Как найти корень четвертой степени числа

Как найти корень четвёртой степени

Понятие корня из четвёртой степени можно рассмотреть на примере уравнения вида: x*x*x*x=y. Корнем четвёртой степени из числа y является x. Из этого уравнения видно, что число, из которого извлекается корень, не может быть отрицательным. Корень из ноля даёт ноль.Найти x можно несколькими способами.

Вам понадобится

• Калькулятор, или компьютер, или лист бумаги и ручка.

Инструкция

Вычислить корень четвёртой степени можно, если дважды извлечь квадратный корень из числа. На большинстве калькуляторов есть функция извлечения квадратного корня. Такая функция есть в служебных программах Windows. В Интернете существуют также онлайн-программы.

Можно вычислить корень четвёртой степени, возведя число y в степень ¼ или 0,25. Сделать это можно в программе Microsoft Excel. Введите в строке функций: =y^(1/4) или =y^0,25. Нажав “Enter”, вы получите ответ в выделенной ячейке.

Если под рукой нет техники, можно найти приблизительное значение корня методом итерации, т.е. повторения. Возьмите число, умножьте само на себя четыре раза, сравните результат с числом y. Затем возьмите другое число, больше или меньше предыдущего, в зависимости от результата. Так повторите несколько раз, пока не получите результат достаточной точности.

Также существует интересный алгоритм вычисления квадратных корней. Воспользовавшись им дважды, вы получите корень четвёртой степени. Рассмотрим его на примере числа 7072781.

Начиная справа, отделите по две цифры:70.72.81. Подберите наибольшее число, квадрат которого будет меньше 70 – первой части числа – 8. Это первая цифра вашего результата.

Возведите эту цифру в квадрат и вычтите из 70: 70-64=6. Припишите её слева ко второй части числа – 672. Удвойте первую цифру результата: 8*2=16. Затем найдите наибольшее число, приписав которое к 16 и умножив на него полученную цифру, вы получите наибольший результат, не превышающий 672: 164*4=656

Далее действуйте так: 672-656=16 Приписываете 16 слева к третьей части – 1681. Удваиваете 84 – две уже известные цифры результата: 84*2=168. Находите число, дописав которое справа и умножив на него, вы получаете в этот раз ровно 1681: 1681*1=1681. Цифра 1 – третий знак ответа. Квадратный корень из 7072781 равен 841.

Если вы не получили равенства, нужно повторить операцию, чтобы найти цифры ответа после запятой. Двумя цифрами следующей части будут два ноля. Вычисления производятся до достижения необходимой точности ответа. Если в вашем числе остались ещё части, также повторяете операцию. Затем применяете весь алгоритм с самого начала и извлекаете квадратный корень из числа 841. Полученный ответ – 29.

Источники:

• как посчитать корень в пятой степени

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Содержание

• – Чему равен корень четвертой степени из 4?
• – Что такое корень 4 степени?
• – Чему равен корень из 4?
• – Какое число в 4 степени дает 64?
• – Что такое корень четной степени?
• – Какое число в 4 степени равно 1296?
• – Какое число в 4 степени дает 4096?
• – Как обозначить корень пятой степени?
• – Как найти корень энной степени?
• – Как извлечь корень дробной степени?

Для определения расстояния в километрах между пунктами, лежащими на одной параллели, число градусов умножают на длину дуги 1° параллели, обозначенную на карте или определенную по таблицам.

Чему равен корень четвертой степени из 4?

Корень 4-й степени из 4 равен 1.4142135623731

степени→ числа↓	4	5
4	1.41421	1.31951
5	1.49535	1.37973
6	1.56508	1.43097
7	1.62658	1.47577

Что такое корень 4 степени?

Корень 4 степени – это число дающее исходное значение при возведении в 4-ю степень. Для вычисления корня любой степени воспользуйтесь универсальным калькулятором вычисления корня степени N из числа.

Чему равен корень из 4?

Корень квадратный из 4 равен 2

степени→ числа↓	2	4
4	2	1.41421
5	2.23607	1.49535
6	2.44949	1.56508
7	2.64575	1.62658

Какое число в 4 степени дает 64?

Корень 4-й степени из 64 равен 2.8284271247462

степени→ числа↓	4	6
64	2.82843	2
65	2.83941	2.00517
66	2.85027	2.01028
67	2.86101	2.01533

Что такое корень четной степени?

Корень чётной степени n из числа — это любое неотрицательное число такое, что . А корень нечётной степени из того же числа — это вообще любое число , для которого выполняется всё то же равенство: . … Число в такой записи называется показателем корня , а число — подкоренным выражением .

Какое число в 4 степени равно 1296?

Корень 4-й степени из 1296 равен 6

степени→ числа↓	4	5
1296	6	4.19296
1297	6.00116	4.19361
1298	6.00231	4.19426
1299	6.00347	4.1949

Какое число в 4 степени дает 4096?

Корень 4-й степени из 4096 равен 8.

Как обозначить корень пятой степени?

Например, корни 3,4,5 степени можно записать так:

1. X^1/3.
2. X^1/4.
3. X^1/5.
4. 3√X (вместо числа 3 можете использовать соответствующее обозначение из таблицы символов (³)
5. 4√X.
6. 5√X.

Как найти корень энной степени?

Если n — нечётное число, то существует единственный корень n-й степени из любого числа (положительного, отрицательного или равного нулю), при этом − a n = − a n .

Как извлечь корень дробной степени?

Чтобы возвести степень в другую степень, в случае дробных показателей, достаточно перемножить показатели степеней: Чтобы извлечь корень из дробной степени, достаточно показатель степени разделить на показатель корня: Правила действий применимы не только к положительным дробным показателям, но и к отрицательным.

Интересные материалы:

Зачем датчик движения в видеорегистраторе?
Зачем дельфины едят фугу?
Зачем добавляют масло в дизельное топливо?
Зачем добавлять керосин в солярку для автономки?
Зачем добавлять керосин в солярку?
Зачем Глонасс в смартфоне?
Зачем коже пептиды?
Зачем лить растворитель в бак?
Зачем менять колеса местами?
Зачем менять цепь грм?

Корни и степени

Степенью называется выражение вида .

Здесь  — основание степени,  — показатель степени.

к оглавлению ▴

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

По определению, .

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

.

Возвести число в натуральную степень  — значит умножить его само на себя раз:

к оглавлению ▴

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

По определению,

.

Это верно для . Выражение 0⁰ не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Например,

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где  — целое,  — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Определение.

Арифметический квадратный корень из числа  — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Согласно определению,

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение    для нас сейчас имеет смысл только при .

Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

Свойства арифметического квадратного корня:

 

Запомним важное правило:

По определению, .

к оглавлению ▴

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из  — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

Например, , так как ;

, так как ;

, так как .

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

к оглавлению ▴

Корень -ной степени

Корень -ной степени из числа  — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Например,

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

По определению,

в общем случае .

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

Например,

Выражение по определению равно .

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Например,

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются;

— при делении степени на степень показатели вычитаются;

— при возведении степени в степень показатели перемножаются;

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

1.

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

2.

3.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.
4. Найдите значение выражения при

Решение:

При получим

Ответ: -0,5.

5. Найдите значение выражения при

Решение:

При a = 12 получим

Мы воспользовались свойствами степеней.

Ответ: 144.

6. Найдите значение выражения при b = – 5.

Решение:

При b = – 5 получим:

Ответ: -125.

7. Расположите в порядке возрастания:

Решение:

Запишем выражения как степени с положительным показателем и сравним.

Так как то

Так как то

Сравним и для этого оценим их разность:

значит

Получим : поэтому

Ответ:

8. Представьте выражение в виде степени:

Решение:

Вынесем за скобку степень с меньшим показателем:

Ответ:

9. Упростите выражение:

Решение:

Приведем основания 6 и 12 к основаниям 2 и 3:

(выполним деление степеней с одинаковыми основаниями)

Ответ: 0,25.

10. Чему равно значение выражения при ?

Решение:

При получим

Ответ: 9.

к оглавлению ▴

Сравнение арифметических корней

11. Какое из чисел больше: или ?

Решение:

Возведем в квадрат оба числа (числа положительные):

Найдем разность полученных результатов:

так как

Значит, первое число больше второго.

Ответ:

к оглавлению ▴

Как избавиться от иррациональности в знаменателе

Если дана дробь вида то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на :

Тогда знаменатель станет рациональным.

Если дана дробь вида или то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, чтобы получить в знаменателе разность квадратов.

Сопряженные выражения – это выражения, отличающиеся только знаками. Например,

и и – сопряженные выражения.

Пример:

12. Вот несколько примеров – как избавиться от иррациональности в знаменателе:

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Совет. Если в знаменателе дана сумма двух корней, то в разности первым числом пишите то, которое больше, и тогда разность квадратов корней будет положительным числом.

Пример 5.

13. Сравните и

1)

2) Сравним и 14.

то и а значит,

Ответ: меньше.

к оглавлению ▴

Как упрощать иррациональные выражения, пользуясь формулами сокращенного умножения

Покажем несколько примеров.

14. Упростите: выражения:

Пример 5.

т.к.

Пример 6.

Пример 7.

так как

Следующие несколько задач решаются с помощью формулы:

Решение:

Получим уравнение

Ответ:

19. Вычислите значение выражения:

Решение:

Ответ: 1.

20. Вычислите значение выражения:

Решение:

Ответ: 1.

21. Вычислите значение выражения: если

Решение.

Если то следовательно

Ответ: – 1.

22. Вычислите:

Решение:

Ответ: 1.

Рассмотрим уравнение вида где

Это равенство выполняется, только если

Подробно об таких уравнениях – в статье «Показательные уравнения».

При решении уравнений такого вида мы пользуемся монотонностью показательной функции.

23. Решите уравнение:

а)

б)

в)

Решение.

23. Решите уравнение:

Решение:

тогда

Ответ: -1.

24. Решите уравнение:

Решение:

Ответ: 4.

25. Решите уравнение:

Решение:

Значит,

Ответ: -0,2.

Если вы хотите разобрать большее количество примеров – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Этот необычный способ позволяет вычислить корень 4 степени, если ответ является целым числом. 

Чтобы вычислить корень четвертой степени, надо число, стоящее под знаком корня, разложить в виде суммы нечетных слагаемых. Искомое значение корня 4 степени равно количеству слагаемых в разложении. Рассмотрим, как этим способом вычислить корень 4 степени, на конкретных примерах:

   

Число, с которого начинается разложение в n-й строке, ищем следующим образом:

   

С прикладной точки зрения этот способ не очень востребован. Тем не менее, такой подход у вычислению корня 4 степени заслуживает внимания и демонстрирует интересное свойство нечетных чисел.