Как найти координаты векторов противоположных данным

Вспомним, как мы находили координаты вектора на
плоскости.

Пользуясь тем, что любой вектор можно разложить по
двум неколлинеарным векторам, на осях мы задавали единичные векторы. Таким
образом, любой вектор можно разложить по данным единичным векторам, а
координатами вектора являются коэффициенты этого разложения.

Так же вам уже известно, что любой вектор пространства
можно выразить через 3 некомпланарных вектора, то есть векторы, не лежащие в
одной плоскости.

Изобразим прямоугольную систему координат Охуz.
На каждой из положительных осей от начала координат отложим единичные векторы.

Буквой i
обозначим единичный вектор оси Оx,
буквой j — единичный вектор оси Оy,
буквой k — единичный вектор оси Оz.

Определение:

Векторы i,
j, k
будем называть координатными векторами.

Понятно, что они являются некомпланарными. И
поэтому любой вектор пространства можно разложить по единичным векторам i,
j, k.
Причём коэффициенты разложения х, у и z
определяются единственным образом.

Коэффициенты х, у и z
называют
координатами вектора р в данной системе координат. Координаты
вектора будем записывать в фигурных скобках в последовательности х, у, z.

Задание: Пользуясь
разложениями векторов по координатным векторам, записать их координаты.

Решение:

Задание: пользуясь
координатами векторов, запишем их разложения по координатным векторам i,
j, k.

Решение:

Задача: В
прямоугольном параллелепипеде 𝑂𝐴 =
2, 𝑂𝐵 =
3, а ОО₁ = 2. Найти координаты векторов 𝑂𝐴₁,
𝑂𝐵₁,
𝑂𝑂₁,
𝑂𝐶,
𝑂𝐶₁,
𝐵𝐶₁,
𝐴𝐶₁
и 𝑂₁ 𝐶.

Решение:

После выполнения этого задания можно сделать вывод
о том, что если вектор лежит в некоторой из координатных плоскостей или
параллелен ей, а также лежит или параллелен некоторой из координатных осей, то
его соответствующие координаты равны нулю.

Если вектор лежит в координатной плоскости Оху или
параллелен ей, то его аппликата равна нулю. Если вектор принадлежит или
параллелен координатной плоскости Охz,
то его ордината равна нулю. Если же вектор принадлежит или параллелен
координатной плоскости Оyz,
то его абсцисса равна нулю.

В случае, когда вектор лежит на оси координат Оx
или параллелен ей, то ордината и аппликата равны нулю. Если вектор принадлежит
или параллелен оси Оy, то абсцисса и
аппликата равны нулю. И если вектор принадлежит или параллелен оси Оz,
то абсцисса и ордината равны нулю.

А сейчас поговорим о противоположных векторах. Из
планиметрии известно, что координаты противоположных векторов
противоположны. Это утверждение верно и для векторов в пространстве.

Задание: найти
координаты векторов противоположных данным векторам.

Решение:

Также из курса планиметрии вам известны правила
определения координат вектора суммы, вектора разности и произведения
вектора на число.

Такие же правила действую и для координат векторов в
пространстве.

Задание: 𝑎 ⃗{−1;0;3},
𝑏 ⃗{5;−2;1}
и 𝑐 ⃗{1;7;−2}.
Определить координаты векторов:

1) 𝑎 ⃗+𝑐 ⃗;  
2) 𝑏 ⃗−𝑎 ⃗;  
3) 2𝑎 ⃗+𝑏 ⃗;  
4) 1/2 𝑎 ⃗−2𝑏 ⃗+𝑐 ⃗.

Решение:

Так, используя правила определения координат вектора
суммы, разности и произведения вектора на число, мы определили координаты
данных векторов.

Итоги:

Сегодня мы ввели понятие координатных векторов i,
j, k.
И, пользуясь тем, что любой вектор пространства можно выразить через 3
некомпланарных вектора, записали, что коэффициенты х, у и z
называют координатами вектора p
в данной системе координат.

Мы отметили, что все координаты нулевого вектора равны
нулю. Равные векторы имеют равные координаты, а координаты противоположных
векторов противоположны.

Также мы записали правила, которые позволяют находить
координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных
векторов, координаты которых известны.

Мы помним, что в таком случае их проекции отличаются лишь знаками. И это действительно так:

Поступаем с (vec) так же, как поступали с первым вектором.

Он перпендикулярен оси Х, а значит его проекция (что есть разность между проекциями точки конца и начала!) на эту ось равна нулю.

Проведя перпендикуляры, считаем проекцию на ось Y:

С (vec) работать приятно: он расположен по направлению обеих осей. Обе его проекции будут положительны, остается лишь посчитать их:

Задачи на нахождение вектора и его угла с осью

С помощью проекций можно найти длину вектора и его направление, а также угол, под которым он находится относительно оси.

Давай попробуем это сделать.

Даны проекции вектора на две оси. Для начала нарисуем оси:

Расположить вектор можно как угодно, поэтому произвольно отметим на осях его проекции. Мы помним, что проекции и вектор образуют прямоугольный треугольник. Давай попробуем его составить.

С проекцией на ось Х все понятно, просто поднимаем ее. Но куда поставить проекцию оси Y?

Для этого нам нужно определить направление вектора. Проекция на ось Х отрицательна, значит вектор направлен в другую сторону от оси.

Проекция на ось Y положительна. Вектор смотрит в ту же сторону, что и ось.

Исходя из этого, мы можем нарисовать вектор и получить прямоугольный треугольник:

Теперь нужно найти длину этого вектора. Используем старую добрую теорему Пифагора:

Обозначим угол (alpha ), который необходимо найти, мы учились это делать в начале изучения проекций. Он расположен вне треугольника. Мы ведь не ищем легких путей, верно?

Рассмотрим смежный ему угол (beta ). Его найти гораздо проще, а в сумме они дадут 180 градусов.

Чтобы сделать это, абстрагируемся от векторов, проекций и просто поработаем с треугольником, стороны которого равны 3, 4 и 5. Найдем синус угла (beta ) и по таблице Брадиса (либо с помощью инженерного калькулятора) определим его значение.

Вычитанием угла (beta ) из 180 градусов найдем угол (alpha ):

Главный метод работы с осями и проекциями в решении физических задач

В большинстве задач по физике, когда в условиях нам дают значения векторных величин, например, скорости, нам дают длину вектора.

Поэтому важно научиться искать проекции вектора и связывать их с ней.

Рассмотрим следующий рисунок (вектор F2 перпендикулярен вектору F3):

Чаще всего с подобным расположением векторов мы встречаемся в задачах, где необходимо обозначить все силы, действующие на тело.

Одним из важных этапов решение «векторной части» этих задач является правильный выбор расположения осей. Он заключается в том, чтобы расположить оси так, чтобы как можно большее число векторов оказались им параллельны.

Как правило, оси располагаются под прямым углом друг к другу, чтобы не получить лишней работы с углами.

Сделаем это для данного рисунка:

Мы видим, что остальные векторы расположены к осям под каким-то углом.

Пунктиром проведем горизонтальную линию и отметим этот угол, а затем отметим другие равные ему углы:

Пришло время искать проекции. У нас две оси, поэтому сделаем для удобства табличку:

Мы располагали оси так, чтобы некоторые векторы были расположены параллельно осям, значит их проекции будут равняться их длинам.

