Как найти координаты вершины параболы калькулятор

Как найти координаты вершины параболы калькулятор

Парабола – это функция, заданная уравнением:

Её график имеет следующий вид:

График параболы с ветвями направленными вверх

Причем, в зависимости от знака коэффициента
, ветви параболы направлены вверх (если
) или вниз (если
).

В школьном курсе алгебры возникает задача нахождения
координат вершины параболы.
Их можно найти по формулам:

Вершина параболы, отмечена оранжевой точкой на приведённом выше графике.

Наш онлайн калькулятор позволяет найти координаты вершины параболы с описанием подробного хода решения на русском языке. Для работы калькулятора, необходимо ввести уравнение параболы и указать её переменную. Уравнение параболы можно вводить в различных форматах, а коэффициентами могут быть не только числа или дроби, но и параметры. Нажмите на кнопку “Примеры”, расположенную на панели калькулятора, чтобы посмотреть различные форматы ввода.

Источник

y=x2+x+

Правила ввода

Если вы хотите ввести неполную квадратичную параболу y=ax², y=ax²+bx или y=ax²+c вам нужно вместо соответствующих коэффициентов вписать 0. Если поля останутся пустыми программа впишет 1.

Вводить можно целые(1, 2, 3, -7), десятичные(0.25, -1.15), дробные(-1/8, 32/9). Если необходимо ввести смешанное число, то нужно перед вводом перевести его в неправильную обыкновенную дробь. Т.е. 1 целая 1/2 вводить нужно будет как 3/2.

Формулы вычисления координат вершины параболы

Графиком квадратичной функции является парабола

[large y=ax^2+bx+c, ane0]

[large x_0=-frac{b}{2a}]

[large y_0=frac{4ac-b^2}{4a}]

Вывод формул вычисления координат вершины параболы

Для того, чтобы вывести формулу вершины параболы необходимо из квадратного трёхчлена выделить полный квадрат по формуле

[large (a+b)^2=a^2+2ab+b^2]

Возьмём формулу квадратного трёхчлена

[large y=ax^2+bx+c, ane0]

Вынесем коэффициент a за скобку

[large y=a(x^2+frac{b}{a}x)+c]

Прибавим и вычтем второе слагаемое квадрата суммы

[large y=aBig(x^2+2frac{b}{2a}x+Big(frac{b}{2a}Big)^2-Big(frac{b}{2a}Big)^2Big)+c]

Выделим квадрат суммы

[large y=aBig(x+frac{b}{2a}Big)^2 + frac{4ac-b^2}{4a}]

По сути у нас получается функция вида (y=a(x+l)^2+m) которая отличается от функции (y=ax^2) смещением по оси абцисс на (-l), а по оси ординат на m

[large l=x_0=-frac{b}{2a}]

[large m=y_0=frac{4ac-b^2}{4a}]

Способы вычисления координат вершины параболы

1) Если дискриминант равен 0 то уравнение будет иметь один корень. Другими словами вершина параболы будет лежать на оси абцисс. Соответственно корень уравнения и будет координатой вершины параболы. Координату по оси ординат можно будет найти подставив найденный корень в уравнение.

Разберём пример
Найдём координаты вершины параболы x²+2x+1=y
D=2²-4×1×1=0
x=(-2)/(2×1)=-1
Подставим в наше уравнение -1
y=(-1)²+2×(-1)+1=0
Соответственно координаты вершины параболы будут в точке (-1, 0)

2) Если дискриминант больше 0 то уравнение имеет 2 корня. Парабола симметрична относительно вертикали проходящей через её вершину. Соответственно координата x0 равна среднему арифметическому его корней т.е x0=(x1+x2)/2.

