Глава V. Метод координат в пространстве. § 1. Координаты точки и координаты вектора. → номер 412
Для вектора i противоположным будет вектор с обратным знаком: (- i), для j — вектор (- j) и т. д.
Помогите решить, а главное объясните как это решить. (Геометрия)
Дарья
Знаток
(424),
закрыт
11 лет назад
Татьяна Егорова
Мудрец
(17066)
11 лет назад
Ты же уже все сделала, остадись только единичные векторы; -i(-1:0;0), – j(0;-1:0), -к (0;0;-1)
ДарьяЗнаток (424)
11 лет назад
А как эти векторы узнаются?
Дарья
Знаток
(424)
а… всё извиняюсь, всё поняла. Просто сразу не сообразила, что они всегда такие только положительные… Ох… ну я и ступила…
Вспомним, как мы находили координаты вектора на
плоскости.
Пользуясь тем, что любой вектор можно разложить по
двум неколлинеарным векторам, на осях мы задавали единичные векторы. Таким
образом, любой вектор можно разложить по данным единичным векторам, а
координатами вектора являются коэффициенты этого разложения.
Так же вам уже известно, что любой вектор пространства
можно выразить через 3 некомпланарных вектора, то есть векторы, не лежащие в
одной плоскости.
Изобразим прямоугольную систему координат Охуz.
На каждой из положительных осей от начала координат отложим единичные векторы.
Буквой i
обозначим единичный вектор оси Оx,
буквой j — единичный вектор оси Оy,
буквой k — единичный вектор оси Оz.
Определение:
Векторы i,
j, k
будем называть координатными векторами.
Понятно, что они являются некомпланарными. И
поэтому любой вектор пространства можно разложить по единичным векторам i,
j, k.
Причём коэффициенты разложения х, у и z
определяются единственным образом.
Коэффициенты х, у и z
называют
координатами вектора р в данной системе координат. Координаты
вектора будем записывать в фигурных скобках в последовательности х, у, z.
Задание: Пользуясь
разложениями векторов по координатным векторам, записать их координаты.
Решение:
Задание: пользуясь
координатами векторов, запишем их разложения по координатным векторам i,
j, k.
Решение:
Задача: В
прямоугольном параллелепипеде 𝑂𝐴 =
2, 𝑂𝐵 =
3, а ОО1 = 2. Найти координаты векторов 𝑂𝐴1,
𝑂𝐵1,
𝑂𝑂1,
𝑂𝐶,
𝑂𝐶1,
𝐵𝐶1,
𝐴𝐶1
и 𝑂1 𝐶.
Решение:
После выполнения этого задания можно сделать вывод
о том, что если вектор лежит в некоторой из координатных плоскостей или
параллелен ей, а также лежит или параллелен некоторой из координатных осей, то
его соответствующие координаты равны нулю.
Если вектор лежит в координатной плоскости Оху или
параллелен ей, то его аппликата равна нулю. Если вектор принадлежит или
параллелен координатной плоскости Охz,
то его ордината равна нулю. Если же вектор принадлежит или параллелен
координатной плоскости Оyz,
то его абсцисса равна нулю.
В случае, когда вектор лежит на оси координат Оx
или параллелен ей, то ордината и аппликата равны нулю. Если вектор принадлежит
или параллелен оси Оy, то абсцисса и
аппликата равны нулю. И если вектор принадлежит или параллелен оси Оz,
то абсцисса и ордината равны нулю.
А сейчас поговорим о противоположных векторах. Из
планиметрии известно, что координаты противоположных векторов
противоположны. Это утверждение верно и для векторов в пространстве.
Задание: найти
координаты векторов противоположных данным векторам.
Решение:
Также из курса планиметрии вам известны правила
определения координат вектора суммы, вектора разности и произведения
вектора на число.
Такие же правила действую и для координат векторов в
пространстве.
Задание: 𝑎 ⃗{−1;0;3},
𝑏 ⃗{5;−2;1}
и 𝑐 ⃗{1;7;−2}.
Определить координаты векторов:
1) 𝑎 ⃗+𝑐 ⃗;
2) 𝑏 ⃗−𝑎 ⃗;
3) 2𝑎 ⃗+𝑏 ⃗;
4) 1/2 𝑎 ⃗−2𝑏 ⃗+𝑐 ⃗.
Решение:
Так, используя правила определения координат вектора
суммы, разности и произведения вектора на число, мы определили координаты
данных векторов.
Итоги:
Сегодня мы ввели понятие координатных векторов i,
j, k.
И, пользуясь тем, что любой вектор пространства можно выразить через 3
некомпланарных вектора, записали, что коэффициенты х, у и z
называют координатами вектора p
в данной системе координат.