Оси перпендикулярны друг другу, поэтому некоторые проекции будут равняться нулю. Запишем это:

Переходим к векторам, которые расположены под углом.

Выглядит страшно, но это не так!

Дальше идет чистая геометрия. Чтобы не запутаться, рассмотрим лишь часть рисунка. А лучше и вовсе перерисовать его часть, могут открыться много новых вещей.

Из конца вектора F1 проведем перпендикуляр к оси Y. Мы получим прямоугольный треугольник, где нам известен угол (альфа) и гипотенуза (вектор).

Обозначим, что является проекцией. Это катет:

Здесь на помощь придет тригонометрия. Этот катет прилежащий к известному углу. Синус угла есть проекция катета, деленная на гипотенузу. Отсюда можно выразить катет (проекцию) и записать ее в таблицу.

Вспомни, когда мы первый раз встретились с тригонометрией, изучая векторы. Мы тоже рассматривали прямоугольный треугольник.

Найдем проекцию на ось Х. Это, кажется, сложнее, ведь мы не знаем угол…

Знаем! Ведь проекция вектора на ось Х – то же самое, что противолежащий катет уже рассмотренного треугольника, смотри:

Значит, проекцию на ось Х можно найти через косинус.

Не забываем смотреть на направления векторов!

Попробуй найти проекции четвертого вектора самостоятельно и сверься с таблицей.

Значит, проекцию на ось Х можно найти через косинус.

Не забываем смотреть на направления векторов!

Попробуй найти проекции четвертого вектора самостоятельно и сверься с таблицей.

Заключение

Итак, теперь мы знаем о векторах очень много! Мы выяснили, зачем они нужны и как с ними работать, а еще разобрали их роль в решении различных задач. Теперь векторы — наша прочная опора.

Именно из таких знаний складывается порой нечто более сложное и комплексное, что-то, что безусловно нам однажды поможет.

Линейная алгебра для разработчиков игр

Эта статья является переводом цикла из четырёх статей «Linear algebra for game developers», написанных David Rosen и посвящённых линейной алгебре и её применению в разработке игр. С оригинальными статьями можно ознакомиться тут: часть 1, часть 2, часть 3 и часть 4. Я не стал публиковать переводы отдельными топиками, а объединил все статьи в одну. Думаю, что так будет удобнее воспринимать материал и работать с ним. Итак приступим.

Зачем нам линейная алгебра?

Одним из направлений в линейной алгебре является изучение векторов. Если в вашей игре применяется позиционирование экранных кнопок, работа с камерой и её направлением, скоростями объектов, то вам придётся иметь дело с векторами. Чем лучше вы понимаете линейную алгебру, тем больший контроль вы получаете над поведением векторов и, следовательно, над вашей игрой.

Что такое вектор?

В играх вектора используются для хранения местоположений, направлений и скоростей. Ниже приведён пример двухмерного вектора:

Вектор местоположения (также называемый «радиус-вектором») показывает, что человек стоит в двух метрах восточнее и в одном метре к северу от исходной точки. Вектор скорости показывает, что за единицу времени самолёт перемещается на три километра вверх и на два — влево. Вектор направления говорит нам о том, что пистолет направлен вправо.

Как вы можете заметить, вектор сам по себе всего лишь набор цифр, который обретает тот или иной смысл в зависимости от контекста. К примеру, вектор (1, 0) может быть как направлением для оружия, как показано на картинке, так и координатами строения в одну милю к востоку от вашей текущей позиции. Или скоростью улитки, которая двигается вправо со скоростью в 1 милю в час (прим. переводчика: довольно быстро для улитки, 44 сантиметра в секунду).

Важно отслеживать единицы измерения. Допустим у нас есть вектор V (3,5,2). Это мало что говорит нам. Три чего, пять чего? В нашей игре Overgrowth расстояния указываются в метрах, а скорости в метрах в секунду. Первое число в этом векторе — это направление на восток, второе — направление вверх, третье — направление на север. Отрицательные числа обозначают противоположные направления, на запад, вниз и на юг. Местоположение, определяемое вектором V (3,5,2), находится в трёх метрах к востоку, в пяти метрах вверху и в двух метрах к северу, как показано на картинке ниже.

Итак, мы изучили основы работы с векторами. Теперь узнаем как вектора использовать.

Сложение векторов

Чтобы сложить вектора, нам надо просто сложить каждую их составляющую друг с другом. Например:

(0, 1, 4) + (3, -2, 5) = (0+3, 1-2, 4+5) = (3, -1, 9)

Зачем нам нужно складывать вектора? Наиболее часто сложение векторов в играх применяется для физического интегрирования. Любой физический объект будет иметь вектора для местоположения, скорости и ускорения. Для каждого кадра (обычно это одна шестидесятая часть секунды), мы должны интегрировать два вектора: добавить скорость к местоположению и ускорение к скорости.

Давайте рассмотрим пример с прыжками Марио. Он начинает с позиции (0, 0). В момент начала прыжка его скорость (1, 3), он быстро двигается вверх и вправо. Его ускорение равно (0, -1), так как гравитация тянет его вниз. На картинке показано, как выглядит его прыжок, разбитый на семь кадров. Чёрным текстом показана его скорость в каждом фрейме.

Давайте рассмотрим первые кадры поподробнее, чтобы понять как всё происходит.

Для первого кадра, мы добавляем скорость Марио (1, 3) к его местоположению (0, 0) и получаем его новые координаты (1, 3). Затем мы складываем ускорение (0, -1) с его скоростью (1, 3) и получаем новое значение скорости Марио (1, 2).

Делаем то-же самое для второго кадра. Добавляем скорость (1, 2) к местоположению (1, 3) и получаем координаты (2, 5). Затем добавляем ускорение (0, -1) к его скорости (1, 2) и получаем новую скорость (1, 1).

Обычно игрок контролирует ускорение игрового персонажа с помощью клавиатуры или геймпада, а игра, в свою очередь, рассчитывает новые значения для скоростей и местоположения, используя физическое сложение (через сложение векторов). Это та-же задача, которая решается в интегральном исчислении, просто мы его сильно упрощаем для нашей игры. Я заметил, что мне намного проще внимательно слушать лекции по интегральному исчислению, думая о практическом его применении, которое мы только что описали.

Вычитание векторов

Вычитание рассчитывается по тому-же принципу что и сложение — вычитаем соответствующие компоненты векторов. Вычитание векторов удобно для получения вектора, который показывает из одного местоположения на другое. Например, пусть игрок находится по координатам (1, 2) с лазерным ружьём, а вражеский робот находится по координатам (4, 3). Чтобы определить вектор движения лазерного луча, который поразит робота, нам надо вычесть местоположение игрока из местоположения робота. Получаем:

(4, 3) — (1, 2) = (4-1, 3-2) = (3, 1).

Умножение вектора на скаляр

Когда мы говорим о векторах, мы называем отдельные числа скалярами. Например (3, 4) — вектор, а 5 — это скаляр. В играх, часто бывает нужно умножить вектор на число (скаляр). Например, моделируя простое сопротивление воздуха путём умножения скорости игрока на 0.9 в каждом кадре. Чтобы сделать это, нам надо умножить каждый компонент вектора на скаляр. Если скорость игрока (10, 20), то новая скорость будет:

0.9*(10, 20) = (0.9 * 10, 0.9 * 20) = (9, 18).

