Как найти координаты вершины графика параболы

Определение

Функция вида y=ax2+bx+c, где а, b, с – некоторые числа, причем, а0 число, х – переменная, называется квадратичной функцией.

Графиком квадратичной функции является парабола, она имеет вершину и две ветви, которые могут быть направлены либо вверх, либо вниз (рис.1). Красной точкой обозначена вершина параболы, из которой выходят ветви. Её координаты по графику – (3; –4). Направление ветвей зависит от значения коэффициента «а», то есть, если «а» – положительное число, то ветви направлены вверх; если число «а» – отрицательное, то ветви направлены вверх. На данном рисунке ветви направлены вверх, значит коэффициент «а» у формулы, которая задает эту функцию – положительное число. Коэффициент «с» показывает ординату (у) точки пересечения ветви параболы с осью у. Так, на рисунке №1 парабола пересекает ось у в точке (5;0), значит коэффициент с=5.

Рисунок №1.

Вершина параболы. Формула.

Чтобы найти координаты вершины параболы (х0; у0), надо воспользоваться формулой:

х0=b2a

для нахождения у0 можно просто подставить значение х0 в формулу данной функции y0=ax2+bx+c вместо х.

Рассмотрим это на примере конкретно заданной функции.

Пример №1

Найти вершину параболы, заданной формулой у=2х2 – 8х + 5.

Найдем, чему равны коэффициенты: а=2; b= – 8

Подставим их в формулу и вычислим значение х0:

х0=b2a=822=84=2

Теперь в заданную по условию формулу вместо х подставим найденное значение у0=222 – 82 + 5=8 – 16 + 5= –3

Итак, мы нашли координаты вершины параболы: (2; –3).

Ответ: (2; –3).

Нули параболы

Значения х, при которых функция принимает значения, равные нулю, называются нулями функции. Другими словами, Значения абсцисс (х) точек пересечения ветвей параболы с осью х, называются нулями функции. На рисунке №1 точки координаты точек пересечения ветвей параболы с осью х следующие: (1;0) и (5;0). Значит, нули функции – это значения х, равные 1 и 5.

Рассмотрим, как найти нули функции не по рисунку, а по заданной формуле.

Пример №2

Найти нули функции у=х2 +4х – 5

Так как нули функции это абсциссы точек пересечения ветвей параболы с осью х, то их координаты будут (х;0), то есть у=0. Значит, вместо у подставляем нуль в нашу формулу 0=х2 +4х – 5 и получаем квадратное уравнение, решив которое, мы и найдем значения нулей функции:

х2 +4х – 5=0

а=1, b=4, с= –5

D=b2 – 4ac=42 – 41(5)=36

x=b±D2a

x=4±362; х1=–5; х2=1

Значит, нули функции равны –5 и 1

Ответ: –5 и 1

Примечание к заданию по нахождению нулей функции без графика

Если дискриминант уравнения отрицательный, значит, нулей функции нет, то есть парабола не пересекает ось х (вершина находится выше неё, если ветви направлены вверх и ниже, если ветви направлены вниз).

Рассмотрим нахождение соответствия рисунков парабол, расположенных в системе координат значениям а и с.

Пример №3

Для выполнения данного задания на соответствие необходимо сначала поработать с графиками, подписав на них, какими – отрицательными или положительными являются коэффициенты а и с.

C:UsersУчительDesktopgfhf, 1.jpg

Теперь можно выполнить соответствие:

Ответ: 231

Пример №4

Рассмотрим еще пример на соответствие

В данном задании рассмотрим коэффициенты в формулах и подчеркнем их: так, в формуле под буквой А коэффициент а=-2, т.е. отрицательный, значит, ветви направлены вниз, а это график под номером 2. В формулах под буквами Б и В первые и третьи коэффициенты одинаковые, значит, сравнить по рисунку их невозможно, следовательно, будем сравнивать по расположению вершины (справа или слева от оси у), а именно х0. C:UsersУчительDesktop76.jpg

Итак, найдем х0 для формулы «Б»:

х0=b2a=422=44=1

Видим, что х0 отрицательное, значит, вершина расположена слева от оси у, а это рисунок 3. Ну и осталось привести в соответствие В и 1.

Запишем в таблицу

Ответ: 231

Задание 11OM21R

На рисунках изображены графики функций вида . Установите соответствие между знаками коэффициентов а и с и графиками функций.

КОЭФФИЦИЕНТЫ

А) a>0, с >0              Б) а<0; с>0        В) а>0, с<0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ответ:

Решение


На рисунках в задании изображены параболы. Вспомним, что обозначают коэффициенты а и с: а – направление ветвей (a<0 – ветви вниз; а>0 – ветви вверх); коэффициент с показывает ординату точку пересечения параболы с осью х (с >0 – пересечение в положительном направлении; с<0 – пересечение в отрицательном направлении).