Разберём пример
Найдём координаты вершины параболы 2x²+3x-5=y
D=3²-4×2×(-5)=49
x1=(-3+7)/(2×2)=1
x2=(-3-7)/(2×2)=-2.5
x0=(1+(-2.5))/2=-0.75
Подставим в наше уравнение -0.75
y=2×(-0.75)²+3×(-0.75)-5=-6.125
Соответственно координаты вершины параболы будут в точке (-0.75, -6.125)

3) Если квадратный трёхчлен привести к виду y=a(x+l)²+m то координаты вершины параболы будут в точке (-l,m)

Разберём пример
Найдём координаты вершины параболы y=2x²-20x+54
Вынесем 2 за скобку
y=2(x²-10x)+54
Прибавим и отнимем 25
y=2(x²-10x+25-25)+54
y=2(x²-2×5x+5²-25)+54
y=2((x-5)²-25)+54
y=2(x-5)²-50+54
y=2(x-5)²+4
Соответственно координаты вершины параболы будут в точке (5, 4)

Источник
bold{mathrm{Basic}} bold{alphabetagamma} bold{mathrm{ABGamma}} bold{sincos} bold{gedivrightarrow} bold{overline{x}spacemathbb{C}forall} bold{sumspaceintspaceproduct} bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}} bold{H_{2}O}
square^{2} x^{square} sqrt{square} nthroot[msquare]{square} frac{msquare}{msquare} log_{msquare} pi theta infty int frac{d}{dx}
ge le cdot div x^{circ} (square) |square| (f:circ:g) f(x) ln e^{square}
left(squareright)^{‘} frac{partial}{partial x} int_{msquare}^{msquare} lim sum sin cos tan cot csc sec
alpha beta gamma delta zeta eta theta iota kappa lambda mu
nu xi pi rho sigma tau upsilon phi chi psi omega
A B Gamma Delta E Z H Theta K Lambda M
N Xi Pi P Sigma T Upsilon Phi X Psi Omega
sin cos tan cot sec csc sinh cosh tanh coth sech
arcsin arccos arctan arccot arcsec arccsc arcsinh arccosh arctanh arccoth arcsech
begin{cases}square\squareend{cases} begin{cases}square\square\squareend{cases} = ne div cdot times < > le ge
(square) [square] ▭:longdivision{▭} times twostack{▭}{▭} + twostack{▭}{▭} – twostack{▭}{▭} square! x^{circ} rightarrow lfloorsquarerfloor lceilsquarerceil
overline{square} vec{square} in forall notin exist mathbb{R} mathbb{C} mathbb{N} mathbb{Z} emptyset
vee wedge neg oplus cap cup square^{c} subset subsete superset supersete
int intint intintint int_{square}^{square} int_{square}^{square}int_{square}^{square} int_{square}^{square}int_{square}^{square}int_{square}^{square} sum prod
lim lim _{xto infty } lim _{xto 0+} lim _{xto 0-} frac{d}{dx} frac{d^2}{dx^2} left(squareright)^{‘} left(squareright)^{”} frac{partial}{partial x}
(2times2) (2times3) (3times3) (3times2) (4times2) (4times3) (4times4) (3times4) (2times4) (5times5)
(1times2) (1times3) (1times4) (1times5) (1times6) (2times1) (3times1) (4times1) (5times1) (6times1) (7times1)
mathrm{Радианы} mathrm{Степени} square! ( ) % mathrm{очистить}
arcsin sin sqrt{square} 7 8 9 div
arccos cos ln 4 5 6 times
arctan tan log 1 2 3 –
pi e x^{square} 0 . bold{=} +

Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ

Подписаться

Войдите, чтобы сохранять заметки

Войти

Номер Строки

Примеры

  • вершина:(y-2)=3(x-5)^2

  • вершина:3x^2+2x+5y-6=0

  • вершина:x=y^2

  • вершина:(y-3)^2=8(x-5)

  • вершина:(x+3)^2=-20(y-1)

  • Показать больше

Описание

Пошаговый расчет вершины параболы по заданному уравнению

parabola-vertex-calculator

ru

Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab

  • My Notebook, the Symbolab way

    Math notebooks have been around for hundreds of years. You write down problems, solutions and notes to go back…

    Read More

    • Введите Задачу

    Сохранить в блокнот!

