Как найти координаты вектора суммы данных векторов

Содержание:

• Координаты вектора
• Направляющие косинусы
• Сумма двух векторов, заданных координатами
• Умножение вектора на число
• Основное свойство направляющих косинусов

Для решения задач с векторами необходимо определить вектор на плоскости или в пространстве, то есть дать информацию о его направлении
и длине.

Координаты вектора

Пусть задана прямоугольная декартова система координат (ПДСК) $x O y$
и произвольный вектор $overline{a}$, начало которого совпадает
с началом системы координат (рис. 1).

Сумма двух векторов, заданных координатами

Пусть заданы $overline{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ и $overline{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$,
тогда вектор $overline{c}=overline{a}+overline{b}$ имеет координаты
$left(a_{x}+b_{x} ; a_{y}+b_{y}right)$ (рис. 2).

Умножение вектора на число

Если задан $overline{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$, то тогда вектор
$m overline{a}$ имеет координаты
$m overline{a}=left(m a_{x} ; m a_{y}right)$, здесь
$m$ – некоторое число (рис. 3).

Рассмотрим далее случай, когда начало вектора не совпадает с началом системы координат. Предположим, что в ПДСК заданы две
точки $Aleft(a_{x} ; a_{y}right)$ и $Bleft(b_{x} ; b_{y}right)$.
Тогда координаты вектора $overline{A B}=left(x_{1} ; y_{1}right)$ находятся по формулам (рис. 4):

$x_{1}=b_{x}-a_{x}, y_{1}=b_{y}-a_{y}$

Направляющие косинусы

Направление вектора однозначно задается направляющими косинусами. Для
единичного вектора направляющие косинусы
равны его координатам.

Если в пространстве задан вектор $overline{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$, то
его направляющие косинусы вычисляются по формулам:

$cos alpha=frac{a_{x}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}, cos beta=frac{a_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}, cos gamma=frac{a_{z}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}$

Здесь $alpha$, $beta$ и
$gamma$ – углы, которые составляет вектор с положительными
направлениями осей $O x$, $O y$ и
$O z$ соответственно.

Основное свойство направляющих косинусов

Если известны направляющие косинусы вектора $overline{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$,
то его координаты могут быть найдены по формулам:

$a_{x}=|overline{a}| cos alpha, a_{y}=|overline{a}| cos beta$

Аналогичные формулы имеют место и в трехмерном случае – если известны направляющие косинусы вектора
$overline{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$,
то его координаты могут быть найдены по формулам:

$a_{x}=|overline{a}| cos alpha, a_{y}=|overline{a}| cos beta, a_{z}=|overline{a}| cos gamma$

Читать дальше: длина (модуль) вектора.

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Метод координат
5. Координаты вектора

Советуем посмотреть:

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Связь между координатами вектора его начала и конца

Простейшие задачи в координатах

Уравнение линии на плоскости

Уравнение окружности

Уравнение прямой

Взаимное расположение двух окружностей

Метод координат

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 916,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 918,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 927,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 929,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 943,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 945,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 948,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 15,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1010,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 8,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Математика

Тема 5: Метод координат

Урок 4: Координаты вектора. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Уважаемые студенты!
Заказать задачи по физике, информатике, экономике, праву, химии, теормеху, сопромату и другим предметам можно здесь всего за 10 минут.

Сложение векторов

Формула

Чтобы складывать вектора нужно найти суммы соответствующих координат данных векторов. Например, пусть есть векторы на плоскости $ overline{a} = (x_1;y_1) $ и $ overline{b}=(x_2;y_2) $, тогда их сумму можно найти по формуле: $$ overline{a}+overline{b} = (x_1+x_2;y_1+y_2)$$

Если векторы заданы в пространстве тремя координатами $ overline{a} = (x_1;y_1;z_1) $ и $ overline{b}=(x_2;y_2;z_2) $, то выполнить сложение нужно по другой формуле:

$$ overline{a}+overline{b} = (x_1+x_2;y_1+y_2; z_1+z_2) $$

При сложении первая координата первого вектора складывается с первой координатой второго вектора, вторая координата первого вектора складывается со второй координатой второго вектора и так далее в зависимости от размерности векторов. Стоит отметить, что складывать векторы можно только одинаковой размерности.

Примеры решений

Если задана плоскость Oxy с векторами a→=ax, ay и b→=(bx, by), то мы можем разложить их по координатным векторам i→ и j→. Тогда это будет иметь вид a→=ax·i→+ay·j→ и b→=bx·i→+by·j→. Чтобы найти сумму a→ и b→ и произведение a→ на λ, рассмотрим:

a→+b→=ax·i→+ay·j→+bx·i→+by·j→=(ax+bx)·i→+(ay+by)·j→

λ·a→=λ·(ax·i→+ay·j→)=(λ·ax)·i→+(λ·ay)·j→

Это равенство справедливо по свойству операций над векторами.

Разложение векторов – это a→+b→ и λ·a→, представленное в частях неравенства по i→ и j→ координатам. Координаты векторов a→+b→ и λ·a→ равны соответственно (ax+bx, ay+by) и (λ·ax, λ·ay).

Таким же образом a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz) записываются как a→+b→=ax·i→+ay·j→+az·k→+bx·i→+by·j→+bz·k→=(ax+bx)·i⇀+(ay+by)·j→+(az+bz)·k→λ·a→=λ·(ax·i→+ay·j→+az·k→)=(λ·ax)·i→+(λ·ay)·j→+(λ·az)·k→

а значит a→+b→=(ax+bx, ay+by, az+bz),  λ·a→=(λ·ax, λ·ay, λ·az)

Отсюда делаем вывод, что координаты векторов a→ и b→ равны сумме соответствующих координат векторов a→и b→, координаты произведения вектора a→ на λ приравниваются к соответствующим координатам вектора a→, умноженным на число в заданной системе координат.

При необходимости нахождения координат суммы нескольких векторов, необходимо сложить координаты каждого вектора соответственно. Рассмотрим примеры.