Теперь поработаем с графиками и подпишем на каждом из них соответствующие коэффициенты.

C:UsersУчительDesktopграфик 1.jpg

Теперь расставим в соответствии с указанными коэффициентами:

А) a>0, с >0 – это график №1

Б) а<0; с>0  – это график №3

В) а>0, с<0 – это график №2

Ответ: 132

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1105o

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) у=–х2–4х–3                    Б) у=–х2+4х–3                    В) у=х2+4х+3


Сразу обратим внимание на вариант В. Эта функция единственная, имеющая положительный коэффициент при х2 (здесь а=1, т.е. а>0). При а>0 график параболы направлен ветками вверх. Такой график имеется только один – под №3. Кроме того, можно обратить внимание на коэфициент с. Она равен 3, т.е. с>0. Это указывает на то, что парабола должна пересечь ось Оу выше начала координат. Что и отображено на графике В. Получаем соответствие: В–3.

Оба других графика – 1-й и 2-й – пересекают ось Оу ниже начала координат, что соответствует значению с=–3<0 в обоих случаях.

Далее надежнее всего вычислить вершины оставшихся двух парабол из уравнений А и Б по формуле -b/2a. Видим, что случае А (- (-4)) / (2 • -1) = -2, следовательно, вершина левее оси Y, так как x0 отрицателен, значит, А-1, а Б-2.

Ответ: 123

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1101o

На рисунках изображены графики функций вида

y = ax² + bx + c

Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты:

А) a > 0, c > 0

Б) a < 0, c > 0

В) a > 0, c < 0

Графики:

Графики функций огэ по математике 5 задание


Мы вспоминаем, за что отвечают коэффициенты a и при построении графиков функции вида

y = ax² + bx + c

Коэффициент a определяет направление ветвей параболы: если a > 0, то ветви направлены вверх, а если  a < 0, то ветви направлены вниз.

Таким образом, мы видим, что только у второй параболы ветви направлены вниз, а значит a < 0.

У первой и третьей ветви направлены вверх, то есть a > 0.

Далее мы смотрим, на что влияет коэффициент c.

Коэффициент c отвечает за положение параболы относительно оси x, или же отвечает за сдвиг по оси y, а именно:

если c > 0, то вершина параболы расположена выше оси х

если c < 0, то вершина параболы расположена ниже оси x

Так, у первой параболы c < 0, у второй и третьей c > 0.

Из всего вышеперечисленного можно найти ответ:

А) 3

Б) 2

В) 1

Ответ: 321

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Даниил Романович | Просмотров: 10.6k

Как найти вершину параболы

Общие сведения

Парабола — кривая, состоящая из равноудаленных точек от заданной точки (вершина) и прямой. Последняя называется директрисой. График функции имеет ось симметрии, которая проходит по определенной траектории и зависит от функции кривой (рис. 1). Ее вершина находится в центре координат.

Как находить вершину параболы

Рисунок 1. График квадратичной функции с вершиной в начале координат.

Однако существуют и другие случаи прохождения кривой. Она может пересекать оси абсцисс или ординат. В некоторых случаях ее ветви направлены вниз. При вращении вокруг оси симметрии получается поверхность, которая используется в различных устройствах. По этому принципу изготовлены фары автомобиля, зеркала в телескопах и т. д. Кроме того, парабола — это квадратичная зависимость переменных друг от друга. Парабола имеет некоторые свойства:

Формула нахождения вершины параболы

  1. Парабола — кривая второго порядка.
  2. Ось симметрии перпендикулярна директрисе и проходит через фокус и вершины.
  3. Оптическое свойство отражения.
  4. Отрезок, который соединяет середину любой хорды параболы и точку пересечения касательных прямых, является перпендикуляром относительно директрисы.
  5. Подобность всех парабол.
  6. Траектория фокуса, которая катится по произвольной прямой — цепная молния.

Следует отметить, что оптическое свойство — это способность отражать свет от источника. Если пучок лучей, которые являются параллельными ее оси, отражаются в параболе, то они собираются в фокусе кривой. При нахождении источника света в фокусе происходит отражение параллельного пучка лучей относительно ее оси.

Уравнения квадратичной функции

Параболу можно описать несколькими способами. Каждый из них нужно применять в конкретных случаях для удобства вычислений. Существует три формы описания кривой:

  1. Каноническая.
  2. Квадратичная.
  3. Общая.

В первой форме она имеет следующий вид: y 2 = 2px. Если поменять местами оси декартовой системы, то получится следующий вид: x 2 = 2yp. Коэффициент p — фокальный параметр. Он соответствует расстоянию между фокусом и директрисой. Кроме того, его значение всегда больше нуля. Вершина лежит всегда между фокусом и директрисой кривой на расстоянии, равном p/2 (рис. 2).