    Войти

    Источник


    Калькулятор онлайн.
    Построение графика квадратичной функции.

    Если вам нужно просто построить график любой функции, то для этого у нас есть отдельная программа.

    Эта математическая программа для построения графика квадратичной функции сначала делает преобразование вида
    ( y=ax^2+cx+b ;; rightarrow ;; y=a(x+p)^2+q )
    а затем последовательно строит графики функций:
    $$ y=ax^2 $$
    $$ y=a(x+p)^2+q $$

    Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
    экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
    А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
    сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
    решением.

    Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
    образования в области решаемых задач повышается.

    Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

    Правила ввода квадратного многочлена

    В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
    Например: ( x, y, z, a, b, c, o, p, q ) и т.д.

    Числа можно вводить целые или дробные.
    Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

    Правила ввода десятичных дробей.
    В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
    Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x – 3,5x^2

    Правила ввода обыкновенных дробей.
    В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

    Знаменатель не может быть отрицательным.

    При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
    Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &

    Ввод: 3&1/3 – 5&6/5x +1/7x^2
    Результат: ( 3frac{1}{3} – 5frac{6}{5} x + frac{1}{7}x^2 )

    При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении введённое выражение сначала упрощается.
    Например: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

    Наши игры, головоломки, эмуляторы:

    Немного теории.

    Построение графика квадратичной функции

    Теорема
    Любую квадратичную функцию у = ax2 + bx + c с помощью выделения полного квадрата можно записать в виде
    $$ y = a left( x+frac{b}{2a} right)^2 – frac{b^2-4ac}{4a}, $$
    т.е. в виде ( y=a(x-x_0)^2 +y_0), где ( x_0=-frac{b}{2a}, quad y_0=-frac{b^2-4ac}{4a} )

    Теорема
    Графиком функции ( y=a(x-x_0)^2+y_0 ) является парабола, получаемая сдвигом параболы ( y=ax^2):
    вдоль оси абсцисс вправо на x0, если х0 > 0, влево на |х0|, если х0 < 0;
    вдоль оси ординат вверх на y0, если y0 > 0, вниз на |y0|, если y0<0.

    Таким образом, графиком функции у = ax2 + bx + c является парабола, получаемая сдвигом параболы у = ax2 вдоль
    координатных осей. Равенство у = ax2 + bx + c называют уравнением параболы.
    Координаты (x0; y0) вершины параболы у = ax2 + bx + c можно найти по формулам
    $$ x_0=-frac{b}{2a}, quad y_0=ax_0^2+bx_0+c $$

    Ось симметрии параболы у = ax2 + bx + c – прямая, параллельная оси ординат и проходящая через вершину параболы.
    Ветви параболы у = ax2 + bx + c направлены вверх, если a>0, и направлены вниз, если a<0.

    Источник


    Инструкции:

    Используйте этот калькулятор для выражения квадратичной функции, представленной в виде вершины. Пожалуйста, введите правильное квадратичное выражение в x в поле формы ниже.

    Подробнее об этом вершинном калькуляторе

    Этот калькулятор позволит вам получить квадратичную функцию, которую вы вводите в

    Вершинная форма

    , показывая все шаги. Вам необходимо предоставить действительное квадратное выражение в x. Любая допустимая квадратичная функция будет работать.

    Например, вы можете предоставить что-то вроде x^2 + 3x + 4, или, возможно, вы можете предоставить выражение, которое не упрощается, например, x^2 + 3x – 1/2 x + 3x^2 – 3.

    Как только вы зададите действительную квадратичную функцию, просто нажмите кнопку “Вычислить”, и вам будет показано вычисление вершинной формы со всеми шагами, предусмотренными этим

    Калькулятор параболы

    .

