Как найти координаты вектора зная векторы - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

Нахождение координат вектора
Примеры задач

Нахождение координат вектора

Для того, чтобы найти координаты вектора AB, нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).

Формулы для определения координат вектора


Для плоских задач	AB = {B_x – A_x; B_y – A_y}
Для трехмерных задач	AB = {B_x – A_x; B_y – A_y; B_z – A_z}
Для n-мерных векторов	AB = {B₁ – A₁; B₂ – A₂; … B_n – A_n}

Примеры задач

Задание 1
Найдем координаты вектора AB, если у его точек следующие координаты: A = (2; 8), B = (5; 12).

Решение:
AB = {5 – 2; 12 – 8} = {3; 4}.

Задание 2
Определим координаты точки B вектора AB = {6; 14}, если координаты точки A = (2; 5).

Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
B_x = AB_x + A_x = 6 + 2 = 8.
B_y = AB_y + A_y = 14 + 5 = 19.

Таким образом, B = (8; 19).

Источник

Нахождение координат вектора

Для того, чтобы найти координаты вектора AB , нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).

Формулы для определения координат вектора

” data-lang=”default” data-override=”<“emptyTable”:””,”info”:””,”infoEmpty”:””,”infoFiltered”:””,”lengthMenu”:””,”search”:””,”zeroRecords”:””,”exportLabel”:””,”file”:”default”>” data-merged=”[]” data-responsive-mode=”2″ data-from-history=”0″>

Для плоских задач	AB = x – A_x; B_y – A_y>
Для трехмерных задач	AB = x – A_x; B_y – A_y; B_z – A_z>
Для n-мерных векторов	AB = 1 – A₁; B₂ – A₂; . B_n – A_n>

Примеры задач

Задание 1
Найдем координаты вектора AB , если у его точек следующие координаты: , .

Задание 2
Определим координаты точки B вектора , если координаты точки .

Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
B_x = AB _x + A_x = 6 + 2 = 8.
B_y = AB _y + A_y = 14 + 5 = 19.

Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Скалярным произведением (или внутренним произведением) 2 векторов есть операция с двумя

векторами, итогом чего является число (скаляр), которое не зависит от системы координат и которое

характеризует длины векторов-сомножителей и угол между векторами.

Также скалярным произведением двух векторов называется число, которое

равно произведению модулей 2 векторов на косинус угла между векторами.

Скалярное произведение векторов формула:

Этой операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта

операция зачастую рассматривается как коммутативная и линейная по каждому из сомножителей.

Скалярное произведение векторов ,, обозначается так: (порядок записи сомножителей не имеет

значения, т.е. ).

Еще используются такие обозначения: , , .

В основном имеется ввиду, что скалярное произведение определено положительно, т.е.

при каждом . Если этого не иметь ввиду, то произведение зовется индефинитным

(неопределенным).

Если хотя бы один из 2 векторов или равен нулевому вектору (равен нулю), то .

Свойства скалярного произведения векторов.

1. – симметричность.

2. обозначается и зовется скалярный квадрат.

3. Если , то

4. Если и и и , то . Обратное утверждение тоже соответствует

Если же векторы и заданы своими координатами: , , то: скалярное

произведение векторов, формула:

Формула для определения длины вектора:

Длина (модуль) вектора, с известными координатами, равен квадратному корню из суммы квадратов

Длина вектора , заданного своими координатами, равна:

Как определить угол между 2 векторами:

Как найти угол между двумя векторами , , формула:

Ежели угол меж двумя векторами острый, то их скалярное произведение имеет положительный знак; если

же угол между двумя векторами тупой, то их скалярное произведение имеет отрицательный знак.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы

ортогональны.

Альтернативное определение скалярного произведения векторов (вычисление скалярного

произведения двух векторов, заданных своими координатами).

Вычислить координаты вектора, если заданы координаты его начала и его конца очень просто. Давайте

рассмотрим этот вопрос:

Пусть есть вектор AB, точка А – это начало вектора, а В – конец, и координаты этих точек приведены ниже:

Исходя из этого, координаты вектора АВ:

Точно так же и в двухмерном пространстве – разница в отсутствии третьих координат.

Итак, предположим, даны два вектора, которые заданы набором координат своих точек:

а) В двухмерном пространстве (плоскость):

Значит, скалярное произведение этих векторов вычислим по формуле:

б) В трехмерном пространстве:

Как и в двухмерном случае, скалярное произведение двух векторов вычисляем по формуле:

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

То есть A + C + D = 0.

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать “параллелепипед”.