Нахождения вершины параболы формула

Рисунок 2. Директриса и фокус.

Пусть уравнение директрисы (прямая, которая параллельна оси ОУ) имеет следующий вид: х + p/2 = 0. Координаты фокуса F — (р/2;0). Начало координат делит луч, проходящий из точки F и точки пересечения с директрисой на 2 равных отрезка. Величина FM рассчитывается таким образом: FM = [(x — p/2)^2 + y 2 ]^0.5. Отрезок (луч) из точки М до директрисы равен p/2 + x. Если приравнять оба выражения, то равенство имеет такой вид: p/2 + x = [(x — p/2)^2 + y 2 ]^0.5. При возведении в квадрат и приведении подобных слагаемых, получается искомое уравнение параболы (y 2 = 2px).

Парабола может задаваться квадратичной функцией. Она имеет такой вид: y = ax 2 + bx + c. Следует учитывать, что коэффициент «a» не должен быть равен 0. Если a=1, b = 0 и с = 0, функция принимает такой вид: y = ax 2 . В этом случае формула нахождения вершины параболы выглядит таким образом:

Формула нахождения вершины параболы

  1. Абсцисса вершины параболы: xa = -b / 2a.
  2. Координата «игрек» по оси ординат: yb = – D / 2a.

В последней формуле переменная D является дискриминантом квадратного уравнения искомой функции. Он вычисляется с помощью такого соотношения: D = b 2 — 4ac. При а>0 фокус лежит на оси, и находится над вершиной. Ось симметрии параллельна оси ординат. Кроме того, она проходит через вершину кривой. Расстояние до нее равно ¼ величины «а». Если а<0, то ось ее симметрии параллельна оси абсцисс. Расстояние до фокуса также равно ¼а. Уравнение y = a (x — xa)^2 + ya — функция, определяющая кривую II порядка, как параболу.

Поскольку искомую функцию можно назвать кривой второго порядка, то ее уравнение может быть записано в виде квадратного многочлена в декартовой системе координат. Вид его имеет такой вид: Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0. Дискриминант равен нулю (при старших членах).

В полярной системе координат с осями p и v уравнение квадратичной функции имеет такой вид: p (1 + cos (v)) = p. Расстояние от фокуса до директрисы обозначается фокальным коэффициентом p. Кроме того, p соответствует удвоенной длине отрезка, проведенного от фокуса до вершины.

Методы нахождения вершины

В математике есть три способа нахождения координат точки вершины кривой: по формуле, выделением полного квадрата и нахождением производной. Следует отметить, что первый способ не подойдет в том случае, когда функция отличается от вида y = ax 2 + bx + c. Первый способ — расчет по формуле вершины параболы квадратичной функции. Координата x0 вычисляется таким образом: x0 = -b / 2a. Для нахождения координаты y0 следует подставить в функцию найденное значение x0.

Когда функция представлена неполным квадратом, нужно прибавить или отнять одинаковое число к двум частям уравнения. Если воспользоваться этим методом, то можно вычислить сразу значения х и у. Алгоритм нахождения вершины для функции у = x 2 + 4x + 2 имеет такой вид:

Общие сведения о квадратичной функции

  1. Приравнять многочлен к нулю, и перенести свободный член в правую сторону с противоположным знаком: x 2 + 4x = -2.
  2. Дополнить до полного квадрата. Необходимо вычислить свободный член по такому соотношению: с = (b/2)^2 = (4/2)^2 = 4.
  3. Записать полный квадрат, отняв и прибавив свободный член: x 2 + 4x + 4 — 4 = -2.
  4. Выделить квадрат: (x 2 + 2x + 4) — 4 = -2.
  5. Перенести свободное число в правую сторону с противоположным знаком: (x 2 + 2x + 4) = 4 — 2.
  6. Уравнение принимает следующий вид: (x + 2)^2 = 2.
  7. Для того чтобы вычислить x0, нужно решить уравнение (x + 2)^2 = 0. Следовательно, x = -2.
  8. Ординату точки определить очень просто, поскольку ее значение соответствует числу (нужно брать с противоположным знаком), которое находится в правой части уравнения, т. е. у = -2.

При изображении графика вершину нужно сместить в точку (-2;2). Третий способ позволяет узнать координаты вершины с помощью определения производной. Находить ее следует от заданной функции. Для вычисления координат вершины нужно действовать по следующему алгоритму:

  1. Найти производную и приравнять ее к нулю: f'(x) = (ax 2 + bx + c)’ = 2ax + b.
  2. Выразить х: х = -b / (2a).
  3. Подставить в функцию для вычисления y.
  4. Записать координаты точки.