Длина вектора

Если у нас есть корабль с вектором скорости V (4, 3), нам также понадобится узнать как быстро он двигается, чтобы посчитать потребность в экранном пространстве или сколько потребуется топлива. Чтобы сделать это, нам понадобится найти длину (модуль) вектора V. Длина вектора обозначается вертикальными линиями, в нашем случае длина вектора V будет обозначаться как |V|.

Мы можем представить V как прямоугольный треугольник со сторонами 4 и 3 и, применяя теорему Пифагора, получить гипотенузу из выражения: x 2 + y 2 = h 2

В нашем случае — длину вектора H с компонентами (x, y) мы получаем из квадратного корня: sqrt(x 2 + y 2 ).

Итак, скорость нашего корабля равна:

|V| = sqrt(4 2 + 3 2 ) = sqrt(25) = 5

Этот подход используется и для трёхмерных векторов. Длина вектора с компонентами (x, y, z) рассчитывается как sqrt(x 2 + y 2 + z 2 )

Расстояние

Если игрок P находится в точке (3, 3), а взрыв произошёл в точке E по координатам (1, 2), нам надо определить расстояние между игроком и взрывом, чтобы рассчитать степень ущерба, нанесённого игроку. Это легко сделать, комбинируя две вышеописанных операции: вычитание векторов и их длину.
Мы вычитаем P — E, чтобы получить вектор между ними. А затем определяем длину этого вектора, что и даёт нам искомое расстояние. Порядок следования операндов тут не имеет значения, |E — P| даст тот-же самый результат.

Расстояние = |P — E| = |(3, 3) — (1, 2)| = |(2, 1)| = sqrt(2 2 +1 2 ) = sqrt(5) = 2.23

Нормализация

Когда мы имеем дело с направлениями (в отличие от местоположений и скоростей), важно, чтобы вектор направления имел длину, равную единице. Это сильно упрощает нам жизнь. Например, допустим орудие развёрнуто в направлении (1, 0) и выстреливает снаряд со скоростью 20 метров в секунду. Каков в данном случае вектор скорости для выпущенного снаряда?

Так как вектор направления имеет длину равную единице, мы умножаем направление на скорость снаряда и получаем вектор скорости (20, 0). Если-же вектор направления имеет отличную от единицы длину, мы не сможем сделать этого. Снаряд будет либо слишком быстрым, либо слишком медленным.

Вектор с длиной равной единице называется «нормализованным». Как сделать вектор нормализованным? Довольно просто. Мы делим каждый компонент вектора на его длину. Если, к примеру, мы хотим нормализовать вектор V с компонентами (3, 4), мы просто делим каждый компонент на его длину, то есть на 5, и получаем (3/5, 4/5). Теперь, с помощью теоремы Пифагора, мы убедимся в том, что его длина равна единице:

(3/5) 2 + (4/5) 2 = 9/25 + 16/25 = 25/25 = 1

Скалярное произведение векторов

Что такое скалярное произведение (записывается как •)? Чтобы рассчитать скалярное произведение двух векторов, мы должны умножить их компоненты, а затем сложить полученные результаты вместе

(a1, a2) • (b1, b2) = a1b1 + a2b2

Например: (3, 2) • (1, 4) = 3*1 + 2*4 = 11. На первый взгляд это кажется бесполезным, но посмотрим внимательнее на это:

Здесь мы можем увидеть, что если вектора указывают в одном направлении, то их скалярное произведение больше нуля. Когда они перпендикулярны друг другу, то скалярное произведение равно нулю. И когда они указывают в противоположных направлениях, их скалярное произведение меньше нуля.
В основном, с помощью скалярного произведения векторов можно рассчитать, сколько их указывает в одном направлении. И хоть это лишь малая часть возможностей скалярного произведения, но уже очень для нас полезная.

Допустим у нас есть стражник, расположенный в G(1, 3) смотрящий в направлении D(1,1), с углом обзора 180 градусов. Главный герой игры подсматривает за ним с позиции H(3, 2). Как определить, находится-ли главный герой в поле зрения стражника или нет? Сделаем это путём скалярного произведения векторов D и V (вектора, направленного от стражника к главному герою). Мы получим следующее:

V = H — G = (3, 2) — (1, 3) = (3-1, 2-3) = (2, -1)
D•V = (1, 1) • (2, -1) = 1*2 + 1*-1 = 2-1 = 1

Так как единица больше нуля, то главный герой находится в поле зрения стражника.

Мы уже знаем, что скалярное произведение имеет отношение к определению направления векторов. А каково его более точное определение? Математическое выражение скалярного произведения векторов выглядит так:

Где Θ (произносится как «theta») — угол между векторами A и B.

Это позволяет нам найти Θ (угол) с помощью выражения:

Как я говорил ранее, нормализация векторов упрощает нашу жизнь. И если A и B нормализованы, то выражение упрощается следующим образом:

Давайте опять рассмотрим сценарий со стражником. Пусть теперь угол обзора стражника будет равен 120 градусам. Получим нормализованные вектора для направления взгляда стражника (D’) и для направления от стражника к главному герою (V’). Затем определим угол между ними. Если угол более 60 градусов (половина от угла обзора), то главный герой находится вне поля зрения стражника.

D’ = D / |D| = (1, 1) / sqrt(1 2 + 1 2 ) = (1, 1) / sqrt(2) = (0.71, 0.71)
V’ = V / |V| = (2, -1) / sqrt(2 2 + (-1) 2 ) = (2,-1) / sqrt(5) = (0.89, -0.45)

Θ = acos(D’V’) = acos(0.71*0.89 + 0.71*(-0.45)) = acos(0.31) = 72

Угол между центром поля зрения стражника и местоположением главного героя составляет 72 градуса, следовательно стражник его не видит.

Понимаю, что это выглядит довольно сложно, но это потому, что мы всё делаем вручную. В программе это всё довольно просто. Ниже показано как я сделал это в нашей игре Overgrowth с помощью написанных мной С++ библиотек для работы с векторами:

Векторное произведение

Допустим у нас есть корабль с пушками, которые стреляют в правую и в левую стороны по курсу. Допустим, что лодка расположена вдоль вектора направления (2, 1). В каких направлениях теперь стреляют пушки?

Это довольно просто в двухмерной графике. Чтобы повернуть направление на 90 градусов по часовой стрелке, достаточно поменять местами компоненты вектора, а затем поменять знак второму компоненту.
(a, b) превращается в (b, -a). Следовательно у корабля, расположенного вдоль вектора (2, 1), пушки справа по борту будут стрелять в направлении (1, -2), а пушки с левого борта, будут стрелять в противоположном направлении. Меняем знаки у компонент вектора и получаем (-1, 2).

А что если мы хотим рассчитать это всё для трехмерной графики? Рассмотрим пример с кораблём.
У нас есть вектор мачты M, направленной прямо вверх (0, 1, 0) и направление ветра: север-северо-восток W (1, 0, 2). И мы хотим вычислить вектор направления паруса S, чтобы наилучшим образом «поймать ветер».

Для решения этой задачи мы используем векторное произведение: S = M x W.