Мы отметили, что все координаты нулевого вектора равны
нулю. Равные векторы имеют равные координаты, а координаты противоположных
векторов противоположны.
Также мы записали правила, которые позволяют находить
координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных
векторов, координаты которых известны.
§ 1. Векторы.
.
Векторы. Основные понятия. Правила
действия с векторами.
Основные
понятия, связанные с векторами, в
стереометрии те же, что и в планиметрии.
Определение.
Вектором
называется направленный отрезок, т.е.
вектор однозначно определяется
направлением и длиной.
Любая
точка пространства может рассматриваться
как нулевой
вектор.
Определение.
Длиной
вектора
называется расстояние от начала вектора
до его конца
Определение.
Два ненулевых вектора называются
коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на
параллельных прямых. Коллинеарные
векторы могут быть сонаправленными
или противоположно
направленными.
Теорема.
Если векторы
и
коллинеарны и вектор
– ненулевой, то существует число k
такое, что .
Определение.
Два ненулевых вектора называются
противоположными,
если их длины равны и они противоположно
направлены.
Определение.
Векторы называются равными,
если они сонаправлены и их длины равны.
Определение.
Векторы называются взаимно
перпендикулярными
(ортогональными),
если угол между ними равен 90°.
К
известным правилам сложения векторов
(правила треугольника, параллелограмма,
многоугольника (или ломаной)) в пространстве
добавляется правило
параллелепипеда:
.
D Ad Bd Od
Cd |
Правила
сложения векторов:
① ;
② ;
③ .
Вычитание
векторов .
Правила
умножения вектора на число:
① β
· (λ
·
)
= (β
· λ)
·;
② 1
·
= ;
③ -1
·
= ;
④ (β
+ λ)·
= β
·
+ λ
· ;
⑤ λ
· ()
= λ
·
+ λ
· .
Теорема.
Любой вектор на плоскости можно разложить
единственным образом по двум неколлинеарным
векторам.
;
числа x,
y
называют коэффициентами разложения.
.
Компланарные векторы.
Определение.
Векторы называются компланарными,
если они параллельны одной плоскости
или лежат в одной плоскости. Другими
словами, векторы компланарны, если при
откладывании их от одной точки они будут
лежать в одной плоскости.
Очевидно,
что любые два вектора компланарны; три
вектора, два из которых коллинеарны,
также компланарны.
Векторы Векторы |
A1
C1
B1
B
C
A |
Теорема.
Любой вектор можно разложить по трём
данным некомпланарным векторам, причём
коэффициенты разложения определяются
единственным образом.
.
.
Скалярное произведение векторов.
Основные формулы.
Скалярное
произведение векторов вычисляется по
формуле
, где φ – угол между векторами
и .
Законы
скалярного произведения:
① ;
;
③;
④
и
перпендикулярны.
Из
определения скалярного произведения
получаем формулу для нахождения косинуса
угла между векторами:
.
Если
,
то угол φ
– острый;
Если
,
то угол φ
– тупой;
Если
,
то угол φ
– прямой.
§ 2. Координаты в пространстве.
.
Прямоугольная система координат в
пространстве.
Если
через точку пространства проведены три
попарно перпендикулярные прямые, на
каждой из которых выбрано направление
и выбрана единица измерения отрезков,
то говорят, что задана прямоугольная
система координат
в пространстве.
Оси Ox Oy Oz Координатные Вся |
z
x
x
y
O
|
Каждой
точке М
пространства сопоставляется тройка
чисел, которые называются её координатами.
Координатные
(базисные) векторы:
единичный
вектор оси абсцисс;
единичный
вектор оси ординат;
единичный
вектор оси аппликат.
Очевидно,
что координатные векторы не коллинеарны,
поэтому любой вектор
можно разложить по координатным векторам:
,
причём коэффициенты разложения x,
y,
z
определяются единственным образом и
называются координатами вектора.
Применяют
запись: .
Каждая
координата вектора равна разности
соответствующих координат его конца и
начала.
.
Правила
действий с векторами в координатах.
Основные формулы.
– Каждая
координата суммы двух или более векторов
равна сумме соответствующих координат
этих векторов.
– Каждая
координата разности двух векторов равна
разности соответствующих координат
этих векторов.
– Каждая
координата произведения вектора на
число равна произведению соответствующей
координаты вектора на это число.
Длина
вектора :
.
Скалярное
произведение
векторов
и :
.
Косинус
угла
между векторами
и :
.
Условие
перпендикулярности
(ортогональности) векторов
и :
.