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.calc.ru/Vektor-Skalyarnoye-Proizvedeniye-Vektorov-Ugol-Mezhdu-Vektor.html

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vektory-v-prostranstve-i-metod-koordinat/

[/spoiler]

Источник

Математика

Тема 5: Метод координат

Урок 4: Координаты вектора. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

Координаты вектора. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

Если векторы a⃗ и b⃗ коллинеарны и a⃗≠0⃗, то существует такое число k, что b⃗=ka⃗.

Пусть a⃗ и b⃗ – два данных вектора. Если вектор p представлен в виде p⃗=xa⃗+yb⃗, где x и y – некоторые числа, то говорят, что вектор p⃗ разложен по векторам a⃗ и b⃗. Числа x и y называются коэффициентами разложения.

Теорема

На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Напомню, что для задания прямоугольной системы координат нужно провести две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрать направление (оно обозначается стрелкой) и выбрать единицу измерения отрезков. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.

В дальнейшем под длиной отрезка мы будем понимать это число.

Отложим от начала координат O единичные векторы (т.е. векторы, длины которых равны единице) i⃗ и j⃗ так, чтобы направление вектора i⃗совпало с напралением оси Ox, а направление вектора j⃗ – с направлением оси Oy. Векторы i⃗ и j⃗ назовем координатными векторами.

Координатные векторы не коллинеарны, поэтому любой вектор p⃗ можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде p⃗=xi⃗+yj⃗, причем коэффициенты разложения (числа x и y) определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора p⃗ по координатным векторамназываются координатными векторамиp⃗ в данной системе координат. Координаты вектора будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора: p⃗{x;y}.

Так как нулевой вектор можно представить в виде 0⃗=0.i⃗+0^.j⃗, то его координаты равны нулю: 0⃗{0;0}. Если векторы a⃗=x1i⃗+y1j⃗ и b⃗=x₂i⃗+y₂j⃗ равны, то x₁ = x₂ и y₁ = y₃. Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.

Рассмотрим правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число.

Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Докажем это утверждение для двух векторов. Рассмотрим векторы a{x1;y1} и b{x2;y2}. Так как a⃗=x1i⃗+y1j⃗ и b ⃗=x2i⃗ +y2j⃗ ,то, пользуясь свойствами сложения векторов и умножения вектора на число, получим:

a⃗+b⃗=x₁i⃗+y₁j⃗+x₂i⃗+y₂j⃗=(x₁+x₂)i⃗+(y₁+y₂)j⃗ .

Следовательно, что координаты вектора a⃗+b⃗ равны {x1+x2; y1+y2}.

Аналогично доказывается следующее утверждение:
Каждая координата разности двух или более векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

Иными словами, если a⃗{x₁;y₁} и b⃗{x₂;y₂} – данные векторы, то вектор a⃗–b⃗ имеет координаты {x1-x2;y1-y2}.
Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

В самом деле, пусть вектор a⃗ имеет координаты {x;y}. Найдем координаты вектора ka⃗, гдеk – произвольное число. Так как a⃗=xi⃗+yj⃗, то kxi⃗+kyj⃗. Отсюда следует, что координаты вектора ka⃗ равны {kx;ky}.

Рассмотренные правила позволяют определить координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов с известными координатами.

Найти координаты вектора a⃗+b⃗,если a⃗{3;2},b⃗{2;5}

Чтобы найти координаты вектора суммы, надо сложить соответствующие координаты данных векторов, получим:

a⃗+b⃗ имеет координаты {3 + 2; 2 + 5}, то есть {5; 7}

Найти координаты вектора 2a⃗, если a⃗{3;2}

Значит, вектор 2a⃗ имеет координаты {2 ⋅ 3; 2 ⋅ 2}, то есть {6;4}

Итак, сегодня мы узнали, что любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, ввели понятие координат вектора и рассмотрели правила, позволяющие находить координаты суммы, разности векторов, и произведения вектора на число. А в следующий раз мы найдем связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.

Заметили ошибку?

Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.