    Каждая квадратичная функция, которая достоверно определена, имеет форму вершины, из которой можно непосредственно получить координаты вершины, а также то, открывается ли парабола “вверх” или “вниз”.

    Вершинный Калькулятор

    Как найти форму вершины параболы?

    Все квадратичные функции графически изображаются параболой. Эта парабола будет раскрываться вверх или вниз в зависимости от знака ведущего коэффициента.

    В конечном итоге, получение параболы в виде вершины сводится к нахождению вершины квадратичной функции, что достигается следующим образом

    Завершение квадрата

    .

    Каковы этапы вычисления вершинной формы?

    Так,

    как найти форму вершины

    ? Вы можете выполнить следующие действия:

    • Шаг 1: Определите квадратичную функцию. Выражение должно иметь степень 2, а ведущий коэффициент умножения x² должен быть отличен от нуля
    • Шаг 2: Если ведущий коэффициент, умножающий x², положительный, парабола раскрывается вверх, а если отрицательный – вниз
    • Шаг 3: Заполните квадраты, обратите внимание на член в скобках с x, так как он определяет x-координату вершины
    • Шаг 4: После заполнения квадратов, константа вне скобок (она может быть нулевой) соответствует y-координате вершины

    Таким образом, мы видим, что общий процесс вычисления формы вершины тесно связан с процессом заполнения квадратов.

    Существует ли формула вершины?

    Собственно говоря, да, есть. Обычно завершение процесса квадратов — это долгий путь. Предположим, у вас есть

    квадратичная функция

    , выраженный:

    [ f(x) = a x^2 + b x + c]

    Итак, у вас уже есть упрощенная квадратичная функция. Координата x вершины вычисляется по следующей формуле:

    [ x_v = displaystyle frac{-b}{2a} ]

    Очень просто, правда? Да. Но как тогда получить координату y вершины? Вы берете значение (x_v) и подставляете его в квадратичную функцию. Итак, мы получаем

    [ y_v = f(x_v) = a x_v^2 + b x_v + c ]

    Естественно, эта формула может быть намного быстрее, чем процесс заполнения квадратов, но каждый метод имеет свое применение, и обстоятельства конкретной задачи подскажут вам, какую форму использовать. .

    Квадратичная форма к вершинной?

    Почему вы хотите перейти от квадратичной формы к вершинной? Есть много причин: с геометрической точки зрения, вершинная форма позволяет рассматривать данную квадратичную функцию как перевод и масштабирование элементарной параболы, где перевод определяется вершиной, а масштабирование – ведущим коэффициентом.

    Расчет может быть трудоемким, но это

    Калькулятор параболы

    сделает всю работу за вас.

    Стандартная форма вершины?

    Обычно с этим возникает некоторая путаница. Поясню, вершинная форма — это другое название стандартной формы. Итак, стандартная форма квадратичной функции (y = a(x-h)^2 + k) совпадает с формой вершины.

    Путаница возникает из-за того, что иногда люди используют общую форму квадратичного числа, когда ссылаются на стандартную форму. Общая форма – (y = ax^2 + bx + c).

    Таким образом, вопрос, который имеет смысл, заключается в том, как перейти от общей формы к вершинной форме, что равносильно вопросу о том, как перейти от общей формы к стандартной форме. Ответ прост: начните с общей формы, а затем

    Заполните квадраты

    чтобы получить стандартную форму.

    Калькулятор Уравнения Окружности

    Пример: как найти форму вершины

    Найдите вершину следующего квадратного выражения (f(x) = x^2 + 3x – 6), используя формулу вершины


    Отвечать:

    Нам нужно найти форму вершины квадратичной функции (displaystyle f(x)=x^2+3x-6).

    Сначала мы вычисляем координаты вершины параболы, связанной с данной квадратичной функцией.