Однако эти все три метода относятся к ручному вычислению. Автоматизация действий осуществляется с помощью специализированного программного обеспечения. Для этой цели подойдет онлайн-калькулятор, поддерживающий функцию нахождения точек вершины квадратичной кривой. Программы рекомендуется применять только для проверки решения, поскольку очень важно знать методы нахождения этой точки.

Алгоритм построения

В различных задачах нужно выполнить построение графика функции. В некоторых случаях даются координаты вершины, а в других — их следует искать, используя какой-либо метод. Чтобы построить квадратичную функцию, нужно воспользоваться таким алгоритмом:

Примеры решения задач

  1. Если вершина не задана, то нужно найти ее любым из методов.
  2. Определить точки пересечения с осями декартовой системы координат.
  3. Построить таблицу зависимости ординаты от абсциссы. Для этой цели нужно выделить минимум 3 значения «х». Вершина должна находиться по центру таблицы.
  4. Выполнить построение, соединив точки.

Если необходим более точный график, то необходимо брать больше точек. Значения рассчитываются при подстановке значений «х» в функцию. Когда парабола задана функцией y = x 2 + c, нет смысла брать разные значения. Нужно использовать для построения искомой таблицы числа с противоположными знаками. Например, x1 = 2 и x2 = -2.

Специалисты-математики настоятельно рекомендуют не усложнять вычисления. Возможно, в школьных программах и рассматриваются различные случаи. Однако в высших учебных заведениях основной аспект изучения дисциплин с физико-математическим уклоном сводится к оптимизации процесса решения задачи.

Примеры решений

В математике существует определенная классификация заданий на простые и сложные типы. Все они считаются однотипными, но отличаются только объемами вычислений и необходимостью построения графиков. Для решения нужно воспользоваться рекомендуемыми алгоритмами, которые существенно оптимизируют вычисления.

«Корень» трудностей при расчете — отсутствие систематизации вычислений. Не все ими пользуются. В результате простая задача становится очень сложной, поскольку в ней присутствует много ненужных вычислений. Кроме того, как отмечалось выше, рекомендуется «набить руку» на ручных вычислениях, ведь не всегда можно будет воспользоваться программами.

Упрощенная задача

Простым примером задания является следующий: необходимо вычислить координаты вершины точки параболы y = x 2 + 3x — 18. Следует продемонстрировать решение тремя способами. Решение первым методом:

  1. Координата по оси абсцисс: х0 = -3 / (2 * 1) = -1,5.
  2. По ординате: (-1,5)^2 + 3 * (-1,5) — 18 — y= 0. Отсюда, y = -20,25.

Следовательно, вершина находится в точке (-1,5;20,25). Второй способ решения данной задачи имеет такой вид:

Как найти х вершину параболы

  1. Составить уравнение и перенести свободный член: x 2 + 3x = 18.
  2. Вычислить свободный член: с = (b/2)^2 = 2,25.
  3. Записать выражение: x 2 + 3x + 2,25 — 2,25 = 18.
  4. Выделить квадрат: (x 2 + 3x + 2,25) = 20,25.
  5. Определить координаты: (x + 1,5)^2 = 20,25.
  6. Искомая точка: (-1,5;20,25).

Для решения третьим методом следует найти производную: y’ = (x 2 + 3x — 18)’ = 2x + 3. Затем нужно приравнять ее к нулю: 2х + 3 = 0. Уравнение является простым, а его переменная легко находится: x = -3 / 2 = -1,5. После этого необходимо подставить абсциссу в функцию, приравняв ее к 0: y = 20,25.

Повышенная сложность

Задания повышенной сложности сводятся к вычислению нескольких значений. Кроме того, в некоторых случаях следует построить график параболы y = x 2 — 7x +10. Необходимо выполнить такие действия:

  1. Пересечение с осями.
  2. Вычислить экстремум (вершину) всеми методами.
  3. Выполнить графический эскиз (график).

Точек пересечения по ОУ нет. Они есть по оси абсцисс. Следует приравнять функцию к 0. Нахождение корней выполняется по теореме Виета: x1 = 2 и x2 = 5.

Для нахождения вершины необходимо воспользоваться тремя методами. При решении первым способом находится координата x0 = 7 / (2 * 1) = 3,5. Ордината определяется таким образом: y0 = (3,5)^2 — (7 * 3,5) + 10 = -2,25. Точка экстремума имеет координаты (3,5;-2,25). Находить вершину параболы необходимо по такому алгоритму:

  1. Записать уравнение, и выполнить перенос свободного члена: x 2 — 7x = -10.
  2. Найти свободный член: с = (7/2)^2 = 12,25.
  3. Составить уравнение: x 2 — 7x + 12,25 — 12,25 = -10.
  4. Выделить квадрат: (x — 3,5)^2 = 2,25.
  5. Экстремум: (3,5;-2,25).