Источник

Содержание:

Формула
Примеры нахождения координат вектора

Формула

Чтобы найти координаты вектора $overline {A B}$, если заданы координаты его начала и конца,
необходимо от координат конца отнять соответствующие координаты начала. В случае если точки заданы на плоскости и имеют соответственно
координаты $Aleft(x_{A} ; y_{A}right)$ и $Bleft(x_{B} ; y_{B}right)$, то координаты вектора $overline {A B}$ вычисляются по формуле:

$$overline{A B}=left(x_{B}-x_{A} ; y_{B}-y_{A}right)$$

Если точки заданы в пространстве и имеют координаты
$Aleft(x_{A} ; y_{A} ; z_{A}right)$ и $Bleft(x_{B} ; y_{B} ; z_{B}right)$ соответственно, то координаты вектора
$overline {A B}$ вычисляются по следующей формуле:

$$overline{A B}=left(x_{B}-x_{A} ; y_{B}-y_{A} ; z_{B}-z_{A}right)$$

Примеры нахождения координат вектора

Пример

Задание. Даны точки
$A(5 ; 1)$ и $B(4 ;-3)$. Найти координаты векторов
$overline {A B}$ и
$overline {B A}$

Решение. Точки заданны на плоскости, поэтому координаты вектора
$overline {A B}$ вычислим по формуле:

$$overline{A B}=left(x_{B}-x_{A} ; y_{B}-y_{A}right)$$

Подставляя координаты заданных точек, получим:

$$overline{A B}=(4-5 ;-3-1)=(-1 ;-4)$$

Для нахождения вектора $overline {B A}$ исходная формула примет вид:

$$overline{B A}=left(x_{A}-x_{B} ; y_{A}-y_{B}right)$$

то есть

$$overline{B A}=(5-4 ; 1-(-3))=(1 ; 4)$$

Ответ. $overline{A B}=(-1 ;-4), overline{B A}=(1 ; 4)$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Даны точки
$A(4 ; 3 ; 2)$, $B(-3 ; 2 ;-1)$ и $C(-1 ; 0 ; 1)$ . Найти координаты вектора
$overline {A B}$,
$overline {C B}$ .

Решение. Точки заданны в пространстве, поэтому для нахождения координат искомых векторов будем пользоваться формулой

$overline{A B}=left(x_{B}-x_{A} ; y_{B}-y_{A} ; z_{B}-z_{A}right)$

Подставляя заданные координаты, получим:

$$overline{A B}=(-3-4 ; 2-3 ;-1-2)=(-7 ;-1 ;-3)$$

Для вектора $overline {C B}$ имеем:

$overline{C B}=left(x_{B}-x_{C} ; y_{B}-y_{C} ; z_{B}-z_{C}right)$
$overline{C B}=(-3-(-1) ; 2-0 ;-1-1)=(-2 ; 2 ;-2)$

Ответ. $overline{A B}=(-7 ;-1 ;-3), overline{C B}=(-2 ; 2 ;-2)$

Читать дальше: как найти направляющие косинусы вектора.

Источник

До сих пор считалось, что векторы
рассматриваются в пространстве. Начиная
с этого момента будим считать, что все
векторы рассматриваются на плоскости.
Будем также полагать, что на плоскости
задана Декартова система координат
(даже если об этом не говорится),
представляющая две взаимно перпендикулярные
числовые оси – горизонтальная ось
и
вертикальная ось.
Тогда каждой точкена
плоскости ставится в соответствие пара
чисел,
которые являются ее координатами.
Обратно, каждой паре чиселсоответствует точка плоскости такая,
что пара чиселявляются ее координатами.

Рис. 19.

Из элементарной геометрии известно,
что если на плоскости имеются две точки
и,
то расстояниемежду
этими точками выражается через их
координаты по формуле

Пусть на плоскости задана Декартова
система координат. Орт оси
будем обозначать символом,
а орт осисимволом.
Проекцию произвольноговекторана осьбудем обозначать символом,
а проекцию на осьсимволом.

Рис. 20.

Пусть
– произвольный вектор на плоскости.
Имеет место следующая теорема.

Теорема 22.

Для любого вектора
на плоскости существует пара чиселтаких, что справедливо равенство

При этом
,.

Доказательство.

Рис. 21.

Пусть дан вектор.
Отложим векторот начала координат. Обозначим черезвектор-проекцию векторана ось,
а черезвектор-проекцию векторана ось.
Тогда, как видно из рисунка 21, имеет
место равенство

Согласно
теореме 9,

Обозначим
,.
Тогда получаем

Итак, доказано, что для любого вектора
существует пара чиселтаких, что справедливо равенство

Причем,

При другом расположении вектора
относительно осей доказательство
аналогично.

Определение.

Пара чисел
итаких, что,
называются координатами вектора.
Числоназывается иксовой координатой, а числоигрековой координатой.

Определение.

Пара ортов осей координат
называется ортонормированным базисом
на плоскости. Представление любого
векторав виденазывается разложением векторапо базису.

