вектора в виде:

((х, у)).

Непосредственно вектор обозначают, как:

(overrightarrow {AB} =(х, у)).

Координаты вектора записывают в круглых скобках рядом с буквенным обозначением вектора:

(overrightarrow {AB} (a_1 ;a_2 ))

или

(overrightarrow a (a_1 ;a_2 ))

В некоторых случаях допустимо использовать запись координат вектора без буквенного обозначения, то есть со знаком вектора над скобками:

(overrightarrow {(a_1 ;a_2 )})

Нулевой вектор обладает нулевыми координатами:

(overrightarrow 0 (0;0))

Методы вычисления координат вектора

В том случае, когда определены координаты начала и конца вектора (overline{AB}: Aleft(x_{1} ;; y_{1} right),; Bleft(x_{2} ;; y_{2} right)), при вычислении его координат требуется от координат конца отнять соответствующие координаты начала:

(overline{AB}=left(x_{2} -x_{1} ;; y_{2} -y_{1} right))

Формула определения координат вектора для двухмерных задач: в рассматриваемом случае вектор ( overline{AB} )с заданными координатами точек (A(х1;у1) и B(x2;y2)) можно найти по формуле:

(overline{AB}=(x2 – x1 ; y2 – y1).)

Формула определения координат вектора для пространственных задач: если требуется решить пространственную задачу на нахождение вектора (overline{AB}), координаты точек (A(х1;у1;z1) и B(x2;y2;z2)) которого известны, следует воспользоваться формулой:

(overline{AB}=(x2 – x1 ; y2 – y1; z2 – z1))

С помощью вычисления координат вектора можно определить его характеристики, в том числе найти длину вектора. Зная координаты, достаточно просто построить вектор.

Примеры задачи на нахождение координат вектора

ФОРМУЛА

Чтобы найти координаты вектора (
overline{A B}
)на плоскости, если он задан координатами его начала (
Aleft(x_{1} ; y_{1}right)
) и (
Bleft(x_{2} ; y_{2}right)
) конца, необходимо вычесть соответствующие координаты начала из координат конца, то есть

(
overline{A B}=left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1}right)
)

Чтобы найти координаты вектора (
overline{A B}
), заданного в пространстве по координатам (
Aleft(x_{1} ; y_{1} ; z_{1}right)
) и (
Bleft(x_{2} ; y_{2} ; z_{2}right)
), необходимо, по аналогии с плоским случаем, вычесть координаты начала из координат конца:

(
overline{A B}=left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1} ; z_{2}-z_{1}right)
)

ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ КООРДИНАТ ВЕКТОРА ПО ТОЧКАМ

ПРИМЕР

Задание: Даны точки (
A(4 ;-1)
) и (
B(2 ; 1)
). Найти координаты векторов (
overline{A B}
) и (
overline{B A}
)

Решение: Для вектора (
overline{A B}
) точка (
mathrm{A}
) является началом, а точка (
B
) – концом. Тогда координаты вектора (
overline{B A}
)равны

(
overline{A B}=(2-4 ; 1-(-1))=(-2 ; 2)
)

Для вектора (
overline{B A}
) точка (
B
) является началом, а точка (
mathrm{A}
) – концом. Тогда координаты вектора (
overline{B A}
)равны

(
overline{B A}=(4-2 ;-1-1)=(2 ;-2)
)

Ответ: (
overline{A B}=(-2 ; 2)
)

(
overline{B A}=(2 ;-2)
)

ПРИМЕР

Задание: Даны три точки в пространстве точки (
A(1 ;-2 ; 0,5)
) , (
B(3 ; 2 ; 1,5)
) и (
C(0 ;-1 ; 1)
). Найти координаты векторов (
overline{A B}, overline{A C}, overline{B C}
)

Решение. Для искомого вектора (
overline{A B}
) точка (
mathrm{A}
) является началом, а точка (
B
) – концом. Тогда координаты вектора (
overline{A B}
)соответственно равны:

(
overline{A B}=(3-1 ; 2-(-2) ; 1,5-0,5)=(2 ; 4 ; 1)
)

Для вектора (
overline{A C}
)точка (
mathrm{A}
) является началом, а точка (
mathrm{C}
) – концом. Тогда его координаты соответственно равны

(
overline{A C}=(0-1 ;-1-(-2) ; 1-0,5)=(-1 ; 1 ; 0,5)
)

Для вектора (
overline{B C}
) точка (
B
) является началом, а точка (
mathrm{C}
) – концом. Его координаты равны

(
overline{B C}=(0-3 ;-1-2 ; 1-1,5)=(-3 ;-3 ;-0,5)
)

Ответ: (
overline{A B}=(2 ; 4 ; 1)
)

(
overline{A C}=(-1 ; 1 ; 0,5)
)

(
overline{B C}=(-3 ;-3 ;-0,5)
)