Условие
коллинеарности
векторов
и :
.
Расстояние
между точками
М1
и М2
:
|M1M2|
= .
Пусть
С
(x;
y;
z)
– середина
отрезка
M1M2.
Тогда координаты точки С:
;
;
.
-
Вопросы
и задачи
-
Точки
М
и К
– середины рёбер В1С1
и А1D1
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1
соответственно. Укажите все пары:
а)
сонаправленных векторов;
б)
противоположно направленных векторов;
в)
равных векторов.
-
На
плоскости даны векторы и
.
Построить векторы: 3,
+ ,
. -
ABCD
– параллелограмм, ,
.
Выразить через
и
векторы ,
,
,
. -
Упростите
выражение: а) ;
б) ;
в) ;
г) . -
Даны
точки А, В, С и D.
Представьте вектор
в виде алгебраической суммы следующих
векторов: а) ,
,
;
б),
,
;
в) ,
,
. -
Упростите
выражение: а) ;б);в). -
Упростите:
а) ;
б). -
Докажите,
что в параллелепипедеABCDA1B1C1D1
+
= 2. -
Дан
параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
Какие из следующих трёх векторов
компланарны: а) ;
б) ,
,
;
в) ;
г),
? -
Дан
параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
а) Разложите вектор
по векторам .
б) Разложите вектор по
векторам ,
и . -
Докажите,
что если М – точка пересечения медиан
треугольника АВС,
а О
– произвольная точка пространства, то
. -
Даны
точки А (3; -1; 0), В (0; 0; -7), С (2; 0; 0), D(-
4; 0; 3), E
(0; -1; 0), F(1;
2; 3), G
(0; 5; -7), H
(-;
;
0). Какие из этих точек лежат на: а) оси
абсцисс; б) оси ординат; в) оси аппликат;
г) плоскости Oxy;
д) плоскости Оyz;
е) плоскости Оxz? -
Найдите
координаты проекций точек А (2; -3; 5), В
(3; -5; )
и С ()
на: а) координатные плоскости Оxz,
Oxy
и Oyz;
б) оси координат Ох,
Оу
и Оz. -
Даны
координаты четырёх вершин куба
ABCDA1B1C1D1:
А (0; 0; 0), В (0; 0; 1), D
(0; 1; 0) и А1
(1; 0; 0). Найдите координаты остальных
вершин куба. -
В
кубе ABCDA1B1C1D1
D
(0; 0; 0), C
(2; 0; 0), A1
(0; 2; 2). Найдите координаты остальных
вершин куба. -
Даны
точки А (1; 4; -3), В (-1; 0; -2). Найдите координаты
вектора и
его длину. -
Даны
три точки А (1; 0; 2), В (-1; -1; 0), С (1; 2; 0). Найти
векторы ,
,,
. -
Даны
три точки А (2; 1; 0), В (-1; 3; 1), С (-1; 3; -4). Найти
векторы ,,
. -
Даны
векторы
(5; 1; -1) и
(9; 0; -4). Найти вектор
и его длину. -
Даны
векторы
(5; 0; 1) и
(-7; 4; -2). Найти вектор
и его длину. -
Запишите
координаты векторов: ,
,
,
,
,
. -
Даны
векторы ,
,
,
.
Запишите разложения этих векторов по
координатным векторам ,
,
. -
Даны
векторы
и .
Найти векторы ;
;
;
. -
Даны
векторы
и .
Найти векторы ;
;
;
. -
Даны
векторы ,
,
и .
Найдите координаты векторов: а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) ;
з) . -
Даны
векторы (5;
-1; 1),
(-2; 1; 0), (0;
0,2; 0) и
().
Найдите координаты векторов: а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) ;
з) 2;
и) -3;
к) -6;
л) ;
м) 0,2. -
Даны
векторы ,
и
.
Найдите координаты векторов и
. -
Найдите
координаты векторов, противоположных
следующим векторам: ,
,
,
,
,
). -
Коллинеарны
ли векторы: а)
и
;
б)
и
;
в)
и
;
г)
и
;
д)
и
? -
Найдите
значения m
и n,
при которых следующие векторы коллинеарны:
а)
и ;
б)
и . -
Даны
два вектора
и .
Найти x
и z,
если
|| . -
Даны
два вектора
и .