Подставим теперь нужные нам значения:

S = MxW = (0, 1, 0) x (1, 0, 2) = ([1*2 — 0*0], [0*1 — 0*2], [0*0 — 1*1]) = (2, 0, -1)

Для расчётов вручную довольно сложно, но для графических и игровых приложений я рекомендую написать функцию, подобную той, что указана ниже и не вдаваться более в детали подобных расчётов.

Векторное произведение часто используется в играх, чтобы рассчитать нормали к поверхностям. Направления, в которых «смотрит» та или иная поверхность. Например, рассмотрим треугольник с векторами вершин A, B и С. Как мы найдем направление в котором «смотрит» треугольник, то есть направление перпендикулярное его плоскости? Это кажется сложным, но у нас есть инструмент для решения этой задачи.

Используем вычитание, для определения направления из A в С (C — A), пусть это будет «грань 1» (Edge 1) и направление из A в B (B — A), пусть это будет «грань 2» (Edge 2). А затем применим векторное произведение, чтобы найти вектор, перпендикулярный им обоим, то есть перпендикулярный плоскости треугольника, также называемый «нормалью к плоскости».

Вот так это выглядит в коде:

В играх основное выражение освещённости записывается как N • L, где N — это нормаль к освещаемой поверхности, а L — это нормализованный вектор направления света. В результате поверхность выглядит яркой, когда на неё прямо падает свет, и тёмной, когда этого не происходит.

Теперь перейдем к рассмотрению такого важного для разработчиков игр понятия, как «матрица преобразований» (transformation matrix).

Для начала изучим «строительные блоки» матрицы преобразований.

Базисный вектор

Допустим мы пишем игру Asteroids на очень старом «железе» и нам нужен простой двухмерный космический корабль, который может свободно вращаться в своей плоскости. Модель корабля выглядит так:

Как нам рисовать корабль, когда игрок поворачивает его на произвольный градус, скажем 49 градусов против часовой стрелки. Используя тригонометрию, мы можем написать функцию двухмерного поворота, которая принимает координаты точки и угол поворота, и возвращает координаты смещённой точки:

Применяя эту функцию ко всем трём точкам, мы получим следующую картину:

Операции с синусами и косинусами работают довольно медленно, но так как мы делаем расчёты лишь для трёх точек, это будет нормально работать даже на старом «железе» (прим. переводчика: в случаях, когда предполагается интенсивное использование тригонометрических функций, для ускорения вычислений, в памяти организуют таблицы значений для каждой функции и рассчитывают их во время запуска приложения. Затем при вычислении той или иной тригонометрической функции просто производится обращение к таблице).

Пусть теперь наш корабль выглядит вот так:

Теперь старый подход будет слишком медленным, так как надо будет поворачивать довольно большое количество точек. Одно из элегантных решений данной проблемы будет звучать так — «Что если вместо поворота каждой точки модели корабля, мы повернём координатную решётку нашей модели?»

Как это работает? Давайте посмотрим внимательнее, что собой представляют координаты.
Когда мы говорим о точке с координатами (3, 2), мы говорим, что её местоположение находится в трех шагах от точки отсчёта по координатной оси X, и двух шагах от точки отсчёта по координатной оси Y.

По-умолчанию координатные оси расположены так: вектор координатной оси X (1, 0), вектор координатной оси Y (0, 1). И мы получим расположение: 3(1, 0) + 2(0, 1). Но координатные оси не обязательно должны быть в таком положении. Если мы повернём координатные оси, в это-же время мы повернём все точки в координатной решётке.

Чтобы получить повернутые оси X и Y мы применим тригонометрические функции, о которых говорили выше. Если мы поворачиваем на 49 градусов, то новая координатная ось X будет получена путём поворота вектора (0, 1) на 49 градусов, а новая координатная ось Y будет получена путём поворота вектора (0, 1) на 49 градусов. Итак вектор новой оси X у нас будет равен (0.66, 0.75), а вектор новой оси Y будет (-0.75, 0.66). Сделаем это вручную для нашей простой модели из трёх точек, чтобы убедиться, что это работает так, как нужно:

Координаты верхней точки (0, 2), что означает, что её новое местоположение находится в 0 на новой (повёрнутой) оси X и 2 на новой оси Y:

0*(0.66,0.75) + 2*(-0.75, 0.66) = (-1.5, 1.3)

Нижняя левая точка (-1, -1), что означает, что её новое местоположение находится в -1 на повернутой оси X, и -1 на повернутой оси Y:

-1*(0.66,0.75) + -1*(-0.75, 0.66) = (0.1, -1.4)

Нижняя правая точка (1, -1), что означает её новое местоположение находится в 1 на повернутой оси X, и -1 на повернутой оси Y

1*(0.66,0.75) + -1*(-0.75, 0.66) = (1.4, 0.1)

Мы показали, как координаты корабля отображаются в другой координатной сетке с повернутыми осями (или «базисными векторами»). Это удобно в нашем случае, так как избавляет нас от необходимости применять тригонометрические преобразования к каждой из точек модели корабля.

Каждый раз, когда мы изменяем базисные вектора (1, 0) и (0, 1) на (a, b) и (c, d), то новая координата точки (x, y) может быть найдена с помощью выражения:

Обычно базисные вектора равны (1, 0) и (0, 1) и мы просто получаем x(1, 0) + y(0, 1) = (x, y), и нет необходимости заботиться об этом дальше. Однако, важно помнить, что мы можем использовать и другие базисные вектора, когда нам это нужно.

Матрицы

Матрицы похожи на двухмерные вектора. Например, типичная 2×2 матрица, может выглядеть так:

Когда вы умножаете матрицу на вектор, вы суммируете скалярное произведение каждой строки с вектором, на который происходит умножение. Например, если мы умножаем вышеприведённую матрицу на вектор (x, y), то мы получаем:

Будучи записанным по-другому, это выражение выглядит так:

Выглядит знакомо, не так-ли? Это в точности такое-же выражение, которые мы использовали для смены базисных векторов. Это означает, что умножая 2×2 матрицу на двухмерный вектор, мы тем самым меняем базисные вектора. Например, если мы вставим стандартные базисные вектора в (1, 0) и (0, 1) в колонки матрицы, то мы получим:

Это единичная матрица, которая не даёт эффекта, который мы можем ожидать от нейтральных базисных векторов, которые мы указали. Если-же мы повернём базисные вектора на 49-градусов, то мы получим:

Эта матрица будет поворачивать двухмерный вектор на 49 градусов против часовой стрелки. Мы можем сделать код нашей игры Asteriods более элегантным, используя матрицы вроде этой. Например, функция поворота нашего корабля может выглядеть так:

Однако, наш код будет ещё более элегантным, если мы сможем также включить в эту матрицу перемещение корабля в пространстве. Тогда у нас будет единая структура данных, которая будет заключать в себе и применять информацию об ориентации объекта и его местоположении в пространстве.