Для следующего метода нужно найти производную: y’ = (x 2 — 7x +10)’ = 2x — 7. Далее нужно приравнять y’ к нулю: 2x — 7 = 0. Значение по оси абсцисс равно х0 = 3,5, а y0 = -2,25. Далее нужно заполнить таблицу зависимостей ординаты от переменной.

y 4 0 -2 -2,25 -2 0 4
x 1 2 3 3,5 4 5 6

Таблица 1. Зависимость y от x.

После заполнения таблицы следует построить график искомой функции (рис. 3). Таблица состоит из следующих элементов: вершины, точек пересечения с осью абсцисс и 4 произвольных значений.

Как вычислить вершину параболы

Рисунок 3. График функции.

Математики рекомендуют использовать для построения графика полученные значения при расчетах, поскольку подстановка и вычисление произвольных х существенно снижает скорость вычислений.

Таким образом, нахождение координат вершины параболы является довольно простой задачей, поскольку существует несколько методов. Из них можно выбрать оптимальный, который подходит в конкретной ситуации.

Парабола присутствует в мире математики, физики и других наук. По траектории параболы передвигаются искусственные спутники, которые стремятся покинуть пределы Солнечной системы, мяч при игре в волейбол тоже описывает её траекторию. Нужно уметь строить параболу. А чтобы это не составляло труда, надо знать, как найти вершину параболы.

Как  найти вершину параболы

Содержание:

  • Нахождение вершины параболы: способы, примеры, советы
    • Первый способ
    • Второй способ
    • Третий способ
  • Построение параболы
  • Советы
  • Видео

Нахождение вершины параболы: способы, примеры, советы

График функции y = ax2+ bx + c, где a — первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член, называется параболой. Но обратите внимание на тот факт, что a ≠0.

У каждой точки параболы есть симметричная ей, кроме одной точки, и эта точка называется вершиной. Для того чтобы найти точку, которая является вершиной, нужно определиться, что такое точка на графике. Точка на графике – это определённая координата по оси абсцисс и по оси ординат. Она обозначается как (x; y). Давайте разбираться, как найти заветные числа.

Первый способ

Если вы хотите знать, как необходимо правильно вычислять координаты вершины, то нужно только выучить формулу x0 = -b/2a. Подставляя полученное число в функцию, получим y0.

Например, y =x2–8 x +15;

находим первый, второй коэффициенты и свободный член;

  • a =1, b =-8, c =15;

подставляем значения a и b в формулу;

  • x0=8/2=4;

вычисляем значения y;

  • y0 = 16–32+15 = -1;

Значит, вершина находится в точке (4;-1).

Ветви параболы симметричны относительно оси симметрии, которая идёт через вершину параболы. Зная корни уравнения, можно без особых трудностей посчитать абсциссу вершины параболы. Предположим, что k и n – корни квадратичного уравнения. Тогда точка x0 равноудалена от точек k и n, и её можно вычислить по формуле: x0 = (k + n)/2.

Рассмотрим на примере y =x2–6x+5

1) Приравниваем к нулю:

  • x2–6x+5=0.

2) Находим дискриминант, используя формулу: D = b 2–4 ac:

  • D =36–20=16.

3) Находим корни уравнения по формуле (-b±√ D)/2a:

  • 1 – первый корень;
  • 5 – второй корень.

4) Вычисляем:

  • x0 =(5+1)/2=3

Как найти вершину

Второй способ

Дополнение до полного квадрата – отличный способ узнать, где располагается вершина. Используя этот способ, вы сможете вычислить точки x и y одновременно, без нужды подставлять x в начальный пример. Рассмотрим этот метод на примере функции: y=x 2+8 x +10.

1. Сначала нужно приравнять выражение с переменной к 0. Потом перенести c в правую сторону с противоположным знаком, то есть у нас получается выражение x2 + 8x = -10.

2. Теперь в левой части нужно сделать полный квадрат. Для этого посчитайте (b/2)2 и увеличьте обе части уравнения результат. В этом случае нужно подставит 8 вместо b.

У нас получается 16. Теперь прибавьте это число к обеим частям уравнения:

x2 + 8x +16= 6.

3. Видно, что полученное выражение – полный квадрат. Его можно представить в форме: (x + 4)2 = 6.

4. Используйте это выражение для поиска координат вершины параболы. Чтобы посчитать x, нужно приравнять его к 0. Получаем, x =-4. Координата y равна тому, что находится в правой части, то есть y =6. Вершина параболы этого уравнения (-4, 6).

Третий способ

Если вы знаете, что такое производная, то для вас есть другая формула. Несмотря на то, куда смотрят «рога» параболы, её вершина — точка экстремума. Для этого способа надо применить следующий алгоритм:

1. Нахождение первой производной по формуле f'(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.