Найти k
и m,
если
|| . -
Определить,
при каких значениях х
векторы (х³
– 1)·
и 2х
являются сонаправленными, если . -
Определить,
при каких значениях m
векторы (m²
– m
– 2)·
и m³·
противоположно направлены, если . -
Даны
три последовательные вершины
параллелограмма: А (3; -1; 4), В (0; -2; 5) и
С (1; 2; 2). Найти четвёртую вершину
параллелограмма. -
Даны
три последовательные вершины
параллелограмма: А (2; 3; 4), В (1; -3; 7) и
С (4; 3; 7). Найти четвёртую вершину
параллелограмма. -
Даны
точки А (3; -1; 2), В (1; 2; -1), С (-1; 1; -3) и D
(3; -5; 3). Доказать, что ABCD
– трапеция. -
Найти
такое число m,
при котором векторы ,
и
являются
компланарными. -
Установить,
являются ли компланарными следующие
векторы:
а)
(2; 3; -1); (1;
-1; 3); (1;
9; -11);
б)
(3; -2; 1);
(2; 1; 2);
(3; -1; -2);
в)
(2; -1; 2);
(1; 2; -3);
(3; -4; 7).
-
Компланарны
ли векторы: а) ,
и
;
б) ,
и
;
в)
,
и
;
г) ,
и
;
д) ,
и
(-1; 2; 4);
е) ,
и
? -
Дан
куб ABCDA1B1C1D1.
Найдите угол между векторами: а) и
;
б)
и
;
в)
и
;
г)
и
;
д)
и
;
е) и
;
ж)
и
;
з)
и
. -
Даны
векторы
(1; -1; 2),
(-1; 1; 1) и
(5; 6; 2). Вычислите ,
,
,
,
. -
Даны
векторы
(3; -1; 1),
(-5; 1; 0) и
(-1; -2; 1).Выясните, какой угол (острый,
прямой или тупой между векторами: а)
и ;
б)
и ;
в)
и . -
Даны
векторы
и .
При каком значении mвекторы
и
перпендикулярны? -
Даны
точки А (0; 1; 2), В (;
1; 2), С (;
2; 1) и D
(0; 2; 1). Докажите, что ABCD
– квадрат. -
Вычислите
углы между вектором
и координатными векторами. -
Даны
точки А (1; 3; 0), В (2; 3; -1) и С (1; 2; -1). Вычислите
угол между векторами
и . -
Найдите
углы, периметр и площадь треугольника,
вершинами которого являются точки А
(1; -1; 3), В (3; -1; 1) и С (-1; 1; 3). -
Найти
,
если ||
= 3; ||
= 4 и угол между
и
равен . -
Найти
,
если ||
= 1; ||
= 2 и угол между
и
равен . -
Найти
,
если ||
= 2; ||
= 3 и вектор . -
Найти
,
если ||
= 3; ||
= 4; угол между
и
равен . -
Найти
угол между векторами
и . -
Дан
треугольник с вершинами в точках А (3;
-2; 1), В (3; 0; 2) и С (1; 2; 5). Найти угол,
образованный медианой BD
и стороной АС. -
Даны
вектора
и .
Найти угол, образованный векторами
и . -
Найти
площадь параллелограмма, построенного
на векторах и
,
если векторы и
составляют угол 30° и . -
Найти
площадь треугольника с вершинами А (2;
3; 1), В (4; 4; 0) и С (3; 1; -1). -
Точки
А (4; -3; 7), В (5; 3; 8) и D
(10; -4; 6) являются вершинами ромба ABCD.
Найти длину диагонали АС.
П
РИЛОЖЕНИЕ
Греческий
алфавит.
Α |
α |
альфа |
Ι |
ι |
йота |
Ρ |
ρ |
ро |
Β |
β |
бета |
Κ |
κ |
каппа |
Σ |
σ |
сигма |
Γ |
γ |
гамма |
Λ |
λ |
лямбда |
Τ |
τ |
тау |
Δ |
δ |
дельта |
Μ |
μ |
мю |
Υ |
υ |
ипсилон |
Ε |
ε |
эпсилон |
Ν |
ν |
ню |
Φ |
φ |
фи |
Ζ |
ζ |
дзета |
Ξ |
ξ |
кси |
Χ |
χ |
хи |
Η |
η |
эта |
Ο |
ο |
омикрон |
Ψ |
ψ |
пси |
Θ |
θ |
тета |
Π |
π |
пи |
Ω |
ω |
омега |
Латинский
алфавит.