К счастью есть способ добиться этого, хоть это и выглядит не очень элегантно. Если мы хотим переместиться с помощью вектора (e, f), мы лишь включаем его в нашу матрицу преобразования:

И добавляем дополнительную единицу в конец каждого вектора, определяющего местоположение объекта, например так:

Теперь, когда мы перемножаем их, мы получаем:

(a, c, e) • (x, y, 1) + (b, d, f) • (x, y, 1) + (0, 0, 1) • (x, y, 1)

Что, в свою очередь, может быть записано как:

x(a, b) + y(c, d) + (e, f)

Теперь у нас есть полный механизм трансформации, заключённый в одной матрице. Это важно, если не принимать в расчёт элегантность кода, так как с ней мы теперь можем использовать все стандартные манипуляции с матрицами. Например перемножить матрицы, чтобы добавить нужный эффект, или мы можем инвертировать матрицу, чтобы получить прямо противоположное положение объекта.

Трехмерные матрицы

Матрицы в трехмерном пространстве работают так-же как и в двухмерном. Я приводил примеры с двухмерными векторами и матрицами, так как их просто отобразить с помощью дисплея, показывающего двухмерную картинку. Нам просто надо определить три колонки для базисных векторов, вместо двух. Если базисные вектора это (a,b,c), (d,e,f) and (g,h,i) то наша матрица будет выглядеть так:

Если нам нужно перемещение (j,k,l), то мы добавляем дополнительную колонку и строку, как говорили раньше:

И добавляем единицу [1] в вектор, как здесь:

Вращение в двухмерном пространстве

Так как в нашем случае у нас только одна ось вращения (расположенная на дисплее), единственное, что нам надо знать, это угол. Я говорил об этом ранее, упоминая, что мы можем применять тригонометрические функции для реализации функции двухмерного вращения наподобие этой:

Более элегантно это можно выразить в матричной форме. Чтобы определить матрицу, мы можем применить эту функцию к осям (1, 0) и (0, 1) для угла Θ, а затем включить полученные оси в колонки нашей матрицы. Итак, начнём с координатной оси X (1, 0). Если мы применим к ней нашу функцию, мы получим:

(1*cos(Θ) — 0*sin(Θ), 1*sin(Θ) + 0*cos(Θ)) = (cos(Θ), sin(Θ))

Затем, мы включаем координатную ось Y (0, 1). Получим:

(0*cos(Θ) — 1*sin(Θ), 0*sin(Θ) + 1*cos(Θ)) = (-sin(Θ), cos(Θ))

Включаем полученные координатные оси в матрицу, и получаем двухмерную матрицу вращения:

Применим эту матрицу к Сюзанне, мартышке из графического пакета Blender. Угол поворота Θ равен 45 градусов по часовой стрелке.

Как видите — это работает. Но что если нам надо осуществить вращение вокруг точки, отличной от (0, 0)?
Например, мы хотим вращать голову мартышки вокруг точки, расположенной в её ухе:

Чтобы сделать это, мы можем начать с создания матрицы перемещения (translation matrix) T, которая перемещает объект из начальной точки в точку вращения в ухе мартышки, и матрицу вращения R, для вращения объекта вокруг начальной точки. Теперь для вращения вокруг точки, расположенной в ухе, мы можем сперва переместить точку в ухе на место начальной точки, с помощью инвертирования матрицы T, записанной как T -1 . Затем, мы вращаем объект вокруг начальной точки, с помощью матрицы R, а затем применяем матрицу T для перемещения точки вращения назад, к своему исходному положению.
Ниже дана иллюстрация к каждому из описанных шагов:

Это важный шаблон, который мы будем применять позднее — применение вращения для двух противоположных трансформаций позволяет нам вращать объект в другом «пространстве». Что очень удобно и полезно.

Теперь рассмотрим трёхмерное вращение.

Трёхмерное вращение

Вращение вокруг оси Z работает по тому-же принципу, что и вращение в двухмерном пространстве. Нам лишь нужно изменить нашу старую матрицу, добавив к ней дополнительную колонку и строку:

Применим эту матрицу к трехмерной версии Сюзанны, мартышки из пакета Blender. Угол поворота Θ пусть будет равен 45 градусов по часовой стрелке.

То-же самое. Вращение только вокруг оси Z ограничивает нас, как насчёт вращения вокруг произвольной оси?

Вращение, определяемое осью и углом (Axis-angle rotation)

Представление вращения, определяемого осью и углом, также известно как вращение в экспоненциальных координатах, параметризованное вращением двух величин. Вектора, определяющего вращение направляющей оси (прямая линия) и угла, описывающего величину поворота вокруг этой оси. Вращение осуществляется согласно правилу правой руки.

Итак, вращение задаётся двумя параметрами (axis, angle), где axis — вектор оси вращения, а angle — угол вращения. Этот приём довольно прост и являет собой отправную точку для множества других операций вращения, с которыми я работаю. Как практически применить вращение, определяемое осью и углом?

Допустим мы имеем дело с осью вращения, показанной на рисунке ниже:

Мы знаем как вращать объект вокруг оси Z, и мы знаем как вращать объект в других пространствах. Итак, нам лишь надо создать пространство, где наша ось вращения будет являться осью Z. И если эта ось будет осью Z, то что будет являться осями X и Y? Займемся вычислениями сейчас.

Чтобы создать новые оси X и Y нам нужно лишь выбрать два вектора, которые перпендикулярны новой оси Z и перпендикулярны друг другу. Мы уже говорили ранее о векторном умножении, которое берёт два вектора и даёт в итоге перпендикулярный им вектор.

У нас есть один вектор сейчас, это ось вращения, назовём его A. Возьмём теперь случайный другой вектор B, который находится не в том-же направлении, что и вектор A. Пусть это будет (0, 0, 1) к примеру.

Теперь мы имеем ось вращения A и случайный вектор B, мы можем получить нормаль C, через векторное произведение A и B. С перпендикулярен векторам A и B. Теперь мы делаем вектор B перпендикулярным векторам A и C через их векторное произведение. И всё, у нас есть все нужные нам оси координат.

На словах это звучит сложно, но довольно просто выглядит в коде или будучи показанным в картинках.
Ниже показано, как это выглядит в коде:

Тут показана иллюстрация для каждого шага:

Теперь, имея информацию о новых координатных осях, мы можем составить матрицу M, включив каждую ось как колонку в эту матрицу. Нам надо убедиться, что вектор A является третьей колонкой, чтобы он был нашей новой осью координат Z.

Теперь это похоже на то, что мы делали для поворота в двухмерном пространстве. Мы можем применить инвертированную матрицу M, чтобы переместиться в новую систему координат, затем произвести вращение, согласно матрице R, чтобы повернуть объект вокруг оси Z, затем применить матрицу M, чтобы вернуться в исходное координатное пространство.

Теперь мы можем вращать объект вокруг произвольной оси. В конце концов мы можем просто создать матрицу T = T = M -1 RM и использовать её много раз, без дополнительных усилий с нашей стороны. Есть более эффективные способы конвертирования вращений, определяемых осью и углом во вращения, определяемые матрицами. Просто описанный нами подход показывает многое из того, о чём мы говорили ранее.

Вращение, определяемое осью и углом, возможно, самый интуитивно понятный способ. Применяя его, очень легко инвертировать поворот, поменяв знак у угла, и легко интерполировать, путём интерполяции угла. Однако тут есть серьёзное ограничение, и заключается оно в том, что такое вращение не является суммирующим. То есть вы не можете комбинировать два вращения, определяемых осью и углом в третье.
Вращение, определяемое осью и углом — хороший способ для начала, но оно должно быть преобразовано во что-то другое, чтобы использоваться в более сложных случаях.