2. Приравнивание производной к 0. В итоге вы получите 0 = 2ax + b, отсюда можно найти то, что нас интересует.

Рассмотрим этот способ подробнее.

Дана функция y = 4x²+16x-17;

  • Записываем производную и приравниваем к нулю.

f'(x) = (4x²+16x-17)’ = 8x+16 =0

Как построить параболу

Построение параболы

Самое трудное при построении – это верно найти точки функции. Для подробного построения нужно просчитать 5–7 точек (для школьного курса хватит этого). Для этого выбираем какое-либо значение x и подставляем его в данную функцию. Итогом подсчётов будет число точки по оси ординат. После этого ставим на координатную плоскость полученные нами точки. В итоге у нас получается парабола.

Рассмотрим подробнее вопрос о нахождении точек, которые нужно отметить. Для примера возьмём функцию y =-x 2+11 x -24 с вершиной в точке (5,5;-6,25).

1) Строим таблицу

X 5,5
Y

2) Заполняем таблицу

Так как парабола имеет осевую симметрию, то можно считать только значения справа или слева от вершины. Лучше считать те значения, которые ближе к 0, так удобнее. В нашем случае эти значения 4 и 5.

X 4 5 5,5 6 7
Y -4 -6 -6,25 -6 -4

Советы

Правильно находите коэффициенты.

Пишите промежуточные вычисления на бумаге. Это не только облегчит нахождение вершины, но и поможет найти свои ошибки.

Делайте всё поэтапно. Следуйте алгоритму.

Обратите ваше внимание на то, что:

  • Нужно проверять правильно ли ваше решение.
  • Необходимо успокоиться. Решение любых задач по математике требует опыта. Просто нужно отработать данную тему, и тогда непременно у вас всё получится.

Видео

Это видео поможет вам научиться находить вершину параболы

Вершина параболы

Содержание:

  • Что такое вершина параболы
  • Вывод формулы координат вершины параболы
  • Как найти координаты, основные способы
  • Примеры решения задач

Что такое вершина параболы

Определение

Вершина параболы — это точка, в которой наблюдается пересечение параболой оси координат и ее невозможность держать направление выше или ниже в координатной плоскости.

Чтобы найти ВП, необходимо применить формулу:

(lbrackfrac{-b}{2a};-frac{b^2-4ac}{4a}rbrack)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Исходя из координат, можно узнать расположение вершины параболы и построить ее.

Вывод формулы координат вершины параболы

Рассматриваемую формулу используют для решения квадратных уравнений, которые имеют вид:

(y;=;ax^2;+;bx;+;c)

Ее график представляет собой параболу, формулу которой мы определили выше. Но не всегда требуется пользоваться данной формулой, так как сначала можно найти значение х, а затем подставить его в уравнение и найти y. 

Для того, чтобы вывести формулу ВП, нужно преобразовать квадратную функцию к виду:

(y;=;f(x;+;l);+;m)

Делают это с помощью метода выделения полного квадрата, то есть (left(a+bright)^2) преобразуют в (a^2+2ab+b^2.)

Функции вида (y;=;f(x;+;l);+;m) отличаются от (y;=;f(x)) сдвигом из графиков по оси абсцисс на –l и по оси ординат на m. l в переписанной квадратичной функции равняется:

(frac{-b}{2a}, а frac{left(4ac-b^2right)}{4a})

Получается, что l и m — это координаты x0 и y0.

Приведем доказательство:

  1. Соединяем первые два члена многочлена: (y;=;(ax^2;+;bx);+;c.)
  2. Выносим коэффициент a за скобку, b при этом делим на a: (y=aleft(x^2+frac baxright)+c.)
  3. Представляем, что у нас есть квадрат суммы, в котором x является слагаемым, а из выражения в скобках необходимо рассчитать его полный квадрат суммы. Одночлен (frac bax) умножаем на два и делим на два одновременно. Далее прибавляем и вычитаем квадрат второго слагаемого квадрата суммы. Получаем: (y=aleft(x^2+2frac b{2a}x+frac{b^2}{4a^2}-frac{b^2}{4a^2}right)+c.)
  4. Выделяем квадрат суммы: (y=aleft(left(x+frac b{2a}right)^2-frac{b^2}{4a}right)+c.)
  5. Умножаем на a: (y=aleft(x+frac b{2a}right)^2-frac{b^2}{4a}+c.)
  6. Приводим свободные члены к общему знаменателю: (y=aleft(x+frac b{2a}right)^2-frac{b^2+4ac}{4a}.)
  7. Меняем знак: (y=aleft(x+frac b{2a}right)^2+frac{b^2-4ac}{4a}.)

