1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;
2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;
10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.
Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).
Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.
Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.
Округлять до -го знака после запятой.
Как найти координаты точки?
О чем эта статья:
3 класс, 4 класс, 9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Понятие системы координат
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты вашей квартиры тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится тот дом, где вы живете. С точками на плоскости та же история.
Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.
Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.
Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.
Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.
Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.
- Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
- Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
- Ось ординат Oy — вертикальная ось.
- Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
- Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.
Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.
У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:
- верхний правый угол — первая четверть I;
- верхний левый угол — вторая четверть II;
- нижний левый угол — третья четверть III;
- нижний правый угол — четвертая четверть IV;
- Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
- Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
- Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
- Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.
Определение координат точки
Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.
Точка пересечения с осью Ох называется абсциссой точки А, а с осью Оу называется ординатой точки А.
Чтобы узнать координаты точки на плоскости, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра.
Координаты точки на плоскости записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.
Смотрим на график и фиксируем: A (1; 2) и B (2; 3).
Особые случаи расположения точек
В геометрии есть несколько особых случаев расположения точек. Лучше их запомнить, чтобы без запинки решать задачки. Вот они:
- Если точка лежит на оси Oy, то ее абсцисса равна 0. Например,
точка С (0, 2). - Если точка лежит на оси Ox, то ее ордината равна 0. Например,
точка F (3, 0). - Начало координат — точка O. Ее координаты равны нулю: O (0,0).
- Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
- Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
- Если точка лежит на оси абсцисс, то ее координаты будут иметь вид: (x, 0).
- Если точка лежит на оси ординат, то ее координаты будут иметь вид: (0, y).
Способы нахождения точки по её координатам
Чтобы узнать, как найти точку в системе координат, можно использовать один из двух способов.
Способ первый. Как определить положение точки D по её координатам (-4, 2):
- Отметить на оси Ox, точку с координатой -4, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Ox.
- Отметить на оси Oy, точку с координатой 2, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Oy.
- Точка пересечения перпендикуляров и есть искомая точка D. Ее абсцисса равна -4, а ордината — 2.
Способ второй. Как определить положение точки D (-4, 2):
- Сместить прямую по оси Ox влево на 4 единицы, так как у нас
перед 4 стоит знак минус. - Подняться из этой точки параллельно оси Oy вверх на 2 единицы, так как у нас перед 2 стоит знак плюс.
Чтобы легко и быстро находить координаты точек или строить точки по координатам, скачайте готовую систему координат и храните ее в учебнике:
Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости
В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.
Решения задач о треугольнике онлайн
Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.
Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.
Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.
Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.
Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.
Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.
Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, – 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.
Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.
[spoiler title=”источники:”]
http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-najti-koordinaty-tochki
http://www.matburo.ru/ex_ag.php?p1=agtr
[/spoiler]
Как найти вершину треугольника?
Для того чтобы найти координаты вершины равностороннего треугольника, если известны координаты двух других его вершин, нужно воспользоваться одним из предложенных способов.
1 способ (графический)
- В системе координат отмечаем две заданные вершины.
- Ставим ножку циркуля в одну из построенных точек.
- Проводим окружность с радиусом, равным расстоянию между отмеченными вершинами.
- Таким же образом чертим вторую окружность с тем же радиусом, но из второй отмеченной точки.
- Точки пересечения проведённых окружностей определяют вершины треугольников (их получится два).
- Определяем координаты полученных точек, исходя из полученного чертежа.
Данный способ позволяет точно построить третью вершину. Однако определение координат является приблизительным. Метод хорошо использовать для иллюстрации.
2 способ (аналитический)
Решение задачи основано на применении формулы нахождения расстояния между двумя точками: d(A(x1;y1);B(x2;y2))=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
- Пусть имеются вершины A(x1;y1) и B(x2;y2) треугольника АВС. Обозначим координаты третьей вершины x и y (то есть, С(x;y))
- Составляем соотношения
AC=√((x-x1)^2+(y-y1)^2)
BC=√((x-x2)^2+(y-y2)^2)
AB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2) - Учитывая, что треугольник равносторонний, составляем систему уравнений:
AC=BC
AC=AB
Или система уравнений:
√((x-x1)^2+(y-y1)^2)= √((x-x2)^2+(y-y2)^2)
√((x-x1)^2+(y-y1)^2)= √((x2-x1)^2+(y2-y1)^2) - Методом подстановки решаем полученную систему.
Теперь вы знаете, как найти вершину треугольника.
Внимание! Оба случая применимы только для равностороннего треугольника.
Для равнобедренного или любого другого произвольного треугольника для нахождения координат третьей вершины требуются дополнительные данные (например, значение некоторых отрезков или углов).
Уравнение описанной окружности
Как составить уравнение описанной около треугольника окружности по координатам его вершин? Как найти координаты центра описанной окружности? Как найти радиус описанной окружности, зная координаты вершин треугольника?