Эйлеровские углы

Эйлеровские углы представляют собой другой способ вращения, заключающийся в трёх вложенных вращениях относительно осей X, Y и Z. Вы, возможно, сталкивались с их применением в играх, где камера показывает действие от первого лица, либо от третьего лица.

Допустим вы играете в шутер от первого лица и вы повернулись на 30 градусов влево, а затем посмотрели на 40 градусов вверх. В конце-концов в вас стреляют, попадают, и, в результате удара, камера поворачивается вокруг своей оси на 45 градусов. Ниже показано вращение с помощью углов Эйлера (30, 40, 45).

Углы Эйлера — удобное и простое в управлении средство. Но у этого способа есть два недостатка.

Первый, это вероятность возникновения ситуации под названием «блокировка оси» или «шарнирный замок» (gimbal lock). Представьте, что вы играете в шутер от первого лица, где вы можете посмотреть влево, вправо, вверх и вниз или повернуть камеру вокруг зрительной оси. Теперь представьте, что вы смотрите прямо вверх. В этой ситуации попытка взглянуть налево или направо будет аналогична попытке вращения камеры. Всё что мы можем вы этом случае, это вращать камеру вокруг своей оси, либо посмотреть вниз. Как вы можете представить, это ограничение делает непрактичным применение углов Эйлера в лётных симуляторах.

Второе — интерполяция между двумя эйлеровскими углами вращения не даёт кратчайшего пути между ними.
Например, у вас две интерполяции между двумя одинаковыми вращениями. Первая использует интерполяцию эйлеровского угла, вторая использует сферическую линейную интерполяцию (spherical linear interpolation (SLERP)), чтобы найти кратчайший путь.

Итак, что-же больше подойдет для интерполяции вращений? Может быть матрицы?

Вращение с помощью матриц

Как мы уже говорили ранее, матрицы вращения хранят в себе информацию о трёх осях. Это означает, что интерполяция между двумя матрицами лишь линейно интерполирует каждую ось. В результате это даёт нам эффективный путь, то так-же привносит новые проблемы. Например, тут показаны два вращения и одно интерполированное полу-вращение:

Как вы можете заметить, интерполированное вращение значительно меньше, чем любое из исходных вращений, и две оси более не перпендикулярны друг другу. Это логично, если вдуматься — середина отрезка, соединяющего любые две точки на сфере будет расположена ближе к центру сферы.

Это в свою очередь порождает известный «эффект фантика» (candy wrapper effect), при применении скелетной анимации. Ниже показана демонстрация этого эффекта на примере кролика из нашей игры Overgrowth (прим. переводчика: обратите внимание на середину туловища кролика).

Вращение, основанное на матричных операциях, очень полезно, так как они могут аккумулировать вращения без всяких проблем, вроде блокировки оси (gimbal lock), и может очень эффективно применяться к точкам сцены. Вот почему поддержка вращения на матрицах встроена в графические карты. Для любого типа трёхмерной графики матричный формат вращения — это всегда итоговый применяемый способ.

Однако, как мы уже знаем, матрицы не очень хорошо интерполируются, и они не столь интуитивно понятны.

Итак, остался только один главный формат вращения. Последний, но тем не менее, важный.

Кватернионы

Что-же такое кватернионы? Если очень кратко, то это альтернативный вариант вращения, основанный на оси и угле (axis-angle rotation), который существует в пространстве.

Подобно матрицам они могут аккумулировать вращения, то есть вы можете составлять из них цепочку вращений, без опаски получить блокировку оси (gimbal lock). И в то-же время, в отличие от матриц, они могут хорошо интерполироваться из одного положения в другое.

Являются-ли кватернионы лучшим решением, нежели остальные способы вращений (rotation formats)?
На сегодняшний день они комбинируют все сильные стороны других способов вращений. Но у них есть два слабых места, рассмотрев которые, мы придём к выводу, что кватернионы лучше использовать для промежуточных вращений. Итак, каковы недостатки кватернионов.

Во-первых кватернионы непросто отобразить на трёхмерном пространстве. И мы вынуждены всегда реализовывать вращение более простым способом, а затем конвертировать его. Во-вторых, кватернионы не могут эффективно вращать точки, и мы вынуждены конвертировать их в матрицы, чтобы повернуть значительное количество точек.

Это означает, что вы скорее всего не начнете или не закончите серию вращений с помощью кватернионов. Но с их помощью можно реализовать промежуточные вращения более эффективно, нежели при применении любого другого подхода.

«Внутренняя кухня» механизма кватернионов не очень понятна и не интересна мне. И, возможно, не будет интересна и вам, если только вы не математик. И я советую вам найти библиотеки, которые работают с кватернионами, чтобы облегчить вам решение ваших задач с их помощью.

Математические библиотеки «Bullet» или «Blender» будут хорошим вариантом для начала.

[spoiler title=”источники:”]

http://habr.com/ru/post/131931/

[/spoiler]

§ 1. Векторы.

.
Векторы. Основные понятия. Правила
действия с векторами.

Основные
понятия, связанные с векторами, в
стереометрии те же, что и в планиметрии.

Определение.
Вектором
называется направленный отрезок, т.е.
вектор однозначно определяется
направлением и длиной.

Любая
точка пространства может рассматриваться
как нулевой
вектор.

Определение.
Длиной
вектора
называется расстояние от начала вектора
до его конца

Определение.
Два ненулевых вектора называются
коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на
параллельных прямых. Коллинеарные
векторы могут быть сонаправленными
или противоположно
направленными.

Теорема.
Если векторы
и
коллинеарны и вектор
– ненулевой, то существует число k
такое, что .

Определение.
Два ненулевых вектора называются
противоположными,
если их длины равны и они противоположно
направлены.

Определение.
Векторы называются равными,
если они сонаправлены и их длины равны.

Определение.
Векторы называются взаимно
перпендикулярными
(ортогональными),
если угол между ними равен 90°.

К
известным правилам сложения векторов
(правила треугольника, параллелограмма,
многоугольника (или ломаной)) в пространстве
добавляется правило
параллелепипеда:
.

D Ad Bd Od Cd

Правила
сложения векторов:

① ;

② ;

③ .

Вычитание
векторов .

Правила
умножения вектора на число:

① β
· (λ
·
)
= (β
· λ)
·;

② 1
·
= ;

③ -1
·
= ;

④ (β
+ λ)·

= β
·
+ λ
· ;

⑤ λ
· ()
= λ
·
+ λ
· .

Теорема.
Любой вектор на плоскости можно разложить
единственным образом по двум неколлинеарным
векторам.

;
числа x,
y
называют коэффициентами разложения.

.
Компланарные векторы.

Определение.
Векторы называются компланарными,
если они параллельны одной плоскости
или лежат в одной плоскости. Другими
словами, векторы компланарны, если при
откладывании их от одной точки они будут
лежать в одной плоскости.

Очевидно,
что любые два вектора компланарны; три
вектора, два из которых коллинеарны,
также компланарны.

Векторы , и компланарны. Векторы , и не компланарны.

A1 C1 B1 B C A

Теорема.
Любой вектор можно разложить по трём
данным некомпланарным векторам, причём
коэффициенты разложения определяются
единственным образом.