Мы привели функцию (y;=;ax^2;+;bx;+;c) к виду (y;=;a{(x;+;l)}^2;+;m,) что соответствует (y;=;f(x;+;l);+;m,) где (f(x);=;ax^2. )

Как найти координаты, основные способы

Существует несколько способов нахождения координат ВП:

  1. (x_0=frac{-b}{2a}) — подходит в том случае, если дискриминант квадратного уравнения равен нулю.
  2. (y_0=-frac{b^2-4ac}{4a}) — это формула дискриминанта, поделенная на 4а.
  3. (x_0=frac{x_1+x_2}2) — среднее арифметическое между нулями функции. Можно использовать, если в выражении есть нули.
  4. Если функция имеет вид (y=aleft(x-x_0right)^2+y_0), то в ее вершиной совпадают координаты (left(x_0;y_0right).)

Примеры решения задач

Задача №1

Найти вершину параболы для уравнения: (y=x^2-5x+7.)

Решение: В выражение (x=-frac b{2a}) подставляем известные числа и получаем (x=frac52=2,5). Теперь подставляем x в исходное уравнение: (2,5^2-5times2,5+7=0,75.)

Ответ: (2,5; 0,75).

Задача №2

Найти ВП для уравнения: y=5(x-1)(x+7).

Решение: Ищем нули функции: 5(x-1)(x+7)=0. Тогда x-1=0 либо x+7=0. Из этого x=1; x=-7.

Подставляем и получаем: (x_0=frac{x_1+x_2}2=frac{1+left(-7right)}2=-3.)

Второе: (y_0=5timesleft(-3-1right)left(-3+7right)=-80.)

Ответ: (-3; -80). 

Задача №3

Найти вершину параболы для уравнения: (y=x^2-7x+3 ).

Решение: (х_0=-frac b{2a}=-frac{left(-7right)}{2times1}=3,5.)

Второе: (y_0=3,5^2-7times3,5+3=-9,25.)

Ответ: (3,5; -9,25). 

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 2.50 (Голосов: 8)

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Поиск по содержимому

Прежде чем перейти к разбору квадратичной функции рекомендуем вспомнить, что называют
функцией в математике.

Если вы прочно закрепите общие знания о функции (способы задания, понятие графика)
дальнейшее изучение других
видов функций будет даваться значительно легче.

Что называют квадратичной функцией

Запомните!
!

Квадратичная функция — это функция вида

y = ax2 + bx + c,

где a,
b и с — заданные числа.

Другими словами можно сказать, что если в функции старшая (то есть самая большая) степень,
в которой стоит «x» — это «2»,
то перед нами квадратичная функция.

Рассмотрим примеры квадратичных функций и определим, чему в них равны коэффициенты «a»,
«b» и «с».

Квадратичная функция Коэффициенты
y = 2x2 − 7x + 9

  • a = 2
  • b = −7
  • с = 9
y = 3x2 − 1

  • a = 3
  • b = 0
  • с = −1
y = −3x2 + 2x

  • a = −3
  • b = 2
  • с = 0

Как построить график квадратичной функции

Запомните!
!

График квадратичной функции называют параболой.

Парабола выглядит следующим образом.

парабола - график квадратичной функции

Также парабола может быть перевернутой.

перевернутая парабола

Существует четкий алгоритм действий при построении графика квадратичной функции.
Рекомендуем при построении параболы всегда следовать этому порядку действий, тогда вы сможете избежать ошибок при построении.

Чтобы было проще понять этот алгоритм, сразу разберем его на примере.

Построим график квадратичной функции «y = x2 −7x + 10».

  1. Направление ветвей параболы

    Запомните!
    !

    Если «a > 0», то ветви направлены вверх.
    парабола маленькая

    Если «a < 0», то ветви направлены вниз.
    перевернутая парабола маленькая

    В нашей функции «a = 1», это означает, что ветви параболы направлены вверх.
    перевернутая парабола мальнькая

  2. Координаты вершины параболы

    Запомните!
    !

    Чтобы найти «x0»
    (координата вершины по оси «Ox»)
    нужно использовать формулу:

    Найдем «x0» для нашей функции «y = x2 −7x + 10».

    Теперь нам нужно найти «y0»
    (координату вершины по оси «Oy»).
    Для этого нужно подставить найденное значение «x0» в исходную функцию.
    Вспомнить, как найти значение функции можно в уроке
    «Как решать задачи на функцию» в подразделе
    «Как получить значение функции».

    y0(3,5) =
    (3,5)2 − 7 ·3,5 + 10 = 12,25 − 24,5 + 10 =

    −12,25 + 10 = −2,25

    Выпишем полученные координаты вершины параболы.

    (·) A (3,5; −2,25) — вершина параболы.