    Для квадратичной функции вида (f(x) = a x^2 + bx + c) координата x вершины вычисляется по следующей формуле:

    [x_V = displaystyle -frac{b}{2a}]

    В этом случае мы имеем, что функция, для которой нам нужно найти вершину, является (f(x) = displaystyle x^2+3x-6), что подразумевает, что соответствующие коэффициенты равны:

    [a = 1]

    [b = 3]

    [c = -6]

    Подставляя известные значения (a) и (b) в формулу координаты x вершины, получаем:

    [x_V = displaystyle -frac{b}{2a} = displaystyle -frac{3}{2 cdot 1} = -frac{3}{2}]

    Теперь нам нужно подставить значение (x_V = displaystyle -frac{3}{2}) в квадратичную функцию, так что мы получим:

    [y_V = f(x_V)]

    [ = 1cdot left(-frac{3}{2}right)^2+3cdot left(-frac{3}{2}right)-6=1cdotfrac{9}{4}+3cdot left(-frac{3}{2}right)-6=frac{9}{4}+3cdot left(-frac{3}{2}right)-6=frac{9}{4}-frac{9}{2}-6=-frac{33}{4}]

    Следовательно, координата x вершины равна (x_V = displaystyle -frac{3}{2}), а координата y вершины равна (y_V = displaystyle -frac{33}{4}). Это указывает на то, что точкой, представляющей вершину, является ( displaystyle left(-frac{3}{2}, -frac{33}{4}right)).

    Графически получается следующее:

    Пример Вершины

    Нам нужно заполнить квадрат квадратного выражения (displaystyle x^2+6x-2).

    Для завершения квадрата необходимо выполнить следующие шаги:


    Шаг 1:

    В этом случае, поскольку ведущая константа, член, который умножает (x^2) в данном многочлене, равен (a = 1), поэтому мы не должны его выносить на множитель.


    Шаг 2:

    Мы добавим “2” перед членом (x), заметив, что член порядка 1 в данном квадратном выражении можно переписать: (displaystyle 6 x = 2 cdot left(3right) x), тогда мы получим [ x^2+6x-2 = x^2+2 cdot left(3right) x-2 ]


    Шаг 3:

    Член, умножающий на 2, в данном случае — это (displaystyle 3), поэтому, чтобы использовать биномиальное уравнение, нам нужно, чтобы его квадрат (displaystyle left(3right)^2) присутствовал в выражении.

    Чтобы добиться этого, мы теперь добавляем и вычитаем член (displaystyle left(3right)^2 = 9), чтобы завершить квадрат. Добавление и вычитание одного и того же члена аналогично добавлению нуля, поэтому это не влияет на выражение: [ begin{array}{ccl} displaystyle x^2+6x-2 & = & displaystyle x^2+2 cdot left(3right) x-2 \\ \\ & = & displaystyle x^2+2 cdot left(3right) x-2+9-9 end{array}]


    Шаг 4:

    Завершаем квадрат и упрощаем константы: [ begin{array}{ccl} x^2+6x-2 & = & displaystyle x^2+2 cdot left(3right) x-2 \\ \\ & = & displaystyle x^2+2 cdot left(3right) x-2+9-9 \\ \\ & = & displaystyle x^2+2 cdot left(3right) x+9-2-9 \\ \\ & = & displaystyle left[x^2+2 cdot left(3right) x+left(3right)^2right]-2-9 \\ \\ & = & displaystyle left( x+3 right)^2-11 end{array}]


    Заключение:

    Следовательно, мы находим, что функция в вершинной форме имеет вид (displaystyle f(x) = left( x+3 right)^2-11), что завершает расчет.

    Пример: приведение квадратичной формы к вершинной

    Преобразуйте следующую квадратичную форму (f(x) = x^2 + 6x – 2) в вершинную форму. Каковы координаты вершины? Парабола направлена вверх или вниз?


    Решение:

    Нам нужно найти форму вершины квадратичной функции (displaystyle f(x)=x^2+6x-2).