A |
a |
а |
J |
j |
жи |
S |
s |
эс |
B |
b |
бе |
K |
k |
ка |
T |
t |
тэ |
C |
c |
це |
L |
l |
эль |
U |
u |
у |
D |
d |
де |
M |
m |
эм |
V |
v |
вэ |
E |
e |
э |
N |
n |
эн |
W |
w |
дубль-вэ |
F |
f |
эф |
O |
o |
о |
X |
x |
икс |
G |
g |
же |
P |
p |
пэ |
Y |
y |
игрек |
H |
h |
аш |
Q |
q |
ку |
Z |
z |
зет |
I |
i |
и |
R |
r |
эр |
Квадраты
натуральных чисел от 11 до 99.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
1 |
121 |
144 |
169 |
196 |
225 |
256 |
289 |
324 |
361 |
2 |
441 |
484 |
529 |
576 |
625 |
676 |
729 |
784 |
841 |
3 |
961 |
1024 |
1089 |
1156 |
1225 |
1296 |
1369 |
1444 |
1521 |
4 |
1681 |
1764 |
1849 |
1936 |
2025 |
2116 |
2209 |
2304 |
2401 |
5 |
2601 |
2704 |
2809 |
2916 |
3025 |
3136 |
3249 |
3364 |
3481 |
6 |
3721 |
3844 |
3969 |
4096 |
4225 |
4356 |
4489 |
4624 |
4761 |
7 |
5041 |
5184 |
5329 |
5476 |
5625 |
5776 |
5929 |
6084 |
6241 |
8 |
6561 |
6724 |
6889 |
7056 |
7225 |
7396 |
7569 |
7744 |
7921 |
9 |
8281 |
8464 |
8649 |
8836 |
9025 |
9216 |
9409 |
9604 |
9801 |
Факториалы.
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
n! |
1 |
1 |
2 |
6 |
24 |
120 |
720 |
5040 |
40320 |
362880 |
3628800 |
Степени.
n |
2n |
3n |
4n |
5n |
6n |
7n |
8n |
9n |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
2 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
49 |
64 |
81 |
3 |
8 |
27 |
64 |
125 |
216 |
343 |
512 |
729 |
4 |
16 |
81 |
256 |
625 |
1296 |
2401 |
4096 |
6561 |
5 |
32 |
243 |
1024 |
3125 |
7776 |
16807 |
32768 |
59049 |
6 |
64 |
729 |
4096 |
15625 |
46656 |
117649 |
262144 |
531441 |
7 |
128 |
2187 |
16384 |
78125 |
279936 |
823543 |
2097152 |
4782969 |
8 |
256 |
6561 |
65536 |
390625 |
1679616 |
5764801 |
16777216 |
43046721 |
9 |
512 |
19683 |
262144 |
1953125 |
10077696 |
40353607 |
134217728 |
387420489 |
10 |
1028 |
59049 |
1048576 |
9765625 |
60466176 |
282475249 |
1073741824 |
3486784401 |
Некоторые
сведения из курса планиметрии.
.
Площади
фигур.
Площадь
треугольника.
|
A
B
C
c
b
a |
Следствия
из формулы (1):
(
ha–
высота, проведённая к стороне a)
Площадь
квадрата со стороной a:
Площадь
прямоугольника со сторонами a
и b:
Площадь
|
a
b
hb
ha
|
Площадь |
a
a
h |
Площадь
|
a
b
h
N
M |
Площадь
круга радиуса R:
Длина
окружности радиуса R:
Площади
подобных фигур относятся как квадрат
коэффициента подобия.
.
Теорема косинусов.
|
A
B
C
c
b
a |
.
Теорема синусов.
V.
Четыре
замечательных точки треугольника.
-
Медианы
треугольника пересекаются в одной
точке (центр тяжести) и делятся в
отношении 2 : 1, считая от вершины.Медиана
делит треугольник на два равновеликих.
Три медианы делят треугольник на
шесть равновеликих треугольников.
AM
BM
CM
A1
C1
B1
O
Высоты
треугольника пересекаются в одной точке
( ортоцентр).
Биссектрисы
треугольника
пересекаются в одной точке, которая
является центром окружности, вписанной
в данный треугольник.
Серединные
перпендикуляры к
сторонам треугольника пересекаются в
одной точке, которая является центром
окружности, описанной около данного
треугольника.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Задать свой вопрос
*более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»
Задача 66517 Найди координаты векторов,…
Условие
635a14eeaf70910651f83229
27.10.2022 08:28:23
Найди координаты векторов, противоположных векторам, представленным на рисунке
математика 8-9 класс
321
Решение
5f3ea7e3faf909182968ddd9
27.10.2022 10:17:40
★
Равные векторы имеют равные координаты.
Строим вектор, равный требуемому, так, чтобы он выходил из начала координат.
Тогда координаты конечной точки совпадают с координатами вектора, потому что вычитаем координаты О(0;0)
Написать комментарий
Меню
- Решим всё
- Найти задачу
- Категории
- Статьи
- Тесты
- Архив задач