    Отметим вершину параболы на системе координат.
    Проведем через отмеченную точку ось симметрии, так как парабола — это симметричный график
    относительно оси «Oy».

    вершина параболы

  3. Нули функции

    Для начала давайте разберемся, что называют нулями функции.

    Запомните!
    !

    Нули функции — это точки пересечения графика функции с осью «Ox»
    (осью абсцисс).

    Наглядно нули функции на графике выглядят так:

    нули функции

    Свое название нули функции получили из-за того, что у этих точек координата
    по оси «Oy» равна нулю.

    Теперь давайте разберемся, как до построения графика функции рассчитать координаты точек нулей функции.

    Запомните!
    !

    Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо
    «y = 0».

    Подставим в заданную функцию «y = x2 −7x + 10»
    вместо «y = 0» и решим полученное
    квадратное уравнение
    относительно
    «x» .

    0 = x2 −7x + 10
    x2 −7x + 10 = 0

    x1;2 =

    7 ±
    49 − 4 · 1 · 10
    2 · 1

    x1;2 =

    x1;2 =

    x1 =

    x2 =

    x1 =

    x2 =

    x1 = 5

    x2 = 2

    Мы получили два корня в уравнении, значит, у нас две точки пересечения
    с осью «Ox».
    Назовем эти точки и выпишем их координаты.

    • (·) B (5; 0)
    • (·) C (2; 0)

    Отметим полученные точки («нули функции») на системе координат.

    отмечаем нули функции на системе координат

  4. Дополнительные точки для построения графика

    Возьмем четыре произвольные числовые значения для «x».
    Целесообразно брать целые числовые значения на оси «Ox»,
    которые наиболее близки к оси
    симметрии. Числа запишем в таблицу в порядке возрастания.

    x 1 3 4 6
    y

    Для каждого выбранного значения «x»
    рассчитаем «y».

    • y(1) = 12 − 7 · 1 + 10 = 1 − 7 + 10 =
      4
    • y(3) = 32 − 7 · 3 + 10 = 9 − 21 + 10 =
      −2

    • y(4) = 42 − 7 · 4 + 10 = 16 − 28 + 10 =
      −2
    • y(6) = 62 − 7 · 6 + 10 = 36 − 42 + 10 =
      4

    Запишем полученные результаты в таблицу.

    x 1 3 4 6
    y 4 −2 −2 4

    Отметим полученные точки графика на системе координат (зеленые точки).

    дополнительные точки для построения

    Теперь мы готовы построить график.
    На забудьте после построения подписать график функции.

    график параболы

Краткий пример построения параболы

Рассмотрим другой пример построения графика квадратичной функции.
Только теперь запишем алгоритм построения коротко без подробностей.

Пусть требуется построить график функции
«y = −3x2 − 6x − 4».

  1. Направление ветвей параболы
  2. «a = −3» — ветви параболы направлены вниз.
    перевернутая парабола маленькая

  3. Координаты вершины параболы

    x0 =
    x0 = =

    = −1

    y0(−1) = (−3) · (−1)2 − 6 · (−1) − 4 =
    −3 · 1 + 6 − 4 = −1

    (·) A (−1; −1)

    — вершина параболы.

    вершина параболы -3x^2 - 6x - 4

  4. Нули функции

    Точки пересечения с осью «Ox» (y = 0).

    0 = −3x2 − 6x − 4

    −3x2 − 6x − 4 = 0 |·(−1)

    3x2 + 6x + 4 = 0

    x1;2 =

    −6 ±
    62 − 4 · 3 · 4
    2 · 1

    x1;2 =

    x1;2 =


    Ответ: нет действительных корней.

    Так как корней нет, значит, график функции не пересекает ось
    «Ox».

  5. Вспомогательные точки для: «x = −3»;
    «x = −2»;
    «x = 0»;
    «x = 1». Подставим в исходную функцию
    «y = −3x2 − 6x − 4».

    • y(−3) = −3 · (−3)2 − 6 · (−3) − 4
      = −3 · 9 + 18 − 4 = −27 + 14 = −13
    • y(−2) = −3 · (−2)2 − 6 · (−2) − 4
      = −3 · 4 + 12 − 4 = −12 + 12 − 4 = −4

    • y(0) = −3 · 02 − 6 · 0 − 4
      = −4
    • y(1) = −3 · 12 − 6 · 1 − 4
      = −3 −6 − 4 = −13
    x −3 −2 0 1
    y −13 −4 −4 −13

Отметим вспомогательные точки. Отмечаем на системе координат только те точки, которые
не выходят за масштаб нашей системы координат, то есть точки
«(−2; −4)» и «(0; −4)».
Построим и подпишем график функции.

график функции -3x^2 - 6x - 4


Ваши комментарии

Важно!
Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:


Добавить комментарий