    Сначала мы вычисляем координаты вершины параболы, связанной с данной квадратичной функцией.

    Для квадратичной функции вида (f(x) = a x^2 + bx + c) координата x вершины вычисляется по следующей формуле:

    [x_V = displaystyle -frac{b}{2a}]

    В этом случае мы имеем, что функция, для которой нам нужно найти вершину, является (f(x) = displaystyle x^2+6x-2), что подразумевает, что соответствующие коэффициенты равны:

    [a = 1] [b = 6] [c = -2]

    Подставляя известные значения (a) и (b) в формулу координаты x вершины, получаем:

    [x_V = displaystyle -frac{b}{2a} = displaystyle -frac{6}{2 cdot 1} = -3]

    Теперь нам нужно подставить значение (x_V = displaystyle -3) в квадратичную функцию, так что мы получим:

    [y_V = f(x_V)] [ = 1cdot left(-3right)^2+6cdot left(-3right)-2=1cdot left(-3right)^2+6cdot left(-3right)-2=-3^2+6cdot left(-3right)-2=9-18-2=-11]

    Следовательно, координата x вершины равна (x_V = displaystyle -3), а координата y вершины равна (y_V = displaystyle -11). Это указывает на то, что точкой, представляющей вершину, является ( displaystyle left(-3, -11right)).

    Пример Вершины

    Нам нужно заполнить квадрат квадратного выражения (displaystyle x^2+6x-2).

    Для завершения квадрата необходимо выполнить следующие шаги:


    Шаг 1:

    В этом случае, поскольку ведущая константа, член, который умножает (x^2) в данном многочлене, равен (a = 1), поэтому мы не должны его выносить на множитель.


    Шаг 2:

    Мы добавим “2” перед членом (x), заметив, что член порядка 1 в данном квадратном выражении можно переписать: (displaystyle 6 x = 2 cdot left(3right) x), тогда мы получим [ x^2+6x-2 = x^2+2 cdot left(3right) x-2 ]


    Шаг 3:

    Член, умножающий на 2, в данном случае — это (displaystyle 3), поэтому, чтобы использовать биномиальное уравнение, нам нужно, чтобы его квадрат (displaystyle left(3right)^2) присутствовал в выражении.

    Чтобы добиться этого, мы теперь добавляем и вычитаем член (displaystyle left(3right)^2 = 9), чтобы завершить квадрат. Добавление и вычитание одного и того же члена аналогично добавлению нуля, поэтому это не влияет на выражение: [ begin{array}{ccl} displaystyle x^2+6x-2 & = & displaystyle x^2+2 cdot left(3right) x-2 \\ \\ & = & displaystyle x^2+2 cdot left(3right) x-2+9-9 end{array}]


    Шаг 4:

    Завершаем квадрат и упрощаем константы: [ begin{array}{ccl} x^2+6x-2 & = & displaystyle x^2+2 cdot left(3right) x-2 \\ \\ & = & displaystyle x^2+2 cdot left(3right) x-2+9-9 \\ \\ & = & displaystyle x^2+2 cdot left(3right) x+9-2-9 \\ \\ & = & displaystyle left[x^2+2 cdot left(3right) x+left(3right)^2right]-2-9 \\ \\ & = & displaystyle left( x+3 right)^2-11 end{array}]


    Заключение:

    Следовательно, мы находим, что функция в вершинной форме имеет вид (displaystyle f(x) = left( x+3 right)^2-11), что завершает расчет.

    Другие квадратичные калькуляторы

    Большинство из

    квадратичные калькуляторы

    в той или иной степени зависят от процесса

    квадрат

    , который позволяет группировать внутри круглых скобок то, что возведено в квадрат.

    Как мы видим в формуле вершины, расчет вершины тесно связан с

    квадратичная формула

    а также

    вычисление корней квадратного уравнения

    . .

    Источник

    Добавить комментарий