.

.
Скалярное произведение векторов.
Основные формулы.

Скалярное
произведение векторов вычисляется по
формуле

, где φ – угол между векторами
и .

Законы
скалярного произведения:

① ;

;

③;

④

и
перпендикулярны.

Из
определения скалярного произведения
получаем формулу для нахождения косинуса
угла между векторами:

.

Если
,
то угол φ
– острый;

Если
,
то угол φ
– тупой;

Если
,
то угол φ
– прямой.

§ 2. Координаты в пространстве.

.
Прямоугольная система координат в
пространстве.

Если
через точку пространства проведены три
попарно перпендикулярные прямые, на
каждой из которых выбрано направление
и выбрана единица измерения отрезков,
то говорят, что задана прямоугольная
система координат
в пространстве.

Оси координат: Ox – ось абсцисс; Oy – ось ординат; Oz – ось аппликат. Координатные плоскости: Oxy, Oxz, Oyz. Вся система координат обозначается Oxyz.

z x x y O

Каждой
точке М
пространства сопоставляется тройка
чисел, которые называются её координатами.

Координатные
(базисные) векторы:

единичный
вектор оси абсцисс;

единичный
вектор оси ординат;

единичный
вектор оси аппликат.

Очевидно,
что координатные векторы не коллинеарны,
поэтому любой вектор

можно разложить по координатным векторам:
,
причём коэффициенты разложения x,
y,
z
определяются единственным образом и
называются координатами вектора.

Применяют
запись: .

Каждая
координата вектора равна разности
соответствующих координат его конца и
начала.

.
Правила
действий с векторами в координатах.
Основные формулы.

– Каждая
координата суммы двух или более векторов
равна сумме соответствующих координат
этих векторов.

– Каждая
координата разности двух векторов равна
разности соответствующих координат
этих векторов.

– Каждая
координата произведения вектора на
число равна произведению соответствующей
координаты вектора на это число.

Длина
вектора :

.

Скалярное
произведение
векторов
и :

.

Косинус
угла
между векторами
и :

.

Условие
перпендикулярности
(ортогональности) векторов
и :

.

Условие
коллинеарности
векторов
и :

.

Расстояние
между точками
М₁
и М₂
:

|M₁M₂|
= .

Пусть
С
(x;
y;
z)
– середина
отрезка
M₁M₂.
Тогда координаты точки С:

;
;
.

Вопросы и задачи

1. Точки
   М
   и К
   – середины рёбер В₁С₁
   и А₁D₁
   параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁
   соответственно. Укажите все пары:

а)
сонаправленных векторов;

б)
противоположно направленных векторов;

в)
равных векторов.

1. На
   плоскости даны векторы и
   .
   Построить векторы: 3,
   
   + ,
   .

2. ABCD
   – параллелограмм, ,
   .
   Выразить через
   и
   векторы ,
   ,
   ,
   .

3. Упростите
   выражение: а) ;
   б) ;
   в) ;
   г) .

4. Даны
   точки А, В, С и D.
   Представьте вектор
   в виде алгебраической суммы следующих
   векторов: а) ,
   ,
   ;
   б),
   ,
   ;
   в) ,
   ,
   .

5. Упростите
   выражение: а) ;б);в).

6. Упростите:
   а) ;
   б).

7. Докажите,
   что в параллелепипедеABCDA₁B₁C₁D₁
   +
   
   = 2.

8. Дан
   параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.
   Какие из следующих трёх векторов
   компланарны: а) ;
   б) ,
   ,
   ;
   в) ;
   г),
   ?

9. Дан
   параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.
   а) Разложите вектор
   по векторам .
   б) Разложите вектор по
   векторам ,
   
   и .

10. Докажите,
    что если М – точка пересечения медиан
    треугольника АВС,
    а О
    – произвольная точка пространства, то
    .

11. Даны
    точки А (3; -1; 0), В (0; 0; -7), С (2; 0; 0), D(-
    4; 0; 3), E
    (0; -1; 0), F(1;
    2; 3), G
    (0; 5; -7), H
    (-;
    ;
    0). Какие из этих точек лежат на: а) оси
    абсцисс; б) оси ординат; в) оси аппликат;
    г) плоскости Oxy;
    д) плоскости Оyz;
    е) плоскости Оxz?

12. Найдите
    координаты проекций точек А (2; -3; 5), В
    (3; -5; )
    и С ()
    на: а) координатные плоскости Оxz,
    Oxy
    и Oyz;
    б) оси координат Ох,
    Оу
    и Оz.

13. Даны
    координаты четырёх вершин куба
    ABCDA₁B₁C₁D₁:
    А (0; 0; 0), В (0; 0; 1), D
    (0; 1; 0) и А₁
    (1; 0; 0). Найдите координаты остальных
    вершин куба.

14. В
    кубе ABCDA₁B₁C₁D₁
    D
    (0; 0; 0), C
    (2; 0; 0), A₁
    (0; 2; 2). Найдите координаты остальных
    вершин куба.

15. Даны
    точки А (1; 4; -3), В (-1; 0; -2). Найдите координаты
    вектора и
    его длину.

16. Даны
    три точки А (1; 0; 2), В (-1; -1; 0), С (1; 2; 0). Найти
    векторы ,
    ,,
    .

17. Даны
    три точки А (2; 1; 0), В (-1; 3; 1), С (-1; 3; -4). Найти
    векторы ,,
    .

18. Даны
    векторы
    (5; 1; -1) и
    (9; 0; -4). Найти вектор
    и его длину.

19. Даны
    векторы
    (5; 0; 1) и
    (-7; 4; -2). Найти вектор
    и его длину.

20. Запишите
    координаты векторов: ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    .

21. Даны
    векторы ,
    ,
    ,
    .
    Запишите разложения этих векторов по
    координатным векторам ,
    ,
    .

22. Даны
    векторы
    и .
    Найти векторы ;
    ;
    ;
    .

23. Даны
    векторы
    и .
    Найти векторы ;
    ;
    ;
    .

24. Даны
    векторы ,
    ,
    
    и .
    Найдите координаты векторов: а) ;
    б) ;
    в) ;
    г) ;
    д) ;
    е) ;
    ж) ;
    з) .

25. Даны
    векторы (5;
    -1; 1),
    (-2; 1; 0), (0;
    0,2; 0) и
    ().
    Найдите координаты векторов: а) ;
    б) ;
    в) ;
    г) ;
    д) ;
    е) ;
    ж) ;
    з) 2;
    и) -3;
    к) -6;
    л) ;
    м) 0,2.

26. Даны
    векторы ,
    и
    .
    Найдите координаты векторов и
    .

27. Найдите
    координаты векторов, противоположных
    следующим векторам: ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ).

28. Коллинеарны
    ли векторы: а)
    и
    ;
    б)
    
    и
    ;
    в)
    
    и
    ;
    г)
    
    и
    ;
    д)
    
    и
    ?

29. Найдите
    значения m
    и n,
    при которых следующие векторы коллинеарны:
    а)
    и ;
    б)
    
    и .

30. Даны
    два вектора
    и .
    Найти x
    и z,
    если
    || .

31. Даны
    два вектора
    и .
    Найти k
    и m,
    если
    || .