Решение всех этих задач сводится к одной — написать уравнение окружности, проходящей через три данные точки. Для этого достаточно подставить координаты точек (вершин треугольника) в уравнение окружности. Получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: координатами центра и радиусом окружности.
Составить уравнение описанной окружности для треугольника с вершинами в точках A(2;1), B(6;3), C(9;2).
Подставив координаты вершин треугольника в уравнение окружности
получим систему уравнений
Вычтем из первого уравнения системы второе:
Теперь из второго уравнения системы вычтем третье:
Приравняем правые части равенств b=-2a+10 и b=3a-20:
Подставим в первое уравнение системы a=6 и b=-2:
a и b — координаты центра окружности, R — её радиус. Таким образом, точка (6;-2) — центр описанной около треугольника ABC окружности, радиус R=5, а уравнение описанной окружности
Для решения аналогичной задачи для четырёхугольника либо многоугольника достаточно знать координаты трёх его вершин.
Прямая на плоскости
Построение графика функции методом дифференциального исчисления
Экстремум функции двух переменных
Пример . В задачах даны координаты точек A , B , C . Требуется: 1) записать векторы AB и AC в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами AB и AC .
Решение.
1) Координаты векторов в системе орт. Координаты векторов находим по формуле:
X=xj-xi; Y=yj-yi
здесь X , Y координаты вектора; xi , yi — координаты точки Аi ; xj , yj — координаты точки Аj
Например, для вектора AB: X=x2-x1=12-7=5 ; Y=y2-y1=-1-(-4)=3
AB(5;3), AC(3;5), BC(-2;2)
2) Длина сторон треугольника. Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:
3) Угол между прямыми. Угол между векторами a1(X1;Y1) , a2(X2;Y2) можно найти по формуле:
где a1a2=X1X2+Y1Y2
Найдем угол между сторонами AB и AC
γ = arccos(0.88) = 28.07 0
8) Уравнение прямой. Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2) , представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB . Каноническое уравнение прямой:
или
y= 3 /5x- 41 /5 или 5y-3x+41=0
39 / 28 / 8 Регистрация: 14.04.2012 Сообщений: 249 |
|
1 |
|
Как найти координаты третьей вершины треугольника, зная все стороны и две вершины?07.07.2013, 16:27. Показов 97763. Ответов 19
Добрый день, подскажите как найти координаты третьей вершины треугольника?
0 |
107 / 102 / 9 Регистрация: 29.06.2013 Сообщений: 369 |
|
07.07.2013, 17:10 |
2 |
Зная то, что расстояние между двумя точками равно: , Откуда и найдем координаты 3-ей точки
2 |
39 / 28 / 8 Регистрация: 14.04.2012 Сообщений: 249 |
|
07.07.2013, 17:18 [ТС] |
3 |
А как вывести из формулы нужную?
0 |
107 / 102 / 9 Регистрация: 29.06.2013 Сообщений: 369 |
|
07.07.2013, 17:44 |
4 |
Например, можно произвести смещение точки А в начало координат.
0 |
39 / 28 / 8 Регистрация: 14.04.2012 Сообщений: 249 |
|
07.07.2013, 17:46 [ТС] |
5 |
Извени, но я не понимаю…
0 |
1765 / 969 / 180 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,784 Записей в блоге: 12 |
|
07.07.2013, 19:38 |
6 |
А так понимаете?
0 |
39 / 28 / 8 Регистрация: 14.04.2012 Сообщений: 249 |
|
07.07.2013, 20:07 [ТС] |
7 |
Рисунок не доступен пишет.
0 |
4216 / 3411 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818 |
|
07.07.2013, 21:35 |
8 |
Известны координаты точек А(x1,y1), С(x2,y2). Условие некорректно – переопределено. Две заданных вершины тем самым уже определяют и длину одной стороны.
0 |
39 / 28 / 8 Регистрация: 14.04.2012 Сообщений: 249 |
|
07.07.2013, 23:27 [ТС] |
9 |
Условие некорректно – переопределено. Две заданных вершины тем самым уже определяют и длину одной стороны. Длина и координаты две разные вещи.
0 |
2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349 |
|
07.07.2013, 23:52 |
10 |
Длина и координаты две разные вещи. А Том Ардер другого и не утверждал. Читайте внимательнее.
0 |
1765 / 969 / 180 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,784 Записей в блоге: 12 |
|
08.07.2013, 11:23 |
11 |
Сообщение было отмечено как решение Решение
Добрый день, подскажите как найти координаты третьей вершины треугольника? Вот картинка. Миниатюры
3 |
39 / 28 / 8 Регистрация: 14.04.2012 Сообщений: 249 |
|
08.07.2013, 14:48 [ТС] |
12 |
А как вы выделили x и y из формулы?
0 |
1765 / 969 / 180 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,784 Записей в блоге: 12 |
|
09.07.2013, 09:13 |
13 |
Справа на картинке записана система двух уравнениий – уравнений окружностей.Решив систему, получаем координаты двух точек. т.е. точек В может быть две.
0 |
39 / 28 / 8 Регистрация: 14.04.2012 Сообщений: 249 |
|
09.07.2013, 14:03 [ТС] |
14 |
проблема в том, что я не знаю как решить уравнение окружностей(
0 |
107 / 102 / 9 Регистрация: 29.06.2013 Сообщений: 369 |
|
09.07.2013, 14:11 |
15 |
Раскройте скобки, вычтите из 1 уравнения другое. Уйдут квадраты, выразите одну переменную через другую. Подставите в 1 исходное.
0 |
1765 / 969 / 180 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,784 Записей в блоге: 12 |
|
09.07.2013, 15:16 |
16 |
Только проще сначала вычесть из первого уравнение второе, затем воспользоваться формулой разности квадратов.
1 |
0 / 0 / 0 Регистрация: 10.04.2016 Сообщений: 7 |
|
28.04.2016, 22:07 |
17 |
А можно решить как-нибудь без системы уравнений?
0 |
0 / 0 / 0 Регистрация: 08.04.2019 Сообщений: 6 |
|
10.04.2019, 13:19 |
18 |
Я тоже был бы не против без системы уравнений
0 |
1471 / 826 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456 |
|||||
10.04.2019, 21:50 |
19 |
||||
del Для чего тут система уравнений?
Нормализуем вектор AC и множим на длину AB стороны и крутим матрицей поворота в 2д на нужный угол. Угол треугольника найти по трем сторонам. Эх раньше бы и рис и формулы кинул…но теперь лень =). Может кто из гуру не полениться…
0 |
pro4vayder 1 / 1 / 0 Регистрация: 25.05.2016 Сообщений: 2 |
||||
04.11.2020, 09:49 |
20 |
|||
Прошу глянуть решение здесь. Ответ выше был близок к ответу, но человеку далекому от математики (мне) – это не особо было понятно. P.S решение выводит 2 ответа точек пересечения Кликните здесь для просмотра всего текста http://algolist.ru/maths/geom/… rcle2d.php
1 |
IT_Exp Эксперт 87844 / 49110 / 22898 Регистрация: 17.06.2006 Сообщений: 92,604 |
04.11.2020, 09:49 |
20 |
Вариантов много. Например:
1. Найти середину отрезка AB, назовём точкой S.
2. Найти высоту треугольника. Учитывая, что треугольник равнобедренный, высота является срединным перпендикуляром.
3. Построить вектор, параллельный AB с длиной, равной высоте треугольника.
4. Повернуть его на 90 градусов влево или вправо.
5. Перенести начало вектора в точку S.
1) Строим из точки A окружность с радиусом AC
(x-xA)^2 + (y-yA)^2 = R^2 = AC^2
2) Строим из точки B окружность с радиусом BC
(x-xB)^2 + (y-yB)^2 = R^2 = BC^2
3) Решаем систему уравнений, получаем 0(пересечений нет), 1(пересечение в одной точке, касание) или 2 действительных корня(пересечение в 2х точках). Это и есть возможные варианты точки C.
Можно найти x, а потом подставить в любое из уравнений и получить y, или же наоборот.
Координаты третьей вершины….
Ламер
Мастер
(1322),
закрыт
13 лет назад
Дано: координаты двух вершин треугольника (x1,y1) и (x2,y2) и длины его сторон a,b,c.
Требуется найти координаты третей вершины треугольника.
Может кто помнит ?
Дополнен 13 лет назад
Нужна формула.
Марина Тесленко
Просветленный
(22061)
13 лет назад
Расстояние между точками (x1, y1) и (x2,y2) равно корень кв ((х2-х1)^2+( y1-y2)^2). У вас есть 2 неизвестных х3, и y3. Значит нужно 2 уравнения. Расстояния нам даны. Напишем 2 уравнения с расстояниями и координатами и из них найдём неизвестные. Надеюсь, понятно)
ЛамерМастер (1322)
13 лет назад
Расстояния между всеми точками известны.
Марина Тесленко
Просветленный
(22061)
Но нам это никак не мешает!)
Ирина Андреева
Гуру
(4497)
13 лет назад
Сначала Вы находите расстояние между точками (x1,y1) и (x2,y2) по формуле
z=корень ((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
и, затем, выясняете, что это за сторона
Предположим z=a, тогда две другие стороны b и c
получаете уравнения
b^2 = ((x2-x3)^2+(y2-y3)^2)
c^2 = ((x1-x3)^2+(y1-y3)^2)
решаете и находите координаты (x3,y3) искомой точки
ЛамерМастер (1322)
13 лет назад
Надо бы формулу вида :
x3=…
y3=…
Ирина Андреева
Гуру
(4497)
Я думаю, что Вы так и будете о ней мечтать. Хотя посмотрим.