Непосредственно из определения
координат вектора следует, что если
координаты векторов равны, то равны и
сами векторы. Справедливо также и
обратное утверждение.

Теорема.

Равные векторы имеют равные
координаты.

Доказательство.

Пусть

и
.
Докажем, что,.

Из равенства векторов следует, что

Отсюда

Допустим, что
,
а.

Тогда
и значит,
что не верно. Аналогично, если,
но,
то.
Отсюда,
что не верно. Наконец, если допустить,
чтои,
то получаем, что

Это означает, что векторы
иколлинеареы. Но это не верно, так как
они перпендикулярны. Следовательно,
остается, что,,
что и требовалось доказать.

Таким образом, координаты вектора
полностью определяют сам вектор. Зная
координаты
ивектораможно построить сам вектор, построив векторыии сложив их. Поэтому часто сам векторобозначают в виде пары его координат и
пишут.
Такая запись означает, что.

Непосредственно из определения
координат вектора следует следующая
теорема.

Теорема.

При сложении векторов их координаты
складываются а при умножении вектора
на число его координаты умножаются на
это число. Записываются эти утверждения
в виде

Доказательство.

Далее установим как связаны
координаты вектора с координатами его
концов.

Теорема.

Пусть
,
причем начало вектора точкаимеет координаты,
а конец вектора есть точка.
Тогда координаты вектора связаны с
координатами его концов следующими
соотношениями

Доказательство.

Пусть
и пусть вектор-проекция векторана осьсонаправлен с осью(см. рис. 22). Тогда

так
как длина отрезка на числовой осиравна координате правого конца минус
координата левого конца. Если вектор

Рис. 22.

противонаправлен оси(как
на Рис. 23), то

Рис. 23.

Если
,
то в этом случаеи тогда получаем

Таким образом, при любом расположении
вектора
относительно
осей координат его координатаравна

Аналогично доказывается, что

Пример.

Даны координаты концов вектора
:.
Найти координаты вектора.

Решение.

В следующей теореме приводится выражение
длины вектора через его координаты.

Теорема 15.

Пусть
.Тогда

Доказательство.

Пусть
и– вектор-проекции векторана осии,
соответственно. Тогда, как показано при
доказательстве теоремы 9, имеет место
равенство

При этом, векторы
ивзаимно перпендикулярны. При сложении
этих векторов по правилу треугольника
получаем прямоугольный треугольник
(см. Рис. 24).

Рис. 24.

По теореме Пифагора имеем

Но

Следовательно

Отсюда

Или

Пример.

.Найти.

Решение.

Введем понятие направляющих
косинусов вектора .

Определение.

Пусть вектор
составляет с осьюугол,
а с осьюугол(см. Рис. 25).

Рис. 25.

Тогда

Следовательно,

Так как для любого вектора
имеет место равенство

Где
– орт вектора,
то есть вектор единичной длины,
сонаправленный с вектором,
то

Вектор
определяет направление вектора.
Его координатыиназываются направляющими косинусами
вектора.
Направляющие косинусы вектора можно
выразить через его координаты по формулам

Имеет место соотношение

До настоящего момента в этом
параграфе считалось, что все векторы
располагаются в одной и той же плоскости.
Теперь сделаем обобщение для векторов
в пространстве.

Будем считать, что в пространстве
задана Декартова система координат с
осями
,и.

Орты осей
,ибудем обозначать символами,и,
соответственно (Рис. 26).

Можно показать, что все понятия и
формулы, которые были получены для
векторов на плоскости, обобщаются для

Рис. 26.

векторов в пространстве. Тройка векторов
называется ортонормированным базисом
в пространстве.

Пусть
,и– вектор-проекции векторана
оси,и,
соответственно. Тогда

В свою очередь

Если обозначить

То получаем равенство

Коэффициенты перед базисными векторами
,иназываются координатами вектора.
Таким образом, для любого векторав пространстве существует тройка чисел,,,
называемых координатами векторатаких,
что для этого вектора справедливо
представление

Вектор
в этом случае также обозначают в виде.
При этом, координаты вектора равны
проекциям этого вектора на координатные
оси

где
–
угол между вектороми осью,–
угол между вектороми осью,– угол между вектороми осью.

Длина вектора
выражается через его координаты по
формуле

Справедливы утверждения о том, что
равные векторы имеют равные координаты,
при сложении векторов их координаты
складываются, а при умножении вектора
на число его координаты умножаются на
это число.
,иназываются
направляющими косинусами вектора.
Они связаны с координатами вектора
формулами