32. Определить,
    при каких значениях х
    векторы (х³
    – 1)·
    и 2х
    являются сонаправленными, если .

33. Определить,
    при каких значениях m
    векторы (m²
    – m
    – 2)·
    и m³·
    противоположно направлены, если .

34. Даны
    три последовательные вершины
    параллелограмма: А (3; -1; 4), В (0; -2; 5) и
    С (1; 2; 2). Найти четвёртую вершину
    параллелограмма.

35. Даны
    три последовательные вершины
    параллелограмма: А (2; 3; 4), В (1; -3; 7) и
    С (4; 3; 7). Найти четвёртую вершину
    параллелограмма.

36. Даны
    точки А (3; -1; 2), В (1; 2; -1), С (-1; 1; -3) и D
    (3; -5; 3). Доказать, что ABCD
    – трапеция.

37. Найти
    такое число m,
    при котором векторы ,
    
    и
    являются
    компланарными.

38. Установить,
    являются ли компланарными следующие
    векторы:

а)

(2; 3; -1); (1;
-1; 3); (1;
9; -11);

б)

(3; -2; 1);
(2; 1; 2);
(3; -1; -2);

в)

(2; -1; 2);
(1; 2; -3);
(3; -4; 7).

1. Компланарны
   ли векторы: а) ,
   
   и
   ;
   б) ,
   
   и
   ;
   в)
   ,
   
   и
   ;
   г) ,
   
   и
   ;
   д) ,
   
   и
   
   (-1; 2; 4);
   е) ,
   и
   ?

2. Дан
   куб ABCDA₁B₁C₁D₁.
   Найдите угол между векторами: а) и
   ;
   б)
   и
   ;
   в)
   и
   ;
   г)
   и
   ;
   д)
   и
   ;
   е) и
   ;
   ж)
   и
   ;
   з)
   и
   .

3. Даны
   векторы
   (1; -1; 2),
   (-1; 1; 1) и
   (5; 6; 2). Вычислите ,
   ,
   ,
   ,
   .

4. Даны
   векторы
   (3; -1; 1),
   (-5; 1; 0) и
   (-1; -2; 1).Выясните, какой угол (острый,
   прямой или тупой между векторами: а)
   
   и ;
   б)
   и ;
   в)
   и .

5. Даны
   векторы
   и .
   При каком значении mвекторы
   и
   
   перпендикулярны?

6. Даны
   точки А (0; 1; 2), В (;
   1; 2), С (;
   2; 1) и D
   (0; 2; 1). Докажите, что ABCD
   – квадрат.

7. Вычислите
   углы между вектором
   и координатными векторами.

8. Даны
   точки А (1; 3; 0), В (2; 3; -1) и С (1; 2; -1). Вычислите
   угол между векторами
   и .

9. Найдите
   углы, периметр и площадь треугольника,
   вершинами которого являются точки А
   (1; -1; 3), В (3; -1; 1) и С (-1; 1; 3).

10. Найти
    ,
    если ||
    = 3; ||
    = 4 и угол между
    и
    равен .

11. Найти
    ,
    если ||
    = 1; ||
    = 2 и угол между
    и
    равен .

12. Найти
    ,
    если ||
    = 2; ||
    = 3 и вектор .

13. Найти
    ,
    если ||
    = 3; ||
    = 4; угол между
    и
    равен .

14. Найти
    угол между векторами
    и .

15. Дан
    треугольник с вершинами в точках А (3;
    -2; 1), В (3; 0; 2) и С (1; 2; 5). Найти угол,
    образованный медианой BD
    и стороной АС.

16. Даны
    вектора
    и .
    Найти угол, образованный векторами
    и .

17. Найти
    площадь параллелограмма, построенного
    на векторах и
    ,
    если векторы и
    
    составляют угол 30° и .

18. Найти
    площадь треугольника с вершинами А (2;
    3; 1), В (4; 4; 0) и С (3; 1; -1).

19. Точки
    А (4; -3; 7), В (5; 3; 8) и D
    (10; -4; 6) являются вершинами ромба ABCD.
    Найти длину диагонали АС.

П

РИЛОЖЕНИЕ

Греческий
алфавит.

Α	α	альфа	Ι	ι	йота	Ρ	ρ	ро
Β	β	бета	Κ	κ	каппа	Σ	σ	сигма
Γ	γ	гамма	Λ	λ	лямбда	Τ	τ	тау
Δ	δ	дельта	Μ	μ	мю	Υ	υ	ипсилон
Ε	ε	эпсилон	Ν	ν	ню	Φ	φ	фи
Ζ	ζ	дзета	Ξ	ξ	кси	Χ	χ	хи
Η	η	эта	Ο	ο	омикрон	Ψ	ψ	пси
Θ	θ	тета	Π	π	пи	Ω	ω	омега

Латинский
алфавит.

A	a	а	J	j	жи	S	s	эс
B	b	бе	K	k	ка	T	t	тэ
C	c	це	L	l	эль	U	u	у
D	d	де	M	m	эм	V	v	вэ
E	e	э	N	n	эн	W	w	дубль-вэ
F	f	эф	O	o	о	X	x	икс
G	g	же	P	p	пэ	Y	y	игрек
H	h	аш	Q	q	ку	Z	z	зет
I	i	и	R	r	эр

Квадраты
натуральных чисел от 11 до 99.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
8	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Факториалы.

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n!	1	1	2	6	24	120	720	5040	40320	362880	3628800

Степени.

n	2n	3n	4n	5n	6n	7n	8n	9n
0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	9	16	25	36	49	64	81
3	8	27	64	125	216	343	512	729
4	16	81	256	625	1296	2401	4096	6561
5	32	243	1024	3125	7776	16807	32768	59049
6	64	729	4096	15625	46656	117649	262144	531441
7	128	2187	16384	78125	279936	823543	2097152	4782969
8	256	6561	65536	390625	1679616	5764801	16777216	43046721
9	512	19683	262144	1953125	10077696	40353607	134217728	387420489
10	1028	59049	1048576	9765625	60466176	282475249	1073741824	3486784401

Некоторые
сведения из курса планиметрии.

.
Площади
фигур.

Площадь
треугольника.

A B C c b a

Следствия
из формулы (1):

(
h_a–
высота, проведённая к стороне a)

Площадь
квадрата со стороной a:

Площадь
прямоугольника со сторонами a
и b:

Площадь параллелограмма.

a b hb ha 

Площадь ромба со стороной a и углом .

 a a h

Площадь трапеции с основаниями a и b высотой h.

a b h N M

Площадь
круга радиуса R:

Длина
окружности радиуса R:

Площади
подобных фигур относятся как квадрат
коэффициента подобия.

.
Теорема косинусов.

A B C c b a

.
Теорема синусов.

V.
Четыре
замечательных точки треугольника.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центр тяжести) и делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Медиана делит треугольник на два равновеликих. Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников.

AM BM CM A1 C1 B1 O

Высоты
треугольника пересекаются в одной точке
( ортоцентр).

Биссектрисы
треугольника
пересекаются в одной точке, которая
является центром окружности, вписанной
в данный треугольник.

Серединные
перпендикуляры к
сторонам треугольника пересекаются в
одной точке, которая является центром
окружности, описанной около данного
треугольника.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #